六年级下册数学竞赛试题-第三节裂项求和一A班 全国通用
小学奥数教程之裂项综合
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
学科培优数学“裂项综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
小学六年级奥数裂项求和
裂项求和 11111122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 分析：这是我们裂项求和的基本型。
它具备三个特点（1）分子都是1，(2)分母都是相邻两数相乘，（3）相邻两项的分母的首尾因数必须相同。
1111212=-⨯ 1112323=-⨯ 解：原式=111111111122334989999100-+-+-++-+- =11100- =99100例2. 22222122334989999100+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 分析：这和我们的基本型有什么不同？分子不是1是2，我们把这种题型叫做分子变化型，解题思路就是分子是几就提出几。
解：原式=1111111112122334989999100⎛⎫⨯-+-+-++-+- ⎪⎝⎭ =121100⎛⎫⨯-⎪⎝⎭ =9950 例3. 11112446684850++++⨯⨯⨯⨯ 分析：这和我们基本型有什么不同？分母的因数不是相邻两数相乘，它们的差是2，其他都符合，解题思路是分子相差几就提出几分之1。
这种叫做分母变化型。
111124224⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭ 111146246⎛⎫=⨯- ⎪⨯⎝⎭解：原式=11111111122446684850⎛⎫⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭=1112250⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =625例4．33335579799+++⨯⨯⨯分析：这种题型叫做分子分母变化型，解题思路分子是几，分母相差几，就提出几分之几。
解：原式=3111111235579799⎛⎫⨯-+-++- ⎪⎝⎭ =3112399⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =1633例5. 11111315356399++++ 分析：认真观察分母，看它和基本型有什么关联。
解：原式=1111113355779911++++⨯⨯⨯⨯⨯ =1111111111123355779911⎛⎫⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭=111211⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =511例6. 179111315131220304256-+-+- 分析：观察分子和分母的联系，这里要注意括号外是“—”号，括号内的每一项都要变号。
六年级下学期数学竞赛试题(含答案)一图文百度文库
六年级下学期数学竞赛试题(含答案)一图文百度文库一、拓展提优试题1．建筑公司建一条隧道，按原速度建成时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要天．2．如图是根据鸡蛋的三个组成部分的质量绘制的扇形统计图，由图可知，蛋壳重量占鸡蛋重量的%，一枚重60克的鸡蛋中，最接近32克的组成部分是．3．如图，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2分别表示两块空白部分的面积，则S1﹣S2＝cm2（圆周率π取3）．4．有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米．5．有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）．6．A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有小球个．7．对任意两个数x，y，定义新的运算*为：（其中m是一个确定的数）．如果，那么m＝，2*6＝．8．图中的三角形的个数是．9．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了39个数，擦去的两个质数的和最大是．10．如图所示的“鱼”形图案中共有个三角形．11．如图，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝BC ＝CD＝3厘米，则EF＝厘米．12．一次智力测试由5道判断对错的题目组成，答对一道得20分，答错或不答得0分．小花在答题时每道题都是随意答“对”或“错”，那么她得60分或60分以上的概率是%．13．如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．14．从1，2，3，…，2016中任意取出n个数，若取出的数中至少有两个数互质，则n最小是．15．将浓度为40%的100克糖水倒入浓度为20%的a克糖水中，得到浓度为25%的糖水，则a＝．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：（1﹣）÷[（1+20%）×80%]＝÷[120%×80%]，＝，＝；185÷（+）＝185÷，＝180（天）．答：按原速度建完，则需要180天．故答案为：180．2．解：（1）1﹣32%﹣53%，＝1﹣85%，＝15%；答：蛋壳重量占鸡蛋重量的15%．（2）蛋黄重量：60×32%＝19.2（克），蛋白重量：60×53%＝31.8（克），蛋壳重量：60×15%＝9（克），所以最接近32克的组成部分是蛋白．答：最接近32克的组成部分是蛋白．故答案为：15，蛋白．3．解：3×（16÷2）2﹣122＝192﹣144，＝48（平方厘米）；答：S1﹣S2＝48cm2．故答案为：48．4．解：（9×2﹣2×3）÷（3﹣2），＝（18﹣6）÷1，＝12÷1，＝12（米），（12+9）×2，＝21×2，＝42（米）．