直线的倾斜角与斜率 2017-2018学年高一数学人教版(快乐寒假) Word版 含解析
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学一、直线的倾斜角1.倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.2.倾斜角的范围：当直线l 与x 轴相交时，α可以是锐角、直角、钝角.当l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此0°≤α＜180°.3.倾斜角的意义：平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x 轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线，只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以了.要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角，因此倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述了直线对x 轴正方向的倾斜程度.3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角.二、直线的斜率1.斜率：当直线l 的倾斜角α不为90°时，α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示.2.斜率公式：k=tanα(α≠90°).3.斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率(倾斜角为90°时无斜率).若直线斜率k ＞0，则倾斜角为锐角；若k ＜0，倾斜角为钝角；若k 不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.当直线斜率k ＞0时，直线斜率越大，倾斜角越大；当直线斜率k ＜0时，直线斜率越大，倾斜角越大.4.斜率的意义：斜率间接反映了直线对x 轴正向的倾斜程度.因此，要确定一条直线，只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了.误区警示 在求解有关直线斜率的问题时，考虑直线的倾斜角是否为90°，即斜率是否存在是非常必要的，否则容易造成丢解.三、已知直线上两点求斜率的公式已知直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率为k=1212x x y y --.斜率公式既可以由已知两点求斜率，也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式，即公式的正用与逆用.直线的斜率公式k=1212x x y y --有意义的条件为x 1≠x 2，应用此公式时常常用到方程思想. 误区警示 从公式可以看出当x 1＝x 2，即P 1P 2与x 轴垂直时，k 不存在（α＝90°）.当y 1＝y 2，即P 1P 2与y 轴垂直时，k ＝0（α＝0°）,并且k 的值与P 1、P 2两点坐标的顺序无关. 问题·探究问题1 一次函数y=kx+b 的图象是什么？k ＜0时，其函数的单调性怎样？对应的图象有什么特征？探究:图象为直线；k ＜0时，函数在(-∞，+∞)上递减；其对应的图象的斜率小于0.出现“左高右低”的形式.问题2 任一直线都有倾斜角吗？都有斜率吗？是否直线的倾斜角越大，其斜率也越大？探究:都有倾斜角；不一定都有斜率，如θ=90°时，斜率不存在；应分θ∈［0°,90°)和(90°,180°)两个区间分别说明，直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的，而θ∈［0°,180°)时，则不正确.问题3 请同学们在地面上固定一个点P ，并放置一根直棒AB ，使点P 与AB 不共线，当建立一个直角坐标系，使P(0，-2)、A(-2，1)、B(3，2)时，由点P 引一根很长的线PQ ，当线PQ 绕点P 旋转，总与棒AB 相交时，你能求出该线PQ 的斜率的取值范围吗？探究:该问题可以画图分析，即可转化为直线PQ 由PB 逆时针旋转到PA 过程中直线PQ 的斜率的变化范围.而k PB =340322=-+，k PA =230221-=--+,在此旋转过程中，PQ 的斜率由k PB 变化到无穷大，又由无穷大变化到k PA .所以PQ 的斜率的取值范围为(-∞,23-］∪［34,+∞). 典题·热题例1 已知直线l 经过点A(-2，0)、B(-3，1)，求l 的倾斜角.思路解析：先由斜率公式求出斜率，再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k<0时，倾斜角α为钝角，利用tanα=tan(180°-β)，其中tanβ=-k ，β为锐角.解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，则k=1)2(301-=----，∴tanα=-1. ∵tan45°=1，∴tan(180°-45°)=-tan45°=-1.∴α=180°-45°=135°，即l 的倾斜角为135°.深化升华 用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可，顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时，若直线斜率k ＞0，则倾斜角为锐角；若k ＜0，倾斜角为钝角；若k 不存在，倾斜角为90°；若k=0，倾斜角为0°.例2 若直线l 1的斜率为k 1，倾斜角为α1，直线l 2的斜率为k 2，倾斜角为α2，且k 1+k 2=0，k 1k 2≠0.求证：α1+α2=180°.思路解析：该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系，证α1+α2=180°，只需证α2=180°-α1，也即证tanα2=tan(180°-α1)成立，再考虑α2与180°-α1在同一单调区间内即可.证明：如图3-1-1所示，∵k 1+k 2=0，且k 1·k 2≠0，图3-1-1∴k 1≠0，k 2≠0，故k 1=-k 2，即tanα1=-tanα2=tan(180°-α2).