2014鼓楼一模数学试卷
2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷(1)
2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷（1）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共56.0分)1.设全集U=R，集合A={x∈R|x2-2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B= ．【答案】[1，2)【解析】试题分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出A与B的交集即可．由A中的不等式变形得：x(x-2)＜0，解得：0＜x＜2，即A=(0，2)，由B中y=e x+1≥1，得到B=[1，+∞)，则A∩B=[1，2)．故答案为：[1，2)2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【答案】二【解析】试题分析：由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi(a，b∈R)的形式，则答案可求．由图可知z1=-2-i，z2=i，则=．该复数对应的点为(-1，2)，该点位于第二象限．故答案为二．3.已知平面区域D={(x，y)|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y=kx(k∈R)下方的概率为．【答案】【解析】试题分析：欲求直线y=kx(k∈R)下方的概率，则可建立关于x，y的直角坐标系，画出平面区域，再根据几何概型概率公式结合图形的对称性易求解．由题设知：区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知：直线y=kx将其面积平分，如图示，故所求概率为故答案为：．4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【答案】12【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出这个几何体是一个六棱柱，根据已知中正视图中及俯视图中所标识的数据，我们可以确定出棱柱的高，并根据割补法可求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可求出答案．由已知中三视图可以判断该几何体是一个底面如正视图所示的六棱柱由俯视图可得棱柱的高h=2，由割被法，可得棱柱的底面面积S=2•3=6故棱柱的体积V=2•6=12故答案为：125.定义某种运算⊗，a⊗b的运算原理如右图所示．设f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)．则f(2)= ；f(x)在区间[-2，2]上的最小值为．【答案】-2;-6【解析】试题分析：通过程序框图判断出S=a⊗b的解析式，再求出f(x)的解析式，从而求出f(2)的值；最后根据所求出f(x)的解析式结合图象求解f(x)在区间[-2，2]上的最小值即可．∵由流程图可知，运算S=a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴f(2)=(0⊗2)2-(2⊗2)=0×2-2=-2．且f(x)=(0⊗x)x-(2⊗x)=，画出它的图象，如图所示，由图可知，当x=-2时，f(x)在区间[-2，2]上的最小值为-6．故答案为：-2；-6．6.设a，b为正实数，现有下列命题：①若|-|=1，则|a-b|＜1；②若-=1，则a-b＜1；③若a2-b2=1，则a-b＜1；④若|a3-b3|=1，则|a-b|＜1．其中的真命题的个数为．【答案】2【解析】试题分析：①取a=4，b=1满足条件|-|=1，即可判断出；②取a=3，b=满足条件-=1，即可判断出；③由已知可得0＜a-b＜a+b，可得a-b=＜1；④由已知不妨设a＞b＞0，可得a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，进而得到a3-b3＞(a-b)3＞0，即可判断出．①若|-|=1，取a=4，b=1满足条件，而|a-b|=3＞1，因此①不正确；②若-=1，取a=3，b=满足条件，则a-b＞1，因此不正确；③∵a2-b2=1，∴(a-b)(a+b)=1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a-b＜a+b，∴a-b=＜1，因此正确；④∵|a3-b3|=1，a＞0，b＞0，∴a≠b，不妨设a＞b＞0．∴a2+ab+b2＞a2-2ab+b2＞0，∴(a-b)(a2+ab+b2)＞(a-b)(a-b)2即a3-b3＞(a-b)3＞0．∴1=|a3-b3|＞(a-b)3＞0，∴0＜a-b＜1，即|a-b|＜1．因此正确．综上可知：只有③④正确．故答案为：2．7.“cosα=”是“cos2α=”的．(填‘充分而不必要条件’，‘必要而不充分条件’，‘充要条件’‘既不充分也不必要条’)【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：根据余弦函数的倍角公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．故答案为：充分不必要条件．8.已知sinα=+cosα，且α∈(0，)，则的值为．【答案】-【解析】试题分析：由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．由sinα=+cosα，得到sinα-cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈(0，)，联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α-sin2α=-，sin(α-)=(sinα-cosα)=，则==-．故答案为：-9.若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是．【答案】(-∞，2)【解析】试题分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则f(x)不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．由题意得，即在定义域内，f(x)不是单调的．分情况讨论：(1)若x≤1时，f(x)=-x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2(2)x≤1时，f(x)是单调的，此时a≥2，f(x)为单调递增．最大值为f(1)=a-1故当x＞1时，f(x)=ax-1为单调递增，最小值为f(1)=a-1，因此f(x)在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是(-∞，2)故答案为：(-∞，2)10.四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥ABCD，，则该球的体积为．【答案】【解析】试题分析：由题意四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，求出对角线长顶点球的直径，求出球的体积．四棱锥P-ABCD，扩展为长方体，长方体的对角线的长就是外接球的直径，所以R==1，所以球的体积为：．故答案为：．11.在△ABC中，已知，sin B=cos A•sin C，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则xy的最大值为．【答案】3【解析】试题分析：由条件求得bccos A=9，bcsin A=6，tan A=，可得c=5，b=3，a=4，以AC 所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．设=，=，则=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，利用基本不等式求解最大值．△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b，∵sin B=cos A•sin C，sin(A+C)=sin C cosn A，即sin A cos C+sin C cos A=sin C cos A．∴sin A cos C=0，∵sin A≠0，∴cos C=0，C=90°．∵=9，S△ABC=6，∴bccos A=9，bcsin A=6，∴tan A=．根据直角三角形可得sin A=，cos A=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4．以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)．P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+(1-λ)=(3λ，4-4λ)(0≤λ≤1)．设=，=，则||=||=1，且=(1，0)，=(0，1)．∴=(x，0)+(0，y)=(x，y)，可得x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12，12=4x+3y≥2，解得xy≤3，故所求的xy最大值为：3．故答案为3．12.定义在R上的函数f(x)的图象过点M(-6，2)和N(2，-6)，且对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，则当不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)时，实数t的值为．【答案】2【解析】试题分析：根据对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，判断函数单调性，是R上的单调递减函数，根据绝对值不等式的解法解不等式|f(x-t)+2|＜4，利用函数的单调性即可求得实数t的值．∵对任意正实数k，有f(x+k)＜f(x)成立，∴函数f(x)在R上单调递减，∵f(-6)=2，f(2)=-6，|f(x-t)+2|＜4，∴-6＜f(x-t)＜2，即f(2)＜f(x-t)＜f(-6)，∴-6＜x-t＜2，即t-6＜x＜2+t，∵不等式|f(x-t)+2|＜4的解集为(-4，4)∴t=2．故答案为2．13.平面四边形ABCD中，AB=，AD=DC=CB=1，△ABD和△BCD的面积分别为S，T，则S2+T2的最大值是．【答案】【解析】试题分析：先利用余弦定理求出cos A和cos C的关系，再用含角A，C的面积公式求出S2+T2，进而转化为cos A的二次函数，即可求出最大值．由题意，∵∴∴S2+T2====∴时，S2+T2的最大值是故答案为：14.在直角坐标系x O y中，点P(x P，y P)和点Q(x Q，y Q)满足按此规则由点P 得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若=m，∠POQ=θ，其中O为坐标原点，则y=msin(x+θ)的图象在y轴右边第一个最高点的坐标为．【答案】(，)【解析】试题分析：先利用两点间的距离公式及已知的点变换公式，计算m的值，再利用向量夹角公式和点变换公式计算∠POQ=θ的值，最后利用三角函数的图象和性质，得函数的最高点坐标即可依题意，()2==m2∵∴=m2∴=m2∴m2=2，即m=∵∠POQ=θ，∴cosθ=====∵θ=∴函数y=msin(x+θ)即为y=sin(x+)∴此函数在y轴右边第一个最高点的坐标为(，)故答案为(，)二、解答题(本大题共12小题，共94.0分)15.已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD=16，AB=8，BB1=8，E，F分别是线段A1A，BC上的点．(1)若A1E=5，BF=10，求证：BE∥平面A1FD．(2)若BD⊥A1F，求三棱锥A1AB1F的体积．【答案】证明：(1)过E作EG∥AD交A1D于G，连接GF．∵=，∴=，∴EG=10=BF．∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．∴四边形BFGE是平行四边形．∴BE∥FG．又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，∴BE∥平面A1FD．(2)∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F=A1，∴BD⊥平面A1AF．∴BD⊥AF．∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，∴在R t△BAD中，tan∠ABD==2．在R t△ABF中，tan∠BAF==．∵BD⊥AF，∴∠ABD+∠BAF=，∴=，BF=4．∵在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，∴平面AA1B1B⊥平面ABCD，又平面ABCD∩平面AA1B1B=AB，∠ABF=90°，∴FB⊥平面AA1B1B，即BF为三棱锥FA1B1A的高．∵∠AA1B1=90°，AA1=BB1=8，A1B1=AB=8，∴S△AA1B1=32．∴V三棱锥A1AB1F=V三棱锥FA1B1A=×S△AA1B1×BF=．【解析】(1)欲证BE∥平面A1FD，只需证平面A1FD外一直线与平面A1FD内一直线平行，过E 作EG∥AD交A1D于G，连接GF，根据比例关系可证得四边形BFGE是平行四边形，则BE∥FG，又FG⊂平面A1FD，BE⊄平面A1FD，满足定理所需条件；(2)先证明FB⊥平面AA1B1B，从而BF为三棱锥FA1B1A的高，然后根据V三棱锥A1AB1F=V=×S△AA1B1×BF进行求解即可．三棱锥FA1B1A16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若=-，b=，求a+c的值；(2)求2sin A-sin C的取值范围．【答案】解：(1)∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=-，∴accos(π-B)=-，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2-2accos B，∴a2+c2-ac=3，即(a+c)2-3ac=3．∴(a+c)2=12，所以a+c=2．(2)2sin A-sin C=2sin(-C)-sin C=2(cos C+sin C)-sin C=cos C．∵0＜C＜，∴cos C∈(-，)．∴2sin A-sin C的取值范围是(-，)．【解析】(1)通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．(2)通过两角和公式对2sin A-sin C，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sin A-sin C 的取值范围．17.如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=．点M，N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合)．设∠AMN=θ．(1)用θ表示∠BA′M和线段AM的长度，并写出θ的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．【答案】解：(1)易知△AMN≌△A′MN，∴∠A′MA=2θ，则∠A′MB=180°-2θ，∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°，设MA=MA′=x，则MB=1-x，在R t△MBA′中，sin(2θ-90°)=-cos2θ=，∴MA=x==，∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴45°＜θ＜90°；(2)∵∠B=90°，AB=1，BC=，∴根据勾股定理得：AC=2，∴∠BAC=60°，在△AMN中，由∠AMN=θ，可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ，又MA=，∴根据正弦定理得：=，可得：AN==，令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(sinθ+cosθ)=sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-30°)，∵45°＜θ＜90°，∴60°＜2θ-30°＜150°，当且仅当2θ-30°=90°，θ=60°时，t有最大值，则θ=60°时，AN有最小值．【解析】(1)由折叠可知△AMN≌△A′MN，可得对应角相等，∠AMN=θ，可得出∠A′MA=2θ，在直角三角形A′MB，根据直角三角形的两锐角互余，即可表示∠BA′M，设MA=MA′=x，由AB=1，利用AB-AM表示出MB为1-x，R t△MBA′中，根据锐角三角函数定义用x表示出sin(2θ-90°)，求出x，利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简，即可表示出MA，同时由点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，可得出θ的取值范围；(2)在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，可得出AC=2AB，即∠ACB为30°，得出∠BAC为60°，在三角形AMN中，∠AMN=θ，利用三角形内角和定理表示出∠ANM，再由AM的长，利用正弦定理列出关系式，化简可得出AN=，设t=2sinθsin(120°-θ)，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，去括号后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由θ的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，可得出t的最大值，进而确定出AN的最小值．18.已知函数(1)求函数f(x)的对称轴方程；(2)当时，若函数g(x)=f(x)+m有零点，求m的范围；(3)若，，求sin(2x0)的值．【答案】解：(1)∵f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2令2x+可得：，∴对称轴方程为：，．(2)∵2x+∴∴∵函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解．即-m，m．(3)即2sin(+2=即sin(=∵∴又∵，∴∴∴===【解析】利用辅助角公式可得f(x)=sin2x+cos2x+2=2sin(2x+)+2(1)令2x+可得对称轴方程为：(2)由可得2x+，从而可得∴而函数g(x)=f(x)+m有零点，即f(x)=-m有解，可转化为y=f(x)与y=-m有交点，结合图象可得-m，m(3)由已知可得，结合可求，而利用两角差的正弦公式可求19.设数列{b n}满足：，b n+1=b n2+b n，(1)求证：；(2)若T n=++…+，对任意的正整数n，3T n-log2m-5＞0恒成立．求m的取值范围．【答案】解：(1)∵，b n+1=b n2+b n=b n(b n+1)，∴对任意正整数n＞0，有即：．(2)T n=()+()+…+()==2-．∵b n+1-b n=b n2＞0，∴bn+1＞bn，∴数列{b n}是单调递增数列．∴数列{T n}关于n递增．∴T n≥T1．∵，∴∴∴∵3T n-log2m-5＞0恒成立，∴log2m＜3T n-5恒成立，∴log2m＜-3∴．【解析】(1))要证明，只要能证b n+1=b n(b n+1)，而由已知：b n+1=b n2+b n，推导即可(2)由(1)可求得，结合数列的特点考虑利用裂项求和，从而可得数列{b n}是单调递增数列，最后将恒成立问题转化为最值问题求解即可20.设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)的两个极值点．(Ⅰ)若x1=-1，x2=2，求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若求的最大值；(Ⅲ)设函数g(x)=f(x)-a(x-x1)，x∈(x1，x2)，当x2=a时，求证：．【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，∴f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意有，(a＞0)解得a=6，b=-9，∴f(x)=6x3-9x2-36x．(Ⅱ)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，∴，∴，∴b2=3a2(6-a)，∵b2≥0，∴0＜a≤6，设p(a)=3a2(6-a)，则p′(a)=-9a2+36a，由p′(a)＞0，得0＜a＜4，由p′(a)＜0，得a＞4，即：函数p(a)在区间(0，4]上是增函数，在[4，6]上是减函数．∴当a=4时，p(a)有极大值为96，∴p(a)在(0，6]上的最大值是96.∴b的最大值是4．(Ⅲ)证明：∵x1，x2是方程f′(x)=0的两根，∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，∵，x2=a，∴，∴|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，∵x1＜x＜x2，即，∴，∴=-3a++≤=，∴|g(x)|≤成立．【解析】(Ⅰ)由f(x)=ax3+bx2-a2x(a＞0)，知f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，由′，(a＞0)，能求出函数f(x)的解析式．′(Ⅱ)由f′(x)=3ax2+2bx-a2，(a＞0)，依题意，x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，且，所以，由此能求出b的最大值．(Ⅲ)由x1，x2是方程f′(x)=0的两根，知f′(x)=3a(x-x1)(x-x2)，由，x2=a，知，故|g(x)|=|3a(x+)[3(x-a)-1]，由此能够证明|g(x)|≤．21.如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD．【答案】证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD．又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．【解析】(1)要证明l是⊙O的切线，可利用切线的判定定理，由于P点已经在圆上，故我们可以证明l与过P点的半径垂直，即可得到结论；(2)要想得到PB平分∠ABD，即证∠DBP=∠ABP，观察到已知中及(1)的结论中有多个垂直关系，又由AB为直径也可得到∠APB=90°，故可以结合弦切角定理，利用等量代换的思想解决问题．22.已知，点A在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为(-3，4)，求点A的坐标．【答案】解：根据题意知，在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵为：=，设A(a，b)，则由=，得，∴，即A(-2，3)．【解析】先根据旋转变换写出旋转变换矩阵，从而得出在变换T：′′作用后，再绕原点逆时针旋转90°后对应的矩阵．再设A(a，b)，求A点在此矩阵的作用下变换后的点，代入已知条件即可求得所求点A的坐标．23.求曲线C1：被直线l：y=x-所截得的线段长．【答案】解：由曲线C1：可得t=，∴x=，化简可得(x-1)2+y2=1表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．圆心到直线y=x-的距离为d==，故圆被直线解得的弦长为2=．【解析】把曲线的参数方程化为普通方程可得曲线表示以(1，0)为圆心，以r=1为半径的圆．求出圆心到直线y=x-的距离d，再由圆被直线解得的弦长为2求得结果．24.已知a、b、c是正实数，求证：++≥+．【答案】解：∵()2+()2+()2≥0即2•(++)-2•(++)≥0即2•(++)≥2•(++)∴++≥++．【解析】由实数平方的非负性可得()2+()2+()2≥0，利用不等式的性质，将其展开后，进行变形，即可证得结论．25.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小；(Ⅱ)求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．【答案】解：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，则，O(0，0，2)，M(0，0，1)(Ⅰ)设AB与MD所成的角为θ，∵，∴，∴AB与MD所成角的大小为(Ⅱ)∵，∴设平面OCD的法向量为，则，即，取，解得．易知平面OAB的一个法向量为．由图形知，平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值为【解析】(Ⅰ)作AP⊥CD于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，求出与，然后利用向量的夹角公式求出所求即可；(Ⅱ)先求平面OCD的法向量与平面OAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值．26.已知构成某系统的元件能正常工作的概率为p(0＜p＜1)，且各个元件能否正常工作是相互独立的．今有2n(n大于1)个元件可按如图所示的两种连接方式分别构成两个系统甲、乙．(1)试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率p1，p2；(2)比较p1与p2的大小，并从概率意义上评价两系统的优劣．【答案】解：(1)由图知，甲系统中每个通路能正常工作的概率为p n，故整个系统能正常工作的概率是p1=1-(1-p n)2=p n(2-p n)，乙系统每个小并联电路能正常工作的概率是p(2-p)，故整个系统能正常工作的概率是p2=p n(2-p)n．(2)由于p2-p1=p n[(2-p)n-(2-p n)]，故比较p1与p2的大小可通过比较[(2-p)n-(2-p n)]符号，当n=2时，有(2-p)2-(2-p2)=2(1-p)2＞0(0＜p＜1)．故有n=2时，(2-p)2＞2-p2，假设n=k时，有(2-p)k＞2-p k，当n=k+1时，(2-p)k+1-(2-p k+1)=(2-p)(2-p)k-(2-p k+1)=2(1-p)(2-p k)由于0＜p＜1，可得2(1-p)(2-p k)＞0，故有n=k+1时，(2-p)k+1＞(2-p k+1)，综上证得p2＞p1，由此结论知，在所用的电子器件数目一样的情况下，乙系统工作情况比甲系统更稳定，出现不正常工作的可能小，较可靠．【解析】(1)由题意及图知，甲系统是先串联再并联，可先求出每个串联的电路正常工作的概率再求整个系统能正常工作的概率，乙系统是先并联再串联，同理可求出整个系统能正常工作的概率；(2)由(1)的结果，对两个系统正常工作的概率进行比较即可，由于两个系统的概率与自然数n有关，可用数学归纳法证明。
2014年南京鼓楼一模数学卷解析
C. 【答案】A 基础知识点：三视图，正方形的展开图，小学奥数相关 难度：中等
D.
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分. 不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题 ．． 卷相应位置 上） ．．．．． ⒎ 3 的绝对值等于 . 【答案】3 基础知识点：有理数的绝对值 难度：简单
x 5 ⒈ 下列方程组中，解是 的是 y 1 x y 6 A. x y 4 x y 6 B. x y 6 x y 4 C. x y 6 x y 4 D. x y 4
【答案】C 基础知识点：二元一次方程，可以选择解方程，也可以选择带入数值进选项 难度：简单
700 600 500 400 300 200 100
2000 以下
2000~ 4000
4000~ 6000
6000~ 8000
8000 以上
月工资（元）
（第 21 题） （1）如果 1000 人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由： （2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图； （3）2012 年南京市城镇非私营单位月平均工资为 5034 元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反 映月收入情况是否合理?