故答案为：42，12．5．解：每人答对x道，不答y道，答错z道题目，则显然x+y+z＝20，z＝20﹣x﹣y；所以一个学生得分是：25+3x+y﹣z，＝25+3x+y﹣（20﹣x﹣y），＝5+4x+2y；4x+2y显然是个偶数，而5+4x+2y的和一定是个奇数；2013个奇数相加的和仍是奇数．所以所有参赛学生得分的总和是奇数．故答案为：奇．6．解：根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4＝64个，最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2＝8个，由于小球的转移不改变总数，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8＝40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2＝4个，D中有40÷2＝20个，总数不变，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20＝36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2＝2个，C中有小球36÷2＝18个，D中有小球20÷2＝10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10＝34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2＝17个，C中有小球18÷2＝9个，D中有小球10÷2＝5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5＝33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个；答：开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个；故答案为：A，33．7．解：（1）1*2＝＝，即2m+8＝10，2m＝10﹣8，2m＝2，m＝1，（2）2*6，＝，＝，故答案为：1，．8．解：根据题干分析可得：10+10+10+5＝35（个），答：一共有35个三角形．故答案为：35．9．解：由剩下的数的平均数是19，即得最大的数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了1到39这39个数；剩余36个数的和：19×36＝716，39个数的总和：（1+39）×39÷2＝780，擦去的三个数总和：780﹣716＝64，根据题意，推得擦去的三个数中最小是1，那么两个质数和63＝61+2能够成立，61＞39不合题意；如果擦去的另一个数是最小的合数4，64﹣4＝6060＝29+31＝23+37，成立；综上，擦去的两个质数的和最大是60．故答案为：39，60．10．解：由一个三角形组成：14个；由两个三角形组成：8个；由三个三角形组成：8个；由四个三角形组成：4个；由六个三角形组成：1个；总共：14+8+8+4+1＝35个．故共有35个三角形．故答案为：35．11．解：如图延长并反向延长AF，BC，DE，分别相交与点G、H、N，因六边形ABCDEF的每个角是120°所以∠G＝∠H＝∠N＝60°所以△GHN，△GAB，△HCD，△EFN都是等边三角形AB＝BC＝CD＝3厘米，△GHN边长是3+3+3＝9（厘米）AN＝9﹣3＝6（厘米）AN＝AF+EFDE＝六边形ABCDEF的周长﹣AB﹣BC﹣CD﹣（AF+EF）＝16﹣3﹣3﹣3﹣6＝1（厘米）EF＝EN＝9﹣3﹣1＝5（厘米）答：EF＝5厘米．故答案为：5．12．解：有答对一题，两题，三题，四题，五题，全错六种情况，答对三题是60分，四题是80分，五题是100分，她得60分或60分以上的概率是：＝50%．答：她得60分或60分以上的概率是50%．故答案为：50%．13．解：根据分析得出的规律我们可以得到：图⑩中有3+（4+6+8+10+12+14+16+18+20）＝3+（4+20）×9÷2＝111；故答案为：111．14．解：根据分析，1～2016数中，有奇数1008个，偶数1008个，因为偶数和偶数之间不能互质，故：①n＜1008时，有可能取的n个数都是偶数，就不能出现至少有两个数互质的情况；②n＝1008时，若取的数都是偶数，也不能出现至少有两个数互质的情况；③n≥1009时，则取的n个数里至少有一个为奇数，取出的这个奇数和它相邻的偶数一定互质，综上，n最小是1009．故答案是：1009．15．解：依题意可知：根据浓度是十字交叉法可知：浓度差的比等于溶液质量比即1：3＝100：a，所以a＝300克故答案为：300。
六年级下册数学 小学奥数计算模块分数裂项 全国通用 张
例题2
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156
六年级下册数学 小学奥数计算模块分数裂项 全国通用 张
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计算：
练习2
1 2 3 2 5 2 7 2 9 2 11 2 13 2
5 6 7 12 20 30 42
六年级下册数学 小学奥数计算模块分数裂项 全国通用 张
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计算：
练习5
4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 68 7 9 810 911
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计算：
练习3
2 22 2 2 2
1 23 23 4 3 45 45 6 5 6 7 789 8
六年级下册数学 小学奥数计算模块分数裂项 全国通用 张
六年级下册数学 小学奥数若[x]表示x的整数部分，{x}表示x 23 4 5
这个数列的第n项用an来表示，求：
分数裂项
癸酉0311
Your heart is full of fertile seeds,waiting to sprout.
