空间解析几何复习重点2015资料
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
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uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
空间解析几何复习纲要
向量与空间解析几何内容提要(一)向量和空间直角坐标系 1．概念 （1）向量既有大小又有方向的量称为向量，常记为→a 、→b 、→c ，或→AB 、→CD 。
只有大小没有方向的量称为标量。
（2）径向量给定坐标原点O ，设P 为空间中任意一点，则称向量→OP 为点P 相对于原点O 的径向量。
任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点O 的径向量。
（3）模向量→a 的大小称为它的模，记作||→a 或a 。
模为0的向量称为零向量，记作→0。
（4）单位向量模为1的向量称为单位向量。
与向量→a 同方向的单位向量记为||→→→=→a ae a 。
（5）向量的坐标表示设向量→a 的起点为坐标原点，则其终点的坐标),,(z y x a a a 称为向量→a 的坐标，记作},,{z y x a a a a =→，向量→a 的模为222||z y x a a a a ++=→。
设),,(1111z y x M =，),,(2222z y x M =为空间中两点，则以1M 为起点，2M 为终点的向量},,{12121221z z y y x x M M ---=→。
（6）向量的夹角，平行，垂直对任意两个非零向量→→=OA a 和→→=OB b ，称=θ∠AOB 为向量→a 和→b 的夹角，并规定],0[πθ∈。
向量→a 和→b 的夹角通常记为∧→→b a ,或),(∧→→b a 。
当0,=∧→→b a 或π时，称→a 与→b 平行，也称→a 与→b 共线，记作→→b a //；当2,π=∧→→b a 时，称→a 与→b 垂直或正交，记作→→⊥b a 。
（7）方向余弦设向量→a 与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为γβα,,，则αcos 、βcos 、γcos 称为向量→a 的方向余弦，它们满足等式1cos cos cos 222=++γβα。
2．向量的运算（1）加法把向量→b 的起点移到向量→a 的终点，则以向量→a 的起点为起点，向量→b 的终点为终点的向量称为向量→a 和→b 的和，记作→→→+=b a c 。
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
第一节空间解析几何基础知识
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当 a=b=d=0, 而 c≠0 时 , 得平面方程 z=0, 也就是 xOy 平 面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平 面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
11
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
界点的集合,称为D的边界.
30
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
31
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
16
3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二
次
曲
面
,
其
中
ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
17
(1)球面 球心在原点，半径为R的球面： x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
( x 2) ( y 3) ( z 4) ( 29)
2 2 2
2
所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .
25
二次曲面用三元二次方程表示： a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 而 x2+y2+z2－4x+6y+8z=0 表示一个圆. 因此,由(7.5)式所表示的曲面方程是球面方 程的必要条件是:
01-高数——空间解析几何要点速记
一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
空间解析几何复习资料(优.选)
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
例4 已知两点 M1(2,2, 2) 和 M2(1,3,0), 计算向量
M
1
M
的模
2
,
方向余弦和方向角.
解
M1M2 = {1 − 2, 3 − 2, 0 − 2} = {−1,1, − 2};
M1M2 = (−1)2 + 12 + (− 2)2 = 2;
3．定比分点公式 M ( x, y, z)是 AB的分点： AM = λ ，
MB
点 A, B 的坐标为 A( x1, y1, z1 )， B ( x2 , y2 , z2 )则
x = x1 + λ x2 , y = y1 + λ y2 , z = z1 + λ z2
1+ λ
1+ λ
1+ λ
当 M 为中点时，
（线）的方程。 （2）已知坐标 x, y和 z 间的一个方程（组），研究这方
程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式 空间两点 A( x1, y1, z1 )与 B ( x2 , y2 , z2 )间的距
离d 为
d = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 + ( z2 − )z1 2
向量积的坐标表达式
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk
i jk a × b = ax ay az
bx by bz
4、向量的混合积
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk , c = cxi + cy j + czk,
空间解析几何复习重点
X?x ? x0 ?? Y?y ? y0 ?? Z?z ? z0 ?? 0
空间直线的一般方程
? ? ?