1 n CO sin 2 1 1 n sin (CO AO) mn sin 2 2
基础知识点：三角函数应用与计算 难度： （1） （2）中等； （3）难 23.（8 分）如图，把长为 40cm，宽 30cm 的长方形硬纸板，剪掉 2 个小正方形和 2 个小长方形（阴影部分 即剪掉的部分） ，将剩余的部分拆成一个有盖 的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为 x cm.（纸板的厚度 ．． 忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为 （单位：cm） ； 2 （2）若折成的一个长方体盒子表面积是 950cm ，求此时长方体盒子的体积. 【解析】 （1） 30 2 x, 20 x, x （2） S
2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷(3)
2014年江苏省南京市鼓楼区清江花苑高考数学模拟试卷（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共8小题，共24.0分)1.已知A={x|1≤x≤2}，B={x|x2+2x+a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是______ ．【答案】a≥-8【解析】解：若A，B的交集是空集时，即x2+2x+a＜0在A={x|1≤x≤2}恒成立令f（x）=x2+2x+a因为对称轴为x=-1所以f（x）在A上递增所以f（2）＜0即可所以a＜-8所以A、B的交集不是空集时，实数a的取值范围是a≥-8故答案为a≥-8利用二次函数的图象，先求出A，B的交集是空集时a的范围，然后求出其补集即可．解决二次不等式恒成立求参数的范围问题，一般结合二次函数的图象列出不等式求出参数的范围．2.双曲线x2-=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为______ ．【答案】4【解析】解：由题得双曲线x2-=1的渐近线是：y=±2x圆x2+y2-6x-2y+1=0的标准方程为：（x-3）2+（y-1）2=9∴圆心（3，1），半径r=3．∴（3，1）到直线y=2x的距离d=．故有，得到弦长l=4；∵（3，1）到直线y=-2x的距离d=＞r，此时圆于直线相离．综上得：双曲线x2-=1的渐近线被圆x2+y2-6x-2y+1=0所截得的弦长为4．故答案为：4．求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论，再求弦长即可．本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．考查计算能力以及分类讨论能力．3.已知向量的模是，向量的模为1，与的夹角为，=3+2，=-，则以、为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是______ ．【答案】【解析】解：以、为邻边的平行四边行的两对角线之长可分别记为|+|，|-|∵+=（3+2）+（-）=4+．-=（3+2）-（-）=2+3．…（4分）∴|+|=|4+|===．…（8分）|-|=|2+3|===…（12分）∵＞．故答案为：．以、为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线分别为+，-，分别求出他们的模，然后进行比较，即可得到结论．本题考查向量的运算法则：平行四边形法则、向量的数量积的定义式以及向量的模计算公式．体现了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力，此题是个中档题．4.若x，y满足不等式组且z=2x+4y的最小值为-6，则k的值为______ ．【答案】【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：由于目标函数z=2x+4y的最小值是-6，可得直线x=3与直线-6=2x+4y的交点A（3，-3），使目标函数z=2x+4y取得最小值，将x=3，y=-3代入x+y-k=0得：k=0，故答案为：0．由目标函数z=2x+4y的最小值是-6，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程，解之即可得到k的取值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．5.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______ ．【答案】-9【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前01第一圈是-32第二圈是-3+63第四圈是-3+6-94第五圈是-3+6-9+125第六圈是-3+6-9+12-156第七圈否故最后输出的S值为：-3+6-9+12-15=-9．故答案为：-9．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算不满足循环条件n＜6时，输出变量S的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．求一个程序的运行结果我们常用模拟运行的方法，但在模拟过程中要注意对变量值的管理、计算及循环条件的判断．必要时可以用表格管理数据．6.lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数为______ ．【答案】6个【解析】解：方程lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数即函数y=6-lgx2与y=（|x|-2010）（|x|-2012）的交点的个数．由于这两个函数都是偶函数，图象关于y轴对称，只要求出当x＞0时的交点个数，再乘以2即得所求．当x＞0时，这两个函数的解析式即y=6-2lgx，y=（x-2010）（x-2012），如图所示：故当x＞0时，这两个函数的解析式即y=6-2lgx与y=（x-2010）（x-2012）有3个交点，（注意二次函数的图象可与y轴相交，而y=6-2lgx的图象不与y轴相交），故方程lgx2=6-（|x|-2010）（|x|-2012）的解的个数为6，故答案为：6个．本题即求函数y=6-lgx2与y=（|x|-2010）（|x|-2012）的交点的个数．由于这两个函数都是偶函数，图象关于y轴对称，只要求出当x＞0时的交点个数，再乘以2即得所求．结合图象可得结论本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的应用，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题7.已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．若f（a）=f（2012），则满足条件的最小的正实数a是______ ．【答案】92【解析】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…f（2012）=210f（）=211-2012=2048-2012=36=f（a）设a∈（2m，2m+1），则f（a）=2m+1-a=36∴a=2m+1-36∈（2m，2m+1）即m≥6，即a≥92，∴满足条件的最小的正实数a是92．故答案为：92．取x∈（2m，2m+1），得到∈（1，2]，f（）=2-，从而f（x）=2m+1-x，根据f（2012）=f（a）进行化简，能求出满足条件的最小的正实数a的值．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．8.函数y=的值域为______ ．【答案】[-，0]【解析】解：∵函数y=，它的定义域是{x|x≤1}，设=t，（t≥0）；∴x=1-t2，∴y==，当t=0时，y=0；当t＞0时，y=-＜0，∵t+≥2，∴≤，∴-≥-，即0＞y≥-；综上，y的值域为[-，0]．故答案为：[-，0]．由函数y=，设=t（t≥0），把函数化为关于t的函数，利用分类讨论思想，求出函数y的值域即可．本题考查了求函数值域的问题，解题时应根据函数的解析式的特征，利用换元法和分类讨论法，结合基本不等式，求出函数的值域，是易错题．三、填空题(本大题共5小题，共15.0分)10.如果一个正四位数的千位数a、百位数b、十位数c和个位数d满足关系（a-b）（c-d）＜0，则称其为“彩虹四位数”，例如2012就是一个“彩虹四位数”．那么，正四位数中“彩虹四位数”的个数为______ ．（直接用数字作答）【答案】3645【解析】解：当b＞a时，c＞d．a不能为零，所以a和b有36种组合，c和d有45种组合，共有36×45=1620个．当b＜a时，d＞c．a和b，c和d，都有45种组合，共有45×45=2025个．当b＞a时，c＞d，a和b有36种组合，c和d有45种组合，共有36×45=1620个．当b＜a时，d＜c，a和b，c和d，都有45种组合，共有45×45=2025个，相加即得所求．本题主要考查排列与组合及两个基本原理，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．11.己知实数a使得只有一个实数x满足关于x的不等式|x2+2ax+3a|≤2，求满足条件的所有的实数a的值______ ．【答案】1或2【解析】解：∵|x2+2ax+3a|≤2，即-2≤x2+2ax+3a≤2．又∵只有一个实数x满足关于x的不等式|x2+2ax+3a|≤2，∴有且只有一个实数x使x2+2ax+3a≤2成立．即有且只有一个实数x使x2+2ax+3a-2≤0成立，∴可知函数y=x2+2ax+3a-2的图象与x轴相切．∴根的判别式=4a2-4（3a-2）=0，所以a2-3a+2=0∴a=1或2．故答案为：1或2．将绝对值符号去掉，问题转化为有且只有一个实数x使x2+2ax+3a≤2成立，利用相应二次函数可知函数y=x2+2ax+3a-2的图象与x轴相切，从而使问题得解．本题的考点是一元二次不等式的应用，主要考查一元二次不等式的解法，考查三个二次之间的关系，有一定的综合性．12.在△ABC中，已知b=6，c=5，cos（C-B）=，则cos A= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，已知b=6，c=5，cos（C-B）=，作AD⊥BC，D为垂足．设BD=m，CD=n，AD=h，∠BAD=α，∠CAD=β，如图所示：则cos B cos C=，又cos B cos C=[cos（C-B）+cos（C+B）]=（-cos A），∴=（-cos A）．∴cos A=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-=-（-cos A），∴cos A=（-）．∵cos（C-B）=cos C cos B+sin C sin B=+=，52-m2=62-n2=h2，解得m h2=，∴cos A=（-）=（-）=．则cos B cos C==[cos（C-B）+cos（C+B）]=[-cos A]，再由cos A=cosαcosβ-sinαsinβ=-[-cos A]，求得cos A=（-）．再根据cos（C-B）=+=，52-m2=62-n2=h2，求得得m和h2的值，可得cos A的值．本题主要考查两角和差的三角公式、直角三角形中的边角关系，属于中档题．13.已知α、β为锐角，且，则tanαtanβ= ______ ．【答案】1【解析】解：已知α、β为锐角，且=•=（1+tan）（1+tan）=1+tan+tan+tan tan，故有tan+tan=1-tan tan，∴tan==1，∴=，∴α+β=，即α与β互为余角，则tanαtanβ=1，故答案为1．由已知条件利用三角函数的恒等变换化简可得tan+tan=1-tan tan，求得tan=1，可得α+β=，即α与β互为余角，由此可得tanαtanβ的值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题．14.在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为πi、cos（2t-）+isin（2t-）（i为虚数单位），则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是______ ．【答案】【解析】解：由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为（0，π），如图：t=时，点P的坐标为P1（，-）；当t=时，点P的坐标为P2（，）．向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面而△AP1P2的面积等于△OP1P2的面积（因为这两个三角形同底且等高），故向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积．由于∠P1OP2=2×=，∴扇形P1OP2的面积为等于××12=，故答案为：．当t=时，求得点P的坐标为P1（，-），当t=时，点P的坐标为P2（，），当直线AP和单位圆相切时，设切点为M，向量所扫过的图形区域的面积是△AP1P2的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形P1OP2的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积．本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，扇形的面积公式的应用，属于中档题．四、解答题(本大题共12小题，共144.0分)15.已知命题p：方程a2x2+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解．命题q：只有一个实数x 满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．【答案】解：由a2x2+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，显然a≠0，∴x=-或x=，∵方程a2x2+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解，故＞或＞∴-2＜a≤-1或1≤a＜2．只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，∴△=4a2-8a=0，解得a=0或a=2．∵命题“p或q”是假命题，∴命题p和命题q都是假命题，∴a的取值范围为{a|a≤-2或-1＜a＜0或0＜a＜1或a＞2}．【解析】若命题p真，即方程a2x2+ax-2=0在[-1，1]上有且仅有一解，可求得-2＜a≤-1或1≤a ＜2；若命题q真，即只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，由△=0可求得a=0或a=2，依题意，理解与运算能力，属于中档题．16.已知集合A={x|x2-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B=＜，（1）当a=2时，求A∩B；（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．【答案】解：（1）当a=2时，A={x|x2-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x2-9x+14=0}=（2，7），B=＜={x|＜}=（4，5），∴A∩B=（4，5）（2）∵B=（2a，a2+1），①当a＜时，A=（3a+1，2）要使B⊆A必须，此时a=-1，②当时，A=∅，使B⊆A的a不存在．③a＞时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，必须，此时1≤a≤3．综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{-1}．【解析】（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．本题考查了交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是对集合A的讨论，此题是中档题．17.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别写出用x表示y和S的函数关系式（写出函数定义域）；【答案】解：（1）由已知xy=3000，2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a=（2x-10）a=（2x-10）•=（x-5）（y-6）=3030-6x-，（其中6≤x≤500）；（2）占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+）≤3030-2=3030-2×300=2430；当且仅当6x=，即x=50时，“=”成立，此时x=50，y=60，S max=2430．即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【解析】（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6≤x≤500）；所以，运动场占地面积为S=（x-4）a+（x-6）a，整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030-6x-=3030-（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．本题以矩形的面积为函数模型，考查了列函数解析式，应用基本不等式求函数最值的问题，属于中档题目．18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A，F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点．（1）若P（-1，），PA是⊙O的切线，求椭圆C的方程；（2）是否存在这样的椭圆C，使得是常数？如果存在，求C的离心率，如果不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵P（-1，）在⊙O：x2+y2=b2上，∴b2=4．（2分）∴•=0即（-1，）•（-1+a，）=0，解得a=4．∴椭圆C的方程为（5分）（2）∵c2=a2-b2，A（-a，0），F（-c，0），P（x1，y1）使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（c+x1）2+y12]（λ是常数）∵x2+y2=b2即b2+2ax1+a2=λ（b2+2cx1+c2），（8分）比较两边，b2+a2=λ（b2+c2），a=λc，（10分）故cb2+ca2=a（b2+c2），即ca2-c3+ca2=a3，即e3-2e+1=0，（12分）（e-1）（e2+e-1）=0，符合条件的解有e=，即这样的椭圆存在，离心率为．（16分）【解析】（1）由P（-1，）在⊙O：x2+y2=b2上可求b，由PA是⊙O的切线可得，PA⊥OP 即•=0，根据向量的数量积可求b，进而可求椭圆C的方程（2）设F（c，0），由c2=a2-b2可求c，P（x1，y1），要使得是常数，则有（x1+a）2+y12=λ[（x1+c）2+y12]比较两边可得c，a的关系，结合椭圆的离心率的范围可求本题主要考查了由圆的切线的性质及向量的数量的基本运算求解椭圆的方程，椭圆的性质的应用，属于知识的综合性应用．19.已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，＞＜（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？【答案】解：（1）∵f（-1）=0，∴a-b+1=0①（1分）又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0且由知即4a-b2=0②由①②得a=1，b=2（3分）∴＞＜（5分）（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=，（7分）当或时，即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax2+1，∴＞＜，（11分）∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，∴|m|＞|-n|（13分）∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0，∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）【解析】（1）f（-1）=0⇒a-b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a-b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）-f（n）=a （m2-n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．20.已知数列{a n}，{b n}，且满足a n+1-a n=b n（n=1，2，3，…）．（1）若a1=0，b n=2n，求数列{a n}的通项公式；（2）若b n+1+b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．记c n=a6n-1（n≥1），求证：数列{c n}为常数列；（3）若b n+1b n-1=b n（n≥2），且a1=1，b1=1，b2=2．求数列{a n}的前36项和S36．【答案】解：（1）当n≥2时，有a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a n-a n-1）=a1+b1+b2+…+b n-1=2×1+2×2+…+2×（n-1）=2×=n2-n，又当n=1时此式也成立．∴数列{a n}的通项为a n=n2-n．∴数列{b n}是一个以6为周期的循环数列又∵b1=1，b2=2，∴b3=b2-b1=1，b4=b3-b2=-1，b5=b4-b3=-2，b6=b5-b4=-1．∴c n+1-c n=a6n+5-a6n-1=a6n+5-a6n+4+a6n+4-a6n+3+…+a6n-a6n-1=b6n+4+b6n+3+b6n+2+b6n+1+b6n+b6n-1=b4+b3+b2+b1+b6+b5=-1+1+2+1-1+-2=0（n≥1），所以数列{c n}为常数列．（3）∵b n+1b n-1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2，∴b3=2，b4=1，b5=，b6=，且对任意的n∈N*，有b n+6====b n，设c n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}，∴c n+1-c n=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=b1+b2+b3+b4+b5+b6=1+2+2+1++=7（n≥0）．所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．∵a1=1，a2=2，a3=4，a4=6，a5=7，a6=，∴数列{a n}的前36项和S36=6（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+6（7+14+21+28+35）=165+630=795．【解析】（1）利用“累加求和”和等差数列的前n项和公式即可求出；（2）通过已知条件先探究数列{b n}是一个以6为周期的循环数列，进而即可证明数列{c n}为常数列．（3）由条件探索出：数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，由此能求出数列{a n}的前36项和S36．熟练掌握等差数列的前n项和公式、“累加求和”、探究数列{b n}是一个以6为周期的循环数列，本题较好的考查了学生的探究能力和计算能力，本题有一点的难度．21.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AG•GF=DG•GE．【答案】证明：连接EF．∵B，C，F，E四点共圆，∴∠ABC=∠EFD．（2分）∵AD∥BC，∴A，D，F，E四点共圆．（8分）∵ED交AF于点G，∴AG•GF=DG•GE．（10分）【解析】连接EF．由B，C，F，E四点共圆，得∠ABC=∠EFD，从而可得A，D，F，E四点共圆，再根据相交弦定理即可解决问题．本题主要考查圆內接多边形的性质与判定以及圆中线段的相交弦定理，属于基础题．22.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵有特征值λ1=4及对应的一个特征向量，求曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．【答案】解：由题意得=，即2+3b=8，2c+6=12，解得b=2，c=3，所以．设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点P′（x′，y′），则′′，即′′，解之得′′′，代入5x2+8xy+4y2=1，得x′2+y′2=2．即曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程是x2+y2=2．…（10分）【解析】由矩阵M=有特征值λ1=4及对应的一个特征向量，可得=，即2+3b=8，2c+6=12，解得b，c值后可得矩阵M；再设曲线上任一点P（x，y），P在M作用下对应点为P′（x′，y′），利用矩阵变换得出两点坐标的关系式，代入曲线5x2+8xy+4y2=1后化简可得曲线5x2+8xy+4y2=1在M的作用下的新曲线方程．本题考查的知识点是特征值与特征向量的计算，熟练掌握矩阵的运算法则是解答的关键．23.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xoy的O点为极点，O x为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-）．直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【答案】解：l的直角坐标方程为y=+，ρ=2cos（θ-）的直角坐标方程为（x-）2+（y-）2=1，所以圆心（，）到直线l的距离d==，∴|AB|=2=2=．…（10分）【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-）的直角坐标方程，曲线C表示以（，）为圆心，以R=1为半径的圆，最后利用直线和圆的相交关系中弦长公式求解即可．本题考查了极坐标、直角坐标方程及参数方程的互化，圆中弦长计算方法等．属于基础题．24.设f（x）=x2-x+13，实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【答案】证明：∵f（x）=x2-x+13，∴|f（x）-f（a）|=|x2-x-a2+a|=|x-a|•|x+a-1|，∵实数a满足|x-a|＜1，∴|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|．又|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|＜1+|2a-1|≤1+|2|a|+1=2（|a|+1），∴|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．【解析】由题意可得，|f（x）-f（a）|=|x-a|•|x+a-1|＜|x+a-1|．再根据|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|，再利用条件以及绝对值不等式的性质证得结论．本题主要考查二次函数的性质，绝对值不等式的性质，属于基础题．25.在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是．（Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；（Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，则，且有，故，解得，．…（4分）（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，，．．所以随机变量X的分布列为：．…（10分）【解析】（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A、B、C，则，且有，解之可得；（Ⅱ）由题意，X=0，1，2，分别可得所对应的概率，可得X的分布列，由期望的定义可得期望．本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．26.已知数集A={a1，a2，…，a n}，其中0≤a1＜a2＜…＜a n，且n≥3，若对∀i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j-a i两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；（Ⅱ）已知数集A={a1，a2，…，a8}具有性质P．①求证：0∈A；②判断数列a1，a2，…，a8是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）∵对任意i，j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j-a i两数中至少有一个是该数列中的项，∴数列0，1，3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数；数列0，2，4，6，a j+a i与a j-a i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，∴数集{0，1，3}不具有性质P，数集{0，2，4，6}具有性质P；（Ⅱ）①证明：∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n∈N*，n≥3，∴a n+a n=2a n＞a n，则a n-a n=0=a1∈A，②∵A={a1，a2，…，a8}具有性质P，所以a8+a8与a8-a8中至少有一个属于A，由0≤a1＜a2＜…＜a8，有a8+a8＞a8，故a8+a8∉A，∴0=a8-a8∈A，故a1=0．∵0=a1＜a2＜…＜a8，∴a8+a k＞a8，故a8+a k∉A（k=2，3，…，8）．由A具有性质P知，a8-a k∈A（k=2，3，…，8）．又∵a8-a8＜a8-a7＜…＜a8-a2＜a8-a1，∴a8-a8=a1，a8-a7=a2，...，a8-a2=a7，a8-a1=a8，即a i+a9-i=a8（i=1，2，...，8）． (1)由a2+a7=a8知，a3+a7，a4+a7，…，a7+a7均不属于A，由A具有性质P，a7-a3，a7-a4，…，a7-a7均属于A，∴a7-a7＜a7-a6＜…＜a7-a4＜a7-a3＜a8-a3，∴a7-a7=0，a7-a6=a2，a7-a5=a3，...，a7-a3=a5，即a i+a8-i=a7（i=1，2...7）． (2)由（1）（2）可知a i=a8-a9-i=a8-（a7-a i-1）（i=1，2…7，8），即a i-a i-1=a8-a7（i=2，3，…，8）．故a1，a2，…a8构成等查数列．【解析】（Ⅰ）根据数列：a1，a2，…a n（0≤a1＜a2…＜a n），n≥3时具有性质P，对任意i，j （1≤i≤j≤n），a j+a i与a j-a i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证；（Ⅱ）①）根据a1、a2、…a n的大小关系和性质P，可得a n+a n=2a n＞a n，则a n-a n=0=a1∈A；②根据数集A={a1，a2…a8}具有性质P，可得a i+a9-i=a8，a i+a8-i=a7，由此可知a i=a8-a9-i=a8-（a7-a i-1），即a i-a i-1=a8-a7，从而得到a1，a2，…a8构成等查数列．本题考查数列的综合应用，考查等差关系的确定，等差数列的定义，新定义，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二、选择题(本大题共1小题，共3.0分)9.已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】B【解析】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，A，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除A；B，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A-BD-C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故B 正确；C，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除CD，由上所述，可排除D故选B先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，再分别筛选四个选项，若A成立，则需BD⊥EC，这与已知矛盾；若B成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故B成立；若C成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的；D显然错误本题主要考查了空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能力，有一定难度，属中档题。