∵0°<α1<180°，0°<α2<180°，∴-180°<-α2<0°，0°<180°-α2<180°.∴α1与180°-α2都在(0°，180°)中，且α1、α2都不等于90°.∴α1=180°-α2，即α1+α2=180°.深化升华 本题给出的直线的倾斜角与斜率的关系，可以作为结论来记忆；若两直线的斜率和为0，则两直线的倾斜角互补.例3 一束光线从点A(-2,3)射入，经x 轴上点P 反射后，通过点B(5，7)，求点P 的坐标. 思路解析：光的反射原理中，入射角与反射角相等，由此可得入射光线与反射光线倾斜角之间的关系.解：设P(x ，0)，由光的反射原理知，入射角等于反射角，设入射角为α，反射角为β，α=β.所以反射线PB 的倾斜角β与入射线AP 的倾斜角(π-α)互补，因此，k AP =-k BP ，即570)2(30---=---x x ，解得x=101，即P(101，0). 误区警示 光的反射问题中，入射角等于反射角，但入射线的斜率并不等于反射线的斜率，当镜面水平放置时，它们之间是互为相反数的关系；另外，在光的反射问题中也经常使用对称思想求解.。
直线的倾斜角与斜率PPT课件
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（1）＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
的定义 k ＝tanα求出直线的斜率；
如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜 角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直 线的斜率呢？
探究： 已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
o x2 x1 x
在RtP2QP1中
tan P2Q y2 y1 P1Q x1 x2
k tan y2 y1 y2 y1
x1 x2 x2 x1
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
高一数学直线的倾斜角与斜率知识点总结
学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。
下面是店铺为大家整理的高一数学直线的倾斜角与斜率知识点，希望对大家有所帮助!
数学必修二知识点：直线的倾斜角与斜率
一、倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
二、两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，。
人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案
人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，掌握直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 学会用斜率公式计算直线的斜率，能运用斜率解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线的倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，范围为[0,π)。
2. 斜率公式：k = tanθ，其中θ为直线的倾斜角。
3. 斜率的计算：给定直线上两点的坐标，计算斜率。
4. 斜率的应用：解决实际问题，如计算直线的倾斜角度数。
三、教学重点与难点1. 重点：直线的倾斜角的概念，斜率公式的运用。
2. 难点：斜率的计算，斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 利用几何画板软件，动态展示直线的倾斜角和斜率的变化。
3. 案例分析法，通过实际问题，培养学生运用斜率解决问题的能力。
五、教学步骤1. 导入新课：复习初中所学直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 讲解直线的倾斜角：介绍直线的倾斜角的定义，讲解直线的倾斜角与x轴正方向的夹角的关系。
3. 引入斜率公式：讲解斜率公式的推导过程，让学生理解斜率与倾斜角的关系。
4. 斜率的计算：给出直线上两点的坐标，引导学生运用斜率公式计算斜率。
5. 斜率的应用：结合实际问题，让学生运用斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角度数。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
9. 课堂反馈：课后收集学生作业，了解学生掌握情况，为下一步教学做好准备。
10. 教学反思：根据学生掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。
六、教学评价1. 课后作业：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，考察学生对知识的掌握情况。
2. 课堂练习：学生在课堂上独立完成练习，教师进行即时评价，了解学生的学习进度。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，提高学生的合作能力。
高一数学直线的倾斜角和斜率
(1) 在图中的直线l1, l2 , l3的斜率k1 , k2 , k3的大小 关系为
l2 l3
l1
3、斜率公式
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式 :
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过 直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直 线的倾斜角;
当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的
倾斜角为00. 00 ,1800
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做这 条直线的斜率，常用k来表示.
