2015届中考数学一轮复习训练：《基本思想方法问题-数形结合》ppt课件
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数学思想方法—数形结合PPT优秀课件
［点评］在确定超越方程的根的个数或含参 数的方程的根的情况时，应由数思形，观 察该方程对应的在同一坐标系中两个函数 图象的交点个数或交点的情况即可；如果 已知含参数的方程的根的情况，应由数思 形，画出该方程对应的函数的示意图，再 由形思数，挖掘出不等式或不等式组，从 而求出参数的取值范围.
题型五：数形结合在解析几何中的应用
恒不成立。
［点评］对于此类不等式问题，用代数方法 难以处理，可将问题等价地转化为函数与 方程的综合问题，构造函数，通过函数思 想方法，结合函数图象来处理．
题型四 ：数形结合在方程中的应用
2 例 4 . 若方程 lg( x 3 x m ) lg( 3 x ) 在 x ( 0 , 3 ) 内
sin x 例 5 . 函数 y 的最大值为 _______, 最小值 ____ 2 cos x
[ 解析 ] sin x y 表示 P (cos x , sin x )与点 A ( 2 ,0 ) 连线的斜率的取值范围 2 cos x 而点 P 在单位圆上，如图。 过点 A 作单位圆的切线 AB 、 AC 。 3 3 易知 k AB , k AC 3 3 为斜率的最大值和最小 值。 。
题型三 ：数形结合在不等式中的应用 2
例 3 . 若 x (1,2) 时，不等式（ x -1) log ax 恒成立，则 a 的取值范围为 __________ _
[ 解析 ] 令 y 1 ( x 1 ) 2 , y 2 log
a
x
(1 ) 若 a 1 , 两函数图象如图所示，
四、 数形结合常见题型：
题型一：数形结合在集合中的应用 例1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4， 则甲是乙成立的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
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2019/9/13
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由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
中考数学专题一 数学思想方法问题 (共70张PPT)
【点拨】 如图，作 PE⊥ l1 交 l1 于点 E， 交 l2 于点 F，在 PF 上截取 PC＝ 8，连接 QC 交 l2 于点 B，作 BA⊥ l1 于点 A，此时 PA＋ AB ＋ BQ 最短． 作 QD⊥ PF 于点 D． 在 Rt△ PQD 中 ， ∵∠ D ＝ 90° ， PQ ＝ 4 30 ， PD ＝ 6 ＋ 8 ＋ 4 ＝ 18 ， ∴DQ ＝ PQ2－ PD2＝ 156， CD＝ PD－ PC＝ 18－ 8＝ 10.∵ AB＝ PC＝ 8， AB∥ PC，∴四边形 ABCP 是平行四边形，∴ PA＝ BC，∴ PA＋ BQ ＝ CB＋ BQ＝ QC＝ DQ ＋ CD ＝ 156＋ 10 ＝ 16. 【答案】 16
例 1 (2017· 绥化 )在等腰三角形 ABC 中， AD⊥ BC 交直线 BC 1 于点 D，若 AD＝ BC，则 △ ABC 的顶角的度数为 ____． 2
【点拨】 如图，应分下列三种情况求顶角：(1)若 A 是顶点， 1 如图①， AD＝ BC，则 AD＝ BD，则底角为 45° ，则顶角为 90° ； 2
第二部分 专题一
专题突破
强化训练
数学思想方法问题
初中数学中的主要数学思想方法有分类讨论思想、数形结合 思想、方程与函数思想、转化与化归思想等． 1．分类讨论思想 分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素， 无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有 情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则： (1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标 准；(3)分类讨论应逐级进行．
2．数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质 研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几 何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结 合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简 单化，从而使问题得以解决的一种数学思想．
数学数形结合 ppt课件
数形结合思想 初中数学
数无形时不直观 形无数时难入微
数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑思维方法 数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2015福建中考
能力与主要数学思想组块考查情况分析
关于数形结合思想的考查，对全体考生的区分都比较显著，这部分试题 得满分的人数较少，通过对数形结合的考查，能够有效地区分各个水平考生 的数学素养的高低。
高
面积
形
例：无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的
交点不可能在（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
例：如图，如果士所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标
为 （2，- 2） 那么，马可以走的位置的坐标为
.