江苏省南京市鼓楼区2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=．2．（3分）函数的定义域为．3．（3分）如图所示的对应中，是从A到B的映射有（填序号）．4．（3分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是．5．（3分）幂函数y=f （x）的图象过点（9，3），则f（2）=．6．（3分）不等式log0.2（x﹣1）≤log0.22的解集是．7．（3分）方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）的解是．8．（3分）函数y=（x﹣2）﹣1+1图象的对称中心是．9．（3分）函数y=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）的值域是．10．（3分）已知f（x）=ax3﹣bx+2，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=．11．（3分）函数y=log2x+x﹣2在（k，k+1）上有零点，则整数k=．12．（3分）函数y=f（x）为奇函数，且x∈[0，+∞）时，f（x）=x2﹣3x，则不等式＞0的解集为．13．（3分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a的取值范围是．14．（3分）已知函数f （x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f （b）=f （c），则abc的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．16．（8分）已知m=×，n=log316×log89，（1）分别计算m，n的值；（2）比较m，n的大小．17．（10分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．18．（10分）已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？19．（11分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．20．（11分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣1）x+b的最小值为﹣1，且f（0）=﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；（3）若关于x的方程|f（x）|2+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数m的取值范围．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B={1，2，3}．考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A与B，求出两集合的并集即可．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数的定义域为（﹣∞，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由函数的解析实可得3﹣2x＞0，解得x的范围，即可求得函数的定义域．解答：解：∵函数，∴3﹣2x＞0，解得x＜，故函数的定义域为（﹣∞，），故答案为（﹣∞，）．点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．3．（3分）如图所示的对应中，是从A到B的映射有（1）（3）（填序号）．考点：映射．专题：集合．分析：直接根据映射的概念判断即可．解答：解：根据映射概念：给出A，B两个非空集合及一个对应关系f，在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的像与之相对应．可见，从A 到B对应应该满足的是存在性与唯一性，可能是“一对一”或“多对一”，不能是“一对多”，由此可知命题（1）（3）正确，命题（2）违背存在性，（4）违背唯一性．因此（1）和（2）是正确结论，（3）与（4）是不正确的结论．故答案为：（1），（3）点评：本题考查映射的概念，属于基础题．4．（3分）已知a=20.3，b=20.4，c=log20.3，则a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵1＜a=20.3＜b=20.4，c=log20.3＜0，∴a，b，c按由大到小排列的结果是b，a，c．故答案为：b，a，c．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．5．（3分）幂函数y=f （x）的图象过点（9，3），则f（2）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的一般解析式y=x a，因为其过点（9，3），求出幂函数的解析式，从而求出f（2）；解答：解：∵幂函数的一般解析式y=x a，∵幂函数y=f（x）的图象过点（9，3），∴3=9a，解得a=，∴y=x2，∴f（2）=（2）2=，故答案为：点评：此题主要考查函数的值，以及幂函数的性质及其应用，是一道基础题；6．（3分）不等式log0.2（x﹣1）≤log0.22的解集是{x|x≥3}．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的单调性得到真数的不等式解之．解答：解：由已知，因为函数y=log0.2x为减函数，所以，解得{x|x≥3}；故答案为：{x|x≥3}点评：本题考查了对数函数的运用解决对数不等式；属于基础题7．（3分）方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）的解是{x|x=3}．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题设知2x+1=x2﹣2，求出的结果要进行验根．解答：解：由题设知2x+1=x2﹣2，解得x=3或x=﹣1，经检验得x=﹣1是增根．故答案为：x=3．点评：本题考查对法的运算法则，解题时要注意对数的定义域．8．（3分）函数y=（x﹣2）﹣1+1图象的对称中心是（2，1）．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数的解析式，根据函数图象的平移变换法则，我们要以得到函数的图象是由反比例函数的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，根据反比例函数的对称性，即可得到答案．解答：解：∵函数y=（x﹣2）﹣1+1=+1它的图象是由反比例函数y=的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的由于反比例函数y=的图象的对称中心为（0，0）故该函数的图象的对称中心为（2，1）故答案为（2，1）点评：本题考查的知识点是对称图形，函数图象的对称性，熟练掌握各种基本初等函数的图象和性质是解答本题的关键9．（3分）函数y=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）的值域是[8，+∞）．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：令t=，将函数换元为一元二次函数y=t2+2t，根据一元二次函数的单调区间直接求最值即可解答：解：∵y=（）2x+2×（）x（x≤﹣1），令=t，则t∈[2，+∞），∴原函数化为y=t2+2t=（t+1）2﹣1（t≥2）在[2，+∞）上是递增函数，∴y最小值=y（2）=8，故函数的值域是[8．+∞）故答案为：[8．+∞）点评：本题考查复合函数的值域问题，属于基础题．10．（3分）已知f（x）=ax3﹣bx+2，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：令g（x）=ax3﹣bx，根据奇函数的定义即可求出答案．解答：解：令g（x）=ax3﹣bx，则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，∴由f（﹣3）=g（﹣3）+2=﹣1得，g（﹣3）=﹣3，∴f（3）=g（3）+2=﹣g（﹣3）+2=5．故答案为：5点评：本题考查了奇函数的定义，是一道基础题．11．（3分）函数y=log2x+x﹣2在（k，k+1）上有零点，则整数k=1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：要判断函数f（x）=log2x+x﹣2的零点位置，我们可以根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间（a，b）上有零点，则f（a）与f（b）异号进行判断．解答：解：因函数y=log2x+x﹣2在（0，+∞）上单调递增且连续，而f（1）=log21+1﹣2＜0，f（2）=log22+2﹣2=1＞0，则f（1）f（2）＜0，故函数y=log2x+x﹣2的一个零点在区间（1，2）；所以k=1；故答案为：1．点评：本题考查了函数的零点，关键是根据零点存在定理：即连续函数在区间（a，b）上零点，则f（a）与f（b）异号，属于基础题．12．（3分）函数y=f（x）为奇函数，且x∈[0，+∞）时，f（x）=x2﹣3x，则不等式＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．考点：其他不等式的解法；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：求出f（x）=，转为＞0，即或求解即可．解答：解：∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵x∈[0，+∞）时，f（x）=x2﹣3x，∴设x＜0，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[x2+3x]=﹣x2﹣3x，（x＜0）∴f（x）=∵不等式＞0，∴＞0，∴或即x＞3或x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）点评：本题考查了函数的性质，解析式的求解，不等式的求解，属于中档题．13．（3分）函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，则a的取值范围是[0，]．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，当a=0时满足条件；当a≠0时，则由求得a的范围．综合可得a的取值范围．解答：解：由于函数f（x）=ax2+4（a﹣3）x+5在区间（﹣∞，2）上是减函数，当a=0时，f（x）=﹣12x+5，满足条件．当a≠0时，则有，解得0＜a≤．综上可得，0≤a≤，故答案为：[0，]．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．14．（3分）已知函数f （x）=，若a，b，c互不相等，且f （a）=f （b）=f （c），则abc的取值范围是（2，）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先画出图象，再根据条件即可求出其范围．不妨设a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得﹣log2a=log2b=﹣3c+7，由此可确定abc的取值范围．解答：解：不妨设a＜b＜c，根据已知画出函数图象：∵f（a）=f（b）=f（c），∴﹣log2a=log2b=﹣3c+7，∴log2（ab）=0，0＜﹣3c+7＜1，解得ab=1，2＜c＜，∴2＜abc＜．故答案为：（2，）．点评：本题考查分段函数，考查绝对值函数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）已知集合A={x|3≤x＜10}，集合B={x|2x﹣8≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：（1）求解一次不等式化简集合B，然后直接进行并集运算；（2）首先进行交集运算，然后进行补集运算．解答：解：（1）由A={x|3≤x＜10}，B={x|2x﹣8≥0}={x|x≥4}．∴A∪B={x|3≤x＜10}∪{x|x≥4}={x|x≥3}．（2）A∩B={x|3≤x＜10}∩{x|x≥4}={x|4≤x＜10}．∴∁R（A∩B）={x|x＜4或x≥10}．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．16．（8分）已知m=×，n=log316×log89，（1）分别计算m，n的值；（2）比较m，n的大小．考点：对数的运算性质；对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：（1）直接利用根式的运算法则求出m，对数的运算法则求出n．（2）直接利用中间量3，即可比较m，n的大小．解答：解：（1）m=×==…（2分）n=log316×log89==．…（4分）（2）m=＞31=3…（6分）而n＜3．所以n＞m．…（8分）点评：本题考查对数的运算法则换底公式的应用，根式的运算，基本知识的考查．17．（10分）已知y=f（x）（x∈R）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式f（x）≥mx在1≤x≤2时都成立，求m的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，由f（x）为偶函数，求得此时f（x）=f（﹣x）的解析式，从而得到函数f（x）在R上的解析式．（2）由题意得m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立，而在1≤x≤2时，求得（x﹣2）min=﹣1，由此可得m的取值范围．解答：解：（1）当x＜0时，有﹣x＞0，∵f（x）为偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，∴f（x）=．（2）由题意得x2﹣2x≥mx在1≤x≤2时都成立，即x﹣2≥m在1≤x≤2时都成立，即m≤x﹣2在1≤x≤2时都成立．而在1≤x≤2时，（x﹣2）min=﹣1，∴m≤﹣1．点评：本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．18．（10分）已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=t和Q=．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，那么y=P+Q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，可得结论．．解答：解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50﹣m）万元，…（2分）所以，销售电脑获得的利润为y=P+Q=（50﹣m）+（0≤m≤50）．…（4分）令u=，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y=﹣u2+u+=﹣（u﹣4）2+．…（8分）当u=4，即m=16时，y取得最大值为．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为万元．…（10分）点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．19．（11分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求a的值；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）解不等式：f（log2x）≤．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用f（0）=0即可得出；（2）利用函数单调性的定义即可得出；（3）令f（x）=，解得x=2．于是f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．再利用函数的单调性即可得出．解答：（1）解：f（x）的定义域为R．∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，∴a=1．（2）证明：易得f（x）=1﹣．设x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）==．∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0．∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）为R上的增函数．（3）令f（x）=，解得x=2．∴f（log2x）≤即f（log2x）≤f（2）．∵f（x）为R上的增函数，∴log2x≤2．∴0＜x≤4．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（11分）已知函数f（x）=ax2+（a﹣1）x+b的最小值为﹣1，且f（0）=﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；（3）若关于x的方程|f（x）|2+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数m的取值范围．考点：二次函数的性质；函数图象的作法；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=﹣1，求得b的值，再根据f（x）的最小值为﹣1，求得a的值，可得函数f（x）的解析式．（2）画出函数y=|f（x）|=|x2﹣1|的图象如图：（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程t2+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t2+mt+2m+3，再分h（x）的零点有一个为1和h（x）的零点不是1两种情况，分别求出m的范围，综合可得结论．解答：解：（1）∵f（0）=﹣1，∴b=﹣1．由题意得a＞0，∵f（x）=ax2+（a﹣1）x﹣1的最小值为﹣1，∴=﹣1，∴a=1．∴f（x）=x2﹣1．（2）函数y=|f（x）|=|x2﹣1|的图象如图：（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程t2+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t2+mt+2m+3．①当方程t2+mt+2m+3=0有一个根为1时，令h（1）=0，m=﹣．而当m=﹣时，t=或t=1，不符题意，舍去．②当方程t2+mt+2m+3=0没有根为1时，由解得﹣＜m＜﹣，∴实数m的取值范围为（﹣，﹣）．点评：本题主要考查二次函数的性质，带有绝对值的函数，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
鼓楼区2013-2014学年度第一学期期中七年级(上)期中试卷数学参考答案
原式=－3（－a2＋4ab－2b2）
=3a2－12ab＋6b2……………………………4分
19.（7分）
（1）………………………2分
（2）解：去分母，得3（5x+1）=4（2x－1）－4…………………………………3分
去括号，得15x+3=8x－4－24………………………………………4分
移项，得15x－8x=－3－4－24…………………………………………5分
10．－2a2b11．答案不唯一12．－713．答案不唯一
14．− 1115．8+2（x－3）=1616．3n＋3
三、解答题（本大题共12小题，共68分）
17．（12分）
(1)解：－6+(－) +9－(－0.75)；
=－6－+9+0.7……………………………………………3分
（2）解：（－2)3－32
=－8－9………………………………………………………………2分
=－17………………………………………………………………3分
（3）解：（＋－）×（－36）；
=－18－30+21………………………………………………………………2分
=－37………………………………………………………………3分
（2）当m=4，n=3，a=1，b=2时，
mn－πa2－bm＋2ab
=12－3－8＋2×2……………………………………………………5分
=5．……………………………………………………6分
22．(8分)
（1）原点…………………………………………………………1分
（2）①它本身；它的相反数；……………………………………………………………3分
【解析版】南京市鼓楼区2014-2015年八年级上期末数学试卷
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．4的平方根是（）A．±2 B． 2 C．﹣2 D． 162．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列问题中，适合用普查的是（）A．了解初中生最喜爱的电视节目B．了解某班学生数学期末考试的成绩C．估计某水库中每条鱼的平均重量D．了解一批灯泡的使用寿命4．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，AB=A1B1，下列添加的条件中，不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（） A． AC=A1C1 B．∠C=∠C1 C． BC=B1C1 D．∠B=∠B15．如图，一次函数y1=x+b与y2=kx﹣2的图象相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b ＞kx﹣2的解集是（）A． x＜﹣2 B． x＞﹣2 C． x＜﹣1 D． x＞﹣16．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（A． 1006 B． 1007 C． 1509 D． 1511二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．= ；= ．8．一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为．9．已知点A坐标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为，到原点距离为．10．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是．11．如图是某超市2013年各季度“加多宝”饮料销售情况折线统计图，根据此统计图，用一句话对此超市该饮料销售情况进行简要分析：．12．在△ABC中， AB=c，AC=b，BC=a，当a、b、c满足时，∠B=90°．13．比较大小，2.0 2.020020002…（填“＞”、“＜”或“=”）．14．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为．15．如图，A、C、E在一条直线上，DC⊥AE，垂足为C．已知AB=DE，若根据“HL”，△ABC≌△DEC，则可添加条件为．（只写一种情况）16．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为．三、解答题（共10小题，满分68分）17．求下列各式中的x：（1）25x2=36；（2）（x﹣1）3+8=0．18．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h．19．某校准备在校内倡导“光盘行动”，随机调查了部分同学某年餐后饭菜的剩余情况，调查数据的部分统计结果如表：某校部分同学某午餐后饭菜剩余情况调查统计表项目人数百分比没有剩8040%剩少量a20%剩一半50b剩大量3015%合计200100%a= ，b= ．（2）把条形统计图补充完整，并画出扇形统计图；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的学生该午餐浪费的食物可以供20人食用一餐，据此估算，这个学校1800名学生该午餐浪费的食物可供多少人食用一餐？20．已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE=DF．21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，4）、（﹣1，2），点B坐标为（﹣2，1）．（1）请在图中正确地作出平面直角坐标系，画出点B，并连接AB、BC；（2）将△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后，再沿x轴翻折得到△DEF，画出△DEF；（3）点P（m，n）是△ABC的边上的一点，经过（2）中的变化后得到对应点Q，直接写出点Q的坐标．22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；（2）求证：EF垂直平分AD．23．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）两种计量之间有如下对应：…010********…摄氏温度x华氏…32506886104122…温度y如果华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．（1）求出该一次函数表达式；（2）求出华氏0度时摄氏约是多少度（精确到0.1℃）；（3）华氏温度的值可能小于其对应的摄氏温度的值吗？如果可能，请求出x的取值范围，如不可能，说明理由．24．已知：△ABC是等边三角形．（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形；（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．25．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．26．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．4的平方根是（）A．±2 B． 2 C．﹣2 D． 16考点：平方根．分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．解答：解：∵（±2 ）2=4，∴4的平方根是±2．故选：A．点评：本题主要考查平方根的定义，解题时利用平方根的定义即可解决问题．2．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，故正确；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故错误．故选A．点评：本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．3．下列问题中，适合用普查的是（）A．了解初中生最喜爱的电视节目B．了解某班学生数学期末考试的成绩C．估计某水库中每条鱼的平均重量D．了解一批灯泡的使用寿命考点：全面调查与抽样调查．分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．解答：解：A、了解初中生最喜爱的电视节目，被调查的对象范围大，适宜于抽样调查，故A错误；B、了解某班学生数学期末考试的成绩适宜于普查，故B正确；C、估计某水库中每条鱼的平均重量，适宜于抽样调查，故C错误；D、了解一批灯泡的使用寿命，具有破坏性，适宜于抽样调查，故D错误；故选：B．点评：本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠A=∠A1，AB=A1B1，下列添加的条件中，不能判定△ABC≌△A1B1C1的是（） A． AC=A1C1 B．∠C=∠C1 C． BC=B1C1 D．∠B=∠B1考点：全等三角形的判定．分析：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．解答：解：A、符合全等三角形的判定定理SAS，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；B、符合全等三角形的判定定理AAS，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；C、不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项正确；D、符合全等三角形的判定定理ASA，即能推出△ABC≌△A1B1C1，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生对判定定理的理解能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．如图，一次函数y1=x+b与y2=kx﹣2的图象相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b ＞kx﹣2的解集是（）A． x＜﹣2 B． x＞﹣2 C． x＜﹣1 D． x＞﹣1考点：一次函数与一元一次不等式．分析：观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b ＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．解答：解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故选：D．点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6．如图，在平面直角坐标系中，一个点从A（a1，a2）出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此一直运动下去，则a2014+a2015+a2016的值为（A． 1006 B． 1007 C． 1509 D． 1511考点：规律型：点的坐标．分析：由题意得即a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，观察得到数列的规律，求出即可．解答：解：由直角坐标系可知A（1，1），B（﹣1，2），C（2，3），D（﹣2，4），E（3，5），F（﹣3，6），即a1=1，a2=1，a3=﹣1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=﹣2，a8=4，…，由此可知，所有数列偶数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数除以2，则a2014=1007，a2016=1008，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第1奇数和第2个奇数是互为相反数，且从﹣1开始逐渐递减的，则2016÷4=504，则a2015=﹣504，则a2014+a2015+a2016=1007﹣504+1008=1511．故选：D．点评：本题主要考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于基础题．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．= 3 ；= ﹣3 ．考点：立方根；算术平方根．专题：计算题．分析：原式利用平方根，立方根定义计算即可．解答：解：原式=3；原式=﹣3．故答案为：3；﹣3．点评：此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．8．一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的函数表达式为y=2x+3 ．考点：一次函数图象与几何变换．分析：原常数项为0，沿y轴正方向平移3个单位长度是向上平移，上下平移直线解析式只改变常数项，让常数项加3即可得到平移后的常数项，也就得到平移后的直线解析式．解答：解：∵一次函数y=2x的图象沿y轴正方向平移3，∴新函数的k=2，b=0+3=3，∴得到的直线所对应的函数解析式是y=2x+3．故答案为y=2x+3．点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，用到的知识点为：上下平移直线解析式只改变常数项，上加下减．9．已知点A坐标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为 3 ，到原点距离为．考点：点的坐标；勾股定理．分析：根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得第一个空的答案，根据点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值，可得答案．解答：解：已知点A坐标为（﹣2，﹣3），则点A到x轴距离为 3，到原点距离为，故答案为：3，．点评：本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到原点的距离是横坐标、纵坐标的平方和的绝对值．10．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是P ．考点：估算无理数的大小；实数与数轴．分析：先估算出的取值范围，再找出符合条件的点即可．解答：解：∵4＜7＜9，∴2＜＜3，∴在2与3之间，且更靠近3．故答案为：P．点评：本题考查的是的是估算无理数的大小，熟知用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解答此题的关键．11．如图是某超市2013年各季度“加多宝”饮料销售情况折线统计图，根据此统计图，用一句话对此超市该饮料销售情况进行简要分析：从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势．考点：折线统计图．分析：由折线统计图可以看出，从第一季度到第三季度，此超市该饮料销售逐渐上升，第三季度达到最高峰，从第三季度到第四季度，销售快速下降．解答：解：由题意可得，从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势．故答案为从第一季度到第四季度，此超市该饮料销售呈先升后降的趋势．点评：本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．12．在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．考点：勾股定理的逆定理．分析：根据勾股定理的逆定理可得到满足的条件，可得到答案．解答：解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．故答案为：a2+c2=b2．点评：本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握当两边平方和等于第三边的平方时第三边所对的角为直角是解题的关键．13．比较大小，2.0＞ 2.020020002…（填“＞”、“＜”或“=”）．考点：实数大小比较．分析： 2.0=2.0222222…，再比较即可．解答：解：2.0＞2.020020002…故答案为：＞．点评：本题考查了实数的大小比较的应用，注意：2.0=2.0222222…．14．已知方程组的解为，则一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．考点：一次函数与二元一次方程（组）．分析：二元一次方程组是两个一次函数变形得到的，所以二元一次方程组的解，就是函数图象的交点坐标．解答：解：∵方程组的解为，∴一次函数y=﹣x+1和y=2x﹣2的图象的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．15．如图，A、C、E在一条直线上，DC⊥AE，垂足为C．已知AB=DE，若根据“HL”，△ABC≌△DEC，则可添加条件为BC=CE ．（只写一种情况）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出∠ACB=∠DCE=90°，根据HL推出即可，此题答案不唯一，也可以是AC=DC．解答：解：BC=CE，理由是：∵DC⊥CE，∴∠ACB=∠DCE=90°，在Rt△ABC和Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），故答案为：BC=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．16．已知点A（1，5），B（3，1），点M在x轴上，当AM﹣BM最大时，点M的坐标为（，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：连接AB并延长与x轴的交点M，即为所求的点．求出直线AB的解析式，求出直线AB和x轴的交点坐标即可．解答：解：设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（1，5），B（3，1）代入得：，解得：k=﹣2，b=7，即直线AB的解析式是y=﹣2x+7，把y=0代入得：﹣2x+7=0，x=，即M的坐标是（，0），故答案为（，0）．点评：本题考查了轴对称，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的应用，关键是找出M的位置．三、解答题（共10小题，满分68分）17．求下列各式中的x：（1）25x2=36；（2）（x﹣1）3+8=0．