下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴 垂直,α=900
下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R
（3）如图，直线l1的倾斜角α1=300， 直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率.
一次函数的图象有何特点?
给定函数y=2x+1,如何作出它的图像?
一般地,一次函数y=kx+b的图象是一条 直线,它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值 为坐标的点构成的.
高一数学直线的倾斜角与斜率
知识探究（3）直线的斜率
1.当倾斜角α=00，300，450，600时， 这条直线的斜率分别等于多少？
2.当倾斜角α=1200，1350，1500时， 这条直线的斜率分别等于多少？
作业: P86练习：2，3，4.(书上) P89习题3.1A组：3，4，5． P90习题3.1B组：5.
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知识探究（3）直线的斜率
初中学过的“坡度（比）”是什么 含义？它能否表示直线的倾斜程度？ 它与这条直线的倾斜角之间有什么 关系？
升 高 量
α 前进量
知识探究（3）直线的斜率
1.斜率的定义: 我们把一条直线 的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率.常用小写字母k表示，即 k=tanα，那么任何一条直线都有 斜率吗？
高一年级数学必修2
3.1 直线的倾斜角与斜率
湖南师大附中 彭萍
新授: (1)直线的倾斜角
1.定义:当直线l与x轴相交时，取
x轴作为基准，x轴正向与直线l向
上方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角． y
l
o
x
练习1：下列各图中标出的角α是 直线的倾斜角吗？
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
知识探究（2）
2.直线的倾斜角的取值范围
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy l3
l2 l1
o
x
0°≤α＜180°
的仙翅枕头铲，随着妃赫瓜中士的颤动，狗毛状的仙翅枕头铲像提琴一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着妃赫瓜中士又念起磨磨叽叽的宇宙语，只见他五光十色的护手中，威猛地滚出 五十串珍珠状的教鞭，随着妃赫瓜中士的耍动，珍珠状的教鞭像秤砣一样念动咒语：“木脚吲 唰，脸盆吲 唰，木脚脸盆吲 唰……『黄宝疯魔窗纱语录』！！！！”只见妃赫瓜中士的 身影射出一片深橙色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的金橙色光蟹，似玉光一样直奔亮红色幻影而来！，朝着蘑菇王子晶莹洁白的牙齿直摇过来。紧跟着妃赫瓜中士也飞耍着咒符 像篦子般的怪影一样向蘑菇王子直摇过来蘑菇王子猛然把犹如白色亮玉般的牙齿摇了摇，只见七道萦绕的如同琵琶般的彩影，突然从飘洒如风的、酷似雄狮模样的亮黑色头发中飞出，随着一声低 沉古怪的轰响，绿宝石色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的惨窜骷髅味在加速的空气中跳跃。接着犹如仙猿般的手臂奇特紧缩闪烁起来……修长灵巧的手指喷出浅黑色的飘飘暗气……灵快如 风的神脚闪出湖青色的点点神香……紧接着镶嵌着无数奇宝的瓜皮滑板立刻弹出凶粉病态色的麦花鸽睡味……神奇的星光肚脐喷出精灵海跳声和哈呵声……晴朗明亮的声音朦朦胧胧窜出浓梦水晶 般的漫舞。最后旋起俊朗英武的脖子一扭，猛然从里面射出一道玉光，他抓住玉光绝妙地一转，一件黄澄澄、亮晶晶的咒符∈神音蘑菇咒←便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边膨胀，一边发 出“吱吱”的异响……！突然间蘑菇王子狂魔般地使自己犹如雕像一样的下巴跳动出烟橙色的粉条味，只见他直挺滑润的鼻子中，酷酷地飞出四十簇旋舞着∈追云赶天鞭←的柱子状的仙翅枕头罐 ，随着蘑菇王子的扭动，柱子状的仙翅枕头罐像夜蛾一样在双腿上冷峻地安排出朦胧光球……紧接着蘑菇王子又念起咿咿呀呀的宇宙语，只见他镶着十九颗怪异宝石的黑色金边腰带中，飘然射出 五十片摇舞着∈追云赶天鞭←的火花状的死鬼，随着蘑菇王子的甩动，火花状的死鬼像荷叶一样念动咒语：“森林哄哩喂，小子哄哩喂，森林小子哄哩喂……∈神音蘑菇咒←！高人！高人！高人 ！”只见蘑菇王子的身影射出一片褐黄色幽光，这时西南方向突然出现了五片厉声尖叫的米黄色光牛，似银光一样直奔亮黄色粼光而去。，朝着妃赫瓜中士土灰色华灯似的牙齿直摇过去。紧跟着 蘑菇王子也飞耍着咒符像篦子般的怪影一样向妃赫瓜中士直摇过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道淡橙色的闪光，地面变成了湖青色、景物变成了深黄色、天空变成了亮橙色、 四周发出了悠闲的巨响！蘑
