2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答
2013年温州市高一摇篮杯数学竞赛试题(含答案)
2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】D【解析】代入检验或者依次取值.2．已知角α的终边与3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】713,,999πππ3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围 是 ( ▲ )A ．[1,0]-B ．(,1]-∞-C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】C【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ， 则βα-的值为 ( ▲ )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x+++-=++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x=(sin 1)x ≠-6．ABC ∆中，tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】B【解析】由tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CAB DBC DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )A ．13B ．12C ．2D ．34 【答案】B【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ∆∆ 得到2212BC CO CA CA =⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得到sin 3sin 2AC BC αα==，整理得到cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ⋅- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72D ． 4 【答案】A【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ⋅- =221()2a b - 9．设,82x y z x y z ππ≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ⋅⋅的最小值为( ▲ )A ．18B ．8C ．14D ．4【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224x y z x y z y z x y z x ⋅⋅=++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ )A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>21()))2((1)2f x x x x =-+-+-，即102->，解得522,1212k k k Z πππαπ+<<+∈.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．【答案】[3,3]-12．22sin 13sin 47sin13sin 47︒+︒+︒⋅︒= ▲ ． 【答案】34【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120︒︒︒，结合余弦定理即可13．过ABC ∆的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。
【教育资料】浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷无答案学习精品
2019年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷一.填空题：本大题共10小题，每小题8分，共80分.1.已知集合{}9,7,5,3,1=A ,{}8,6,4,2=B ，若}{B b A a b a C ∈∈+=,，则集合C 的所有元素之和为________.2.在ABC ∆中，2,31sin ==AB A ,则⋅的最小值为________. 3.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()1(-=-⋅+x f x f ，又当50<≤x 时，)7(log )(2x x f -=，则)2018(f 的值为________.4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ________.5.已知函数),2))((()(),()(),()(*11N n n x f f x f x f x f R a a x x f n n ∈≥==∈+=-，若x x f -)(2018没有零点，则a 的取值范围是________.6.若对任意[]1,1-∈x ，恒有),,(22R c b a c b ax x ∈≤++成立，则当c 取得最小值时，函数)(32)(R x c x b x a x x f ∈-+-+-=的最小值为________.7.用[]x 表示不大于x 的最大整数，方程[][][]x x x x 3015106=++的最小正解为________.8.函数)1sin(sin )(++=x x x f 的值域为________.9.已知平面向量2==，且2=⋅，若[]1,0∈t ，则t AB t 1(--+-的最小值为________. 10.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f ，其中c b a ,,是整数，若)(x f 在)1,0(上有两个不相等的零点，则b 的最大值为________.二.解答题：本大题共5小题，共120分.11.已知函数bxx x f a--=11log )(是奇函数)1,0(≠>a a（1）求b 的值及函数)(x f 的定义域；（2）是否存在实数a 使得)(x f 的定义域为[]n m ,，值域为[]m n a a log 1,log 1++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由.12.设函数)0(cos cos sin 3)(2>+=ωωωωx x x x f 且)(x f y =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. （1）求ω的值及函数)(x f 的单调增区间；（2）若65)(=αf ，求)467sin(απ-的值.13.已知定义在R 上的函数)(x f y =满足：对任意的R y x ∈,，均有x y f y x f y x f c o s )(2)()(+-=+，且当)⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，0)(>x f （1）求)0(f 的值；（2）解方程)2()3(x f x f =14.已知向量,满足32,21≤≤≤≤（1-++的取值范围；（2）若43≤+≤，求b a ⋅的最大值15.已知函数b a x x f +-=)(，R b a ∈,（1）当a b 2=时，若)(x f 在区间[]2,1上的最大值为2，求实数a 的取值范围；（2）当1-=b 时，若存在实数m ，使得关于x 的方程41)(=-m x xf 在[]2,2-上有6个互不相同的解，求实数a 的取值范围.。
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答 (2)
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+= 。
当60sin sin 1αβαβ==⇒+=> ，但90αβ+≠ 。
3． 已知等比数列{a n }：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ）A.22z i =+B. 22z i =--C. 22,z i =-+或22z i =-D. 22,z i =+或22z i =--答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB ∙=∙，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM ∙=-∙-=-++∙22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒∙=⇔⊥。
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(解答)
2008年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题（解答）本卷满分为150分，考试时间为120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ C ）个 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【分析】显然M P =，∴111001,,,,,001111a a a a a a b b b b b b ==-====-⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨===-==-=⎩⎩⎩⎩⎩⎩有6组解，S 有6个元素，选C 。
2．设D 为△ABC 的边A B 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25A P A DBC =+，则APD ABCS S =△△ （ C ）A. 35B.25C.15 D.310【分析】如图25D P B E B C == ∴25A D BC AD D P A P +=+=四边形DPEB 为平行四边形，1sin 1215sin 2APD ABCAD D P ABCS S AB BC AD P⨯⨯∠==⨯⨯∠△△，选C 。