D
马C
A(-4,-1) B(-2,-1) C(-1,0) D(-1,2)
（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数 表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进 而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的 代数运算。
从坐标系中的一个点说起……
数无形时不直观 形无数时难入微
数学思想方法的三个层次:
数学一般方法
配方法、换元法、 待定系数法、判别 式法、割补法等
数学思想 和方法
逻辑思维方法 数学思想方法
分析法、综合法、 归纳法、反证法等
函数和方程思想、分 类讨论思想、数形结 合思想、化归思想等
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
2015福建中考
能力与主要数学思想组块考查情况分析
关于数形结合思想的考查，对全体考生的区分都比较显著，这部分试题 得满分的人数较少，通过对数形结合的考查，能够有效地区分各个水平考生 的数学素养的高低。
高
面积
形
例：无论m为何实数，直线y＝x＋2m与y＝－x＋4的
交点不可能在（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
例：如图，如果士所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标
为 （2，- 2） 那么，马可以走的位置的坐标为
.
D
马C
A(-4,-1) B(-2,-1) C(-1,0) D(-1,2)
（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数 表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进 而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的 代数运算。
从坐标系中的一个点说起……
数学思想方法—数形结合优秀课件
总之：
数形结合法
由数到形，由形到数； 由形思数，以数辅形；
数与形的结合；
是代数与几何完美统一的体现；
是平面解析几何的精髓所在。
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，
中考数学专题复习数形结合思想ppt
y1
B
8
x
4 某市民广场上要建造一个圆形的喷水池，并
在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处
装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向
上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所
示）。若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
函数图象则直观地反映了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
图形之间相互转化来解决数学问题的思 想.
“数”与“形”是相互联系的. 数轴与直角坐标系的建立，为“数”
与“形”的沟通提供了工具，使抽象的 数量关系有了形象直观的几何意义，而 直观图象的性质也常可用数量关系加以 精确地描述.
边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P
在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相
等。（1）求C点坐标； y
（2）求直线PC的解析式； D
（3）若点Q的坐标为
C
(√3 m,m2－3),问点Q在
不在直线PC上？
B
OA
P
x
E
8：如图，如果士 所在位置的坐标为(-1,-2), 相所在位置的坐标
为
那么，马可以走的位置的坐标为
数形结合思想是使抽象的数学语言与直观 的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合 起来，华罗庚先生说过:“数缺形时少直观,形少 数时难入微.”.数形结合思想是一种重要的解题 思想，用这种思想指导，一些几何问题可以用 代数方法来处理，一些代数问题又可以用几何 图形帮助解决，最明显地表现是利用直角坐标 系将几何问题与代数问题结合联系起来，“以 形助数，用数解形”。这种思想是近年来中考 的热点之一，也是中考的高档题。
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
-1
0
15年中考数学专题复习一数学思想方法(共79张)
为-3,1,若BC=2,则AC等于 ( )
A.3
B.2
C.3或5
D.2或6
【解析】选D.此题画图时会出现两种情况,即点C在线段AB内,点C在线段
AB外,所以要分两种情况计算.
点A,B表示的数分别为-3,1,AB=4.
第8页，共79页。
第一种情况(qíngkuàng):在AB外,
AC=4+2=6;
第二种情况,在AB内,
专题一 数学(shùxué)思想方法
第1页，共79页。
考点一 分类讨论思想 分类讨论思想常见的六种类型
1.方程:若含有字母系数的方程有实数根时,要考虑二次项系数是否等于 0,进条边或给出一角 求另外两角时,要考虑所给的边是腰还是底边(dǐ biān),所给出的角是顶角 还是底角分类解决.
x2-12x+k=0有两个相等的实数根,∴(-12)2-4k=0,解得k=36;
第11页，共79页。
若3是等腰三角形的腰,则3是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的
一个解,
∴32-12×3+k=0,解得k=27. 当k=27时,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9构不成三角形 ,∴k=27不合(bùhé)题意.
∴直角三角形的第三边为5或 7.
42 32 7.
