济南大学高数下1习题课
济南大学高等数学下历年考题答案
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
B( x, y )
在 整 个 xoy面 内2 xydx x 2dy是 某 个 函 数 的 全 微 分
取积分路径，如图：
则u( x, y )
2
( x, y)
( 0, 0 )
2
2 xydx x dy
2
2 2
OA
xy dx x ydy xy dx x ydy
2
AB
A( x ,0)
2 xdv 2 ydv 0 （由对称性）
上式 dv
2
0
d
1 rdr 2 dz 0 r 2
1
1
3、计算曲面积分 I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy ，其中 为抛物面 z
1
) ( x n1 )
n 0
(
1 x ) (1 x ) 2 1 x
1
( x 6 y)dxdy，其中 D 是由 y x
D
y 5x 和 x 1 ，
y 5x
所围成的闭区域.
dx ( x 6 y )dy 0
x
1
5x
y x
0
1
2. ( 2 xy3 y 2 cos x )dx (1 2 y sinx 3 x 2 y 2 )dy ，其中
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
高等数学下册习题课(27)
习 题 课 二 十 七1．设⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。
解：（1）在直角坐标系下，两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++ 3422222z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒ 1322z y xxoy 在Ω面上的投影区域为}3),{(22≤+=y x y x D xy 。
⎰⎰⎰--+----=224322232333),,(y x yx x x dz z y x f dy dx I 。
（2）在柱面坐标系下，}43,30 ,20),,{(22ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤ϕ≤ϕρ=Ωz z ，dz d d dV ϕρρ=，⎰⎰⎰ρ-ρπϕρϕρρρϕ=2432320),sin ,cos (dz z f d d I 。
（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，}20 ,30 ,20),,{(1≤≤π≤θ≤π≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ，}sin cos 30 ,23 ,20),,{(22θθ≤≤π≤θ≤ππ≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ， ϕθθ=d drd r dV sin 2。
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+==21),,(),,(),,(dV z y x f dV z y x f dV z y x f Idr r r r r fd d ⎰⎰⎰θϕθϕθθθϕ=ππ202020)cos ,sin sin ,cos sin (sin 3drr r r r f d d ⎰⎰⎰θθπππθϕθϕθθθϕ+2sin cos 3022320)cos ,sin sin ,cos sin (sin2．将直角坐标系下的三次积分⎰⎰⎰---+++=10)(302222222)(y y y y y x dz z y x f dx dyI ，分别化为柱面坐标系和球面坐标系下的三次积分。
解：对应的三重积分区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤--+≤≤Ω .10,,)(30:2222z y y x y y y x z上顶为锥面)(322y x z +=， 下底为平面0=z 上的圆，侧面为圆柱22y y x -=即222)21()21(=-+y x 。
济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案
一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
习题册下册(2009参考解答)
+
cos 2x 8
。■
注： y1* 也容易由观察法获得。
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∫ 3、设曲线积分 [ f ′(x) + 2 f (x) + ex ]ydx + f ′(x)dy 在全平面内与积分路径无关，其中 f (x) L
二阶可导，且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1 ，求 f (x) 。
z
。
【解】∵αr // βr ⇔ x = 5 = − 1 ，∴ x = 15, z = − 1 。■
31 z
5
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
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习题 8－2 向量的乘积
ex 。 =1
⑵求微分方程通解：
∵特征方程为 r 2 − r − 2 = 0 ，特征值为 r = −1,2 ，
∴对应齐次微分方程通解为
F (x) = C1e−x + C2e2x 。
由观察法（也可用待定系数法确定）易知原微分方程有特解 f *(x) = − 1 ex 。 2
于是，原方程通解为
f
(x)
=
=
1
，即
C1
=
−
1 6
,
C2
=
2 3
，故所求特解为
f (x) = − 1 e−x + 2 e2x − 1 ex 。■ 632
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4、一根长度为 a 米的均匀链条放置在一个水平面光滑的桌面上，假定滑动开始时链条在桌边
