北师版数学高二-必修5课件1.3.2等比数列的前n项和
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
北师大版高中数学必修五第一章数列1.3.2等比数列的前n项和课件
②÷①,得 1+q3=9,∴q3=8, 1 即 q=2.代入①,得 a1= , 2
1 n-1 n-2 ∴an=a1q =2×2 =2 , ������1 (1-������������ ) n-1 1 Sn= =2 - . 2 1-
题型一 题型二 题型三 题型四
-2-
3.2 等比数列的前n项和
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
1.等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;
当 q ≠1 时,Sn =
������1 (1-������������ ) ������ -������ ������ = 1 ������ . 1-������ 1-������
������1 (1- 2������ ) ������ = 189, 化简得 2 ������1 -������1 = 189, ① ������ 1-2 2 ������1 = 192, ② ������ -1
-5-
3.2 等比数列的前n项和
题型一 题型二 题型三 题型四
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-4-
3.2 等比数列的前n项和
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题型一 利用等比数列前n项和公式求相关量 【例1】 (1)在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
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北师大版高中数学必修5课件1.3等比数列的前n项和课件(北师大版)
第一方面 :探求公式其它推导方法 由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法. 那么 与 是否可以起到同样的化简效果？体现思维
的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要 作用。
(1)–(2)
效果如何？
(1) –(3)
通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成
功与快乐，感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养学生思维的严谨性
通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、灵活性
重点和难点
重点：等比数列前n项和公式、推导及应用
难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得
二. 教学方法
启发引导探究发现法： 教师 展 示 数 学 游 戏 启发引导 提 出 问 题 发现公式 类比猜想 激 励 深 化 示范 实 现 目 标 演练
证明猜想 分析寻找 学生
发现错位相消法 反 思
(独立思考、合作交流)
回 顾: 1. 什么是等比数列？ 2. 公比对等比数列有何影响？ 3. 项与项之间的关系如何？
数学游戏问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而 乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还 的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？
(1) –(4)
第二方面:公式的灵活应用: 1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 q n ) a1 a n q 2、q≠1时，S n 1 q 1 q
3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。
例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很 久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如 此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨班•达依尔，让他随意
高中数学必修五北师大版 等比数列的前n项和 课件(60张)
预习篇01
新知导学
等比数列前n项和公式
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn
a1－anq a11－qn ＝ 1－q ＝ 1－q
；当q＝1时，Sn＝ na1 .
【思路探究】 a11－qn ＝ 求S5. 1－q
(1)由a1，a5的值求q，已知a1，利用Sn
(2)a2＋a3＋a4＋a5＋a6可看成首项为a2，公比仍为{an} 的公比q的等比数列的前5项和，利用求和公式列方程组求 q，再求出a1，于是可求a8. a11－qn (3)可采用列方程组求a1，q的方法，用Sn＝ ， 1－q a1－anq 也可采用先求a1，an，利用公式Sn＝ 求n，q. 1－q
① ②
把②代入①得192－a1＝189，∴a1＝3. 把a1＝3代入②式得，2n＝64＝26，∴n＝6. 即a1＝3，n＝6.
(2)若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，但a1≠0， ∴S3＋S6≠2S9，∴q＝1不成立． 当q≠1时，依题意，S3＋S6＝2S9. a11－q3 a11－q6 a11－q9 ∴ ＋ ＝2· ， 1－q 1－q 1－q 整理得q3· (2q6－q3－1)＝0. 由q≠0得2q6－q3－1＝0，∴(2q3＋1)(q3－1)＝0 4 ∵q －1≠0，∴2q ＋1＝0，∴q＝－ 2 .
① ②
② a2 186 得q＝a ＝ 93 ＝2， ① 1 代入①得a1＝3，∴a8＝a1q7＝3×27＝384. (3)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
∴a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 解方程得a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2，显然q≠1. a1－anq 若a1＝2，an＝64，由 ＝126得 1－q 2－64q＝126－126q，∴q＝2. 由an＝a1qn－1得2n－1＝32，∴n＝6. 1 若a1＝64，an＝2，同理可求q＝ ，n＝6， 2 1 综上所述，n的值为6，q＝2或 . 2
2021-2022年北师大版必修五 1.3.2等比数列的前n项和课件
年
班
学校公开 教育教学样
讲课人：教育者
1
3.2 等比数列的前n项和
【课标要求】 1．理解并掌握等比数列前n项决等比数列有关问题．
【核心扫描】 1．等比数列前n项和公式及运用．(重点) 2．错位相减法求数列的和．(重点、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
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规律方法 等比数列前n项和有关的性质应用
(1)等比数列{an}的前n项和Sn，满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， S4n－S3n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不 为0)，这一性质可直接应用． (2)等比数列的项数是偶数时，SS偶 奇＝q；项数是奇数时，S奇S－偶 a1＝q.
又由 an＝a1·qn－1，即 64＝2·2n－1，得 n＝6.
