【全国百强校】最新高三模拟考试数学(理)试题 (7)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(一)(带答案解析)
12．已知函数 ，则满足方程 的实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
13．曲线 在 处的切线斜率为__________.
14．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 __________.
15．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
9．已知圆锥 的高是底面半径的3倍，且圆锥 的底面直径、体积分别与圆柱 的底面半径、体积相等，则圆锥 与圆柱 的侧面积之比为（）.
A． B． C． D．
10．对于集合 ，定义： 为集合 相对于 的“余弦方差”，则集合 相对于 的“余弦方差”为（）
A． B． C． D．
11．已知抛物线 的焦点为 ， 的准线与对称轴交于点 ，直线 与 交于 ， 两点，若 为 的角平分线，且 ，则 ( )
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）射线 与曲线 交于点 （异于原点）、与直线 交于点 ，求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含 ，求 的取值集合.
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由图可先求 ,再根据 求阴影部分的元素个数即可.
3．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质求解即可.
【详解】
∵1, ,4成等比数列,故 ,∴ ,
又∵1,4, 成等比数列,故 ,∴ , .
故选：C
【点睛】
本题主要考查了等比数列中等比中项的运用,属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.
全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(七)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y
全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（七）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 的实部是虚部的两倍，且满足151iz a i++=+，则实数a =（ ）． A ．1-B ．5C ．1D ．92．已知集合{}2|30A x x x =-≤，{}*|23,B x x n n ==-∈N ，则A B ⋂=（ ）． A ．{3,1}--B ．{1,3}C ．{0,1,3}D ．{0,1,2,3}3．已知点(1,1)A ，(1,2)B -，点C 在直线20x y +=上，若AC AB ⊥u u u r u u u r，则点C 的坐标是（ ）．A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．21,55⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知3sin 24tan()θπθ=+，且()k k θπ≠∈Z ，则cos2θ等于（ ）． A ．13-B ．13C ．14-D ．145．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）．A ．1B ．12C ．56D ．37666．我国法定劳动年龄是16周岁至退休年龄（退休年龄一般指男60周岁，女干部身份55周岁，女工人50周岁）．为更好了解我国劳动年龄人口变化情况，有关专家统计了2010~2025年我国劳动年龄人口和15~59周岁人口数量（含预测），得到下表：其中2010年劳动年龄人口是9.20亿人，则下列结论不正确的是（ ）． A ．2012年劳动年龄人口比2011年减少了400万人以上 B ．2011~2018这8年15~59周岁人口数的平均数是9.34亿C ．2016~2018年，15~59周岁人口数每年的减少率都小于同年劳动人口每年的减少率D ．2015~2020年这6年15~59周岁人口数的方差小于这6年劳动人口数的方差7．已知直线:0l kx y +-=与双曲线222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为43，则双曲线C 的焦距为（ ）．A ．4B ．6C ．D ．88．已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．69．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈．问积几何？”题中的“圆亭”是一个几何体，其三视图如图所示，其中正视图和侧视图是高为1丈的全等梯形，俯视图中的两个圆的周长分别是2丈和3丈，取3π=，则该圆亭外接球的球心到下底面的距离为（ ）．A ．512丈 B ．1736丈 C ．2972丈 D ．3172丈10．若函数()2sin(2)02f x x πϕϕ⎫=-+<<⎪⎭在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ϕ的取值范围是（ ）． A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．已知函数()f x 是R 上的函数，当0x ≥时，2211()log log 12x f x x +=⋅+．若()02f x =，则0x =（ ）． A ．12或3- B ．1或12-C ．3-D ．1-12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，点F 是AD 上一点，12AB AA ==，3BC =，1AF =．动点P 在上底面1111A B C D 上，且满足三棱锥P BEF -的体积等于1，则直线CP 与1DD 所成角的正切值的最大值为（ ）．ABCD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知实数x ，y 满足约束条件2201040x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则4x y +的最大值为 ．14．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有 种．（用数字作答）15．在ABC △中，3cos cos c A a C =，且sin sin 3sin a A c C B -=，则b = ．16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c，直线0x -=与C 相交于A 、B 两点．若0AF BF ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．在等差数列{}n a 中，39a =，56248a a +=．各项均为正数的等比数列{}n b 的首项为1，其前n 项和为n S ，且2319a S +=． （1）求n a 与n b ；（2）设数列{}n c 满足132log n n n n c c a b +-=-，11c =，求12111na c c c +++…． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，2CD AB ==，2AD =，E 是BC 上一点，且3BC BE =．（1）求证：BC ⊥平面PDE ；（2）F 是PA 的中点，若二面角A BC P --的平面角的正切值为2，求直线CF 与平面PEF 所成角的正弦值．19．秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市50%的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：（1）环保部门对企业抽查评估完成后，随机抽取了50家企业的评估得分（40≥分）为样本，得到如下频率分布表： 其中a、b 表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是73.6．现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取3个，若以样本中频率为概率，求至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率； （2）某企业为取得一个好的得分，在评估前投入80万元进行技术改造，由于技术水平问题，被评定为“合格”“良好”和“优秀”的概率分别为16，12和13，且由此增加的产值分别为20万元，40万元和60万元．设该企业当年因改造而增加的利润为X 万元，求X 的数学期望．20．直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点． （1）设点M 在第一象限，过M 作抛物线C 的准线的垂线，A 为垂足，且1tan 2MFA ∠=，直线1l 与直线l 关于直线AM 对称，求直线1l 的方程；（2）过F 且与l 垂直的直线2l 与圆22:(3)3D x y -+=交于P ，Q 两点，若MPQ △与NPQ △面积之和为k 的值． 21．设函数2()1xf x ekx =--，k ∈R ．（1）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对(0,)x m ∀∈，都有|()|2f x x >，求实数k 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程是32sin 00,04a πρθθρ⎛⎫+=≤≤≥ ⎪⎝⎭，直线l 的参数方程是3545x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）若2a =-，M 是圆C 上一动点，求点M 到直线l 的距离d 的最小值和最大值； （2）直线1l 与l 关于原点对称，且直线1l 截曲线C的弦长等于，求实数a 的值． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1||24|f x x x =+--．（1）若关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）设{}2min (),65f x x x -+表示()f x ，265x x -+二者中较小的一个，若函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<，求函数()g x 的值域．2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1．A 本题考查复数的概念和运算．15321iz a a i i+=-=-++，由题意得1a =-． 2．B 本题考查集合的运算．∵{|03}A x x =≤≤，{1,1,3,5,}B =-…，∴{1,3}A B ⋂=．3．D 本题考查向量的坐标运算．设点(2,)C m m -，则(21,1)AC m m ==---u u u r ，∵(2,1)AB =-u u u r，AC AB ⊥u u u r u u u r ，∴142105m m m ++-=⇒=-，∴C 的坐标是21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 4．B 本题考查余弦的倍角公式．由已知得22cos 3θ=，∴21cos22cos 13θθ=-=． 5．D 本题考查程序框图．12S =，1i =；56S =，2i =；3766S =，3i =，结束循环，输出S 的值．6．C 本题考查统计知识．2012年劳动年龄人口数比2011减少了460万人，故A 项正确；通过计算可判断B 项正确；C 项不正确，计算后即可判断，应该是大于；D 项正确，由图得15~59周岁人口数减幅比较小，而劳动人口数的减幅比较大．7．B 本题考查双曲线的性质．设直线l 与渐近线0bx y -=平行，∵l过点，43=，解得28b =，∴29c =，双曲线C 的焦距为6．8．A 本题考查导数的几何意义的应用．∵1()1f x x'=-，∴()1111f x x '=-，()2211f x x '=-，则1211111x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()1212210x x x x +-+=，∵1212x x =，∴122x x +=． 9．D 本题考查数学史和三视图．由三视图可得，该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为13丈和12丈，高为1丈．设球心到下底面的距离为x 丈，则222211(1)23x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3172x =． 10．C 本题考查三角函数的性质．()2sin(2)f x x ϕ=-+，则当,424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,212x ππϕϕϕ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，∵02πϕ<<，又()f x 在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，∴223123ππϕππϕ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得5612ππϕ≤≤． 11．C 本题考查函数的奇偶性的应用．当0x >时，2log (1)0x +>，∴[]222211()log (1)log (1)1log (1)224f x x x x ⎡⎤=-++-=-+-+<⎢⎥⎣⎦，∴00x <．当0x >时，由()2f x =-，得2log (1)2x +=或1-，得3x =或12x =-（舍去），∵函数()f x 是奇函数，∴03x =-． 12．A 本题考查立体几何的综合应用．在底面ABCD 上取一点H ，使得三棱锥H BEF -的体积等于1，即三棱锥E BFH -的体积等于1，由已知条件得132BHF S S ==△下底面，∴H 与C 重合，过C 作CM FE ∥，且交11B C 于M ，则11113B M B C =，过M 作MN BF ∥，且交11A D 于N ，则11113D N A D =．连接CN ，则平面CMN ∥平面BEF ，∴当点P 在MN 上运动时，满足三棱锥P BEF -的体积等于1，又直线CP 与1DD 所成角就是直线CP 与1CC 所成角，即111tan C PC CP CC ∠=为所求，∴当点P 与N 重合时，1C P 取最，即1max tan C CP ∠=．13．10 本题考查线性规划的应用．根据约束条件画出可行域（图略），当取直线220x y -+=和40x y +-=的交点(2,2)时，4x y +取最大值10．14．144 本题考查排列组合．先把两本数学书不分开放入该层，有1282C A 种摆放方法，再把化学书放入，有19C 种摆放方法，故共有121829144C A C =种摆放方法．15．6 本题考查解三角形．由余弦定理得()22222233cos cos b c a a b c c A a C bb+-+-=⇒=，即22212a cb -=①．由正弦定理得22sin sin 3sin 3a Ac C B a c b -=⇒-=②．由①②得6b =．162本题考查椭圆的离心率，设()00,A y ，∵0AF BF ⋅=u u u r u u u r ，即AF BF ⊥u u u r u u u r ，∴||||OF OA =u u u r u u u r ，则2228y y c +=，即229y c =①，又22002281y y a b+=，∴2220228a b y b a =+②，由①②得422481890c a c a -+=，即4281890e e -+=，234e =或232e =（舍去），解得2e =17．解：本题考查等差数列、等比数列和裂项求和．（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则0q >，∵39a =，56248a a +=，∴2(92)9348d d +++=，得3d =，∴236a a d =-=， ∵2319a S +=，∴22390q q --=， 又0q >，解得3q =，∴3d =，3n a n =，13n n b -=．（2）由（1）得132log 3(21)1n n n n c c a b n n n +-=-=--=+， ∴()()()112211(1)122n n n n n n n c c c c c c c c n ---+-+-++-+=+++==……， ∴12112(1)1n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则1112331na c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴121111111162122333131n c n c c c n n n ⎛⎫+++=-+-++-= ⎪++⎝⎭……． 18．解：本题考查线面垂直、二面角角以及线面角． （1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥．过E 作EG CD ⊥，垂足为G，∵2CD AB ==2AD =，3BC BE =，∴2433EG AD ==，3DG =，3CG =， ∴22222228DE CE EG DG CG CD +=++==，即CE DE ⊥， ∵PD DE D ⋂=，∴BC ⊥平面PDE ． （2）由（1）得BC ⊥平面PDE ． ∴PED ∠是二面角A BC P --的平面角． ∵PD ⊥底面ABCD，3DE ==，∴tan 2PD PED DE ∠==，则2PD =． 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，B，C，4,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)P ，(1,0,1)F ，∴(1,0,1)PF =-u u u r，4,233PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，(1)FC =--u u ur ． 设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =r，则00PF P n n E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u r r，∴042033x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =，则4n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，∴|cos ,|F n C 〈〉==u r u ur ∴直线CF 与平面PEF19．解：本题考查概率与统计． （1）∵样本评估得分的平均数是73.6，∴450.04550.106575850.20950.1273.6a b ⨯+⨯+++⨯+⨯=， 即657537.9a b +=①，又0.54a b +=②，由①②解得0.26a =，0.28b =，则企业评估得分不少于70分的频率为0.6，∴至少有两家企业的奖励不少于40万元的概率232332381555125P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）依题意，X 的可能取值为60-，40-，20-，0，60，且该企业被抽中的概率为12，则 111(60)2612P X =-=⨯=，11111(40)26223P X =-=⨯+⨯=，111(20)236P X =-=⨯=，111(0)224P X ==⨯=， 111(60)236P X ==⨯=，X 的分布列为∴135()60(40)(20)060123663E X =-⨯+-⨯+-⨯++⨯=-．20．解：本题考查抛物线概念及其与直线的位置关系． （1）设抛物线C 的准线与x 轴的交点为B ，根据抛物线的定义得||||MA MF =，则MAF MFA ∠=∠．∵MAF AFB ∠=∠，1tan 2MFA ∠=，||2BF =， ∴||||tan 1AB BF AFB =∠=，4tan 3BFM ∠=，∴点M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线MN 的斜率为43-， ∵直线1l 与直线l 关于直线AM 对称， ∴直线1l 的方程为41134y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4320x y -+=． （2）设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=， 令()11,M x y ，()22,N x y ，则12242x x k+=+，121x x ⋅=，2244||k MN k +==． ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=， ∴圆心(3,0)D 到直线PQ=，∵圆D ，∴||PQ ==，∴MPQ △与NPQ △面积之和221144||||22k S MN PQ k +==⋅=∵直线PQ 与圆D 有两个交点，∴1(k -∈，且10k -≠， 令21t k =，则(0,3)t ∈，由S ==2t =或0t =（舍去），∴212k =，得2k =±． 21．解：本题考查导数的综合应用．（1）由2()1x f x e kx =--，得2()2x f x e k '=-，∵(0,)x ∈+∞，∴222x e >，当2k >时，由2()20x f x e k '=->，得1ln 22k x >，即函数()f x 在1ln ,22k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由()0f x '<，得10ln 22k x <<，即函数()f x 在10,ln 22k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2k ≤，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）当2k >时，由（1）结合函数()f x 图象知，00x ∃>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，则由|()|2f x x >得2(2)10x k x e -+->． 设2(2)10x k x e-+->，2()(2)1x t x k x e =-+-， 令()0t x '>得12ln 22k x -<，令()0t x '<得12ln 22k x ->． 若24k <≤，则12ln 022k -≤，∵()0120,ln ,22k x -⎛⎫⊆+∞ ⎪⎝⎭，∴()t x 在()00,x 上单调递减，注意到(0)0t =，∴对任意()00,x x ∈，()0t x <，与题设不符；若4k >，则12ln 022k ->，12120,ln ,ln 2222k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()t x 在120,ln 22k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(0)0t =，∴对任意120,ln22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0t x >符合题意．此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意(0,)x m ∈，都有()|2f x x >． 综上所述，k 的取值范围为(4,)k ∈+∞．22．解：本题考查直线和圆的极坐标与参数方程．（1）当2a =-时，由34sin 004πρθθ⎛⎫+=≤≤ ⎪⎝⎭，得曲线C 是圆2240x y y +-=的34部分，如图所示，将直线l 的直角坐标方程化为4380x y ++=，由图得，当M 与(1,1)A -重合时，d 取最小值75； 又曲线C 的圆心(0,2)到直线l 的距离为145，半径1r =， ∴max 1419155d =+=． （2）∵曲线222:()C x y a a ++=，直线:4340l x x a ++=，∴圆心C 到直线的距离|34|||55a a a d -+==．∵由圆C 的半径为||a ，直线l 截圆C 的弦长等于，∴=，即||5a =52a =±． 经检验52a =±均合题意，∴52a =±． 23．解：本题考查绝对值不等式．（1）由()|1||1|f x m x ≤+-+，得|22||24||1|x x m +--≤+， ∵关于x 的不等式()|1||1|f x m x ≤+-+的解集为R ，∴|22||24||1|x x m +--≤+对任意x ∈R 恒成立，∵|22||24||(22)(24)|6x x x x +--≤+--=，∴|1|6m +≥，解得7m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是(,7][5,)-∞-⋃+∞．（2）5,1()33,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，设2165y x x =-+，在同一平面直角坐标系作出函数()y f x =和2165y x x =-+的图象，∵函数{}2()min (),65(06)g x f x x x x =-+≤<，∴函数()y g x =的图象是图中的实线部分，则当3x =时，()g x 取最小值4-；当1x =或5时，()g x 取最大值0． ∴函数()g x 的值域为[4,0]-．。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2016-2017学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,则集合等于（）A. B. C. D.【解析】D【解析】,选D.2. ,若,则等于（）A. B. C. D.【解析】A【解析】设,则,选A.点睛:本题重点考查复数地基本运算和复数地概念,属于基本题.首先对于复数地四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数地实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列,若,且,则此数列地前5项和等于（）A. B. 41 C. D.【解析】A【解析】因为,所以,选A.4. 已知、分别是双曲线地左、右焦点,以线段为边作正三角形,如果线段地中点在双曲线地渐近线上,则该双曲线地离心率等于（）A. B. C. D.2【解析】D【解析】由题意得渐近线斜率为,即,选D.5. 在中," "是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】B【解析】时,,所以必要性成立；时,,所以充分性不成立,选B.6. 已知二次函数地两个零点分别在区间和内,则地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】A学|科|网...【解析】由题意得,可行域如图三角形内部（不包括三角形边界,其中三角形三顶点为）:,而,所以直线过C取最大值,过B点取最小值,地取值范围是,选A.点睛:线性规划地实质是把代数问题几何化,即数形结合地思想.需要注意地是:一,准确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应地直线时,要注意与约束条件中地直线地斜率进行比较,避免出错；三,一般情况下,目标函数地最大或最小值会在可行域地端点或边界上取得.7. 如图,一个简单几何体地正视图和侧视图都是边长为2地等边三角形,若该简单几何体地体积是,则其底面周长为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意,几何体为锥体,高为正三角形地高,因此底面积为,即底面为等腰直角三角形,直角边长为2,周长为,选C.8. 