第10页，共79页。
3.(2014·潍坊中考)等腰三角形一条边的边长为3,它的另两条边的边长
是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根,则k的值是 ( )
A.27
B.36
C.27或36
D.18
【解析】选B.若3是等腰三角形的底边(dǐ biān),则关于x的一元二次方程
中考数学一轮复习训练：《基本思想方法问题-数形结合》 (浙教版)
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【例题分析】
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【方法提炼】
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
解： 探究三： 如图①所示， 第 1 次分割， 把正方形的面积四等分， 3 其中阴影部分的面积为4；第 2 次分割，把上次分割图中空白部 3 3 分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为4＋42；第 3 次分 割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分……第 n 次分 割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分 3 3 3 3 的面积之和为4＋42＋43＋…＋4n，
(3)设 EC：y＝k3x＋b1，将(2，0)，(3.5，120) 代入得 解得 ∴EC：y＝80x－160. 若两车恰好相距 50 km， 则|(80x－160)－(40x－20)|＝50， 19 9 解得 x1＝ ，x2＝ . 4 4
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
11 1 ∴x1 －2 ＝ ，x2 －2 ＝ ， 4 4 1 11 ∴当乙车行驶 h 或 h 时，两车恰好相距 50 km. 4 4
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
1 1 1 1 1 根据第 n 次分割图可得： ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝1－ n. 2 2 2 2 2
图 Z 7 －3
初中数学
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
1 1 1 1 探究二：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n. 3 3 3 3 第 1 次分割， 把正方形的面积三等分， 其中阴影部分的面积为 2 ；第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴 3 2 2 影部分的面积之和为 ＋ 2；第 3 次分割，把上次分割图中空白部 3 3 分的面积继续三等分……第 n 次分割， 把上次分割图中空白部分的 2 2 2 2 面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ＋ 2＋ 3＋…＋ n， 3 3 3 3 1 最后空白部分的面积是 n. 3
2015中考数学专题复习-数形结合思想
专题复习------数形结合思想教学目标：通过数形结合思想的复习，进一步提高学生应用数学思想的意识，掌握一些数学方法与技巧，提高数学的应用能力.教学过程一、课前预习1．实数x 在数轴上对应位置如图1所示，则12x x ++-= .2．已知二次函数2y ax bx c =++图象如图2所示，若关于x 的方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 （ ）A ．k ＞3B ．k =3C ．k ＜3D ．无法确定3．如图3，直线y x m =+和抛物线2y x bx c =++相交于A （1，0），B （3，2）两点，则不等式2x bx c x m +++＞的解集为 .4．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动；同时，点Q 沿边AB 、BC 从点A 开始向点C 以2cm /s 的速度移动．当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动．设点P 出发x s 时，△P AQ 的面积为y cm 2，y 与x 的函数图象如图②，则线段EF 所在的直线对应的函数关系式为 ．二、典例导悟03(1)21x m x x -<⎧⎨->-⎩的整数例1．已知关于x 的不等式组解共有3个，则m 的取值范围是 ．图3 图2O y x 3 1图1例2．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =，若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在41x -＜＜的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．1t ≥-B ．13t -≤＜C ．18t -≤＜D ．38t ＜＜例3．如图，平面直角坐标系的单位是厘米，直线AB 的解析式为363y x =-x 轴、y 轴相交于A ，B 两点．点C 在射线BA 上以3cm/s 的速度运动，以C 点为圆心作半径为1cm 的⊙C ．点P 以2cm/s 的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设它们运动的时间为t .① 求直线l 与⊙C 第一次相切时点P 的坐标； ② 当t 为何值时，直线l 与⊙C 第二次相切；③ 在整个运动过程中，直线l 与⊙C 有交点的时间共有 秒？三、课后作业1．已知123x x -++=，则x 的取值范围是（ ）A ．21x -＜＜B ．21x -≤≤C ．2x ≤-或1x ≥D ．2x -＜或1x ＞ 2．若关于x 的一元一次不等式组202x m x m -<⎧⎨+>⎩有解，则m 的取值范围为 ( ) A ．23m ＞- B ．23m ≤ C ．23m ＞ D ．23m ≤-3. 如图，抛物线12+=x y 与双曲线xk y =的交点A 的横坐标是1， 则关于x 的不等式012<++x xk 的解集是 ( ) A ．x ＞1 B ．1x -＜ C ．01x ＜＜ D ．1x -＜＜04．若直线y m =（m 为常数）与函数()()2141x x y x x⎧≥-⎪=⎨--⎪⎩＜的图像恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是 ．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数2y x =-+的图像交坐标轴于点A 和B ，点M (a ,0)在x 轴正半轴上，以M 为圆心，MO 长为半径画⊙M ．(1) 当点M 在线段OA 上时①若BM 平分∠OBA (如图1)，求证：直线AB 与⊙M 相切；②若⊙ M 于直线AB 相交于点C 、D (如图2)，试用含a 的代数式表示CD 2；(2) 若⊙ M 于直线AB 相交于点C 、D ，且∠CMD =120°，求a 的值．。
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图 Z 7 －5 1 1 1 1 探究三：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n. 4 4 4 4 （仿照上述方法，在图 Z7－5①中只画出第 n 次分割图，在图 上标注阴影部分面积，并写出探究过程） 1 1 1 1 解决问题：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n. m m m m
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
专题突破七 基本思想方法 问题——数形结合
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
考向互动探究
探究一 与数轴结合的问题
－25
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【例题分析】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【方法提炼】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 探究二 与函数图象结合的问题
（在图 Z7－5②中只需画出第 n 次分割图，在图上标注阴影部 分面积，并完成以下填空） 根据第 n 次分割图可得等式：_________________________， 1 1 1 1 所以， ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝ m m m m 5－ 1 52－1 53－1 5n－1 拓广应用：计算 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ n . 5 5 5 5 Ｗ.
