九年级数学上册第21章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程2变化率问题课件新版新人教版
人教九年级数学上册- 实际问题与一元二次方程(变化率问题和销售问题)(附习题)
推进新课
知识点1 有关增长/下降率的问题
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在 生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成 本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册)
答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
课堂小结
下降率是下降额与原成本的比值；
原成本－终成本
下降率=
原成本
×100%
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则 下降一次后的成本变为 5000(1-x) ，再次下降 后的成本变为 5000(1-x) 2 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等 量关系 终成本=原成本×(1－下降率)2 可得方 程 5000(1-x)2=3000 ，解这个方程，得到方程的 两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？ 为什么？
21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
变化率问题和销售问题
新课导入
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元， 生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技 术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药 品成本的年平均下降率较大?
九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程(第2课时 平均变化率与销售
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
增长率不能为 负数，但可以超 过1.
解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
所以这个增长率为50%．
例3 电商平台发现：某款手机平均每天可售出20台，每台盈利 400元.为了迎接“双十一”，平台决定采取适当的降价措施，扩大 销售量来增加盈利，并尽快占领市场.经市场调查发现：如果每台 手机每降低40元，那么平均每天就可多售出8台.如果想要平均每天 通过销售这款手机盈利12000元，那么每台手机应降价多少元？
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5％.
第2课时 平均变化率与销售问题
问题1 药品年平均下降额（元）大能否说年平均下降率（百分 数）就大呢？
答：不能.甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000） ÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3600） ÷2=1200元.显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是， 两种药品的年平均下降率是一样的.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 平均变化率与销售问题
例1 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的 进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求该药品成本的年 平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得
5000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的 年平均下降率约为22.5％.
两次下降后的值为a（1-x）2，n次下降后的值为a（1-x）ⁿ.
第2课时 平均变化率与销售问题
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程(教案)
4.通过解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课将结合具体实例，让学生在实际问题中感受一元二次方程的应用，培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生运用数学知识分析实际问题的能力，提高他们从实际问题中抽象出一元二次方程模型的能力；
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用一元二次方程计算不规则图形的面积，演示其基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对一元二次方程解决实际问题的兴趣还是相当高的。他们在分组讨论和实验操作环节表现出了很高的积极性和主动性。然而，通过这个过程，我也发现了一些问题。
首先，部分学生在从实际问题中抽象出一元二次方程的过程中存在困难。他们很难把握问题的核心，从而无法准确地列出方程。这说明我们在今后的教学中，需要加强对学生问题分析能力的培养，让他们学会如何从复杂的问题中抓住关键信息。
4.培养学生严谨的数学思维，加强对结果的检验。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的求解方法和步骤，以及如何从实际问题中抽象出一元二次方程这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题，如面积计算、成本分析等。
人教版初中数学九上第二十一章 一元二次方程 实际问题与一元二次方程 第2课时 平均变化率与利润问题
返回首页 上一页 下一页
先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
9．某市蔬菜批发市场2月大蒜价格猛涨，原价为4元/kg的大蒜，经过2月和3月连 续两个月增长后，价格较高．物价部门紧急协调以控制价格，4月大蒜价格下降 了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月、3月的平均增长率为 25% ．
解得x1＝5，x2＝10． ∵要尽快减少库存，∴x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6 000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5
元．
返回首页 上一页 下一页
先 锋 图 书 基础题组 中档题组 综合运用
12．某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽 调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生 产．第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）对比第一年的利润率增 长了8%．若第二年的利润为112万元，则第一年的利润率为 12% ． 解析：设第一年的利润率为x，则第一年的利润为500x万元，第二年的投入资金 为（500＋500x）万元，第二年的利润率为x＋8%．根据题意，得（500＋500x） （x＋8%）＝112，解得x1＝－1．2（不合题意，舍去），x2＝0．12＝12%，∴第 一年的利润率为万元，6月份盈利达到24．2万元，且从4月份到6
月份，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计7月份这家商场盈利多少元．
解：（1）设每月盈利的平均增长率为x．
根据题意，得20（1＋x）2＝24．2，
21.3实际问题和一元二次方程(变化率)
1998 1999 2000 2001
解：设2002年,2003年两年绿地面积的年平均 增长率为x，根据题意，得 60 (1＋x)2＝72.6 ． (1＋x)2=1.21． ∴1＋x=±1.1． ∴ x1 = 0.1=10%, x2 =－2.1(不合题意,舍去)
答： 2002年,2003年两年绿地面积的年平均增长率 为10%．
例1：雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的 营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年，
2
今年的营业额×（1+平均增长率） =后年的营业额。
解：平均每年增长的百分率为x,
根据题意得：
28(10x)240.23
(1x)2 1.44
1+x=±1.2
解得： xLeabharlann 2.2（舍去）x2 0.2
答：平均每年的增长20%
增长率与方程
1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该 公司缴税的年平均增长率为多少?