20世纪30年代,德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想:任给一个正整数 ,如果是偶数,就将它减半；如果是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样地运算,经过有限步后,一定可以得到1,这就是著名地""猜想.如图是验证""猜想地一个程序框图,若输出地值为8,则输入正整数地所有可能值地个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【解析】B【解析】由题意得；,因此输入正整数地所有可能值地个数为4,选B.9. 地展开式中各项系数地和为16,则展开式中项地系数为（）A. B. C. 57 D. 33【解析】A【解析】由题意得,所以展开式中项地系数为,选A.点睛:求二项展开式有关问题地常见类型及解题策略(1)求展开式中地特定项.可依据条件写出第项,再由特定项地特点求出值即可.(2)已知展开式地某项,求特定项地系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第项,由特定项得出值,最后求出其参数.10. 数列为非常数列,满足:,且对任何地正整数都成立,则地值为（）A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【解析】B【解析】因为,所以,即,所以,叠加得,,,即从第三项起成等差数列,设公差为 ,因为,所以解得,即,所以 ,满足,,选B.11. 已知向量满足,若,地最大值和最小值分别为,则等于（）A. B. 2 C. D.【解析】C【解析】因为所以；因为,所以学|科|网...地最大值与最小值之和为,选C.12. 已知偶函数满足,且当时,,关于地不等式在上有且只有200个整数解,则实数地取值范围是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】因为偶函数满足,所以,因为关于地不等式在上有且只有200个整数解,所以关于地不等式在上有且只有2个整数解,因为,所以在上单调递增,且,在上单调递减,且,因此,只需在上有且只有2个整数解,因为,所以,选C.点睛:对于方程解地个数(或函数零点个数)问题,可利用函数地值域或最值,结合函数地单调性、草图确定其中参数范围．从图象地最高点、最低点,分析函数地最值、极值；从图象地对称性,分析函数地奇偶性；从图象地走向趋势,分析函数地单调性、周期性等．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将解析填在答题纸上13. 为稳定当前物价,某市物价部门对本市地5家商场地某商品地一天销售量及其价格进行调查,5家商场商品地售价元和销售量件之间地一组数据如下表所示:价格8.599.51010.5销售量1211976由散点图可知,销售量与价格之间有较好地线性相关关系,其线性回归方程是,则__________．【解析】39.4【解析】点睛:函数关系是一种确定地关系,相关关系是一种非确定地关系.事实上,函数关系是两个非随机变量地关系,而相关关系是非随机变量与随机变量地关系.如果线性相关,则直接根据用公式求,写出回归方程,回归直线方程恒过点.14. 将函数地图象向右平移个单位（）,若所得图象对应地函数为偶函数,则地最小值是__________．【解析】【解析】向右平移个单位得为偶函数,所以,因为,所以学|科|网...点睛:三角函数地图象变换,提倡"先平移,后伸缩",但"先伸缩,后平移"也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 已知两平行平面间地距离为,点,点,且,若异面直线与所成角为60°,则四面体地体积为__________．【解析】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE,取,则16. 已知是过抛物线焦点地直线与抛物线地交点,是坐标原点,且满足,则地值为__________．【解析】【解析】因为,所以因此,所以因为,所以,因此三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图,已知关于边地对称图形为,延长边交于点,且,.（1）求边地长；（2）求地值.【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出,最后根据角平分线性质定理得边地长；（2）先由余弦定理求出,再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求地值.试卷解析:解:（1）因为,所以,所以．因为,所以,所以,又,所以．（2）由（1）知,所以,所以,因为,所以,所以．学|科|网...18. 如图,已知圆锥和圆柱地组合体（它们地底面重合）,圆锥地底面圆半径为,为圆锥地母线,为圆柱地母线,为下底面圆上地两点,且,, .（1）求证:平面平面；（2）求二面角地正弦值．【解析】（1）见解析（2）【解析】试卷分析:（1）先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面,即有,最后根据线面垂直判定定理得平面,即得平面平面；（2）求二面角,一般利用空间向量进行求解,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试卷解析:解:（1）依题易知,圆锥地高为,又圆柱地高为,所以,因为,所以,连接,易知三点共线,,所以,所以,解得,又因为,圆地直径为10,圆心在内,所以易知,所以．因为平面,所以,因为,所以平面．又因为平面,所以平面平面．（2）如图,以为原点,、所在地直线为轴,建立空间直角坐标系．则．所以,设平面地法向理为,所以,令,则．可取平面地一个法向量为,所以,所以二面角地正弦值为．19. 如图,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶,他们规定从平地开始,每次划拳赢地一方登上一级台阶,输地一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶地奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳地次数为．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶地概率；（2）求地分布列和数学期望．【解析】（1）（2）学|科|网...【解析】试卷分析:（1）根据等可能性知每次赢、平、输地概率皆为．再分两种情况分别计数:一种是小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,逆推确定事件数及对应划拳地次数,最后利用互斥事件概率加法公式求概率,（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试卷解析:解:（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个,其中小华赢（或输）包含三个基本事件上,他们平局也为三个基本事件,不妨设事件"第次划拳小华赢"为；事件"第次划拳小华平"为；事件"第次划拳小华输"为,所以．因为游戏结束时小华在第2个台阶,所以这包含两种可能地情况:第一种:小华在第1个台阶,并且小明在第2个台阶,最后一次划拳小华平；其概率为,第二种:小华在第2个台阶,并且小明也在第2个台阶,最后一次划拳小华输,其概率为所以游戏结束时小华在第2个台阶地概率为．（2）依题可知地可能取值为2、3、4、5,,,,所以地分布列为:2345所以地数学期望为:．20. 如图,已知为椭圆上地点,且,过点地动直线与圆相交于两点,过点作直线地垂线与椭圆相交于点．（1）求椭圆地离心率；（2）若,求．【解析】（1）（2）【解析】试卷分析:（1）根据题意列方程组:,解方程组可得,,再根据离心率定义求椭圆地离心率；（2）先根据垂径定理求圆心到直线地距离,再根据点到直线距离公式求直线AB地斜率,根据垂直关系可得直线PQ地斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试卷解析:解:（1）依题知,解得,所以椭圆地离心率；（2）依题知圆地圆心为原点,半径为,所以原点到直线地距离为,因为点坐标为,所以直线地斜率存在,设为．所以直线地方程为,即,所以,解得或．①当时,此时直线地方程为,所以地值为点纵坐标地两倍,即；②当时,直线地方程为,将它代入椭圆地方程,消去并整理,得,设点坐标为,所以,解得,所以．点睛:有关圆锥曲线弦长问题地求解方法涉及弦长地问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点地弦地问题,可考虑用圆锥曲线地定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 已知函数,其中为自然对数地底数．（参考数据:）（1）讨论函数地单调性；（2）若时,函数有三个零点,分别记为,证明:．【解析】（1）见解析（2）见解析【解析】试卷分析:（1）先求函数导数,根据参数a讨论:当时,是常数函数,没有单调性．当时,先减后增；当时,先增后减；（2）先化简方程,整体设元转化为一元二次方程:．其中,再利用导数研究函数地图像,根据图像确定根地取值范围,进而可证不等式.试卷解析:解:（1）因为地定义域为实数,所以．①当时,是常数函数,没有单调性．②当时,由,得；由,得．所以函数在上单调递减,在上单调递增．③当时,由得,；由,得,学|科|网...所以函数在上单调递减,在上单调递增．（2）因为,所以,即．令,则有,即．设方程地根为,则,所以是方程地根．由（1）知在单调递增,在上单调递减．且当时,,当时,,如图,依据题意,不妨取,所以,因为,易知,要证,即证．所以,又函数在上单调递增,所以,所以．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线地倾斜角为,且经过点,以坐标系地原点为极点,轴地非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线地极坐标方程为,直线与曲线相交于两点,过点地直线与曲线相交于两点,且．（1）平面直角坐标系中,求直线地一般方程和曲线地标准方程；（2）求证:为定值．【解析】（1）,（2）【解析】试卷分析:（1）根据点斜式可得直线地一般方程,注意讨论斜率不存在地情形；根据将曲线地极坐标方程化为直角坐标方程,配方化为标准方程.（2）利用直线参数方程几何意义求弦长:先列出直线参数方程,代入圆方程,根据及韦达定理可得,类似可得,相加即得结论.试卷解析:解:（1）因为直线地倾斜角为,且经过点,当时,直线垂直于轴,所以其一般方程为,当时,直线地斜率为,所以其方程为,即一般方程为．因为地极坐标方程为,所以,因为,所以．所以曲线地标准方程为．（2）设直线地参数方程为（为参数）,学|科|网...代入曲线地标准方程为,可得,即,则,所以,同理,所以．23. 选修4-5:不等式选讲已知实数满足．（1）求地取值范围；（2）若,求证:．【解析】（1）（2）见解析【解析】试卷分析:（1）因为,所以,又,即得地取值范围；（2）因为,而,即证.试卷解析:解:（1）因为,所以．①当时,,解得,即；②当时,,解得,即,所以,则,而,所以,即；（2）由（1）知,因为当且仅当时取等号,所以．。
高三第三次模拟考试数学(理)试题解析(解析版)
一、填空题：1.已知集合{}B=，则A B=1,2,3,4|12A x x=≤≤，{}I▲．【答案】{1,2}2.已知复数z满足i1iz⋅=+（i是虚数单位），则z=▲．【答案】1i-3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为▲．【答案】154.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为▲．【答案】35.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为▲．6.一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ▲ ． 【答案】227.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程 为 ▲ ． 【答案】221y x -=8.已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()2,+∞9.已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ▲ ． 【答案】810.在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-u u u r u u u r，则||CD =u u u r ▲ ．【答案】1011.已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f = ▲ ．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】22,22⎡-⎣13.设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则 数列{b n }的公比为 ▲ ． 【答案】322+14.在△ABC 中，BC 2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点 在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ▲ ． 【答案】3二、解答题：15.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】16.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=u u u r u u u r．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()3sin cos cos f B B B B =+的值域． 【答案】（1）2232a c +=,（2）31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．17.某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆 弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大．【答案】（1）()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈,（2）当π6θ=时，绿化带总长度最大．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，7AB CD+=．（1）求椭圆的方程；（2）求AB CD+的取值范围．【答案】（1）22143yx+=，（2）48[,7]7．19.已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值． （1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值； 若不存在，说明理由．【答案】（1）2a =,（2）满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．20.各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++L ，12111n nT a a a =+++L ，且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【答案】（1）详见解析，（2）{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）．21.A选修4—1：几何证明选讲如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，//EF CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．【答案】详见解析21.B选修4—2：矩阵与变换若矩阵12a⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M把直线:20l x y+-=变换为另一条直线:40l x y'+-=，试求实数a值．【答案】3a=．21.C选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为2220+-=，若直线x y xl与曲线C相交于A，B两点，求PA PB⋅的值．【答案】121.D 选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．【答案】详见解析22.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=u u u u r u u u r，PM PN +=0u u u u r u u u r ． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证：1202k k k +=． 【答案】（1）24y x =，（2）详见解析.考点：轨迹问题的求解方法、直线和抛物线方程的位置关系23.各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.。
2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷(一)模拟测试数学(理)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（一）模拟测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|24,}A x x x =-≤≤∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A ．{0,2,4}B ．{2,0,2,4}-C ．{2,2,4}-D ．{2,4}【答案】B【解析】注意集合B 是偶数集. 【详解】由题可知{2,0,2,4}A B ⋂=-． 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 2．设复数2z ai =+，若z z =，则实数a =（ ） A ．0 B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【解析】利用共轭复数及复数相等的定义即可得到答案. 【详解】因为z z =，所以22ai ai +=-，解得0a =． 故选：A. 【点睛】本题考查复数的概念，考查学生的基本运算能力，是一道容易题. 3．设命题p ：存在3,3a a a ∈>R ，则p ⌝为（ ） A ．存在3,3a a a ∈≤R B ．不存在3,3a a a ∈>R C ．对任意3,3a a a ∈≤R D ．对任意3,3a a a ∉≤R【答案】C【解析】,()x M p x ∃∈的否定为,()x M p x ∀∈⌝. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，知“存在3,3a a a ∈>R ”的否定为“对任意3,3a a a ∈≤R ”.故选：C. 【点睛】本题考查含量词命题的否定，考查学生对特称命题否定的理解，只需将存在改为任意，“>”改为“≤”即可. 4．222cos cos 105ππθθ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．12B ．2C ．1D ．32【答案】C 【解析】注意到2()5210πππθθ-=-+，结合同角三角函数的基本关系即可得到答案. 【详解】22222cos cos cos cos 10510210πππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22cos sin 11010ππθθ⎛⎫ ⎪⎝⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭⎭.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，涉及到配角的知识，是一道容易题.5．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】D【解析】由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用运算法则可知32lg 2lg 3n ≥⨯-，由此计算得到结果. 【详解】记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为43a ，“二次构造”后的折线长度为243a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43na ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003na a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即410003n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333nn n n ⎛⎫∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，即324.0220.30100.4771n ≥≈⨯-，∴至少需要25次构造.故选：D . 【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.6．已知直线10ax y +-=将圆22:(1)(2)4C x y -++=平分，则圆C 中以点,33a a ⎛⎫-⎪⎝⎭为中点的弦的弦长为（ ）.A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由直线平分圆可知其过圆心，从而求得a ，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定理求得半弦长，进而得到弦长. 【详解】直线10ax y +-=平分圆C ，∴直线10ax y +-=过圆C 的圆心()1,2C -，210a ∴--=，解得：3a =，∴圆心()1,2C -到点,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1=，∴所求弦长为=.故选：C . 【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连线垂直于弦.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③43f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】依次对①②③进行验证即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，①正确；令()0f x =，得0x =或sin 0x =，解得0x =或x π=±，②正确：因为42483236f f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯=<=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以③正确． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的基本性质，涉及到函数的奇偶性、函数的零点、函数值大小，是一道容易题.8．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2p y =-与C 交于A ，B 两点，若||AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】注意到直线2py =-过点H ，利用||||AM AH =tan AHM ∠=||AH =||2AM =，再利用抛物线的定义即可得到答案. 【详解】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直 线32p y x =-过点H ，tan 3,3AHM AHM π∠=∠=，则||3,||2AM AH =又43||3AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到利用抛物线的定义求焦半径，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、多选题9．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】ABC【解析】根据统计图表分别对选项A 、B 、C 、D 验证即可. 【详解】私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2016年，A 错误；这5次统计的公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，B 错误； 因为4.914.121.43044.723.025++++=，故C 项错误，D 项显然正确． 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表与用样本估计总体，涉及到中位数、平均数等知识，是一道基础题. 10．若1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈，则（ ）A ．01a =B ．00a =C ．10012103a a a a ++++=D ．012103a a a a ++++=【答案】AC【解析】根据选项的特点，采用赋值法求解. 【详解】 因为1021001210(21),x a a x a x a x x R +=+++∈，令0x =得01a =，故A 正确. 令1x =得10012103a a a a ++++=，故C 正确.故选:AC 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值法，属于中档题.，11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，13AA =，则（ ）A ．异面直线1AB 与11B D 所成角的余弦值为225B ．异面直线1A B 与11B D 所成角的余弦值为35C ．1//A B 平面11BD C D ．点1B 到平面11BD A 的距离为125【答案】ACD【解析】根据11//A B D C ，得到11B D C ∠即为 异面直线1A B 与11B D 所成角，再用余弦定理求解判断A ，B 的正误.根据11//A B DC ;利用线面平行的判定定理判断.C 的正误..利用等体积法，有111111B A BD B A BD V V --= 计算判断D 的正误. 【详解】因为11//A B D C ，所以11B D C ∠即为 异面直线1A B 与11B D 所成角， 又因为111142,5,5B D D C B C === ，所以222111111111c 22os 25B D DC B C BD C B D D C +-∠==⨯，故A 正确.因为111//,A B D C A B ⊄平面11B D C 1D C ⊂平面11B D C ， 所以1//A B 平面11B D C ，故C 正确.因为111111B A B D B A BD V V --= ， 即1111111111113232A B A D B B A B A D h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ， 解得125h =，故D 正确. 故选:ACD 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，线面平行的判定定理，等体积法求三棱锥的高，综合性强，属于中档题.12．已知ln 2,0()12,02x x x f x x ->⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在实数m 满足()12(())12f m f f m ++=，则（ ）A ．()0f m ≤B ．()f m 可能大于0C ．(,1]m ∈-∞-D ．(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦【答案】AD【解析】若()0f m >，()1ln[()]2()22f m f m f m -<<-，不满足题意；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解不等式()0f m ≤即可.