考点：立方根；平方根．分析：（1）先两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先移项，再根据立方根定义开方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）25x2=36，5x=±6，x1=，x2=﹣；（2）（x﹣1）3+8=0，（x﹣1）3=﹣8，x﹣1=﹣2，x=﹣1．点评：本题考查了立方根和平方根的应用，解此题的关键是能关键定义得出一个或两个一元一次方程．18．如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h．考点：勾股定理的应用．分析：在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出h的值．解答：解：在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2，∵AC=2.5m，BC=1.5m，∴AB==2m，即梯子顶端离地面距离h为2m．点评：本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．19．某校准备在校内倡导“光盘行动”，随机调查了部分同学某年餐后饭菜的剩余情况，调查数据的部分统计结果如表：某校部分同学某午餐后饭菜剩余情况调查统计表项目人数百分比没有剩8040%剩少量a20%剩一半50b剩大量3015%合计200100%（1）根据统计表可得：a= 40 ，b= 25% ．（2）把条形统计图补充完整，并画出扇形统计图；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的学生该午餐浪费的食物可以供20人食用一餐，据此估算，这个学校1800名学生该午餐浪费的食物可供多少人食用一餐？考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．分析：（1）根据没剩余的人数是80，所占的百分比是40%，即可求得总人数，然后利用百分比的定义求得a、b的值；（2）求得剩少量的人数，求得对应的百分比，即可作出扇形统计图；（3）利用1800除以调查的总人数，然后乘以20即可．解答：解：（1）统计的总人数是：80÷40%=200（人），则a=200×20%=40，b=×100%=25%；（2）剩少量的人数是：200﹣80﹣50﹣30=40（人），扇形统计图是：；（3）×20=180（人）．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．已知：如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边上的高相等证明．解答：证明：如图，连接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（全等三角形对应边上的高相等）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．21．（6分）（2014秋•南京期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，4）、（﹣1，2），点B坐标为（﹣2，1）．（1）请在图中正确地作出平面直角坐标系，画出点B，并连接AB、BC；（2）将△ABC沿x轴正方向平移5个单位长度后，再沿x轴翻折得到△DEF，画出△DEF；（3）点P（m，n）是△ABC的边上的一点，经过（2）中的变化后得到对应点Q，直接写出点Q的坐标．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．分析：（1）以点B向下2个单位，向右1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后确定出点B，再连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C平移、对称后的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；（3）根据向右平移横坐标加，纵坐标不变，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数解答．解答：解：（1）如图所示；（2）△DEF如图所示；（3）点Q（﹣m﹣5，﹣n）．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的定义，准确找出对应点的位置是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若四边形AEDF的周长为24，AB=15，求AC的长；（2）求证：EF垂直平分AD．考点：直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=AB，DF=AF=AC，然后求出AE+DE=AB，再求解即可；（2）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线证明．解答：（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE=AE=AB，DF=AF=AC，∴AE+DE=AB=15，AF+DF=AC，∵四边形AEDF的周长为24，AB=15，∴AC=24﹣15=9；（2）证明：∵DE=AE，DF=AF，∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线的性质，熟记性质是解题的关键．23．世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度（℉）两种计量之间有如下对应：摄氏温…010********…度x华氏…32506886104122…温度y如果华氏温度y（℉）是摄氏温度x（℃）的一次函数．（1）求出该一次函数表达式；（2）求出华氏0度时摄氏约是多少度（精确到0.1℃）；（3）华氏温度的值可能小于其对应的摄氏温度的值吗？如果可能，请求出x的取值范围，如不可能，说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可；（2）当y=0时代入（1）的解析式求出其解即可；（3）由华氏温度的值小于其对应的摄氏温度的值建立不等式求出其解即可．解答：解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y=1.8x+32．答：一次函数表达式为y=1.8x+32；（2）当y=0时，1.8x+32=0，解得：x=﹣≈﹣18.9．答：华氏0度时摄氏约是﹣18.9℃；（3）由题意，得1.8x+32＜x，解得：x＜﹣．答：当x＜﹣时，华氏温度的值小于其对应的摄氏温度的值．点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，一元一次不等式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．24．已知：△ABC是等边三角形．（1）用直尺和圆规分别作△ABC的角平分线BE、CD，BE，CD交于点O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）过点C画射线CF⊥BC，垂足为C，CF交射线BE与点F．求证：△OCF是等边三角形；（3）若AB=2，请直接写出△OCF的面积．考点：作图—复杂作图；等边三角形的判定与性质．分析：（1）利用直尺和圆规即可作出；（2）根据等边三角形的每个角的度数是60°，以及三角形的内角和定理，证明∠F=∠FCO=60°即可证得；（3）作OG⊥BC于点G，△OBC是等腰三角形，利用三角函数求得OC的长，则△OCF的面积即可求得．解答：解：（1）BE、CD就是所求；（2）∵BE是∠ABC的平分线，∴∠FBC=∠ABC=×60°=30°，同理，∠BCD=30°．∵CF⊥BC，即∠BCF=90°，∴∠F=∠FCO=60°，∴△OCF是等边三角形；（3）作OG⊥BC于点G．∵∠FBC=∠DCB=30°，∴OB=OC，∴CG=BC=AB=1，∴OC===．则S等边△OCF==．点评：本题考查了等边三角形的性质以及判定，和尺规作图，正确求得OC的长度是本题的关键．25．一辆快车和一辆慢车分别从A、B两地同时出发匀速相向而行，快车到达B地后，原路原速返回A地．图1表示两车行驶过程中离A地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象．（1）直接写出快慢两车的速度及A、B两地距离；（2）在行驶过程中，慢车出发多长时间，两车相遇；（3）若两车之间的距离为skm，在图2的直角坐标系中画出s（km）与x（h）的函数图象．考点：一次函数的应用．分析：（1）由速度=路程÷时间就可以得出结论，由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由一次函数与二元一次方程组的关系就可以求出结论；（3）先求出两车相遇的时间，找到关键点的坐标就可以画出图象．解答：解：（1）由题意，得，A、B两地距离之间的距离为2250km，快车的速度为：2250÷10=225km/h，慢车的速度为：2250÷30=75km/h；（2）设OA的解析式为y=kx，AB的解析式为y1=k1x+b1，CD的解析式为y2=k2x+b2，由题意，得2250=10k，，，解得：k=225，，，∴y=225x，y1=﹣225x+4500，y2=﹣75x+2250当225x=﹣75x+2250时，x=7.5．当﹣225x+4500=﹣75x+2250时，解得：x=15．答：慢车出发7.5小时或15小时时，两车相遇；（3）由题意，得7.5小时时两车相遇，10时时，两车相距2.5（225+75）=750km，15时时两车相遇，20时时两车相距750km，由这些关键点画出图象即可．点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，作函数图象的运用，解答时求出函数的解析式是关键．26．由小学的知识可知：长方形的对边相等，四个角都是直角．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=9，在它的边上取两个点E、F，使得△AEF是一个腰长为5的等腰三角形，画出△AEF，并直接写出△AEF的底边长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，并在图中相应的位置标出底边的长，如果图形不够用，请自己画出）．考点：矩形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理．分析：分点A是顶角顶点和底角顶点两种情况作出图形，然后过点E作EG⊥AD于G，利用勾股定理列式求出AG：①点A是顶角顶点时，求出GF，再利用勾股定理列式计算即可得解；②点A是底角顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得AF=2AG．解答：解：如图，过点E作EG⊥AD于G，由勾股定理得，AG==3，①点A是顶角顶点时，GF=AF﹣AG=5﹣3=2，由勾股定理得，底边EF==2，②点A是底角顶点时，底边AF=2AG=2×3=6，综上所述，底边长为2或6．点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．。
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷及答案解析
2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合1．（2分）能与﹣2相加得0的数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（2分）下列正确的是（）A．B．C．D．3．（2分）整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为（）A．5B．6C．7D．84．（2分）下列图形是三棱柱展开图的（）A．B．C．D．5．（2分）若m≠n，则下列化简一定正确的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（）A．3环以下（含3环）的人数B．4环以下（含4环）的人数C．5环以下（含5环）的人数D．6环以下（含6环）的人数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）若x+2y＝5，则3x+6y﹣1的值是．8．（2分）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）计算+的结果是．10．（2分）若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是．11．（2分）若＝a4（a为大于1的整数），则n的值是．12．（2分）一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是．13．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为．14．（2分）如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是．15．（2分）关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m（m＞1）的两根之和是．16．（2分）如图，已知点A（1，0）、B（5，0），点C在y轴上运动．将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内17．（7分）解不等式组．18．（7分）计算．19．（8分）现有甲、乙、丙、丁四人随机分成A、B两组，每组两人，求下列事件的概率．（1）甲在A组；（2）甲、乙都在A组．20．（8分）函数y＝x+m与的图象相交于A（2，1）、B两点．（1）求m及k的值；（2）结合函数图象，直接写出的解集．21．（8分）以下是某地近年来PM2.5年均值和全年空气优良率统计表：年份项目20192020202120222023 PM2.5年均值（单位：微克/立方米）3935312928空气优良天数比例70%75%80%83%85%（1）与上一年相比，PM2.5年均值变化率最大的是（▲）A．2020B．2021C．2022D．2023（注：①空气优良天数比例＝×100%；②变化率＝×100%）（2）请在图中绘制恰当的统计图反映空气优良天数情况；（3）请结合上述图表中信息，写出一个不同于（1）的结论．22．（8分）小刚和小强分别从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇．相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地．求两人的行进速度．23．（8分）在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD．（1）如图，若AB＝CB，求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝CD，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举反例．24．（8分）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆AB和灯管支架BC两部分构成，现测得灯管支架BC 与灯杆AB的夹角∠ABC＝127°，同学们想知道灯管支架BC的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：测量项目测量数据从D处测得灯杆顶部B处仰角αα＝37°从E处测得灯杆支架C处仰角ββ＝63°26'；两次测量之间的水平距离DE＝5.1m灯杆的高度AB＝8.1m求灯管支架BC的长度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，tan63°26′≈2.00）25．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F．（1）求证：AC＝BC；（2）连接AO并延长交BC于点E，若AO＝5，OF＝3，求OE的长．26．（8分）在平面直角坐标系，二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度得到点B，点B恰好也在该函数的图象上．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）已知点M（1，1﹣a），N（3，﹣3）．①若函数图象恰好经过点M，求a的值；②若函数图象与线段MN只有一个交点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．27．（10分）数学的思考如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．数学的眼光（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；数学的表达（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合1．【分析】根据有理数的加法法则逐项计算判断即可．【解答】解：A、2+（﹣2）＝0，故此选项符合题意；B、﹣2+（﹣2）＝﹣4，故此选项不符合题意；C、+（﹣2）＝，故此选项不符合题意；D、+（﹣2）＝，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．2．【分析】根据二次根式的性质判断即可．【解答】解：A.，错误，不符合题意；B.，正确，符合题意；C.，错误，不符合题意；D.，错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．3．【分析】先将3.7231×1011化成原数，再看原数中的个数即可．【解答】解：3.7231×1011＝372310000000．则原数中0的个数为7．故选：C．【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法与原数之间的换算是解题的关键．4．【分析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．【解答】解：三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个矩形．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．5．【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．【解答】解：A．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意；B．当m＝2，n＝5时，＝﹣，＝，即，故本选项不符合题意；C．当m＝2，n＝3时，＝，＝，即，故本选项不符合题意；D．＝，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值不变）是解此题的关键．6．【分析】根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题．【解答】解：由题意和条形图可得，3环以下（含3环）的人数为：2+3+5＝10，故选项A不符合题意，∵射击成绩的中位数是5环，一共35人，4球以下的人数为10人，由图可知，4球的人数超过6人，∴4环以下（含4环）的人数为：2+3+5+7＝17，故选项B不符合题意，5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意，6环以下（含6环）的人数为：35﹣1＝34，故选项D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．【分析】将3x+6y﹣1转化为3（x+2y）﹣1再整体代入计算即可．【解答】解：∵x+2y＝5，∴3x+6y﹣1＝3（x+2y）﹣1＝3×5﹣1＝14．故答案为：14．【点评】本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键．8．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．9．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝+2＝3．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．10．【分析】直接利用圆锥的侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，＝πrl＝2×1×π＝2π，∴S侧故答案为：2π．【点评】本题考查了圆锥的侧面积计算公式，牢记公式是解答本题的关键，难度不大．11．【分析】根据合并同类项法则进行化简后可得a•a n＝a n+1＝a4，计算出n值即可．【解答】解：根据题意得：a•a n＝a n+1＝a4，∴n+1＝4，∴n＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握同类项概念是关键．12．【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．【解答】解：由平均数的公式得：（x+2+3）÷3＝3，解得：x＝4，∴方差＝×[（4﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2]＝．故答案为：．【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．13．【分析】由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD的交点为E，则∠ABE＝．结合矩形的性质可得，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADB＝24°，进而可得∠ABD＝66°，则∠ABE＝33°，根据∠1＝∠A+∠ABE可得答案．【解答】解：由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD的交点为E，如图，则∠ABE＝．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝24°，∴∠ABD＝90°﹣24°＝66°，∴∠ABE＝＝33°，∴∠1＝∠A+∠ABE＝90°+33°＝123°．故答案为：123°．【点评】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．【分析】根据正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OF、OG，则OF＝OG＝4，过点G作GM⊥OF于点M，∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴∠FOG＝＝45°，在Rt△OGM中，∠GOM＝45°，OG＝4，∴OM＝GM＝OG＝2，＝OF•GM＝×4×2＝4，∴S△FOG＝8S△FOG＝32．∴S正八边形ABCDEFGH故答案为：32．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键》15．【分析】先设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x1，x2，然后把关于x的方程化成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可．【解答】解：设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x1，x2，（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m，x2﹣2nx+n2+2x﹣2n+2﹣m＝0，x2+（2﹣2n）x+n2﹣2n+2﹣m＝0，x1+x2＝﹣（2﹣2n）＝2n﹣2，故答案为：2n﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于x的方程转化成一般形式．16．【分析】由“SAS“可证△CAO≌△DAH，可得∠AHD＝∠COA＝90°，则点D在过点H且垂直于AH 的直线上运动，由矩形的性质和直角三角形的性质可求解．【解答】解：以AO为边作等边三角形AOH，连接HD，∵点A（1，0）、B（5，0），∴OA＝1，AB＝4，∵△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝OH，∠OAH＝60°，∵将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，∴AD＝AC，∠CAD＝60°＝∠OAH，∴∠OAC＝∠DAH，∴△CAO≌△DAH（SAS），∴∠AHD＝∠COA＝90°，∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，∴当BD⊥DH时，BD有最小值，此时，如图，过点A作AN⊥BD于N，∵∠AHD＝90°，AN⊥BD，DB⊥HD，∴四边形AHDN是矩形，∴AH＝DN＝1，∠HAN＝90°，∴∠BAN＝30°，∴BN＝AB＝2，∴BD＝DN+BN＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内17．【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．【解答】解：由2x﹣1＞x+1得：x＞2，由＜x﹣1得：x＜5，则不等式组的解集为2＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．【分析】先算括号里面的，再算加法即可．【解答】解：＝÷＝•＝．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．19．【分析】（1）由题意可得所有等可能的结果，以及甲在A组的结果，再利用概率公式可得答案．（2）由题意可得所有等可能的结果，以及甲、乙都在A组的结果，再利用概率公式可得答案．【解答】解：将甲、乙、丙、丁四人随机分成A、B两组，每组两人，所有等可能的结果有：（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），（乙丙，甲丁），（乙丁，甲丙），（丙丁，甲乙），共6种．（1）甲在A组的结果有：（甲乙，丙丁），（甲丙，乙丁），（甲丁，乙丙），共3种，∴甲在A组的概率为＝．（2）甲、乙都在A组的结果有：（甲乙，丙丁），共1种，∴甲、乙都在A组的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．20．【分析】（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式求出m、k值即可；（2）先求出两个函数解析式，再求出交点坐标，最后根据图象直接写出不等式的解集即可．【解答】解：（1）将点A（2，1）坐标分别代入两个解析式得：2+m＝1，1＝，∴m＝﹣1，k＝2．（2）由（1）可知，直线解析式为：y＝x﹣1，反比例函数解析式为：y＝，联立方程组，解得：，，∴A（2，1），B（﹣1，﹣2），函数图象如下：由图象可知不等式的解集为：x＞2或﹣1＜x＜0．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．21．【分析】（1）分别求出2020年，2021年，2022年，2023年变化率，再比较即可作出选择；（2）先求出这五年的空气优良天数，再绘制折线统计图即可；（3）根据折线统计图的特点写出一个结论即可．【解答】解：（1）2020年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈10.26%，2021年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈11.43%，2022年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈6.45%，2023年PM2.5年均值变化率为＝×100%≈3.45%，∵11.43%＞10.26%＞6.45%＞3.45%，∴2021年PM2.5年均值变化率最大，故选：B．（2）2019年全年空气优良天数为：365×70%≈256（天），2020年全年空气优良天数为：365×75%≈274（天），2021年全年空气优良天数为：365×80%＝292（天），2022年全年空气优良天数为：365×83%≈303（天），2023年全年空气优良天数为：365×85%≈310（天），可绘制折线统计图如下：（3）答案不唯一，比如：这五年空气优良天数逐年增加．【点评】本题考查统计表，折线统计图，理解题意，明确不同统计图的作用是解题的关键．22．【分析】设小强的行进速度为x km/h，则小刚的行进速度为（x+12）km/h，利用路程＝速度×时间，结合小强2h走过的路程和小刚0.5h骑行的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出小强的行进速度，再将其代入（x+12）中，即可求出小刚的行进速度．【解答】解：设小强的行进速度为x km/h，则小刚的行进速度为＝（x+12）km/h，根据题意得：0.5（x+12）＝2x，解得：x＝4，∴x+12＝4+12＝16（km/h）．答：小刚的行进速度为16km/h，小强的行进速度为4km/h．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．23．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，求得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定定理得到AD∥BC，等量代换得到AD＝BC，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；（2）具备这些条件的四边形可能的等腰梯形．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∵AB＝CB，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：（1）中结论不成立，如图，∵AB＝AD＝CD，BD平分∠ABC，但四边形ABCD是等腰梯形．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．【分析】延长AB，EC交于F，根据三角函数的定义得到AE＝AD﹣DE＝5.7（m），BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，根据平行线的性质得到∠FCH＝∠FEA＝β，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：延长AB，EC交于F，在Rt△ADB中，tanα＝，∴tan37°＝≈0.75，∴AD＝10.8m，∵DE＝5.1m，∴AE＝AD﹣DE＝5.7（m），在Rt△AEF中，tanβ＝，∴≈2.00，∴AF＝11.4m，∴BF＝AF﹣AB＝3.3（m），过C作CH⊥AF于H，∴∠CHF＝CHB＝90°，∴CH∥AE，∴∠FCH＝∠FEA＝β，∵∠ABC＝127°，∴∠CBH＝53°，∴∠BCH＝37，∴FH＝CH•tanβ，BH＝CH•tanα，∴BF＝BH+FH＝CH•tanβ+CH•tanα＝CH•（0.75+2）＝3.3，解得CH＝1.2m，∴BC＝＝＝1.5（m），答：灯管支架BC的长度为1.5m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．25．【分析】（1）根据垂径定理即可得出点C为弧AB的中点，再根据弧、弦、圆心角的关系定理即可证得；（2）延长AE交⊙O于点G，连接BG，先证FC∥GB，得到△COE∽△BGE，再求出OC、OG、BG 的长，即可求出OE的长．【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴AC＝BC；（2）解：延长AE交⊙O于点G，连接BG，∵AG为直径，∴∠ABG＝90°，∵CD⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ABG＝∠AFC，∴△COE∽△BGE，∴，∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，即点F为AB的中点，∵点O为AG的中点，∴OF为△ABG的中位线，∴OF＝，∵OF＝3，∴GB＝6，∵AO＝5，∴OC＝OG＝5，∴，∴OE＝．【点评】本题考查了圆周角定理及推论，垂径定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，涉及的知识点比较多，需熟练掌握．26．【分析】（1）先求得点A的坐标，再根据平移的性质得到点B的坐标，根据A、B关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；（2）①根据对称轴公式求得b＝﹣4a，则y＝ax2﹣4ax﹣a，代入M（1，1﹣a）即可求得a的值；②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣bx﹣a的图象与y轴交于点A，∴A（0，﹣a），点A向右平移4个单位长度，得到点B（4，﹣a），∴点B（4，﹣a）；∵A与B关于对称轴x＝2对称，∴抛物线对称轴x＝2；（2）①∵对称轴x＝2，∴y＝ax2﹣4ax﹣a，∵函数图象恰好经过点M（1，1﹣a），∴1﹣a＝a﹣4a﹣a，∴a＝﹣；将x＝1代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，将x＝3代入y＝ax2﹣4ax﹣a得y＝﹣4a，②当a＞0时，抛物线开口向上，∴﹣3≤﹣4a，解得a≤，故0＜a，当a＜0时，抛物线开口向下，∴1﹣a≥﹣4a，解得a，故﹣≤a＜0，综上，若函数图象与线段MN只有一个交点，a的取值范围是0＜a或﹣≤a＜0．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠BDP2+∠P2，即可解答．（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．（4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．【解答】解：（1）如图，连接BD，∴∠P1＝∠ADB∵∠ADB是△BDP2的外角，∴∠ADB＝∠BDP2+∠P2，∴∠ADB＞∠P2，∴∠P1＞∠P2；（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，∵点C在直线l上，设点C（a，﹣a+5），∴，PC＝﹣a+5．∵AC＝PC，∴，∴2a2﹣5a+4＝0，解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为；（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，如图，∵AE是⊙C直径，∴∠PAE＝90°，∴∠E+∠EPA＝90°，∵⊙C与x轴相切于点P，∴PC⊥x轴，∴∠APD+∠EPA＝90°，∴∠E＝∠APD，又∵∠E＝∠B，∴∠APD＝∠B，∵∠PDA＝∠BDP，∴△PDA∽△BDP，∴PD2＝DA•DB，∵A（0，2）、B（3，5），∴，，∴，即，∴，∴P点的坐标为；（4）提供三种作法如下：方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在右图中构造；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．【点评】本题考查圆的综合应用，主要考查了垂径定理，作图，掌握垂径定理是解题的关键。