3．在点O 处测得远处质点P 作匀速直线运动，开始位置在A 点，一分钟后到达B 点，再过一分钟到达C 点，测得0090,30AO B BO C ∠=∠=，则tan O A B ∠= （ B ）A ．32B ．2C 3D ．23【分析】如图延长OB 到D ，使得BD=OB ，则四边形OADC 为平行四边形E P DCBA∴090ODC AOB ∠=∠=，又030BOC ∠=，则1222O B O D D C O A ===，tan 2O B O AB O A∠==B 。
4．已知当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，则函数sin cos y a x x =-图象的一条对称轴为 （ A ） A ．3x π=-B ．3x π=C ．6x π=-D ．6x π=【分析】∵当6x π=时，函数sin cos y x a x =+取最大值，∴122+=解得：a =∴sin cos 2sin()6y a x x x π=-=-，∴3x π=-是它的一条对称轴，选A 。
2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(附答案)
2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(附答案)2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ⋂)(是（▲） A.},16|{Z n n x x ∈±== B.},26|{Z n n x x ∈±= C.},36|{Z n n x x ∈-= D.},13|{Z n n x ∈±=2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（▲） A.6 B.26 C.10 D.123. 函数242x x y -=的值域是（▲）A.]4,0[B.]4,4[-C.]2,2[-D.]2,0[ 4．设,11)(+-=x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （▲） A ．x B.x1-C.11+-x xD.x x -+115．化简=-+)4tan()4(sin 42cos 2απαπα（▲）A.αcosB.αsinC.1D.216.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-b a ，则θ的取值范围为（▲） A.30πθ<≤ B.23πθπ≤< C.πθπ≤<3D.πθπ<<37．设)0,21(-∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（▲）A.123ααα<<B.231ααα<<C.213ααα<<D.132ααα<<8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 232333n n m m n m -++-+≥+成立，则有（▲）A. 0≤+n mB. 0≥+n mC.0≤-n mD.0≥-n m 9．方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是（▲） A.62 B.63 C.64 D.65 10．设方程0133=--x x 的三个实根是1x 、2x 、3x )(321x x x <<.则代数式)())((132323x x x x x x --+-的值为（▲）A. 2-B.1-C.1D.0 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy 2log 2-=的定义域为 ▲ .12.若)(log log )(log log 3993x x =，则=x ▲ . 13. 不等式06||52||23<+--x x x 的解集是 ▲ .14.已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在区间),0[+∞上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在区间]1,21[上恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .15. 定义区间],[21x x 的长度为)(1212x x x x >-，已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x f 的定义域与值域都是)](,[m n n m >，则区间],[n m 取最大长度值为 ▲ .16.若ABC ∆的重心为G ，4,3,2===BC AC AB ，动点P 满足GC z GB y GA x GP ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 ▲ .17.已知函数||3)(2a x x x f -+=，若4])([2≤+b x f 对任意]1,1[-∈x 恒成立，则b a +3的取值集合 ▲ .三、解答题：本大题共3小题，共51分．18. （本题满分15分）已知函数)0(3cos 32cos sin 2)(2>+-=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.π（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.若)(x g y =在)0](,0[>b b 上至少有20个零点，求b 的最小值.19. （本题满分18分）已知O 为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(===a a . （I ）当]0,4[-∈a 时，求||OC OB OA ++的取值范围；（II ）若),(y x OP =，记|}||,||,max{|PC PB PA M =，当a 取遍一切实数时，求M 的最小值.20. （本题满分18分）已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，),,()(2R f e d f ex dx x g ∈++=.（I ）当1=a 时，对任意实数x 均有|132||)(|2+-≤x x x f ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若|)(|)(x g x f ≥对任意实数x 成立，求证：|4|422e df b ac -≥-.2015年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题2015年4月 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知全集Z U =，},3|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==，则B A C U ⋂)(是（ C ）A.},16|{Z n n x x ∈±==B.},26|{Z n n x x ∈±=C.},36|{Z n n x x ∈-=D.},13|{Z n n x ∈±=解析：},36,16|{Z n n x n x x A C U ∈-=±==，},36,6|{Z x n x n x x B ∈-===， 则B A C U ⋂)(=},36|{Z n n x x ∈-=，故答案选C .2.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度是4，则扇形的周长为（ A ） A.6 B.26 C.10 D.12解析：设扇形的半径为,r 弧长为l .由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4221r l lr ，解得⎩⎨⎧==41l r ，所以扇形的周长为62=+r l ，故答案选A .3.函数242x x y -=的值域是（ B ）A.]4,0[B.]4,4[-C.]2,2[-D.]2,0[解析： 函数242x x y -=是在]2,2[-上的奇函数，∴只需考虑当]2,0[∈x 时函数的取值范围，当]2,0[∈x 时，]4,0[4)2(2422242∈+--=-=x x x y ，所以函数242x x y -=的值域为]4,4[-，答案选.B 4．设,11)(+-=x x x f 记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2015x f （ D ）A ．x B.x1-C.11+-x xD.x x -+11解析：x x x x x x x f x f 1111111)11()(2-=++--+-=+-=，111111)1()(3-+-=+---=-=x x x x x f x f ， x x x x x x x f x f =+-+---+-=-+-=111111)11()(4，)(11)(15x f x x x f =+-=，依次类推可知：).()(4x f x f n n =+ 所以11)()(32015-+-==x x x f x f ，故答案选.D 5． 化简=-+)4tan()4(sin 42cos 2απαπα（ D ）A.αcosB.αsinC.1D.21解析：先考虑分母：αααπαπαπtan 1tan 12)22cos(14)4tan()4(sin 42+-⋅+-=-+ αααααααα2cos 2)sin (cos 2sin cos sin cos )2sin 1(222=-=+-⋅+=，所以原式等于.216.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ.若1||>-b a ，则θ的取值范围为（ C ） A.30πθ<≤ B.23πθπ≤< C.πθπ≤<3D.