线段的中垂线训练题
中垂线练习题
中垂线练习题中垂线练习题中垂线是几何学中一个重要的概念，它是指一个线段的中点与该线段所在直线的垂直平分线。
中垂线在几何学中有着广泛的应用，可以用于解决各种问题。
在本文中，我们将通过一些练习题来加深对中垂线的理解和应用。
练习题一：给定一个三角形ABC，其中AB=8cm，BC=10cm，AC=6cm。
求三角形ABC的中垂线的长度。
解析：首先，我们需要找到三角形ABC的中点D，即线段AB的中点。
由于AB=8cm，所以D距离A和B的距离都是4cm。
接下来，我们需要找到线段AB 所在直线的垂直平分线。
由于AB是一条线段，所以直线AB的垂直平分线就是连接点D和C的直线。
然后，我们可以通过勾股定理来计算线段DC的长度。
根据勾股定理，我们有DC² = AC² - AD²。
代入已知的数值，我们可以得到DC的长度。
最后，我们得到线段DC的长度为√(6²-4²)=√(36-16)=√20=2√5 cm。
因此，三角形ABC的中垂线的长度为2√5 cm。
练习题二：给定一个四边形ABCD，其中AB=5cm，BC=8cm，CD=6cm，AD=10cm。
求四边形ABCD的中垂线的长度。
解析：首先，我们需要找到四边形ABCD的中点E，即线段AD的中点。
由于AD=10cm，所以E距离A和D的距离都是5cm。
接下来，我们需要找到线段AD所在直线的垂直平分线。
由于AD是一条线段，所以直线AD的垂直平分线就是连接点E和C的直线。
然后，我们可以通过勾股定理来计算线段EC的长度。
根据勾股定理，我们有EC² = CD² - ED²。
代入已知的数值，我们可以得到EC的长度。
最后，我们得到线段EC的长度为√(6²-5²)=√(36-25)=√11 cm。
因此，四边形ABCD的中垂线的长度为√11 cm。
练习题三：给定一个正方形ABCD，其中AB=BC=CD=DA=10cm。
人教版七年级数学下册5-1-2 垂线 习题(含答案及解析)(7)
5.1.2 垂线学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题1．如图，以A为公共端点的两条线段AB、AC互相垂直，点B、D、C在同一条直线上，AD⊥BC，则图形中能表示点到直线的距离的线段有( )条．A．6 B．5 C．4 D．32．到直线a的距离等于2㎝的点有（）个A．0个B．1个C．无数个D．无法确定3．如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A．点A到BC的垂线段为AD B．点C到AD的垂线段为CDC．点B到AC的垂线段为AB D．点D到AB的垂线段为BD4．下列语句叙述正确的有( )①如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角;②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度6．下列说法中正确的是（）A．有且只有一条直线与已知直线垂直；B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离；C．互相垂直的两条线段一定相交；D．直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长度是3cm，则点A 到直线l的距离是3cm.7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．两点之间，线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35° B．40° C．45° D．60°9．如图，已知ON丄a，OM丄a,所以OM与ON重合的理由是（）.A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条线段垂直于己知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短二、填空题1．如图，BC⊥AC，CB＝8 cm，AC＝6 cm，点C到AB的距离是4.8 cm，那么点B到AC的距离是____ cm，点A到BC的距离是____ cm，A，B两点间的距离是____ cm.2．如图，AB⊥l 1，AC⊥l 2，垂足分别为B ，A ，则A 点到直线l 1的距离是线段__的长度．3．如图，直线AB CD ，相交于点，O EO AB ⊥．重足为35，O EOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为__________度4．已知OA⊥OC 于O ，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC 的度数为____________度．5．如图，直线a 与b 相交于点O ，直线c⊥b，且垂足为O ，若∠1=35°，则∠2=_____．三、解答题1．如图，已知直线a ，b ，点P 在直线a 外，在直线b 上，过点P 分别画直线a ，b 的垂线．2．如图，按要求画图并回答相关问题：(1)过点A 画线段BC 的垂线，垂足为D ；(2)过点D 画线段．．DE∥AB，交AC 的延长线于点E ；(3)指出∠E 的同位角和内错角．3．如图所示，点P 是∠ABC 内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?4．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）⊥于点O．5．如图，己知90∠=，过点O作直线CD，作OE CDAOB()1图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；()2若70∠的度数；∠=，求BOCAOD()3将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分DOE∠的∠，求此时AOD度数．参考答案一、单选题1．B分析：根据点到直线距离的定义进行解答即可．详解：解：∵AB、AC互相垂直，AD⊥BC，∴线段AB的长度是点B到直线AC的距离；线段AC的长度是点C到直线AB的距离；线段AD的长度是点A到直线BC的距离；线段CD的长度是点C到直线AD的距离；线段BD的长度是点B到直线AD的距离．∴图形中能表示点到直线的距离的线段有5条．故选：B．点睛：本题考查了点到直线的距离的定义，即直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，熟知概念是关键．2．C解析：详解：解：到直线a的距离等于2的点的轨迹是与a平行，且到a的距离等于2的两条直线，直线是由无数个点组成．故选C．3．D解析：A. 点A到BC的垂线段为AD，正确； B. 点C到AD的垂线段为CD，正确；C. 点B到AC的垂线段为AB，正确；D. 点B到AD的垂线段为BD.故选D.4．B解析：试题①如果两个角有公共顶点且它们的两边互为反向延长线,那么这两个角是对顶角;故错误.②如果两个角相等,那么这两个角是对顶角;错误.③连接两点的线段长度叫做两点间的距离;正确.④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离.错误.故选B.5．B解析：由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.6．D解析：对照垂线的两条性质逐一判断．①从直线外一点引这条直线的垂线，垂线段最短；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．详解：解：A、和一条直线垂直的直线有无数条，故A错误；B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是指点到直线的垂线段的本身，而是指垂线段的长度，故B错误；C、互相垂直的两条线段不一定相交，线段有长度限制，故C错误；D、直线l外一点A与直线l上各点连接而成的所有线段中最短线段就是垂线段，可表示点A 到直线l的距离，故D正确．故选：D．点睛：本题考查的是垂线的相关定义及性质，只要记住并理解即可正确答题．7．C分析：根据“垂线段的性质：垂线段最短”解答即可．详解：这样做的理由是垂线段最短．故选C．点睛：本题考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．8．A解析：试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.9．B解析：利用OM⊥NP，ON⊥NP，所以直线ON与OM重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选B．二、填空题1．6 10解析：∵BC⊥AC，CB=8cm， AC=6cm，∴点B到AC的距离是8cm，点A到BC的距离是6cm，故答案为8，6，10.2．AB详解：解：根据点到直线的距离的定义，易得A点到直线l的距离是线段AB的长度．1故答案为：AB．3．125分析：根据垂直的定义及角的加法，求出∠BOC的度数，根据对顶角相等求解即可．详解：⊥∵EO AB∴∠EOB=90°∵∠EOC=35°∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°∴∠AOD=∠BOC =125°故答案为：125点睛：本题考查的是垂直的定义及角的加减，掌握垂直的定义及能从图形中确定角之间的关系是关键．4．30°或150°分析：根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解．详解：∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵∠AOB：∠AOC=3：2，∴∠AOB=60°．因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图，①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°；②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°．故答案为30°或150°.点睛：此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．5．55°解析：如下图，∵直线a、b、c相交于点O，且c⊥b，∴∠1+∠2+3∠=180°，∠3=90°，又∵∠1=35°，∴∠2=180°-35°-90°=55°.故答案为55°.三、解答题1．图形见解析.分析：根据过直线外一点作已知直线的垂线和过直线上一点作已知直线的垂线分别画出即可详解：解：如答图所示，PA为直线a的垂线，PB为直线b的垂线．点睛：垂线的作法是本题的考点，熟练掌握作图方法是解题的关键.2．（1）见解析（2）见解析（3）∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.解析：（1）如图，过A点作AD⊥BD与BC的延长线交于D点即可；（2）如图，过D点作DE∥AB与AC的延长线交于E点即可；（3）根据同位角与内错角的定义进行解答即可.详解：(1)(2)如图所示．(3)∠E的同位角是∠ACD，∠E的内错角是∠BAE和∠BCE.点睛：本题主要考查基础作图，同位角与内错角的定义，熟练掌握其知识点是解此题的关键.3．（1）图形见解析（2）∠EPF＝∠B解析：试题分析:（1）①过点P作BC的垂线，D是垂足；②过点P作BC的平行线交AB于E ，过点P 作AB 的平行线交BC 于F ；（2）根据平行线的性质可得∠AEP＝∠B，∠EPF＝∠AEP 然后利用等量代换得到结论即可． 解:如图所示，(1)①直线PD 即为所求；②直线PE 、PF 即为所求．(2)∠EPF＝∠B，理由：因为PE∥BC(已知)，所以∠AEP＝∠B(两直线平行，同位角相等)．又因为PF∥AB(已知)，所以∠EPF＝∠AEP(两直线平行，内错角相等)，∠EPF＝∠B(等量代换)．点睛:本题考查了平行线和垂线的画法及平行线的性质,熟练掌握两直线平行同位角相等,两直线平行内错角相等是解答本题的关键.4．详见解析.解析：试题分析：（1）过点C 作AB 的平行线．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．根据垂线段最短，可得CD 长度最小，量出CD 的长度，然后按比例尺求出实际的距离． 试题如图：（1）过点C 画一平行线平行于AB ．（2）过点C 作CD 垂直于AB 交AB 于点D ．然后用尺子量CD 的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．经测量0.9,CD cm =0.92000180018.cm m ⨯==5．（1）AOD BOE ∠=∠；（2）160BOC ∠=；（3）45AOD ∠=.解析：（1）根据垂直定义可得∠DOB+∠BOE=90°，再根据同角的余角相等可得∠AOD=∠BOE；（2）根据余角定义可得∠BOD=20°，再根据邻补角互补可得∠BOC 的度数；（3）根据角平分线性质可得∠DOB=12∠DOE=45°，再根据角的和差关系可得答案．详解：解：()1AOD BOE∠=∠，∵OE CD⊥于点O，∴90DOB BOE∠+∠=，∵90AOB∠=，∴90AOD DOB∠+∠=，∴AOD BOE∠=∠；()2∵70AOD∠=，90AOB∠=，∴20BOD∠=，∴18020160BOC∠=-=；()3∵OB所在的直线平分DOE∠，∴1452DOB DOE∠=∠=，∵90AOB∠=，∴904545AOD∠=-=．点睛：此题主要考查了垂线，以及余角，补角，关键是掌握两角之和为90°时，这两个角互余，两角之和为180°时，这两个角互补．。
中垂线基础练习题(含答案)
1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（）A、7B、14C、17D、202、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）A、6B、4C、6D、43、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、34、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A、80°B、70°C、60°D、50°5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB 于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A、△ABC的三条中线的交点B、△ABC三边的中垂线的交点C、△ABC三条角平分线的交点D、△ABC三条高所在直线的交点8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB二、填空题9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为______．10、如图，△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，∠BCE=_____11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_______12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________．13、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．14、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．17、已知如图，在△ABC 中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_______19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为___cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_____°．三、解答题21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．23、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．24、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若l分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．求证：EF=2DE．25、如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点C、Q，连接CQ与AB相交于点D，连接AC，BC．那么：（1）∠ADC=_________度；（2）当线段AB=4，∠ACB=60°时，∠ACD=30度，△ABC的面积等于_________（面积单位）．26、如图，在△ABC中，已知BC=7，AC=16，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，求△BEC的周长．。