综上知 n＝6，q＝12或 2.
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题型二 等比数列前n项和性质的应用
【例2】 在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. [思路探索] 本题解题的基本方法是用方程思想列式求
解，还可用等比数列前n项和的性质求解． 解 法一 设公比为q，∵S10＝10，S20＝30≠20，
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【训练2】已知数列{an}是等比数列， (1)若Sn＝49，S2n＝112，求S3n； (2)若S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20. 解 (1)由性质1可得Sn(S3n－S2n)＝(S2n－Sn)2， ∴49(S3n－112)＝632，解得S3n＝193. (2)∵S4，S8－S4，S12－S8，…构成等比数列，
②÷①得 1＋q3＝9，∴q＝2.将 q＝2 代入①中得 a1＝12，
北师大版高中数学必修5《一章 数列 3 等比数列 3.2等比数列的前n项和》公开课课件_31
sn a1 a2 a3 ... an1 an
回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法，倒序相加法， 其本质就是构造相同项，化繁为简。
sn a1 a2 a3 ... an2 an1 an
五：知识巩固：
例1、运用公式解决国王赏麦故事中的难题
S64 =1+2+22 +23 +...+263
1*（1-264） =
1-2
=264 -1
例2：写出等比数列1，-3, 9，-27，…的前n项和公式，并求出
数列的前8项的和
解：
3 a1 1, q 1 3
∴等比数列的前n项和公式为
Sn
an
（2）等比数列的通项公式：an a1qn1(a1, q 0)
（3）等差数列前n项和公式推导方法：倒序相加法
二、问题引入 阅读：课本第15页“国王赏麦的故事”
相传古印度国王为奖赏国际象棋的 发明者，问他要什么样的奖赏， 发明者西萨.班.达依尔说：“请 在棋盘的第一个格子内放上1颗 麦粒，在第二个格子内放上2颗 麦粒，在第三个格子内放上4颗 麦粒，在第四个格子内放上8颗 麦粒，…，依照后一格子内的麦 粒数是前一格子内的麦粒数的2 倍的规律，放满棋盘的64个格 子，并把这些麦粒赏给您的仆
（2）
∴（1）-（2）得（1-q)Sn a1 an1
=a1 a1qn a1(1 qn )
根据等比数列 的通项公式：
an a1qn1(a1, q 0)
我们能不能直接写出：
Sn
a1 (1 qn ) 1 q
数学北师大版必修5课时作业1-3-2 第1课时 等比数列的前n项和
课时作业9 等比数列的前n 项和时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( C ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n解析：由题意得a n ＝1＋2n －1， 所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于( D ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2 解析：∵S 5＝22，q ＝－2， ∴a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝22，∴a 1＝2.3．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( B ) A ．81 B ．120 C ．168D ．192 解析：a 5a 2＝27＝q 3，q ＝3，a 1＝a 2q ＝3，S 4＝3(1－34)1－3＝120.4．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N ＋)，则f (n )等于( D )A.27(8n－1)B.27(8n ＋1－1)77解析：依题意f (n )为首项为2，公比为8的等比数列前n ＋4项的和，根据等比数列的求和公式计算可得．5．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( D )A ．514B ．513C ．512D ．510解析：∵a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12， ∴a 1(1＋q 3)＝18，a 1(q ＋q 2)＝12， ∴1＋q 3q ＋q 2＝32，即1＋q 2－q q ＝32， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或12(舍去)， ∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝510.6．在等比数列{a n }中，其前n 项和S n ＝5n ＋1＋a ，则a 的值为( D )A ．－1B ．1C ．5D ．－5解析：S n ＝5n ＋1＋a ＝5×5n ＋a ，当q ≠1时，由等比数列的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n，可知其常数项与q n 的系数互为相反数，所以a ＝－5.7．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝( C )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )33解析：由条件先求公比q ，再由等比数列的前n 项和公式求解．∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12，∴a 1＝4，∴a n ·a n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝25－2n ，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)． 8．“今有垣厚一丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚12.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( C )A ．2B ．3C ．4D ．5 解析：由题意，知大鼠前三天打洞1＋1.5＋2＝4.5(尺)，小鼠前三天打洞0.5＋1＋2＝3.5(尺)，大鼠与小鼠前三天共打洞4.5＋3.5＝8(尺)，第四天大鼠打洞2.5尺，小鼠打洞2尺，故前四天两鼠共打洞8＋2＋2.5＝12.5(尺)．故两鼠相逢最快需4天．二、填空题9．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝4n －1.解析：设前三项为aq ，a ，aq ， ∴a4＋a ＋4a ＝21， ∴a ＝4，a n ＝4·4n －2＝4n －1.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝3.解析：设公比为q ，由S 6＝4S 3知q ≠1，由S 6＝4S 3得 a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，得q 3＝3. ∴a 4＝1×q 3＝1×3＝3.11．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于6.解析：记第n 天植树的棵数为a n ，则数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，解S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2≥100，得n ≥6.三、解答题12．在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 解：解法一：由已知S 6≠2S 3， 则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632， ②②÷①得1＋q 3＝9，所以q ＝2. 可求出a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.