A1 x A2 x
? ?
B1 y ? B2 y ?
C1z ? C2z ?
D1 D2
? ?
0 0
x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0
m
n
p
直线的对称式方程
?x ?
? ?
y
?
x0 ? y0 ?
（三）常见的曲面
柱面方程 锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
柱面由它的 准线和母线方向 所确定
? ? ? ?
x F
? x?
l
?x? ,
? y ? y? m
y?, z? ??
? ?,
z ? z? n
,
? ?
G
?x?
,
y? ,
z? ??
?.
?
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的 准线和顶点 所确定
ax2
?
a
2 y
?
a
2 z
bx2 ? by2 ? bz2
a xbx ? a yby ? a zbz ? 0
5、向量积 (叉积、外积)
|
c?
|?
|
a?
||
? b
|
sin
?
其中?
为a?
? 与b
的夹角
c?的方向既垂直于 a?
? ，又垂直于b
，指向符合
右手系.
向量积的坐标表达式
a?
?
? b
?
?
?
(a ybz
专题-解析几何知识点汇总(全)
直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴/y轴/两点式x x1y y1x2x1y2y1(x2x1,y2y1)(y2y1,x1x2)y2y1x2x1点方向式点法向式点斜式截距式斜截式x xy yu va(x x) b(y y) 0(u,v)(v, u)vuab//(b, a)(1,k)( m,n)(1,k)(B, A)(a,b)(k, 1)(n,m)(k, 1)(A,B)//y yk(x x)x y1m ny kx bAx By C 0knm//m/nbCBkAB一般式C A注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围： [0, )；（2）直线的斜率：tan , [0,) (, )22k不存在，2；k 0 0k 2 0 0k tan 在[0, )和 k 不存在 = 2(2, )上单调递增．2k 0 2 y 2 y 1（3）若直线过点(x x ,x 1 x 21,y 1)，(x 2,y 2)，则该直线的斜率k 2 x 1，k R ．不存在，x 1 x 23、两条直线的位置关系：已知l 1:a 1x b 1y c 1 0，l 2:a 2x b 2y c 2 0，则（1）系数法：①l 1 l 2 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l 1与l 2相交 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2重合 a 1:b 1:c 1 a 2:b 2:c 2；④l 与l a 1:b 1 a 2:b 212平行 a ．1:c 1 a 2:c 2或b 1:c 1 b 2:c 2（2）向量法：已知l 的法向量为 n11 (a 1,b 1)，l 2的法向量为n 2 (a 2,b 2)，则①l l12 n 1 n 20 a 1a 2 b 1b 2 0；特别地，若l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2，则l 1 l 2 k 1 k 2 1；②l l1与2相交 n 1与n 2不平行 a 1b 2 a 2b 1；③l 1与l 2平行或重合 n 1与n 2平行 a 1b 2 a 2b 1．（3）行列式法：已知Da 1b 1a ，Db 1xc 12b 2c 2b ，D y a 1c 12a 2c ，则21l 1与l2相交 D 0；②l1与l2重合 D D x D y 0；则③1与2平行 l l D 0．D x、D y 不全为零4、两条相交直线l 1:a 1x b 1y c 1 0和l 2:a 2x b 2y c 2 0的夹角 ：（1）若l 1、l 2的法向量分别为n 1 (a 1,b 2)、n 2 (a 2,b 2)，且l 1、l 2的方向向量分别为d 1、d 2，则n n 2cos 1n 1 n 2a 1a 2b 1b 2a 12 b 12 a 22 b 22d 1 d 2 或cos， [0,]；2d 1 d 2（2）若l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2，且l 1到l 2的角为 1，l 2到l 1的角为 2，则tank k 1k k 2k 1 k 2, [0,)；tan 1 2，tan 2 1．1 k 1k 21 k 1k 21 k 1k 225、点到直线的距离公式：（1）点P (x 0,y 0)到直线l :Ax By C 0的距离为dAx 0 By 0 CA B22；（2）直线l 1:Ax By C 1 0与直线l 2:Ax By C 2 0的距离为dC 1 C 2A B22．