2010年中考数学复习第16讲：《三角形》复习课件
中考数学总复习 第四章 三角形 第16讲(课堂本)课件
3．(2018 临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC.AD⊥CE，BE⊥
CE，垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
A.23
B．2
C．2 2
D． 10
第四页，共三十七页。
4．(2018 东莞一模)如图，已知△ABC≌△ADE，若 AB＝7， AC＝3，则 BE 的值为 4 .
第七页，共三十七页。
6．(2018 铜仁)如图，已知点 A，D，C，B 在同一条直线上， AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，求证：AE∥BF.
第八页，共三十七页。
证明：∵AD＝BC，∴AC＝BD， AC＝BD
在△ACE 和△BDF 中，AE＝BF ， CE＝DAE∥BF.
全等三角形的性质 (6 年 4 考) 5．(2018 广州一模)已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°， BC＝15 cm，则∠F＝ 61 度，EF＝ 15 cm. 6．(2018 泰州)如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC，DB 相 交于点 O.求证：OB＝OC.
第十九页，共三十七页。
第二十六页，共三十七页。
10.(2018 广州)如图，AB 与 CD 相交于点 E，AE＝CE，DE＝ BE.求证：∠A＝∠C.
第二十七页，共三十七页。
AE＝CE 证明：在△AED 和△CEB 中，∠AED＝∠CEB ，
DE＝BE ∴△AED≌△CEB(SAS)，∴∠A＝∠C.
第二十八页，共三十七页。
能判定△ABE≌△ACD( D )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
第十三页，共三十七页。
2．(2018 金华)如图，△ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F， 请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅 助线)，你添加的条件是 AC＝BC(答案(dáàn)不唯．一)
专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮
专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。
中考数学第四单元“三角形”复习课件
第18讲 │ 考点随堂练
6．∠A 与∠B 互为补角，且∠A>∠B，那么∠B 的余角等于
(A )
A.12(∠A－∠B)
B.12(∠A＋∠B)
C.12∠A
D.12∠B
[解析] ∠A 与∠B 互为补角，则∠A＋∠B＝180°，所以 ∠B＝180°－∠A，则∠B 的余角为＝90°－(180°－∠A)＝ ∠A－90°＝∠A－12(∠A＋∠B)＝12(∠A－∠B)．
[解析] 经过一个点可以画无数条直线，经过三点可能可以 画 3 条直线，也可能画一条直线，直线可以向两方无限延 伸，所以直线不能比较长短．所以只有 C 是正确的，用直 线上的两个点表示直线，表示时位置可以交换．
第18讲 │ 考点随堂练
4．如图 18－3，已知点 A、B、C、D、E 在同一直线上，且 AC ＝BD，E 是线段 BC 的中点．
第18讲 │ 考点随堂练
第18讲 │ 归类示例
归类示例
类型之一 线与角的概念和基本性质
► 类型之一 线与角的概念和基本性质 命题角度： 1．线段、射线和直线的性质及计算 2．角的有关性质及计算
如图 18－2，将一副三角板叠放在 一起，使直角顶点重合于 O 点， 则∠AOC＋∠DOB＝___1_8_0_°__.
A．5 cm
B．6cm
C．10 cm
D．不能确定
图19－1
第18讲 │ 考点随堂练
7．如图 18－5，甲从 A 点出发向北偏东 70°方向走 50 m 至点 B， 乙从 A 出发向南偏西 15°方向走 80 m 至点 C，则∠BAC 的度数 是____1_2_5_°_______．
图 18－5 [解析] 90°－70°＝20°，所以∠BAC＝20°＋90°＋15°＝125°.
第16讲 全等三角形 课后作业-2021年中考数学一轮复习课件(江西专版)
4．(2021·原创)阅读获知 (1)如图1，在△ABC中，①已知AB＝AC，过A作∠BAC的平分线AD交BC于 点D.易证 △ABD≌△ACD(SAS)，则得结论∠B＝∠C. ②若将①中条件“AB＝AC”换成 “∠B＝∠C”为条件，其结论：AB＝ AC成立吗？答：_成__立___． 特例感知 (2)如图2，∠ABO＝∠CDO＝90°，AB＝BO, OD＝DC，OA与OC，OB与 OD都在同一条直线上，∠ABO和∠CDO的平分线分别交AC于点E和点F.求 证： AC＝2(BE＋DF).