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
七年级数学(下)第五章《相交线与平行线——垂线》练习题含答案
七年级数学（下）第五章《相交线与平行线——垂线》练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都有可能【答案】D2．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是.A．B．C．D．【答案】C【解析】过点P向线段AB所在直线引垂线，根据画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，符合要求的只有选项C，故选C．3．如图所示，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是A．过两点有且只有一条直线B．过一点只能作一条直线C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂线段最短【答案】C【解析】已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，理由是在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．4．如图所示，直线AB与直线CD的位置关系是__________，记作__________，此时，∠AOD=∠__________ =∠__________=∠__________=90°．【答案】垂直，AB⊥CD，DOB，BOC，COA5．如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA=__________，∠BOC的补角为__________度．【答案】72°，162【解析】∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，∴∠BOC=18°，∴∠COA=∠BOA–∠BOC=90°–18°=72°.∠BOC的补角为180°–18°=162°.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．6．如图，已知钝角∠AOB，点D在射线OB上.（1）作直线DE⊥OB；（2）作直线DF⊥OA，垂足为F. 【解析】根据垂直的定义作图即可．如图所示：7．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数．（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由．。
中垂线的练习题
中垂线的练习题中垂线的练习题中垂线是几何学中的一个基本概念，它是指一个线段的中点到另一个线段的垂直平分线。
中垂线在解决几何问题和证明定理时起着重要的作用，因此对中垂线的理解和应用是学习几何学的关键之一。
下面将介绍一些关于中垂线的练习题，帮助读者更好地掌握和应用这一概念。
练习题一：构造中垂线给定一个线段AB，要求构造它的中垂线。
解答：首先，用直尺将线段AB延长，找到一个点C，使得AC=BC。
然后，以点C为圆心，以AC或BC为半径，画一个圆。
圆与线段AB的交点即为中垂线的中点D。
连接点D和线段AB的两个端点A、B，即可得到线段AB的中垂线。
练习题二：证明中垂线的性质证明：如果一个点在一个线段的中垂线上，那么它到这个线段两个端点的距离相等。
解答：设线段AB的中垂线为CD，点E为线段AB上的任意一点。
要证明AE=BE，我们可以利用三角形的性质进行证明。
首先，连接线段CD和线段AE，得到三角形CDE和三角形AED。
由于CD是线段AB的中垂线，所以CD和AB垂直且相等，即CD⊥AB，CD=AB/2。
又因为CE=DE，所以三角形CDE是一个等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，我们知道角CDE=角CED。
另一方面，由于CD⊥AB，所以角CDE是直角。
因此，角CED也是直角。
综上所述，我们得到了两个等角，即角CED=角AED。
而等角对应的弧长相等，所以CE=AE。
同理，可以证明DE=BE。
因此，AE=BE。
练习题三：应用中垂线解决问题问题：已知一个三角形ABC，其中AB=AC，角BAC=60°，且D为BC的中点。
求证：AD⊥BC。
解答：首先，连接线段AD，得到三角形ABD和三角形ACD。
由于AB=AC，所以这两个三角形是等边三角形。
另一方面，由于D为BC的中点，所以AD是BC的中垂线。
根据中垂线的性质，我们知道AD⊥BC。
综上所述，我们证明了AD⊥BC。
通过以上练习题，我们可以看到中垂线在几何学中的重要性和应用。
4.5.2垂线的基本事实及垂线段同步练习含答案
4.5.2 垂线的基本事实及垂线段核心笔记: 1.垂线的基本事实:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.垂线段的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,简单地说成垂线段最短.3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.基础训练1.如图,三角形ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C 到直线AB的距离是( )A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长2.下列说法中,正确的有( )①同一平面内,互相垂直的两条直线形成的四个角一定是直角;②过平面内任意一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;③两条直线相交,所成的角中有两个角相等,则这两条直线互相垂直;④垂线段就是点到直线的距离.A.1个B.2个C.3个D.4个3.同一平面内,过点P作直线AB的垂线可以作( )A.1条B.2条C.无数条D.不能确定4.A为直线l外一点,B为直线l上一点,点A到l的距离为5 cm,则AB___________5 cm,其根据是___________.5.如图,一小孩想牵牛到河边饮水,那么小孩应该如何走才能保证走的路程最短?请你在图中画出他走的路线.6.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为点D,BE⊥AC,垂足为点E,若AC=4,BC=6,BE=5.求:(1)点B到直线AC的距离;(2)点A到直线BC的距离.7.如图,AOB为一条在O处拐弯的河道,要修一条从村庄P通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是沿PO修路,哪种方案更经济?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳方案,并简要说明理由.培优提升1.下列说法正确的有( )①两条直线相交构成的四个角中,如果有两个角相等,那么这两条直线互相垂直;②两条直线相交构成的四个角中,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直;③一条直线的垂线可以画无数条;④在同一平面内,经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在同一平面内,OA⊥l,OB⊥l,垂足为O,则OA与OB重合的理由是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.已知直线的垂线只有一条D.同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直3.直线l外一点P与直线l上三点所连线段的长度分别为4 cm,5 cm,6 cm,则点P到直线l的距离( )A.是4 cmB.是5 cmC.不超过4 cmD.大于6 cm4.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A,D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A.2条B.3条C.4条D.5条5.我们知道,“两点之间线段最短”,“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短”.在此基础上,人们定义了两点间的距离、点到直线的距离等,类似地,若点P是圆O外一点(如图所示),则点P 与圆O的距离应定义为( )A.线段PO的长度B.线段PA的长度C.线段PB的长度D.线段PC的长度6.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则AB CD.(填“>”“<”或“=”)7.说出日常生活现象中的数学原理:日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你两点之间线段最短笔直向他走过去人去河边打水总是垂直于河边方向走8.按题目要求画图,并回答相关问题.如图,点P是∠AOB内一点,过点P作PM⊥OA,垂足为点M,作PN⊥OB,垂足为点N,通过测量∠MPN和∠O的度数,你能得出什么结论?9.如图所示,一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶,M,N为位于公路两侧的村庄.(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中分别画出点P和点Q的位置;(2)当汽车由A向B行驶时,在公路的哪一段上距离M,N两村庄都越来越近?在哪一段上距离村庄N越来越近,而距离村庄M越来越远?(分别用文字表述你的结论)参考答案【基础训练】1.【答案】B2.【答案】B解：正确的是①②,共2个.3.【答案】A4.【答案】≥;垂线段最短5.解:如图所示,从小孩所在的点向河边作垂线段即可.6.解:(1)因为BE⊥AC,垂足为点E,所以线段BE即为点B到直线AC的垂线段,因为BE=5,所以点B到直线AC的距离为5.(2)因为AD⊥BC,垂足为点D,所以线段AD的长度即为点A到直线BC 的距离,因为BC·AD=AC·BE,所以AD===,所以点A到直线BC的距离为.7.解:沿PO修路比沿PM修路更经济些,因为P到AO上各点连接的所有线段中,PO是垂线段,垂线段最短.它不是最佳方案,过P作PN⊥OB于N,PN是P到OB的最短路线.因为OP>PN,所以PN是P到河道AOB的最短路线,所以沿PN修路是最佳方案.【培优提升】1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】D解：能表示点到直线的距离的线段有:线段AD,BA,CA,BD,CD,共5条.5.【答案】B6.【答案】>7.日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼,你笔直向他走过去两点之间线段最短人去河边打水总是垂直于河边方向走垂线段最短8.解:画图如图所示.结论:∠MPN+∠O=180°.9.解:(1)过点M作MP⊥AB,垂足为点P,过点N作NQ⊥AB,垂足为点Q,则点P,Q就是所要求作的两个点,如图所示.(2)当汽车由A向B行驶时,在AP这段公路上距离两村庄都越来越近,在PQ这段公路上距离村庄N越来越近,距离村庄M越来越远.解：要求距离最近,可视村庄为一定点,笔直的公路为一条直线,当汽车行驶到“垂足”的位置时,根据垂线段最短知,此时,距离最近.。
中考数学专题复习练习：线段的中垂线
典型例题一例01．如图，已知：在中，，，BD 平分交AC 于ABC ∆︒=∠90C ︒=∠30A ABC ∠D .求证：D 在AB 的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明即可.DA BD =证明：∵，（已知），︒=∠90C ︒=∠30A ∴ （的两个锐角互余）︒=∠60ABC ∆Rt 又∵BD 平分（已知）ABC ∠∴ . A ABC DBA ∠=︒=∠=∠3021∴（等角对等边）AD BD =∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.典型例题二例02．如图，已知：在中，，，AB 的垂直平分线交AB ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 于E ，交BC 于F .求证：.BF CF 2=分析：由于，，可得，又因为EF 垂直平分︒=∠120BAC AC AB =︒=∠=∠30C B AB ，连结AF ，可得. 要证，只需证，即证BF AF =BF CF 2=AF CF 2=︒=∠90FAC 就可以了.证明：连结AF ，∵EF 垂直平分AB （已知）∴（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）FB FA =∴（等边对等角）B FAB ∠=∠∵（已知），AC AB =∴（等边对等角）C B ∠=∠又∵（已知），︒=∠120BAC ∴（三角形内角和定理）︒=∠=∠30C B ∴︒=∠30BAF ∴︒=∠90FAC∴（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）FA FC 2=︒30∴FBFC 2=说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.典型例题三例03．如图，已知：AD 平分，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF . BAC ∠求证：.CAF B ∠=∠分析：与不在同一个三角形中，又，所在的两个三角形不全等，B ∠CAF ∠B ∠CAF ∠所以欲证，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平CAF B ∠=∠分AD ，可得，因此，又因为，FD FA =ADF FAD ∠=∠CAD FAD CAF ∠-∠=∠，而，所以可证明.BAD ADF B ∠-∠=∠BAD CAD ∠=∠B CAF ∠=∠证明：∵EF 垂直平分AD （已知），∴（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.FD FA =∴（等边对等角）ADF FAD ∠=∠∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），BAD ADF B ∠-∠=∠，CAD FAD CAF ∠-∠=∠又（角平分线定义），CAD BAD ∠=∠∴CAFB ∠=∠说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF 垂直平分AD ，可以直接有结论，不必再去证明两个三角形全等.FD FA =典型例题四例04．