个人简介
➢姓名：癸酉0311 ➢性别：男 ➢兴趣爱好：篮球、足球、羽 球、桌球、跑步、健身、爬山 摄影、音乐、文学… ➢教学特点：充分挖掘学生自 潜力，用“爱”与“智慧”陪 学生成长
3 70
六年级下册数学 小学奥数计算模块分数裂项 全国通用 张
计算：
练习1
3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11
六年级奥数,裂项求和,带答案
1.计算：（ ）。
A.B.C.D.答案：A解析：2.（ ）。
A.B.C.D.答案：C 解析：3.计算：=（ ）。
A.B.C.D.答案：C解析：原式=。
4.计算（ ）。
A.B.+421+561+721+901+1101=132112142437271132131+421+561+721+901+11011321=−61+71−7181+⋅⋅⋅+−101+111−111121=−61121=121+3×51+5×71+7×91⋯+=2011×201312013750201377520133354026335+3×51+5×71+7×91⋯+2011×20131=×−+−+⋯+−21(315151712011120131)=×−21(3120131)=2013335+3×41+4×51+5×61⋯++9×10110×111334332338111−31=111338+61+101+401=8818827551813答案：D解析：5.（ ）。
A.B.C.D.答案：A 解析：原式。
6.解⽅程：，。
A.B.C.D.答案：A 解析：解：7.算式的计算结果是（ ）。
A.B.C.答案：B解析：原式+61+101+401881=+2×31+2×51+5×818×111=−21+31×31−+−+−(2151518181111)=−21+31223=3310−+−+×(2093011421356157217)120−÷31=41424315311632=+−−++−−++×(41515161617171818191)120−=34=312642−=35x +244x +3127x =空类2123445x +2−34x +3=7()()20x +8−12x +9=7()()20x +8−12x −9=78x =8x =1++++×(2161121201301)2016167016801690=++++×(1×212×313×414×515×61)2016=1−×(61)20168.算式：=（ ）。
六年级下册数学试题 -数学竞赛 数列分组 全国通用版(含答案)
小学数学六年级（2019全国通用）-数学竞赛部分-数列分组（含答案）一、单选题1.如图，将自然数1，2，3，…，按箭头所指方向顺序排列，依次在2，3，5，7等数的位置拐弯，如数2算做第一次拐弯处，那么第15次拐弯处的数是（）A. 64B. 65C. 66D. 67二、填空题2.有一串分数，，,，，，，，，，，，，，，；是第________ 个数．3.自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是________ ．4.观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是________ ，2010是第________ 行第________ 个数．5.给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1）是第________ 项；（2）第244项是________ ；（3）前30项之和是________ ．6.如图，问：第11行最左边的数是________ ．7.在以下数列：，，，，，，，，，，，，…中，居于第________ 项．8.将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第________ 行第________ 列．9.右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是________ ．10.把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第________ 行第________ 列．三、计算题11.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．12.计算（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100）13.把1，2，3，…，9填在如图的9个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？14.有一数列：101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．四、综合题15.根据下图回答：（1）第一行的第8个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？16.观察下表找规律，并回答下列问题．A：1 6 7 12 …B：2 5 8 11 …C：3 4 9 10 …（1）到2012为止，A、B、C各有多少个数？（2）512和520这两个数分别躲在哪一组？17.设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……（1）200所在的位置是第________ 行，第________ 列；（2）第10行第10个数是________ ．18.自然数按下图所示的方法排列．问：（1）射线b上第1995个数是几？（2）数1995在哪条射线上？19.将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．（1）第15组中第一个数是________ ；（2）第15组中所有数的和是________ ；（3）999位于第________ 组第________ 号．五、应用题20.