6、直线l :Ax By C 0同侧/异侧：（1）Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的右侧；Ax 0 By 0 C 0(A 0) P (x 0,y 0)在直线l :Ax By C 0(A 0)的左侧．（2）点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 同侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0；点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)在直线l 异侧 (Ax 1 By 1 C )(Ax 2 By 2 C ) 0．7、点关于直线的对称问题：点直线P (x 0,y 0)x 轴P (x 0, y 0)y 轴P ( x 0,y 0)y xP (y 0,x 0)y xP ( y 0, x 0)x mP (2m x 0,y 0)y n P (x 0,2n y 0)对称点补充：①点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (yb,xb)；②点P(x0,y)关于直线y x b的对称的点为P (b y,b x)；A(n y) B(m x)③点P(x0,y)关于直线Ax By C 0的对称点P (m,n)满足 m x．n yA B C 022或者P (m,n)，其中 8、三线共点问题：三条互不平行的直线l1:a1x b1y c10，直线l2:a2x b2y c20，直线l3:a3x b3y c30共m x0 2AD Ax By C,D 022．A Bn y0 2BDa1点的充要条件是a2b1b2b3c1c20．c3a39、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为k0（常数）的直线系：，例：y 2x b；y kx b（b为参数）②平行于直线A0x By 0的直线系：Ax By C 0(C为参数)．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：y y0 k(x x)，直线过定点(x,y)；②以斜率k作为参数的直线系：y kx b0，直线过定点(0,b)．③过两条直线l1:A1x B1y C10，l2:A2x B2y C20的交点的直线系：A 1x B1y C1(A2x B2y C2) 0( 为参数)．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线l2不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PA PB的取值范围．取值范围A、B在l的解答步骤同侧 A B,AB, ①作点A关于l的对称点A ；②联结A B，交l于M；③点M为最小值状态点．①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．异侧（2）定直线上动点与两定点距离差：已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为d1、d2，问题直线AB与直线l的夹角为 ，求PA PB的取值范围．A、B在l的d1与d2的大小关系d1d2取值范围解答步骤①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．/①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．①作点A关于l的对称点A ；②联结A B并延长交l于M；③点M为最大值状态点．/①作点A关于l的对称点A ；②联结BA 并延长交l于M；2AB cos ,ABAB,ABAB,AB cos同侧d1 d2d 1 d2d 1 d2A B cos ,A BA B,A BA B,AB cos异侧d1d2d1d2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线对称轴曲线F(x,y) 0x轴F(x, y) 0y轴y x y x x m y n F( x,y) 0F(y,x) 0F( y, x) 0F(2m x,y) 0F(x,2n y) 0补充：①曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (y b ,x b ) 0；②曲线F (x ,y ) 0关于y x b 对称的曲线方程为F (b y ,b x ) 0．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线F (x ,y ) 03、轴对称的曲线：曲线对称轴条件(m ,n )F (2m x ,2n y ) 0F (x ,y ) 0y x F (y ,x ) F (x ,y )补充：y x F ( y , x ) F (x ,y )x mF (2m x ,y ) F (x ,y )y nF (x ,2n y ) F (x ,y )a b对称。