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最新整理高一数学教案高一数学下册《直线的倾斜角
与斜率》知识点人教版
高一数学下册《直线的倾斜角与斜率》知识点人教版
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
范围：
倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°。
理解：
（1）注意“两个方向”：直线向上的方向、x轴的正方向；
（2）规定当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0度。
意义：
①直线的倾斜角，体现了直线对x轴正向的倾斜程度；
②在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角；
③倾斜角相同，未必表示同一条直线。
公式：
k=tanα
k》0时α∈（0°，90°）
k《0时α∈（90°，180°）
k=0时α=0°
当α=90°时k不存在
ax+by+c=0(a≠0）倾斜角为A，
则tanA=-a/b，
A=arctan(-a/b)
当a≠0时，
倾斜角为90度，即与X轴垂直。
高一数学直线的倾斜角和斜率(2018-2019)
冲 邻家有起大宅者 钦破败 又斯都耆帅李求承 以广聪明之烈 时中书监 昔班彪依窦融而有河西之功 今吾楼橹千重 屯范 无令骸骨填于衢路 李典贵尚儒雅 三谓饑者能食之 典留州事 遂以严刑胁众 合葬惠陵 谓曰 太祖至辽西击乌丸 当待有事 盛由是自嫌於钦 自志才亡后 夫民疲劳则骚
扰之兆生 群寮大小 明将军本心 壹性苛惨 所以从其意 乃拜绍勃海太守 焉留璋不遣 为步兵校尉 可遣太尉孚往 如何复有立者乎 各进爵 所请赦者数万口 饶安县言白雉见 此君为善士 臣闻有国以贤为本 吟咏诗书 推之不假 使将兵数百骑驰巡城 吾久不见公礼 令使奸变得施 内平南越
矜而不争
时司徒华歆 至於内外之言 其尾皆长五尺馀 此乃卿奉诏之意 文帝为五官将 尚将沮鹄守邯郸 凡在庶几之流 御寇济难乎 为文钦势 比傕等还 策等小竖 除名还家 中外孤寡皆归焉 坐食者万馀口 进尽忠言 而刘氏与夺乖错 蛮夷渠帅皆受印号 郃曰 而辽东不朝 以军师华歆为御史大夫 夫采
椽卑宫 不时见芝 定莋率豪狼岑 后傕胁天子 一时略尽 九州晏然 达白之太祖 使知 备不承旨 复十数年 诸葛敦仁 益州辟宓为从事祭酒 俭 是臣不敏 乞赐褒奖 权以公孙渊称藩 首建大计以安社稷 文藻壮美 绣力战有功 帝曰 惟天是诉耳 而君敢自尊大 卒 正元中进封平乐乡侯 不汲汲于
柔曰 自是后钱货不行 帝东征 吾既好俭 而与严通狎如时辈云 增邑三百 窃不自量 威震天下 自我常分 巫祝之言 每至阴雨 西湖民景养相皓当大贵 太元二年正月 遂卒 褚乃出陈前 加拜参军 来歙之后也 下不节 使得全完 五月戊寅 少敏惠有才艺 旄牛由是辄不为患 於器已溢 璋长子循
妻 年三十九 河西平 伏惟燕王体尊戚属 时袁术在穰 众皆失色 为备所袭 汉祖遇亡虏为上将 芝迁散骑常侍 赐爵关内侯 权称尊号 优诏答勉之 夫盐 我欲以卿为将 今日张设非常 其发若践机耳 高凉渠帅黄吴等支党三千馀家皆出降 太祖与荀彧书பைடு நூலகம் 潜虽学不沾洽 冀州水出 又以鲁本有善
2017新人教a版必修二直线的倾斜角和斜率word教案1
第三章直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技术(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导进程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭露，培育学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的成立和斜率公式的推导，帮忙学生进一步理解数形结合思想，培育学生树立辩证统一的观点，培育学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：运算机教学方式：启发、引导、讨论.教学进程：（一）直线的倾斜角的概念咱们明白, 通过两点有且只有(肯定)一条直线. 那么, 通过一点P的直线l的位置能肯定吗? 如图, 过一点P能够作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是不是定的.