有一个电脑程序，当你输入一个数字时，会输出如图结果：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84．21.在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？5 4 3 26 7 8 913 12 11 1014 15 16 1721 20 19 18…22.将偶数排成下表：A B C D E2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26…那么，1998这个数在哪个字母下面？23.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．24.把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C组的第56个数是几？（3）172在哪一组的第几个数？25.把由1开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…．重新分组，按三个数字为一组：123，456，789，101，112，131，…，问第10个数是几？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察拐弯处的数的规律，可以得到n个拐弯处的数，当n 为奇数时为：1+（1+3+5+…+n）=+1，所以第15次拐弯处的数是：+1=65．故选：B．【分析】解这类题目最好是能找到拐弯次数n与拐弯处的数之间的关系，观察可以发现，当n 为奇数时为1+（1+3+5+…+n）=+1，据此即能求出那么第15次拐弯处的数是多少．二、填空题2.【答案】126或140【考点】数列分组【解析】【解答】解：分母是11的分数一共有；2×11﹣1=21（个）；从分母是1的分数到分母是11的分数一共：1+3+5+7+ (21)=（1+21）×11÷2，=22×11÷2，=121（个）；第一个是第122个数，第一个就是第126个数；第二个就是第140个数．故答案为：126或140．【分析】分母是1的分数有1个，分子是1；分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n﹣1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是11的分数一共有多少个；分子是自然数，先从1增加，到和分母相同时再减少到1；因此在这个数列中应该有2个，分别求出即可．3.【答案】1729【考点】数列分组【解析】【解答】第1组到第9组共有自然数：1+3+5+…+（2×9﹣1）==81（个）．因此，第10组第1号数是82，第10组有2×10﹣1=19个数，所以第10组各数之和为．故答案为：1729．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第1组有2×1﹣1=1个数，即1．第2组有2×2﹣1=3个数，即1，2，3．以此类推．4.【答案】462；45；74【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数×2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数．到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010应该是第2010个数；可先试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．故答案为：462、45、74．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行1个数，第二行3个数，第三5个数…，所以行数×2﹣1=个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数，到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）2010应该是第2010个数，那么1+3+5+…加到多少大概在2010左右呢？由（1）可知，第22行有22×2﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5+…+43=484个数字，离2010个数字很远，试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．5.【答案】429；；17【考点】数列分组【解析】【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有1+2+3+...+28==406个分数，因此位于第406+23=429项．（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30项之为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+7）++=1+2++3++4+=10+=17．故答案为：429，，17．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．6.【答案】101【考点】数列分组【解析】解：根据分析可得，方法一：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；故答案为：101．【分析】方法一：如果单看第一列的数的排列规律是每次递增1、3、5、7…（等差数列）；根据高斯求和公式，可以求出第11行最左边的数是：10×1+10×（10﹣1）×2÷2+1=101；方法二：单看每一行的最后一个数会发现：最后一个数等于行数的平方，所以第10行最后一个数是：102=100，那么第11行最左边的数是：100+1=101；据此解答．7.【答案】319【考点】数列分组【解析】【解答】解：将分子与分母之和相等者归于同一组：，，，，…，其中在7+19﹣1=25组，是第25﹣7+1=19个数；1至24组共有分数：1+2+3++24==300（个）．