【详解】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-． 若()0f m >，则()1ln[()]222f m f m -=-，∵ln 1x x ≤-，2x x >， ∴ln 23x x -≤-，112122x xx -<-<-，∴1ln 23122xx x x -≤-<-<-，∴方程无解；若()0f m ≤，2(())1f f m +()12(2)+1=2f m =-()12f m +，故只需解()0f m ≤即可， 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，由()ln 20f m m =-≤，解得20e m <≤．综上所述，当(2(,1]0,e m ⎤∈-∞-⋃⎦时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=． 故选：AD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合，涉及到分类讨论思想在分段函数中的应用，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.三、填空题13．曲线1()e xf x x=+在1x =处的切线斜率为_________． 【答案】e 1-【解析】利用导数的几何意义即可解决. 【详解】∵21()e xf x x '=-，∴'(1)e 1f =-．由导数的几何意义知曲线1()e x f x x=+在1x =处的切线斜率为e 1-． 故答案为：e 1- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道基础题. 14．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若12AF AB nAD =+，则n =_________．【答案】34【解析】1()2AF AD AE =+，将12=+=+AE AB BE AB AD 代入即可得到答案.【详解】连接AE ，11113()22224AF AD AE AD AB AD AB AD ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭， 则34n =． 故答案为：34. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生简单的数学运算能力，是一道容易题.15．已知双曲线222:1(0)4x y C b b-=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，则双曲线C 的焦距为__________.【答案】【解析】设()00,P x y ，利用斜率乘积为1和P 在双曲线上可构造方程组求得2b ，进而得到2c ，求得焦距. 【详解】由双曲线方程知：()2,0A -，()2,0B ， 设()00,P x y ，则200020001224PA PBy y y k k x x x ⋅=⋅==+--，即2204x y -=，又2200214x y b-=，24b ∴=，2228c a b ∴=+=，∴双曲线C 的焦距为2c =.故答案为：【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.四、双空题16．已知圆锥SC 的底面半径、高、体积分别为2、3、V ，圆柱OM 的底面半径、高、体积分别为1、h 、V ，则h =_________，圆锥SC 的外接球的表面积为_________． 【答案】41699π【解析】利用圆锥和圆柱的体积相等可得圆柱的高h ，再利用勾股定理，即222(3)2R R -+=即可得到半径R ，从而求得外接球表面积.【详解】依题有221231,3V h ππ=⨯⨯=⨯⋅解得4h =．设圆锥SC 的外接球的半径为R ，则有222(3)2R R -+=，解得136R =，则圆锥SC 的外接球的表面积为213169469ππ⎛⎫=⎪⎝⎭． 故答案为： (1) 4 ； (2) 1699π. 【点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积以及圆锥的外接球问题，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.五、解答题17．在①34b a =，②333a b =，③224a b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再判断{}n c 是否是递增数列，请说明理由．已知{}n a 是公差为1的等差数列，{}n b 是正项等比数列，111a b ==，__________，*()n n n c a b n =∈N ．判断{}n c 是否是递增数列，并说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】见解析【解析】只需分别对所选番号进行等差、等比数列基本量的运算，得到n c ，再作商1n n c c +与1比较大小即可. 【详解】因为{}n a 是公差为1，首项为1的等差数列，所以11n a n n =+-=． 设{}n b 的公比为q ，若选①，由34b a =，得11344,2,2,2n n n n b a q b c n --=====⋅，1121(1)22(1)n n n n c n n c n n -+⋅==<+⋅+，则1n n c c +<，所以{}n c 是递增数列． 若选②，由3333a b ==，得31,1,1,n n b q b c n ====， 则11n n c n c n +=<=+，所以{}n c 是递增数列． 若选③，由2242a b ==，得211111,,,2222n n n n nb q bc --====， 11221(1)21n n n n c n nc n n -+⋅==+⋅+，则1n n c c +≥，所以{}n c 不是递增数列．【点睛】本题考查等差、等比数列的基本量的计算，是一道开放性试题，属于容易题. 18．已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，21sin cos 22A A A π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ，周长为3a ，求a 的值． 【答案】（1）3π（2）1a = 【解析】（1）21sin cos 22A A A π⎛⎫-=+⇒ ⎪⎝⎭22cos 1cos221222A A A +==+⇒sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭解方程即可；（2）由1sin 2ABC S bc A ==△可得a bc =，由余弦定理以及周长为3a ，联立解方程组即可. 【详解】（121sin cos 22A A A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以22cos 1cos221222A AA +==+，即sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以2,623A A πππ-==．（2）因为1sin 2ABC S bc A ===△，所以a bc =． 又因为2222222cos()3,33a b c bc b c bc b c bc a b c a π=+-=+-=+-++=，所以222,43b c a a a a +==-，解得1a =或0a =（舍），故1a =． 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==．（1）证明：AM ⊥平面ABCD ．（2）若E 是BM 的中点，CD ∥,2AB CD AB =，求平面ECD 与平面ABM 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）55【解析】（1）要证AM ⊥平面ABCD ，只需证AD AM ⊥，AB AM ⊥即可； （2）分别求出平面ECD 与平面ABM 的法向量,m n ，然后利用||cos ||||m n m n θ⋅=⋅计算即可. 【详解】（1）因为2228AB AM BM +==，所以AB AM ⊥， 同理2228AD AM DM +==可得AD AM ⊥． 因为AD AB A ⋂=，所以AM ⊥平面ABCD ．（2）因为AB AD ⊥，所以AD 、AM 、AB 两两垂直，以A 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为2AB AM AD ===，所以(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A D M B ， 因为E 是BM 的中点，所以(0,1,1)E ， 因为,2CD AB CD AB =∥，所以(2,0,1)C ． 所以(2,1,0),(0,0,1)CE DC =-=， 设平面ECD 的一个法向量为()111,,m x y z =，由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y z m CE x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，得111020z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，得(1,2,0)m =．易知平面ABM 的一个法向量为(2,0,0)n AD ==，设平面ECD 与平面ABM 所成锐二面角的平面角为θ，所以||(1,2,0)cos 5||||1m n m n θ⋅===⋅，所以平面ECD 与平面ABM ． 【点睛】本题考查线面垂直的证明以及向量法求二面角，考查学生的数学运算能力，此题解题关键是准确写出点的坐标，属于中档题.20．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值. 【答案】（1）4670x y +-=；（2）证明见解析【解析】（1）利用点差法可求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程；（2）设():2l y k x =+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出AB 中点坐标；当0k =时，易求得||||FN AB 的值；当0k ≠时，可得AB 垂直平分线方程，进而求得N 点坐标和FN ，利用弦长公式求得AB ，进而求得||||FN AB 的值；综合两种情况可知||||FN AB 为定值. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB 中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k -=+，()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k =时，AB =，2FN =，6FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，1AB ==)22113kk+=+，()22221613kFNABk+∴==+；综上所述：FNAB【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.21．已知函数()lnf x a x x=-，其中a为常数.（1）讨论函数()y f x=的单调性；（2）当a e=（e为自然对数的底数），[1,)x∈+∞时，若方程(1)()1b xf xx-=+有两个不等实数根，求实数b的取值范围.【答案】（1）当0a≤时，()f x在()0,∞+上单调递减；当0a>时，()f x在()0,a上单调递增，在(),a+∞上单调递减；（2）[)1,1-【解析】（1）分别在0a≤和0a>两种情况下，根据()f x'的正负确定()f x的单调性；（2）将问题转化为当[)1,x∈+∞时，()()21lne x x xg xx+-=与y b=有两个不同交点的问题，通过导数可求得()g x的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定b的范围.【详解】（1）由题意得：()f x定义域为()0,∞+，()1a a xf xx x-'=-=，当0a≤时，()0f x'<，则()f x在()0,∞+上单调递减；当0a>时，令()0f x'=，解得：x a=，∴当()0,x a∈时，()0f x'>；当(),x a∈+∞时，()0f x'<，()f x∴在()0,a上单调递增，在(),a+∞上单调递减.综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. （2）当a e =时，()1ln 1b x e x x x --=+有两个不等实根，方程可化为()21ln e x x x b x+-=， 令()()21ln e x x x g x x+-=，则()22ln x ex e e xg x x -++-'=， 令()2ln h x x ex e e x =-++-，则()222e x ex eh x x e x x-+-'=-+-=，当[)1,x ∈+∞时，22x ex e -+-20≤-<，即()h x '<0()h x ∴在[)1,+∞上单调递减， ()()11221h x h e e ∴≤=-+=-，且()220h e e e e e =-++-=()h x ∴在[)1,+∞上有且仅有一个零点x e =，∴当[)1,x e ∈时，()0h x >，即()0g x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x <，即()0g x '<，()g x ∴在[)1,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， ()()max 11g x g e e e ∴==+-=，()11g =-，由此可得()g x 图象如下图所示：则当[)1,x ∈+∞时，方程()()11b x f x x -=+有两个不等实数根等价于当[)1,x ∈+∞时，()g x 与y b =有两个不同交点，由图象可知：[)1,1b ∈-.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.22．小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．（1）规定第1次从小明开始．（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，求随机变量X 的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第n 次由小芳投掷的概率n P ．【答案】（1）（ⅰ）3964（ⅱ）见解析，2716（2）1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【解析】（1）（ⅰ）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为91364=，前4次投掷中小明恰好投掷2次有三种情况：小明，小明，小芳，小芳；小明，小芳，小明，小芳；小明，小芳，小芳，小明，分别计算概率相加即可；（ⅱ）小芳投掷的次数X 的所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率即可；（2）若第1次从小芳开始，则第n 次由小芳投掷骰子有两种情况：1.第1n -次由小芳投掷，第n 次继续由小芳投掷，2.第1n -次由小明投掷，第n 次由小芳投掷. 【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为91364=． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，1313333133944444444464P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，依题意，X 可取0，1，2，3， 所以1111(0)44464P X ==⨯⨯=，33113311321(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 39(2)64P X ==，3113(3)44464P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为所以12139327()01236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）若第1次从小芳开始，则第n 次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第1n -次由小芳投掷，第n 次继续由小芳投掷，其概率为111(2)4n n P P n -=； ②第1n -次由小明投掷，第n 次由小芳投掷， 其概率为()21113311(2)444n n n P P P n --⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭． 因为①②两种情形是互斥的，所以1211113313(2)44424n n n n n n P P P P P P n ---=+=+-=-+， 所以1111(2)222n n P P n -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．因为11P =，所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项， 12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查随机变量的分布列与数列综合应用，涉及到利用递推数列求通项公式，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的综合题.。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷(理科)(七)(附答案详解)
2021年全国100所名校高考数学模拟示范试卷（理科）（七）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2020·广东省·单元测试)已知复数z满足：zi=1+i(i是虚数单位)，则z的虚部为()A. −iB. iC. 1D. −12.(2021·全国·模拟题)已知集合A={x|−1≤x<3}，B={x|ln(x−2)<1}，则A∩B=()A. {x|−1≤x≤3}B. {x|2<x<3}C. {x|−1≤x<e+2}D. {x|3<x<e+2}3.(2020·北京市·月考试卷)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“m//β且n//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·全国·模拟题)中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中剪下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为√5−12时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为()A. √5+1B. √5+12C. √5−14D. √5−15.(2021·全国·模拟题)函数f(x)=(x−2)⋅e x的最小值为()A. −2B. −eC. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，则3人从同一入口进站的概率为()A. 15B. 35C. 125D. 3257.(2021·全国·模拟题)定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.2]=1，[π]=3，[−2.1]=−3，则执行如图所示的程序框图，输出a的值为()A. 5B. 8C. 11D. 148.(2021·全国·模拟题)下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是()A. f(x)=lnxxB. f(x)=x3+x2C. f(x)=−x|x|D. f(x)=−lg(√x2+1−x)9.(2019·海南省海口市·月考试卷)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a、b均为正数)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线围成的三角形的面积为3，则双曲线的离心率为()A. 54B. 32C. √3D. 2√310.(2021·全国·模拟题)已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过()小时后须再次向病人体内补充这种药物.(已知lg2≈0.30，lg3≈0.48，结果精确到0.1ℎ)A. 1.8B. 1.9C. 2.1D. 2.211.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)，点A为函数f(x)图象上的一个最高点，点B，C为函数f(x)的图象与x轴相邻的两个交点.若△ABC周长的最小值为4+2√5，且将函数f(x)的图象向右平移13个单位后所得函数的图象恰好关于原点对称，则φ的值为()A. π3B. π4C. π6D. π1212.(2021·全国·模拟题)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知定点A(−2,0)，B(2,0)，动点C满足|AC|=2|BC|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆P，已知点D在圆P上(点D在第一象限)，AD交圆P 于点E，连接EB并延长交圆P于点F，连接DF，当∠DFE=30°时，直线AD的斜率为()A. √3913B. √2613C. √34D. √134二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=√2b=2，且A=π，则a=______ ．14. (2014·浙江省宁波市·模拟题)已知实数x ，y 满足{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2，则z =2x +y 的最小值是______ ．15. (2021·全国·模拟题)在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ= ______ ． 16. (2021·全国·模拟题)如图所示，在棱长为2a 的正四面体ABCD中，点E ，F 分别为AC ，BD 的中点，现用一个与EF 垂直，且与正四面体的四个面都相交的平面去截该正四面体，当所得截面多边形面积的最大值为4时，该四面体的外接球的体积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. (2021·全国·模拟题)已知数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a nn }的前n 项和S n ．18. (2021·全国·模拟题)如图所示，AB 为圆锥S −ABC 底面圆的直径，点C 为底面半圆弧AB ⏜上不与A ，B 重合的一点，设点D 为劣弧BC⏜的中点． (1)求证：BC ⊥SD ；(2)设AB =2，且圆锥的高为3，当∠BAC =60°时，求二面角A −SC −B 的余弦值．19. (2021·全国·模拟题)焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值(满分100分)的测试，根据调查得到如下数据表：(1)我们约定：焦虑值y 关于年龄x 的线性相关系数的绝对值在0.75(含0.75)以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合.试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值y 与年龄x 的相关关系进行拟合.若能，请求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程(回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01)；若不能，请说明理由．(2)现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁(含20岁)以上的人数为ξ，求ξ的数学期望． 参考数据：x −=22.2，y −=71.4，√∑x i 210i=1−10x −2≈15.48，√∑y i 210i=1−10y −2≈40.08，∑x i 10i=1y i −10x −y −=525.2．对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，其回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． 线性相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2．20. (2021·全国·模拟题)已知点P 在椭圆C ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上，点F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点.设|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值和最小值分别为4和2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，求△MF 1N 内切圆面积的最大值．21. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=me x ． (1)若关于x 的不等式x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若m >0，且曲线y =f(x)与抛物线x 2=y 有两条公切线，求正数m 的取值范围．22. (2021·全国·模拟题)已知圆C 1：x 2+y 2=4，若C 1上所有的点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的√5倍，得到曲线C 2，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)设M ，N 为曲线C 上的两点，且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求1|OM|2+1|ON|2的值．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|x−1|+|x+3|．(1)解不等式f(x)≥3x的解集；(2)设f(x)的最小值为m，且1a +4b=m(a>0,b>0)，求a2+b2b+4a的最小值．答案和解析1.【答案】D【知识点】复数的三角形式、复数的四则运算【解析】解：由zi=1+i，得z=1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i，∴z的虚部为−1．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−1≤x<3}，B={x|0<x−2<e}={x|2<x<e+2}，∴A∩B={x|2<x<3}．故选：B．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【知识点】充要条件、面面平行的性质、面面平行的判定【解析】【分析】本题考查简易逻辑，以及立体几何中面面平行的判定和性质，属于基础题．通过立体几何知识，进行判断．【解答】解：m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，推不出“m//β且n//β”，缺少条件m，n相交；若“α//β”，则α内任意一条直线都平行于平面β，正确；故“m//β且n//β”是“α//β”的必要不充分条件，故选：B．4.