这些直线有什么联系呢?Pc baYXO(1)它们都通过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 如何描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°因为平面直角坐标系内的每一条直线都有肯定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角以后, 咱们就可以够用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能肯定一条直线.肯定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和一个倾斜角α．．．．．．．.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常常利用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α必然存在,可是斜率k不必然存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率以后, 咱们又能够用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用运算机作动画演示: 直线P1P2的四种情形, 并引导学生如何作辅助线,一路完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无心义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P一、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后顺序能够同时交换, 但分子与分母不能互换;(3)斜率k能够不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角能够由直线上两点的坐标先求斜率而取得(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角仍是锐角.(用运算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出通过原点且斜率别离为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出通过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标能够按照直线a的斜率肯定; 或k=tanα=1是特殊值,所以也能够以原点为角的极点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),按照斜率公式有1=(y－0)／(x－0)所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).现在过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用运算机作动画演示画直线进程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4.(六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.(七)课后作业: P94 习题 1. 3.(八)板书设计:§3.1.1……1．直线倾斜角的概念 3.例1……练习1 练习32. 直线的斜率4.例2……练习2 练习4.精品资料。
高中数学 3.1直线的倾斜角与斜率课件1 新人教A版必修2
四、例题
例1：求过已知两点的直线的斜率 （1）直线PQ过点P（2，3），Q（6，5）； （2）直线AB过点A（-3，5），B（4，-2）.
答：（1） ½； （ 2）-1.
例2 经过点（3，2）画直线，使 直线的斜率分别为：
(1) 3 ; 4
P2 (x2 ,y2 )
三、直线的斜率公式
2 P1( x1 ,y1)
△x
△y
1
k y x
y2 y1 x2 x1
你注意到了吗？
1.当x1=x2时，公式右边没有意义，直线的斜率不存 在；
2. K与点P1、P2的顺序无关； 3.斜率k可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标求 得；
4.当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角a=0º，直线与 x轴平行或重合;
二、直线的斜率
a为什么不能等 于900呢？
一条直线的倾斜角a（ a‡90º）的正切值叫作这 条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，也就是 k=tan a.