所以在原数列中是第300+19=319项．故答案为：319．【分析】首先发现第一个数的分子分母的和为2，第二、第三个数的分子分母的和为3，第四、五、六个数的分子分母的和为4，…，由此将分子与分母之和相等的归于同一组，算出在7+19﹣1=25组，在算出在25组的位置，由此找出规律解决问题．8.【答案】14；45【考点】数列分组【解析】【解答】解：观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452=2025，2025﹣2012+1=14，所以自然数2012在左起第45列，上起第14行．故答案为：14，45．【分析】察不难发现，第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，根据此规律求出与2012最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可．9.【答案】【考点】数列分组【解析】【解答】解：因为第10行最后一个数是，第9行最后一个数是，第8行最后一个数是，所以第9行倒数第二个数是﹣=，第十行倒数第二个数是﹣=，所以，第10行右数第三个数是﹣=．故答案为：．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．10.【答案】五百七十；二【考点】数列分组【解析】【解答】解：1995÷7=285；没有余数，1995里面正好有中285组，是第285组的最后一个数，在第二列；285×2=570；所以1995是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【分析】把7个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后4个数在一行，这4个数按照从右到左增大的；先求出1995里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．三、计算题11.【答案】解：1×665+（666+1993）×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241；答：这1993个数的和为1766241．【考点】数列分组【解析】【分析】仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1．可分为664组，最后一个也是1，即665个1，其余是1993﹣665=1328个数，即除了1之外，最大是1993，最小应是1993﹣1328+1=666，首先算出这1328个数的和再加665个1即可．12.【答案】解：（1）1﹣2+3﹣4+5﹣6+…﹣1994+1995，=1+（3﹣2）+（5﹣4）+…+（1995﹣1994），=998；（2）1995﹣1992+1989﹣1986+…+9﹣6+3=（1995﹣1992）+（1989﹣1986）+…+（9﹣6）+3，=[（1995﹣9）÷6+1]×3+3，=332×3+3，=999；（3）（3+5）+（3+5×2）+…+（3+5×99）+（3+5×100），=（3+3+3+…+3）+（5+5×2+5×3+…5×99+5×100），=3×100+（5+500）×100÷2，=25550．【考点】数列分组【解析】【分析】（1）通过数字发现从最后的数字起，用最后的数字减去前面的数字结果是1，以此类推可以分成（1995﹣1）÷2=997组，最后剩下开头数字1，由此得出结果；（2）从前面开始发现每两个相邻的是相减结果都是3，而被减数和减数是依次减6的数列，所以一共分成（1995﹣9）÷6+1=332组，最后剩下甲3，由此为题得以解决；（3）把括号去掉，重新分组，把100个3放在一起相加，把与5相乘的算式放在一起，利用乘法分配律解答即可．13.【答案】解：设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，由题意得，a+b≤nb+c≤nc+d≤nd+e≤ne+f≤nf+g≤ng+h≤nh+i≤ni+a≤n2（a+b+c+d+e+f+g+h+i）≤9n得出n≥10，当n=10的只有9+1，8+2，7+3，6+4，另一个与9相邻最小是2，因此n=10不符合题意，所以n=11．填图如下：．【考点】数列分组【解析】【分析】不妨设这9个数字分别为a、b、c、d、e、f、g、h、i，根据题意连续相邻的2个圆圈内的数的和均不超过整数n，得出不等式，从而可得出n的最小值，进而将9个数分组填入即可．14.【答案】解：（1）101+（10﹣1）×4=137，（101+137）×10÷2=1190，203+（10﹣1）×4=239，（203+239）×10÷2=2210，前20项的和是：1190+2210=3400．答：这数列的前20项的和是3400．【考点】数列分组【解析】【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；偶数项为：203，207，211，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；根据等差数量求和公式求解．四、综合题15.【答案】（1）解：如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…第n组第1号数是第一行的第n个数．从第1组到第（n﹣1）组有：1+2+3++（n﹣1）=个数，从而第n组第1号数是+1．因此，第1行第8个数是+1=29．（2）解：一般地，自上至下第m行，自左至右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第10组中，第10组第1号数是+1=46，第10组在第五行的数是46+5﹣1=50．（3）解：19×20=380，20×21=420，故200在第20组中，第20组第一个数是+1=191，因此数200在第10行第11列的位置上．