如图，已知直线和点A ，点B ，在直线上求作一点P ，使.l l PB PA =分析：假设P 点已经作出，则由，那么根据“到线段两端点距离相等的点在PB PA =这条线段的垂直平分线上”可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上. 而点P 又在直线上，l 则点P 应是AB 的垂直平分线与垂线的交点.l作法：1．连结AB .2．作线段AB 的垂直平分线，交直线于点P.l 则P 即为所求的点.说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等，它就在这个角的平分线上.典型例题五例05．如图所示，在，，DE 垂直平分AB ，交AB 于E ，交BC 于ABC ∆︒=∠90C D ，，求的度数. 2211∠=∠B ∠分析：由于DE 垂直平分AB ，所以，又为直角三角形，由直角三角B ∠=∠2ABC ∆形中两锐角互余，即可求出的度数.B ∠解答：∵DE 垂直平分AB ，∴ DBDA =∴ ，B ∠=∠2在中，，ABC ∆︒=∠90C ∴ ，︒=∠+∠90B CAB 而，21∠+∠=∠CAB ，，2211∠=∠B ∠=∠2∴，B CAB ∠=∠23∴，∴︒=∠+∠9023B B ︒=∠36B 答：的度数为. B ∠︒36典型例题六例06．求证：三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上.分析：文字题应先根据题意画出图形，并根据图形写出已知、求证.已知：中，（如图），EF 、MN 分别为AB 、BC 边的中垂线且交于O .ABC ∆求证：点O 在AC 的中垂线上.证明：连结OA 、OB 、OC∵ EF 为AB 的中垂线∴ OBOA =同理得： ∴OC OB =OCOA =∴点O 在AC 的中垂线上典型例题七例07．如图所示，，.ABD ABC ∠=∠BD BC =求证：.AD AC =分析：要证，只需证直线AB 是线段CD 的垂直平分线即可.AD AC =证明：连结CD ，延长AB 交CD 于E .∵ ，BD BC =∴ 为等腰三角形，BCD ∆∵ ，ABD ABC ∠=∠∴ ，21∠=∠∴ BE 是等腰的角平分线，BCD ∆∴BE 垂直平分CD （等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边），∴直线AE 是线段CD 的垂直平分线，又∵点A 在直线AE 上，∴（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）AD AC =说明 本例也可以通过证明，得出，利用线段垂直平)(SAS ABD ABC ∆≅∆AD AC =分线的性质定理和逆定理为我们证明线段（或角）相等又提供了一个新的方法.典型例题八例08．如图所示：已知内有两点A 、B ，在内部找到一点D ，使得D 点EOF ∠EOF ∠到A 、B 两点的距离相等，并且点D 到的两边也相等.EOF ∠分析：欲使点D 到A 、B 两点的距离相等，由线段的垂直平分线的判定定理可知，点D 一定在AB 的垂直平分线上；D 点又要满足到的两边距离相等，由平分线的判定定EOF ∠理可知点D 一定在的平分线上，综合以上两点，可以推知点D 是线段AB 的垂直平EOF ∠分线与的平分线的交点，因此可以据此找到D 点.EOF ∠作法：（1）连结AB ，作AB 的垂直平分线MN .（2）作的角平分线OP ，与MN 相交于一点D .EOF ∠ 则D 点就是满足要求的点.选择题1．选择题（1）如图，已知：，那么（ ）BD BC AD AC ==,（A ）CD 垂直平分AB （B ）AB 垂直平分CD（C ）CD 与AB 互相垂直平分 （D ）以上说法都正确（2）如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是（ ）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形（C ）钝角三角形 （D ）以上都有可能参考答案：1．选择题（1）B （2）A填空题1．填空题（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是________.（2）在中，，AD 为角平分线，则有AD______BC （填或），ABC ∆AC AB =⊥//_____. 如果E 为AD 上的一点，那么_______. 如果，，=BD =EB ︒=∠120BAC 8=BC 那么点D 到AD 的距离是______.（3）已知：在中，，，DE 垂直平分AB ，且交CA 的ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 延长线于D ，则的度数为_______.DBC ∠（4）在等腰三角形ABC 中，，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，cm AC AB 8==若的周长为，则底边BC 的长为______.BCD ∆cm 10（5）如图，在中，，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E . ABC ∆︒=∠90ACB①若，则______，________.︒=∠60A =∠DCB =∠ADC ②若，，则的周长为______.︒=∠30B 5=BD ACD ∆（6）如图，在中，，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，ABC ∆BC AC >，的周长为12，则_____.8=AC BCE ∆=BC（7）如图，在中，，，DE 是AB 的垂直平分线，则ABC ∆AC AB =︒=∠65ABC _______.=∠CBE（8）如图，在中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，的周长为ABC ∆ABD ∆，，则的周长为_______.cm 12cm AC 5=ABC ∆cm（9）如图，已知在直角三角形ABC 中，，，DE 垂直平分AB ，︒=∠90C ︒=∠15B交BC 于E ，，则______.5=BE =AC（10）在中，，，AC 的垂直平分线交BC 于D ，交AC ABC ∆AC AB =︒=∠120BAC 于E ，若，则BC 的长度为______.cm DE 5=cm 参考答案：1．填空题（1）线段的垂直平分线 （2），CD ，EC ，2 （3） （4）⊥︒90cm 2（5）①， ②15 （6）4 （7） （8）17 （9） （10）30︒30︒60︒155.2解答题1．作图题（1）已知：如图，B 为的边OB 上的一点，AOB ∠求作：点P ，使P 点到OA 和OB 的距离相等，并且有.BP OP =（2）已知不在同一直线上的三点A 、B 、C ，求作一点P ，使. PC PB PA ==参考答案：1．作图题（1）作法：①画出的平分线OC ，AOB ∠②作出OB 的垂直平分线MN ，则OC 与MN 的交点即为所要求的点P .（2）①作线段AB 的垂直平分线MN ，②作线段BC 的垂直平分线CD. 则AB 与CD 的交点即为所要求的点P .解答题1．计算题（1）如图，已知：在直角三角形ABC 中，，E 为AB 的中点，且︒=∠90C AB DE ⊥交BC 于D ，连结AD ，若，求：和的度数.2:1:=∠∠EAD CAD B ∠BAC ∠（2）如图，已知：在中，，BC 边上的垂直平分线交AC 于D ，交BC ABC ∆︒=∠124A 于E. BD 分为两部分，若. 求的度数.ABC ∠2:3:=∠∠DBC ABD C ∠（3）如图，已知：在中，，MP 和NQ 分别是AB 和AC 的垂直ABC ∆︒=∠140BAC 平分线，求的大小.PAQ ∠参考答案：1．计算题（1）解：E 为AB 中点，且，∴DE 为AB 的垂直平分线，AB DE ⊥∴，∴. 又，∴，DB DA =EAD B ∠=∠2:1:=∠∠EAD CAD B CAD ∠=∠21∵，∴，︒=∠90C ︒=∠+∠+∠90EAD CAD B 即，求得，∴. ︒=∠⋅+∠+∠9021B B B ︒=∠36B ︒=∠54BAC （2）解：DE 为BC 的垂直平分线，∴，DBC C ∠=∠又∵，∴. 2:3:=∠∠DBC ABD C ABD ∠=∠23∵，∴，︒=∠124A ︒=∠+∠+∠56DBC ABD A 即，求得. ︒=∠+∠+∠18023C C C 7360︒=∠C （3）解：PM 与QN 为AB 与AC 的垂直平分线，∴. ∴，.CQ AQ BP AP ==,BAP B ∠=∠CAQ C ∠=∠又∵ ，C B ∠+∠︒-︒=140180︒=40∴BAP CAQ PAQ ∠-∠-︒=∠140︒-︒=40140︒=100解答题1．证明题（1）如图，已知：，DE 是AB 的垂直平分线，D 为垂足，交BC 于E ，︒=∠90C . 求证：.AC AB 2=DE CE =（2）如图，已知：线段CD 垂直平分AB ，AB 平分. 求证：.DAC ∠BC AD //（3）如图，已知：AD 是的高，E 为AD 上一点，且.ABC ∆CE BE =求证：是等腰三角形.ABC ∆（4）如图，已知：在中，，DE 垂直平分线AC 交AB 于ABC ∆A B AC AB ∠=∠=2,D ，交AC 于E . 求证：.BC AD =（5）如图，已知：E 是的平分线上的一点，，，垂足分AOB ∠OA EC ⊥OB ED ⊥别是C 、D. 求证：OE 垂直平分CD .（6）如图，已知：在中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P .ABC ∆求证：点P 在AC 的垂直平分线上.（7）如图，已知：AD 是的的平分线，AD 的垂直平分线EF ，交B C 的ABC ∆BAC ∠延长线于F ，交AD 于E ，求证：.CAF BAF ∠=∠（8）如图，已知：在中，的平分线交BC 于D ，且，ABC ∆BAC ∠AB DE ⊥，垂足分别是E 、F . 求证：AD 是EF 的垂直平分线.AC DF ⊥（9）如图，已知：，，，，BC AB ⊥BC CD ⊥︒=∠75AMB ︒=∠45DMC . 求证：. DM AM =BC AB =参考答案1．证明题（1）证明：连结AE ，由于，，∴，，∵︒=∠90C AC AB 2=︒=∠30B ︒=∠60CAB DE 是AB 的垂直平分线，∴，∴，∴BE AE =︒=∠=∠30B EAB ，即AE 是的角平分线，∴.︒=︒-︒=∠303060CAE CAB ∠DE CE =（2）证明：∵CD 是AB 的垂直平分线，∴，∴，又∵BC AC =B CAB ∠=∠，∴，∴.DAB CAB ∠=∠B DAB ∠=∠BC AD //（3）证明：∵，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴，∴BC AD CE BE ⊥=,AC AB =是等腰三角形.ABC ∆（4）证明：DE 垂直平分AC ，∴，∴，∵CD AD =DCA A ∠=∠，又有，∴，∴A DCA A BDC ∠=∠+∠=∠2A B ∠=∠2BDC B ∠=∠.AD CD BC ==（5）证明：OE 是的平分线，∴，∴，∴AOB ∠DE CE =ODE Rt OCE Rt ∆≅∆，∴O 与E 都在CD 的垂直平分线上，∴OE 垂直平分CD .OD OC =（6）证明：P 是AB 、BC 边上的垂直平分线，∴，∴，∴CP BP BP AP ==,CP AP =P 点在AC 的垂直平分线上.（7）证明：EF 垂直平分AD ，∴，∴.DF AF =ADF FAD ∠=∠∴DAC ADF ACF ∠+∠=∠BAFBAD FAD ∠=∠+∠=（8）证明：∵AD 是的平分线，且，，∴，∴BAC ∠AB DE ⊥AC DF ⊥DF DE =易证，∴，∴A 与D 都在EF 的垂直平分线上，∴AD 就是ADF Rt ADE Rt ∆≅∆AF AE =EF 的垂直平分线.（9）证明：，且，∴. 又∵︒=︒-︒-︒=∠604575180AMD DM AM =AD AM =，∴，∴，∴AC 为DM 的垂直平︒=︒-︒=∠454590MDC DMC MDC ∠=∠CM CD =分线，∴，∴.︒=︒-︒=∠454590ACM AB BC =能力训练1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、不能确定答：C 提示：此交点恰好为斜边的中点2、如图，∠BAC=，若MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，则∠PAQ 的度数＿＿＿＿0100提示：利用三角形内角和求得∠B+∠C ＝，080再转化为∠BAP+∠CAQ ＝0803、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长为12，AC ＝5，则△ABC 的周长＝＿＿＿＿提示：把DC 转化为AD ，利用△ABD 的周长. 答：17A B CMN P Q A B CD E4、如图，△ABC 中∠A ＝，∠C ＝，AC ＝12，DE 垂直平分BC ，090075则BE ＝＿＿＿答：245、如图，已知：△ABC 中，AB 、BC 边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P 在AC 的垂直平分线上证明：连结PA 、PB 、PC∵PM 垂直平分AB ，PN 垂直平分BC ∴PA ＝PB ，PB ＝PC ∴PA ＝PC∴点P 在AC 的垂直平分线上6、如图，△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，交BC 的延长线于F.求证：∠B ＝∠CAF证明：∵EF 垂直平分AD ∴∠ADF ＝∠DAF ，∠ADF ＝∠B+∠BAD∵∠BAD ＝∠CAD ，∴∠ADC ＝∠B+∠CAD ，又∵∠DAF ＝∠CAD+∠CAF∴∠B ＝∠CAF AB C P M N C D A B E F。
北师版八年级数学----中垂线练习题