【答案】A【知识点】弧长公式与扇形面积公式【解析】解：设扇形的弧长为l，半径为r，由题意知l2r+l =√5−12，即2l=2(√5−1)r+(√5−1)l，得(3−√5)l=2(√5−1)r，即lr =√5−1)3−√5=√5+1，即弧度数为√5+1，故选：A．设扇形的弧长为l，半径为r，根据条件建立方程进行求解即可．本题主要考查扇形的圆心角的计算，根据条件建立方程，利用弧度角公式是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】B【知识点】函数的最值【解析】解：函数f(x)=(x−2)⋅e x则f′(x)=e x+(x−2)⋅e x令f′(x)=0，即e x+(x−2)⋅e x=0可得：x=1．当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)单调递增，当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,1)单调递减，∴当x=1，f(x)取得最小值为−e．故选：B．利用导函数研究其单调性即可求解最小值．本题考查了利用导函数研究单调性问题求解最值．属于基础题．6.【答案】C【知识点】古典概型的计算与应用【解析】解：某车站共5个入口，甲、乙、丙三人随机选择入口进站，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，则3人从同一入口进站的概率为P=5125=125．故选：C．基本事件总数n=53=125，3人从同一入口进站包含的基本事件个数m=5，由此能求出3人从同一入口进站的概率．本小题主要考查古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题．7.【答案】C【知识点】程序框图【解析】解：程序开始，i=1，a=5，a−2[a5]=5−2[1]=3，i=2，a=8，a−2[a5]=8−2[1.6]=6，i=3，a=11，a−2[a5]=11−2[2.1]=7>6，即输出的a=11．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性与单调区间【解析】解：A.函数的定义域为{x|x>0}，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，排除A，B.f(1)=2，f(−1)=0，则f(−1)≠−f(1)且f(−1)≠f(1)，即f(x)为非奇非偶函数，排除B，C.f(−x)=−(−x)|−x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=−x2为减函数，不满足条件．排除C，D.f(−x)+f(x)=−lg(√x2+1+x)−lg(√x2+1−x)=−lg(√x2+1+x)(√x2+1−x)=−lg1=0，当x≥0时，f(x)=√x2+1+x=lg(√x2+1+x)为增函数，满足条件，故选：D．分别判断函数的定义域，利用函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键，是中档题．9.【答案】A【知识点】抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义、双曲线的概念及标准方程、圆锥曲线中的综合问题、双曲线的性质及几何意义【解析】【分析】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式，属于中档题．由已知条件推导出A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，由△AOB的面积为3，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y=±bax，又∵抛物线y2=8x的准线方程为x=−2，∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=8x的准线分别交于A，B两点，∴设A，B两点的纵坐标分别是y=2ba 和y=−2ba，∵△AOB的面积为3，∴12×2×4ba=3，∴4b=3a，4c=5a，∴e=ca =54．故选：A．10.【答案】A【解析】解：设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物， 则2000(1−25%)x ≤1200，化简可得(34)x≤35，所以x ≥log 3435=lg35lg 34=lg3−lg5lg3−lg4=lg3+lg2−1lg3−2lg2≈0.48+0.30−10.48−2×0.30≈1.8，所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物． 故选：A ．设经过x 小时后须再次向病人体内补充这种药物，由题意列出不等式2000(1−25%)x ≤1200，然后利用对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，对数运算性质的运用，解题的关键是由题意列出不等关系，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质【解析】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，点A 为函数f(x)图象上的一个最高点，点B ，C 为函数f(x)的图象与x 轴相邻的两个交点．若△ABC 周长的最小值为4+2√5， 故有πω+2√1+(π2ω)2=4+2√5，求得ω=π4，故f(x)=sin(π4x +φ)．将函数f(x)的图象向右平移13个单位后，所得函数y =sin(π4x −π12+φ)的图象恰好关于原点对称，∴−π12+φ=kπ，k ∈Z ， 则φ的值为π12， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于中档题．12.【答案】A【知识点】圆有关的轨迹问题【解析】解：如图所示，设动点C(x,y)，则有√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2，化简可得x 2+y 2−203x +4=0，即圆P 的方程为：(x −103)2+y 2=649，由正弦定理可得，DEsin30∘=163，解得DE =83， 所以△DPE 为等边三角形，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，则sin∠PAG =PG PA=4√33163=√34， 所以cos∠PAG =√1−(√34)2=√134，故k AD =tan∠PAG =√34√134=√3913． 故选：A ．设动点C(x,y)，从而求出点C 的轨迹方程P ，然后利用正弦定理求出DE 的值，过圆心P 作PG ⊥DE 于点G ，利用边角关系求出sin∠PAG ，由同角三角函数关系求出tan∠PAG ，即可得到答案．本题考查了动点轨迹方程的求解，圆的方程的应用，直线与圆位置关系的应用，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题．13.【答案】√2【知识点】正弦定理【解析】解：由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， ∵c =√2b =2，且A =π4， ∴a 2=(√2)2+22−2⋅√2⋅2⋅√22， ∴a =√2． 故答案为：√2．根据已知条件，运用余弦定理，即可求解．本题考查了余弦定理公式的使用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】−5【知识点】最优解问题【解析】解：满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域如图示：由图可知，当x =−1，y =−3时，2x +y 有最小值−5． 故答案为：−5．本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件{x +y ≤2x −y ≤2−1≤x ≤2的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入2x +y 中，求出2x +y 的最小值．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15.【答案】53【知识点】向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴{λ−μ=1λ2+μ=1，解得{λ=43μ=13，∴λ+μ=53． 故答案为：53．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可解决此问题． 本题考查平面向量基本定理及数乘运算，考查数学运算能力，属于中档题．16.【答案】8√6π【知识点】球的表面积和体积【解析】解：将四面体补成正方体，如图， 设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形(四边形)， 因为EF ⊥BD ，EF ⊥平面MNGH ，所以BD//平面MNGH ，由线面平行的性质定理可得MH//BD//NG ，由PQ//平面MNGH ，同理可得MN//AC//HG ， 所以截面四边形MNGH 为平行四边形， 因为该四面体为正四面体，所以MH =AM ，MN =BM ， 所以MN +MH =2a ，由MH//BD ，MN//AC ，可得MH ⊥MN ， 所以四边形MNGH 为矩形， 所以S 四边形MNGH =MH ⋅MN ≤(MH+MN 2)2=a 2=4，当且仅当MH =MN 时取等号， 所以a =2，所以四面体的外接球的体积为V =4π3(√(2√2)2+(2√2)2+(2√2)22)3=8√6π．将四面体补成正方体，设MNGH 为与EF 垂直且和正四面体各个面都相交的截面多边形，然后证明四边形MNGH 为矩形，利用基本不等式可得面积的最值，从而可求出a 的值，进而可得正方体的边长，最后利用球的体积公式解之即可．本题主要考查了三棱锥外接球的体积，解题的关键是将四面体补成正方体，同时考查了空间想象能力和转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=1，12a n+1=(1+1n )a n ，整理得：a n+1a n=2(n+1)n，所以a nan−1=2nn−1，......，a 2a 1=2×21，所以a nan−1⋅a n−1a n−2⋅.....⋅a 2a 1=2n−1×(21×32×....×nn−1)，整理得an a 1=2n−1⋅n ， 所以a n =n ⋅2n−1(首项符合通项)， 故a n =n ⋅2n−1．(2)由(1)得：ann =2n−1，所以S n =1×(2n −1)2−1=2n −1．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)直接利用数列的递推关系式中叠乘法的应用求出数列的通项公式； (2)利用等比数列的求和公式的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 18.【答案】(1)证明：取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，则SO ⊥平面ABC ，且OD 垂直平分BC ， 所以SO ⊥BC ，BC ⊥OD ，又因为SO ∩OD =O ，SO ，OD ⊂平面SOD ， 所以BC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， 故BC ⊥SD ；(2)解：因为AB 为底面圆的直径，所以AC ⊥BC ， 以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，因为AB =2，SO =3，∠BAC =60°，所以AC =1，BC =√3， 则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,√3,0),S(12,√32,3)，所以SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−√32,−3),SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√32,−3)，SB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,−3)， 设平面ASC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{12x −√32y −3z =0−12x −√32y −3z =0，令z =1，则y =−2√3，故n ⃗ =(0,−2√3,1)， 设平面SBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12a +√32b −3c =0−12a −√32b −3c =0， 令c =1，则a =−6，故m ⃗⃗⃗ =(−6,0,1)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1√13×√37=√481481， 故二面角A −SC −B 的余弦值为√481481．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)取AB 的中点O ，连结SO ，OD ，利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面SOD ，由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ASC 和平面SBC 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度， 从而判断是否能用线性回归方程进行拟合． 相关系数r =i n i=1i −√∑x i i=1−nx −2⋅√∑y i i=1−ny−2=525.215.48×40.08≈84.65%>0.75，由题意，y 与x 有较强的线性相关，故可用线性回归对它们的相关性进行拟合， 设回归方程为y ̂=b ̂x +a ̂，b ̂=∑x i 10i=1y i −10x −y−∑x i 210i=1−10x−2=55.215.482≈2.19，a ̂=y −−b ̂x −≈22.78，∴焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程为y ̂=2.19x +22.78． (2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5， P(ξ=1)=C 61C 44C 105=142，P(ξ=2)=C 62C 63C 105=521， P(ξ=3)=C 63C 42C 105=1021，P(ξ=4)=C 64C 41C 105=521，P(ξ=5)=C 65C 105=142，∴ξ的分布列为∴E(ξ)=1×142+2×521+3×1021+4×521+5×142=3．【知识点】回归直线方程、离散型随机变量的期望与方差【解析】(1)由题意可借助计算相关系数判断焦虑值y 与年龄x 的线性相关程度，从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．求出相关系数r ≈84.65%>0.75，从而y 与x 有较强的线性相关，可用线性回归对它们的相关性进行拟合，由此能求出焦虑值y 关于年龄x 的线性回归方程．(2)由题意可知ξ的可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查直线回归方程、概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注，是中档题．20.【答案】解：(1)设坐标原点为O ，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 由题意可得，|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，所以a =2，b =√3， 故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)因为三角形内切圆的半径r =2S △MF1N|MF 1|+|NF 1|+|MN|=2S △MF 1N4a=S △MF 1N4，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为π[(S △MF 1N )max 4]2=π[(S △MF 1N )max ]216，设直线l 的方程为x =my +1，联立直线l 的方程与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4， 所以S △MF 1N =12⋅|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12√m 2+1(3m 2+4)2 =12√19m 2+15+1m 2+1=12√19(m 2+1)+1m 2+1+6，令t =m 2+1(t ≥1)，则f(t)=9t +1t (t ≥1)， 所以f′(t)=9−1t 2>0，故f(t)在[1,+∞)上单调递增， 所以f(t)≥f(1)=10， 所以S △MF 1N ≤12×√116=3，故△MF 1N 内切圆面积的最大值为9π16．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(1)设坐标原点为O ，利用|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |，从而求出|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√3，即可得到a 和b 的值，即可得到答案；(2)由三角形内切圆的半径r ，得到△MF 1N 内切圆面积的最大值与△MF 1N 面积的关系，设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出△MF 1N 面积的表达式，利用函数的单调性求解最值，即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)x 2f(x)≤(x −1)e 2x +e x 在[0,+∞)上恒成立，等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立， 令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，则g′(x)=e x +(x −1)e x −2mx =x(e x −2m)，当m ≤12时，若x ≥0，则g′(x)≥0，g(x)在[0,+∞)上单调递增， 所以当x ≥0时，g(x)≥g(0)=0， 即m ≤12符合题意， 当m >12时，2m >1，当0<x <ln(2m)时，g′(x)<0，g(x)在(0,ln(2m))上单调递减， 所以g(ln(2m))<g(0)=0， 所以m >12不符合意义，综上所述，实数a 的取值范围为(−∞,12]. (2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，则切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 由{x 2=y y −me x 0=me x 0(x −x 0)， 得x 2−me x 0x +me x 0(x 0−1)=0， 令△=(−me x 0)2−4me x 0(x 0−1)=0， 可得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，则ℎ′(x)=4e x −4e x (x−1)(e x )2=4(2−x)e x，可得ℎ(x)在(1,2]上单调递增，在(2,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(2)=4e 2， 当x >1时，ℎ(x)>0，由题意，直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点， 所以正数m 的取值范围为(0,4e 2).【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义【解析】(1)不等式等价于(x −1)e x −mx 2+1≥0在[0,+∞)上恒成立，令g(x)=(x −1)e x −mx 2+1，只需g(x)min ≥0，进而得出m 的取值范围．(2)设切点坐标为(x 0,me x 0)，结合导数的几何意义可得切线l 的方程为y −me x 0=me x 0(x −x 0)，联立抛物线，由△=0，得m =4(x 0−1)e x 0(x 0>1)，令ℎ(x)=4(x−1)e x(x >1)，只需直线y =m 与函数ℎ(x)的图象有两个不同的交点，即可得正数m 的取值范围． 本题考查导数的几何意义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)设圆C 1上任意一点P(x,y)经变换后对应的点为P′(x′,y′)，则{x′=3x y′=√5y ，即{x =x′3y =√5，代入圆C 1：x 2+y 2=4，得(x′3)2+(√5)2=4，化简可得曲线C 2的直角坐标方程为x 236+y220=1，将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入，可得曲线C 2的极坐标方程为5ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=180， 即ρ2=1805+4sin 2θ；(2)设M(ρ1,α)，∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴N(ρ2,α±π2)， 由(1)可得1|OM|2=1ρ12=5+4sin 2α180，1|ON|2=1ρ22=5+4sin 2(α±π2)180，∴1|OM|2+1|ON|2=5+4sin 2α180+5+4sin 2(α±π2)180=14180=790．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由曲线的伸缩变换求得曲线C 2的直角坐标方程，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ可得曲线C 2的极坐标方程；(2)设出M 的坐标，由向量数量积为0得N 的坐标，再分别求出1|OM|2与1|ON|2，作和即可求得答案．本题考查曲线的伸缩变换，考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是中档题． 23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x −x −3≥3x ，解得x ≤−25， 此时原不等式的解集为{x|x ≤−3}；当−3<x <1时，不等式f(x)≥3x ⇔1−x +x +3≥3x ，解得x ≤43，此时原不等式的解集为{x|−3<x<1}；当x≥1时，不等式f(x)≥3x⇔x−1+x+3≥3x，解得x≤2，此时原不等式的解集为{x|1≤x≤2}．综上，不等式f(x)≥3x的解集为{x|x≤2}；(2)∵|x−1|+|x+3|≥|(x−1)−(x+3)|=4，当且仅当(x−1)(x+3)≤0，即−3≤x≤1时取等号，∴m=4，则1a +4b=4(a>0,b>0)，即b+4a=4ab，∴a2+b2b+4a =a2+b24ab=14(ab+ba)≥14×2√ab⋅ba=12，当且仅当a=b=54时取等号，故a2+b2b+4a 的最小值为12．【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式【解析】(1)去绝对值把不等式f(x)≥3x转化为不等式组，求解后取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式求得f(x)的最小值为m，可得b+4a=4ab，代入a2+b2b+4a，再由基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
[全国百强校]湖南省衡阳市2020届新高三模拟检测-理科数学试题卷+答案
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绝密★启用前衡阳市2020届新高三模拟检测理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|04P x R x =∈≤≤，{}|3Q x R x =∈<，则P Q = A.[]3,4B.()3,-+∞C.(],4-∞D.(]3,4-2．设为虚数单位,复数满足 ，则共轭复数的虚部为 A.B.C.D.3．已知， ，，则a ，b ，c 满足 A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a4．函数 的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是 A.27265mm π B. 236310mm π C. 23635mm π D. 236320mm π6．在OAB ∆中，4OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE OA λ=，OF OB μ=，（λ，0μ>），则λμ+的最小值为A ．B ．C D 7．已知函数()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=ππϕωϕω，，＞其中20,sin x x f 的部分图象如图所示，且()x f 在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤712，1312B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫712，1312C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1112，1712D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1112，17128．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A 、F 这两块实验田上，则不同的种植方法有A. 360种B. 432种C. 456种D. 480种9．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是c b a ,,，向量()A C tan ,sin =，()A A sin ,tan =，且C A b a cos cos +=∙，则abc +的取值范围是 A. B.C.D.10．过抛物线 上两点 分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点 ,则直线 的方程为 A ．B ．C ．D ．11．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n n S T 、，且0n a >,()2*63n nn S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--,若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是A.17B. 149C. 49D.844112．已知函数f (x )＝mx －1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12,122e e e eB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++1,122e e e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1,12e eD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+12,1e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(二)高三模拟测试数学(理)试题(解析版)
（1）因为 ，
利用正弦定理可得， ，
即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）及余弦定理可得，
，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为 .