带②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到 B 与原来一样的三角形
带③上，不但保留了原三角形的两个角，还保留了其中一 C 个边，符合ASA判定
带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能 D 得到与原来一样的三角形
正误 × × √ ×
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，P是AD上任意一点，连接BP， CP并延长分别交AC，AB于点E，F，则图中的全等三角形共有( ) A A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
OC，∠AOB＝∠COD＝36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：
①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.其
中正确的结论个数有 ( B ) A．4个
B．3个
C．2个 D．1个
第1题图
【解析】 ∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋
拓展深知 如图3，∠ABO＝∠CDO＝90°，AB＝OD，BO＝DC, ∠BOA＋∠AOD＝ 180°，且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD交于点G，∠ABO 和∠CDO的平分线分别交AC于点E和点F，那么(2)中的结论还成立吗？ 如果成立请证明，不成立说明你的理由．
第16讲锐角三角函数复习课件(共42张PPT)
解：原式＝ 3＋ 2× 22＋ 3－－3－2 3＋1＝ 3＋1＋ 3 ＋3－2 3＋1＝5.
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4．在△ABC 中，若|cos A－12|＋(1－tan B)2＝0，则∠C 的
度数是
(C )
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
5．式子 2cos 30°－tan 45°－ （1－tan 60°）2的值是
∵CE＝EF，∴CAEC＝
m＝ 5m
55，
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∴tan∠CAE＝ 55. 解法二：∴在 Rt△ABC 中，
tan
B＝ABCC＝
2m ＝ 5m
2， 5
在 Rt△EFB 中，EF＝BF·tan B＝2m，∴CE＝EF＝2m，
5
5
2m
∴在 Rt△ACE 中，tan∠CAE＝CAEC＝2m5＝ 55，
∴tan∠CAE＝ 55.
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7．如图5－16－4，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上 一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F， 连结FB，则tan∠CFB的值等于 ( C )
3 A. 3
53 C. 3
23 B. 3 D．5 3
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第五章 解直角三角形
第16讲 锐角三角函数
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月球有多远？ 如图，如果从地球上A点看， 月球S刚好在地平线上(即AS和地 球半径OA垂直)，而同时从地球上B点看，S刚好在天顶处(即S 在地球半径OB的延长线上)，那么∠S就叫做月球S的地平视 差，根据一个天体的地平视差，可以算出这个天体的距离． ∠S可以从∠AOB算出，而∠AOB可以从地球上A，B两点 的经纬度算出． 月球S的地平视差(∠S)，就是从月球S看来，垂直于视线 (SA)的地球半径(OA)所对的角．
中考数学复习讲义课件 第4单元 第16讲 三角形及其性质
10．(2021·河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE 与 BD 的交点为 C， 且∠A，∠B，∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD＝ 110°，则图中∠D 应 减少 (填“增加”或“减少”) 10 °.
在计算与三角形有关的角度时，先判断出要求的角与所在三角形中已知角 之间的关系，再合理选用三角形的内角和定理求角度．在解题时要注意角 平分线的定义、平行线的性质等知识的综合应用．
12.(2021·衢州)如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，连接 DE，EF，则四边形 ADEF 的周长为( B )
A.6 B.9 C.12 D.15
13．(2021·雅安)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BF 是 AC 边上的中 线，DE 是△ABC 的中位线．若 DE＝6，则 BF 的长为( A )
第四单元 三角形
第16讲 三角形及其性质
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
三角形三边的关系(2020.8，2012.12 涉及)
1.(2021·南京)下列长度的三条线段与长度为 5 的线段首尾依次相连能组成
四边形的是( D )
A.1，1，1
[分析] (1)根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计 算，可得∠CBE 的度数； (2)在△CBE 中，由三角形内角和定理，可求出∠CEB 的度数，再根据平行 线的性质即可得∠F 的度数．
2.(2021·娄底)如图，AB∥CD，点 E，F 在 AC 边上，已知∠CED＝70°， ∠BFC＝130°，则∠B＋∠D 的度数为( C )
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC 的外角 ∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E. (2)过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数．
中考数学全程复习方略第十六讲三角形与多边形课件
(1)求∠CBE的度数. (2)过点D作DF∥BE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数.
第二十页，编辑于星期六：六点 三十五分。
【思路点拨】(1)先根据直角三角形两锐角互余求出
∠ABC=90°-∠A=50°,由邻补角定义得出∠CBD=130°.再根
据角平分线定义即可求出∠CBE.
(2)先根据(1)得出∠CEB,再根据平行线的性质即可求出
(2)区分性质与判定:已知直角三角形可得两锐角互余,此为 性质;已知两锐角互余可得直角三角形,此为判定.