2014年江苏南京鼓楼区初三一模数学试卷
2014年江苏南京鼓楼区初三一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列方程组中，解是x=−5,y=1的是 A. x+y=6,x−y=4 B.x+y=6,x−y=−6 C.x+y=−4,x−y=−6 D.x+y=−4,x−y=−42. 计算2×−9−18×16−12的结果是 A. −24B. −12C. −9D. 63. 利用表格中的数据，可求出 3.24+4.1232−190的近似值是（结果保留整数） a a2a10a 17289 4.12313.038 18324 4.24313.416 19361 4.35913.784A. 3B. 4C. 5D. 64. 把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为 A. 90∘B. 84∘C. 72∘D. 88∘5. 反比例函数y=kx 和正比例函数y=mx的部分图象如图所示．由此可以得到方程kx=mx的实数根为 A. x=1B. x=2C. x1=1，x2=−1D. x1=1，x2=−26. 如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是 A. B.C. D.二、填空题（共10小题；共50分）7. −3的绝对值等于______．+8×2= ______．8. 12有意义的x的取值范围是______．9. 使1x+210. 2×1032×3×10−3= ______．（结果用科学记数法表示）11. 已知⊙O1，⊙O2没有公共点．若⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O2的半径可以是______．（写出一个符合条件的值即可）12. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90∘，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4 cm，AD=5 cm，则梯形ABCD的周长为 ______ cm．13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70∘，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1= ______ ∘．14. 某科研机构对我区 400 户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了表格中的数据，其中（男，女）代表第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为______．类别数量 户 男,男101 男,女99 女,男116 女,女84合计40015. 如图，⊙O 的半径是 5，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB ，BC ，AC 的垂线，垂足为 E ，F ，G ，连接 EF ．若 OG =2，则 EF 为______．16. 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使 A 与 DC 边的中点 M 重合，折痕为 EF ；②翻折纸片，使 C 落在 ME 上，点 C 的对应点为 H ，折痕为 MG ；③翻折纸片，使 B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与 H 重合，折痕为 GE ．AB BC= ______．三、解答题（共6小题；共78分） 17. （6分）计算：2x 2−4−12x−4．18. 解不等式组 5+3x >18,x3≤4−x−22. 并写出不等式组的整数解．19. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 在对角线 BD 上，且 BF =DE ．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AB =2，BF =1，求四边形 AECF 的面积．20. 甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序．（1）求甲第一位出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．21. 为了解南京市2012年市城镇非私营单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇非私营单位随机抽取了1000人进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：月工资x 元频数人x<2000602000≤x<40006104000≤x<60001806000≤x<800050x≥8000100合计1000（1）如果1000人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理?请说明理由；（2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图；（3）2012年南京市城镇非私营单位月平均工资为5034元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理?22. （1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60∘，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S△ABC；（3）如图③，四边形ABCD，若AC=m，BD=n，对角线AC，BD交于O点，它们所成的锐角为β．求四边形ABCD的面积S四边形ABCD ．答案第一部分 1. C 2. B 3. C 4. B 5. C6. A第二部分7. 3 8. 5 9. x ≠−2 10. 1.2×10411. 0.5（答案不唯一，满足 0<r <1 或 r >9 即可） 12. 22 13. 40 14. 417:383 15. 16. 2 第三部分17.原式=2x +2 x−2 −12 x−2 =2−x 2 x +2 x−2 =−12x +4.18. 5+3x >18, ⋯⋯①x 3≤4−x−22. ⋯⋯②解不等式 ①，得x >133,解不等式 ②，得x ≤6.所以原不等式组的解集为133<x ≤6.它的整数解为 5，6．19. （1） 连接 AC ，AC 交 BD 于点 O ． ABCD 中，OB =OD ，OA =OC ，AC ⊥BD ． ∵BF =DE ，∴OB −BF =OD −DE ，即 OF =OE ． ∴ 四边形 AECF 是平行四边形． 又 ∵AC ⊥EF ，∴ 平行四边形 AECF 是菱形． （2） ∵AB =2，∴AC =BD = AB 2+AD 2=2 2． ∴OA =OB =BD 2= 2．∵BF =1，∴OF =OB −BF = 2−1．∴S 四边形AECF =12AC ⋅EF =12×2 2×2 2−1 =4−2 2．20. （1） 所有可能出现的结果如下：第一位出场第二位出场第三位出场结果甲乙丙 甲,乙,丙 甲丙乙 甲,丙,乙乙甲丙 乙,甲,丙 乙丙甲 乙,丙,甲 丙甲乙 丙,甲,乙 丙乙甲丙,乙,甲以上共有 6 种等可能的结果．其中甲第一位出场的结果有 2 种，甲比乙先出场的结果有 3 种．所以 P 甲第一位出场 =26=13． （2） P 甲比乙先出场 =36=12．21. （1） 不合理．因为如果 1000 人全部在金融行业抽取，那么全市城镇非私营单位员工被抽到的机会不相等，样本不具有代表性和广泛性．（2）（3） 用平均数反映月收入情况不合理．由数据可以看出 1000 名被调查者中有 670 人的月收入不超过 4000 元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理． 22. （1） 如图①，过点 A 作 AH ⊥BC ，垂足为 H ． Rt △AHC 中，AHAC =sin60∘， ∴AH =AC ⋅sin60∘=4×32=2 3．∴S △ABC =12×BC ×AH =12×6×2 3=6 3． （2） 如图②，过点 A 作 AH ⊥BC ，垂足为 H ． Rt △AHC 中，AHAC =sin α， ∴AH =AC ⋅sin α=b sin α． ∴S △ABC =12×BC ×AH =12ab sin α．（3） 如图③，分别过点 A ，C 作 AH ⊥BD ，CG ⊥BD ，垂足为 H ，G ． Rt △AHO 与 Rt △CGO 中，AH =OA sin β，CG =OC sin β； 于是，S △ABD =12×BD ×AH =12n ×OA sin β； S △BCD =12×BD ×CG =12n ×OC sin β；∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1n×OA sinβ+1n×OC sinβ=12n×OA+OC sinβ=12mn sinβ.。
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区八年级(下)期末数学试卷
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷一.选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列式子中，x可以取1和2的是（）A．B．C． D．4．（2分）下列说法不正确的是（）A．“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件B．“任意打开数学教科书八年级下册，正好是第50页”是不可能事件C．“把4个球放入三个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有2个球”是必然事件D．“在一个不透明的袋子中，有5个除颜色外完全一样的小球，其中2个红球，3个白球，从中任意摸出1个小球，正好是红球”是随机事件5．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是（）A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．106．（2分）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x 轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y=（k＞0）的图象上，若S1﹣S2=2，则k值为（）A．1 B ．C．2 D．4二.填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3），则k 的值为．8．（2分）当x=时，分式的值为零．9．（2分）写出一个含x的分式，使得当x=2时，分式的值是3．这个分式可以是：．10．（2分）若关于x的方程+2=有增根，则k=．11．（2分）在两只不透明的袋子中，各有10个除颜色外完全一样的小球．第一个袋子中有2个红球、8个白球，第二个袋子中有8个红球、2个白球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，则第个袋子中摸出白球的可能性大．12．（2分）若的小数部分为m，则代数式m（m+4）的值为．13．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件时，四边形BEDF是正方形．14．（2分）已知反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是．15．（2分）一次函数y=kx+b与反比例函数y=中，若x与y的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1123…y=kx+b…54310﹣1…y=…13﹣3﹣﹣1…则关于x的不等式≤kx+b的解集是．16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则m的值是．三.解答题（共68分）17．（6分）计算：（1）+3﹣；（2）××．18．（8分）（1）计算：﹣﹣1（2）解方程：﹣=1．19．（5分）先化简÷（x﹣），再从﹣2、﹣1、0、1、2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．20．（6分）如图，在△ABC中，P、M、Q分别是AB、BC、AC的中点．（1）求证：四边形APMQ是平行四边形；（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形APMQ是菱形？21．（5分）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到红球的次数m5996118290480601摸到红球的频率0.590.580.600.601（1）完成上表；（2）“摸到红球”的概率的估计值是（精确到0.1）（3）试估算袋子中红球的个数．22．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．23．（6分）某工厂接到600件体恤衫的生产订单，为了尽快完成任务，该工厂实际每天生产体恤衫的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天生产体恤衫多少件？24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=3x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点P是反比例函数y=图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．25．（10分）四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；②求证：AC=CE+CG；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；（3）直接写出∠FCG的度数．26．（10分）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y=的图象是怎样的呢？经验：（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：①由数想到形﹣﹣﹣﹣先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．②描点画图﹣﹣﹣﹣根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．（2）我们知道，函数y=的图象是如图所示的两条曲线，一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．探索：请你根据以上经验，研究函数y=的图象和性质并解决相关问题．（1）由数想形：（2）描点画图：①列表：x……y……②画图：应用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b=；（4）直接写出当≥﹣2时x的取值范围．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】化简各选项后，根据同类二次根式的定义判断．【解答】解：A、与不是同类二次根式，错误；B、与是同类二次根式，正确；C、与不是同类二次根式，错误；D、与不是同类二次根式，错误；故选B【点评】此题考查同类二次根式问题，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．注意只有同类二次根式才能合并．3．（2分）下列式子中，x可以取1和2的是（）A．B．C． D．【分析】利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进而分析求出即可．【解答】解：A、，则x﹣1≥0，故x≥1，即x可以取1和2，故此选项正确；B、，则x﹣2≥0，故x≥2，即x不可以取1，故此选项错误；C、，x﹣1≠0，则x≠1，故x不可以取1，故此选项错误；D、，x﹣2≠0，则x≠2，故x不可以取2，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．4．（2分）下列说法不正确的是（）A．“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件B．“任意打开数学教科书八年级下册，正好是第50页”是不可能事件C．“把4个球放入三个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有2个球”是必然事件D．“在一个不透明的袋子中，有5个除颜色外完全一样的小球，其中2个红球，3个白球，从中任意摸出1个小球，正好是红球”是随机事件【分析】根据随机事件、不可能事件以及必然事件的定义即可作出判断．【解答】解：A、“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件，正确；B、“任意打开数学教科书八年级下册，正好是第50页”是随机事件，则原命题错误；C、“把4个球放入三个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有2个球”是必然事件，正确；D、“在一个不透明的袋子中，有5个除颜色外完全一样的小球，其中2个红球，3个白球，从中任意摸出1个小球，正好是红球”是随机事件，正确．故选B．【点评】本题考查了随机事件、不可能事件以及必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（2分）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D 作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是（）A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．10【分析】根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，所以可得DE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥OD，AO=AC=4，BO=BD=3，∴由勾股定理得到：AB===5．又∵AC•BD=AB•DE．∴DE==4.8．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质．属于中等难度的题目，解答本题关键是掌握①菱形的对角线互相垂直且平分，②菱形的面积等于底乘以底边上的高，还等于对角线乘积的一半．6．（2分）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x 轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y=（k＞0）的图象上，若S1﹣S2=2，则k值为（）A．1 B．C．2 D．4【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a+b），F（a﹣b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a﹣b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以=a+b，则a2﹣b2=k，然后利用正方形的面积公式易得k=2．【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则D（a，a+b），F（a ﹣b，a），所以E（a﹣b，），所以=a+b，∴（a+b）（a﹣b）=k，∴a2﹣b2=k，∵S1﹣S2=2，∴k=2．故选C．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质．二.填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．（2分）反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3），则k的值为﹣6．【分析】将点（﹣2，3）代入解析式可求出k的值．【解答】解：把（﹣2，3）代入函数y=中，得3=，解得k=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．8．（2分）当x=2时，分式的值为零．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由题意可得x﹣2=0且x+2≠0，解得x=2．故当x=2时，分式的值为零．故答案为：2．【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，比较简单．9．（2分）写出一个含x的分式，使得当x=2时，分式的值是3．这个分式可以是：答案不唯一，如：等．【分析】根据题意可得分式，注意此题答案不唯一，只要满足条件即可．【解答】解：此题答案不唯一，如：等．故答案为：答案不唯一，如：等．【点评】此题考查了分式的值的问题．此题属于开放题，难度不大，注意掌握分式的值与分式的定义．10．（2分）若关于x的方程+2=有增根，则k=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，代入整式方程求出k的值即可．【解答】解：去分母得：k+2x﹣6=4﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：k=1，故答案为：1【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．（2分）在两只不透明的袋子中，各有10个除颜色外完全一样的小球．第一个袋子中有2个红球、8个白球，第二个袋子中有8个红球、2个白球，分别从每个袋子中任意摸出一个球，则第一个袋子中摸出白球的可能性大．【分析】分别求得两个袋子中摸到白球的概率，比较后即可得到那个袋子摸到白球的可能性大．【解答】解：∵第一个袋子中有2个红球、8个白球，第二个袋子中有8个红球、2个白球，∴第一个袋子摸到白球的概率为=，第二个袋子摸到白球的概率为=，∴第一个袋子摸到白球的可能性大，故答案为：一．【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．12．（2分）若的小数部分为m，则代数式m（m+4）的值为1．【分析】求出的整数部分，进一步求出的小数部分，代入后即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴的整数部分是2，又∵m是的小数部分，∴m=﹣2，∴m（m+4）=1，故答案为：1．【点评】本题考查了估计无理数的大小的应用，关键是确定m的值，题目比较典型，难度也适中，是一道比较好的题目．13．（2分）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满足条件∠ABC=90°时，四边形BEDF是正方形．【分析】由题意知，四边形DEBF是平行四边形，再通过证明一组邻边相等，可知四边形DEBF是菱形，进而得出∠ABC=90°时，四边形BEDF是正方形．【解答】解：当△ABC满足条件∠ABC=90°，四边形DEBF是正方形．理由：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD=∠FBD，又∵DE∥BC，∴∠FBD=∠EDB，则∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．故平行四边形DEBF是菱形，当∠ABC=90°时，菱形DEBF是正方形．故答案为：∠ABC=90°．【点评】本题主要考查了菱形、正方形的判定，正确掌握菱形以及正方形的判定方法是解题关键．14．（2分）已知反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，则k的取值范围是k＞2．【分析】由于反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，可知比例系数为正数，据此列出不等式解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，∴k﹣2＞0，解得k＞2．故答案为k＞2．【点评】本题考查了反比例函数的性质，要知道：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内y的值随x的值增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内y的值随x的值增大而增大．15．（2分）一次函数y=kx+b与反比例函数y=中，若x与y的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1123…y=kx+b…54310﹣1…y=…13﹣3﹣﹣1…则关于x 的不等式≤kx+b 的解集是x≤﹣1或0＜x≤3．【分析】先根据x 与y的部分对应值求得反比例函数的解析式，再求另一个交点坐标，即可得出关于x的不等式≤kx+b 的解集．【解答】解：由表可知，一个交点坐标为（﹣1，3），反比例函数的解析式为y=﹣，另一个交点为（3，﹣1），故关于x的不等式≤kx+b的解集是x≤﹣1或0＜x≤3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数的解析式得出另一个交点是解题的关键．16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图摆放，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，将正方形沿x轴正方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该函数图象上，则m的值是1．【分析】作DE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，如图，先证明△ADE≌△BAO得到DE=OA=1，AE=OB=2，则D（﹣3，1），用同样方法可得C（﹣1，3），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=﹣3，再计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后确定平移的距离．【解答】解：作DE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠EAD+∠BAO=90°，而∠EAD+∠ADE=90°，∴∠BAO=∠ADE，在△ADE和△BAO中，∴△ADE≌△BAO，∴DE=OA=1，AE=OB=2，∴D（﹣3，1），同理可得△CBF≌△BAO，∴BF=OA=1，CF=OB=2，∴C（﹣2，3），∵点D在反比例函数y=（k＜0）图象上，∴k=﹣3×1=﹣3，∵C点的纵坐标为3，而y=3时，则3=﹣，解得x=﹣1，∴点C平移到点（﹣1，3）时恰好落在该函数图象上，即点C向右平移1个单位，∴m=1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了平移变换．三.解答题（共68分）17．（6分）计算：（1）+3﹣；（2）××．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式=+6﹣4=；（2）原式==6．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（8分）（1）计算：﹣﹣1（2）解方程：﹣=1．【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式==﹣；（2）去分母得：3x﹣2x=3x+3，解得：x=﹣1.5，经检验x=﹣1.5是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（5分）先化简÷（x﹣），再从﹣2、﹣1、0、1、2中选一个你认为合适的数作为x的值代入求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当x=2时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（6分）如图，在△ABC中，P、M、Q分别是AB、BC、AC的中点．（1）求证：四边形APMQ是平行四边形；（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形APMQ是菱形？【分析】（1）由已知条件得出PM是△ABC的中位线，得出PM∥AC，PM=AC，同理：QM∥AB，QM=AB，即可得出结论；（2）由PM=AC，QM=AB，得出PM=QM，即可得出四边形APMQ是菱形．【解答】（1）证明：∵P、M、分别是AB、BC的中点，∴PM是△ABC的中位线，∴PM∥AC，PM=AC，同理：QM∥AB，QM=AB，∴四边形APMQ是平行四边形；（2）得当AB=AC时，四边形APMQ是菱形；理由如下：解：由（1）得：PM=AC，QM=AB，∵AB=AC，∴PM=QM，∴四边形APMQ是菱形．【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握三角形中位线定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．21．（5分）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到红球的次数m5996118290480601摸到红球的频率0.590.640.580.580.600.601（1）完成上表；（2）“摸到红球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）（3）试估算袋子中红球的个数．【分析】（1）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；（2）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；（3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．【解答】解：（1）填表如下：摸球的次数n1001502005008001000摸到红球的次数m5996118290480601摸到红球的频率0.590.640.580.580.600.601（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，故）“摸到红球”的概率的估计值是0.6．故答案为：0.6；（3）20×0.6=12（只）．答：口袋中约有红球12只．【点评】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．22．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点分别为A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）画△A1B1C，使它与△ABC关于点C成中心对称；（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为（0，﹣2）．【分析】（1）直接利用关于点对称的性质得出△ABC的对应点进而求出即可；（2）利用平移的性质得出平移规律进而得出答案；（3）利用旋转对称图形得出对应点的连线的交点进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；（3）将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为：（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．【点评】此题主要考查了平移变换和旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．23．（6分）某工厂接到600件体恤衫的生产订单，为了尽快完成任务，该工厂实际每天生产体恤衫的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天生产体恤衫多少件？【分析】设原来每天生产T恤衫x件，则实际每天生产（1+50%）x件，根据实际比计划提前10天完成任务，列方程求解．【解答】解：设原来每天生产T恤衫x件，则实际每天生产（1+50%）x件，由题意得，+10=，解得：x=20，经检验：x=20是原分式方程的解，且符合题意．答：原来每天生产T恤衫20件．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．（6分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=3x与反比例函数y=的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．（1）求反比例函数的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）若点P是反比例函数y=图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数的对称性得出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；（3）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC 的面积相等求得P点坐标．【解答】解：（1）把x=2代入y=3x中，得y=2×3=6，∴点A坐标为（2，6），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=2×6=12，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵AC⊥OC，∴OC=2，∵A、B关于原点对称，∴B点坐标为（﹣2，﹣6），∴B到OC的距离为6，∴S△ABC =2S△ACO=2××2×6=12，（3）∵S△ABC=12，∴S△OPC=12，设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，∴×||×2=12，解得x=1或﹣1，∴P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．25．（10分）四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE，过点E 作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，当点E在线段AC上时．①求证：矩形DEFG是正方形；②求证：AC=CE+CG；（2）如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系；（3）直接写出∠FCG的度数．【分析】（1）①作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；②根据三角形全等的判定定理证明△AED≌△CGD，得到AE=CG，证明结论；（2）根据题意画出图形，与（1）的方法类似，证明△ADE≌△CDG，得到AE=CG，即可得到答案；（3）根据全等三角形的性质和点E的不同位置求出∠FCG的度数．【解答】（1）①证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；②∵∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△AED和△CGD中，，∴△AED≌△CGD，∴AE=CG，∴AC=CE+AE=CE+CG；（2）AC+CE=CG，证明：由（1）得，矩形DEFG是正方形，∴DE=DG，∵∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG，∴AC+CE=CG；（3）如图1，当点E为线段AC上时，∵△ADE≌△CDG，∴∠DCG=∠DAE=45°，∴∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°；如图2，当点E为线段AC的延长线上时，∠FCG=∠FCD﹣∠DCG=45°．【点评】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．26．（10分）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y=的图象是怎样的呢？经验：（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：①由数想到形﹣﹣﹣﹣先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．②描点画图﹣﹣﹣﹣根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．（2）我们知道，函数y=的图象是如图所示的两条曲线，一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点（﹣1，0）且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．探索：请你根据以上经验，研究函数y=的图象和性质并解决相关问题．（1）由数想形：（2）描点画图：①列表：x……y……②画图：应用：观察你所画的函数图象，解答下列问题：（3）若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b=0；（4）直接写出当≥﹣2时x的取值范围．【分析】（1）根据函数解析式可得函数图象与直线x=3或直线x=﹣3没有公共点；图象与y轴的交点为（0，﹣2）；分x＜﹣3或﹣3＜x＜0或0＜x＜3或x＞3讨论函数的增减性；（2）通过列表、描点和连线化函数图象；（3）观察函数图象得到函数y=的图象关于y轴对称，而点A与点B关于y轴对称，所以a与b互为相反数；（4）观察函数图象，找出函数值大于或等于﹣2所对应的自变量的值或取值范围．【解答】解：探索：（1）由数想形：函数y=的图象与过点（﹣3，0）和（3，0）且平行于y轴的两直线没有公共点；图象与y轴的交点为（0，﹣2）；当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；当﹣3＜x＜0，y随x的增大而增大；当0＜x＜3时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而减小；（2）描点画图：①列表：②画图：应用：（3）函数y=的图象关于y轴对称，而点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上两对称点，所以a+b=0；故答案为0；（4）当x＜﹣3或x=0或x＞3时，≥﹣2．【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象．。