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形、两角和的正弦公式及利用基本不等式求最值；考查运算求解能力和知识迁移能力；属于中档题、常考题型.
18．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形， ， ∥ ， ， ， ， ， 分别为线段 ， ， 的中点．
（1）证明：平面 ∥平面 ．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）连接 ，设 与 相交于点 ，利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理即可证明；
以 为原点， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ， ， ， ，
所以 ，
11．已知数列 满足条件 ， ， ，则 的最小值为（）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】利用 可得 ，即 ，结合 可得 ，利用累加法可得， ，只需求出 的最小值即可，结合 ，即 ，分 两种情况分别代入递推式，依次求出 的值，求出使 最小的对应的 的值即可.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
，即 ， .
故答案为： .
【点睛】
本题考查正弦型函数对称性和周期性的综合应用问题，关键是明确正弦型函数相邻的两个对称中心横坐标间隔为半个最小正周期.
15．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为__________．
【答案】
【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移直线 ，根据目标函数的几何意义知，向下平移直线 到最高点时，目标函数 有最大值，据此求出目标函数 最大值即可.
全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一二三)【附答案】
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高考数学理科模拟试题(附答案)
高三年级第一次模拟考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．。
1．复数23()1i i +-= （ ）A ．-3-4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．已知条件:|1|2,:,p x q x a +>>⌝⌝条件且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a ≤-3．函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ）A ．（0，1）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5） 4．如右图，是一程序框图，则输出结果为（ ）A ．49B ．511 C ．712 D ．613 5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若641241,4,S S S S S ==则 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．46．要得到函数()sin(2)3f x x π=+的导函数'()f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B ．向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变）C ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的12倍（横坐标不变）D ．向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） 7．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若|FM|=2|ME|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．28．如图所示的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中电路从P 到Q 接通的情况有（ ）A ．30种B ．10种C ．24种D ．16种第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅰ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合,,则=（）A. B. C. D.【解析】B【解析】由题知,,则故本题解析选．2. 已知为虚数单位,若复数在复平面内对应地点在第四象限,则地取值范围为（）A. B. C. D.【解析】B【解析】由题．又对应复平面地点在第四象限,可知,解得．故本题解析选．3. 下列函数中,既是偶函数,又在内单调递增地为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】为非奇非偶函数,排除；为偶函数,但在内单调递减,排除；为奇函数,排除．故本题解析选．4. 已知双曲线:与双曲线:,给出下列说法,其中错误地是（）A. 它们地焦距相等B. 它们地焦点在同一个圆上C. 它们地渐近线方程相同D. 它们地离心率相等【解析】D【解析】由题知．则两双曲线地焦距相等且,焦点都在圆地圆上,其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为,由于实轴长度不同故离心率不同．故本题解析选,5. 在等比数列中,",是方程地两根"是""地（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】A【解析】由韦达定理知,则,则等比数列中,则．在常数列或中,不是所给方程地两根．则在等比数列中,",是方程地两根"是""地充分不必要条件．故本题解析选．6. 执行如图地程序框图,则输出地值为（）A. 1009B. -1009C. -1007D. 1008学_科_网...【解析】B【解析】由程序框图则,由规律知输出．故本题解析选．7. 已知一几何体地三视图如下图所示,则该几何体地体积为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥地与三棱锥地组合体,其中圆锥地底面半径为,高为．三棱锥地底面是两直角边分别为地直角三角形,高为．则几何体地体积．故本题解析选．8. 已知函数地部分图象如下图所示,则函数图象地一个对称中心可能为（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由图象最高点与最低点地纵坐标知,又,即,所以．则,图象过点,则,即,所以,又,则．故,令,得,令,可得其中一个对称中心为．故本题解析选．9. 《几何原本》卷2地几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题地重要依据,通过这一原理,很多地代数地公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如下图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,,则该图形可以完成地无字证明为（）A. B.C. D.【解析】D【解析】令,可得圆地半径,又,则,再根据题图知,即．故本题解析选．10. 为迎接中国共产党地十九大地到来,某校举办了"祖国,你好"地诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内地7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙地朗诵顺序不能相邻,那么选派地4名学生不同地朗诵顺序地种数为（）A. 720B. 768C. 810D. 816【解析】B【解析】由题知结果有三种情况．甲、乙、丙三名同学全参加,有种情况,其中甲、乙相邻地有种情况,所以甲、乙、丙三名同学全参加时,甲和乙地朗诵顺序不能相邻顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有一人参加,不同地朗诵顺序有种情况；甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时,不同地朗诵顺序有种情况．则选派地4名学生不同地朗诵顺序有种情况,故本题解析选11. 焦点为地抛物线:地准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线地方程为（）A. 或B.C. 或D.【解析】A【解析】过作与准线垂直,垂足为,则,则当取得最大值时,必须取得最大值,此时直线与抛物线相切,可设切线方程为与联立,消去得,所以,得．则直线方程为或．故本题解析选．点睛:抛物线地定义是解决抛物线问题地基础,它能将两种距离(抛物线上地点到焦点地距离,抛物线上地点到准线地距离)进行等量转化,如果问题中涉及抛物线上地点到焦点或到准线地距离,那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点地距离转化成到准线地距离,将比值问题转化成切线问题求解．学_科_网...12. 定义在上地函数满足,且当时,,对,,使得,则实数地取值范围为（）A. B.C. D.【解析】D【解析】由题知问题等价于函数在上地值域是函数在上地值域地子集．当时,,由二次函数及对勾函数地图象及性质,得此时,由,可得,当时,．则在地值域为．当时,,则有,解得,当时,,不符合题意；当时,,则有,解得．综上所述,可得地取值范围为．故本题解析选．点睛:求解分段函数问题应对自变量分类讨论,讨论地标准就是自变量与分段函数所给出地范围地关系,求解过程中要检验结果是否符合讨论时地范围．讨论应该 不重复不遗漏．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 已知,,若向量与共线,则在方向上地投影为_________．【解析】【解析】由题知,又与共线,可得,得,则方向上地投影为．故本题应填．14. 已知实数,满足不等式组且地最大值为,则=__________．【解析】【解析】作出可行域,目标函数可变为,令,作出,由平移可知直线过时取最大值,则．则．故本题应填．15. 在中,角,,地对边分别为,,,,且,地面积为,则地值为__________．【解析】【解析】由正弦定理,原等式可化为,进一步化为,则,即．在三角形中．由面积公式,可知,由余弦定理,代入可得．故本题应填．点睛:本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理解三角形地过程中,当所给地等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边地关系转化为角地关系;如果出现边地平方或者两边长地乘积时可考虑使用余弦定理判断三角形地形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理地变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时,要以已知角地为主．16. 已知球是正三棱锥（底面为正三角形,顶点在底面地射影为底面中心）地外接球,,,点在线段上,且,过点作圆地截面,则所得截面圆面积地取值范围是__________.【解析】【解析】令地中心为,球地半径为,连接,易求得,则,在中,由勾股定理得,解得,由,知,所以,所以．当截面与垂直时,截面地面积最小,此时截面圆地半径,此时截面面积为．当截面过球心时,截面圆地面积最大,此时截面圆地面积为．故本题应填．点睛:解决球与其他几何体地内切,外接问题地关系在于仔细观察,分析几何体地结构特征,搞清相关元素地位置关系和数量关系,选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体地各种元素,尽可能地体现这些元素之间地关系),达到空间问题平面化地目地．三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. 已知地展开式中地系数恰好是数列地前项和.（1）求数列地通项公式；（2）数列满足,记数列地前项和为,求证:.【解析】（1）;（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由二项展开式可知各项中地系数,求和后可得,利用与间地关系可得数列地通项公式；（2）由地通项公式可求得地通项公式,对进行裂项,用裂项法可求得,利用放缩法可证明不等式．学_科_网...试卷解析:（1）地展开式中地系数为,即,所以当时,；当时,也适合上式,所以数列地通项公式为.（2）证明:,所以,所以.18. 如图,点在以为直径地圆上,垂直与圆所在平面,为地垂心.（1）求证:平面平面；（2）若,求二面角地余弦值.【解析】（1）见解析；（2） .【解析】试卷分析:（1）延长交于点,由重心性质及中位线性质可得,再结合圆地性质得,由已知,可证平面,进一步可得平面平面（2）以点为原点,,,方向分别为,,轴正方向建立空间直角坐标系,写出各点坐标,利用二面角与二个半平面地法向量地夹角间地关系可求二面角地余弦值．试卷解析:（1）如图,延长交于点.因为为地重心,所以为地中点.因为为地中点,所以.因为是圆地直径,所以,所以.因为平面,平面,所以.又平面,平面=,所以平面.即平面,又平面,所以平面平面.（2）以点为原点,,,方向分别为,,轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,则,.平面即为平面,设平面地一个法向量为,则令,得.过点作于点,由平面,易得,又,所以平面,即为平面地一个法向量.在中,由,得,则,.所以,.所以.设二面角地大小为,则.点睛:若分别二面角地两个半平面地法向量,则二面角地大小满足,二面角地平面角地大小是地夹角(或其补角,需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时,建立合理地空间直角坐标系,正确写出各点坐标,求出平面地法向量是解题地关键．19. 2023年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元（含600元）,均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中地一种.方案一:从装有10个形状、大小完全相同地小球（其中红球3个,黑球7个）地抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折；若没摸出红球,则不打折.方案二:从装有10个形状、大小完全相同地小球（其中红球3个,黑球7个）地抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠地概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元,试从概率地角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【解析】（1） ;（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）选择方案一可以免单,但需要摸出三个红球,利用古典概型求出摸出三个红球地概率,再利用两个相互独立事件同时发生地概率应该是两事件地概率乘积可求得两位顾客均享受免单优惠地概率；（2）分别写出两种方案下付款金额地分布列,再求出期望值,利用期望值地大小,进行合理选择．试卷解析:（1）选择方案一若享受到免单优惠,则需要摸出三个红球,设顾客享受到免单优惠为事件,则,所以两位顾客均享受到免单地概率为.（2）若选择方案一,设付款金额为元,则可能地取值为0,600,700,1000.,,,,故地分布列为,所以（元）.学_科_网...若选择方案二,设摸到红球地个数为,付款金额为,则,由已知可得,故,所以（元）.因为,所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.20. 已知椭圆:地长轴长为6,且椭圆与圆:地公共弦长为.（1）求椭圆地方程.（2）过点作斜率为地直线与椭圆交于两点,,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边地等腰三角形.若存在,求出点地横坐标地取值范围,若不存在,请说明理由.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由长轴长可得值,公共弦长恰为圆直径,可知椭圆经过点,利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线地解析式为,设,地中点为,将直线方程与椭圆方程联立,消去,利用根与系数地关系可得,由等腰三角形中,可得,得出中．由此可得点地横坐标地范围．试卷解析:（1）由题意可得,所以.由椭圆与圆:地公共弦长为,恰为圆地直径,可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆地方程为.（2）直线地解析式为,设,地中点为.假设存在点,使得为以为底边地等腰三角形,则.由得,故,所以,.因为,所以,即,所以.当时,,所以；当时,,所以.综上所述,在轴上存在满足题目条件地点,且点地横坐标地取值范围为.点睛:本题主要考查椭圆地标准方程和几何性质,直线与椭圆地位置关系,基本不等式,及韦达定理地应用.解析几何大题地第一问一般都是确定曲线地方程,常见地有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆地位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合地思想转化给出地条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.21. 已知函数.（1）讨论函数地单调性；（2）当时,若函数地导函数地图象与轴交于,两点,其横坐标分别为,,线段地中点地横坐标为,且,恰为函数地零点,求证:.【解析】（1）当时,在内单调递增；当时,在内单调递减,在,内单调递增；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）对函数求导后,利用导数与函数单调性地关系,对进行讨论可得函数单调性；（2）由函数地导函数可知,又是地零点,代入相减化简得,对求导,.令,求得函数.不等式得证．试卷解析:（1）由于地定义域为,则.对于方程,其判别式.当,即时,恒成立,故在内单调递增.当,即,方程恰有两个不相等是实,令,得或,此时单调递增；令,得,此时单调递减.综上所述,当时,在内单调递增；当时,在内单调递减,在,内单调递增.（2）由（1）知,,所以地两根,即为方程地两根.因为,所以,,.又因为,为地零点,所以,,两式相减得,得.而,所以.令,由得,因为,两边同时除以,得,因为,故,解得或,所以.设,所以,则在上是减函数,所以,即地最小值为.所以.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应地题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分；多涂、多答,按所涂地首题进行评分；不涂,按本选考题地首题进行评分.22. 选修4-4:坐标系与参数方程已知直线地参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴地非负半轴为极轴建立极坐标系,圆地极坐标方程为,直线与圆交于,两点.（1）求圆地直角坐标方程及弦地长；（2）动点在圆上（不与,重合）,试求地面积地最大值.【解析】（1）；（2）.【解析】试卷分析:（1）利用平面直角坐标系与极坐标系间地转化关系,可得圆地直角坐标方程,将直线地参数方程代入,利用参数地几何意义可求得弦地长；（2）写出圆地参数方程,利用点到直线地距离公式,可得,可求出地最大值,即求得地面积地最大值．学_科_网...试卷分析:（1）由得,所以,所以圆地直角坐标方程为.将直线地参数方程代入圆,并整理得,解得, .所以直线被圆截得地弦长为.（2）直线地普通方程为.圆地参数方程为（为参数）,可设曲线上地动点,则点到直线地距离,当时,取最大值,且地最大值为.所以,即地面积地最大值为.23. 选修4-5:不等式选讲.已知函数.（1）求函数地值域；（2）若,试比较,,地大小.【解析】（1）；（2）.根据函数地单调性可知,当时,.所以函数地值域.（2）因为,所以,所以.又,所以,知,,所以,所以,所以.。
2022年高三数学(理)全真模拟卷(全国卷专用)
2022年高三数学全真模拟卷（全国卷专用）（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·山西晋中·二模（理））记全集U =R ，{}2230A x x x =-->，{}2x B y y ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．()1,3-C ．(]1,0-D ．[]1,0-2．（2022·河南河南·一模（理））若复数z 满足(1i)|25i |2i z +=-+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量()1,3a =，3b =，且()7a b a +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若()(4)f x f >，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．(4,)+∞C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(4,4)-5．（2022·陕西·二模（理））小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）A ．10%B ．8%C ．5%D ．4%6．（2022·河南焦作·二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．24C ．48D ．607．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．（2022·全国·模拟预测（理））用四种颜色给正四棱锥V ABCD -的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种9．（2022·宁夏·银川一中一模（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④B ．①③C ．②③D ．①④10．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是4，E 、F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，1D P 长度的最小值为（ ） A ．27B ．42C 34D ．611．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数()111324f x x x x =+++--图像与函数()22221x x g x -+=+图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模拟预测（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且269a a =，则313237log log log a a a ++⋅⋅⋅+=___________.14．（2022·江西·二模（理））若点P 为直线40x y -+=上的一个动点，从点P 引圆22:2C x y +=的两条切线,PM PN （M ，N 为切点），则直线MN 恒过定点E 的坐标为___________．15．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．16．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，其左右焦点分别为()17,0F -，()27,0F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F △的内心（内切圆的圆心），12PI xPF yPF =+，若1260F PF ∠=︒，3y x =，则12PF F △的内切圆的半径为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知233()sin 2cos 22f x x x =+-. (1)求()f x 的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC 中，1()2f A =-，D 为BC 中点，3AD =，求△ABC 面积的最大值.18．（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,23,24ABC AB AC BC ===，且D 为线段AB 的中点.(1)证明：1BC A D ⊥；(2)若1B 到直线AC11B AC D --的余弦值.19．（2022·全国·模拟预测）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）20．（2022·四川绵阳·二模（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OABe 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（2022·江西九江·一模（理））已知函数()()xf x e mx m =+∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0b a >>，且()()af b bf a >，求证：2a b +>．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=.，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程；(2)已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点，当α取何值时，AOB 的面积最大，并求AOB 面积的最大值. 23．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数()122f x ax ax =--+. (1)当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；(2)若对任意的[]1,4x ∈，()4f x ax +-=1恒成立，求实数a 的取值范围.2022年高三数学全真模拟卷（全国卷专用）（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·山西晋中·二模（理））记全集U =R ，{}2230A x x x =-->，{}2x B y y ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．[]1,3B ．()1,3-C ．(]1,0-D ．[]1,0-【答案】D 【解析】 【分析】理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可. 【详解】由题图知，阴影部分所表示的集合是()UA B ，∵{}{}223013A x x x x x x =-->=-或，{}{}20xB y y y y ===>，∴{}10A B x x x ⋃=-或， 故(){}[]101,0UA B x x ⋃=-≤≤=-，故选：D.2．（2022·河南河南·一模（理））若复数z 满足(1i)|25i |2i z +=+，则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模的公式和复数的四则运算得Z ，再由共轭复数的概念及复数的几何意义可得. 【详解】因为|2|3= 所以(1i)32i z +=+ 所以32i 32i 1i 51==i 1i 1i 1i 22z ++-=-++-（）（）（）（） 51=i 22Z ∴+，对应的点51()22，在第一象限故选：A.3．（2022·吉林白山·一模（理））已知向量()1,3a =，3b =，且()7a b a +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为()22cos 47a b a a a b a a b θθ+⋅=+⋅=+=+=，所以cos θ=a 与b 的夹角为6π.故选：A4．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若()(4)f x f >，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．(4,)+∞C ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞D ．(4,4)-【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，可得到()()(4)f x f x f =>，再利用单调性求解即可. 