北师大版数学八年级下册1.3线段的垂直平分线课时练习一、选择题1．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，那么△BDC 的周长是〔〕A. 8B.9C. 10D.11答案：C解析：解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．应选C.分析：由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC.2.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．假设∠A=60°，∠ABD=24°，那么∠ACF的度数为〔〕A. 48°B. 36°C. 30°D. 24°答案：A解析：解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°－60°－24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°－24°=48°，应选：A.分析：根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数. 3．如图，在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，假设AB=10，△GBC的周长为17，那么底BC的长为〔〕A. 10B. 9C. 7D. 5答案：C解析：解：如图，∵在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，∴AG=BG，∵AB=10，△GBC的周长为17，∴CG+BG+BC=CG+AG+BC=AC+BC=17，AC=AB=10，∴BC=7．应选C.分析：首先根据题意在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，根据线段垂直平分线的性质，可得AG=BG，继而可得△GBC的周长=AC+BC=17，那么可求得答案.4．如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，那么∠EBC 的度数是〔〕A. 30°B. 40°C. 70°D. 80°答案：A解析：解：∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=30°．应选A.分析：由AB的垂直平分线DE交AC于点E，可得AE=BE，继而求得∠ABE=∠A=40°，然后由AB=AC，求得∠ABC的度数，继而求得答案.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC=10，BC=4，那么△BCE的周长为〔〕A. 6B. 14C. 18D. 24答案：B解析：解：∵AC=10，BC=4，∴AC+BC=10+4=14，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=〔BE+CE〕+BC=AC+BC=14．应选B.分析：先根据AC=10，BC=4，可得出AC+BC的长，再根据DE是线段AB的垂直平分线可得到AE=BE，进而可得出答案.6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，AB边的垂直平分线分别交AB、AC于N、M两点，那么△BCM的周长为〔〕A. 18B. 16C. 17D. 无法确定答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，由勾股定理得，BC=5，∵MN是AB的垂直平分线，∴MB=MA，∴△BCM的周长=BC+CM+MB=BC+CM+MA=BC+CA=17，应选：C分析：根据勾股定理求出BC的长，根据线段垂直平分线的性质得到MB=MA，根据三角形的周长的计算方法代入计算即可.7．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是〔〕A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形答案：C解析：解：如图，O是边AB和边AC的垂直平分线的交点，那么AO=OB，AO=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA，∴∠BAC＞∠ABC+∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠BAC＞90°，即△ABC是钝角三角形，应选C分析：先根据题意画出图形，再根据线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质、三角形的角和定理求出∠BAC＞90°即可.8. MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，那么∠CAD和∠CBD之间的大小关系是〔〕A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D.无法确定答案：B解析：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，∴AC=BC，AD=BD，∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，∴∠CAD=∠CBD；如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，∴∠CAD=∠CBD．应选B.分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，那么可证得∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，继而求得答案.9. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm 和38 cm，那么△ABC的腰和底边长分别为〔〕A．24 cm和12 cmB．16 cm和22 cmC．20 cm和16 cmD．22 cm和16 cm答案：D解析：解：如图，连接BD，∵D在线段AB的垂直平分线上，∴BD=AD，∴BD+DC+BC=AC+BC=38 cm，且AB+AC+BC=60 cm，∴AB=60 cm－38 cm =22 cm，∴AC=22 cm，∴BC=38 cm－AC=38 cm－22 cm =16 cm，即等腰三角形的腰为22 cm，底为16 cm，应选D.分析：连接BD，根据线段垂直平分线的性质可得到BD=AD，可知两三角形周长差为AB，结合条件可求得腰长，再由周长可求得BC，可得出答案.10．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口〔到A、B、C三个点的距离相等〕，尽快抓到老鼠，应该蹲守在〔〕A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点答案：A解析：解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．应选A分析：根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，那么此点就是三角形三边垂直平分线的交点.11. 三角形有一点到三角形三顶点的距离相等，那么这点一定是三角形的〔〕A．三条中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点答案：B解析：解：三角形有一点到三角形三顶点的距离相等，那么这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，应选：B.分析：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案.12. △ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，那么此等腰三角形的顶角为〔〕A．50°B．60°C．150°D．50°或130°答案：D解析：解：〔1〕当AB的中垂线MN与AC相交时易得∠A=90°－40°=50°，〔2〕当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，易得∠DAB=90°－40°=50°，∴∠A=130°，应选D.分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答.13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．假设AC=8，BC=6，那么△DBC的周长为〔〕A．12B．14C．16D．无法计算答案：B解析：解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴△DBC的周长为CB+CD+DB=CB+CD+DA=BC+CA=6+8=14，应选：B分析：根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DA=DB，根据三角形周长公式求出周长.14. 如图，在△ABC中，AB=A，AC=B，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，那么△AEC的周长等于〔〕A．A+B B．A－B C．2A+B D．A+2B答案：A解析：解：∵ED垂直且平分BC，∴BE=CE．∵AB=A，AC=B，∴AB=AE+BE=AE+CE=A．∴△AEC的周长为：AE+EC+AC=A+B．应选A分析：要求三角形的周长，知道AC=B，只要求得AE+EC即可，由DE是BC的垂直平分线，结合线段的垂直平分线的性质，知EC=BE，这样三角形周长的一局部AE+EC=AE+BE=AB，代入数值，答案可得.15. 如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两角平分线的交点处答案：C解析：解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．那么超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．应选C.分析：要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得.二、填空题16．△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．假设FC=3 cm，那么BF=_________．答案：6 cm解析：解：连接AF．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°；∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，∴CF=AF，∠FAC=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF〔30°直角边等于斜边的一半〕，∴BF=2CF=6 cm．故答案是：6 cm分析：利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC= 120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.17. 如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，那么BC=________．答案：3解析：解：∵ED为AC上的垂直平分线，∴AE=EC，∵AB=AE+EB=5，△BCE的周长=AE+BE+BC=AB+BC=8，∴BC=8－5=3．故答案为：3分析：根据ED为AC上的垂直平分线，得出AE=CE，再根据AB=5，△BCE的周长为AB+BC=8，即可求得BC.18．如图，在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，假设△BDC的周长为16，那么BC=__________ ．答案：6解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD，∵AC=10，△BDC的周长为16，∴BC=16－AC=16－10=6．故答案为：6分析：先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为16即可求出答案.19. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，∠ADE=40°，那么∠DBC=答案：15解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∠AED=90°，∴∠A=∠ABD，∵∠ADE=40°，∴∠A=90°－40°=50°，∴∠ABD=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°，故答案为：15分析：根据线段垂直平分线求出AD=BD，推出∠A=∠ABD=50°，根据三角形角和定理和等腰三角形性质求出∠ABC，即可得出答案.20.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，那么PB= _________．答案：7解析：解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，∴PB=PA=7，故答案为：7分析：根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．三、解答题21. 某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐工程，现要在公园建一个售票中心，使三个娱乐工程所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．答案：解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，那么P即为售票中心解析：由三个娱乐工程所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点.22．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．假设∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数答案：140°解析：解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠B=∠EAB.∵∠C=90°，∠CAE=∠B+30°，∴∠B+30°+∠B+∠B=90°，∴∠B=20°，∴∠AEB=180°－20°－20°=140°.分析：根据线段垂直平分线求出AE=BE，推出∠B=∠EAB，根据和三角形角和定理得出∠B+30°+∠B+∠B=90°，求出∠B，即可得出答案.23．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．〔1〕求证：△ABD是等腰三角形；〔2〕假设∠A=40°，求∠DBC的度数；〔3〕假设AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长答案：〔1〕证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形.〔2〕30°〔3〕32解析：解：〔1〕证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；〔2〕∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=〔180°－40°〕÷2=70°.∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.〔3〕∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AD=12.∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．分析：〔1〕根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；〔2〕首先利用三角形角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；〔3〕将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.24．如以下图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E，交AC于D，连接BD．〔1〕假设∠ABC=∠C，∠A=50°，求∠DBC的度数．〔2〕假设AB=AC，且△BCD的周长为18 cm，△ABC的周长为30 cm，求BE的长.答案：〔1〕15°；〔2〕6 cm解析：解：〔1〕∵∠A=50°，∴∠ABC=∠C=65°.又∵DE垂直平分AB，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=15°．〔2〕∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，AE=BE，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=18 cm．∵△ABC的周长=30 cm，∴AB=30－18=12 cm，∴BE=AE=6 cm．分析：〔1〕∠A=50°，易求∠ABC的度数．又因为DE垂直平分AB根据线段垂直平分线的性质易求出∠DBC的度数．〔2〕同样利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等可解．25．：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数=26°答案：B解析：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B.设∠B=x，那么∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，那么∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可。