济南大学高等数学下历年考题答案共111页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
高等数学-数学科学学院-济南大学
授课计划2016— 2017学年第一学期学院：信息学院机械学院经济学院课程名称：高等数学（一）W课程编码：09A00020课程类别：专业基础课计划学时：64（理论：64 实验：0 ）学分： 4授课时间：授课地点：教学班：授课教师：填报日期：2016 年9 月15 日高等数学（一）W课程授课计划一、课程内容简介与教学目的（一）主要内容：函数的概念、函数的极限、函数的连续性；一元函数微分学，主要是一元函数导数和微分的计算及其应用；一元函数积分学，包括不定积分的计算、定积分的计算及其应用；常微分方程，主要是一阶微分方程的解法及其应用。
（二）通过本课程的学习，能使学生获得微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。
同时强调分析问题和解决问题的实际能力。
使学生在得到思维训练和数学素养提高的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。
二、课程要求及教学活动项目（一）课程要求该课程以理论教学为主，要明确每一堂课的教学重点与难点，围绕重点内容配以一定数量的例题进行由浅入深的讲解。
每一章上一次习题课，每一次课都要布置与当堂课所学知识相关的课后作业，要求教师进行批改并给出成绩，通过该教学环节以期让学生进一步深入理解、巩固每一章的知识体系、重点内容和解题方法。
该课程组教师轮流值班在答疑室进行答疑，每位教师每周至少到答疑室给学生答疑或质疑一次。
（二）教学活动项目及学时分配本课程的任课教师要按期参加教研活动，讨论教材处理和教学进度；使学生参与教学活动，并在课堂上踊跃发言，课下课上积极探讨；学生作业要按时独立完成，可以探讨但不可以抄袭。
每次课后要指出下次课要求学生预习的内容，并布置与课程内容相对应的书后习题。
各章学时分配如下：高等数学预备知识教程理论教学4学时。
第一章函数与极限理论教学12学时，习题课2学时。
第二章导数与微分理论教学8学时，习题课2学时。
高数下课件 ch12习题课
x→0+
x x→0+
x→0+
∴C =−1. ∴ f ( x) = e x (e x − 1).
x
= 2+C.
高阶微分方程类型及解法
1. 可降阶的高阶微分方程
= y(n) f ( x) (Ι)
逐次积分.
= y′′ f ( x, y′) (ΙΙ) 令 y′ = p ⇒ p′ = f ( x, p).
= y′′ f ( y, y′) (ΙΙΙ)
例2 求微分方程 3e x tan ydx + (1 − e x )sec2 ydy =0 的通解.
解 将方程分离变量得
sec2 y
3e x
tan
y
dy
=
ex
dx. −1
两端积分，得 ln ta= n y 3ln(e x − 1) + lnC，
整理得 ta= n y C(e x − 1)3 .
∴原方程的通解为 tan y = C(e x − 1)3 .
解一 =P e y，=Q xe y − 2 y，
∂P = e y = ∂Q ，
∂y
∂x
∴原方程为全微分方程.
y B(x,y)
A(x,0)
o(0,0)
x
∫ u( x= , y)
( x, y)
e
ydx
+
(
xe
y
−
2
y)dy
( 0 ,0 )
∫ ∫ ∫ ∫ =
+
= x e0dx + y ( xe y − 2 y)dy
∫ =
e− ∫1dy (
2 e
y
y
⋅
e ∫ 1dy dy
济南大学高数下第四章大作业详解
1 x2
2
二、填空题
f (u) 1 u
1、一函数的积分曲线中每一曲线上相同横坐标对应点处的
切线_相__互 ___平__行
2、 若f (sin2 x) cos2
x， 则f
(x)
x 1 x2 C
____2_____
3、
(2x
32x
)dx
18x
__l_n_1_8__C___
4、
1 x2 dx _a_r_c_s_in_x___C_
e t sint e t cos t e t sintdt
原 式 e t (sin t cos t) C 2
x (sinln x cos ln x) C 2
四、已知sin x 是f ( x)的原函数，求 xf ( x)dx. x
解：
sin x 是f ( x)的 原 函 数 x
x
x
4、函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续是函数f ( x)在该闭区
A 间上原函数存在的（ ）
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.以上都不对。
B 5、设f ( x)有原函数x ln x，则 xf ( x)dx （ ）
A. x 2 ( 1 1 ln x) C B. x 2 ( 1 1 ln x) C
原 式
sin3 cos 2
t tBiblioteka cos t sintdt
sin2 tdt
1
cos 2
2t
dt
1 t 1 sin2t C 24
1 arcsin e x e x
1 e2x C
2
2
10、 sin(ln x)dx
解 : 令t ln x,则dx et dt
高数下习题课
和函数 s (x)的图形如下：
函数 f (x) 的图形如下：
o
x
y
–
3
–3
f (x)
s (x)
例 8
壶擎佰蕴奄涩岩享哈战瑰朵缠僧作怂塑蚌瑞谷三胁卵弧毫戊藤怯误拴族抿高数下习题课高数下习题课
解：
(5)
拌露脊性米役伟学贱铱佰过沪斩钵馁瓶拾间丰囊跌眩客悉杂俘夏磐崭甲们高数下习题课高数下习题课
(6)
解：
同理：
澈采棉唾伪邢媒倒侍隆尔乐偶绅哮绝卞易贮脂痪微芳臃结邱滴宫蚁哟磅叙高数下习题课高数下习题课
(7)
解：
恤麻林会美田菲糠榔末叫姓面掏抽称螟芳勋翔旷倦吻仗崔馅垮木臭汇翼儒高数下习题课高数下习题课
例 7
蛔盾脂翁锨痢谦汗昌哀旬并僚制豹再养窗吴扰彪悸例舵站叭骋辕漠分堵玲高数下习题课高数下习题课
解：
例 6
酿掇蔼寐寇挨锈人沟裸澄木苞邵膜贯拒抑邢惋羞彼聂筋沛靳渝龋拣师买伊高数下习题课高数下习题课
解：
= 0,
n = 1, 2, ···
n = 1, 2, ···
例 8.