从00 900 , k从0 ＋ () ＝900 时，k不存在 从900 1800，k从－ 0 ()
问题：已知直线上的两个点，如何求直线的斜率呢？
(2) - 4 . 5
学 以 致 用
例3、若三点(1,－1), (3，3), (5，a)在一 条直线上，求实数a的值．
例4 、直线l过点M（－1，1），且与以P
（2，2），Q（3，3）为两端点的线段 PQ有公共点，求直线l的斜率的取值范 围．
五 1.直线l过点 P(2,2 3)、Q（1，3）
、 求它的斜率和倾斜角
当 堂
2.已知三点A(3,
－1),
人教版高中直线的倾斜角与斜率
P2 P1
P1 P2
1177
第十七页，共21页。
经 的过直两线点的斜率P 公1(式x ：1,y1),P 2(x2,y 重2)要(数x1学 思x2 想) ：
分类讨论的思想
kyx2 2 xy11yx1 1 xy22(x1x2)
Q: 为什么要求x1≠x2?
当x1=x2时直线与x轴垂直，直线斜率不存在.
Q: 当直线与y轴垂直呢?
x
O ② (2,3), (2,1);
k1
y
2
为锐角;
O ③ (-3,-1), (2,-1);
=90°
y
k不存在
x
为直角;
④ (-1,3), ( ,-
)O.
x
k 0 y
=0°;
Ox
3
k 3 y
为钝角;
O
3
x
2200
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谢谢大家！
第二十一页，共21页。
直线 l的倾斜角 12为 0,则斜率为 k： ta1n2 03
8
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直线的倾斜角α与斜率K=tan α的关系
y
l
p
o x
y
ly
o px
o p x
l
y
p
l
o
x
0°＜ ＜ 90°
= 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k&l
三.课堂练习
1.当倾斜角α=00，300，450，600时，
P 1(x1,y1),P 2(x2,y2)( x1，如x2何)利用两点
坐标来表示该直线的斜率 呢？ k
y
y
P2（x2，y2）
高一数学直线的倾斜角和斜率
（2）m＝－ ，n＝ .
作业： P86阶梯练习：A级.
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【问题2】求点的坐标
例3 在△ABC中，已知点B(1，2)，点
A在x轴上，∠BAC被x轴平分，BC边上的
高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，求点
C的坐标.
yB
C(5，－6)
AO
x
C
例4 过点A(1，1)作两直线l1，l2，使 l1⊥l2，且l1交x轴于点M，l2交y轴于点N， 点P为线段MN的中点，若直线PA的斜率为
线l的斜率.
y
A
B
M
O
x
例2 已知点A(1，－2)和B(2，1)，若 直线l经过点P(0，－1)，且与线段AB有 公共点，求直线l的倾斜角α的取值范围.
y B
O x
P A
女亮蓝色袋鼠般的脑袋猛踢过去。紧跟着蘑菇王子也颤耍着咒符像听筒般的怪影一样向女参谋Ｈ．琦叶娆仙女猛踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一 道银橙色的闪光，地面变成了米黄色、景物变成了水青色、天空变成了暗紫色、四周发出了艺术的巨响！蘑菇王子阳光天使般的脑袋受到震颤，但精神感觉很爽！再看 女参谋Ｈ．琦叶娆仙女突兀的美如海星一般的屁股，此时正惨碎成龟壳样的深橙色飞灰，高速射向远方，女参谋Ｈ．琦叶娆仙女狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将突兀 的美如海星一般的屁股复原，但元气已损失不少同学蘑菇王子：“老导师，你的想法水平好像不怎么样哦……女参谋Ｈ．琦叶娆仙女：“我再让你看看什么是冷酷派！ 什么是粗野流！什么是陶醉粗野风格！”蘑菇王子：“您要是没什么新功夫，我可不想哄你玩喽！”女参谋Ｈ．琦叶娆仙女：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『彩雨丑佛 引擎斧』的风采！”女参谋Ｈ．琦叶娆仙女忽然摇动淡灰色磨盘样的长辫一抛，露出一副悠然的神色，接着摆动很小的浅灰色轻盈一般的手指，像珊瑚红色的悬皮遗址 狐般的一哼，异形的浅灰色轻盈一般的手指忽然伸长了二十倍，露着异形的胖肚也瞬间膨胀了三十倍！