四年级数学画垂线的练习题
四年级数学画垂线的练习题在数学学科中，画垂线是一个非常基础且重要的概念。
通过画垂线，可以将一个线段垂直平分，使得得到的两个线段长度相等。
在四年级的数学课程中，学生们需要掌握画垂线的方法和技巧。
本文将介绍一些练习题，并提供解答，帮助四年级学生更好地理解和掌握画垂线的方法。
练习题一：画垂线1. 在下图中，画一条垂线将线段AB平分，并标记垂足为O。
+-----A------------------B------+解答：+---------O-----A---------B------+2. 在下图中，画一条垂线使其经过点C，并标记垂足为D。
+---------C---------------------+解答：+---------C---------------------+||D练习题二：垂线的性质1. 如图所示，线段AB = 10cm，C是AB的中点，画一条垂线将线段AB垂直平分。
求垂足到线段AB的距离。
+-----A----------------B------+解答：+-----A------D-----B------+AD = DB = AB / 2 = 10 / 2 = 5cm2. 如图所示，画一条垂线将线段AB垂直平分，垂足为C，线段AC = 8cm，求线段BC的长度。
+-----A----------------B------+解答：+-----A------C-----B------+BC = AC = 8cm练习题三：应用题1. 根据下图，画一条垂线将角A垂直平分，并标记垂足为B。
已知角A的度数为60°，求角BOC的度数。
+--------A--------+解答：+-----B--A-------C-----+角BAC = 60°由于角BOC是角BAC的平分线，所以角BOC的度数为1/2 × 60°= 30°2. 根据下图，判断哪些线段是垂直相交的。
垂线的专项练习30题有答案ok
垂线专项练习30题（有答案）1．如图，①过点Q作QD⊥AB，垂足为D，②过点P作PE⊥AB，垂足为E，③过点Q作QF⊥AC，垂足为F，④连P、Q两点，⑤P、Q两点间的距离是线段_________的长度，⑥点Q到直线AB的距离是线段_________的长度，⑦点Q到直线AC的距离是线段_________的长度，⑧点P到直线AB的距离是线段_________的长度．2．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点过点P画OB的垂线，交OA于点C；（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；（2）线段PH的长度是点P到_________的距离，_________是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）3．（1）画出表示点B到直线CD的距离的线段，结论：_________（2）A、C两点之间的距离为线段_________的长；（3）画出表示两条平行线AD、BC之间的距离的线段，结论：_________．4．如图，DE∥BC，AF⊥DE于G，DH⊥BC于H，且AG=4cm，DH=4cm，试求点A到BC的距离．5．如图，过点A作BC的垂线，并指出那条线的长度是表示点A到BC的距离？6．如图，∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，则点A到直线BC的距离为_________，点B到直线AC的距离为_________，A、B间的距离为_________，AC+BC＞AB，其依据是_________，AB＞AC，其依据是_________．7．如图所示，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的路线图．8．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．9．如图，王林和李明同学骑自行车同时从各自的家中出发去学校．如果他们的骑车速度相同，那么谁先到达学校？为什么？10．如图，是一条河，C是河边AB外一点：（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）11．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．12．如图，计划在河边建一水厂，可过C点引CD⊥AB于D，在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这种设计的依据是_________．13．如图，点P处有一个工厂，现拟修一条通往大路口a的公路，应如何修才能使所修之路最短，试说明理由．14．如图，直线AD和BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=60°，求∠AOB的度数．15．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD=130°，求∠EOB的度数．16．如图所示，已知∠AOB=∠COD=90°，（1）若∠BOC=45°，求∠AOC与∠BOD的度数；（2）若∠BOC=25°，求∠AOC与∠BOD的度数；（3）由（1）、（2）你能得出什么结论？说说其中的道理．17．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON=20°，求∠AOM的度数．18．如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠AOD的平分线，OF⊥CD，如果∠BOD=30°．求：（1）∠AOF的度数；（2）∠POF的度数．19．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=15°，求∠BOD和∠AOC的度数．20．已知：如图，直线AB、CD、EF相交于点0，∠1=20°，∠BOC=90°．求∠2的度数．21．说出日常生活现象中的数学原理：日常生活现象相应数学原理有人和你打招呼，你笔直向他走过去两点之间直线段最短要用两个钉子把毛巾架安装在墙上桥建造的方向通常是垂直于河两岸人去河边打水总是垂直于河边方向走22．如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C，（2）过点P画OA的垂线，垂足为H，（3）线段PH的长度是点P到_________的距离，线段_________是点C到直线OB的距离．（4）因为直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是_________（用“＜”号连接）24．已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，GF⊥AB于G点，那么CD与AB是否互相垂直？试判断并说明理由．25．如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD．26．你能用折纸的方法过一点作已知直线的垂线吗？27．先拿一张长方形的白纸，按如图所示的方式将∠A、∠E折叠，使A′B与BE′重合，则BC与BD有什么关系？说明理由．28．分别过点P作线段MN的垂线．29．如图，∠AOE与∠BOF互余，那么AO与BO是否垂直？试说明理由．30．对于平面上垂直的两条直线a和b，称（a，b）为一个“垂直对”，而a和b都是属于这个“垂直对”的直线．那么当平面上有二十条直线时最多可组成多少个“垂直对”？参考答案：1．①②③④作图如图所示：⑤根据两点之间距离即可得出P、Q两点间的距离是线段PQ的长度，⑥根据点到直线的距离可得出点Q到直线AB的距离是线段QD的长度，⑦根据点到直线的距离可得出点Q到直线AC的距离是线段QF的长度，⑧根据点到直线的距离可得出点P到直线AB的距离是线段PE的长度，故答案为PQ，QD，QF，PE．2．（1）如图：（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离，根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC3．（1）过B点作DC的垂线，交CD的延长线于E点，如，则线段BE的长为点B到直线CD的距离；所以过直线外一点作直线的垂线，垂线段长就是这个点到直线的距离；（2）A、C两点之间的距离为线段AC的长；（3）过C点作AD的垂线，垂足为F点，如图，则线段CF的长即为两条平行线AD、BC之间的距离．故答案为过直线外一点作直线的垂线，垂线段的长就是这个点到直线的距离；AC；两条平行线之间的距离就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．4．∵AF⊥DE，DE∥BC，∴AF⊥BC，∵DE∥BC，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH=GF=4cm，∴AF=AG+GF=4cm+4cm=8cm，即点A到BC的距离是8cm．5．过点A作BC的垂线，交CB的延长线于E，根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离．可得AE的长度即为点A到BC的距离．答：AE的长度即为点A到BC的距离．6．∵∠C=90°，AB=5，AC=4，BC=3，∴点A到直线BC的距离为4，点B到直线AC的距离为3，A、B间的距离为5，AC+BC＞AB，其依据是三角形任意两边之和大于第三边长度，AB＞AC，其依据是直角三角形中斜边长度大于直角边长度．7．如图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的路线图．8．如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，在D处开沟，则沟最短．因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．9．根据垂线段定理，可知王林先到达学校．因为从他家到学校是垂线段，路程最短．10．如图：（1）过点C画一平行线平行于AB．（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．11．如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．12．∵CD⊥AB，∴线段CD的长度就是点C到直线AB的最短距离．故答案为：垂线段最短．13．如图，过点P作PD⊥a于D，则由点P沿着PD修路，能使所修之路最短．14．∵已知∠COD=90°，∠COE=60°，∴∠DOE=90°﹣60°=30°，又∵∠AOB与∠DOE是对顶角，∴∠AOB=∠DOE=30°．15．∵∠AOC=∠BOD，∠BOD=130°，∴∠AOC=130°．∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠FOC=65°．∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°．∴∠BOE=180°﹣∠AOF﹣∠EOF=180°﹣65°﹣90°=25°16．（1）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=45°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=45°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=45°；（2）∵∠AOB=∠COD=90°，且∠BOC=25°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=65°，∠BOD=∠COD﹣∠BOC=65°；（3）∠AOC=∠BOD，等角的余角相等．17．∵OE平分∠BON，∴∠BON=2∠EON=40°，∴∠COM=∠BON=40°，∴∠AOM=90°﹣∠COM=90°﹣40°=50°．18．（1）∵∠AOC=∠BOD=30°，OF⊥CD，∴∠AOF=90°﹣30°=60°；（2）∵OP是∠AOD的平分线，∴∠AOP=∠AOP=（180°﹣∠BOD）=（180°﹣30°）=75°，∴∠POF=∠AOP﹣∠AOF=75°﹣60°=15°19．∵OE为∠BOD的平分线，∴∠BOE=∠BOC，即∠BOD=2∠BOE=2×15°=30°；∵OA丄OB，OC丄OD，∴∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=360°﹣90°﹣90°﹣30°=150°．20．∵∠1=20°，∠BOC=90°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠1=90°﹣20°=70°，∴∠2=∠BOE=70°．21．这几种实际问题用数学原理解释分别是：两点确定一条直线；夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．22．连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC 就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB+BC最短．23．（1）如图（2）如图，（3）直线0A、PC的长．（4）PH＜PC＜OC．24．相互垂直．理由：∵GF⊥AB，∴∠2+∠4=90°，而∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=180°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠COD=360°﹣（∠1+∠2）﹣∠AOB=360°﹣180°﹣90°=90°，∴OC⊥OD26．先沿已知直线折一下，再在已知点处对折即可．27．垂直；根据题意可得∠ABC=∠A′BC，∠FBE=∠FBE′，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BF+∠FBE=180°，∴∠A′BC+∠E′BF=90°，∴BC⊥FB28．①延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．②延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．③过点P作NM所在直线的垂线．④延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．29．AO与BO垂直．理由如下：∵∠AOE与∠BOF互余，∴∠AOE+∠BOF=90°，又∵∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，∴∠AOB=90°，∴AO⊥BO，即AO与BO垂直30．当二十条直线有10条互相平行；另10条不仅互相平行而且与前10条垂直时垂直对最多．答案是100对．。
5.1.2 垂线100题(含解析)