【考点】数列分组【解析】【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…也就是每组的个数分别有1，2，3，4，5，…，第一行的第8个数是几即求前7个组共有多少数？我们还发现：自上而下第m行，自左而右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第2题．先算出200在哪一组？再算出所在组的第一个数．16.【答案】（1）解：2012÷6=335…2；余数是2，刚好由上往下排2行，A：335×2+1=671（个）；B：335×2+1=671（个）；C：335×2=670（个）．答：A组有671个，B组有671个，C组有670个．（2）解：512÷6=85…2；512在B组；520÷6=86…4；520在C组．答：512在B组，520在C组．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察，每6个数一个循环，占两列，前3个数为一列向下递增排列，后3个数为一列从下向上递增．（1）用2012除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得解；（2）用512、520除以6得到的商乘2得到列数，余数再继续排一下即可得．17.【答案】（1）4；15（2）91【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，…按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则200在196与225之间，属第15组，倒数第4个数，在第4行、第15列上．（2）第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如4=22，9=32，25=52…其数列发展也是按正方形来排列的1→2→3→4，正好构成一个正方形，1→2→3→4→5→6→7→8→9又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第14行第一列是142=196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200就出现在第15列第4行．（2）第2题也可以得出第10行第1列为102=100，第10个数就得减9即得到91．18.【答案】（1）解：2+（1995﹣1）×3=2+1994×3，=5984；答：射线b上第1995个数是5984．（2）解：因为射线c上的数都为3的倍数，又1995÷3=665，所以数1995在射线C上．答：数1995在射线C上．【考点】数列分组【解析】【分析】通过观察可知，射线b上的数列为等差数列，公差为3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）×公差，所以射线b上第1995个数是2+（1995﹣1）×3；射线c上的数都为3的倍数，而1995÷3=665，1995为3的倍数，所以所以数1995在射线C上．19.【答案】（1）211（2）3375（3）32；4【考点】数列分组【解析】【解答】解：（1）从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105（个）．因此，第15组最初一个数是第106个奇数：2×106﹣1=211．（2）在第15组中的数是以211为首项，公差为2，项数等于15的等差数列，其和是15×211+×2=3375．（3）设999位于第n组，因31×32=992，32×33=1056，所以n=32，第32组最初一个数是：[2×（1+2+…+31）﹣1]+2=993．因此，999是第32组的第4号数．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第3组就有三个奇数，第一题先看从第1组到第14组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．五、应用题20.【答案】解：当n=4时，输出图形是2×4﹣1=7行和7列的数列，数字之和是7+12+15+16+15+12+7=84；答：那么当输入4时，输出图形中的数字之和是84；故答案为：84．【考点】数列分组【解析】【分析】如上图所示，认真观察，发现规律，当n确定后，输出图形是一个数列，行数和列数都是2n﹣1，以n为中心，即第n行和第n列的交叉处的数字是n，向外依次减去1，象花朵一样，层层减去1，直到最外层全部是1；因此得解．21.【答案】解：99×4=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：396+1+1=398；答：第100行左边的第一个数是398．【考点】数列分组【解析】【分析】因为每行有4个数，前99行共有99×4=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，第100行的第一个数是第397个数，由此求解．22.【答案】解：1998÷16=124 (14)所以，1998与14同列在B列．【考点】数列分组【解析】【分析】由图表看出：偶数依次排列，每8个偶数一组依次按B、C、D、E、D、C、B、A列顺序排．看A列，E列得到排列顺序是以16为周期来循环的．求出1998里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．23.【答案】解：第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．【考点】数列分组【解析】【分析】这个就需要解公因式：40可以拆分为2×2×2×5，44可拆分为2×2×11，45可拆分为3×3×5，63可拆分为3×3×7，65可拆分为5×13，78可拆分为2×3×13，99可拆分为3×3×11，105可拆分为3×5×7，这样就明确了，把两个7两个11两个13分开，6个2一边三个、4个5分开第一组：2×2×2×5、3×3×11、5×13、3×3×7；第二组：2×2×11、2×3×13、3×3×5、3×5×7；即第一组为40、99、65、63；第二组为44、78、45、105．