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
(2)设 OA：y＝k1x，BC：y＝k2x＋b. OA 过点 A(1，40)，BC 过点 B(1.5，40)，C(3.5，120)， 代入得
解得 又∵D 点的纵坐标为 260， ∴260＝40x－20，解得 x＝7. 综上，y＝
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【例题分析】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【方法提炼】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
解： 探究三： 如图①所示， 第 1 次分割， 把正方形的面积四等分， 3 其中阴影部分的面积为4；第 2 次分割，把上次分割图中空白部 3 3 分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为4＋42；第 3 次分 割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分……第 n 次分 割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分 3 3 3 3 的面积之和为4＋42＋43＋…＋4n，
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2 2 2 2 1 根据第 n 次分割图可得等式： ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝1－ n， 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 两边同除以 2，得 ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝ － n. 3 3 3 3 2 2× 3
图 Z 7 －4
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
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1 1 1 1 1 根据第 n 次分割图可得： ＋ 2＋ 3＋…＋ n＝1－ n. 2 2 2 2 2
图 Z 7 －3
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专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
1 1 1 1 探究二：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n. 3 3 3 3 第 1 次分割， 把正方形的面积三等分， 其中阴影部分的面积为 2 ；第 2 次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴 3 2 2 影部分的面积之和为 ＋ 2；第 3 次分割，把上次分割图中空白部 3 3 分的面积继续三等分……第 n 次分割， 把上次分割图中空白部分的 2 2 2 2 面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ＋ 2＋ 3＋…＋ n， 3 3 3 3 1 最后空白部分的面积是 n. 3
(3)设 EC：y＝k3x＋b1，将(2，0)，(3.5，120) 代入得 解得 ∴EC：y＝80x－160. 若两车恰好相距 50 km， 则|(80x－160)－(40x－20)|＝50， 19 9 解得 x1＝ ，x2＝ . 4 4
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11 1 ∴x1 －2 ＝ ，x2 －2 ＝ ， 4 4 1 11 ∴当乙车行驶 h 或 h 时，两车恰好相距 50 km. 4 4
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 探究三 与几何图形结合的问题
1 1 1 1 例 3 [2014·青岛] 数学问题：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n（其 m m m m 中 m，n 都是正整数，且 m≥2，n≥1）. 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思 想方法，通过不断地分割一个面积为 1 的正方形，把数量关系和 几何图形巧妙地结合起来， 并采取一般问题特殊化的策略来进行 探究. 1 1 1 1 探究一：计算 ＋ 2＋ 3＋…＋ n. 2 2 2 2
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第 1 次分割， 把正方形的面积二等分， 其中阴影部分的面积 1 为 ； 第 2 次分割， 把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， 2 1 1 阴影部分的面积之和为 ＋ 2；第 3 次分割，把上次分割图中空 2 2 白部分的面积继续二等分……第 n 次分割， 把上次分割图中空白 1 1 1 部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为 ＋ 2＋ 3 2 2 2 1 1 ＋…＋ n，最后空白部分面积是 n. 2 2
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
图 Z 7 －2
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【例题分析】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合 【方法提炼】
专题突破七┃ 基本思想方法问题—— 数形结合
解：(1)由图象得 m＝1.5－0.5＝1. a 120－a 根据甲的速度不变，得 ＝ ， 1 3.5－1.5 解得 a＝40.
例 2 [2014·聊城] 甲、乙两车从 A 地驶向 B 地，并以各自 的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 2 h，并且甲车途中休息了 0.5 h，如图 Z7－2 是甲、乙两车行驶的距离 y（km）与时间 x（h） 的函数图象. （1）求出图中 m 和 a 的值； （2）求出甲车行驶路程 y（km）与时间 x（h）的函数表达式， 并写出相应的 x 的取值范围； （3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距 50 km？