绝密★启用前一、单选题1．如图，能表示点到直线的距离的线段共有()A．2条B．3条C．4条D．5条【答案】D【解析】根据点到直线的距离定义，可判断：AB表示点A到直线BC的距离；AD表示点A到直线BD的距离；BD表示点B到直线AC的距离；CB表示点C到直线AB的距离；CD表示点C到直线BD的距离．共5条．故选D．2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是()A．垂直的定义B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解析】【分析】根据垂线段最短的性质解答．【详解】老师测量跳远成绩的依据是：垂线段最短．故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短在实际生活中的应用，是基础题．3．如图，OA⊥OB，∠1=35°，则∠2的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．70°【答案】C【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，所以∠2+∠1=90°，∵∠1=35°，∴∠2=55°，故选C．考点：1．余角和补角；2．垂线．4．如图，OA⊥OB，若∠1=55°，则∠2的度数是( )A．35°B．40°C．45°D．60°【答案】A【解析】试题分析：∵OA⊥OB，∴∠AO∠=90°，即∠2+∠1=90°.∵∠1=55°，∴∠2=35°.故选A．考点：1.垂直的性质；2.数形结合思想的应用.5．如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【分析】根据垂线段最短即可得．【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短故选：C．【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键．6．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B【分析】由垂线段最短可解．【详解】由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选B．【点睛】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．7．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选A ．【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．8．如图，直线AB 与直线CD 相交于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB ，∠BOD ＝45°，则∠COE 的度数是( )A ．125°B ．135°C ．145°D ．155° 【答案】B【解析】试题解析：,OE AB ⊥90,AOE ∴∠=又45,BOD ∠=︒45,AOC ∠=︒∴4590135.COE AOC AOE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故选B.9．如图，要把河中的水引到水池A 中，应在河岸B 处（AB ⊥CD ）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）A ．两点之间线段最短B ．点到直线的距离C ．两点确定一条直线D ．垂线段最短【答案】D【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【详解】 要把河中的水引到水池A 中,应在河岸B 处(AB ⊥CD )开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，故选D.【点睛】本题考查垂线段的性质：垂线段最短.10．如图，直线AD，BE 相交于点O，CO⊥AD 于点O，OF 平分∠BOC．若∠AOB=32°，则∠AOF 的度数为A．29°B．30°C．31°D．32°【答案】A【分析】由CO⊥AD 于点O，得∠AOC=90︒，由已知∠AOB=32︒可求出∠BOC的度数，利用OF 平分∠BOC可得∠BOF=1BOC2∠，即可得∠AOF 的度数.【详解】∵CO⊥AD 于点O，∴∠AOC=90︒，∵∠AOB=32︒，∴∠BOC=122︒，∵OF 平分∠BOC，∴∠BOF=1BOC612∠=︒，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=61︒-3229︒=︒.故选A.【点睛】本题考查垂线，角平分线的定义.11．如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC 长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（）A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】【分析】根据方位角的定义，结合平行线，可得∠ABG＝48°再结合∠CBE＝42°，可得∠ABC＝90°；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.【详解】由分析可得∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°∴A到BC的距离就是线段AB的长度.∴AB＝8千米【点睛】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】D【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；故选：D．此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE＝36°，则∠BOD＝（）A．36°B．44°C．50°D．54°【答案】D【解析】试题分析：∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°，又∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°，∠AOE=36°，∴∠BOD=54°，故选D．考点：垂线．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是( )A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．15．在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根据垂线段最短得出结论．【详解】根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3．故选C．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．16．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )A．30°B．34°C．45°D．56°【答案】B【解析】试题分析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．考点：垂线．17．如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=（）A．150°B．140°C．130°D．120°【答案】D【分析】运用垂线，邻补角的定义计算。
垂线 习题 (含答案)
2019年4月16日初中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某跳远运动员在一次比赛中跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线1垂直于点B，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．过一点可以作无数条直线B．垂线段最短C．过两点有且只有一条直线D．两点之间线段最短【答案】B【解析】【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【详解】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：B．【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．2．下列说法①一个角的余角一定是锐角；②因为∠1＝∠2，所以∠1与∠2是对顶角；③过一点与已知直线平行的直线只有一条；④从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】【分析】根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断即可.【详解】解：一个角的余角一定是锐角，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条，所以③错误；从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，所以④错误；两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以⑤错误．故本题答案应为：A．【点睛】本题主要考查了互余、对顶角、点到直线的距离的定义及平行线的性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键.3．如图，直线AB和CD相交于O，那么图中∠DOE与∠COA 的关系是（）A．对顶角B．相等C．互余D．互补【答案】C【解析】【分析】先由垂直的定义得到∠AOE=∠BOE=90°，则∠DOE+∠BOD=90°，再根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC，所以∠DOE+∠AOC=90°，然后根据互余的定义进行判断．【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠DOE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOC，∴∠DOE+∠AOC=90°，即∠DOE与∠COA互余．故选：C．【点睛】本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．也考查了对顶角和两角互余．4．下列说法正确的是( )A．直线一定比射线长B．过一点能作已知直线的一条垂线C．射线AB的端点是A和B D．角的两边越长，角度越大【答案】B【解析】【分析】根据基本概念和公理，利用排除法求解．【详解】解：A、直线和射线长都没有长度，故本选项错误；B、过一点能作已知直线的一条垂线，正确；C、射线AB的端点是A，故本选项错误；D、角的角度与其两边的长无关，错误；故选：B．【点睛】本题考查了直线、射线和线段．相关概念：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹．向两个方向无限延伸．过两点有且只有一条直线．射线：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸．5．如图，BD⊥AC于点D，EC⊥AB于点E，AF⊥BC点F，AF、BD、CE交于点O，则图中能表示点A到直线OC的距离的线段长是（）A．AE B．AF C．AD D．OD【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的概念即可解答．【详解】解：点A到直线OC的距离的线段长是AE，故选：A．【点睛】本题考查点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．6．如图，A、B、C、D都在直线MN上，点P在直线外，若∠1=60°，∠2=90°，∠3=120°，∠4=150°，则点P到直线MN的距离是（）A．P，A两点之间的距离B．P，B两点之间的距离C．P，C两点之间的距离D．P，D两点之间的距离【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离的定义进行判断即可．【详解】∵∠2=90°，∴点P到直线MN的距离是P，A两点之间的距离，故选A．【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记概念是解题的关键．7．如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°,则∠AOD的度数为A．125°B．115C．55°D．35°【答案】A【解析】【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后由对顶角相等的性质，求∠AOD的度数．【详解】解：∵EO⊥AB，∴∠EOB=90°．又∵∠COE=35°，∴∠COB=∠COE+∠BOE=125°．∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），∴∠AOD=125°．故选：A．【点睛】本题考查了垂线，对顶角、邻补角等知识点．本题也可以利用邻补角的定义先求得∠BOD=55°，再由邻补角的定义求∠AOD的度数．8．下列说法中不正确的是()A．两点之间的所有连线中，线段最短B．两点确定一条直线C．小于平角的角可分为锐角和钝角两类D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用线段公理、确定直线的条件、角的分类及垂线的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；B、两点确定一条直线，正确；C、小于平角的角可分为锐角、直角和钝角三类，故此选项错误；D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确.故选C.【点睛】本题主要考查了线段、直线、垂线及角的分类．9．在同一平面内，下列判断中错误的是()A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．垂直于已知线段并且经过这条线段中点的垂线只有一条C．垂直于已知直线的垂线只有一条D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】C【解析】【分析】根据垂线的定义和性质分析即可.(1)过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直；(2)从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
垂线和平行线测试题
垂线和平行线测试题一、判断题。
（20分）1、相交的两条直线一定互相垂直。
（）2、过直线外一和已知直线的垂线，只能作一条。
（）3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，它就一定与另一条垂直。
（）4、长方形相对一两条边是一组平行线。
（）5、两条平行线之间可以作无数条垂线，这些垂线的长度都相等。
（）6、过直线外一点可以作无数条与这条垂直的直线。
（）7、两条直线不相交，这两条直线一定互相平行。
（）8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角。
（）9、9时30分，分针和时针成直角。
（）10、平行线间的距离处处相等。
（）二、填空题。
（20分）1、两条直线相交成（）时，这两条直线叫做（）。
2、从直线外一点到这条直线所画（）的长度，叫做这点到直线的（）。
3、在（）内，不相交的两条直线叫做有（）。
4、课桌面相邻的两条边是互相（）的。
5、平行线间的距离处处（）。
6、从直线外一点向已知直线画线段，（）最短。
三、选择题。