第十八页，编辑于星期六：六点 三十五分。
【核心突破】 例2(2018·宜昌中考)如图,在Rt△ABC中
,∠ACB=90°,∠A=40°,△ABC的外角
∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
第十九页，编辑于星期六：六点 三十五分。
第三条线段,那么这三条线段能组成一个三角形,否则不能组 成一个三角形.
第八页，编辑于星期六：六点 三十五分。
2.已知两边求第三边:设三角形的两边长分别为a,b(a>b),则第
三边长c必须满足条件:a-b<c<a+b,由此便可确定第三边长
的范围.
3.证明线段不等关系:若是和的大小关系则采用三角形的两 边之和大于第三边,若是差的大小关系则采用三角形两边 之差小于第三边.
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
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3.长度分别为3,4,5,7的四条线段首尾顺次相接,相邻 两线段的夹角可调整,则任意两端点的距离最大值为 ____9____.
第十四页，编辑于星期六：六点 三十五分。
4.(2019·株洲芦淞区一模)已知关于x的不等式组
中考数学第一轮复习 三角形
类型之二 三角形的重要线段的应用 命题角度： 1．三角形的中线、角平分线、高 2．三角形的中位线
[2011·成都] 如图 19－1，在△ABC 中，D、E 分别是边 AC、 BC 的中点，若 DE＝4，则 AB＝___8_____.
1．三条边对应相等的两个三角形全等(简记为________)S．SS 2．两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为________)． ASA3．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为
________)．
4．两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为________)．
命题角度： 1．等腰三角形的性质 2．等腰三角形“三线合一”的性质 3．等腰三角形两腰上的高(中线)、两底角的平分线的性质
[2011·株洲] 如图 21－1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.
__5_0_°____.
图 19－2
全等三角形
考点1 全等图形及全等三角形
1．能够完全_____重__合_的两个图形称为全等形，全等图形的形状和 ______大__小都相同．
2．能够完全______重_合_的两个三角形叫全等三角形． [注意] 完全重合有两层含义：(1)图形的形状相同；(2)图形的大小相等
大于
[总结] 任意三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝
角，最多有一个直角．
互余
类型之一 三角形三边的关系
命题角度： 1．利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 2．利用三角形三边的关系求字母的取值范围 3．三角形的稳定性
沪科版中考数学复习课件：第4单元-三角形
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考点聚焦
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定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 角平分 ________. 相等 线的性 相等 的点在这个 逆定理： 到角的两边距离________ 质 角的平分线上.
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考点3
互 为 余 角 互 为 补 角
互为余角、互为补角
定义 如果两个角的和等于 90°，则这两个角互余． 性质 同角(或等角)的余角________. 相等 定义 如果两个角的和等于 180°， 则这两个角互补． 性质 同角(或等角)的补角________. 相等 拓展 一个角的补角比这个角的余角大 90°.
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考点聚焦
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例 3 [2013· 安徽] 如图 14－2，AB∥CD，∠A＋∠E＝75°， 则∠C 为 ( C )
考点6
平行线的性质及判定
名称 关键点回顾 经过直线外一点，有且只有________ 条直 一 线与这条直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么 平行 这两条直线也互相________. 1.同位角相等，两直线平行； 2.内错角相等，两直线平行； 3.同旁内角互补，两直线平行． 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补.
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考点4
邻补角 的定义 对 定义 顶 角 性质
邻补角、对顶角
若两角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长 线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 若两角有一个公共顶点，且两角的两边互为反向延长 线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 对顶角相等.
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人教版八年级上册数学《三角形的外角》三角形研讨说课复习课件
（2）如图（二），∵∠1是△ABD的外角，∴∠A+∠D=∠1，同理∠E+∠EBD=∠2，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠C=180°，即
∠EBD+∠D+∠A+∠C+∠E=180°；
（3）如图（三），∵∠2是△ABN的外角，∴∠B+∠A=∠2，同理∠D+∠C=∠1，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即
【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质.
探究新知
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这
样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角
形的外角.
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角.
探究新知
问题1： 如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的
一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ A
素养目标
3. 会利用三角形的外角性质解决问题.
2. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和及三角形的内角和．
1. 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在
复杂图形中找出外角.