解 :设每年平均增长率为x,根据题意,得
40(1 x)2 48.4.
解这个方程 : (1 x)2 1.21, (1 x) 1.1, x 1 1.1,
x1 1 1.1 10%; x2 1 1.1 0(不 合 题 意, 舍 去). 答 : 每 年 的 平 均 增 长 率 为10%.
探究2
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨 乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙 种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均
500(10x)2 3000
解方程,得
x10.2,2 x2 5 1.7(7 不 5 合 ,舍 题 )去
九年级数学上册21.3.2实际问题与一元二次方程 增长率问题教案新人教版
九年级数学上册21.3.2实际问题与一元二次方程增长率问题教案新人教版九年级数学上册21.3.2实际问题与一元二次方程-增长率问题教案新人教版21.3.2实际问题与一元二次方程―增长率问题一、教学目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.二、课时安排1课时三、教学重点创建数学模型以化解增长率与减少率为问题四、教学难点正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.五、教学过程（一）导入新课小明自学非常深入细致，学习成绩直线下降，第一次月托福数学成绩就是80分后，第二次月托福快速增长了10%，第三次月托福又快速增长了10%，反问他第三次数学成绩就是多少？教师引导学生积极讨论，引入新课。
（二）讲授新课两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思索：（1）怎样认知上升额和上升率为的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品上升了元，此时成本为元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5000（1-x）=3000解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）（4）同样的方法恳请同学们尝试排序乙种药品的平均值上升率为,并比较哪种药品成本的平均值上升率为很大。
2设立乙种药品成本的平均值上升率仅y．则：6000（1-y）=3600整理，得：（1-y）=0.6Champsaur：y≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（5）思考经过计算，你能得出什么结论？小结：经过排序，成本上升额很大的药品，它的成本上升率为不一定很大，应当比较降前及再降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)＝b（增长取＋，降低取－）．（三）重难点通识科例2某公司2021年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．求解：设立这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x)+200(1+x)=950整理方程，得4x+12x-7=0，解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.答：这个增长率为50%.特别注意：增长率不容为负，但可以少于1.（四）归纳小结小结：1.列一元二次方程求解应用题的步骤：检、设立、打听、列于、求解、请问。
21.3实际问题与一元二次方程教案
21.3实际问题与一元二次方程教案篇一：21.3实际问题与一元二次方程教学设计教案教学准备1.教学目标知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程方法经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。
情感态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．2.教学重点/难点教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题教学难点：发现传播问题中的等量关系3.教学用具制作课件，精选习题4.标签教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、探索新知【问题情境】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？【分析】（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？【解答】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感。
于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．【思考】如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？【活动方略】教师提出问题学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．【设计意图】使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．三、例题分析例1、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．例2、参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？例3、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？【分析】（1）两题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比两题，它们有什么联系与区别？【活动方略】教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．学生活动：合作交流，讨论解答。
人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 同步训练题 含答案
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程同步训练题含答案人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程同步训练题1. 小明家前年的日常开支为3.26万元，去年提高了x%，如果今年的提高率与去年相同，那么预计今年的日常开支为( )A ．3.26(1＋2x)万元B ．3.26(1＋2x%)万元C ．3.26(1＋x)2万元D ．3.26(1＋x%)2万元2. 某果园2019年水果产量为100吨，2019年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( )A ．144(1－x)2＝100B ．100(1－x)2＝144C ．144(1＋x)2＝100D ．100(1＋x)2＝1443. 某中学九年级(1)班在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时，使植树总数达到1324棵，该班植树平均每年的增长率是( )A ．10%B ．100%C ．20%D ．231%4. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次．设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( )A ．x(x －10)＝10 B.x x －12＝10 C ．x(x ＋1)＝10 D ．x x ＋12＝105. 一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．96. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个7. 