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， ， }
二、向量的运算
定义
坐标表示
备注
向量的数量积
向量的向量积
方向与 、 都垂直，且 、 与 成右手系
=
与 平行
三、几类常见的二次曲面及其标准方程
曲面名称
方程
旋转曲面
曲线 绕 轴旋转构成
绕 轴旋转构成
球面
，半径 ，球心
椭球面
， 为椭球面的半径
圆柱面
， ，
椭圆柱面
， ，
抛物柱面
， ； ， ； ， （ 为正数）
空间解析几何知识点
第七章空间解析几何与向量代数
一、向量的有关定义和性质
定义
坐标表示
备注
向量
（矢量）
具有大小和方向的量
将 的起点放原点，其终点坐标为 ，则 =
=
①向量：
②零向量：
③设
，
则
向量
的模
向量的大小（或长度）
设 ， 则
向量的方向余弦
设 与三坐标轴正向的夹角为 、 、 ，则 、 、 为 的方向余弦
五、直线的表示
方程的形式
相关系数的意义
参数式方程
为直线上一点， 为直线的方向向量
标准方程（对称式）
同上
一般式方程
直线的方向向量为
两点式方程
， 为直线上两点，直线的方向向量为
双曲柱面
， ， （ 为正数）
圆锥面
，由直线 或 绕 轴旋转而成
椭圆抛物面
， ， （ 为正数）
双曲抛物面
， ， （ 为正数）
单叶双曲面
， ，
双叶双曲面
，
四、平面的表示
方程的形式
相关系数的意义
空间解析几何复习概论
6、零向量,平行；
7、3,5i j 7k,18,10i 2 j 14k,
3
；
2 21
二、 3 . 2
三 π/4 四、 2 .
第二章 轨迹与方程小结
空间曲线的一般方程、参数方程．
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
空间曲线在坐标面上的投影．
其中 ax,ay ,az 分别为向量在 x, y, z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
a
{ax
,
ay,
az }
b {bx , by , bz }
ab
{ax
bx , a y
by ,
az
bz
}
(ax bx )i (a y by ) j (az bz )k
ax ax2 ay2 az2
ay
ax2 ay2 az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
•
两非零向量 a {ax ,
ay,
az }
b {bx ,
by ,
bz }
共线的充要条件：
• 1、 它们线性相关
• 2、 对应坐标成比例， ax ay az
个向量为____________，或它们互相______；
7、设则aa aab2bb=3=i=_______j________，2__k_,_，_，b(co2sai()a,23bbj)==k____,__________,___ ；
二、 a
已知 b
ca
,b0,，c 计为算单a
位 b
空间解析几何复习概论
空间解析几何复习概论一、基本概念1.平面：由无穷多条相互平行且等距的直线组成。
2.空间：由无穷多个不在同一平面上且彼此相交的直线组成。
3.点：空间中不具有长度、宽度和高度的几何体。
点用大写字母表示，如A、B、C等。
4.直线：由无穷多个点连成的几何体。
直线用小写字母表示，如l、m、n等。
5.射线：由一个端点和无穷多个通过该端点的点组成的几何体。
6.距离：点与点之间的最短距离。
二、基本性质1.两点确定一条直线。
2.三点不在同一直线上的话，确定一个平面。
3.三线相交于一点。
4.两平行线及其相交线确定两个全等的内角。
即对顶角。
5.平行线与截割线所截割的两平行线上的对应角相等。
三、相关公式1.空间直线的方程：设直线上一点为P(x₁,y₁,z₁)，直线的方向向量为a(m,n,p)，则直线的方程为x-x₁/m=y-y₁/n=z-z₁/p。
2. 点到直线的距离：设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，直线的方向向量为a(m, n, p)，另一点为A(x, y, z)，则点A到直线的距离为d = ，am+bn+cp，/√(a²+b²+c²)。
3.两点间的距离：设A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)是空间中的两个点，则两点间的距离为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)。
4. 平面的方程：设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，平面的法向量为n(a, b, c)，则平面的方程为ax+by+cz+d=0，其中d=-ax₁-by₁-cz₁。
5. 点到平面的距离：设平面上一点为P(x₁, y₁, z₁)，平面的法向量为n(a, b, c)，另一点为A(x, y, z)，则点A到平面的距离为d = ，ax+by+cz+d，/√(a²+b²+c²)。
四、解题技巧1.点、直线和平面位置关系的判断：通过计算点的坐标或者向量的判断，判断点、直线和平面之间的位置关系。
空间解析几何复习课讲义.