探究新知
知识点 1
三角形的外角的概念
发现老鼠独自在O处后，小猫打算用迂回的方式，先从A前进
到C处，然后再折回到B处截住老鼠返回鼠窝的去路，小猫则直接在
问题解决：
组内两两结对对讲，小组代表讲解
证明：连接AO并延长AO交BC于F，
根据三角形外角的性质可得，
∠BOF=∠BAF+∠ABD，
∠COF=∠CAF+∠ACE，
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
中考数学复习线段角相交线与平行线PPT
第16课时 线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点三
误区警示
平行线的判定与性质
在运用同位角、内错角、同旁内角判定直线是否平行时，一定要 搞清楚这一对角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的，从而 才能确定这两条直线是平行的．
第16课时 线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点三 平行线的判定与性质
例4 ( ·莆田)已知直线a∥b，一块直角三角尺按如图所示的方 式放置．若∠1＝37°，则∠2＝__5_3_°____．
考点一 度、分、秒的运算
例1 ( ·厦门)1°等于( C) A. 10′ B. 12′ C. 60′ D. 100′
思路点拨
根据度、分、秒之间的单位转换可得答案． 1°=60′，故选C.
第16课时 线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点二 与角有关的概念和计算
例2 ( ·恩施州)已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使 ∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为( C )
A. 28° B. 112°
思路点拨
C. 28°或112°
D. 68°
根据题意画出图形，利用数形结合及角的和、差求解即可．
第16课时 线段、角、相交线与平行线
考点演练
考点二 与角有关的概念和计算
解：如图，当点C与点C1重合时， ∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°－42°＝28°； 当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝70°＋42°＝ 112°. 故选C.
第16课时 线段、角、相交线与平行线
知识梳理
3.尺规作图： (1) 限定只能使用没有___刻__度___的直尺和___圆__规___作图称为尺规 作(2图) 5．种基本作图包括：
2024年中考第一轮复习直角三角形 课件
[解析] 设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,
.
得x2-(x-2)2=82.解得x=17.
■ 知识梳理
勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于⑥ 斜边的平方
勾股定理
如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑦ 平方 ,那么这个三角形
的逆定理 是直角三角形
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
∴AD=BC,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD,∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,
AD=CF,∴△ADE≌△FCD,∴ED=CD=x,∴FD=x-1,
在Rt△CFD中,FD2+CF2=CD2,∴(x-1)2+32=x2,解得x=5,∴CD=5.故选B.
考向三
勾股定理与拼图
例 3 [2020·孝感]如图 19-11①,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个
图19-6
∴∠BEC=90°,∠BFC=90°,
1
2
∵G 是 BC 的中点,∴EG=FG= BC=5,
∵D 是
1
EF 的中点,∴ED= EF=3,GD⊥EF,
2
∴∠EDG=90°.在 Rt△ EDG 中,
由勾股定理得,DG= 2 - 2 =4,故答案为 4.
考向二
利用勾股定理进行计算
例2 [2020·宜宾]如图19-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,BE平分
∠ABC交AC于点E,连结CD交BE于点O.若AC=8,BC=6,则OE的长是
.
图19-7
【方法点析】勾股定理是求线段长的重要工具,主要应用:(1)已知直角三角形的
两边长求第三边长;(2)已知直角三角形的一边长求另两边的关系;(3)用于证明平
中考数学复习第16讲：《三角形》复习课件
⑴有一个角为90 °的三角形为直角三角形；
⑵如果一个三角形的某两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形为直角三角形；
⑶某边的中线等于这个边的一半的三角形为直角三角形；
三.典型例题
例1 已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且 a>b，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ）
式 (abc)(abc)m0，则整数m应为 .
四.能力训练
二、选择题： 1.若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则 这样的三角形共有（ ）
A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 2.在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝ AD，则∠A的度数为（ ）
A、30° B、36° C、45° D、72° 3.等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分， 则此三角形底边之长为（ ）
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A C
B
C
E F
D 6题图
D E
A 7题图 B
四.能力训练
8.纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸
片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），
若∠1＝20°，则∠2的度数为
.
A
1 C
2 B
9.在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于点O，则 ∠BOC＝ .
10.若△ABC的三边分别为a、b、c，要使整
1
1
∴∠D＝ 2 ∠ABC，∠E＝ 2 ∠ACB
D
BC
E
分求∴析出∠∠：DD用＋＋三∠∠E角E＝的形12 度（内∠数角A，和BC即定＋可∠理求A和C得B外）∠角＝D定5A3E°理的，度等数腰. 三角形性质，
(沪科版)中考数学总复习课件【第16讲】三角形与全等三角形
第16讲┃三角形与全等三角形
经典示例
例2 [2014·成都] 如图 16－1，为估计池塘两岸边 A，B
两点间的距离， 在池塘的一侧选取点 O， 分别取 OA ， OB 的中点 M，
64 N，测得 MN＝32 m，则 A，B 两点间的距离是________ m.
图 16 － 1 讲┃三角形与全等三角形 第 16
8．[2014·黄石] 如图16－5，一张矩形纸片，剪去部分后 得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图16－5
第16讲┃三角形与全等三角形
9．[2014·孝感] 如图16－6，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1＝ 44°，那么∠2的度数为( A )
角平 AE 是 △ABC 的 角 平 分 线 分线 ∠BAE＝∠CAE 高 AF 是△ABC 的高
BFA＝∠CFA＝90°
第16讲┃三角形与全等三角形
概念：连接三角形两边的中点的线段 性质：三角形的中位线平行于第三边， 中位 并且等于第三边的一半．GH 是△ABC 的 线 1 中位线 GH BC 2
经典示例
例1 [2012·长沙] 现有长度分别为 3 cm ，4 cm，7 cm，9 cm 的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角 形的个数是( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
第16讲┃三角形与全等三角形
[解析] 可以用枚举法得出四条木棒的所有组合：3 cm，
4 cm，7 cm和3 cm，4 cm，9 cm和3 cm，7 cm，9 cm和4 cm，
第16讲┃三角形与全等三角形
一副三角板叠在一起如图 16－11 放置， 最小锐角的顶点 D 恰好放 在等腰直角三角板的斜边 AB 上， BC 与 DE 交于点 M.如果∠ADF＝100°， 那么∠BMD 为________度．
第16讲 三角形的概念及性质(课件)中考数学一轮复习(全国通用)
考点二 三角形的重要线段
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由
三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的
同步联想，其他几何图形在什么情
况下会转化成该考点的知识考察.
第二部分
知识建构
稿定PPT
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款适合你
第三部分
考点精讲
Hale Waihona Puke 考点一 三角形的相关概念三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
基础.所以，在中考中，与其它几何
图形结合考察的几率比较大，特别
是全等三角形的性质和判定的综合
应用.考生在复习该考点时，不仅要
➢ 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论: 熟悉掌握其本身的性质和应用，还
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 要注重转化思想在题目中的应用，
三角形的性质
➢ 证明三角形的任意两边之和大于第三边.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形
∵DE是∆ABC的中位线
的中位线
∴AD=DB AE=EC
1
2
DE= BC DE∥BC
考点二 三角形的重要线段
概念
三角形
重心 三条中
线交点
图形
性质
1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
《中考大一轮数学复习》课件 三角形与全等三角形
中考大一轮复习讲义◆ 数学
2
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
知识结构梳理
三角形的概念及表示 素及基本性质三边的关系，三内角的关系 三角形的高、中线、角平分线 三角形 三角形全等的表示及特征 三角形的全等探索三角形全等的条件 三角形全等的应用
三角形的基本要
1 2
3
3
夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 三角形的概念与分类 (1) 由三条线段 ________________________ 所围成的平面图形，叫做三角 形． (2) 三角形按边可分为： ________ 三角形和 ________ 三角形；按角可分为 ________三角形、________三角形和________三角形． 2. 三角形的性质 (1)三角形的内角和是 ________，三角形的外角等于与它 ________的两个内 角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角． (2)三角形的两边之和________第三边，两边之差________第三边． 3. 三角形中的重要线段 (1)角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶 点和交点之间的______．三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的 内心，它到三角形各边的距离相等． (2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边 ________的线段．三角形的三条 中线交于一点，这点叫做三角形的重心． (3)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画 ________，顶点和垂足 间的线段．三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心． (4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形 的外心，外心到三角形三个顶点距离相等． 4
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三.典型例题
例1 已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且 a>b，那么这个三角形的周长的取值范围是（ ） A. 3a L 3b B. 2(a b) L 2a C. 2a b L 2b a D. 3a b L a 2b 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要 同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和.
三.典型例题
变式与思考一：在△ABC中，AC＝5，中线 AD＝7，则AB边的取值范围是（ ） A.1＜AB＜29 B.4＜AB＜24 C.5＜AB＜19 D.9＜AB＜19
分析：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接 求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求 解，这也是一种常见的作辅助线的方法.
是否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论 . P
B C l
A A相等呢？利用同弧上的圆周 （2）存在，怎样的角与∠ 角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易知弦BC所对 P 且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都与∠A相等，因此 点Q应在弓形AB . B 和AC内，利用圆的有关性质易证明 C l
三.典型例题
例2 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝61°， 延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝AB，求 A ∠DAE的度数.
解：∵AB＝DB，AC＝CE
1 1 D B C E ∴∠D＝ ∠ABC，∠E＝ ∠ACB 2 2 1 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质， ∴∠D＋∠E＝ （∠ABC＋∠ACB）＝53° 2 求出∠D＋∠E的度数，即可求得∠ DAE的度数.
A
B
C
试试看，相信你一定能行！
四.能力训练
一、填空题： 1.三角形的三边为1，1-a，9，则a的取值范围 是 . 2.已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的 长也是整数，那么第三边的长为__________. 3.在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ __________度. 4.如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C， 则∠A＝__________. 5.如果△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， 则与∠A相等的角是__________.
4.三边之间的关系:
①两边之和大于第三边； ②两边之差小于第三边; ③两边之差<第三边<两边之和.
二.知识要点
5.三角之间的关系 : ①三角形三内角的和等于180°; ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ③直角三角形两锐角互余. 6.等腰三角形 定义：等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等三角形 性质： ⑴ 等腰三角形两底角相等； ⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上 的中线三线合一。 ⑶等边三角形各个角都相等，且每一个角都等60°
第5讲 三角形（一）
课件制作人： 杨学斌 2010/4/15
一.考点分析
重点考查三角形内角和定理、三角形主要 线段的性质、特殊三角形的性质等知识点，一 般设置边、角的计算题与简单的证明题，在综 合题中占有一定的从份量，解题需要用到本课 知识内容，学好 本课内容是学好几何的必备条 件。
一.复习目标
三.典型例题
例5.如下图示：△ABC中，AB=AC=12cm，D为BC 的中点，DE∥AB，求DE的长度。 C
E A
D
B
三.典型例题
例6.如图示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3， BC=7，DC=5，求梯形ABCD的面积。
A D
B
C
三.典型例题
例7.如下图所示，△ABC与△BDE均为正三角形，且A、B、D 在同一 F A
直角三角形 等腰三角形的判定：
性质：⑴直角三角形两锐角互余； ⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等； ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑵在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 ⑶有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形。 对的直角边等于斜边的一半； ⑶勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方； ⑷直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 判定： ⑴有一个角为90 °的三角形为直角三角形； ⑵如果一个三角形的某两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形为直角三角形； ⑶某边的中线等于这个边的一半的三角形为直角三角形；
B
D
三.典型例题
变式与思考：
上题中，我们保持△ABC位置不变，如果把△BDE绕着点B 旋转一定的角度得到下面的图形。 ⑴求证： △ABE ≌△CBD； ⑵求证：∠EFD=60° 此时上面的两个结论是否还成立呢？ E C F A B D
三.典型例题
例8.等腰三形ABC中，AB=AC，∠A：∠B=1：2，请您用三种 方法将这个三角形分成三个与它相似的小三角形。
三.典型例题
例4 如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一点，过P 点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足为E、D.问△AED 的周长与四边形EBCD的周长有怎样的关系？ A
分析： （1）DE是△AED与四边EBCD 的公共边，只须证明AD＋AE＝ BE＋BC＋CD
E
D
B P C （2）既有等边三角形的条件，就有60。的角可以利用； 又有垂线，可造成30角的直角三角形，故本题可借 助特殊三角形的边角关系来证明.
∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270
三.典型例题
例3 如图，已知点A在直线ι外，点B、C在直线ι上. （1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A； （2）试判断在△ABC外，又和点A在直线的ι同侧，是否存在 一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论.
A P
B
C l
三.典型例题
A在直线 ι外，点 B、CB 在直线 ι上 . 例3 3 如图，已知点 如图，已知点 A在直线 ι外，点 、C在直线 ι上 . A （1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A； A （2）试判断在△ A在直线的ι同侧， mABC外，又和点 n B C l 解：（1）连结AP，易证明∠P＞∠A；
1．复习三角形三边的关系及三角形的主要线段 （中线、高线、角平分线、中位线）和三角形的内角 和定理. 2．复习三角形的有关概念、定理的运用. 3．复习方程知识求解几何题的方法.
4.复习等腰三角形的性质和判定定理
5.复习直角三角形的性质定理和判定定理
二.知识要点
1．三角形、顶点、边、角(内角、外角)及其表 示; 2.三角形的主要线段(角平分线，中线，高线、 中位线)及其性质； 3.三角形的稳定性；