πθπ<<3解析： 1||>-b a ，两边平方可得：1222>+⋅-，因为与均为单位向量，则21cos <θ，又因为],0[πθ∈，则πθπ≤<3，答案选C .7．设)0,21(-∈x ，以下三个数παπαπα)1cos(),sin(cos ),cos(sin 321+===x x x 的大小关系是（ A ）A.123ααα<<B.231ααα<<C.213ααα<<D.132ααα<< 解析：法一：取特殊值41-=x ，则22cos 1=α，22sin 2=α，223-=α， 4220π<<，则123ααα<<，答案选A . 法二：当)0,21(-∈x 时，0,0,0321<>>ααα，)sin 2sin(1x ππα+=，此时x ππsin 2+与x πcos 都属于区间)2,0(π，易知x x πππcos sin 2>+，则21αα>.8．若对任意的实数n m ,，有)1(log )1(log 232333n n m m n m -++-+≥+成立，则有（ B ）A. 0≤+n mB. 0≥+n mC.0≤-n mD.0≥-n m解析：因为)1(log )1(log )1(log )1(log 2323232333n n m m n n m m n m ++-++-=-++-+≥+，则)1(log )1(log 233233n n n m m m ++--≥+++，构造函数)1(log )(233x x x x f +++=是单调递增函数，则n m -≥，所以0≥+n m ，答案选.B 9．方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是（ B ） A.62 B.63 C.64 D.65解析：考虑函数x y 2log =和函数)4sin (4x y π=的图像可知有63个交点，所以方程)4sin(log 412x x π=的实根个数是63个.10．设方程0133=--x x 的三个实根是1x 、2x 、3x )(321x x x <<.则代数式)())((132323x x x x x x --+-的值为（D ）A. 2-B.1-C.1D.0解析：利用三倍角公式得到方程：0133=--x x 的三个根是140cos 2、100cos 2、20cos 2，再化为三角求值，答案为0.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11.函数xxy 2log 2-=的定义域为___________.解析：,0log 0022⎪⎩⎪⎨⎧≠>≥-x x x 则函数的定义域为}120|{≠≤<x x x 且. 12. 若)(log log )(log log 3993x x =，则=x .解析：设t x =9log ，则t x 2log 3=，所以)2(log 21)2(log log 393t t t ==， t t 22=， 所以2=t ，故81=x .13.不等式06||52||23<+--x x x 的解集是_________.解析：观察可知1=x 是方程06||52||23=+--x x x 的一个根，则0)2|)(|3|)(|1|(|6||52||23<+--=+--x x x x x x ，所以3||1<<x ，所以原不等式的解集为)3,1()1,3(⋃--.14.已知)(x f 是偶函数，且)(x f 在区间),0[+∞上是增函数，若)2()1(-≤+x f ax f 在区间]1,21[上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.解析： )(x f 是偶函数，则|)2(||)1(|-≤+x f ax f ，又)(x f 在区间),0[+∞上是增函数， 则|2||1|-≤+x ax ，由数形集合可知只需：⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤+1|1|23|121|a a ，解得02≤≤-a .15. 定义区间],[21x x 的长度为)(1212x x x x >-，已知函数)0,(1)()(22≠∈-+=a R a xa x a a x f 的定义域与值域都是)](,[m n n m >，则区间],[n m 的最大长度值为 ▲ .解析：由题意知：函数xa x a a x f 221)()(-+=的定义域为}0|{≠x x ，],[n m 是函数)(x f 的定义域的子集，所以)0,(],[-∞⊆n m 或),0(],[+∞⊆n m ，而xa a a x f 211)(-+=在区间],[n m 上单调递增，则,)()(⎩⎨⎧==n n f mm f 即n m ,时方程x x f =)(的两个根，即n m ,是方程01)(222=++-x a a x a 的同号的相异实根，0>∆，解得：1>a 或.3-<a而34)311(32+--=-a m n ，当3=a 时，m n -的最大值为332. 16.若ABC ∆的重心为G ，4,3,2===BC AC AB ，动点P 满足GC z GB y GA x GP ++=（1,,0≤≤z y x ），则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于___________.解析：极端值方法：令0=x ，则z y +=，则点P 位于平行四边形C GBG 1内（如图所示），同理可得另外两种情况，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积S 是ABC ∆的面积的两倍，令x BD =，则x CD -=4，由勾股定理：2222CD AC BD AB -=-可求得：.811=x则8153=AD ,所以.2153815342122=⋅⋅⋅==ABC S S17. 已知函数||3)(2a x x x f -+=，若4])([2≤+b x f 对任意]1,1[-∈x 恒成立，则b a +3的取值集合 ▲ .}2{-三、解答题：本大题共3小题，共51分．18. （本题满分15分）已知函数)0(3cos 32cos sin 2)(2>+-=ωωωωx x x x f 的最小正周期为.π（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数)(x g y =的图像.若)(x g y =在)0](,0[>b b 上至少有20个零点，求b 的最小值. 解：（Ⅰ）322cos 1322sin 3cos 32cos sin 2)(2++⋅-=+-=xx x x x x f ωωωωω)32sin(22cos 32sin πωωω-=-=x x x …………3分函数)(x f 的最小正周期为π，则πωπ==22T ，则1=ω， …………5分 所以)32sin(2)(π-=x x f ，令223222πππππ+≤-≤-k x k ， …………6分解得12512ππππ+≤≤-k x k ， 则函数)(x f 的单调递增区间为.],125,12[Z k k k ∈+-ππππ …………8分 （Ⅱ）由题意：12sin 2)(+=x x g ，令0)(=x g ， 得ππ127+=k x 或.,1211Z k k x ∈+=ππ …………11分 所以在每个周期上恰好有两个零点，若)(x g y =在],0[b 上至少有20个零点，即b 应该大于等于第20个零点的横坐标， …………13分 则.1211912119min πππ=+=b …………15分 19. （本题满分18分）已知O 为坐标原点，)4,3(),,0(),0,(===a a . （I ）当]0,4[-∈a 时，求||OC OB OA ++的取值范围；（II ）若),(y x OP =，记|}||,||,max{|PC PB PA M =，当a 取遍一切实数时，求M 的最小值.解：（Ⅰ）由题意：)4,3(++=++a a OC OB OA ， …………1分 则25142)4()3(||222++=+++=++a a a a …………3分令25142)(2++=a a a f ，对称轴]0,4[27-∈-=a …………4分 则21)27()(min =-=f a f ， …………6分 由对称轴易知：)4()0(->f f ，所以25)(max =a f ， …………8分 故]5,22[25142)4()3(||222∈++=+++=++a a a a .…………10分 （II ）对于某个固定的a ，M 的最大值显然可以趋向∞+，实际上就是当P 为ABC ∆的外心时，此时||||||PC PB PA ==取最小值，因为当P 不是外心时，|||,||,|PC PB PA 至少有一个会变大，这样M 就变大， …………12分外心坐标为)14225,14225(22----a a a a P ， …………14分 要使||||||PC PB PA ==最小，需要a a a =--142252，解得627-=a ， …………17分 故M 的最小值为.627- …………18分 20. （本题满分18分）已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，),,()(2R f e d f ex dx x g ∈++=.（I ）当1=a 时，对任意实数x 均有|132||)(|2+-≤x x x f ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若|)(|)(x g x f ≥对任意实数x 成立，求证：|4|422e df b ac -≥-.解：（Ⅰ）设方程01322=+-x x 的两个实根分别为1和21则由条件可知：0|)21(|,0|)1(|≤≤f f ，从而0)21()1(==f f ，由韦达定理知：21,23=-=c b ， 故函数)(x f 的解析式为：.2123)(2+-=x x x f …………6分 （II ）若0=a ，则0=d ，此时式子转化为c bx f ex +≤+||，即c bx f ex c bx +≤+≤--对任意R x ∈恒成立，易知0==e b ，故要证明的不等式显然成立. …………8分 当0≠a 时，0||22≥++≥++f ex dx c bx ax 恒成立，因此04,02≤->ac b a .进一步，我们不妨设0>d ，则f ex dx f ex dx c bx ax ++≥++≥++222||，可以知道0>≥d a . 