鼓楼数学一模试卷(含答案)
鼓楼区2009—2010第二学期初三调研测试卷数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答卷纸上） 1．2的绝对值等于A ．2B ．－2C ．12D ．－122．世博网3月19日消息：截至目前，上海世博会特许产品的销售额已达8 000 000 000元，将8 000 000 000用科学记数法表示应为A ．80×108B ．8×108C ．80×109D ．8×1093．右边的几何体是由五个大小相同的正方体组成的，它的主视图为（4．4的平方根是A ．2B ．－2C ．±2D ．± 25．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．等边三角形B ．菱形C ．平行四边形D ．等腰梯形6．下列运算正确的是A ．x 3＋x 2＝x 5B ．x 3－x 2＝xC ．x 3÷x 2＝xD ．x 3·x 2＝x 67．小许在班级内提议收集废弃的饮料瓶，变卖所得作为班级的活动经费．他注意观察了一周，5天里每天收集的废弃饮料瓶（单位：个）分别是：40，40，35，30，35，根据这些数据，他估计一个月（以20天计算）可以收集到的饮料瓶个数约是A ．800B ．720C ．700D ．6008．将点A （23，0）绕着原点顺时针方向旋转60°得到点B ，则点B 的坐标是A ．（3，－3）B ．（3，3）C ．（3，－3）D ．（3，3）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） A ． B ． C ． D ． （第3题）9．分解因式ab 3－ab ＝ ▲ ． 10．如图，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ．若∠AEC ＝ 100°则D ∠等于 ▲ °．11．若a －b ＝－1，ab ＝2，则(a ＋1)(b －1)＝ ▲ ．12．解方程11－x＝2得 ▲ ．13．在一个不透明的袋子中有2个黑球、1个白球，它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么两个球都是黑球的概率为 ▲ ．14．如图，直角△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，那么sin B ＝ ▲ ．15．小许踢足球，经过x 秒后足球的高度为y 米，且时间与高度关系为y ＝ax 2+bx ．若此足球在5秒后落地，那么足球在飞行过程中，当x ＝ ▲ 秒时，高度最高．16．用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为 ▲ （用含n 的代数式表示）．17．菱形边长为6，一个内角为60°，顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形周长为 ▲ ．18．函数y 1＝－ax 2＋ax ＋1，y 2＝ ax 2＋ax －1（其中a 为常数，且a ＞0）的图像如图所示，请写出一条．．与上述两条抛物线有关的不同类型．．．．的结论 ▲ ．（第16题）…… 第一个图案第二个图案第三个图案 CAEBFD（第10题）（第14题）A C B三、解答题（本大题共10小题，共计84分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）（4分）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤2x ；5－x 2＞1.并写出它的所有整数解．（2）（4分）化简（2x x －1－x x ＋1）÷1x 2－1．20．（8分）已知：如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△OAB 是等边三角形，DE ∥AC ，AE ∥BD ． 求证：（1）四边形ABCD 是矩形；（2）四边形AODE 是菱形．21．（6分）表①是2005年日本爱知世博会和2007年西班牙萨拉戈萨世博会文化演艺活动基本数据统计表，图①是爱知世博会各类活动场次统计，图②是萨拉戈萨世博会各类活动场次统计．（数据来自于世博会官网）（1） 完成表①中的数据（结果保留整数），完成图①、图②中的空格； （2） 两届世博会中哪一届音乐类演艺活动的场次多？（第20题）ABC DEO学术教育 祭祀盛典13%17% 5%12% 戏剧28%8% （图①）（图②）爱知世博会各类活动场次统计萨拉戈萨世博会各类活动场次统计（表①）22．（8分）如图，反比例函数y 1＝kx （x ＞0）与正比例函数y 2＝mx 和y 3＝nx 分别交于A ，B两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为1和2．过点B 作BC 垂直x 轴于点C ，△OBC 的面积为2．（1）当y 2＞y 1时，x 的取值范围是 ▲ ； （2）求出y 1和y 3的关系式；（3）直接写出不等式组⎩⎨⎧mx ＞k x；kx ＞nx ．的解集 ▲ ．23．（8分）将水平相当．．．．的A 、B 、C 、D 四人随机平均分成甲、乙两组进行乒乓球单打比赛，每组的胜者进入下一轮决赛．（1）A 、B 被分在同一组的概率是多少？（2）A 、B 在下一轮决赛中相遇的概率是多少？ 24．（8分）如图，是设计师为小许家厨房的装修给出的俯视图，尺寸如图所示，DF 边上有一个80 cm 宽的门，留下墙DE 长为200cm ．冰箱摆放在图纸中的位置，冰箱的俯视图是一个边长为60 cm 的正方形，为了利于冰箱的散热，厂家建议冰箱的后面和侧面都至少留有10 cm 的空隙，为了方便使用，建议冰箱的门至少要能打开到120°（图中∠ABC ＝120°）．（1）为了满足厂家的建议，图纸中的冰箱离墙DE 至少多少厘米？（2）为了满足厂家建议的散热留空的最小值，小许想拆掉部分墙DE ，将门扩大，同时又满足厂家建议的开门角度，那么至少拆掉多少厘米的墙，才能满足上述要求？（结果精确到0.1cm ）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．（第24题）25．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，以B 为圆心画圆． （1）若⊙B 和⊙O 相交，设交点为 C 、D ；①试判断直线AC 与⊙B 的关系，并说明理由；②若⊙B 的半径是6，连接CO 、OD 、DB 、BC ，求四边形CODB 的面积； （2）若⊙B 与⊙O 相切，则⊙B 的半径＝ ▲ ．26．（10分）小许在动手操作时，发现直角边长分别为6，8和直角边长分别为2，14的两个直角三角形中（如图①），∠1和∠2可以拼成一个45°的角（如图②），但他不会说理，于是找来几个同学一起研究这个问题．（1）甲同学发现，只要在图③中连接CC 1，过C 作CD ⊥B 1C 1，交C 1B 1的延长线于点D 并能计算出CC 1的长度，就可以说明△ACC 1是等腰直角三角形，从而说明∠1＋∠2＝45°，请写出甲同学的说理过程；（2）乙同学发现，只要两个直角三角形的直角边长分别为a ，b 和直角边长分别为a ＋b ，a －b （a ＞b ），利用两个直角三角形构造出的矩形（如图④），同样可以说明∠1＋∠2＝45°，请写出乙同学的说理过程；（第25题） A B C 1A 1 1 C 1 2 A （A 1）BC 1 2C 1 B 1 图① 图②6 8 2 14 A （A 1） B C 1 2 1 1图③ 6 8 2 D 图④ A （A 1） B D B 1 C 1 1 227．（10分）某季节性农产品从上市到下市共销售90天的时间，其售价y （元/千克）和上市后天数x （天）的关系可以近似地用图中的一条折线表示，其中当0≤x ≤60时，满足函数y ＝－0.1x ＋10．销售量w （千克）和售价y （元/千克）的关系可以表示为：w ＝－10y ＋200．（1）请解释图中点A 的实际意义；（2）直接写出图中当60＜x ≤90时售价y （元/千克）和上市后天数x （天）的函数关系式； （3）求出每日销售收入Q （元）与上市后天数x （天）的函数关系式，并求出上市后日销售收入最高为多少？28．（10分）如图，射线AM 平行于射线BN ，AB ⊥BN 且AB ＝3，C 是射线BN 上的一个动点，连接AC ，作CD ⊥AC 且CD ＝12AC ，过C 作CE ⊥BN 交AD 于点E ，设BC 长为t ．（1）AC 长为 ▲ ，△ACD 的面积为 ▲ （用含有t 的代数式表示）； （2）求点D 到射线BN 的距离（用含有t 的代数式表示）；（3）是否存在点C ，使△ACE 为等腰三角形？若存在，请求出此时BC 的长度；若不存在，请说明理由．（第27题） M CN BADE 图①（第28题）M N BA备用图鼓楼区2009—2010第二学期初三调研测试卷数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题二、填空题（每小题3分，共计30分） 9．ab (b ＋1)(b －1) 10．80 11．2 12．1213．13 14．121315．2.5 16．2n ＋217．6＋6 3 18．答案不唯一，如：①y 1＝－ax 2＋ax ＋1开口向下，y 2＝ ax 2＋ax －1开口向上；②y 1＝－ax 2＋ax ＋1的对称轴是x ＝12，y 2＝ ax 2＋ax －1的对称轴是x ＝－12；③y 1＝－ax 2＋ax ＋1经过点（0，1），y 2＝ ax 2＋ax －1经过点（0，－1）④两条抛物线关于原点中心对称；三、解答题（本大题共10小题，共计96分） 19．（本题8分）（1）解：解①得：x ≥1；…………………1分 解②得：x ＜3；…………………2分得：1≤x ＜3…………………3分 整数解为：1，2…………………4分 （2）解：（2x x －1－x x ＋1）÷1x 2－1＝（2x x －1－xx ＋1）·（x ＋1）（x －1）…………………1分＝2x （x ＋1）－x (x －1) …………………2分 ＝2x 2＋2x －x 2＋x …………………3分 ＝x 2＋3x …………………4分 20．（本题8分）（1）证明：∵□ABCD∴OA ＝OC ，OB ＝OD …………………1分 ∵△OAB 是等边三角形 ∴OA ＝OB∴AC ＝BD …………………2分 又∵□ABCD∴四边形ABCD 是矩形；…………………3分 （2）证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD∴四边形AODE 是平行四边形………………5分 ∵四边形ABCD 是矩形∴OA ＝OD ………………7分∴四边形AODE 是菱形………………8分 21．（本题8分）（1）54，17，23………………3分（2）解：爱知世博会音乐类演艺活动的场次：11000×17%＝1870（场）………………5分 萨拉戈萨世博会音乐类演艺活动的场次：5000×28%＝1400（场） ………………7分 答：爱知世博会音乐类演艺活动的场次多．………………8分 22．（本题8分）（1）x ＞1………………………………2分（2）解：∵△OBC 的面积为2∴点B 坐标为（2，2）……………………………3分将B （2，2）代入y 1＝kx ，得：k ＝4……………………………4分将B （2，2）代入y 3＝nx ，得：n ＝1……………………………5分 ∴y 1＝4x ，y 3＝x ……………………………6分（3）1＜x ＜2 23．（本题8分）4分所有结果中，满足AB 在同一组的结果有2种，所以AB 在同一组的概率是13…………6分（2）以上每组结果，进入下一轮决赛的都有4种可能，共24种结果，其中AB 在下一轮决赛中相遇的有4种，所以AB 在下一轮决赛中相遇的概率是16…………8分24．（本题8分） 解：（1）延长AB 交DE 于点G …………………1分 ∵∠ABC ＝120°∴∠CBG ＝60° 在Rt △CBG 中，∠CBG ＝60°， ∴BG ＝BC ·cos ∠CBG＝60·cos 60°＝60×12＝30．答：冰箱离墙DE 至少30厘米． (5)分（2）满足厂家建议的条件下，冰箱离墙DE 至少10厘米，即BG ＝10， 在Rt △CBG中，∠CBG ＝60°， ∴CG ＝BG ·tan ∠CBG＝10·tan 60°＝103． …………………7分 CE ＝200－10－60－103＝130－10 3答：至少拆掉（130－103）厘米的墙，才能最大限度的利用空间．…………………8分 25．（本题10分）解：（1）①直线AC 与⊙B 相切，理由如下……………1分 连接BC ，（第24题）（第25题）∵AB 是⊙O 的直径∴AC ⊥BC ……………3分∴直线AC 与⊙B 相切． ……………5分 ②∵OB ＝OA∴S △OBC ＝12S △ABC ……………7分∵S △ABC ＝12×6×8＝24∴S △OBC ＝12∴四边形CODB 的面积为24．……………8分 （2）10．……………10分26．（本题10分） 解：（1）由已知易得：CD ＝6，DC 1＝8由勾股定理，在Rt △ABC 中，AC ＝10，……………1分 在Rt △CDC 1中，CC 1＝10， ……………2分 在Rt △ABC 中，AC 1＝102……………3分 在△ACC 1中，AC 2＋CC 12＝200＝AC 12 ∴∠ACC 1＝90°……………4分 又∵AC ＝＝CC 1＝10， ∴∠CAC 1＝∠1＋∠2＝45°……………5分 （2）连接CC 1由已知易得：CD ＝a ，DC 1＝b由勾股定理，在Rt △ABC 中，AC ＝a 2＋b 2，……………6分在Rt △CDC 1中，CC 1＝a 2＋b 2， ……………7分在Rt △ABC 中，AC 1＝2（a 2＋b 2）……………8分 在△ACC 1中，AC 2＋CC 12＝AC 12 ∴∠ACC 1＝90°……………9分 又∵AC ＝＝CC 1， ∴∠CAC 1＝＝45° ∴∠1＋∠2＝45°……………10分 27．（本题10分）（1）点A 的实际意义是该农产品上市第60天时，售价为4元/千克……………2分 （2）当60＜x ≤90时，y ＝0.3x －14………5分 （3）Q ＝ wy当0≤x ≤60时，Q ＝ wy ＝（－10y ＋200）（－0.1x ＋10）＝－x 2＋1000 …6分 当60＜x ≤90时，Q ＝ wy ＝（－10y ＋200）（0.3x －14） ………7分 ①当0≤x ≤60时，Q ＝ wy ＝（－10y ＋200）（－0.1x ＋10）＝－x 2＋1000 当x ＝0时，Q 取得最大值1000元……8分②当60＜x ≤90时，Q ＝ wy ＝（－10y ＋200）（0.3x －14）＝－0.9 （x －80）2＋1000 当x ＝80时，Q 取得最大值1000元…9分答：上市后日销售收入最高为1000元．………………10分（第25题）图④A （A 1）BC DB 1C 11228．（本题10分） （1）t 2＋9；t 2＋94…………………2分 （2）过D 作DF ⊥BN 交BN 于点F 由∠ABC ＝∠CFD ＝90°，∠FDC ＝∠ACB ，得△DFC ∽△CBA ；. ∴DF BC ＝DC AC ＝12， ∴DF ＝ 12BC ＝ t 2．即点D 到射线BN 的距离为t2…………………4分（3）①如图，当EC ＝AE 时， E 为AD 中点，EC ＝12AD此时FC ＝BC∴t ＝32…………………7分②如图，当AE ＝AC 时，AM ⊥DF ， 易得△AEG ∽△ADH ∴EG DH ＝AG AH， ∴t t ＋32＝3 t 4，即t ＝6＋35…………………10分③容易得到，当0≤t <12时，∠AEC 为钝角，故AC ≠ CE . 当t ≥12时，CE ≤DF <DC<AC ． 综上所述，当BC 等于32和6＋35时，△ACE 为等腰三角形．MCNBADE图①F A B FD ECABD ECMHG。
2014-2015南京市鼓楼区九年级上册数学期末试卷
2014-2015南京鼓楼区九年级上册数学期末试卷姓名： 得分：1、一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（ ） A.91 B. 31 C. 21 D. 322、已知矩形纸片ABCD 中,AB=1,如图,剪去正方形ABEF,得到的矩形ECDF 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为（ ） A.2 B.2 C.215- D.215+3、已知：○O 的半径为3cm ，圆心O 到直线L 的距离为1cm ，将直线L 沿垂直于L 的方向平移，使L 与○O 相切，则平移的距离是（ ）A.2cmB.3cmC.4cmD.2cm 或4cm4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。
为了扩大销售，商场采取降价措施。
假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x 元，根据题意，可列方程（ ） A. (40-X)(20+2X)=1250； B. (40-2X)(20+X)=1250； C. (40+X)(20-2X)=1250 D. (40+2X)(20-X)=12505、如图，△ABC 是○O 的内接等边三角形，矩形BCDE 的边DE 与○O 相切，BE=3，则矩形BCDE 的面积是（ ）A.18B.9C.183D.936、如图，二次函数y=aX 2+bX+c 的图像经过点（1，-1）和（-2,1），下列关于此二次函数的叙述，正确的是（ ）A.当X=0时，y 的值小于-1B.当X=-3时，y 的值大于1C.当X=5时，y 的值等于0D.当X=1时，y 的值大于1 7、已知,32243=--y x y x 则yx = 。
8、二次函数y=x 2+2x-5的图像的顶点坐标是 。
9、已知一次二次方程x 2+mx-2=0的两个实数根分别为21,x x ，则21x x ⋅= 。
10、已知△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 。
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．2．（2分）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，如图，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为（）A．2 B．C．D．3．（2分）已知：⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O 相切，则平移的距离是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm4．（2分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（）A．（40﹣x）（20+2x）=1250 B．（40﹣2x）（20+x）=1250C．（40+x）（20﹣2x）=1250 D．（40+2x）（20﹣x）=12505．（2分）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，矩形BCDE的边DE与⊙O相切，BE=3，则矩形BCDE的面积是（）A．18 B．9 C．18D．96．（2分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，﹣1）和（﹣2，1），下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A．当x=0时，y的值小于﹣1 B．当x=﹣3时，y的值大于1C．当x=5时，y的值等于0 D．当x=1时，y的值大于1二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）已知，则=．8．（2分）二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是．9．（2分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=．10．（2分）已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线长是．11．（2分）将二次函数y=2x2﹣4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象的表达式是．12．（2分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上的一点，且BE：EC=2：1，延长AE交DC延长线于点F，则AB：DF=．13．（2分）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD交于点E，若CD：AB=1：2，△ABE的周长为8，则△CDE 的周长为．16．（2分）一张圆心角为45°的扇形纸片按如图方法剪成一个边长为1的正方形，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，那么这个扇形纸片的面积是．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（9分）（1）解方程（组）①x2+10x+21=0；②（2）利用（1）中解方程（组）使用的方法，可求得方程组的解为．18．（7分）（1）根据表1中甲、乙两组数据，完成表2．表1A B C D E F G H甲 5 5 6 6 6 6 7 7乙 3 3 3 6 7 8 8 10表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6乙 6 6.5（2）根据表中，回答下列问题：①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次射击练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应选择哪一位？为什么？19．（6分）从某班4名团员中随机抽取2名参加学校团员竞赛，这4名团员中有3名男生和1名女生，求抽到两名男生的概率．20．（7分）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．21．（6分）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．（1）用直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求∠BOC的度数和⊙O的半径．22．（8分）如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．23．（8分）请用二次函数的知识进行解释，在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大．24．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，=，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．25．（8分）如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．（1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）若△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2的面积分别标记为S、S1、S2，猜想S、S1、S2之间的关系，并说明理由．26．（10分）某种药物有三种不同的配方，如图，三条抛物线表示这三种配方在给药量相同的情况下，每毫升血液中的含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况，这种药物每毫升血液中的含药量大于9微克，则会发生中毒，小于5微克，则没有疗效．（1）药厂会旋转该药品的第种配方（填写序号即可），你的理由是．（2）根据图象，求出（1）中选择的配方的有效时间是多长？（3）如果加大给药量，（1）中选择的配方对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，那么该配方的最大有效时间是小时．27．（10分）【学习新知】定义：直角三角形的三个顶点分别在矩形的三条边上，并且这个三角形把矩形分割得到若干个三角形，若其中两个三角形均与这个直角三角形相似，我们就把这个直角三角形叫做这个矩形的内接相似直角三角形．【解决问题】矩形ABCD中，AB=4，AD=8，△EFG的三个顶点E、F、G分别在AD、DC、BC上．（1）如图，点E与点A重合，∠EFG=90°．①求证：△EDF∽△FCG；②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，求DF的长；（2）若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，且它的三个顶点与矩形各顶点都不重合，求DF的长．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）（2014秋•南京期末）一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为（）A．B．C．D．【分析】由一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一只不透明的袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为：=．故选A．2．（2分）（2014秋•南京期末）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，如图，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为（）A．2 B．C．D．【分析】设AD=x，根据正方形的性质得AF=AB=EF=1，则FD=x﹣1，在根据相似多边形的性质得到DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，然后解方程即可得到AD的长．【解答】解：设AD=x，∵四边形ABEF为正方形，∴AF=AB=EF=1，∴FD=x﹣1，∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴DF：AB=EF：AD，即（x﹣1）：1=1：x，整理得x2﹣x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），即AD的长为．故选D．3．（2分）（2014秋•南京期末）已知：⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为1cm，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm或4cm【分析】根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为1cm，可向上或向下平移，使l与⊙O相切，即可得出答案．【解答】解：如图，当l与圆第一次相切时，平移的距离为3﹣1=2cm；当l移动到l″时，平移的距离为3﹣1+2=4cm；故选D．4．（2分）（2014秋•南京期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（）A．（40﹣x）（20+2x）=1250 B．（40﹣2x）（20+x）=1250C．（40+x）（20﹣2x）=1250 D．（40+2x）（20﹣x）=1250【分析】由题意，可设衬衫的单价应下降x元．则每天可售出（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元．再根据相等关系：每天的获利=每天售出的件数×每件的盈利；列方程即可．【解答】解：设每件应降价x元/m3，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1250．故选A．5．（2分）（2014秋•南京期末）如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，矩形BCDE的边DE与⊙O相切，BE=3，则矩形BCDE的面积是（）A．18 B．9 C．18D．9【分析】连接OB、OC，作OF⊥ED，交BC于G，根据已知求得∠OBC=30°，OG=OB=OF，BG=BC，进而求得OB=6，根据勾股定理求得BG，即可求得BC，最后根据矩形的面积公式即可求得．【解答】解：连接OB、OC，作OF⊥ED，交BC于G，∵△ABC是⊙O的内接等边三角形，∴∠ABC=60°，∠OBC=30°，∵OF⊥ED，∴OF是圆O的半径，OG⊥BC，∴OG=OB=OF，BG=BC，∴GF=OG，∵GF=BE=3，∴OB=OF=6，∴BG==3，∴BC=2BG=6，∴矩形BCDE的面积=3×6=18．故选C．6．（2分）（2014秋•南京期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，﹣1）和（﹣2，1），下列关于此二次函数的叙述，正确的是（）A．当x=0时，y的值小于﹣1 B．当x=﹣3时，y的值大于1C．当x=5时，y的值等于0 D．当x=1时，y的值大于1【分析】根据抛物线与y轴的交点位置对A进行判断；根据二次函数的性质，当x=﹣2时，y=1，则x=﹣3时，y ＞1，于是可对B进行判断；根据图象，当x=5时，不能确定函数值等于0，则可对C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．【解答】解：A、抛物线与y轴的交点在x轴下方，且在点（1，﹣1）上方，所以x=0时，﹣1＜y＜0，所以A选项错误；B、当x=﹣3时，y＞1，所以B选项正确；C、当x=5时，不能确定函数值等于0，所以C选项错误；D、当x=1时，y=﹣1，所以D选项错误．故选B．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）（2014秋•南京期末）已知，则=．【分析】根据比例的性质，可用x表示y，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由，得3（3x﹣4y）=2（x﹣2y）．化简，得y=x．==，故答案为：．8．（2分）（2015秋•荔湾区期末）二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．【分析】将函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解答】解：∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴二次函数y=x2+2x﹣5的图象的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．故答案为：（﹣1，﹣6）．9．（2分）（2011•来宾）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1•x2=﹣2．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1•x2==﹣2．故答案为﹣2．10．（2分）（2013•长宁区二模）已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线长是6．【分析】根据三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍求解即可．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=4；∴AD=AG+GD=6，即BC边上的中线长是6．故答案为：6．11．（2分）（2014秋•南京期末）将二次函数y=2x2﹣4x+3的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象的表达式是y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．【分析】首先将原式转化为顶点式，进而利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴抛物线y=2x2﹣4x+3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，平移后的函数关系式是：y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．故答案为：y=2（x+2）2或y=2x2+8x+8．12．（2分）（2014秋•南京期末）如图，在▱ABCD中，E是BC边上的一点，且BE：EC=2：1，延长AE交DC延长线于点F，则AB：DF=2：3．