（10分）1、判断两条直线是否垂直可以使用（）。
A、三角板B、量角器C、直尺2、两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（）。
A、交点B、垂足C、端点3、过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）。
A、1条B、2条C、无数条4、图形＝是由两条（）组成的，∠是由两条（）组成的。
A、线段B、射线C、直线5、两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。
A、锐角B、直角C、钝角四、操作题。
（40分）1、过直线上一点画这条直线的垂线。
···2、过直线外一点画这条直线的垂线。
3、过直线外一点画这条直线的平等线。
4、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。
5、过A 点分别作这两条直线的垂线和平行线。
6、用下面两条平行线的一段作长方形的一组对边，画一个长方形。
7、用下面两平行线间的垂线的长作正方形的边长，画一个正方形。
五、计算。
线段中垂线习题课
主备： 刘德义 校审： 签审： 使用时间：编号：SX-11-03-001 班级： 学生姓名： 第 页《线段中垂线》习题课 【学习目标】：掌握相关习题 【重点难点】：解题方法 【学法指导】：作图，标条件 【知识链接】：线段中垂线 【学习过程】：一、填空题1．经过_____并且_____的_____ 叫做线段的垂直平分线．2．线段的垂直平分线有如下性质：线段的垂直平分线上的_____与这条线段_____的_____相等． 3．线段的垂直平分线的判定，由于与一条线段两个端点距离相等的点在_____，并且两点确定_____，所以，如果两点M 、N 分别与线段AB 两个端点的距离相等，那么直线MN 是_____． 4．完成下列各命题：（1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____； （2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_____； （3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____； （4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_____； （5）综上所述，线段的垂直平分线是_____的集合．5．如图2－1，若P 是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则 （1）ΔP AC ≌_____； （2）P A ＝_____； （3）∠APC ＝_____； （4）∠A ＝_____．图2－16．ΔABC 中，若AB －AC ＝2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于D 点，且ΔACD 的周长为14cm ，则AB ＝_____，AC _____.7．如图2－2，ΔABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于P 点． （1）若∠A ＝35°，则∠BPC ＝_____；（2）若AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，则ΔPBC 的周长＝_____．图2－2综合、运用、诊断一、解答题8．已知：如图2－3，线段AB ．求作：线段AB 的垂直平分线MN ． 作法：图2－39．已知：如图2－4，∠ABC 及两点M 、N ．求作：点P ，使得PM ＝PN ，且P 点到∠ABC 两边的距离相等． 作法：图2－4拓展、探究、思考10．已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由．图2－511．如图2－6，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，那么点E 、F 是否关于AD 对称？若对称，请说明理由．图2－6【学习反思】：。
垂线(分层作业)【解析版】
5.1.2垂线分层作业基础训练1．如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹，已知 2.7MC 米，则小明PA 米， 2.6跳远的成绩可能是（）A．2.7米B．2.65米C．2.6米D．2.5米【答案】D【分析】跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段MB的长度．【详解】解：根据跳远成绩的计算方法可知：垂线段MB的长度是小明跳远的成绩∵垂线段最短∴MB MC∴小明跳远的成绩可能是2.5米故选：D【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可．2．下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】略3．P 为直线m 外一点，A ，B ，C 为直线m 上三点，4cm 5cm 6cm PA PB PC ，，，则点P 到直线m 的距离（）A．等于5cmB．等于4cm C．小于4cm D．不大于4cm 【答案】D【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．【详解】解：根据垂线段最短得出点P 到直线m 的距离是不大于4cm ，故选D．4．如图，CA BE 于点A ，AD BF 于点D ，则下列说法中正确的是（）① 的余角只有B ；② 的补角是DAE ；③ 与ACF 互补；④ 与DAC 互余A．①②③④B．②③④C．①③④D．②④【答案】B【分析】根据CA BE ，AD BF 可得90BAC EAC ADB ADC ，即可得到90B ，90DAC ，结合90DAC ACD 可得ACD ，结合180ACD ACF 即可得到答案；【详解】解：∵CA BE ，AD BF ，∴90BAC EAC ADB ADC ，∴90B ，90DAC ，故①错误，∵180DAE ，故②正确，∵90DAC ACD ，∴ACD ，∵180ACD ACF ，∴180ACF ，故③④正确，故选：B；【点睛】本题考查垂直的性质，互补与互余的定义，解题的关键是根据已知条件得到角度数量关系．5．如图所示，下列说法不正确的是（）A．点B 到AC 的垂线段是线段ABB．点C 到AB 的垂线段是线段AC C．线段AD 是点D 到BC 的垂线段D．线段BD 是点B 到AD 的垂线段【答案】C【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．【详解】解：A、点B 到AC 的垂线段是线段AB ，正确，故此选项不符合题意；B、点C 到AB 的垂线段是线段AC ，正确，故此选项不符合题意；C、线段AD 是点A 到BC 的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；D、线段BD 是点B 到AD 的垂线段，正确，故此选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫垂线段是解此题的关键．6．如图，AC BC ，CD AB ，则点B 到CD 的距离是线段（）的长度A．BD B．CD C．BC D．AD【答案】A【分析】本题考查了点到直线的距离“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”．根据点到直线的距离的定义即可得．【详解】解：CD AB∵，∴点B到CD的距离是线段BD的长度，故选：A．7．如图，AB CD，垂足为B，直线EF过点B，25，则ABECBF的度数为（）A．25 B．65 C．115 D．155【答案】B【解析】略8．体育课上，老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是．【答案】垂线段最短【分析】根据垂线段最短进行解答即可．【详解】解：体育课上，老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短．9．如图，点A ，B ，C ，D 在直线l 上，PB l ，6cm PA ，5cm PB ， 5.5cm PC ，7cm PD ，则点P 到直线l 的距离为cm ．【答案】5【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．【详解】解：∵PB l ，5cm PB ，∴P 到l 的距离是垂线段PB 的长度5cm ．故答案为：5．【点睛】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度是关键．10．如图，点A 在点O 的南偏东55 ，若OA OB ，则点B 在点O 的．【答案】南偏西35【分析】根据方向角的概念解答即可．【详解】∵点A在点O的南偏东55 ，OA OB，，∴905535∴点B在点O的南偏西35 ．故答案为：南偏西35 ．【点睛】本题考查方向角，解题的关键是掌握方向角的概念．11．如图，从P处走到公路m有三条线路可走，为了尽快赶到公路上，应选择的线路是，理由是：．【答案】PB垂线段最短【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．关键是掌握垂线段的性质:垂线段最短．从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可【详解】根据“垂线段最短”的性质，可得应选择的线路是PB，理由是:垂线段最短故答案为:PB，垂线段最短AC 米，则点A到12．如图，沿笔直小路DE的一侧栽植两棵小树B，C，小明在A处测得4AB 米，6DE的距离d可能为米．（填一个你认为正确的答案）【答案】3米（答案不唯一）【分析】由点到直线的距离的定义，垂线段最短，即可得到答案．【详解】解：∵4AB 米，6AC 米，点A 到DE 的距离d 小于或等于4米，点A 到DE 的距离d 可能为3米（答案不唯一）．故答案为：3米（答案不唯一）．【点睛】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，关键是掌握点到直线距离的定义．13．如图，已知直线AB 、CD 都经过O 点，OE 为射线，若135 ，255 ，则OE 与AB 的位置关系是．【答案】OE AB【分析】先求出AOE 的度数，再根据垂直的定义，即可解答．【详解】解：∵135 ，255 ，∴180355590AOE ，即OE AB ，故答案为：OE AB ．【点睛】本题主要考查了角度的运算，垂直的定义，解题的关键是掌握夹角等于90度的两条直线互相垂直．14．如图，直线AB 与直线MN 相交，交点为O ，OC AB ，OA 平分MOD ，若20BON 则COD 的度数为．【答案】70【分析】利用对顶角相等可得AOM 的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【详解】解：20BON ∵，20AOM ，OA ∵平分MOD ，20AOD MOA ==，OC AB ∵，90AOC ，902070COD ；故答案为：70 ．【点睛】本题考查几何图形求角度，熟练掌握对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义是解题的关键．15．如图，在66 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)画线段AC ，在线段AC 上找一点P 使PB PD 最小．(2)画直线CD ，点B 到直线CD 的距离为__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析；3【分析】本题主要考查了画直线、线段，两点之间线段最短，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握线段、直线的定义．（1）连接AC 画出线段AC 即可，根据两点之间线段最短，连接BD ，与AC 交于一点，该点即为点P ；（2）画直线CD ，根据点到直线的距离进行判断即可．【详解】（1）解：线段AC ，点P 即为所求作的点，如图所示：（2）解：如图，直线CD 即为所求作的直线，点B 到直线CD 的距离为3．故答案为：3．16．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OM AB ．(1)若12 ，判断ON 与CD 的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ON ______CD ．理由如下：因为OM AB ，所以AOM ______°．所以______90AOC ．又因为12 ，所以______90AOC （等量代换），即90CON ．所以__________（__________）．(2)若41BOC ，求MOD 的度数．【答案】(1)⊥，90，1 ，2 ，ON CD ，垂直的定义(2)150【详解】（1）⊥901 2 ON CD 垂直的定义（2）因为OM AB ，所以90BOM ．因为1BOC BOM ，所以19041 ．所以130 ．所以901903060AOC ．所以60BOD AOC ．所以9060150MOD MOB BOD ．17．如图，直线AB CD 、相交下点O ，OE CD 于O ，OD 平分BOF ，若55BOE ，求AOF 的度数．【答案】110AOF【分析】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义、邻补角的性质，根据垂直的定义得出90EOD ，由55BOE 得到35BOD ，由角平分线的定义得出70BOF ，然后根据邻补角定义即可求出110AOF ，熟练运用各性质定理，推出相关角的度数是解决此题的关键．【详解】∵OE CD ，∴90EOD∵55BOE ，∴905535BOD EOD BOE∵OD 平分BOF∴235270BOF BOD∴180********AOF BOF ．能力提升18．如图，三角形ABC 中，AC BC ，D 为BC 边上的任意一点，连接AD ，E 为线段AD 上的一个动点，过点E 作EF AB 点F ．6BC ，10AB ，8AC ，则CE EF 的最小值为（）A ．6B ．4.8C ．2.4D ．5【答案】B 【分析】过C 作CF AB 于F ，交AD 于E ．则CE EF 的最小值为CF ，利用三角形等面积法1122AB CF BC AC ，求出86 4.810AC BC CF AB ，即为CE EF 的最小值．【详解】解：过C 作CF AB 于F ，交AD 于E ，则CE EF 的最小值为CF ．6BC ∵，8AC ，10AB ，1122AB CF BC AC ，86 4.810AC BC CF AB，即CE EF 的最小值为：4.8，故选B ．【点睛】本题考查了最短路线问题，正确运用三角形等面积法是解题的关键．19．如图，若直线AB 与CD 相交于点O ，OD 平分BOF ，OE OF 且29BOD ，则COE 的度数为（）A ．116B ．118C ．119D ．120【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到29DOF ，根据垂线的定义得到9061DOE DOF ，利用邻补角的定义即可求解．【详解】解：∵29BOD ，OD 平分BOF ，∴29DOF ，∵OE OF ，∴9061DOE DOF ，∴180119COE DOE ，故答案为：C ．【点睛】本题考查邻补角的定义、角平分线的定义、垂直的定义等内容，运用几何知识进行角的和差运算是解题的关键．20．如图，三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，且CD EF ，70AOE ，若OG 平分BOF ．DOG 的度数为（）A ．50B ．55C ．60D ．