记f ex dx x g ++=2)(，下面分两种情况：（ⅰ）若042>-df e ，则由|)(|2x g c bx ax ≥++可以得到：c bx ax f ex dx c bx ax ++≤++≤---222对任意R x ∈恒成立即：0)()(2≥+++++f c x e b x d a 及0)()(2≥-+-+-f c x e b x d a 对任意R x ∈同时恒成立.所以0))((4)(2≤++-+f c d a e b 及0))((4)(2≤----f c d a e b 同时成立，两个式子相加可以得到：04422≤--+df ac e b ，则|4|44222e df df e b ac -=-≥-，即要证明的不等式成立. …………14分 （ⅱ）若042≤-df e ，则0)(≥x g ，且de df xg 44)(2min -=. 在已知条件中取a b x 2-=，则可以得到：de df a bg a b ac 44)2(4422-≥-≥-， 由0>≥d a 可以知道：|4|44222e df e df b ac -=-≥-. …………18分。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛(4)答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（4）一、选择题1．岩岩家住在人民广场附近，她经常看到有好多人把自行车存到广场旁边．有一次她问看自行车的老大爷，得知当天的存车量为6 882辆次，其中普通自行车的存车费是每辆次0.2元，电动自行车的存车费是每辆次0.5元，且到19∶00以后，两种存车费都要翻倍．已知该天普通自行车19∶00之前的存车量为5 180辆次，19∶00之后的存车量为335辆次，其总收入为电动自行车的1.5倍．那么电动自行车在晚19∶00前和19∶00后的存车量各有（）A．1 072辆次、294辆次B．1 174辆次、193辆次C．973辆次、394辆次D．1 173辆次、254辆次2．小王8∶30从家出门去参观房展，家里的闹钟也指向8∶30，房展结束，他12∶00准时回到家，发现家里的闹钟才11∶46，那么，再过几分钟此闹钟才能指到12点整（）A．13分钟B．14分钟C．15分钟D．16分钟3．6月份以来，猪肉价格一路上涨．为平抑猪肉价格，某省积极组织货源，计划由A、B、C三市分别组织10辆、10辆和8辆运输车向D、E两市运送猪肉，现决定派往D、E两地的运输车分别是18辆、10辆，已知一辆运输车从A市到D、E两市的运费分别是200元和800元，从B市到D、E两市的运费分别是300元和700元，从C市到D、E两市的运费分别是400元和500元．若设从A、B两市都派x辆车到D市，则当这28辆运输车全部派出时，总运费W（元）的最小值和最大值分别是（）A．8 000，13 200 B．9 000，10 000C．10 000，13 200 D．13 200，15 400二、填空题4．小龙乘坐商场的自动扶梯下楼，他以每步一级的速度往下走，结果走了30步就到楼下，猛然发现，由于匆忙包丢在购物处了，接着他又以下楼时速度的3倍冲上楼梯，结果走了90步才到楼上，当电梯停下时，露在外面的电梯一共有级．5．“爱心”教育基金会资助某山村学校13 440元，其中七、八年级的学生平均每人60元，七、八年级的每位学生都接受了资助；九年级每个学生100元，但九年级学生有40%因家庭条件好而未接受资助．则该学校一共有名学生．6．如图3所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，且AD=2cm，请问徽标的外围周长为cm．7．你看过机器人大赛吗？在美国旧金山举办的世界机器人大赛中，机器人踢足球可谓是独占鳌头．如图4，AOB∠= ，45cm90OB=，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方OA=，15cm向匀速前进向点O滚动，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进截小球，在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC=cm．三、解答题8．（本题15分）2008年北京奥运会的主会场——鸟巢年底就要竣工了，也许你也知道它全都是利用优质钢筋焊接而成的．也许你会为它骄傲，为它自豪．可是你是否知道为了节约钢筋，还有许多科学道理呢？如图5就是从长为40cm，宽为30cm的矩形钢板的左上角剪下一块长为20cm、宽为10cm的矩形后剩下的一块脚料，工人师傅为了节约，要将它做适当的切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件再重新使用．（1）请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图5（2）和图5（3）中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得的正方形，保留拼接的痕迹）；（2）比较（1）中的两种方案，哪种更好些？说说你的看法和理由．也为建设节约型社会做出一点贡献！9．（本题15分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．今年首个超强台风“圣帕”第0709号超强台风（圣帕）于8月13日在北纬21.3度，东经123.3度的太平洋上生成，其中心气压925百帕，近中心最大风速55米/秒，生成时还是热带风暴的“圣帕”，在连跳两级后，15日晚8时已“变身”为超强台风．向台湾东部沿海逼近并登陆台湾岛，之后于19日上午将在福建中南部沿海福州一带再次登陆．在这之前，台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图6所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？卷参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1．B2．C （提示：从8∶30到12∶00共三个半小时，在这三个半小时内闹钟共慢了14分钟，平均每小时慢4分钟，所以慢钟与正常钟走时之比为604146015-=，慢的闹钟从11点46分走到12点整，按慢钟来计要走14分钟，因此若按准时的钟来计就要15分钟了．）3．C （提示：由题设可知A 、B 、C 三市派往D 市的运输车的辆数分别是x 、x 、（182x -）辆，派往E 市的运输车的辆数为10x -，10x -，210x -，则总运费200300400(182)800(10)700(10)500(210)W x x x x x x =++-+-+-+-80017 200x =-+．依题意有01001828x x ⎧⎨-⎩≤≤，≤≤，解之，得59x ≤≤，当5x =时，13 200W =最大元，当9x =时，10 000W =最小元．故选C ．）二、填空题（每小题6分，共30分）4．60（提示：设往下走时，人走一步电梯往下走x 级，则有903030903x x +=-，解得1x =，所以电梯的级数为303060+=（级）．）5．224（提示：资助九年级学生每人100元，但有40%的学生没有接受资助，这样九年级所有学生的平均钱数也是每人60元，而七、八年级每人60元，即整个学校每个学生平均能得到60元，所以该校学生总人数为13 44060224÷=（人）．）6．52（提示：设Rt ABC △的较长直角边为a ，短直角边为b ，斜边为c ，依题意有3a b -=，1113124ab -=．又由勾股定理得22222()23112121c a b a b ab =+=-+=+=，所以11cm c =，故徽标的外围周长4(112)52(cm)=⨯+=．）7．25（提示：因为BC AC =，所以可设BC x =，则45OC OA AC x =-=-，在Rt BOC △中，根据勾股定理可得：222(45)15x x -+=，解得25x =．即机器人行走的路程为25cm ）．三、解答题（每小题15分，共60分）8．（1）图1和图2即为所作图．（2）图1中第一种分割方案较好，因为分割的块数较少．但焊接处和图2中第二种方案一样长．9．解：（1）该城市会受到台风影响．理由：如图3，过点A 作AD BC ⊥于D 点，则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．在Rt ABD △中，因为30240B AB ∠== ，． 11由题可知，距台风中心在(124)25200-⨯=（千米）以内时，则会受到台风影响． 因为120＜200，因此该城市将会受到“圣帕”影响．（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200千米时，会受台风影响，故在BC 上作200AE AF ==；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图4） 由勾股定理得，2222200120160DE AE AD =-=-=（千米）．所以2160320EF =⨯=（千米）．又知“圣帕”中心以20千米/时的速度移动．所以台风影响该城市3202016÷=（小时）．（3）该城市受台风影响最大风力7.2级．。
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛答案
温州市“摇篮杯——生活中的数学知识”大赛训练题（3）一、判断决策（本题20分）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，那么用x单位量的a≥）单水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是多少？现有a（2位量的水供清洗，可以一次，也可以平分水量两次清洗，你认为选择哪种方法更好呢？请说明理由．如果水能平均三次清洗，效果会如何？二、实践应用（本题20分）某市的公共汽车实行的是一票制（一次上车不管乘几站，票价都是一样的）．张先生所在的公司每月发80元的公交费，起初他是每次乘车用现金买票，则所发公交费的余额与乘车次数的函数图象如图中的一条线段；后来，他将每月的80元公交费买成公交公司的“IC”卡．按规定，打卡乘车比用现金买票乘车可优惠20%．这样，卡上的余额与乘车次数的函数图象就如下图中的另一条线段．（1）填空（填“Ⅰ”或“Ⅱ”）：每次乘车用现金买票时，余额与乘车次数的函数图象是________；买成IC卡后，余额与乘车次数的函数图象是________．（2）求出线段Ⅰ和线段Ⅱ所表示的函数关系式；（3）如果张先生每月平均乘坐公交车70次，则他用IC卡消费比用现金消费可以省下多少钱？三、动手操作（本题20分）手工课上有位小朋友想剪一个正三角形，可手上只有一张正方形的手工纸，若你是小朋友的手工课老师，你能帮助这位小朋友得到正三角形吗？请画出图形，写出操作过程，并说明理由．四、方案设计（本题20分）某汽车配件厂有工人300人，生产甲种配件，平均每人每年可创造利润m万元（m为大于零的常数），为减员增效，决定从中调配x人去生产新开发的乙种配件，根据预算，调配后继续生产甲种配件的工人平均每人每年创造利润可增加20%，生产乙种配件的工人平均每人每年可创造利润1.54m万元．（1）调配后，此汽车配件厂生产甲、乙两种配件的年利润分别为多少？（用含m，x的代数式表示）（2）如果调配后，生产甲种配件的年利润不小于调配前年利润的45，生产乙种配件的年利润大于调配前年利润的一半，应如何设计调配方案？哪种方案全年总利润最大？参考答案 一、解：（1）11x+． ·············································································· 2分 （2）①若选择一次清洗，则清洗后残留农药为：11a+． ································· 3分 ②若分两次清洗，则第一次清洗后残留农药为：12212a a =++． ······················· 6分 第二次清洗后残留农药为：224222422a a a a a +=++++． ···································· 9分 222221424442124(24)(1)(24)(1)a a a a a a a a a a a a a a ++----==+++++++++． ··················· 12分 ∵2a ≥，∴2140124a a a -+++≥． ····································································· 14分 ∴选择分两次的方法进行清洗，这样水果或蔬菜上的残留农药更少一些． ··········· 16分如果水能平分三次清洗，水果或蔬菜上的残留农药会更少． ··························· 20分二、（1）Ⅰ，Ⅱ；（2）设Ⅱ的函数关系式为y kx b =+，因（0，80）和（100，0）满足关系式，即800100.b k b =⎧⎨=+⎩，解得804.5b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴4805y x =-+（x 取整数）． ················ 10分 由图象Ⅱ知，用IC 卡，每次乘车实用金额为800.8100=（元）． 设每次用现金购买为z 元，则依题意知(120%)0.8z -=，1z =（元）．∴Ⅰ所代表的函数关系式为80y x =-+（x 取整数）． ································· 16分（3）(10.8)7014-⨯=（元）． ································································· 20分三、如下图，先对折正方形ABCD ，得到折线MN ；将重叠的两边AD 、BC 过C （D ）点向MN 方向折叠，使顶点B （和A ）落在MN 上的点E 处；然后再沿EC （ED ）折叠一次，展开后得到正三角形CDE ． ································································································ 8分。
浙江省高中数学竞赛试题及解答
2013年浙江省高中数学竞赛试题解答一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1． 集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为（ ）A. 3a ≥B. 1a ≤-.C. 1a ≤-或 3a ≥D. 13a -≤≤答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。
解得1a ≤-或 3a ≥。
2． 若,,R αβ∈ 则90αβ+=o是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 若0,90sin sin 1αβαβ==⇒+=o。
当60sin sin 1αβαβ==⇒+=>o ，但90αβ+≠o。
3． 已知等比数列{an}：,31=a 且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（ ）A. D.答案 B 计算得2733,q a ==4. 已知复数(,,z x yi x y R i =+∈为虚数单位），且28z i =，则z =（ ） A.22z i =+ B. 22z i =-- C. 22,z i =-+或22z i =- D. 22,z i =+或22z i =-- 答案 D5. 已知直线AB 与抛物线24y x =交于,A B 两点，M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足00min{}C A C B CA CB •=•u u u u r u u u u r u u u r u u u r，则下列一定成立的是（ ）。
A. 0C M AB ⊥B. 0,C M l ⊥其中l 是抛物线过0C 的切线C. 00C A C B ⊥D. 012C M AB =答案 B2()()()CA CB CM AM CM BM CM CM AM BM AM BM •=-•-=-++•u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 22min min{}CM AM CA CB CM CM l =-⇒•=⇔⊥u u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r。
2013年全国高中数学联合竞赛一试真题及答案
2013年全国高中数学联合竞赛一试一.填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1. 设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为 .2. 在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足4OA OB ⋅=-，F 是抛物线的焦点.则OFA OFB S s ∆∆⋅= .3. 在ABC ∆中，已知sin 10sin sin A B C =，cos 10cos cos A B C =,则tan A 的值为 .4. 已知正三棱锥P ABC -底面边长为1，则其内切球半径为 .5. 设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 .6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为 .7. 若实数,x y满足x -，则x 的取值范围是 .8. 已知数列{}n a 共有9项，其中191a a ==，且对每个{}1,2,,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则这样的数列的个数为 .二.解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9. （本题满分16分）给定正数数列{}n x 满足12n n S S -≥，2,3,n =，这里1n n S x x =++.证明：存在常数0C >,使得2n n x C ≥⋅，1,2,n =.10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点.若平面中两个点Q R 、满足11QA PA ⊥，22QA PA ⊥,11RF PF ⊥,22RF PF ⊥，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.11. （本题满分20分）求所有的正实数对(),a b ，使得函数()2f x ax b =+满足：对任意实 数,x y ，有()()()()f xy f x y f x f y ++≥.。
2013年浙江温州中考数学试卷及答案(word解析版)
2013温州市中考数学解析版数学（满分：150分 考试时间120分钟）一、选择题（本题有10小题，每个小题4分，共40分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分） (2013浙江温州市，1，4分)计算：（-2）×3的结果是（ ）A -6B -1C 1D 6 【答案】A(2013浙江温州市，2，4分)小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么？（只选一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图 由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是（ ）A 羽毛球B 乒乓球C 排球D 篮球 【答案】D(2013浙江温州市，3，4分)下列个图中，经过折叠能围成一个立方体的是（ ）【答案】A(2013浙江温州市，4，4分)下列各组数可能是一个三角形的边长的是（ ）A 1,2,4B 4,5,9C 4,6,8D 5,5,11 【答案】C(2013浙江温州市，5，4分)若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A x =3 B x =0 C x =-3 D x =-4 【答案】A(2013浙江温州市，6，4分)已知点P （1，-3）在反比例函数)0(≠=k xky 的图象上，则k的值是（ ）A 3B -3 C31 D 31- 【答案】B(2013浙江温州市，7，4分)如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是（ ）A3 B 5 C 15 D 17【答案】B(2013浙江温州市，8，4分)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，则sinA 的值是（ ）A43 B 34 C 53 D 54【答案】C(2013浙江温州市，9，4分)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC 已知AE =6，34AD DB =，则EC 的长是（ ）A 45B 8C 105D 14 【答案】B(2013浙江温州市，10，4分)在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示，若AB =4，AC =2，12-S 4S π=，则S 3-S 4的值是（ ）A429π B 423π C 411π D 45π【答案】D二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）(2013浙江温州市，11，5分)因式分解：m 2-5m = 【答案】m （m-5）(2013浙江温州市，12，5分)在演唱比赛中，5位评委给一位歌手打分如下：82分，83分，78分，77分，80分，则这位歌手的平均分是 分 【答案】80(2013浙江温州市，13，5分)如图，直线a ，b 被直线c 所截 若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度【答案】110(2013浙江温州市，14，5分)方程x 2-2x -1=0的解是 【答案】21,2121-=+=x x(2013浙江温州市，15，5分)如图，在平面直角坐标系中△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为（-2,0），（-1,0），BC ⊥x 轴 将△ABC 以y 轴为对称轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A ′，B 和B′，C 和C ′分别是对应顶点）直线y =x +b 经过点A ，C ′，则点C ′的坐标是【答案】（1,3）(2013浙江温州市，16，5分)一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞 现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上，木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点B 的距离及相关的数据（单位：cm ）后，从点N 沿折线NF —FM （NF ∥BC ，FM ∥AB ）切割，如图1所示图2中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不计损耗），则CN ，AM 的长分别是【答案】18cm ，31cm三、解答题（本题有8小题，共80分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）(2013浙江温州市，17(1)，5分)计算：0211-28）（）（++解：0211-28）（）（++=22+（2－1）+1=32(2013浙江温州市，17(2)，5分)化简：(1+a )(1-a )+a （a -3） 解：（1+a ）（1-a ）+a （a -3）=1-a 2+a 2-3a =1-3a(2013浙江温州市，18，8分)如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E（1）求证：△ACD ≌△AED ； （2）若∠B =30°，CD =1，求BD 的长 （1）证明1：∵AD 平分∠CAB∴∠CAD =∠EAD ∵DE ⊥AB , ∠C =90°， ∴∠ACD =∠AED =90° 又∵AD =AD ，∴△ACD ≌△AED (AAS) 证明2：∵∠C =90°，∴AC ⊥CD ， ∵DE ⊥AB , ∴CD =DE ，∵AD =AD ,∴△ACD ≌△AED (HL) (2)解：∵△ACD ≌△AED ∴DE =CD =1 ∵∠B =30°, ∠DEB =90°, ∴BD =2DE =2(2013浙江温州市，19，9分)如图，在方格纸中，△ABC 的三个顶点和点P 都在小方格的顶点上按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部．．，在图甲中画出示意图；（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部．．，在图乙中画出示意图解：(1)答案如图示：(2)答案如图示：(2013浙江温州市，20，10分)如图，抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连结BD已知点A的坐标为（-1,0）（1）求抛物线的解析式；（2）求梯形COBD的面积解：（1）把A（-1,0）代入y=a(x-1)2+4，得0=4a+4，∴a=-1，∴y=-(x-1)2+4（2）令x=0，得y=3，∴OC=3∵抛物线y=-(x -1)2+4的对称轴是直线x =1，∴CD =1 ∵A （-1,0） ∴B （3,0）， ∴OB =3 ∴.623)31(=⨯+=COBD S 梯形(2013浙江温州市，21，10分)一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；（2）现在袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于31。
2013温州数学中考试卷+答案
2013年浙江省初中毕业生学业考试(温州市卷)数学试题（含答案全解全析）(满分:150分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本题有10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1.计算:(-2)×3的结果是( )A.-6B.-1C.1D.62.小明对九(1)班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么?(只选一项)”的问题进行了调查,把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图,由图可知,该班同学最喜欢的球类项目是( )九(1)班同学最喜欢的球类项目统计图A.羽毛球B.乒乓球C.排球D.篮球3.下列各图中,经过折叠能围成一个立方体的是( )4.下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,115.若分式-3的值为 0,则x的值是( )A.3B.0C.-3D.-46.已知点P(1,-3)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值是( )A.3B.-3C.3D.-37.如图,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( )A. B. C. D.8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB= ,BC=3,则sin A的值是( )A.3B.3C.3D.9.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,=3,则EC的长是( )A.4.5B.8C.10.5D.1410.在△ABC中,∠C为锐角,分别以AB,AC为直径作半圆,过点B,A,C作,如图所示,若AB=4,AC=2,S1-S2=,则S3-S4的值是( )A. 29B.23C. D.第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11.因式分解:m2-5m= .12.在演唱比赛中,5位评委给一位歌手的打分如下:8.2分,8.3分,7.8分,7.7分,8.0分,则这位歌手的平均得分是分.13.如图,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠ = 0°,∠2= 0°,则∠3=度.14.方程x2-2x-1=0的解是.15.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-2,0),(- ,0),BC⊥x轴,将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换,得到△A'B'C'(A和A',B和B',C 和C'分别是对应顶点).直线y=x+b经过点A,C',则点C'的坐标是.16.一块矩形木板,它的右上角有一个圆洞,现设想将它改造成火锅餐桌桌面,要求木板大小不变,且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上,木工师傅想到了一个巧妙的办法,他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据(单位:cm)后,从点N沿折线NF—FM(NF∥BC,FM∥AB)切割,如图1所示,图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠,无缝隙,不计损耗),则CN,AM的长分别是.图1 图2三、解答题(本题有8小题,共80分,解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)17.(本题10分)(1)计算:+(-1)+20 ;(2)化简:(1+a)(1-a)+a(a-3).18.(本题8分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD= ,求BD的长.19.(本题8分)如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点和点P 都在小方格的顶点上,按要求画一个三角形,使它的顶点在方格的顶点上.(1)将△ABC平移,使点P落在平移后的三角形内部．．,在图甲中画出示意图;(2)以点C为旋转中心,将△ABC旋转,使点P落在旋转后的三角形内部．．,在图乙中画出示意图.图甲图乙20.(本题10分)如图,抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连结BD.已知点A的坐标为(-1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)求梯形COBD的面积.21.(本题10分)一个不透明的袋中装有5个黄球,13个黑球和22个红球,它们除颜色外都相同.(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率;(2)现从袋中取出若干个黑球,并放入相同数量的黄球,搅拌均匀后,使从袋中摸出一个球,问至少取出了多少个黑球?是黄球的概率不小于322.(本题10分)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与☉O的另一个交点为E,连结AC,CE.(1)求证:∠B=∠D;(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长.23.(本题10分)某校举办八年级学生数学素养大赛,比赛共设四个项目:七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原,每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分.下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况((1)比赛后,甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四项得分分别按10%,40%,20%,30%折算记入总分.根据猜测,求出甲的总分;(2)本次大赛组委会最后决定,总分为80分以上(包括80分)的学生获一等奖.现获悉乙、丙的总分分别是70分,80分,甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分.问甲能否获得这次比赛一等奖?24.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0,8).点C的坐标为(0,m),过点C作CE⊥AB于点E.点D为x轴上一动点,连结CD,DE,以CD,DE为边作▱CDEF.(1)当0<m<8时,求CE的长(用含 m的代数式表示);(2)当m=3时,是否存在点D,使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得▱CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.答案全解全析：1.A (-2)×3=-6,故选A.2.D 因为喜欢篮球的比例为32%,所以该班同学最喜欢的球类项目是篮球,故选D.3.A 只有A经过折叠能够围成一个立方体,故选A.4.C 能够组成三角形的三边长必须满足两边之和大于第三边,故选C.5.A 若分式的值为0,则一定要满足分子为零,同时分母不为零.故选A.6.B 因为点P(1,-3)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,所以-3=k,即k=-3,故选B.7.B 因为OC⊥AB,AB= ,所以BC=2,又OC=1,所以OB=222=,故选B.8.C 由正弦定义得sin A==3,故选C.9.B 因为DE∥BC,所以=,即3=,所以EC=8,故选B.10.D 由题图可知S1+S3=2×22× =2 ,S2+S4=2× 2× =2,所以(S1+S3)-(S2+S4)=(S1-S2)+(S3-S4)=2 -2=32,又S1-S2=,所以S3-S4=32-=,故选D.11.答案m(m-5)解析m2-5m=m(m-5).12.答案8.0解析=×( .2+ .3+ . + . + .0)= .0(分).13.答案110解析因为a∥b,所以∠ =∠ (如图),所以∠3=∠ +∠2= 0°.14.答案 x 1=1+ 2=1-解析 由求根公式得x=2 (-2)2- (- )2=2 2 22= ± 15.答案 (1,3)解析 因为BC⊥x 轴,C 与C'关于x 轴对称,且B(-1,0),可设C'的坐标为(1,y),因为直线y=x+b 经过点A,C',所以把点A 的坐标(-2,0)代入y=x+b,得b=2,再把C'点的坐标(1,y)代入直线解析式得y=1+2=3,所以点C'的坐标是(1,3). 16.答案 18 cm,31 cm解析 由于点K 到AB 的距离是130-50=80(cm),BK=100 cm,所以点K 到BC 的距离是 002- 02=60(cm),由此可求得圆的半径为60-44=16(cm),所以圆心到AB 的距离是80+16=96(cm),要使圆心在矩形对角线交点上,所以CN=60- 0 2=18(cm),AM=96-302=31(cm).评析 本题以改造矩形桌面为载体,考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识,积累了将实际问题转化为数学问题的经验,渗透了图形变换思想,体现了数学思想方法在现实问题中的应用.17.解析 (1) +( 2-1)+ 2 0=2 =3 2.(2)(1+a)(1-a)+a(a-3) =1-a 2+a 2-3a =1-3a.18.解析 (1)证明:∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°,又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD= ,∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.19.解析(1)(2)20.解析(1)把A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4,得0=4a+4,∴a=-1.∴y=-(x-1)2+4.(2)令x=0,得y=3,∴OC=3.∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴是直线x=1,∴CD= .∵A点坐标为(-1,0),且点A、B关于直线x=1对称, ∴B点坐标为(3,0).∴OB=3,∴S梯形COBD=( 3)32=6.21.解析(1)摸出一个球是黄球的概率P=322=.(2)设取出x个黑球,由题意,得0≥3,解得x≥23,∴x的最小正整数解是9.则至少取出9个黑球.22.证明( )∵AB是☉O直径,∴∠ACB=90°,∴AC⊥BC.∵CD=CB,∴AD=AB,∴∠B=∠D.(2)设BC=x,则AC=x-2,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴(x-2)2+x2=42,解得x1=1+,x2=1-舍去).∵∠B=∠E,∠B=∠D,∴∠D=∠E,∴CD=CE.∵CD=CB,∴CE=CB= +23.解析(1)甲的总分: × 0%+ 9× 0%+ ×20%+ ×30%= 9. (分).(2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y.由题意,得20 0 0 0,20 090 0,解得0.3,0. .∴甲的总分:20+ 9×0.3+ ×0. = . > 0,∴甲能获一等奖.24.解析( )∵A( ,0),B(0, ),∴OA= ,OB= ,∴AB= 0.图1∵∠CEB=∠AOB=90°,又∵∠OBA=∠EBC,∴△BCE∽△BAO.,∴=,即=-∴CE=2 -3m.(2)∵m=3,∴BC= -m=5.CE=2 -3m=3.∴BE= ,∴AE=AB-BE=6,∵点F落在y轴上(如图2),∴DE∥BO,图2∴△EDA∽△BOA,∴ = ,即 - = 0,∴OD= 2 ,∴点D 的坐标为 2 ,0 .(3)取CE 的中点P,过点P 作PG⊥y 轴于点G,则CP= 2CE= 2 -3 0m.图3(Ⅰ)当m>0时,(i)当0<m<8时(如图3),易证∠GCP=∠BAO,∴cos∠GCP=cos∠BAO=3 .∴CG=CPcos∠GCP=3 × 2 -3 0m =3 2 -9 0m,∴OG=OC+CG=m+3 2 -9 0m= 0m+3 2 .由题意得OG=CP,∴ 0m+3 2 = 2 -3 0m,解得m= .(ii)当m≥ 时,OG>CP,显然不存在满足条件的m 的值.(Ⅱ)当m=0时,点C 与原点O 重合(如图4),满足题意.图4(Ⅲ)当m<0时,(i)当点E 与点A 重合时(如图5),图5易证△COA∽△AOB,∴ = ,即- = ,解得m=-92.图6(ii)当点E 与点A 不重合时(如图6),OG=OC-CG=-m- 3 2 -9 0m=- 0m-3 2 . 由题意,得OG=CP,∴- 0m-3 2 = 2 -3 0m,解得m=-9 3.综上所述,m 的值为 或0或-92或-9 3.评析 本题属于探究性问题,设计新颖,易理解,作答难.特别是第(3)小题,当动点D 在运动过程中不能得到矩形时,需要学生自己去寻找m 的值,对m 的取值范围进行讨论,画出相应图形.该题把观察、操作、探究、计算整合在一起,蕴含着函数、方程、分类、转化等重要的数学思想方法.。