某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2550张相片．如果全班有x 名同学，根据题意列方程为 .18. 看下列一组数据：直线l上有2个点，共有1条构成的线段．直线l上有3个点，共有3条构成的线段．直线l上有4个点，共有6条构成的线段．(1)直线l上有n个点(n为正整数，n≥2)，共有12n(n－1)条构成的线段；(2)若直线l上有n个点构成的线段的条数为36条，则直线l上有多少个点？参考答案：1---6 DDABB C7. x(x－1)＝25508. 20%9. 1＋a＋a210. 1＋x＋x(1＋x)＝225或(1＋x)2＝22511. 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝19612. 913. 解：设一台电脑每轮感染给x台电脑，由题意得：(1＋x)2＝81，解得x1＝8，x2＝－10(不合题意，舍去)故每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．∵(1＋x)3＝(1＋8)3＝729＞700，∴若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．14. 设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，由题意，得：400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6.解得：x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.15. 解：设该市这两年(从2019年底到2019年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.16. 解：设该厂今年产量的月增长率为x ，根据题意，得：5(1＋x)2－5(1＋x)＝1.2，整理得：25x 2＋25x －6＝0，解得：x 1＝15＝20%，x 2＝－65(不合题意，舍去) 答：该厂今年产量的月增长率为20%.17. 解：设南瓜亩产量的增长率为x ，则种植面积的增长率为2x ，依题意，得 10(1＋2x)·2019(1＋x)＝60000解这个方程，得x 1＝0.5，x 2＝－2(不合题意，舍去)答：南瓜亩产量的增长率为50%.18. 解：依题意有12n(n －1)＝36即n 2－n －72＝0解得n 1＝9，n 2＝－8(舍去)答：直线l 上有9个点．。
人教版九年级数学上册第21章《 21.3 实际问题与一元二次方程》(1)
21.3 实际问题与 一元二次方程（1）
随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活 中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二 次方程解决与营销有关的问题.
第二十一章 一元二次方程
【例1】两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生 产1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步， 现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品 的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？
第二十一章 一元二次方程
1. 平均变化率问题常列方程：a(1±x)n=b.
其中a为基数，x为平均增长（降低）率，
n为增长(降低)次数，b为增长(降低)后的量.
2. 解决利润问题常用的关系有：
（1）利润＝售价－进价．
（2）利润率＝
利润 进价
×100% ＝售价进-价进价
×100%.
（3）售价＝进价(1＋利润率)．
第二十一章 一元二次方程
2.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植 3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利 减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？ 设每盆多植x株，则可以列出的方程是( A ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2元，于是有 5 000(1－x)2＝3 000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775.
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均 下降率约为22.5%.
第二十一章 一元二次方程
人教版九年级数学上册第21章 变化率问题和利润问题_教学课件
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年 平均下降率约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下 降率相同，都是22.5%.
新课讲解
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品， 它的成本下降率一定也大吗? 应怎样全面地比较几个 对象的变化状况?
答：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药 品， 它的成本下降率不一定较大.不但要考虑它们的 平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.
新课讲解
练一练
1 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为 315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分 率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的 是( B )
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
知识导航
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
知识导航
2022-2023学年九年级上数学：实际问题与一元二次方程(附答案解析)
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为 ，根据“一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感”，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再将其正值代入 中即可求出结论．
【答案】D
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去），
，
经过三轮传染后患流感的人数共有512个．
故选： ．
【精讲2】襄阳市要组织一次少年足球联赛，要求参赛的每两队之间都要进行两场比赛，共要比赛90场，则共有个队参加比赛．
【分析】设共有 个队参加比赛，利用比赛的总场数 参加比赛的队伍数 （参加比赛的队伍数 ，即可得出关于 的一元二次方程析】设这种商品每件涨价 元，则销售量为 件，根据“总利润 每件商品的利润 销售量”列出一元二次方程．
【答案】C
【解析】解：设这种商品每件涨价 元，则销售量为 件，
根据题意，得： ，
故选： ．
【精讲2】某水果店销售一种新鲜水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，为了扩大销售减少库存，水果店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每箱水果每降价5元，水果店平均每天可多售出20箱．
2022-2023学年九年级上数学第21章一元二次方程
21.3实际问题与一元二次方程
自学笔记：
设基准数为a，两次增长（或下降）后为b；增长率（下降率）为x，第一次增长（或下降）后为 ；第二次增长（或下降）后为 ．可列方程为 =b.
命题方向：
与增长率或下降率有关的一元二次方程的应用.