揽瞬绚社密忧璃鞋软宠袒宪帮裹燕菌锈辈腐滋醋潞殉歉庇凛溪涩纽丁限灶高数下习题课高数下习题课
h
h
Dxy 图形？
三4.
方法 II:
贴补，用高斯公式.
S
S半圆
砖盅喝盟暑是隆迢瘦坏砷眷要靡叔靳怎网跃纫食拦跃契钙墓琵业童砂喳哮高数下习题课高数下习题课
2. (1)
解
方法：
2
1
x
y
o
L
用格林公式
0 t 2
C
娩谜宏琢遍剖京诱刨己抚盔毖风仕肉镣纬小壬腊归辽艳憨煽市倘贾喷欠俗高数下习题课高数下习题课
高等数学习题参考答案与评分标准
济南大学06-07（二）本科高等数学一（下）（A 卷）参考答案与评分标准闫召祥、于朝霞、（孙鹏举、刘春艳）一、 填空题1. 0,22222≠++≤y x y x z 且.2. ⎰⎰yydxy x f dy222),(. 3. 6.4.11,)1(11202<<--=+∑∞=x xxnn n. 5. 622=++z y x .评分标准说明： 每空4分，第1小题没去掉坐标原点扣2分，第2小题第2层积分限颠倒扣2分， 第4小题没写收敛区间扣1分；其余小题错则扣全分。
二、单项选择题A B D D B评分标准说明： 每题4分，错则扣全分王耘、陈勇、王玉丽（孙鹏举）三 、计算题一（本题共两小题，满分15分） 1. 解：yx yyyx yx xz 2csc21seccot2=⋅⋅=∂∂， ------------ 4分)(22xzy yx z xy z ∂∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂ ------------- 1分=]12cot 2[2csc 222csc2cot22csc 2222-=-⋅⋅--y xy x y x yy x y x yx yyx y； --------------- 2分评分标准说明： 该题两个偏导数的最后结果形式不唯一。
2. 解：方程两边同时求微分可得：⎩⎨⎧=++=++02220zdz ydy xdx dz dy dx ， --------------- 4分由此可解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=dx y z xy dz dx yz z x dy ---------- 2分故得yz z x dxdy yz x y dxdz --=--=;. ------------ 2分评分标准说明：该题还可以用直接求导法、公式法等；李凡军、宋文青、胡京亭、刘坚、何燕玲 四、计算题二（本题共两小题，满分15分）1. 解：区域D 如图 ， 利用极坐标计算可有 --------- 1分rdrr d dxdy y x b aD⋅=+⎰⎰⎰⎰2022πθ. --------- 3分)(633a b -=π--------- 3分2. 解：区域Ω如图， ------- 1分⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=yx xdz dy x xd dxdydz x 10101Ω-------- 3分dx x x dyy x dx x x⎰⎰⎰-=--=-121010)1(21)1( -------- 2分241=. -------- 2分评分标准说明：以上重积分计算题，如果画的区域图形不正确则扣1分，没画区域图但计算完全正确不扣分；五、计算题二（本题共两小题，满分15分）1. 解：记y e Q y e P x x cos ,sin ==，由于xQ y e yP x∂∂≡=∂∂cos ， 所以线积分与路径无关； --------- 2分选择特殊路径如图，可得 --------- 1分ydx e ydy e ydx e ydy e xxMAAOLxx sin cos ][sin cos ++=+⎰⎰⎰--------- 1分=ydy e dx cos 0111⎰⎰+ --------- 2分=1sin e --------- 1分2. 解：将∑分为六部分：);10,10(,0:);10,10(,0:);10,10(,0:321≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤=y z x z x y y x z ∑∑∑ );10,10(,1:);10,10(,1:);10,10(,1:654≤≤≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤=y z x z x y y x z ∑∑∑-------- 1分 而 0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰dS xyz dS xyz dS xyz ∑∑∑ --------- 2分再根据对称性可有d S xyz dSxyz ⎰⎰⎰⎰=43∑∑--------- 2分=dxdyz z xyy x y x ⎰⎰≤≤≤≤++10102213---------- 1分431311==⎰⎰dy xy dx . -------- 2分评分标准说明： 第1小题要求画图，第2小题不要求画图；第2小题也可以不利用对称性；李尚友、韩雪、邱保健、王金梅、单伟（刘春艳） 六、（本题满分10分）解：11lim||lim ,11=+===∞→+∞→nn a a R na n n n n n 收敛半径， -------- 2分而在1=x 处，级数为∑∞=11n n，显然发散，在1-=x 处，级数为∑∞=-1)1(n nn，显然收敛； ------- 1分故幂级数的收敛区间为 )1,1[-. -------- 1分记∑∞==11)(n nxnx S ，则 )1|(|,11)(11<-=='∑∞=-x xxx S n n -------- 2分)1l n (11)(,0)0(0x dxx x S S x--=-==⎰所以积分可得--------- 1分所以11),1ln(11<≤---=∑∞=x x xnn n-------- 1分而 2ln )21(211==∑∞=S nn n-------- 2分评分标准说明： 和函数没有注明在x = -1点有意义的扣1分；七、（本题满分5分）证：因为∑∞=02n n u 和∑∞=02n n v 都收敛，而)(21||22n n n n v u v u +≤， -------- 2分所以 级数∑∞=0n n n v u 绝对收敛， -------- 1分所以 级数 ∑∑∞=∞=++=+0222)2()(n n n n n n n n v v u uv u 也收敛。
济南大学高数下1习题课幻灯片资料
4（4）lim (13ta2x n)co2x t x 0
解：lim (13ta2x n)co2x t
x 0
lim (13ta2nx)3ta12nx3 e3
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lx im (6xx1))
3
e2
7
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第一章 函数与极限
（6） lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
解：lim 1taxn 1six n x 0 x1si2n xx
lim ta x s nx in
1
x 0x (1 s2 ix n 1 ) 1 ta x n 1 sx in
12lxim 0ta1nxx(1sinc2 xosx)
第一章 函数与极限
3（6）limsinxsina
解：
xa xa limsinxsina
2sinxacoxsa
lim 2
2
xa xa
xa
xa
co as
（7） lim ( x2xx2x) x
解：lim ( x2xx2x)
x
lim 2x
1
x x2x x2x
6
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第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
第五节 极限运算法则
济南大学数学科学学院
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第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lxi m 1(11x13x3). 解 lxi m 1(11x13x3)lxim 1 x21xx3 2
lx i1m (1 (xx)2(x)2(x x1)1) lxi m 1x2xx211.
济南大学高等代数1(191201)期末复习题
A、正确 B、错误 答案：错误
12.
A、正确 B、错误 答案：正确
13.
A、正确 B、错误 答案：正确
14.
A、正确 B、错误
答案：错误
15.
A、正确 B、错误 答案：错误
16.实对称矩阵的符征根一定是实数。
A、正确 B、错误 答案：正确
17.
A、正确 B、错误 答案：错误
6.
A、
B、 C、 D、 答案：C
7.
A、 B、 C、 D、 答案：C
8.
A、 B、 C、 D、 答案：C
9.
A、 B、 C、 D、 答案：A
10.
A、 B、 C、 D、 答案：D
11.n阶行列式D,当n取怎样的数时，次对角线上各元素乘积的项带正号()。
一、单选题 1.
A、 B、 C、 D、 答案：A
2.
A、 B、 C、 D、 答案：A
3.
A、
B、
C、
D、 答案：B
4.
A、 B、 C、 D、 答案：B
5.若既约分数r/s是整系数多项式f（x）的根，则下面结论哪个正确()。
A、s+r(f(1)，s-r)f(-1) B、s+r(f(1)，s+r)f(-1) C、s+r(f(-1)，s-r)f(1) D、s+r(f(-1)，s+r)f(-1) 答案：C
C、
D、 答案：A
17.
A、 B、 C、 D、 答案：D
18.
A、4 B、3 C、2 D、1、
D、 答案：D
20.
A、 B、 C、 D、
答案：A
21.
A、
B、
C、 D、 答案：B
高数(一)(下)考题讲解课件
详细描述
一阶常微分方程是只含有一个导数的常微分 方程，其解法包括初值问题和积分问题等。 常用的解法有分离变量法、变量代换法、积 分因子法等。
二阶常微分方程
总结词
理解二阶常微分方程的解法是解决复杂常微 分方程问题的基础。
详细描述
二阶常微分方程是含有两个导数的常微分方 程，其解法包括齐次化处理、降阶法、参数 法等。二阶常微分方程在物理、工程等领域 有广泛的应用，如振动问题、质点运动问题
等。
THANKS
感谢观看
ERA
不定积分的概念与性质
基础概念
不定积分是微积分中的一个基础概念，它表示一个函数的原函数或反导数。不定 积分具有一些重要性质，例如线性性质、积分常数性质和分部积分法等。
不定积分的计算
计算方法
不定积分的计算是学习微积分过程中的一个重要环节。常用的不定积分计算方法包括直接积分法、换元积分法和分部积分法 等。这些方法可以帮助我们解决各种形式的不定积分问题。
和公式。
定积分的应用
总结词
理解定积分的应用是解题的重要环节。
VS
详细描述
定积分的应用非常广泛，包括求平面图形 的面积、求体积、求长度等。在解题过程 中，需要根据具体问题选择合适的公式和 方法进行计算。同时，需要注意定积分的 实际意义和应用背景，以便更好地理解题 目和解题思路。
05
常微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
导数与微分
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
导数的概念与性质
01
02
03
导数的定义
导数是函数在某一点的变 化率的极限，表示函数在 该点的切线斜率。
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第五节 极限运算法则
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第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lim( x1 1
1
x
1
3 x
3
).
解
lim( x1 1
1
x
1
3 x3
)
lim
x1
x2 1
x x3
2
lim
x1
(1
( x 2)( x)( x2
x
1) x
1)
lim x1
x2 x2 x
lim
x0
tan x(cos x 1) 1 x2 1 sin x
32
x( 1 x2 )
lim
x0
2 1 x3
6
3
5
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习题 1-9
第一章 函数与极限
3（6）lim sin x sin a
xa x a
xa xa
解： lim sin x sin a
2 sin lim
1 x
1
证：
1 x
1
1 x
1 x
,
1
x
x
1 x
1,
lim
x0
x
1 x
1
4
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第一章 函数与极限
习题 1-7
4（4） lim
sin x tan x
x0 (3 1 x2 1)( 1 sin x 1)
解：lim
sin x tan x
x0 (3 1 x2 1)( 1 sin x 1)
2
8
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作业
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解：lim 1 tan x 1 sin x x0 x 1 sin2 x x
lim tan x sin x
1
x0 x( 1 sin2 x 1) 1 tan x 1 sin x
1 2
lim
x0
tan x(1 cos 1 x sin2 x
x)
lim
x0
x
1 x2 2 x3
1 2
1
1.
2
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第一章 函数与极限
习题 1-6
4（1）证明：lim 1 1 1
n
n
证：
1
1 1 n
1
1 n
1 4n2
1 1 2n
由于 lim（1 1 ） 1
n
2n
所以 lim 1 1 1
n
n
3
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第一章 函数与极限
4（5）lim x0
x
2
cos
2
xa x a
xa
xa
cosa
（7） lim ( x2 x x2 x ) x
解：lim ( x2 x x2 x )
x
lim
2x
1
x x2 x x2 x
6
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第一章 函数与极限
4（4）lim(1 3tan2 x)cot2 x x0
解：lim(1 3tan2 x)cot2 x
x0
lim(1
3 tan 2
1
x ) 3 tan2
x
3
e3Байду номын сангаас
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lim x
1
6
3
x
2
lim 1 x
3 6 x
6 x
3
3( x1) 2(6 x )
3
e2
7
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第一章 函数与极限
（6） lim 1 tan x 1 sin x x0 x 1 sin2 x x