【分析】根据平行四边形的对边相等，得△ABE∽△FCE，AB=CD，由相似三角形的对应边成比例来求AB：DF 的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△ABE∽△FCE，∴AB：FC=BE：EC=2：1，∴AB：DF=AB：（AB+CF）=2：3，故答案是：2：3．13．（2分）（2013•如皋市校级模拟）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3则当x=1时，y的值为﹣27．【分析】首先观察表格可得二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），则可求得此抛物线的对称轴，然后有对称性求得答案．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c过点（﹣4，3）与（﹣2，3），∴此抛物线的对称轴为：直线x==﹣3，∴横坐标为：x=1的点的对称点的横坐标为：x=﹣7，∴当x=1时，y=﹣27．故答案为：﹣27．14．（2分）（2012•资阳）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【分析】根据一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，知△=b2﹣4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．15．（2分）（2014秋•南京期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD交于点E，若CD：AB=1：2，△ABE 的周长为8，则△CDE的周长为4．【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，根据相似三角形的判定推出△ABE∽△DCE，根据相似三角形的性质得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE，∵CD：AB=1：2，∴==2，∵△ABE的周长为8，∴△CDE的周长为4，故答案为：4．16．（2分）（2014秋•南京期末）一张圆心角为45°的扇形纸片按如图方法剪成一个边长为1的正方形，正方形的四个顶点分别在扇形的半径和弧上，那么这个扇形纸片的面积是π．【分析】先求出扇形的半径，再根据面积公式求出面积．【解答】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD==，∴扇形的面积是=π；故答案是：π．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（9分）（2014秋•南京期末）（1）解方程（组）①x2+10x+21=0；②（2）利用（1）中解方程（组）使用的方法，可求得方程组的解为，．【分析】（1）①分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；②把②代入①得出关于x的方程，求出x的值，代入②求出y即可；（2）把②代入①得出关于x的方程，求出x的值，代入②求出y即可．【解答】解：（1）①x2+10x+21=0，（x+3）（x+7）=0，x+3=0，x+7=0，x1=﹣3，x2=﹣7；②把②代入①得：2x+3（x﹣1）=2，解得：x=1，把x=1代入②得：y=1﹣1=0，所以方程组的解为；（2）把②代入①得：x2+10（x﹣1）+31=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣7，代入②得：y1=﹣4，y2=﹣8，所以方程组的解为，，故答案为：，．18．（7分）（2014秋•南京期末）（1）根据表1中甲、乙两组数据，完成表2．表1A B C D E F G H甲 5 5 6 6 6 6 7 7乙 3 3 3 6 7 8 8 10表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6 0.5乙 6 6.53 6.5（2）根据表中，回答下列问题：①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的众数；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的中位数；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次射击练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应选择哪一位？为什么？【分析】（1）按照众数、中位数、方差的求法，可得乙组的中位数是6.5，众数是3，方差为0.5；甲组的方差是0.5；（2）根据统计量的意义，结合数据，逐一选择得出答案即可．【解答】解：（1）表2平均数中位数众数方差甲 6 6 6 0.5乙 6 6.5 3 6.5（2）①若项目A～H表示某品牌薯片的8种口味，甲数据表示一天内这8种口味的薯片销售情况，那么作为商家，应该关心表2中的众数；②若项目A～H表示某公司8位业务员，乙数据表示他们某一个月的销售额，那么作为第9位业务员，想让自己的销售额达到中等以上水平，应该关心表2中的中位数；③若甲、乙表示的两位射击运动爱好者，项目A～H表示8次设计练习中他们命中的环数，那么教练想从中选出一位参加比赛，应当选择甲，因为甲的方差比乙的小，发挥稳定．19．（6分）（2014秋•南京期末）从某班4名团员中随机抽取2名参加学校团员竞赛，这4名团员中有3名男生和1名女生，求抽到两名男生的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到两名男生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到两名男生的有6种情况，∴抽到两名男生的概率为：=．20．（7分）（2016•南京一模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后（剩下的部分做成一个）容积为90立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面积的长比宽多4米，求矩形铁皮的面积．【分析】设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，无盖长方体箱子的底面长为（x+4﹣4）米，底面宽为（x﹣4）米，根据运输箱的容积为90立方米建立方程求出其解即可．【解答】解：设矩形铁皮的宽为x米，则长为（x+4）米，由题意，得x（x﹣4）×2=90，解得：x1=9，x2=﹣5（舍去），所以矩形铁皮的长为：9+4=13米，矩形铁皮的面积是：13×9=117（平方米）．答：矩形铁皮的面积是117平方米．21．（6分）（2014秋•南京期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2．（1）用直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求∠BOC的度数和⊙O的半径．【分析】（1）作出△ABC的角平分线的交点就是O，然后作OD⊥BC于点D，以O为圆心，以OD为半径作圆即可；（2）根据内心是角平分线的交点，利用三角形的内角和定理求解．【解答】解：（1）如图所示：⊙O就是所求的圆；（2）∵在直角△ABC中，∠A=30°，∴∠ABC=60°，又∵O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC=30°，∠OCB=∠ACB=45°，∴∠BOC=180°﹣30°﹣45°=105°．∵在直角△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC===2．∴⊙O的半径是：=﹣1．22．（8分）（2014秋•南京期末）如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE=4m，在点G处测得自己影长DG=3m，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为1.6m，求灯杆AB的高度．【分析】先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到=，即=，再证明△DFG∽△DAB，利用相似比得到=，即=，于是得到=，可解得BG=9，然后利用=求AB的长．【解答】解：∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴=，即=，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DAB，∴=，即=，∴=，解得BG=9，∴=，∴AB=6.4（m），即灯杆AB的高度为6.4m．23．（8分）（2014秋•南京期末）请用二次函数的知识进行解释，在所有周长相等的矩形中，正方形面积最大．【分析】设长方形的周长为l，长为x，则宽为，长方形的面积S=x•=﹣（x﹣）2+，根据二次函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵设长方形的周长为l，长为x，则宽为，∴长方形的面积S=x•=﹣（x﹣）2+，∵当x=时，S最大=，此时矩形的宽为，即此时为正方形．24．（9分）（2014秋•南京期末）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，=，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC=3，AC=4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA=OC，则∠OCA=∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE=90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE=∠CAE=∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵=∴DC=BC，∴∠BAC=∠CAD，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E=90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE=∠CAE=∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴==，=∵BC=3，AC=4，∴AB=5，CD=3，∴=，=，=∴CE=，ED=，AE=，∴AD=AE﹣ED=．25．（8分）（2014秋•南京期末）如图是我们熟悉的“勾股树”，图中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中∠ACB=∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2．（1）求证：△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）若△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2的面积分别标记为S、S1、S2，猜想S、S1、S2之间的关系，并说明理由．【分析】（1）根据面积之比可得===，再加上夹角相等可得△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）根据面积之比设A1C1=x，C1B1=x，A2C2=y，C2B2=y，然后表示出S、S1、S2，再根据三者的面积可得S1•S2=S2．【解答】（1）证明：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，∴===，∵∠A1C1B1=∠A2C2B2=90°，∴△A1B1C1∽△A2B2C2；（2）解：∵正方形①和②的面积比、正方形③和④的面积比均为1：2，∴设A1C1=x，C1B1=x，A2C2=y，C2B2=y，∴S1=•x x=x2，S2=•y y=y2，A1B1=x，A2B2=y，∴S1•S2=x2y2，S=xy，∴S1•S2=S2．26．（10分）（2014秋•南京期末）某种药物有三种不同的配方，如图，三条抛物线表示这三种配方在给药量相同的情况下，每毫升血液中的含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况，这种药物每毫升血液中的含药量大于9微克，则会发生中毒，小于5微克，则没有疗效．（1）药厂会旋转该药品的第②种配方（填写序号即可），你的理由是这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间．．（2）根据图象，求出（1）中选择的配方的有效时间是多长？（3）如果加大给药量，（1）中选择的配方对应的抛物线的形状不变，但位置发生变化，那么该配方的最大有效时间是6小时．【分析】（1）根据“这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间”进行解答；（2）令y=5，解出x，求出x之间的距离即可；（3）当图象最高点上升至9时，配方的有效时间最长．此时令y=5，解出x，求出x之间的距离即可．【解答】解：（1）药厂会旋转该药品的第②种配方（填写序号即可），你的理由是：这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间．（2）设②的解析式为y=a（x﹣3）2+7，把（0，3）代入解析式得a（0﹣3）2+7=3，解得a=﹣，函数解析式为y=﹣（x﹣3）2+7，当y=5时，﹣（x﹣3）2+7=5，解得x1=3+，x2=3﹣；可知（1）中选择的配方的有效时间是x1﹣x2=3小时．（3）当图象最高点上升至9时，配方的有效时间最长．则函数解析式化为y=﹣（x﹣3）2+9，当y=5时，﹣（x﹣3）2+9=5，解得x1=6，x2=0②，该配方的最大有效时间为x1﹣x2=6小时．故答案为②；这种药物每毫升血液中的含药量最高时小于9微克，且在高于5微克时持续一段时间；6．27．（10分）（2014秋•南京期末）【学习新知】定义：直角三角形的三个顶点分别在矩形的三条边上，并且这个三角形把矩形分割得到若干个三角形，若其中两个三角形均与这个直角三角形相似，我们就把这个直角三角形叫做这个矩形的内接相似直角三角形．【解决问题】矩形ABCD中，AB=4，AD=8，△EFG的三个顶点E、F、G分别在AD、DC、BC上．（1）如图，点E与点A重合，∠EFG=90°．①求证：△EDF∽△FCG；②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，求DF的长；（2）若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，且它的三个顶点与矩形各顶点都不重合，求DF的长．【分析】（1）①△EDF与△FCG已经是直角三角形，只需要再找一个角相等即可，注意到∠EFG=90°，则∠EFD+∠GFC=90°，又因为∠EFD+∠FED=90°，从而得到∠FED=∠GFC，得证．②若△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，如图1，则∠GAF=∠FAD，即AF是∠GAD的平分线，又AF ⊥GF，延长AD与GF交于点H，根据三线合一可知F为GH的中点，进而可得F也是CD的中点，DF就是CD 的一半．（2）由△EFG的直角并没有确定是哪个角，自然应该分类讨论，根据每一种情况画出相应的图形，结合确定的几何关系进行推导和计算，主要是利用相似比进行计算，值得注意的是，当EG垂直BC时，有无数种情况，需单独说明．【解答】解：（1）①∵∠EFG=90°，∴∠EFD+∠GFC=90°，∵∠EFD+∠FED=90°，∴∠FED=∠GFC，∵∠EDF=∠FCG=90°，∴△EDF∽△FCG；②∵△EFG是矩形ABCD的内接相似直角三角形，∴△AFG∽△ADF∽△FCG，∴∠GAF=∠FAD，延长GF、AD交于点H，如图1，∵AF⊥GF，∴GF=HF，∴DF=CF=CD=2；（2）①若∠EFG=90°，有两种情况：第一种：△EDF∽△FCG∽△GFE，如图2﹣1，此时∠GEF=∠EFD，∴GE∥CD，∴GCDE为矩形，这种情况下，F点有无数个，原因是：以GE为直径画圆与CD相交，交点即为F．水平移动GE，交点F是随着变动的，因此F点有无数个．第二种：如图2﹣1所示，此种情况下同（1）②一样可证F点为CD中点，即DF=2．②若∠EGF=90°，如图2﹣3所示：△EDF∽△EGF∽△GCF，（全等也是相似）则∠GFC=∠EFD=∠EFG=60°，∵EF为△EDF与△EGF的公共边，第1页（共1页）∴△EDF≌△EGF，∴DF=GF=2CF，∴DF=CD=，③若∠GEF=90°，如图2﹣4所示，与上种情况同理，可得DF=CD=．第1页（共1页）。
2014年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷
2014年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）下列方程组中，解是的是（）A．B．C．D．2．（2分）计算2×（﹣9）﹣18×（﹣）的结果是（）A．24 B．﹣12 C．﹣9 D．63．（2分）利用表格中的数据可求出+（4.123）2﹣的近似值是（结果保留整数）（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2分）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．84°C．72°D．88°5．（2分）反比例函数y=和正比例函数y=mx的部分图象如图，由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=1，x2=﹣26．（2分）如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）﹣3的绝对值是．8．（2分）（+）×=．9．（2分）使有意义的x取值范围是．10．（2分）（2×102）2×（3×10﹣2）=（结果用科学记数法表示）11．（2分）已知⊙O1，⊙O2没有公共点，若⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O2的半径可以是（写出一个符合条件的值即可）12．（2分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC，若BC=4cm，AD=5cm，则梯形ABCD的周长为cm．13．（2分）如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=．14．（2分）某科研机构对我区400户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了表格中的数据，其中（男，女）代表第一个孩子的男孩，第二个孩子是女孩，其余类推，由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为：．15．（2分）如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．16．（2分）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，长方形纸片的长宽之比=．三、解答题（共11小题，）17．（6分）化简﹣．18．（6分）解不等式并写出不等式组的整数解．19．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．21．（8分）为了解南京市2012年城镇非私营企业单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇非私营单位随机抽取了1000人进行抽样调查，整理样本数据，得到下列图表：（1）如果1000人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；（2）根据这样的调查结果绘制成条形统计图；（3）2012年南京市城镇非私营单位月平均工资为5034，请你结合上述统计数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？22．（8分）（1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面积S△ABC；；（2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC=m，BD=n，对角线AC交于O点，他们所成锐．角为β，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD23．（8分）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．24．（8分）2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电动出租车的运价．设乘客打车的路程为x公里，乘坐普通燃油出租车及纯电动出租车所需费用分别为y1、y2元．（1）直接写出y1、y2关于x的函数关系式，并注明对应的x的取值范围；（2）在如图的同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象；（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．25．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE．（1）判断四边形ABED的形状，并说明理由；（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=3，AE=6，求CE的长．26．（11分）问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？初步思考设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．（1）当C、D在线段AB的同侧时．如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是．如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB∠ADB；如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：．拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB作法：①连接CA、CB②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；④连接F、E并延长，交直径AB与M；⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）27．（9分）[课本节选]反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，双曲线两个分支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小（简称增减性），反比例函数的图象关于原点对称（简称对称性）．【尝试说理】我们首先对反比例函数y=（k＞0）的增减性来进行说理．如图，当x＞0时，在函数图象上如图1任意取两点A、B，设A（x1，），B（x2，），且0＜x1＜x2．下面只需要比较和的大小．=﹣∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，面k＞0．∴，即＜．这说明：x1＜x2时，＞．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了．即：当x＞0时，y随x的增大而减小．同理：当x＜0时，y随x的增大而减小（1）试说明：反比例函数y=（k＞0）的图象关于原点对称．【运用推广】（2）分别写出二次函数y=ax2（a＞0，a常数）的对称性和增减性，并进行说理．对称性：；增减性：；说理：．（3）对于二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，a、b、c为常数），请你从增减性的角度，简要解释为何当x=﹣时函数取得最小值．2014年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）下列方程组中，解是的是（）A．B．C．D．【分析】根据解方程组，可得方程组的解，可得答案．【解答】解：A、的解是，故A不符合题意；B、的解是，故B不符合题意；C、的解是，故C符合题意；D、的解是，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，分别求出每一个方程组的解，再选出答案．2．（2分）计算2×（﹣9）﹣18×（﹣）的结果是（）A．24 B．﹣12 C．﹣9 D．6【分析】原式第一项利用异号两数相乘的法则计算，第二项利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣18﹣3+9=﹣12．故选：B．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2分）利用表格中的数据可求出+（4.123）2﹣的近似值是（结果保留整数）（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据表格中的数据求出原式各项的值，即可得到结果的近似值．【解答】解：∵182=324，∴=1.8，∵=4.123，∴（4.123）2=17，∵==13.784，∴原式=1.8+17﹣13.784=5.016≈5．故选：C．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2分）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．84°C．72°D．88°【分析】根据正五边形的内角，可得∠I，∠BAI的值，根据正六边形，可得∠ABC 的度数，根据正六边形的对角线，可得∠BAK的度数，根据四边形的内角和公式，可得答案．【解答】解：由正五边形内角，得=108°，由正六边形内角，得，BE平分∠ABC，∠ABK=60°，由四边形的内角和，得∠BKI=360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK=360°﹣108°﹣108°﹣60°=84°．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用了正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式．5．（2分）反比例函数y=和正比例函数y=mx的部分图象如图，由此可以得到方程=mx的实数根为（）A．x=1 B．x=2 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=1，x2=﹣2【分析】由反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点C（1，2），根据反比例函数与正比例函数是中心对称图形，可得另一个交点为：（﹣1，﹣2）继而求得答案．【解答】解：如图，∵反比例函数y=和正比例函数y=mx相交于点C（1，2），∴另一个交点为：（﹣1，﹣2），∴方程=mx的实数根为：x1=1，x2=﹣1．故选：C．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．6．（2分）如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面．【解答】解：根据题意可得出：正方体向对面上的线段应该平行或在一条直线上．故符合题意的只有：A．故选：A．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）﹣3的绝对值是3．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：﹣3的绝对值是3．【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．8．（2分）（+）×=5．【分析】根据二次根式的乘法法则运算．【解答】解：原式=+=1+4=5．故答案为5．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．（2分）使有意义的x取值范围是x≠﹣2．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠﹣2．故答案是：x≠﹣2．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．10．（2分）（2×102）2×（3×10﹣2）= 1.2×103（结果用科学记数法表示）【分析】根据积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得幂，根据有理数的乘法运算律，可简便运算，根据科学记数法的表示方法，可得答案．【解答】解：原式=4×104×3×10﹣2=12×（104×10﹣2）=1.2×103，故答案为：1.2×103．【点评】本题考查了单项式乘单项式，先算积的乘方，再算有理数的乘法．11．（2分）已知⊙O1，⊙O2没有公共点，若⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O2的半径可以是答案不唯一，如10．（写出一个符合条件的值即可）【分析】由⊙O1，⊙O2没有公共点，可得⊙O1，⊙O2外离或内含，然后由两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系求得答案．【解答】解：∵⊙O1，⊙O2没有公共点，∴⊙O1，⊙O2外离或内含，∵⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，∴若外离，则⊙O2的半径小于5﹣4=1，若内含，则⊙O2的半径大于5+4=9，∴⊙O2的半径可以是10．故答案为：答案不唯一，如10．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是关键．12．（2分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，连接AC，∠DAC=∠BAC，若BC=4cm，AD=5cm，则梯形ABCD的周长为22cm．【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，易得四边形BCDE是矩形，则可由勾股定理求得AE的长，易得△ACD是等腰三角形，则可求得CD与BE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵在梯形ABCD中，AB∥CD，∴四边形BCDE是矩形，∴CD=BE，DE=BC=4cm，∠DEA=90°，∴AE==3（cm），∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠DCA，∴CD=AD=5cm，∴BE=5cm，∴AB=AE+BE=8（cm），∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=8+4+5+5=22（cm）．故答案为：22．【点评】此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（2分）如图，在▱ABCD中，∠A=70°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1=40°．【分析】由旋转的性质可知：▱ABCD全等于▱A1BC1D1，所以BC=BC1，所以∠BCC1=∠C1，又因为旋转角∠∠ABA1=∠CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，∴BC=BC1，∴∠BCC1=∠C1，∵∠A=70°，∴∠C=∠C1=70°，∴∠BCC1=∠C1，∴∠CBC1=180°﹣2×70°=40°，∴∠ABA1=40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形CBC1是等腰三角形．14．（2分）某科研机构对我区400户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了表格中的数据，其中（男，女）代表第一个孩子的男孩，第二个孩子是女孩，其余类推，由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为417：383．【分析】首先计算出400户家庭中男孩与女孩数，可得比例，再利用样本估计总体的方法可得答案．【解答】解：由题意得：男孩总数为：101×2+99+116=417，女孩总数：99+116+84×2=383，我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为：417：383，故答案为：417；383．【点评】此题主要考查了利用样本估计总体，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．（2分）如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG=2，则EF为．【分析】连结OA，根据垂径定理由OG⊥AC得到AG=CG，在Rt△AOG中，根据勾股定理得AG=，则AC=2AG=2，再根据垂径定理由OE⊥AB，OF⊥BC得到AE=BE，CF=BF，所以EF为△ABC的中位线，则EF=AC=．【解答】解：连结OA，如图，∵OG⊥AC，∴AG=CG，在Rt△AOG中，OG=2，OA=5，∴AG==，∴AC=2AG=2，∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴AE=BE，CF=BF，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=AC=．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和三角形中位线性质．16．（2分）将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE．根据上述过程，长方形纸片的长宽之比=．【分析】根据折叠的性质，可知△AEF≌△MEF，△CMG≌△HMG，△BEG≌△HEG，由全等三角形的对应边相等得出AE=ME，CM=HM，CG=HG=BG，由全等三角形的对应角相等及矩形的性质得出∠C=∠MHG=90°，∠B=∠EHG=90°，∠CGM=∠HGM，∠BGE=∠HGE，进而得出∠MGE=90°，然后在Rt△MGE中由勾股定理得出三边关系式，进而求解．【解答】解：由题意，得△AEF≌△MEF，△CMG≌△HMG，△BEG≌△HEG，∴AE=ME，CM=HM，CG=HG=BG，BE=HE，∠C=∠MHG=90°，∠B=∠EHG=90°，∠CGM=∠HGM，∠BGE=∠HGE，∵∠CGM+∠HGM+∠BGE+∠HGE=180°，∴∠HGM+∠HGE=90°，即∠MGE=90°．设CM=DM=x，CG=y，BE=a，则HM=x，HE=a，ME=MH+HE=x+a．∵CD=CM+DM=2x，AB=AE+BE=ME+BE=x+a+a=x+2a，∴2x=x+2a，∴x=2a．在Rt△MGE中，∵∠MGE=90°，∴MG2+GE2=EM2，∴x2+y2+y2+a2=（x+a）2，∴4a2+y2+y2+a2=9a2，∴y2=2a2，∴y2=x2，∴=，∴===．故答案为．【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，有一定难度．根据折叠的性质及平角的定义得到∠MGE=90°是解题的关键．三、解答题（共11小题，）17．（6分）化简﹣．