名师点拨：
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第21章 一元二次方程(教案)
21.3实际问题与一元二次方程第1课时一、教学目标【知识与技能】会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.【过程与方法】经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.【情感态度与价值观】通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】构建一元二次方程解决实际问题.【教学难点】会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（出示课件2）你能解决这个问题吗？（出示课件4）（二）探索新知出示课件5：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：（1）第一轮传染后共有人患了流感；（2）第二轮传染后共人患了流感.根据示意图，列表如下：（出示课件6）第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数传染源人数1最后师生共同完成解答过程：解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，列方程为1+x+(1+x)·x=121提取公因式，得(1+x)(1+x)=121,即(1+x)2=121.∴x1=10,x2=-12(不合题意，应舍去)，故平均一个人传染了10个人.教师强调：一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.想一想：如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?（出示课件7）师生共同分析：第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数生1口答：第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).生2口答：第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.思考：如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？（出示课件8）师生共同分析：传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第一轮第二轮第三轮第n轮达成共识：经过n轮传染后共有(1+x)n人患流感.出示课件9:例1某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?师生共同分析后解答如下：解：设每个支干长出x个小分支，由题意可列方程为1+x+x2=91,即x2+x-90=0.解得x1=9,x2=-10(不合题意，应舍去),答：每个支干长出9个小分支.出示课件10:引导学生思考并解答如下问题：1.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？答案：每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.2.解决这类传播问题有什么经验和方法？答案：（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.教师问：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？（出示课件11）学生自主思考后，教师归纳如下：出示课件12:电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？学生思考后自主解决.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意得6+6x+6x(1+x)=2400.6(1+x)²=2400.解得x1=19或x2=-21(舍去).答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.出示课件13:例2一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？引导学生积极思考，寻求出实际问题中所蕴含的等量关系，最后师生共同完成解答过程.解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得x(x-1)=72.化简，得x2-x-72=0.解方程，得x1=9，x2=-8（舍去）.答：这个小组共9人.出示课件14:生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？学生独立思考，自主探究，找出题目中的等量关系后自主解答：解：全组有x名同学，根据题意，得x（x-1）=182.解得x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.答：全组有14名同学.（三）课堂练习（出示课件15-22）1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4B．5C．6D．73.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=19804.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=735.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.76.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.7.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？参考答案：1.C2.C3.D4.B5.D6.107.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1(1) 6.x x-=2化简，得x2-x-12=0.解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.8.分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌.传染源本轮分裂成有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮6060x60(1+x)第二轮60(1+x)60(1+x)x60(1+x)2第三轮60(1+x)260(1+x)2x60(1+x)3解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌.60+60x+60(1+x)x=24000.x1=19，x2=-21（舍去）.因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.（四）课堂小结通过这节课的学习，你对传播类的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.（五）课前预习预习下节课（21.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.教师引导学生熟悉列一元二次方程解应用题的步骤，创设问题推导出列一元二次方程解应用题的步骤，有利于学生熟练掌握用一元二次方程解应用题的步骤.2.传播类和增长率问题是一元二次方程中的重点问题，本设计问题中反映出不同的“传播”和增长率，有利于学生更好地掌握这一问题.。
新人教版九年级上册 第21章 21.3实际问题与一元二次方程 教案
师生行为
点题，板书课 题.
教师提出问 题，并指导学 生进行阅读， 独立思考，学 生根据个人理 解，回答教师 提出的问题. 弄清题意，设 出未知数，并 表示相关量， 根据相等关系 尝试列方程， 求根.根据实 际问题要求， 对根进行选择 确定问题的 解.教师组织
二次备 课 .
1
○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例 相同，是什么含
学生合作交 流，达到共 识，
师生汇总生活 中常见的类似 问题，总结这 类题的做题技 巧.
教师提出问 题，让学生结 合画图独立理 解并解答问 题，培养学生 对几何图形的 分析能力，将 数学知识和实 际问题相结合 的 应用意识
教师总结，学 生体会
学生独立完 成，教师巡视 指导，了解学 生 掌握情况， 并集中订正
个面积为 8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一
样，则这个宽度为多少?
四小结 归纳
谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场•上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
教 学 目 标
教学重点 教学难点 教学过程设计
实际问题与一元二次方程
知识 技能
过程 方法 情感 态度
1.能根据○1 以流感为问题背景，按一定传播速度 逐步传播的问题；○2 以封面设计为问题背景，边衬 的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会 方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检 验结果是否合 理. 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清 实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数 量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要 相等关系，正确的建立一元二次方程. 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二 次方程的应用价值.
21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和变化率问题)九年级数学上册(人教版)
针针对对训训练练
一个人传染了几个人？
具体传播过程
【问题】如果按照这样的传播速度，第
三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有___1_2_1__个人患了流感,平
x
…
均每轮传染___1_0____人，则第三轮有_____1_2_1_0___人 患了流感。
一轮传染
121+121×10 = 1 331（人）
直接开方法
x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
复习巩固
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题 教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
人教版初中数学九年级上册第二十一章21.3.2平均变化率问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
用一元二次方程解决平均变化率问题
【问题1】思考,并填空：
1.某户的粮食产量年平均增长率为 10%,第一年的产量为6t,第二年的
产量为___________t,第三年的产量___________t.