【详解】解：∵因为偶函数满足()()()f x f x f x =-=，∴()()(4)f x f x f =>，又∵()f x 在[)0+∞，上单调递减，∴4x <，即44x -<<，∴()4,4x ∈-.故选：D5．（2022·陕西·二模（理））小张一星期的总开支分布如图所示，一星期的食品开支如图所示，则小张一星期的肉类开支占总开支的百分比约为（ ）A ．10%B ．8%C ．5%D ．4%【答案】A 【解析】 【分析】求出肉类开支为100元，占食品开支的13，再由食品开支占总开支的30%，进而求得小张一星期的肉类开支占总开支的百分比. 【详解】由题图②知，小张一星期的食品开支为30401008050300++++=元， 其中肉类开支为100元，占食品开支的13，而食品开支占总开支的30%，所以小张一星期的肉类开支占总开支的百分比为130%10%3⨯=.故选：A.6．（2022·河南焦作·二模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．24C ．48D ．60【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原原图，结合锥体体积公式求得正确答案. 【详解】由三视图知，该几何体是一个三棱锥1A BCD -，如图， 底面BCD △的面积为11661822BC CD ⋅=⨯⨯=，高为8，所以三棱锥1A BCD -的体积1188483V =⨯⨯=.故选：C7．（2022·河南·二模（理））甲、乙、丙、丁四人在一次比赛中只有一人得奖.在问到谁得奖时，四人的回答如下：甲：乙得奖.乙：丙得奖.丙：乙说错了.丁：我没得奖.四人之中只有一人说的与事实相符，则得奖的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D 【解析】 【分析】根据各人的说法，讨论四人得奖分析是否只有一人说法与事实相符，即可确定得奖的人.【详解】由上表知：若甲得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若乙得奖，丙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；若丙得奖，乙、丁说法与事实相符，则与题设矛盾；所以丁得奖，只有丙说法与事实相符.故选：D8．（2022·全国·模拟预测（理））用四种颜色给正四棱锥V ABCD-的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A．72种B．36种C．12种D．60种【答案】A【解析】【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.【详解】如下表故选：A ．9．（2022·宁夏·银川一中一模（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是 ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④【答案】A 【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件， ()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =；()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()3411P B A =；而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确； 对照四个命题知②④正确； 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是4，E 、F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，1D P 长度的最小值为（ ） A ．27 B ．42 C ．34 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】分别取1BB 、BC 的中点M 、N ，连接MN 、EN 、DN 、1D M 、1D N 、AM 、AN 、1B C ，证明出平面//AMN 平面1A EF ，可知点P 的轨迹为线段MN ，分析可知当1D P MN ⊥时，即当点P 为线段MN 的中点时，1D P 的长度取最小值，利用勾股定理可求得结果. 【详解】分别取1BB 、BC 的中点M 、N ，连接MN 、EN 、DN 、1D M 、1D N 、AM 、AN 、1B C ，如下图所示：因为E 、F 分别为11B C 、1CC 的中点，则1//EF B C ，同理可得1//MN B C ，则//EF MN ，MN ⊄平面1A EF ，EF ⊂平面1A EF ，//MN ∴平面1A EF ，因为11//BC B C 且11BC B C =，E 、N 分别为11B C 、BC 的中点，所以，1//B E BN 且1B E BN =， 所以，四边形1BB EN 为平行四边形，故1//EN BB 且1EN BB =， 因为11//AA BB 且11AA BB =，所以，1//EN AA 且1EN AA =， 故四边形1AA EN 为平行四边形，则1//A E AN ，AN ⊄平面1A EF ，1A E ⊂平面1A EF ，//AN ∴平面1A EF ，ANMN N =，所以，平面//AMN 平面1A EF ，MN ⊂平面AMN ，//MN ∴平面1A EF ，当点P MN ∈时，AP ⊂平面AMN ，则//AP 平面1A EF ，所以点P 的轨迹为线段MN ， 1DD ⊥平面ABCD ，DN ⊂平面ABCD ，则1DD DN ⊥，DN CD ==16D N ==，同理可得16D M =，因为MN所以，当1D P MN ⊥时，即当点P 为线段MN 的中点时，1D P 的长度取最小值，此时1D P 故选：C.11．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列{}n a 的首项是11a =，前n 项和为n S ，且()1231n n S S n n N *+=++∈，设()2log 3n n c a =+，若存在常数k ，使不等式()()116n nc k n N n c *-≥∈+恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,36⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先由数列通项与前n 项和的关系得到数列{}n a 的递推关系123n n a a +=+，再构造等比数列{}3n a +，求数列{}3n a +的通项公式，进一步求出数列{}n a 的通项公式，从而可求数列{}n c 通项公式，代入所求式子1(16)n n c n c -+，分子、分母同除以n 构造基本不等式即可求出1(16)n nc n c -+的最大值，从而求出k 的范围.【详解】由1231n n S S n +=++，则当2n ≥时，得123(1)1n n S S n -=+-+， 两式相减得123n n a a +=+，变形可得：132(3)n n a a ++=+，又134a +=，122123116a a S S +==+⨯+=，所以25a =，2132(3)a a +=+，∴数列{}3n a +是以4为首项、2为公比的等比数列，故113422n n n a -++=⨯=，所以2log (3)1n n c a n =+=+，所以2111116(16)(16)(1)17168172517n n c n n n c n n n n n n-===≤=++++++++，当且仅当4n =时等号成立，故125k ≥. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{}3n a +求{}n a 的通项公式，即可得{}n c 通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求1(16)n nc n c -+的最值，即可求参数范围.12．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数()111324f x x x x =+++--图像与函数()22221x x g x -+=+图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)m m x y ，则1()mi i i x y =+=∑（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()f x ，()g x 的性质，再探求它们的图象交点个数，利用性质计算作答. 【详解】 函数()111324f x x x x =+++--定义域为(,0)(0,2)(2,4)(4,)-∞⋃⋃⋃+∞， 其图象是4条曲线组成，在区间(,0)-∞，(0,2)，(2,4)，(4,)+∞上都单调递减，当0x <时，()3f x <，当02x <<或24x <<时，()f x 取一切实数，当4x >时，()3f x >， ()()1111114(3)(3)64224f x f x x x x x x x -+=---+++++=----，即()f x 的图象关于点(2,3)对称， 函数()8424x g x =-+定义域为R ，在R 上单调递增，值域为()2,4，其图象夹在二平行直线2,4y y ==之间，()()4884442424x x g x g x -⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2288()62424xx x ⋅=-+=++，()g x 的图象关于点(2,3)对称， 因此，函数()f x 的图象与()g x 的图象有4个交点，即4m =，它们关于点(2,3)对称，不妨令点11(,)x y 与44(,)x y 相互对称，22(,)x y 与33(,)x y 相互对称，则14234x x x x +=+=，14236y y y y +=+=， 所以41()20i i i x y =+=∑.故选：A 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·江西宜春·模拟预测（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且269a a =，则313237log log log a a a ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】7 【解析】 【分析】根据等比数列性质可得217263549a a a a a a a ====，再利用对数的运算得解.【详解】由已知得数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，则217263549a a a a a a a ====，43a =，所以31323773434log log lo log 7log g 7a a a a a ==+⋅⋅⋅+=+，故答案为：7.14．（2022·江西·二模（理））若点P 为直线40x y -+=上的一个动点，从点P 引圆22:2C x y +=的两条切线,PM PN （M ，N 为切点），则直线MN 恒过定点E 的坐标为___________． 【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据圆的切线方程的求解，求得MN 的直线方程，再根据直线方程求其过的定点即可. 【详解】设()()()001122,4,,,,P x x M x y N x y +，过点M 的切线方程为112xx yy +=，理由如下： 若过点M 的切线斜率存在，则所求切线的斜率111OMx k k y =-=-， 故其切线方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 又点M 在圆222x y +=上，故22112x y +=，则过点M 的切线方程为112x x y y +=；若过点M 的斜率不存在，此时M的坐标为()或)，对应切线方程为x =x =112x x y y +=， 综上所述，过点M 的切线方程为：112x x y y +=； 同理所得：过点N 的切线方程为222xx yy +=，两切线均过点P ，则()()010*******,42x x x y x x x y ++=++=， 故过MN 的直线方程为()0042x x x y ++=， ∴0()42x x y y ++=，0,42,x y y +=⎧⎨=⎩∴1,21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则直线MN 恒过定点11,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考察过圆上一点的切线方程的求解，以及直线恒过定点问题的处理，处理问题的关键是要掌握圆上一点切线方程的推导过程，属综合中档题.15．（2022·陕西·西安中学模拟预测（理））若过定点(1,e)P 恰好可作曲线e (0)x y a a =>的两条切线，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】求出函数的导数，设切点为(,)m n ，由导数的几何意义和两点的斜率公式可得e(2)e m m a-=-，设()(2)e x f x x =-，利用导数求出其单调区间和极值，再画出函数的图象，结合图象可得a 的取值范围【详解】由e (0)x y a a =>，得e x y a '=，切点为(,)m n ，则切线的斜率为e m a ， 所以切线方程为e ()m y n a x m -=-， 因为e m n a =，所以e e ()m m y a a x m -=-， 因为点(1,e)P 在切线上， 所以e e e (1)m m a a m -=-，得e(2)e m m a-=-， 令()(2)e x f x x =-，则()(1)e x f x x '=-， 当1x >时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<， 所以()f x 在(1,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 所以()f x 在1x =处取得极小值e -，当x →-∞时，()0f x →，当x →+∞时，()f x →+∞， 由题意可得直线ey a=-与函数()f x 的图象有两个交点，所以ee 0a-<-<，解得1a >，所以实数a 的取值范围为(1,)+∞， 故答案为：(1,)+∞16．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，其左右焦点分别为()17,0F ，)27,0F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F △的内心（内切圆的圆心），12PI xPF yPF =+，若1260F PF ∠=︒，3y x =，则12PF F △的内切圆的半径为______.【解析】 【分析】根据题意可得123PF PF =，结合双曲线的定义可得13PF a =，2PF a =，在12PF F △中，利用余弦定理求得a ，再根据()121212121211sin 22F PF S PF PF F PF PF PF F F r =∠=++内即可得出答案. 【详解】解：由12PI xPF yPF =+，结合点I 是12PF F △的内切圆的圆心可知12xPF yPF =， 又有3y x =，所以123PF PF =，再结合双曲线的定义可得13PF a =，2PF a =，再根据1260F PF ∠=︒，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即2222893a a a =+-，解得2a =， 则()121212121211sin 22F PF SPF PF F PF PF PF F F r =∠=++内，可得内切圆的半径角r =内.. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知23()2cos 2f x x x +-. (1)求()f x 的最小正周期和单调减区间；(2)在△ABC 中，1()2f A =-，D 为BC 中点，AD =ABC 面积的最大值.【答案】(1)最小正周期为π，单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈；【解析】 【分析】（1）利用倍角余弦公式、辅助角公式可得()sin(2)16f x x π=+-，根据正弦型函数的性质求最小正周期、单调减区间.（2）由题设有1sin(2)62A π+=，结合三角形内角的范围可得3A π=，再由2AB AC AD +=并应用向量数量积的运算律、基本不等式可得22123b bc c bc ++=≥，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积即可. (1)由31()sin 2cos 21sin(2)1226f x x x x π=+-=+-，则22T ππ==， 令3222262k x k πππππ+≤+≤+且Z k ∈，可得263k x k ππππ+≤≤+且Z k ∈， 所以()f x 单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈. 综上，()f x 最小正周期为π，单调减区间为2[,]63k k ππππ++，Z k ∈. (2)由题设，1sin 2(6)(2)1A f A π+-=-=，即1sin(2)62A π+=，又0A π<<，则132666A πππ<+<，故5266A ππ+=，可得3A π=，而2AB AC AD +=，故2222()2412AB AC AB AB AC AC AD +=+⋅+==， 令||,||b AC c AB ==，则22222cos 123b bc A c b bc c bc ++=++=≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立，则△ABC 面积1sin 32S bc A =≤，综上，△ABC 面积的最大值为3.18．（2022·河南省鲁山县第一高级中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面,23,24ABC AB AC BC ===，且D 为线段AB 的中点.(1)证明：1BC A D ⊥；(2)若1B 到直线AC 1911B ACD --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2)【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质可证得1AA BC ⊥，理由勾股定理证得BC AB ⊥，再根据线面垂直的判定定理可证得BC ⊥平面11ABB A ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）过B 作BH AC ⊥于H ，连接1B H ，易证1B H AC ⊥，则1B H =B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，利用向量法即可求出答案. (1)证明：因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，因为24AB AC BC ===，所以222AB BC AC +=，所以BC AB ⊥， 因为1AB AA A ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ， 又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1BC A D ⊥； (2)解：过B 作BH AC ⊥于H ，连接1B H ， 因为1AA ⊥平面ABC ，1`AA BB ∕∕， 所以1BB ⊥平面ABC ，又因AC ⊂平面ABC ，所以1BB AC ⊥， 因为1BHBB B =，所以AC ⊥平面1BB H ，又1B H ⊂平面1BB H ，所以1B H AC ⊥，则1B H =因为BH ==14BB . 以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系B xyz -，如图所示，则())()()110,0,2,,,0,4,0C DA B ，设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =，则1134023420n DA x y n CA x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩， 令4x =，则()4,3,23n =-，同理可得平面11A B C 的一个法向量为()0,1,2m =， 则333465cos ,155531m n ==⨯， 由图可知，二面角11B AC D --为钝角，故二面角11B AC D --的余弦值为3465155-.19．（2022·全国·模拟预测）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：小学生初高中生 大学及大学以上在校生 60岁以下的社会人士 60岁及以上的社会人士 不了解“碳中和”及相关措施4030 80 55 70 了解“碳中和”及相关措施2080 150 190 85 (1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）【答案】(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关；(2)①0310p =；②()73a b + 【解析】【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点；②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案.(1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：根据列联表得 ()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关.(2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望.由①知答错的概率为310，则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元.20．（2022·四川绵阳·二模（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，11e OF OA FA+=，OAB e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)22142x y += (2)12k k 为定值23【解析】【分析】（1）根据11e OF OA FA+=，OAB，求得,a b ，即可得出答案； （2）设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --，根据,M N 在椭圆E 上，可得12AM AN k k ⋅=-，设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 分别联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩求得,,M P Q 三点的坐标，从而可得出结论. (1) 解：因为11e OF OA FA +=，所以11e c a a c +=-，又2221,2OABc S ab e a b c a ====+，联立可得2,a b ==所以椭圆E 的方程为22142x y +=； (2)解：设点001122(,),(,),(,)M x y P x y Q x y ，则点00(,)N x y --，由题意得(2,0)A ，因为,M N 在椭圆E 上， 所以2200142x y +=，则220042x y =-， 所以220000220000122422y y y y x x x y ---⋅===-----， 即12AM AN k k ⋅=-， 设直线AM 的方程为2x my =+，则直线AN 的方程为22x y m=-+， 联立222,1,42x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消x 得22(2)40m y my ++=， 由,A M 在椭圆E 上，所以0242m y m =-+，所以20024222m x my m -=+=+， 所以012022y m k x m ==-， 联立222,4,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得22(1)40m y my ++=， 由点,A P 在圆C 上，所以1241m y m =-+，所以21122221m x my m -=+=+， 同理：22222828,44m m y x m m -==++， 所以22124221(36)342y y m m m k x x m m -+===---， 所以2122222233k m m k m m -=⋅=-， 即12k k 为定值23. 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.21．（2022·江西九江·一模（理））已知函数()()x f x e mx m =+∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0b a >>，且()()af b bf a >，求证：2a b +>．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求导()x f x e m '=+，分0m ≥和0m <，讨论求解；（2）由()()af b bf a >，得到b a b a e e <，令()xx g x e =，利用导数法得到0x >时，01a b <<<或1a b ≤<证明. (1)解：()x f x e m '=+， 当0m ≥时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，当0m <时，由()0f x '>，得()ln x m >-；由()0f x '<，得()ln x m <-．∴()f x 在()(),ln m -∞-上单调递减，在()()ln ,m -+∞上单调递增．综上所述，当0m ≥时，()f x 在R 上单调递增；当0m <时，()f x 在()(),ln m -∞-上单调递减，在()()ln ,m -+∞上单调递增．(2)证明：由()()af b bf a >，得()()b a a e mb b e ma +>+，即b a ae be >，b a b a e e <， 令()xx g x e =，则()()g b g a <．∵()1xx g x e -'=， ∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．当0x >时，()0g x >，∴01a b <<<或1a b ≤<，①若1a b ≤<，显然2a b +>②若01a b <<<，要证2a b +>，只需证21b a >->，即证()()2g b g a <-，若能证()()2g a g a <-，则原命题得证，令()()()2G x g x g x =--，()0,1x ∈，()()()22111x x x x x x G x x e e e e-----'=+=--， ∵01x <<，∴10x ->，20x x e e --->，∴()0G x '>，∴()G x 在()0,1单调递增，∴()()10G x G <=，∴()()2g a g a <-，原命题得证．综上所述，2a b +>．【点睛】关键点点睛：当01a b <<<时，关键是将证2a b +>，转化为证()()2g a g a <-，然后令()()()2G x g x g x =--，()0,1x ∈，利用导数而得解.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的方程为()2239x y +-=.，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程；(2)已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，将射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点，当α取何值时，AOB 的面积最大，并求AOB 面积的最大值.【答案】(1)1:4cos C ρθ=，2:6sin C ρθ=(2)12πα=时，AOB 的面积取最大值为92+【解析】【分析】（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线1C 、2C 的极坐标方程；（2）设点A 的极坐标为()1,ρα、点B 的极坐标为2,3πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可求得1ρ、2ρ的表达式，利用三角形的面积公式以及三角恒等变换化简AOB 面积的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得AOB 面积的最大值.(1)解：曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）， 转换为直角坐标方程为()2224x y -+=，即224x y x +=，转换为极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的方程为()2239x y +-=，即226x y y +=，转换为极坐标方程为6sin ρθ=.(2) 解：已知射线1:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线1C 交于O 、A 两点，设点A 的极坐标为()1,ρα，则14cos ρα=，射线1l 绕极点逆时针方向旋转3π得到射线2l ，射线2l 与曲线2C 交于O 、B 两点． 设点B 的极坐标为2,3πρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则26sin 3πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，1211sin sin sin 2332AOB S ππρρααααα⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△2999cos 9cos 2cos 222232παααααα⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， 02πα<<，则42333πππα<+<，所以，当232ππα+=时，即12πα=时，AOB S 的最大值为92+23．（2022·江西宜春·模拟预测（理））已知函数()122f x ax ax =--+.(1)当1a =时，求不等式()1f x ≥-的解集；(2)若对任意的[]1,4x ∈，()4f x ax +-=1恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1){|40}x x -≤≤；(2)1a ≤-或1a ≥.【解析】【分析】（1）把1a =代入，利用分类讨论求解含绝对值的不等式作答.（2）利用绝对值三角不等式变形，再借助恒成立的不等式求解作答.(1)当1a =时，不等式()11221f x x x ≥-⇔--+≥-，化为：11221x x x <-⎧⎨-+++≥-⎩或111221x x x -≤≤⎧⎨-+--≥-⎩或11221x x x >⎧⎨---≥-⎩， 解11221x x x <-⎧⎨-+++≥-⎩得41x -≤<-，解111221x x x -≤≤⎧⎨-+--≥-⎩得10x -≤≤，解11221x x x >⎧⎨---≥-⎩得，无解， 所以原不等式的解集是{|40}x x -≤≤.(2)[]1,4x ∀∈，4|()|1||||22||22|||(22)(22)|4f x ax ax ax ax ax =+-=--+≤--+=，当且仅当(22)(22)0ax ax -+≥时取“=”，因此，[]1,4x ∀∈，222211a x a x ≥⇔≥，而21x 在[]1,4上单调递减，当1x =时，max 21()1x=，即有21a ≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是1a ≤-或1a ≥。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学(理)模拟测试试题(三)(解析版)
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三数学（理）模拟测试试题（三）一、单选题 1．复数31iz i+=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由题，根据复数的运算，将复数化简，可得点坐标，即得结果. 【详解】 因为复数3i (3)(1)121i (1)(1)i i z i i i +++===+--+ 所以在复平面所对应的点为(1,2),在第一象限 故选A 【点睛】本题考查了复数，掌握好复数的运算法则，属于基础题. 2．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞ B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D【解析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.3．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（ ） A ．83- B ．43-C ．83D ．43【答案】A【解析】由二倍角公式求得sin cos θθ，切化弦后，结合同角三角函数平方关系可求得结果. 【详解】3sin 22sin cos 4θθθ==-Q ，3sin cos 8θθ∴=-，221sin cos sin cos 18tan 3tan cos sin sin cos 38θθθθθθθθθθ+∴+=+===--. 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，涉及到二倍角公式、同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.4．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo ）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ） A ．314B ．1114C ．114D ．27【答案】B【解析】分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】从“八音”中任取不同的“两音”共有2828C =种取法；“两音”中含有打击乐器的取法共有228422C C -=种取法；∴所求概率22112814p ==. 故选：B . 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.5．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ）A ．若//αβ，则l//mB ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C【解析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6．在ABC V 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】利用余弦定理角化边整理可得结果. 【详解】由余弦定理得：222222224a cb bc a ca b ac bc +-+-⋅-⋅=，整理可得：2224c a b -=，222128a b c -∴=. 故选：D .【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题. 7．已知2log 3a =， 4.12b -=，13827c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．c b a << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】C【解析】利用指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为2log 3(1,2)a =∈， 4.12(0,1)b -=∈，1383272c -⎛⎫==⎪⎝⎭， 且223log 22log 32=<， 所以b c a <<． 故选：C . 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属综合基础题.8．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．8【答案】B【解析】取AM 中点O ，可确定0AM ON ⋅=u u u u r u u u r；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2AM uuuu r ，利用()AM AN AM AO ON ⋅=⋅+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 可求得结果.【详解】取AM 中点O ，连接ON ，AN NM =Q ，ON AM ∴⊥，即0AM ON ⋅=u u u u r u u u r.60DAB ∠=o Q ，120ADM ∴∠=o ，()22222cos 416828AM DM DADM DA DM DA ADM ∴=-=+-⋅∠=++=u u u u r u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r，则()21142AM AN AM AO ON AM AO AM ON AM ⋅=⋅+=⋅+⋅==u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r .故选：B . 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解. 9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B【解析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况. 10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．228(0,][,]939UB ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99UD ．(0,1]【答案】A【解析】根据y =Acos （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，根据定义域求出56x πω-的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围． 【详解】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度， 可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， ∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，∴ 553526626x ωπππωππω-<-<-， ∴ 35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-， 当k =0时，解2839ω≤≤， 当k =-1时，01ω<≤，可得209ω<≤， ω∴∈228(0,][,]939U .故答案为：A . 【点睛】本题考查函数y =Acos （ωx +φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.11．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ．32π C ．12πD ．24π【答案】C【解析】首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且112OG PH ==． 设AB x =，22PB =Q ，211822AO PA x ∴==+ 122AG BC x ==Q ，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=， 即222211822x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()()2221122422322x AO +=+==，∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．故选：C .本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．3【答案】B【解析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-.2FA AS =Q ，13SASF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB pTS p∴==. 故选：B .本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件20300x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】32【解析】根据约束条件可以画出可行域，从而将问题转化为直线322zy x =-+在y 轴截距最大的问题的求解，通过数形结合的方式可确定过13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最大值，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将32z x y =+化为322z y x =-+，则z 最大时，直线322zy x =-+在y 轴截距最大； 由直线32y x =-平移可知，当322zy x =-+过B 时，在y 轴截距最大，由2030x y x y -+=⎧⎨+=⎩得：13,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，max 13332222z ⎛⎫∴=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：32. 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，通过数形结合的方式可求得结果.14．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 【答案】815【解析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【详解】甲被录取的概率1433545p =⨯=；乙被录取的概率2211323p =⨯=； ∴只有一人被录取的概率()()12213212811533515p p p p p =-+-=⨯+⨯=.故答案为：815.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.15．已知函数()()ln ()ln xx eax e x f x x ax--=-，若在定义域内恒有()0f x <，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】1,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】根据指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可将原题转化为()()ln 0xeax x ax --<恒成立问题，凑而可知y ax =的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间；利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率，结合分母不为零的条件可最终确定a 的取值范围. 【详解】由指数函数xy e =与对数函数ln y x =图象可知：ln >x e x ，()0f x ∴<恒成立可转化为0ln x e ax x ax-<-恒成立，即()()ln 0x e ax x ax --<恒成立，ln x e ax x ∴>>，即y ax =是夹在函数xy e =与ln y x =的图象之间，y ax ∴=的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与ln y x =相切的直线与函数相切于点(),ln m m ，则切线斜率11ln m k m m ==，解得：11m ek e =⎧⎪⎨=⎪⎩；设过原点且与x y e =相切的直线与函数相切于点(),nn e，则切线斜率2nne k e n ==，解得：21n k e =⎧⎨=⎩；当1a e =时，1ln 0x x e -≤，又ln 0x ax -≠，1a e∴=满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法；关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题；易错点是忽略分母不为零的限制，忽略对于临界值能否取得的讨论.三、双空题16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为(F ，A 、B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为H ，BF 的中点为K ，HK 的中点为G ，若|HK|=2|OG|，且直线AB的斜率为4，则||AB =__________，双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】设()00,A x y ，()00,B x y --，根据中点坐标公式可得,H K 坐标，利用0OH OK ⋅=u u u r u u u r 可得到A 点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得2200,x y ，进而求得AB ；将A 点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得,a b ，进而得到离心率.【详解】Q左焦点为()F ，∴双曲线的半焦距c =设()00,A x y ，()00,B x y --，0022x y H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴，0022x y K ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭， 2HK OG =Q ，OH OK ∴⊥，即0OH OK ⋅=u u u r u u u r ，22003044x y -∴-=，即22003x y +=， 又直线AB，即004y x =，2083x ∴=，2013y =，AB ∴==A Q 在双曲线上，2200221x y a b∴-=，即2281133a b -=， 结合2223c a b =+=可解得：a =1b =，∴离心率2c e a ==.故答案为：【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 【答案】（1）2n a n =；（2）211343n n S n n =+-+⨯. 【解析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1）124,,a a a Q 成等比数列，2214a a a ∴=，即()()21113a d a a d +=+，()()211126a a a ∴+=+，解得：12a =，()2212n a n n ∴=+-=.（2）由（1）得：2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，114n n b b +∴=，114b =，∴数列{}n b 是首项为14，公比为14的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦211343nn n =+-+⨯． 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O =I ，1A O ⊥平面ABCD ．（1）证明：1//A O 平面11B CD ；（2）若1AB AA =，求二面角111D AB A --的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2）15. 【解析】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，可证得四边形11 A OCO 为平行四边形，由此得到11AO//O C ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接11A C ，设11111B D AC O ⋂=，连接1O C ，Q 在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,O O 分别为11,AC A C 的中点，11//OC A O ∴，∴四边形11 A OCO 为平行四边形，11A O//O C ∴，1A O ⊄Q 平面11B CD ，1O C ⊂平面11B CD ，1//AO ∴平面11B CD ．（2）以O 为原点，1,,OB OC OA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．设1OA =，Q 四边形ABCD 为正方形，12AB AA ∴==11OA ∴=，则()0,1,0A -，()10,0,1A ，()11,1,1B ，()11,1,1D -， ()11,2,1AB ∴=u u u r ，()112,0,0B D =-u u u u r ，()111,1,0A B =u u u u r，设()1111,,n x y z =u r 为平面11AB D 的法向量，()2222,,n x y z =u u r为平面11A AB 的法向量，由1111100n AB n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v 得：11112020x y z x ++=⎧⎨-=⎩，令11y =，则10x =，12z =-， 由2121100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u u v 得：22222200x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，令21x =，则21y =-，21z =，()10,1,2n ∴=-u r ，()21,1,1n =-u u r，12121215cos ,553n n n n n n ⋅∴<>===-⨯⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，Q 二面角111D AB A --为锐二面角，∴二面角111D AB A --的余弦值为155. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握二面角的向量求法，易错点是求得法向量夹角余弦值后，未根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角，造成余弦值符号出现错误.19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关； （2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析. 【解析】（1）计算得到 6.635k >，由此可得结论；（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得X 的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望. 【详解】（1）∵2K Q 的观测值()2160604040203210.667 6.6358080100603k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．（2）根据分层抽样方法得：男生有31065⨯=人，女生有21045⨯=人， ∴选取的10人中，男生有6人，女生有4人．则X 的可能取值有0,1,2,3，()306431020101206C C P X C ∴====，()216431060111202C C P X C ====，()1264310363212010C C P X C ====，()036431041312030C C P X C ====，X ∴的分布列为：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20．已知函数()()2ln 2f x a x x x x =-+-．（1）当2a e =-（e 为自然对数的底数）时，求函数()f x 的极值； （2）()f x '为()y f x =的导函数，当0a >，120x x >>时，求证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）极大值21e --，极小值2e -；（2）详见解析. 【解析】首先确定函数的定义域和()f x '；（1）当2a e =-时，根据()f x '的正负可确定()f x 单调性，进而确定极值点，代入可求得极值；（2）通过分析法可将问题转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，利用导数可证得()0h t >，进而得到结论.【详解】由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()121122x x a f x a x x x -+⎛⎫'=-+-= ⎪⎝⎭，（1）当2a e =-时，()()()21x x e f x x--'=，∴当()0,1x ∈和(),e +∞时，()0f x '>；当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x ∴在()0,1，(),e +∞上单调递增，在()1,e 上单调递减， ()f x ∴极大值为()121221f e e =-+-=--，极小值为()()22212f e e e e e e =--+-=-.（2）要证：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()1212122x x f x f x f x x '+⎛⎫-<- ⎪⎝⎭， 即证：()()2211222211ln 2ln 2a x x x x a x x x x -+----+()12121222a x x a x x x x ⎛⎫<++--- ⎪+⎝⎭，化简可得：()1212122lna x x x a x x x ->+． 0a >Q ，()1212122ln x x x x x x -∴>+，即证：12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+， 设121x t x =>，令()()21ln 1t h t t t -=-+，则()()()22101t h t t t -'=>+， ()h t ∴在()1,+∞上单调递增，()()10h t h ∴>=，则由12112221ln 1x xx x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，从而有：()()1212112222x x x x f x f x f x f x ++⎛⎫⎛⎫''-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题；本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题，通过构造函数的方式将问题转化为函数最值的求解问题.21．如图，椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为1A，2A，上、下顶点分别为1B，2B，且1()0,1B，112A B BV为等边三角形，过点(1,0)的直线与椭圆C在y 轴右侧的部分交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求四边形21B MNB面积的取值范围．【答案】（1）2213xy+=；（2）36,12⎛+⎝⎦.【解析】（1）根据1B坐标和112A B B∆为等边三角形可得,a b，进而得到椭圆方程；（2）①当直线MN斜率不存在时，易求,M N坐标，从而得到所求面积；②当直线MN 的斜率存在时，设方程为()1y k x=-，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用21NOB OMN MOBS S S S=++△△△，代入韦达定理的结论可求得S关于k的表达式，采用换元法将问题转化为33Smm=+-23,23m∈的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.【详解】（1）()10,1BQ，1b∴=，112A B B∆Q为等边三角形，33a b∴==∴椭圆的标准方程为2213xy+=．（2）设四边形21B MNB的面积为S．①当直线MN的斜率不存在时，可得61,M⎛⎝⎭，6N⎛⎝⎭，1266211233S⎛=⨯+⨯=+⎭∴⎝．②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =-， 设()11,M x y ，()22,N x y ，联立()22131x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()2222316330k x k x k +-+-=，2122631k x x k ∴+=+，21223331k x x k -=+，()1212y y k x x ∴-=-=． 10x >Q ，20x >，120x x ∴>，1k ∴>，面积()121212111122OMN MO NOB B S S S S x x y y =++=⨯+⨯+⨯-⨯△△△222331313k k k==++23k +．令t =231S t +=+，t ∈，令m t =+S =4m m=+-，m ∈，Q ()S m在定义域内单调递减，3123S ∴<<+．综上所述：四边形21B MNB面积的取值范围是3,12⎛+ ⎝⎦．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于,A B ，满足A 为MB 的中点，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=，1cos t sin x t y αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2【解析】（1）由曲线C 的参数方程消去参数可得曲线C 的普通方程，由此可求曲线C 的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C 的普通方程224x y x +=，整理得)26cos 320t tαα-++=，利用韦达定理，根据A 为MB 的中点，解出α即可.【详解】 （1）由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数，可得()2224x y -+=，即224x y x +=，∴已知曲线C 的普通方程为224x y x +=， Q cos x ρθ=，222x y ρ=+，∴24cos ρρθ=，即4cos ρθ=， ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，Q 直线l经过点(1,M --，且倾斜角为α，∴直线l的参数方程：1cos sin x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数，0απ≤≤）.（2）设,A B 对应的参数分别为A t ，B t . 将直线l 的参数方程代入C 并整理，得)26cos 320t tαα-++=，∴)6cos A B t t αα+=+，32A B t t ⋅=.又A 为MB 的中点，∴2B A t t =，∴)2cos 4sin 6A t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴232sin 326A B t t πα⎛⎫⋅=+= ⎪⎝⎭，即2sin ()16πα+=， Q 0απ≤≤， ∴7666πππα≤+<， ∴62ππα+=，即3πα=，∴tan 3π=【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.23．设函数()121f x x x a =++-+．（1）当1a =时，解不等式()6f x ≤；（2）设12a <-，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[2,3]-；（2）12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果； （2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩Q∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-．（2）21a x ≤<-Q ，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，()26f x x ≤+Q 有解，31a ∴--<-，即2a >-，又21a <-，12a ∴<-， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题.。