【分析】先把原式的分母通分，化为同分母的分数后再相加减．【解答】解：原式=﹣===﹣．【点评】本题考查了分式的加减法，要牢记异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：18．（6分）解不等式并写出不等式组的整数解．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可．【解答】解：，解①得：x＞，解②得：x≤6，则不等式组的解集是：＜x≤6．则不等式组的整数解是：5和6．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．19．（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式，可得答案．【解答】（1）证明：正方形ABCD中，对角线BD，∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．∵BF=DE，∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．AF=CF=CE=AE∴四边形AECF是菱形；（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=，AC=BD=2，EF=BD﹣BF﹣DE=2﹣1﹣1，四边形AECF的面积=AC•EF÷2=2=4﹣2．【点评】本题考查了正方形的性质，（1）先证明四个三角形全等，再证明四边相等的四边形是菱形；（2）先求出菱形的对角线的长，再求出菱形的面积．20．（8分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序，（1）求甲第一位出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【分析】（1）由甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）利用列举法可得：出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，继而可求得答案．【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，∴甲第一位出场的概率为；（2）∵出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，∴甲比乙先出场的情况有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，∴甲比乙先出场的概率为：=．【点评】此题考查了列举法求概率的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（8分）为了解南京市2012年城镇非私营企业单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇非私营单位随机抽取了1000人进行抽样调查，整理样本数据，得到下列图表：（1）如果1000人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；（2）根据这样的调查结果绘制成条形统计图；（3）2012年南京市城镇非私营单位月平均工资为5034，请你结合上述统计数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理？【分析】（1）抽取的样本应该具有广泛性和随机性；（2）根据各个范围内的频数作出频率分布直方图即可；（3）因收入差别较大，用平均数不太合理．【解答】解：（1）∵金融业人士收入相对其他行业收入较高且抽取不具有随机性，∴这样抽取不合理；（2）（3）因为收入差别比较大，所以用平均数反映月收入情况不合理．【点评】本题考查了频数分布直方图和频率分布表的知识，解题的关键是读懂统计表的知识．22．（8分）（1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面积S△ABC；；（2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC=m，BD=n，对角线AC交于O点，他们所成锐．角为β，求四边形ABCD的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC=90°，∵∠C=60°，AC=4，∴AM=AC×sin60°=4×=2，∵BC=6，∴△ABC的面积S=×BC×AM=×6×2=6；△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC=90°，∵∠C=α，AC=b，∴AM=AC×sinα=b×sinα=bsinα，∵BC=a，=×BC×AM=×a×bsinα=absinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD=n，OA+OC=m，∵AC、BD夹角为β，∴AE=OA•sinβ，CF=OC•sinβ，∴S=S△ABD+S△BDC四边形ABCD=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF）=BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）=BD•AC•sinβ=mnsinβ．=mnsinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．23．（8分）如图，把长为40cm，宽30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计）（1）长方体盒子的长、宽、高分别为多少？（单位：cm）（2）若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2，求此时长方体盒子的体积．【分析】（1）根据所给出的图形可直接得出长方体盒子的长、宽、高；（2）根据图示，可得2（x2+20x）=30×40﹣950，求出x的值，再根据长方体的体积公式列出算式，即可求出答案．【解答】解：（1）长方体盒子的长是：（30﹣2x）cm；长方体盒子的宽是（40﹣2x）÷2=20﹣x（cm）长方体盒子的高是xcm；（2）根据图示，可得2（x2+20x）=30×40﹣950，解得x1=5，x2=﹣25（不合题意，舍去），长方体盒子的体积V=（30﹣2×5）×5×（20﹣5）=20×5×15=1500（cm3）．答：此时长方体盒子的体积为1500cm3．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式，关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去．24．（8分）2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电动出租车的运价．设乘客打车的路程为x公里，乘坐普通燃油出租车及纯电动出租车所需费用分别为y1、y2元．（1）直接写出y1、y2关于x的函数关系式，并注明对应的x的取值范围；（2）在如图的同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象；（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．【分析】（1）根据表格中的数值，待定系数法，可得函数解析式；（2）根据描点画函数图象的方法，可得函数图象；（3）根据观察函数图象，纯电动车的图象在下方的区域，可得答案．【解答】解：（1）普通燃油出租车的费用y，纯电动出租车的费用y；（2）在同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象；（3）观察函数图象，可得y2在下的区域，x＜4.1时，乘坐纯电动出租车更合算．【点评】本题考查了一次函数的应用，（1）待定系数法求函数解析式；（2）描点法画函数图象；（3）图象在下的区域．25．（8分）如图，在▱ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE．（1）判断四边形ABED的形状，并说明理由；（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=3，AE=6，求CE的长．【分析】（1）四边形ABED为等腰梯形，理由为：利用四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由平行四边形的对角相等，利用等量代换得到∠DEC=∠C，利用等角对等边得到DE=DC，而DC=AB，故DE=AB，再由BE与AD平行，DE与AB不平行即可得证；（2）DC与圆O相切，理由：连接DO并延长与圆交于F点，利用圆周角定理及等量代换得到OD与DC垂直，即可得证；（3）由等腰梯形对角线相等得到AE=BD，利用弦切角等于夹弧所对的圆周角，以及公共角相等得到三角形CDE与三角形BCD相似，由相似得比例，即可求出CE的长．【解答】解：（1）四边形ABED为等腰梯形，理由为：∵∠DEC为圆内接四边形ABED的外角，∴∠DEC=∠DAB，∵ABCD为平行四边形，∴∠C=∠DAB，DC=AB，AD∥BC，∴∠DEC=∠C，∴DC=DE，∴AB=DE，∵AD∥BC，DE与AB不平行，∴四边形ABED为等腰梯形；（2）DC与圆O相切，理由为：连接DO并延长，交圆O于点F，连接AF，∵DF为圆的直径，∴∠DAF=90°，即∠DAE+∠EAB+∠BAF=90°，∵∠DAE=∠CDE，∠EAB=∠EDB，∠BAF=∠BDF，∴∠FDC=∠CDE+∠EDB+∠BDF=90°，则DC与圆O相切；（3）∵四边形ABED为等腰梯形，∴AE=DB=6，∵DC与圆O相切，∴∠CDE=∠DBC，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CDB，∴=，∵AB=CD=3，DE=3，BD=6，∴=，解得：CE=1.5．【点评】此题考查了切线的判定，平行四边形的性质，等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解本题的关键．26．（11分）问题提出平面内不在同一条直线上的三点确定一个面，那么平面内的四点（任意三点均不在同一直线上），能否在同一个面上呢？初步思考设不在同一条直线上的三点A、B、C确定的圆为⊙O．（1）当C、D在线段AB的同侧时．如图①，若点D在⊙O上，此时有∠ACB=∠ADB，理由是同弧所对的圆周角相等．如图②，若点D在⊙O内，此时有∠ACB＜∠ADB；如图③，若点D在⊙O外，此时有∠ACB＞∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）由上面的探究，请直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：当C、D 在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．类比学习（2）仿照上面的探究思路，请探究：当C、D在线段AB的异侧时的情形．由上面的探究，请用文字语言直接写出A、B、C、D四点在同一个圆上的条件：当C、D在线段AB的异侧且∠ACB+∠ADB=180°时，A、B、C、D四点在同一个圆上．拓展延伸（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，求作：CN⊥AB作法：①连接CA、CB②在CB上任取异于B、C的一点D，连接DA，DB；③DA与CB相交于E点，延长AC、BD，交于F点；④连接F、E并延长，交直径AB与M；⑤连接D、M并延长，交⊙O于N，连接CN，则CN⊥AB．请安上述作法在图④中作图，并说明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的结论）【分析】（1）∠ACB=∠ADB的依据是：同弧所对的圆周角相等．利用圆周角定理及三角形的外角性质，即可得到圆外角、圆周角、圆内角三者之间的关系，进而得到四点共圆的判定方法．（2）利用圆周角的度数与所对弧的度数的关系即可得到∠ACB+∠ADB=180°；再结合三角形的外角性质，即可得到点D在圆内、圆外时∠ACB+∠ADB与180°的大小关系，进而得到四点共圆的判定方法．（3）由（2）中的结论可证到：点E、D、B、M在同一个圆上，从而有∠EMD=∠EBD．由∠CND=∠CBD可证到CN∥EM，进而可证到CN⊥AB．【解答】解：（1）①如图①，根据“同弧所对的圆周角相等”得∠ACB=∠ADB．②如图②，延长BD交⊙O于点E，∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB∴∠ACB＜∠ADB．③如图③，连接AF，∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB∴∠ACB＞∠ADB．故答案为：同弧所对的圆周角相等、＜、＞、当C、D在线段AB的同侧且∠ACB=∠ADB时，A、B、C、D四点在同一个圆上．（2）①如图④，∵与的度数之和等于360°，且∠ADB的度数等于度数的一半，∠ACB的度数等于度数的一半，∴∠ACB+∠ADB=180°．。
2013-2014学年九年级数学鼓楼区一模试题(含答案)
C G B
（第 16 题）
AB 根据上述过程，长方形纸片的长宽之比 ＝ BC 明、证明过程或演算步骤） 2 1 17． （6 分）计算： 2 － ． x －4 2x－4
▲
．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题 卡 指定区域 内作答，解答时应写出文字说 ．． ． ．．．．
5＋3x＞18， 18． （6 分）解不等式组x x－2 并写出不等式组的整数解． ≤4－ ． 2 3 19． （8 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BF＝DE． （1）求证：四边形 AECF 是菱形． （2）若 AB＝2，BF＝1，求四边形 AECF 的面积．
16． 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠： ①翻折纸片，使 A 与 DC 边的中点 M 重合，折痕为 EF； ②翻折纸片，使 C 落在 ME 上，点 C 的对应点为 H，折痕为 MG； ③翻折纸片，使 B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与 H 重合，折痕为 GE．
D C ① D F M C ② D F H A B A E B A E G B M C ③ D F H A E M
鼓楼区 2013-2014 学年度第二学期调研测试卷
九年级数学（一）
注意事项： 1．本试卷共 8 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答 在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将 自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有 一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题 卡 相应位置 上） ．． ． ．．．． x=-5， 1．下列方程组中，解是 的是 y=1 x+y=6， x+y=6， x+y=-4， x+y=-4， A． B． C． D． x-y=4. x-y=-6. x-y=-6. x-y=-4. 1 1 2．计算 2×(－9)－18×( － )的结果是 6 2 A．－24 B．－12 C．－9
2014年福州市鼓楼第一中心小学数学学科毕业试卷(小升初密卷)【附答案】
2014年福州市鼓楼第一中心小学数学学科毕业试卷(测试时间:80分钟 总分:100分)题 序一二三四五六总 分得 分一㊁认真审题,谨慎填空㊂(每空1分,共24分)1.由4个亿㊁70个万㊁501个一组成的数写作:( ),省略万后面的尾数约是( )万㊂2.1时25分=( )时 8立方米50立方分米=( )立方米3.( )既不是质数也不是合数,( )既是奇数又是合数㊂4.小玲今年x 岁,小丽今年y 岁,7年后小玲和小丽共( )岁㊂5.直角三角形的一个锐角是40度,另一个锐角是( )度㊂6.把53ʒ59化成最简整数比是(),比值是( )㊂7.28吨增加它的17后是( )吨,再减少17吨后是( )吨㊂8.12ʒ( )=( )8=3ː( )=15( )=0.75=( )%=( )折9.小王25小时步行32千米,他每小时步行( )千米,步行1千米要用( )小时㊂10.等底等高的圆柱和圆锥的体积和是40立方厘米,那么圆柱的体积是( )立方厘米,圆锥的体积是( )立方厘米㊂11.一组数据7,8,10,5,a ,这五个数据的平均数是7,则这组数的中位数是( ),众数是( )㊂二㊁仔细推敲,认真辨析㊂(每题1分,共6分)1.栽50棵树,死了2棵,成活率是48%㊂( )2.比617大又比817小的最简分数只有717㊂( )3.一幅地图,图上距离3厘米表示实际距离900米,这幅地图的比例尺是1300㊂( )4.教师节在每年的9月,这个月在第三季度,这个季度共有92天㊂( )5.一个数的最大因数等于这个数的最小倍数㊂( )6.两个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的表面积是32平方厘米㊂( )三㊁反复比较,慎重选择㊂(每题1分,共6分)1.如果把10米记作0米,11米记作+1米,那么下面说法错误的是( )㊂A.7米记作-7米 B .+8米表示实际18米 C .4米记作-6米2.小圆和大圆的半径比是2ʒ3,那么小圆和大圆的面积比是( )㊂A .2ʒ3B .4ʒ9C .无法判断3.A =B 5(A ㊁B 均不为0),A 和B 这两种量成( )关系㊂A .正比例B .反比例C .不成比例4.下面的图形中,对称轴数量最多的是( )㊂A .长方形B .正方形C .等腰三角形5.两个完全相同的平行四边形,a 和b 的阴影部分面积相比,( )㊂A .图a 的阴影部分面积大B .图b 的阴影部分面积大C .阴影部分面积相等6.如下图所示,把底面直径4厘米的圆柱切成若干等份,拼成一个近似的长方体㊂这个长方体的表面积比原来增加40平方厘米,那么长方体的体积是( )立方厘米㊂A .20πB .40πC .80π四㊁注意审题,细心计算㊂(第1题4分,第2题6分,第3题12分,共22分)1.直接写出得数㊂0.6ˑ0.5= 0.64ː0.8= 5.85ˑ1000=23ː2=34ˑ29=1-3ː6=1.25ˑ3ˑ8=57ˑ8ː57ˑ8=2.求未知数x ㊂2.6x +0.6x =64 34x +9=12 145ʒ18=75ʒx3.用递等式计算㊂121+1530ː15 3.25ˑ2-2.678-516-149.3ː2.5ː457ˑ45+27ː54716ː53ˑ25+45æèçöø÷[]五㊁细心观察,动手操作㊂(共6分)如下图,在正方形网格中,A B C是直角三角形㊂1.画出三角形绕点A逆时针旋转90ʎ后的图形㊂2.把旋转后的图形向左平移4格㊂3.画出原三角形A B C按2ʒ1放大后的图形㊂六㊁活用知识,解决问题㊂(第1㊁5题每题8分,其余每题5分,共36分)1.只列式不计算㊂(1)一台美的空调打七折后是1800元,这台空调原价是多少元?(2)王老师花50000元钱买银行保本型理财产品,预期一年后到期,预期年收益率4.50%,到期时王老师能得到多少收益?(收益不包括本金)(3)一个三角形模具的底是3.2分米,高是2.4分米,它的面积是多少平方分米?(4)一种药水,药粉和水的质量比是1ʒ16,现在要配制286克药水,需要药粉多少克?2.水果超市运来1000千克苹果,卖出25筐,每筐苹果35千克,超市里还剩多少千克苹果?3.学校课外兴趣小组活动精彩纷呈,参加小朴树艺术团的学生有150人,比参加墨韵俱乐部学生人数的58少15人,参加墨韵俱乐部的学生有多少人?(用方程解)4.A㊁B两地相距244千米,甲㊁乙两人骑电动自行车同时从两地相对开出,经过4小时后两车相遇,甲车每小时行28千米,乙车每小时行多少千米?5.一个圆柱形蓄水池,底面直径10米,深4米㊂(1)这个水池能蓄水多少吨?(1立方米水重1吨)(2)若在这个水池的侧面和池底抹上一层水泥,抹水泥的面积有多大?6.岳岳看一本科学探索书,共360页,4天看了全书的29㊂照这样计算,再看多少天就能把这本书看完?2014年福州市鼓楼第一中心小学数学学科毕业试卷一㊁1.400700501 400702.1512 8.053.1 9(答案不唯一)4.x +y +145.506.3ʒ1 37.32 31678.16 6 4 20 75 七五9.154 415 10.30 1011.7 5二㊁1.✕ 2.✕ 3.✕ 4. 5. 6.✕三㊁1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.B 四㊁1.略2.x =20 x =4 x =93.223 3.9 516 0.93 45732五㊁略六㊁1.(1)1800ː70%(2)50000ˑ1ˑ4.50%(3)3.2ˑ2.4ː2(4)286ˑ11+162.1000-25ˑ35=125(千克)3.设参加墨韵俱乐部的学生有x 人㊂58x -15=150x =2644.244ː4-28=33(千米)5.(1)(10ː2)2ˑ3.14ˑ4=314(立方米)=314吨(2)10ˑ3.14ˑ4+(10ː2)2ˑ3.14=204.1(平方米)6.1ː29ː4()=18(天)18-4=14(天)。
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区七年级(上)期末数学试卷
2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区七年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卷相应位置上．1．（2分）如果水位升高1米记为+1米，那么水位下降2米应记为（）A．﹣1米B．+1米C．﹣2米D．+2米2．（2分）下列四个数中，最大的数是（）A．（﹣2）2B．﹣（﹣2）C．|﹣2|D．﹣|﹣2|3．（2分）已知水星的半径约为24400000米，用科学记数法表示为（）米．A．0.244×108B．2.44×106 C．2.44×107 D．24.4×1064．（2分）下列各式中，运算正确的是（）A．3a2+2a2=5a4B．a2+a2=a4C．6a﹣5a=1 D．3a2b﹣4ba2=﹣a2b5．（2分）把两块三角板按如图那样拼在一起，那么∠ABC的度数是（）A．70°B．75°C．105°D．120°6．（2分）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上．7．（2分）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“8cm”分别对应数轴上的﹣3和x，那么x的值为．8．（2分）方程﹣2x=4的解是．9．（2分）﹣5和1之间的负整数有．10．（2分）已知∠A=20°36′，则∠A的余角等于．11．（2分）如果两个单项式的和是0，那么这两个单项式可能是．（只写一种）12．（2分）化简：（﹣3x）2÷（﹣3x）=．13．（2分）如果a+b=43，并且2a+3b=96，则b=．14．（2分）如果2x+m=1﹣x，若m≠﹣2，那么x的取值范围是．15．（2分）已知∠ABC=30°，∠ABD=50°，若射线BE、BF分别是∠ABC、∠ABD的平分线，则∠EBF的度数为．16．（2分）请根据如图所示的信息，说明方程15﹣3.2x=2.2的实际意义．三、解答题：本大题共11小题，共68分。
鼓楼答题卡
C
（2）
20． （8 分） （1）
（2）
第 2 页 共 6 页
21． （8 分） （1）
市城镇非私营单位 1 000 人月收入统计
（2）
人数
图
700 600 500 400 300 200
（第 21 题）
（3）
10 0 0 200 0 以 200 0 ～ 400 0 400 0 ～ 600 0 600 0 ～ 800 0 800 0 以 月 工 资 （元）
（3）
5 6 7 8 （第 24 题）
9
x（km）
第 4 页 共 6 页
25． （8 分） （1）
D E O
C
（2）
A （第 25 题） B
（3）
26． （11 分） （1）理由是 ∠ACB （2）
C C C
； ∠ADB，∠ACB ∠ADB． ．
A
O B
A
O B
A
O B
，
，
． ．
（3）
第 5 页 共 6 页
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分． ） 17． （6 分）计算： 1 2 － ． x2－4 2x－4
5＋3x＞18， ⎧ ⎪ 18． （6 分）解不等式组⎨ x x－2 并写出不等式组的整数解． ⎪3≤4－ 2 ． ⎩
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19． （8 分） （1）
A E F
D
B
（第 19 题）
鼓楼区 2013-2014 学年度第二学期调研测试卷
九年级数学（一）答题卡
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分． ） 题号 答案 二、填空题（本大题共 10 小题，每空 2 分，共 20 分． ） 7． 8． 9． 10． 11． ． ． ． ． ． 12． 13． 14． 15． 16． ︰ ． ． ． ． ． 1 2 3 4 5 6
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D．6
a2 289 324 361 a 4.123 4.243 4.359 10a 13.038 13.416 13.784
3．利用表格中的数据，可求出 3.24＋(4.123)2－ 190 的近似值是(结果保留整数)．
4．把边长相等的正五边形 ABGHI 和正六边形 ABCDEF 的 H K AB 边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接 EB，交 HI 于点 K，则∠ F BKI I 的大小为 G C A．90° C．72°
16． 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：
第 3 页 共 9 页
①翻折纸片，使 A 与 DC 边的中点 M 重合，折痕为 EF； ②翻折纸片，使 C 落在 ME 上，点 C 的对应点为 H，折痕为 MG； ③翻折纸片，使 B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与 H 重合，折痕为 GE．
D C ① D F M C ② D F H A B A E B A E G B M C ③ D F H A E G B M C
O
A （第 25 题）
B
26． （11 分） 问题提出 平面内不在同一条直线上的三点确定一个圆． 那么平面内的四点(任意三点均不在同一 直线上） ，能否在同一个圆呢？ 初步思考 设不在同一条直线上的三点 A、B、C 确定的圆为⊙O． ⑴当 C、D 在线段 AB 的同侧时， 如图①，若点 D 在⊙O 上，此时有∠ACB＝∠ADB，理由是 如图②，若点 D 在⊙O 内，此时有∠ACB ▲ ∠ADB； 如图③，若点 D 在⊙O 外，此时有∠ACB ▲ ∠ADB． （填“＝” 、 “＞”或“＜” ） ；
▲
，
此时有
▲
， 此时有
▲
．
由上面的探究，请用文字语言直接写出 A、B、C、D 四点在同一个圆上的条件： ▲ ．
（3）如何过圆上一点，仅用没有刻度的直尺，作出已知直径的垂线？ 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上． 求作：CN⊥AB． 作法：①连接 CA，CB； ⌒上任取异于 B、C 的一点 D，连接 DA，DB； ②在 CB ③DA 与 CB 相交于 E 点，延长 AC、BD，交于 F 点； ④连接 F、E 并延长，交直径 AB 于 M； ⑤连接 D、M 并延长，交⊙O 于 N．连接 CN． 则 CN⊥AB． 27． （9 分） 【课本节选】 k 反比例函数 y＝ (k 为常数,k≠0)的图象是双曲线.当 k＞0 时， 双曲线两个分支分别在 x 一、三象限,在每一个象限内,y 随 x 的增大而减小（简称增减性） ；反比例函数的图象关于 原点对称（简称对称性） ． 这些我们熟悉的性质，可以通过说理得到吗？ 【尝试说理】 k 我们首先对反比例函数 y＝ （k＞0）的增减性来进行说理． x 如图，当 x＞0 时． k k 在函数图象上任意取两点 A、B，设 A(x1， )，B(x2， )， x1 x2 且 0＜x1＜ x2． 错误!A k x2
x≥8000
合计
2000 以下
2000 ～ 4000
4000 ～ 6000 （第 21 题）
6000 ～ 8000
8000 以上
月工资 （元）
（1）如果 1000 人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由； （2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图； （3）2012 年南京市城镇非私营单位月平均工资为 5034 元，请你结合上述统计的数据，谈一 谈用平均数反映月收入情况是否合理？
鼓楼区 2013-2014 学年度第二学期调研测试卷
九年级数学（一）
注意事项： 1．本试卷共 8 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答 在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将 自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置， 在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
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一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题 卡 相应位置 上） ．． ． ．．．． x=-5， 1．下列方程组中，解是 的是 y=1 x+y=6， x+y=6， x+y=-4， x+y=-4， A． B． C． D． x y =4 . x y = 6 . x y = 6 . x-y=-4. 1 1 2．计算 2×(－9)－18×( － )的结果是 6 2 A．－24 B．－12 C．－9
2
▲
（单位：cm） ；
（2）若折成的一个长方体盒子的表面积为 950cm ，求此时长方体盒子的体积．
x x 30cm x
40cm （第 23 题）
24． （8 分）2014 年 2 月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电 动出租车的运价． 车型 普通燃油型 纯电动型 起步公里数 3 2.5 起步价格 9 元＋2 元（燃油附加费） 9元 超出起步公里数后的单价 2.4 元/公里 2.9 元/公里
（第 16 题）
AB 根据上述过程，长方形纸片的长宽之比 ＝ BC 明、证明过程或演算步骤） 2 1 17． （6 分）计算： 2 － ． x －4 2x－4
▲
．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答题 卡 指定区域 内作答，解答时应写出文字说 ．． ． ．．．．
5＋3x＞18， 18． （6 分）解不等式组x x－2 并写出不等式组的整数解． 3≤4－ 2 ． 19． （8 分）已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，且 BF＝DE． （1）求证：四边形 AECF 是菱形． （2）若 AB＝2，BF＝1，求四边形 AECF 的面积．
类别 (男， 男) (男， 女) (女， 男) (女， 女) 合计
数量 （户） 101 99 116 84 400
15．如图，⊙O 的半径是 5，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB、BC、AC 的垂线，垂足为 E、F、G，连接 EF． 若 OG＝2，则 EF 为 ▲ ．
E A O F B （第 15 题） G C
A E D
F C
B
（第 19 题）
20． （8 分）甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来 决定演唱顺序． （1）求甲第一位出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．
21．（8 分）为了解南京市 2012 年市城镇非私营单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇 非私营单位随机抽取了 1000 人进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：
设乘客打车的路程为 x 公里,乘坐普通燃油出租车及纯电动出租车所需费用分别为 y1、y2 元． （1）直接写出 y1、y2 关于 x 的函数关系式，并注明对应的 x 的取值范围； （2）在如下的同一个平面直角坐标系中，画出 y1、y2 关于 x 的函数图象； （3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．
k k 这说明：x1＜ x2 时， ＞ ．也就是：自变量值增大了，对应的函数值反而变小了． x1 x2 即：当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小． 同理，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小． k （1）试说明：反比例函数 y＝ （k＞0）的图象关于原点对称． x 【运用推广】 （2）分别写出二次函数 y＝ax2 (a＞0，a 为常数)的对称性和增减性，并进行说理． 对称性： 增减性： 说理：
1 9．使 有意义的 x 的取值范围是 x＋2 10． (2×103) ×(3×10 3) ＝
－
2
11．已知⊙O1，⊙O2 没有公共点．若⊙O1 的半径为 4，两圆圆心距为 5，则⊙O2 的半径可以 是 ▲ ． （写出一个符合条件的值即可）
D C
12．如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，连接 AC， ∠DAC＝∠BAC．若 BC＝4cm，AD＝5cm，则梯形 ABCD 的周长为 ▲ cm．
D C D C D C
▲
；
A
O B 图①
O A 第 7 页 共 9 页 B 图②
A
O B 图③
由上面的探究，请直接写出 A、B、C、D 四点在同一个圆上的条件： 类比学习 （2）仿照上面的探究思路，请探究：当 C、D 在线段 AB 的异侧时的情形．
C C C
▲
．
A
O B
A
O B
AБайду номын сангаас
O B
此时有 拓展延伸
y（元）
30 25 20 第 6 页 共 9 页 15 10 5
25．（8 分） 如图,在□ABCD 中,过 A、 B、 D 三点的⊙O 交 BC 于点 E,连接 DE,∠CDE＝∠DAE． （1）判断四边形 ABED 的形状，并说明理由； C D （2）判断直线 DC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB＝3，AE＝6，求 CE 的长． E
A A
A D β O 60° α （图②） （第 22 题） 第 5 页 共 9 页 B （图③） C
B （图①）
C
B
C
23．（8 分）如图，把长为 40cm，宽为 30cm 的长方形硬纸板，剪掉 2 个小正方形和 2 个小长 方形（阴影部分即剪掉的部分） ，将剩余部分折成一个有盖 的长方体盒子，设剪掉的小正 ．． 方形边长为 x cm． （纸板的厚度忽略不计） （1）长方体盒子的长、宽、高分别为
6．如图， QQ 软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体． 下列图形中，是该几何体的表面展开图的是