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2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|53,}A a a x x N +==+∈,{|72,}B b b y y N +==+∈,则A B 中的最小的元素是 ( ▲ )A ．17B ．19C ．21D ．23【答案】D【解析】代入检验或者依次取值.2．已知角α的终边与3π的终边相同，则在[)0,2π内与3α的终边相同的角有 ( ▲ )个 A ．1 B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】713,,999πππ3．已知()f x x m =-, 当[0,9]x ∈时, ()4f x ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是 ( ▲ )A ．[1,0]-B ．(,1]-∞-C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】C【解析】t =2()2g t t t m =-+，max (3)34g g m ==+≤ 4．若(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，0αβπ<<<，(0)ka b a kb k +=-≠ ， 则βα-的值为 ( ▲ )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π 【答案】A 【解析】由(0)ka b a kb k +=-≠ 两边平方展开得到cos()0βα-=5.函数1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x x y x x x x+++-=++-++的最小正周期是 ( ▲ ) A ．2π B ．π C ．32π D ．2π 【答案】D 【解析】2sin y x=(sin 1)x ≠-6．ABC ∆中，tan 21,tan a B a c c C c -==，则角A 为 ( ▲ ) A ．6π B ．4π C ．3π D ． 2π 【答案】B【解析】由tan 2tan B a c C c -=得1cos ,23B B π==，再由sin 1)sin A C =得4A π= 7．在平行四边形ABCD 中，2CAB DBC DBA ∠=∠=∠，则sin CAB ∠的值为 ( ▲ )A ．13B ．12C ．D ．34 【答案】B【解析】记DBA α∠=，O 为对角线交点，CAB CBO ∆∆ 得到2212BC CO CA CA =⋅=在ABC ∆中，由正弦定理得到sin 3sin 2AC BC αα==cos α= 8．已知O ，A ，B 是平面上的三点，向量,OA a OB b == ，设点P 是线段AB 垂直平分线上的任意一点，向量OP p = ，若3,2a b == ，则()p a b ⋅- 的值为 ( ▲ ) A ．52 B ．3 C ．72D ． 4【答案】A【解析】设AB 中垂线与AB 交于点C ，连OC ，1(),2CP p a b BA a b =-+=- ，由CP 与BA 垂直得到()p a b ⋅- =221()2a b - 9．设,82x y z x y z ππ≥≥≥++=，则cos sin cos x y z ⋅⋅的最小值为( ▲ )A ．18B ．．14 D ． 【答案】C 【解析】84x ππ≤≤，()21111cos sin cos cos sin()sin()cos sin()cos 2224x y z x y z y z x y z x ⋅⋅=++-≥+=≥ 10．当[0,1]x ∈时，不等式22cos (1)(1)sin 0x x x x αα--+->恒成立，则α的取值范围是( ▲ ) A ．1122,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ B ．522,66k k k Z πππθπ+<<+∈ C ．522,1212k k k Z πππθπ+<<+∈ D ．22,63k k k Z πππθπ+<<+∈ 【答案】C【解析】记22()cos (1)(1)sin f x x x x x αα=--+-，则(0)sin 0,(1)cos 0f f αα=>=>21()))2((1)2f x x x x =-+-+-，即102-+>，解得522,1212k k k Z πππαπ+<<+∈.二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分.11．函数()|2||1|f x x x =+--的值域为 ▲ ．【答案】[3,3]-12．22sin 13sin 47sin13sin 47︒+︒+︒⋅︒= ▲ ． 【答案】34【解析】构造三角形，内角分别为13,47,120︒︒︒，结合余弦定理即可13．过ABC ∆的重心G 的直线分别交直线AB 、AC 于点P 、Q ，若AC k AQ BP AB ==,，则k 的值是 ▲ ． 【答案】52 【解析】由1()3AG AB AC =+ ，设PG PQ λ= ，则 2(22)AG AP PG AB PQ AB k AC λλλ=+=+=-+ ，于是52,65k λ== 或者取正三角形即可。
14．记sin1sin1cos1cos1log cos1,log tan1,log sin1,log tan1A B C D ====则A ，B ，C ，D 四个数中最大数与最小数之和为 ▲ ．【答案】1【解析】最大数为A ，最小数为B15．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，且()1f x >。
若对任意(0,)x ∈+∞，都有2(())2f f x x -=，则)2(f 的值为 ▲ ．【答案】5【解析】由题意设2()(f x x k k -=为常数)，则2()f x x k =+，即2()2f k k k =+=，得1k =或2k =-（舍），即2()1f x x =+16．[]x 表示不大于实数x 的最大整数，方程2lg [lg ]2x x -=的解集为 ▲ ．【答案】1{100,10【解析】先由[]x x ≤，则2lg lg 20x x --≤，则1lg 2x -≤≤，讨论当[lg ]1,0,1,2x =-时方程的解. 17．一个数学魔术中，魔术师先请一个人随意想一个三位数abc （其中,,a b c 依次为这个数字的各个数位上的十进制数字），并请此人想出另5个数,,,,acb bac bca cab cba ，并求出这5个数的和S ，将和S 告诉魔术师，于是魔术师就说出了这个人所想的数abc .现在假设2013S = ，请你来做魔术师，三位数abc 为 ▲ ．【答案】651 【解析】222()S abc a b c +=++，要寻找222的整数倍即222k ，由201322291998>⨯=，20131000222143018+<⨯=，于是10,11,12,13k =经检验，只有k=12，即122222013651⨯-=，且65112++=可以符合题意.三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分）已知函数()sin sin()3f x x x πωω=+-（Ⅰ）若6x π=是函数()f x 的一个零点，212ω<<，求()f x 的最大值以及此时x 的取值集合；（Ⅱ）若0ω>，函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求ω的取值范围.解：（Ⅰ）())6f x x πω=-，()06f π=得到61,k k Z ω=+∈，则7ω=即())6f x x π=-，max f =，此时22{|,}217k x x k Z ππ=+∈——8分 （Ⅱ）26266-ππωππωπ≤-≤-≤x ，得到403ω<≤ -----------16分 19．（本题满分17分）已知非零向量a 和b ，函数22()2()1f x a x a b x =+⋅+ （Ⅰ）若方程()0f x =有两个相等的实根，||2b = ，求向量a 和b 夹角； （Ⅱ）若||||a b λ= ，函数()f x 在[2,1]--上的最小值为21b λ+ ，求实数λ的取值范围以及此时向量a 和b 夹角的余弦值.解：（Ⅰ）设向量a 和b 夹角为α，由0∆=得到1cos 2α=±，于是向量a 和b 夹角为3π或23π ——7分 （Ⅱ）对称轴为cos x αλ=- 当cos 2αλ-≤-时，即cos 2αλ≥时，2min (2)1f f b λ=-=+ 解得41cos 24λαλ-=<，不合题意 当cos 21αλ-<-<-时，即cos 2λαλ<<时，2min cos ()1f f b αλλ=-=+ 解得2cos αλ-=，不合题意 当cos 1αλ-≥-时，即cos αλ≤时，2min (1)1f f b λ=-=+ 解得1cos 2λαλ-=≤ 由11cos 12λα--≤=≤得到03λ<≤，此时1cos 2λα-= 综上，03λ<≤，此时1cos 2λα-= ----------17分 20．（本题满分18分）已知函数||()3x u f x -=，()||621g x x x u u =-+- （Ⅰ）当4u =时，关于x 的方程2(())()70g x mg x ++=有3个不同的实根，求实数m 的值；（Ⅱ）若对任意的(,3]s ∈-∞，总存在[3,)t ∈+∞，使得()()f s g t =成立，求实数u 的取值范围. 解：（Ⅰ）设()t g x =，270t mt ++=，作出函数()t g x =的图象 当3t =时，求出163m =-，另一个73t =可以符合题意 当7t =时，求出8m =-，另一个1t =可以符合题意当0∆=时，m =±t = 综上，163m =-或者8m =- ——8分 （Ⅱ）设函数(),()f x g x 的值域分别为,F G ，根据题意有F G ⊆当3u ≤时，[1,)F =+∞，min (3)3120g g u ==-<，可以符合题意 当3u >时，3[3,)u F -=+∞，min ()621(3)930g g u u g u ==-<=-，此时需36213u u --≤，记30w u =->，则633w w -≤，即01w <≤或2w ≥即34u <≤或5u ≥综上，4u ≤或5u ≥ --------18分。