2.某厂今年一月份的总产量为500吨,二月份的总产量为720吨,则第 一个月比第二个月产量增长_________,增长率是 __________.
2．解决“传播问题” 探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121
个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：
（1）本题中的数量关系是什么？ （2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是 多少？
2．解决“传播问题”
探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个 人？
种药品的成本是
元.
【问题2】你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
两年后： “变化率”问题公式：a(1±x)n=b
x为平均增长(或降低)百分率, a是增长(或降低)前的量, b是增长(或降低)n次后的量, 其中增长取“+”,降低取“－” 。
【例1】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙
设甲种药品成本的年平均下降率为 y
6000(1-y)2=3600
解得y1≈0.225,y2≈1.775(不合题意,舍去)
∴乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5%．
答：两种药品成本的年平均下降率一样大。
【例2】某公司去年的各项经营中,一月份的营业额为200万元 ,第一季度的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率 相同,求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【合作交流】——解决实际问题
◆B同学认为，不需要这么麻烦，只要分别计算 出两种药品成本的年平均下降额，然后进行比较 就可以得出结论。 解：甲种药品成本的年平均下降额为 （5 000 - 3 000 ） ÷ 2 = 1 000（元）， 乙种药品成本的年平均下降额为 （6 000 - 3 600） ÷ 2 = 1 200（元）． 因为： 1000 元 1200 元 所以，乙种药品成本的年平均下降额较大， 则乙种药品成本的年平均下降率也较大。
1001 x% 元. ___________
2
（2）一种产品原来的售价为a元,第一次降价x﹪后售
a1 x% 元,第二次再降价x﹪则售价为 价为_____________
a1 x% 元. ___________
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【自主学习】——分析平均变化率问题的数量关系
2.逐步提升 （1）某商场销售额3月份为16万元,
4．形成规律： 若平均增长(或降低)百分率为x, 若变化前的量为a, 变化n次后的量为b, 则它们的数量关系可表示为 2 _____________ a1 x b
【合作交流】——解决实际问题
探究2 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元， 生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的 年平均下降率较大？
【合作交流】——解决实际问题
◆很明显A、B两名同学的答案不一致，你认为， 哪位同学的做法正确？为什么？你从中获得了什么启示？ 两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较 大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示 绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才 能全面比较对象的变化状况．
【合作交流】——解决实际问题
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x 一年后甲种药品成本为 5 000（1 - x ） 元， 2 两年后甲种药品成本为 5 000（1 - x） 元． 2 列方程得 5 000（1 - x） =3 000 ． 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小 于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平均 下降率约为 22.5%． 类似于乙种药品成本年平均下降率的计算，由方程 2 6 000（1 - x） =3 600 解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225. 答：两种药品成本的年平均下降率相等。
【自主学习】——分析平均变化率问题的数量关系
1．基础演练：
1001 10% 1001 10%1 10% 第一次提价 第二次提价 110 原价100元 10%后 （ ）元 10%后 （ 121 ）元
（1）一种产品原来的售价为100元,第一次提价x﹪后
1001 x% 元,第二次再提价x﹪则售价为 售价为_____________
3．巩固成果： 某型号的手机连续两次降价, 每个售价由原来的1185元降到了580元, 设平均每次降价的百分率为x, 则列出方程正确的是( D ) A.580(1+x)2=1185 B.1185(1+x)2=580 C.580(1-x)2=1185 D.1185(1-x)2=580
【自主学习】——分析平均变化率问题的数量关系
【归纳小结】
你能概括一下“变化率问题”的基本特征 吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？
“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变； 解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、 变化后的数量，找出相应的等量关系．
【课堂检测】
1．市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格. 某种药品经过两次连续降价后,由每盒200元下调至128元,求 这种药品平均每次降价的百分率是多少? 2．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、 • 三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均 每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ） A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
九年级
上册
21.3 实际问题与一元二次方程（2） ——变化率问题
• 学习目标： 1.会建立一元二次方程的数学模型解决连续增长（或 下降）问题； 2.会全面地比较几个对象的变化状况。 • 学习重点： 会建立一元二次方程的数学模型解决连续增长（或下 降）问题 • 学习难点： 会全面地比较几个对象的变化状况。
若该商场每月销售额的平均增长率为a,
则5月份的销售额为16 ________ 1 a 万元.
2
（2）某商场销售额3月份为16万元,
若该商场每月销售额的平均增长率为a, 5月份的销售额为25万元.
2
161 a 25 则可列等式为_____________
【自主学习】——分析平均变化率问题的数量关系