65【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得70BOF AOE ，由CD EF 可得90DOF ，再根据角平分线的性质求得GOF ，进而根据DOG DOF GOF 计算即可．【详解】解：∵三条直线AB ，CD ，EF 相交于点O ，70AOE ，70BOF AOE ，∵CD EF ，90DOF ，∵OG 平分BOF ，1352GOF BOF ，903555DOG DOF GOF ，故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的性质，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．21．如图，直线AB 、CD 相交于O ，射线OM 平分AOC ，ON OM ，若35AOM ，则BOC ；CON ．【答案】110 /110度55 /55度．【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义；直接利用角平分线的性质得出AOM MOC ，可得70AOC ，进而根据平角的定义即可得出BOC 进而利用垂直的定义得出CON 的度数．【详解】∵OM 平分AOC ，且35AOM ，∴35AOM COM ，70AOC ，∴180110BOC AOC ，∵ON OM ，∴90MON ，∴903555CON MON COM ．故答案为：110 ；55 ．22．在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使OC OD ，当45AOC 时，BOD 的度数是．【答案】45 或135【分析】此题可分两种情况，即OC ，OD 在AB 的一边时和在AB 的两边，分别求解．【详解】解：①当OC 、OD 在AB 的一旁时，OC OD ∵，90COD ，45AOC ∵，18045BOD COD AOC ；②当OC 、OD 在AB 的两旁时，OC OD ∵，45AOC ，45AOD ，180135BOD AOD ．故答案为：45 或135 ．【点睛】此题主要考查了直角、平角的定义，解题的关键是注意分两种情况分析，理清图中的角之间的关系．23．【动手操作】如图，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使135BOC ．将直角三角板MON 绕点O 旋转一周，当直线OM 与直线OC 互相垂直时，AOM 的度数是．【答案】135 或45【分析】分OM 在直线OC 的右侧和OM 在直线OC 的左侧两种情况求解即可．【详解】解：∵135BOC ，∴18013545AOC ．当OM 在直线OC 的右侧时，如图，∵OM OC ，∴90COM ，∴135AOM AOC COM ．当OM 在直线OC 的左侧时，如图，∵OM OC ，∴90COM ，∴45AOM COM AOC ．故答案为：135 或45 ．【点睛】本题考查了垂直的定义，角的和差计算，数形结合是解答本题的关键．24．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ，垂足为O ．(1)若35EOC ，求BOD 的度数；(2)若2BOC AOC ，求DOE 的度数．【答案】(1)55(2)150【详解】（1）因为EO AB ，所以90AOE ．因为35EOC ，所以903555AOC ．所以55BOD AOC ．（2）因为180AOC BOC ，2BOC AOC ，所以2180AOC AOC ．所以60AOC ．所以60BOD AOC ．所以9060150DOE BOE BOD ．拔高拓展25．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，OE 是BOC 的平分线，且::1:2:4BOC DOF AOC ．(1)若BOC x ，则DOF ______ ，AOC _______ ；（用含x 的式子表示）(2)求AOD 的度数；(3)若:1:4,BOE BOF 试判断OE 与OF 的位置关系，并说明理由．【答案】(1) 2x ，4x (2)36(3)垂直，见解析【分析】（1）根据::1:2:4BOC DOF AOC 求解即可；（2）根据:1:4BOC AOC 以及BOC 与AOC 互补可求出BOC 度数，最后根据对顶角的性质求解即可；（2）根据角平分线的定义求出 BOE 的度数，结合:1:4BOE BOF 求出BOF 的度数，即可求解．【详解】（1）解：∵::1:2:4BOC DOF AOC ，BOC x ，∴ 2DOF x ， 4AOC x ；（2）解：∵180,:1:4BOC AOC BOC AOC ，∴4180BOC BOC ，∴36BOC ．又∵AOD BOC ﹐∴36AOD ．（3）解：OE OF ．理由如下：由（2）可知，36BOC ．∵OE 是BOC 的平分线，∴1182BOE BOC ．∵:1:4BOE BOF ，∴472BOF BOE ，∴90EOF BOE BOF ，∴OE OF ．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键．。
小学数学认识垂线练习题
小学数学认识垂线练习题垂线是数学中的重要概念之一，对于小学生来说，理解垂线的概念及其性质有助于提高数学认知能力。
本文将给出一些小学数学的垂线练习题，通过解题来加深对垂线的理解。
练习题一：在数轴上，点A坐标为2，点B坐标为6，问线段AB的中点C的坐标是多少？解析：根据数轴上的点的坐标，我们可以很容易地画出A、B两点，并用直线将它们连接起来。
然后，在A、B直线段上找到一个点C，使得AC和BC的长度相等。
我们可以通过计算A和B的坐标之和的一半来确定C的坐标。
即 C = (2 + 6) / 2 = 4。
练习题二：在平面上，连接一个正方形的一个顶点和对边上的中点，这条线段是垂线吗？为什么？解析：平面上的正方形有4个顶点和4条对边。
根据垂线的定义，只有与直线相交且和直线的交点连成的线段互相垂直的线段才称为垂线。
在这个问题中，连接一个顶点和对边上的中点的线段与正方形的边不垂直，因此不是垂线。
练习题三：在任意平面上，过一点作与一条直线垂直的线段，这个点与直线的哪个性质有关？解析：根据垂线的性质，垂直于同一条直线的线段互相平行。
因此，在任意平面上，过一点作与一条直线垂直的线段时，这个点与直线的关系是互相平行。
练习题四：在一个三角形ABC中，垂线BD的长度为6 cm，且AD的长度为4 cm。
求BC的长度。
解析：在三角形ABC中，BD为三角形ABC的高线，AD为BD的段线。
根据垂线性质，在直角三角形中，高线与斜边的关系为勾股定理。
根据题目中给出的信息，我们可以得到BD为6 cm，AD为4 cm。
根据勾股定理，BD平方等于AD平方加上BC平方，即6^2 = 4^2 + BC^2。
解方程得到 BC 的值为√(36-16)，即BC = √20，化简为2√5 cm。
练习题五：在平面上，点P(1,4)与直线y=2x+1相连，问这条线段与直线的交点是什么？解析：点P(1,4)与直线y=2x+1的连接线段与直线的交点即为垂线的交点。
画垂线练习题四年级
画垂线练习题四年级画垂线是数学中的一项重要的几何操作，对于四年级的学生来说，掌握画垂线的方法和技巧是非常必要的。
本文将介绍一些画垂线的练习题，帮助四年级的学生加深对垂线的理解，并提高他们的绘图能力。
1. 画平行线与垂线在纸上画一条任意的直线AB，在该直线上选择一点C。
请你用尺子和铅笔，根据以下要求进行操作：a) 通过点C作与直线AB平行的直线。
b) 通过点C作与直线AB垂直的直线。
解答：a) 通过点C画一条任意的线段CD，并且保持尺子与直线AB平行。
然后，延长线段CD至与AB相交的点E，这就是通过点C作与直线AB平行的直线。
b) 通过点C画一条任意的线段CF，并且保持尺子与直线AB垂直。
然后，延长线段CF至与AB相交的点G，这就是通过点C作与直线AB垂直的直线。
2. 画直角在纸上画一条任意的直线AB，在该直线上选择一点C。
请你用尺子和铅笔，根据以下要求进行操作：a) 通过点C作成直角ACD。
b) 通过点C作成直角BCE。
c) 通过点C作成直角ADF。
解答：a) 通过点C作一条与直线AB垂直的线段CF。
然后，将尺子的另一侧与AB对齐，移动尺子，使之与线段CF相交于点D，这样就得到了直角ACD。
b) 通过点C作一条与直线AB垂直的线段CG。
然后，将尺子的另一侧与AB对齐，移动尺子，使之与线段CG相交于点E，这样就得到了直角BCE。
c) 通过点C作一条与直线AB垂直的线段CH。
然后，将尺子的另一侧与AB对齐，移动尺子，使之与线段CH相交于点F，这样就得到了直角ADF。
3. 画等腰直角三角形在纸上画一条直线AB，然后在该直线上选择一点C。
请你用尺子和铅笔，根据以下要求进行操作：a) 通过点C在直线AB上作出等腰直角三角形ACD。
b) 通过点C在直线AB上作出等腰直角三角形BCE。
解答：a) 通过点C在直线AB上作出垂线CF。
然后，将尺子的一侧放在点C上，尺子的另一侧与线段CF对齐。
保持这个长度，将尺子的一侧放在点F上，尺子的另一侧与线段CF对齐。
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中垂线的应用
1.如图，AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于D，已知AB=8cm，BD=6cm，
那么EA=________， DA= 。
2.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，
AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是
_______cm。
×3．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=110°，则∠PAQ的度数为
×4．如图，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为．
5.如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线段MN交OA、
OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长是___________．
6.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB
于N，P1P2=15，则△PMN的周长为。
7.如图，若∆ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=_____ cm.
9.如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=5cm，那么△BCD的周长是 cm．
10．如图1，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长
是24cm，则BC=_________．
11．如图1，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，•若△ABC与△EBC
的周长分别是26cm、18cm，则AC=_________．
12.如图，ΔABC中AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D.若∠A=38°，则∠DBC=_________；若
AC+BC=10cm，则ΔDBC的周长为__________㎝；
13.如图，在∆ABC中，∠A=90︒，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，则∠C=_____．
5、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，P A=PB；②若P A=PB，EA=EB，则
直线PE垂直平分线段AB；③若P A=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则
过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点
到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P
作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线A．1
个 B．2个 C．3个D．4
14.如图，已知AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD 的周长是15cm，求AB
和AC的长．
15.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分线上,AB+BD与DE的长度有什么关系?并加以证明.
16. 如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE．（1）求
∠ECD的度数；
（2）若∠ACB为a，则∠ECD的度数能否用含a的式子来表示．
17．如图，△ABC中∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平
分线．
18．已知，如图，在△ABC 中，AB ＜AC ，BC 边上的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AC 于点E ，AC=8，△ABE 的周长为14，求AB 的长．
19、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B
20.AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AC,交AB 于E.过E 作AD 的垂线交BC 延长线于F(图3.14-8),求证
2
1
（∠BAC+∠AFC ）=90°-∠B.
21（2007·绵阳）如图4，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点。
①AD 平分∠BAC ，②DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，③AD ⊥EF ，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②✂③ ,①③✂②，②③✂①。
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题。
22、如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，
△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD
23 如图3.14-4，AD 为△ABC 的角平分线，AD 的中垂线交AB 于E ，BC 延长线于F ，求证∠CAF=∠B.
24（2009·北京）如图3-①所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。
同时请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图3-②,在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠
B=60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠
BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系； （2）如图3-③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，
请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
E
D
G
F
C
B
A。