江苏省海州高级中学2019届高三数学(理)复习：专题二 数列(1)

2019年高三数学二轮复习自编专题训练 专题 数列(一) 编制人：徐进勇班级 姓名一、填空题：1．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 .2．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%的人改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%的人改选A 种菜．用,n n a b 别表示在第n 个星期选A 种菜的人数和选B 种菜的人数，如果1a ＝300，则10a = ．4．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ． 二、解答题：解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．5．已知数列{a n }满足：a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n （其中常数λ＞0，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列？若存在，给出r ，s ，t 满足的条件；若不存在，说明理由；6．已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且+n+1n -3S -2n-4=0(n N )S ∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，/()f x 是函数()f x 的导函数，令/(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性。

7 设非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且 α＋β≠0.（1）证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|} (n ∈N*，n ≥2)与数列{n ＋12} (n ∈N*)中没有相同数值的项.数列答案1、已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－22．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 11(,)917--3．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一都有A ，B 两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20%的人改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30%的人改选A 种菜．用,n n a b 别表示在第n 个星期选A 种菜的人数和选B 种菜的人数，如果1a ＝300，则10a = ．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧an ＋1＝45an ＋310bn ，an ＋bn ＝500消去bn 得：an ＋1＝12an ＋150.由a1＝300得a2＝300，从而得a10＝300.4、（常州市2019届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--5．已知数列{a n }满足：a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n （其中常数λ＞0，n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列？若存在，给出r ，s ，t 满足的条件；若不存在，说明理由； 解：（1）当n ＝1时，a 1＝3．当n ≥2时，由a 1＋a 2λ＋a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n ， ①得a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a n －1λn －2＝(n －1)2＋2(n －1)． ②①－②得：a n λn －1＝2n ＋1，所以a n ＝(2n ＋1)·λn －1，（n ≥2）．因为a 1＝3，所以a n ＝(2n ＋1)·λn－1(n ∈N *)．（2）当λ＝4时，a n ＝(2n ＋1)·4n －1．若存在a r ，a s ，a t 成等比数列，则[(2r ＋1)·4r －1] [(2t ＋1)·4t －1]＝(2s ＋1)2·42s －2．整理得(2r ＋1) (2t ＋1) 4 r＋t －2s＝(2s ＋1)2． 由奇偶性知r ＋t －2s ＝0．所以(2r ＋1) (2t ＋1)＝(r ＋t ＋1)2，即(r －t )2＝0．这与r ≠t 矛盾，故不存在这样的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列．6．已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且+n+1n -3S -2n-4=0(n N )S ∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，/()f x 是函数()f x 的导函数，令/(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性。

解：（1）由+n+1n -3S -2n-4=0(n N )S ∈得n n-1-3S -2n+2-4=0(n 2)S ≥…………… 2分两式相减得11320,13(1)(2)n n n n a a a a n ++--=+=+≥可得， …………… 4分又由已知214a =，所以2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列，所以1*531()n n a n N -=⨯-∈ …………… 6分（1）因为/111()2n n n f x a a x na x --=+++，所以/111201230(1)2(531)2(531)(531)(1)5[323333]2n n n n n n n f a a na n n n n ------=+++=⨯-+⨯-++⨯-+=+⨯+⨯++⨯-……………8分令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯则1213323333n n n S n --=+⨯+⨯++⨯所以，作差得13324n n S +-=--所以1/5315(6)(1)42n n n f +⨯-+=-即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-…………… 而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-所以，作差得11537022n n n b b n +⨯-=--> 所以{}n b 是单调递增数列。

…………… 12分7. 设非常数数列{a n }满足a n +2＝αa n +1＋βa nα＋β，n ∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且 α＋β≠0.（1）证明：数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0；（2）已知α＝1，β＝14， a 1＝1，a 2＝52，求证：数列{| a n ＋1－a n －1|} (n ∈N*，n ≥2)与数列{n ＋12} (n ∈N*)中没有相同数值的项.17（1）解：已知数列}{n a ，12n nn a a a αβαβ+++=+.①充分性：若βα2-=，则有12122n nn n n a a a a a βββ+++-+==--，得n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列. ………………4分②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，则212n n n a a a ++=+12n nn a a a αβαβ+++=+代入得02=+βα.因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. ………………8分（2）由已知得2111[]5n n n n a a a a +++--=-. ………………10分又因为21302a a -=≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以11121131()()()552n n n n a a a a --+---=-=⋅ (n ∈N *).从而有n ≥2时， 1131()52n n n a a -+--=⋅，2131()52n n n a a ----=⋅.于是由上述两式，得 2111(556|)|n n n a a -+-⋅-=（2n ≥）. ………………12分由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于65.而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于65.因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋12}(n ∈N*)中没有相同数值的项.。