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(1) 平面
y x
1. 椭圆柱面 2 2 x y 2 1 2 a b
z
2. 双曲柱面
x2 y2 2 2 1 a b
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos X1 X 2 YY 1 2 Z1Z 2 X12 Y12 Z12 X 22 Y22 Z22
ab
X1 X 2 YY 1 2 Z1Z2 0
5、向量积
(叉积、外积)
其中 为a 与b 的夹角
| c || a || b | sin
[4]直线方程各种形式的互化，如射影式化 为对称式
[5] 特殊的直线的方程
X轴,y轴,z轴的标准方程一般方程
x y z x轴:标准方程 1 0 0
y 0 一般方程 z 0
[6] 直线与平面的交点
L: x x0 y y0 z z0 X Y Z
: Ax By Cz D 0
[7]点到直线的距离 设直线L, s m, n, p,
P0 x0 , y0 , z 0 是L外一点,
z
P1
P0 x0 , y0 , z 0
求P0到L的距离d .
设 任一点，如图
P1 x1 , y1 , z1
s
o
d
为L上
x
P1 P0 s ,
y
X 1 Y1 X 2 Y2 X 3 Y3 Z1 Z2 Z3
（1）两个向量 a 与 b 垂直 b a 与 b 平行 a× = 三个向量 a, b , c 共面
解析几何基础要点汇总
解析几何基础要点汇总
1. 基本概念
- 解析几何是研究空间中点、直线、平面的性质和相互关系的数学分支。
- 点是解析几何的基本元素，用坐标表示。
- 直线是由两个不同的点确定的，可以通过斜率和截距等方式表示。
- 平面是由三个不共线的点确定的，可以通过法向量和点法式方程表示。
2. 点的坐标表示
- 在二维空间中，点的坐标表示为 (x, y)。
- 在三维空间中，点的坐标表示为 (x, y, z)。
3. 直线的方程
- 一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
- 斜截式方程：y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
- 点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 为直线上的一点，m 为斜率。
4. 平面的方程
- 一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C、D 为常数。
- 点法式方程：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0，其中 (x0, y0, z0) 为平面上的一点，(A, B, C) 为平面的法向量。
5. 相关性质和定理
- 两点间距离公式：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 -
z1)^2)。
- 点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
- 点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。
以上是解析几何的基础要点汇总，希望对您的学习有所帮助。
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方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos x
x
r
x2 y2 z2
cos y
r
y x2 y2 z2
cos z
z
r
x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
例4. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则: ab b
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
3. 向量与数的乘法
M2M3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M2M3 为等腰三角形 .
M2
例3. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0,0, z), 因为 M A MB ,
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1
a. 因此
a
a
a
a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
(x, y,z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
( ax a
,a
y
,
az
),
b (ax
加减: 数乘: 数量积:
a b (ax bx ,ay by ,az bz )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
第二节
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
内容小结
设 a (ax ,ay ,az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx ,cy ,cz ) 1. 向量运算
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
r
o
x P( x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
2. 向量的坐标表示：
在空 间 直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j ,k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量, 设点 M
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
故所求点为
M
(0
,0,
14 9
)
.
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a
,
b
的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
第八章 空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第八章
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （ 1，1，
2）.
① ②
解:
2×① x
－3×② 2a 3
,得 b (7
,
1,10)
代入②得
y
1 (3
x
b)
(11,
2 ,16)
2
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设
r
(
x
,
y
,
z
),
作
OM
r,
则有
r OM OP OQ OR
b (bx ,by ,bz ) bx ,ay by ,az
,
bz
为实数，则 )
a
( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
例1. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中 a
5x
3 x
由勾股定理得 r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式: ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
例2. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证: M1M2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在空间直角坐标系下：
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :