相似含辅助线技巧总结题型39题

【答案】由 AB BD ， CD BD ， EF BD ，则必有 AB / /CD / /EF ．进而可知
EF DF ， AB BD
EF BF ，两式相加并变形可得， 1 1 1
CD BD
EF AB CD
25. 【中】如图，已知 AB / /EF / /CD ，找出 SABD 、 SBED 、 SBCD 之间的关系，并证明你 的结论．
三角形共有（ ）
E
A
F
D
B
C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
13. 【易】（北京二中初三上质量检测）如图，已知点 D 是 AB 边的中点， AF ∥BC ，
CG : GA 3:1， BC 8 ，则 AF ______
A
F
G D
E
B
C
【答案】4
14. 【易】（上海中考）如图，平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F ，
A．都含有一个 30 的内角
B．都含有一个 45 的内角；
C．都含有一个 60 的内角
D．都含有一个 80 的内角．
【答案】C
6. 【易】（第一学期期末考试九年级数学试卷）
根据你对相似的理解，下列命题中，不．正确的是（ ）．
A．相似三角形的对应角相等；
B．相似三角形的对应边成比例；
C．相似三角形的周长比等于相似比；
A
B
P
D
【答案】 60 或 8 或 12 11
27. 【中】（北京交大附初二下期末）如图，梯形 ABCD 中， AB∥DC ， B 90 ， E 为 BC 上一点，且 AE ⊥ED ， ⑴ 求证： △ABE ∽△ECD ；
⑵ 若 AB 3 ， BE 4 ， DC 8 ，求 DE 的长．
D
A
B
扩大到原来的 2 倍⑤面积扩大到原来的 4 倍
【答案】①②④⑤
相似三角形的性质
3. 【易】（北京市初三期中）（北京景山学校 2013 年第二学期八年级期末数学试卷）已知
△ABC ∽△DEF ，且 AB : DE 1: 2 ，则 △ABC 的周长与 △DEF 的周长之比为（ ）
A． 2 :1
B． 1: 2
A．②③④
【答案】B
相似三角形的判定与性质
8. 【易】(台州市中考数学卷)如图，在 △ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，且
AE AB
AD AC
1 2
，则 S△ADE
: S四边形BCED
的值为（
）
A
D E
B
C
A．1: 3 【答案】C
B．1: 2
C．1: 3
C． 1: 4
D． 4 :1
【答案】B
4. 【易】（重庆）已知 △ABC∽△DEF ，若 △ABC 与 △DEF 的相似比为 3：4，则 △ABC
与 △DEF 的面积比为（ ）
A． 4 : 3
B． 9 :16
C． 16 : 9
D． 4 :1
【答案】B
相似三角形的判定
5. 【易】（海普陀区初三下质量调研）下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是（ ）
E
C
【答案】⑴∵ AB∥CD ， B 90 ∴ C 90 ∴ B C ∴ BAE AEB 90 又∵ AE ⊥ED ∴ AEB DEC 90 ∴ BAE DEC ∴ △ABE ∽△ECD ⑵∵ △ABE ∽△ECD ∴ AB BE EC CD ∵ AB 3 ， BE 4 ， DC 8 ， ∴ EC 6 在 Rt△DCE 中， C 90 ，
D．1: 4
9. 【易】（玄武区第二学期期末考试）已知 1 2 ，那么添加下列一个条件后，仍无法 判定 △ABC ∽△ADE 的是（ ）
D
A 2
1
BE
A． AB AC AD AE
【答案】B
C
B． AB BC AD DE
C． B D
D． C AED
10. 【易】（北京高级中等学校招生考试数学试卷）如图，在梯形 ABCD 中， AD∥BC ，对 角线 AC ， BD 相交于点 O ，若 AD 1， BC 3 ，则 AO 的值为（ ） CO
如果 BE 2 ，那么 BF ___________．
BC 3
FD
A
D
F
B
E
C
【答案】 2 3
15. 【中】（广西区北海市中考数学试题） 如图，△ABC 的面积为 63， D 是 BC 上的一点，且 BD:CD 2:1， DE∥ AC 交 AB 于 点 E ，延长 DE 到 F ，使 FE:ED 2 :1，则 △CDF 的面积为________．
两式相加并变形可得， 1 1 1 ，即 1 1 1 ． EF AB CD c a b
24. 【中】如上图， AB BD ， CD BD ，垂足分别为 B 、 D ， AC 和 BD 相交于点 E ， EF BD ，垂足为 F ．证明： 1 1 1 ． AB CD EF
A C
E
B
F
D
如图， EF // BC ， AD BC ，则 AM EF AE AF AD BC AB AC
（相似三角形高线之比等于相似比）
21. 【易】如图，在 △ABC 中， AC AB ，点 D 在 AC 边上，若在增加一个条件就能使 △ABC ∽△ADB ，则这个条件可以是________________．
【答案】42 16. 【易】（朝阳区九年级第一学期期末统一考试）如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BA
的延长线上，连接 CE ，与 AD 相交于点 F ． ⑴求证： △EBC ∽△CDF ； ⑵若 BC 8 ， CD 3 ， AE 1，求 AF 的长．
【答案】⑴∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC ， AB∥CD ． ∴ △EAF ∽△EBC ， △EAF ∽△CDF ． ∴ △EBC ∽△CDF ． ⑵∵ △EAF ∽△EBC ，
模型五
28. 【易】（海南省初中毕业生学业考试数学科试题）如图，在 △ABC 中， ACB 90 ， CD AB 于点 D ，则图中相似三角形共有（ ）
A．1 对 【答案】C
B．2 对
C．3 对
D．4 对
29. 【易】（初三数学期中）如图，在 △ABC 中，C 90 ，CD AB ，垂足为 D ，则 AD AB （ ）2（填写图中线段）
③ AC BC AB CD
④ CD DB AD CD
【答案】①③④
31. 【易】（卢湾区九年级上期末）如图，已知 △ABC 中， ACB 90 ， CD AB ，垂足
为点 D ， AD 4 ， BD 1 ．
⑴ 求证： △ABC ∽△CBD ；
⑵ 求 cos B 的值．
C
A
B
D
【答案】⑴∵ CD AB ，∴ BDC 90 ，∴ A ACD 90 ． ∵ ACB 90 ，∴ DCB ACD 90 ，∴ A DCB ． 又∵ ACB BDC 90 ，∴ △ABC ∽△CBD ． ⑵∵ △ABC ∽△CBD ，∴ BC BD ． BA BC ∵ AD 4 ， BD 1 ，∴ BC 5 ．
∴ EA AF ，即 1 AF ． EB BC 1 3 8
解得 AF 2 ． 模型 1
AB
C
D
17. 【易】（初三期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上， BE : EC 1: 2 ， 连接 AE 交 BD 于点 F ，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为__________．
C A
E
B H FM D N
【答案】
1 SBED
1 SABD
1 SBCD
，过点
A、
E
、
C
分别作
BD 的垂线，
垂足为 H 、 M 、 N ．
由变式 1 可知， 1 1 1 ，故 EM AH CN
1 1 BD EM
1
1 BD
AH
1
1 BD CN
2
2
2
即 111
S S S BED
ABD
BCD
点评：此题的证明过程体现了“集中”这一思想，将 EF 、 EF 集中到同一条 AB CD
D．相似三角形的面积比等于相似比．
【答案】D
7. 【中】 （天津市和平区 2011 届九年级模拟试题四数学学科试卷）如图，平行四边形 ABCD
中， DBC 45，DE ⊥BC 于 E ， BF ⊥CD 于 F ， DE ，BF 相交于 H ， BF ，AD
的延长线相交于 G ，下列结论：
① DB 2BE ； ② A BHE ； ③ AB BH ； ④ △BHD ∽△BDG ． 其中正确的结论是（ ）
线段 BD 上，从而发现它们的和是一个常数．
模型四
26. 【易】（普陀区九年级上期末考试）如图， AB BD ， CD BD ， AB 6 ， CD 16 ， BD 20 ，一动点 P 从点 B 向点 D 运动，当 BP 的值是________时，△PAB 与 △PCD 是 相似三角形．
C
在 AC 、 AB 上， BC 15 ， BC 边上的高 AD 10 ，求 S正方形EFGH ．
A
A
H
G
E
F
M
B
E DF C
B
D
C
【答案】设正方形 EFGH 的边长为 x ， AD 、 HG 的交点为 M ，则有
AM HG ，即 10 x x
AD BC
10 15
解之得， x 6
故 S平行四边形EFGH 62 36 本题有一个相似形中的典型的基本图形：