解法二：已知等比数列{a n }中S m 与S n ，求q ，还可利用性质S n ＋m ＝S n ＋q nS m 转化为q n＝S n ＋m －S nS m 求得，即q 3＝S 6－S 3S 3＝2872＝8，∴q ＝2，再代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q求得a 1＝12.∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2.13．已知等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表中第1,2,3行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中任何两个数不在下表的同一列中.(1)求数列{a n (2)设b n ＝3na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， ∴q ＝3，a n ＝2·3n －1. (2)b n ＝3na n ＝2n ·3n ， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，则T n ＝2×1×31＋2×2×32＋2×3×33＋…＋2n ×3n ， 3T n ＝2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n －1)×3n ＋2n ×3n ＋1 ∴－2T n ＝2(31＋32＋33＋…＋3n )－2n ×3n ＋1 ＝6(1－3n )1－3－2n ×3n ＋1＝－3－(2n －1)×3n ＋1， ∴T n ＝3＋(2n －1)×3n ＋12. ——能力提升类——14．设{a n }是等比数列，公比q ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．记T n ＝17S n －S 2na n ＋1，n ∈N ＋，设Tn 0为数列{T n }的最大项，则n 0＝( B )A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：由题意，得T n＝17×a 1(1－q n )1－q －a 1(1－q 2n )1－qa 1q n＝q 2n －17q n ＋16(1－q )q n＝11－q (q n ＋16q n －17)，令q n ＝(2)n ＝t ，函数g (t )＝t ＋16t ，易知函数g (t )在(0,4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，所以当t ＝4时，函数g (t )取得最小值，此时n ＝4，而11－q ＝11－2<0，故此时T n 最大，所以n 0＝4.15．已知数列{a n }是首项a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋3log 4a n ＋2＝0，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由题意，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝－3log 4a n －2，故b n ＝3n －2.(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，b n ＝3n －2，所以c n ＝(3n －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .所以S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，① 于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1.②①－②，得34S n ＝14＋3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n.由Ruize收集整理。
高中数学北师版必修5 等比数列的前n项和2
等比数列的前n 项和一．课题：等比数列的前n 项和二．教学目标：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题．；三．教学重、难点：1．等比数列的前n 项和公式；等比数列的前n 项和公式推导；2．灵活应用公式解决有关问题。
四．教学过程：（一）复习：首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质．（二）新课讲解：1．等比数列前n 项和公式：一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++， 由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩ 得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q ---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=- 当q=1时，1na S n =（错位相减法）说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
2．例题选讲：例1．（1）求等比数列12，14，18，…的前8项的和；（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
解：（1）由112a =，111422q =÷=，8n =，得8811[1()]25522125612s -==-；（2）由2 2,121===q a a 得；10101(12)102312S ⨯-==-∴441(12)1512S ⨯-==-，即从第5项到第10项的和为104s s -=1008．例2．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：242424122112S -==--．例3．在等比数列{}n a 中166n a a +=，21128n a a -=，126n S =，求n 和q 解：∵{}n a 是等比数列∴211128n n a a a a -==， 又∵166n a a +=，∴1642n a a =⎧⎨=⎩或1264n a a =⎧⎨=⎩当1642n a a =⎧⎨=⎩时6421261q q -=-得12q = ∴6n = 当1264n a a =⎧⎨=⎩时2641261q q -=-得2q = ∴6n =．例4．设数列1()n n a a -=-(0)a ≠，求这个数列的前n 项和。
北师版选择性必修第二册1.3.2.2等比数列的前n项和(二)【课件】
a
a +2d a −4a
∴等比数列的公比q＝ 3＝ 1 ＝ 1 1 ＝3.
故选C.
a2
a1 +d
a1 −2a1
3．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差
数列，则q等于(
)
A．1
B．0
C．1或0
D．－1
答案：A
解析：∵Sn－Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)，又∵{Sn}是等差数列，
即ቊ
1 + = 4.
a = 1， a1 = 8，
解得ቊ 1
或ቊ
d=3
d = −4.
1
2
因此Sn＝ n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)．
方法归纳
在等差数列{an}中，通常把首项a1和公差d作为基本量，在等比数列
{bn}中，通常把首项b1和公比q作为基本量，列关于基本量的方程(组)
是解决等差数列和等比数列的常用方法．
an
∴an为定值，即数列{an}为常数列，∴q＝
＝1(n≥2且n∈N*)．
故选A.
an−1
1
－
4．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________．
3
解析：显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又因为Sn＝3n－1＋t，
1
所以t＝－ .
3
5．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比
题型二 等差数列与等比数列的基本运算
例2 记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1
成等比数列，求Sn.
解析：设数列{an}的公差为d，