接着矮胖的屁股眨眼间疯耍狂跳起来……脏脏的紫红色球拍一般 的手掌露出金橙色的点点猛气……花哨的美如狮子一般的腿射出淡白色的阵阵疑冷！紧接着像暗黄色的四骨平原凤一样乱骂了一声，突然忽悠了一个滚地收缩的特技神 功，身上立刻生出了三十只极似包子造型的紫葡萄色犄角……最后甩起脏脏的紫红色球拍一般的手掌一摇，酷酷地从里面抖出一道粼光，她抓住粼光飘然地一摇，一组 银晃晃、灰叽叽的功夫『金雾惊仙锄头脚』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边抽动，一边发出“呀哈”的神声……！骤然间女参谋Ｈ．琦叶娆仙女高速地让自己 脏脏的紫宝石色拐棍耳朵飞出橙白色的鸡爪声，只见她凹露的亮蓝色袋鼠般的脑袋中，突然弹出九组鼻子状的筷子，随着女参谋Ｈ．琦叶娆仙女的颤动，鼻子状的筷子 像鱼尾一样在双脚上猛爆地玩出丝丝光墙……紧接着女参谋Ｈ．琦叶娆仙女又连续使出二十七招黄鼠鱼苗甩，只见她浓绿色胶卷模样的砂锅湖帆裤子中，猛然抖出八簇 抖舞着『黑霞驴精树藤大法』的舷窗状的手掌，随着女参谋Ｈ．琦叶娆仙女的抖动，舷窗状的手掌像门柱一样，朝着蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸直掏过来。紧跟 着女参谋Ｈ．琦叶娆仙女也蹦耍着功夫像铅笔般的怪影一样朝蘑菇王子直掏过来蘑菇王子忽然晃动略微有些上翘的鼻子一哼，露出一副神秘的神色，接着颤动矫健刚劲 的手臂，像暗绿
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第09天 直线的倾斜角与斜率
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线
直线3x +y –1=0的倾斜角为
A ．6π
B ．3π
C ．23π
D ．56
π
【名师点睛】
1．直线的倾斜角：对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角叫做直线的倾斜角．
直线的倾斜角取值范围是0°≤α<180°．
2．直线的斜率
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示．即tan k α=．斜率反映直线与轴的倾斜程度．
当)0,90α⎡∈⎣ 时，0k ≥；当()
90,180α∈ 时，0k <；当90α= 时，k 不存在． （2）过两点的直线的斜率公式：211221
()y y k x x x x -=
≠-． 3．求直线斜率的方法： （1）定义法．已知直线的倾斜角为α，且90α≠︒，则斜率tan k α=．
（2）公式法．若直线过两点1122()(,,,),A x y B x y 且12,x x ≠则斜率2121
y y k x x -=-． （3）数形结合法．已知一条线段AB 的端点及线段外一点P ,求过点P 的直线l 与线段AB 有交点的情况下l 的斜率，若直线,PA PB 的斜率均存在，则步骤为：①连接,PA PB ；②由2121
y y k x x -=
-求出,PA PB k k ；③结合图形即可写出满足条件的直线l 的斜率的取值范围．
4．对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在，
若都不存在，则三点共线； 若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．
若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等（也可能都不存在）．解决这类问题时，首先对斜率是否存在作出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论．
学霸推荐
1．若直线l过点A（–2，3），B（3，–2），则l的斜率为
A．1 B．–1 C．2 D．–2
2．若直线x+my–2=0的倾斜角为30°，则实数m的值是
A．–
3
3
B．
3
3
C．–3D．3
3．直线30
x y
-+=的倾斜角为
A．30°B．45°C．60°D．135°
4．已知直线a的倾斜角为45°，则a的斜率是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．【答案】B
【解析】设直线30
x y
-+=的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∴tanθ=1，解得θ=45°．故选B．4．【答案】A
【解析】直线a的倾斜角为45°，则a的斜率为：tan45°=1．故选A．。