2020届全国百强中学新高考押题仿真模拟(七)理科数学
2020届全国百强中学新高考押题仿真模拟（七）高三数学（理科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}12A x x =-<，{13}B y Z y =∈-≤<，则A B =I （ ） A. ∅ B. {}1,0,1,2-C. {}0,1,2D. {}1,0,1-【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，B 中元素的范围，再求A B I【详解】解：由已知{}{}12=13A x x x x =-<-<<，{}{13}1,0,1,2B y Z y =∈-≤<=-， 所以{}0,1,2A B =I ，故选：C 。
【点睛】本题考查交集的求法，要注意细节y Z ∈，是基础题。
2.设1i2i 1iz -=++，则||z =（ ）A. 2B.12C. 2D. 1【答案】D 【解析】 【分析】先由复数的除法运算可得1i2i 1iz i -=+=+，再结合向量模的运算可得||1z =，得解. 【详解】解：因为21i (1)2i=221i 2i z i i i i --=++=-+=+，则22||011z =+=， 故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，属基础题. 3.已知2sin cos αα=，则2cos 2sin 21cos ααα++=( )A.32B. 3C. 6D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得tan α的值，利用二倍角公式化简所求表达式为只含tan α的表达，由此求得所求表达式的值. 【详解】由2sin cos αα=得1tan 2α=.故222cos 2sin 212cos 2sin cos 122tan 223cos cos 2αααααααα+++==+=+⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题. 4. 下列说法错误的是( ) A. 命题“若，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则”B. “1x >”是“1x >”的充分不必要条件C. 若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D. 命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥”【答案】C 【解析】试题分析：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个是假命题，而不是p q 、均为假命题．故C 错． 考点：1.四种命题；2.充分条件与必要条件；3.逻辑连接词；4.命题的否定.5.已知平面向量,a b r r 满足1,13a b ==vv ，且2a b a b +=+v v v v ，则a r 与b r 的夹角为( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】设a r 与b r的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值．【详解】因为2a b a b +=+r r r r ，所以222a b a b +=-r r r r ，即2222442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-r r r r r r r r ，因为113a b ==r r ，所以32a b ⋅=-r r ，记a r 与b r的夹角为θ，则1cos 2a b a bθ⋅==-r r r r ，解得23πθ=，即a r 与b r 的夹角为23π.故选C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 6.设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则19a b+的最小值为（ ） A. 16 B. 8C. 4D. 2【答案】B 【解析】 【分析】先由等比中项的运算可得2a b +=，则19a b +=119()()2a b a b++，然后利用重要不等式可得：119191()()[10()]58222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=，一定要注意取等的条件. 【详解】解：因为2是2a 与2b 的等比中项， 所以224a b ⋅= ，即24a b +=，所以2a b +=， 又0,0a b >>，所以19a b +=119191()()[10()]5538222a b a b a b b a ++=++≥+⋅=+=，当且仅当9a b b a =，即13,22a b ==时取等号，则19a b+的最小值为8， 故选:B.【点睛】本题考查了等比中项的运算，重点考查了利用重要不等式求最值，属基础题.7.若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A. 2 B.12C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a ，b 的关系，即可得到所求离心率公式． 【详解】取渐近线by x a=，化成一般式0bx ay -=，圆心()2,0=224c a =，24e =，即2e =. 故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，属于基8.某程序框图如图所示，则输出的结果S 等于（ ）A. 7B. 16C. 28D. 43【答案】C 【解析】执行程序：S 1=，k 1=,k 2=,S 1327=+⨯=,判断不符合条件， k 3=, S 73316=+⨯=,判断不符合条件， k 4=,S 163428=+⨯=,判断符合条件， 故选：C9.函数e4xy x=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C【分析】利用已知函数的对称性及特殊点进行判断即可. 【详解】函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B ， 当1x =时，14ey =<，排除A ； 当x →+∞时，4xex→+∞，排除D ．故应选C ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈.刍，草也；甍，屋盖也.”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形.则它的体积为( )A.1603B. 160C.2563D. 64【答案】A 【解析】【详解】分析：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成，根据三视图中的数据可得其体积.详解：由三视图可知该刍甍是一个组合体，它由成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成， 根据三视图中的数据，求出棱锥与棱柱的体积相加即可，11444+2244=23⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯6416032+=33，故选A. 点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 11.若函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []1,1-D. 11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意函数()1sin2 sin 4f x x x a x =--在(),-∞+∞上单调递增，转化为()0f x '≥在(),-∞+∞恒成立，利用换元法，结合一元二次函数的性质，列出相应的不等式，即可求解出a 的取值范围。
全国百强高三数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f[g(x)]的值为（）A. 2x^2 - 7x + 4B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 - 5x + 4D. 2x^2 - 7x + 32. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的取值范围是（）A. x≤0B. x≥0C. x>0D. x<03. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S2=5，S3=8，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3n - 2B. an = 2n - 1C. an = 3n + 2D. an = 2n + 14. 若向量a=(2, 3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/55. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(1)的值为（）A. -1C. 1D. 26. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=35，S9=63，则数列{an}的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)在直线y=kx+b上，且该直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，则k+b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 118. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=32，S6=128，则数列{an}的公比q 为（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 若平面直角坐标系中，点P(3, 4)在直线y=kx+b上，且该直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，则k+b的值为（）A. 7B. 9D. 1310. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y = 0B. y = 1C. y = 2D. y = 311. 若平面直角坐标系中，点P(2, 3)在直线y=kx+b上，且该直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，则k+b的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1112. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f[g(x)]的值为（）A. 2x^2 - 7x + 4B. 2x^2 - 3x + 2C. 2x^2 - 5x + 4D. 2x^2 - 7x + 3二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则数列{an}的前n项和Sn可以表示为Sn=______。
全国百强校高三数学试卷
1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且f(1) = 2，f'(2) = 3，f''(0) = 4，则a、b、c的值分别为（）A. 1，2，1B. 1，3，2C. 2，1，3D. 2，3，12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S10 = 75，则公差d为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线y = x的对称点为B，则直线AB的方程为（）A. x + y = 5B. x - y = 5C. x + y = 1D. x - y = 14. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 实轴B. 虚轴C. 双曲线D. 圆5. 已知函数g(x) = ln(x + 1)，则g'(x)为（）A. 1/(x + 1)B. -1/(x + 1)C. 1/xD. -1/x6. 若等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则该数列的前5项之和为（）A. 46B. 54C. 63D. 727. 已知圆O的方程为x^2 + y^2 = 4，点P(1, 2)到圆O的距离为（）A. 1B. 2C. √5D. 38. 若向量a = (2, 3)，向量b = (1, -2)，则向量a·b的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 59. 已知函数h(x) = e^x + x^2，则h'(x)为（）A. e^x + 2xB. e^x + 2C. e^x + xD. e^x + 110. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 1]上单调递增，则f'(x)在区间[0, 1]上的符号为（）A. 正B. 负C. 0D. 不确定11. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S10 = 70，则公差d =__________。
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高三年级 模拟考试理科数学试题考试时间： 2015年5月10日一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集,U R =集合{}{}3|log (1),|2x A x y x B y y ==-==,则=B A C U )(( )A ．0+∞（，）B ．(0,1]C ．(1,)+∞D ．(1,2) 2．复数5)i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为( ) A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i + 3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( ) A ．224π+ B ．220π+ C ．24π+ D ．20π+ 4．下列四个结论：①命题“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ” ．②设,a b 是两个非零向量，则“//a b ”是“a b a b ⋅=⋅”成立的充分不必要条件．③某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．④设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则可以得出结论：该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ． 其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知向量()1,2a =，()2,3b =-．若向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）.A ．77(,)93B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--6．函数f (x )＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是 ( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π37．若数列{}n a 满足110n npa a +-=，*,n N p ∈为非零常数，则称数列{}n a 为“梦想数列”．已知正项数列1nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“梦想数列”，且99123992b b b b =，则892b b +的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．88．若实数y x 、满足不等式组5230.10y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩则y x z 2||+=的最大值是( )A ．10B ．11C ．13D ．149．已知双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x y a b +=，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 CD10．已知()y f x =为R 上的连续函数，其导数为'()f x ，当0x ≠时，'()()f x f x x->，则关于x 的函数1()()g x f x x=+的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为 .12．设 210sin n xdx π=⎰，则n -展开式中的常数项为 .（用数字作答）13．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈ .（用分数表示）14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：10631将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（Ⅰ）2014b 是数列{}n a 中的第 项；（Ⅱ） 21n b -= ．（用n 表示）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修41-：几何证明选讲）如图，PB 为△ABC 外接圆O 的切线，BD 平分PBC ∠，交圆O 于D ， ,,C D P 共线．若AB BD ⊥,PC PB ⊥,1PD =，则圆O 的半径是 . 16．（选修44-：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin()13πρθ+=，则两曲线交点间的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，222cos()sin cos b a c A C ac A A--+=．（I ）求角A ；（Ⅱ）若a =bc 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11=a ，且对于任意+∈N n 都有n n S na 21=+．（I ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设12224n n n n a b a a ++=，且数列{}n b 的前n 项之和为n T ，求证：45<n T ．19.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为432555、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。
（I ）求该同学被淘汰的概率；（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．20．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，1,2==AD AB ,M 为DC 的中点.将ADM∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .（Ⅰ）求证：BM AD ⊥；（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角D AM E --21．（本小题满分13分）如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长。
（Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设2C 与y轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B,直线MA ，MB 分别与1C 相交与D ，E ．（i ）证明：MD ⊥ME ；（ii ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是12,S S ．问：是否存在直线l ，使得121732S S =?请说明理由．22．（本小题满分14分）设函数()()()1ln 1f x ax x bx =-+-，其中a 和b 是实数，曲线()y f x =恒与x 轴相切于坐标原点．()1求常数b 的值；()2当01x ≤≤时，关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；()3求证：10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．模拟考试 理科数学参考答案1.B2.A3.C4.C5.D6.A7.B8.D9.D 10.A11. 137/60 12.210 13.47/15 14. 5035, ()5512n n - 15. 216. 17. （1）由2222cos a c b ac B +-=2cos cos()sin cos ac B B ac A Aπ--⇒=sin 21A ∴=且02A π<<4A π⇒=……………4分（2）1350904590090B C B C C +=︒⎧⎪︒<<︒⇒︒<<︒⎨⎪︒<<︒⎩又2sin sin sin b c aB C A ===2sin ,2sin b Bc C ∴==2sin(135)2sin bc C C =︒-⋅2sin(245)C =-︒分45245135sin(245)12C c ︒<-︒<︒⇒<-︒≤bc ∴∈……………12分 18.解：（1）解法一：由n n S na 21=+①可得当2≥n 时，12)1(-=-n n S a n ②， 由①-②可得，n n n n n a S S a n na 2)(2)1(11=-=---+，所以n n a n na )1(1+=+，即当2≥n 时，n n a a n n 11+=+，所以1,,45,34,231453423-====-n na a a a a a a a n n ，将上面各式两边分别相乘得，22n a a n =，即22a na n ⋅=（3≥n ），又222112===a S a ，所以n a n =（3≥n ），此结果也满足21,a a ，故n a n =对任意+∈N n 都成立。
……………7分解法二：由n n S na 21=+及n n n S S a -=++11可得n n S n nS )2(1+=+，即nn S S n n 21+=+，∴当2≥n 时，2)1(113524*********+=-+⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=-n n n n S S S S S S S S n n n （此式也适合1S ），∴对任意正整数n 均有2)1(+=n n S n ，∴当2≥n 时，n S S a n n n =-=-1（此式也适合1a ），故n a n =。
……………7分 （2）依题意可得22222221)2(11)2(444+-=++==++n n n n n a a a b n n n n ∴2222222211111111132435(2)n T n n =-+-+-++-+ 2211115114(1)(2)44n n =+--<+=++……………12分19．解析：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， 所以该同学被淘汰的概率为：112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=．……………6分 （Ⅱ）ξ的可能值为1,2,3，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=． 所以ξ的分布列为：数学期望为1235252525E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………6分 20. 解：（Ⅰ）证明：连接BM ，则，所以AM BM ⊥ 又因为面ADM⊥平面ABCM ，面ADM 面ABCM=AM所以，BMADM BM AD ⊥⇒⊥面 …………………………………………4分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -由（I ）可知，平面ADM 的法向量(0,1,0)m =，设平面AEM 的法向量(,,)n x y z =，所以(0,0,0)A B D M22(,2,),((1,(1DB DE DB E λλλ=--=⇒--(2,0,0),((1,(1MA ME λλ==-- 0(0,1,2)0n MA n n ME λλ⎫⋅=⎪⇒=--⎬⋅=⎪⎭…………………………………………10分由二面角D AM E --得，12λ=，即：E 为DB 的中点。