24.【答案】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A组：6n﹣5，B组：6n﹣4，C组：6n﹣3，按竖列递增k=2n﹣1，偶数项：A组：6n，B组：6n﹣1，C组：6n﹣2，按竖列递减k=2n；每一组的第k项k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3…据此可知：（1）200=6×33+2=6×34﹣4（属于B组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B组有67项最后一个数200，是B组的第67项；A组有67项，最后一个数199，是A组的第67项；C组有66项，最后一个数196，是C组的第66项．（2）C组k=56项n=28是：6×28﹣2=166．（3）172=6×28+4=6×29﹣2 （C组偶数项），C组偶数项，n=29，k=2×29=58，所以，172是C组的第58个数．【考点】数列分组【解析】【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．25.【答案】解：从1到9有9个数字，10到19有20个数字，从1到19一共由29个数字，第28个数字是1，第29个数字是9，下一个数字应是20的第一个数字2，所以第10个三位数是192．【考点】数列分组【解析】【分析】重新分组的是一个三位数，要求第10个数是几，只要求出第28、29、30个数字是多少即可解决问题．。
六年级下学期数学竞赛试题(含答案)
六年级下学期数学竞赛试题(含答案)一、拓展提优试题1．把一个自然数分解质因数，若所有质因数每个数位上的数字的和等于原数每个数位上的数字的和，则称这样的数为“史密斯书数”如：27＝3×3×3.3+3+3＝2+7，即27是史密斯数，那么，在4，32，58，65，94中，史密斯数有个．2．如图，三个同心圆分别被直径AB，CD，EF，GH八等分，那么，图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是．3．若A、B、C三种文具分别有38个，78和128个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下2个A，6个B，20个C，则学生最多有人．4．一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多，两车同时从甲乙两地相对开出2小时后，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇，则甲乙两地相距千米．5．图中的三角形的个数是．6．某工程队修建一条铁路隧道，当完成任务的时，工程队采用新设备，使修建速度提高了20%，同时为了保养新设备，每天工作时间缩短为原来的，结果，前后共用185天完工，由以上条件可推知，如果不采用新设备，完工共需天．7．如图，六边形ABCDEF的周长是16厘米，六个角都是120°，若AB＝BC ＝CD＝3厘米，则EF＝厘米．8．如图是甲乙丙三人单独完成某项工程所需天数的统计图，根据图中信息计算，若甲先做2天，接着乙丙两人合作了4天，最后余下的工程由丙1人完成，则完成这项工程共用天．9．某日是台风天气，雨一直均匀地下着，在雨地里放一个如图1所示的长方体容器，此容器装满雨水需要1小时．请问：雨水要下满如图2所示的三个不同的容器，各需要多长时间？10．根据图中的信息计算：鸡大婶和鸡大叔买的花束中，玫瑰、康乃馨、百合各多少枝？11．如图，圆P的直径OA是圆O的半径，OA⊥BC，OA＝10，则阴影部分的面积是．（π取3）12．如图，一个直径为1厘米的圆绕边长为2厘米的正方形滚动一周后回到原来的位置．在这个过程中，圆面覆盖过的区域（阴影部分）的面积是平方厘米．（π取3）13．某项工程，开始由6人用35天完成了全部工程的，此后，增加了6人一起来完成这项工程．则完成这项工程共用天．14．如图，向装有水的圆柱形容器中放入三个半径都是1分米的小球，此时水面没过小球，且水面上升到容器高度的处，则圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米．15．（15分）二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制，其中二进制数转换成十进制数的方法如下：那么，将二进制数 11111011111 转化为十进制数，是多少？【参考答案】一、拓展提优试题1．解：4＝2×2，2+2＝4，所以4是史密斯数；32＝2×2×2×2×2；2+2+2+2+2＝10，而3+2＝5；10≠5，32不是史密斯数；58＝2×29，2+2+9＝13＝13；所以58是史密斯数；65＝5×13；5+1+3＝9；6+5＝11；9≠11，65不是史密斯数；94＝2×472+4+7＝13＝9+4；所以94是史密斯数．史密斯数有4，58，94一共是3个．故答案为：3．2．解：由图可知，阴影部分的面积是图中最大圆面积的，非阴影部分的面积是图中最大圆面积的，所以图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是：：＝1：3；答：图中阴影部分面积与非阴影部分面积之比是1：3．故答案为：1：3．3．解：38﹣2＝36（个）78﹣6＝72（个）128﹣20＝108（个）36、48和108的最大公约数是36，所以学生最多有36人．故答案为：36．4．解：慢车行完全程需要：5×（1+），＝5×，＝6（小时）；全程为：40÷[1﹣（+）×2]，＝40÷[1﹣]，＝40÷，＝40×，＝150（千米）；答：甲乙两地相距150千米．故答案为：150．5．解：根据题干分析可得：10+10+10+5＝35（个），答：一共有35个三角形．故答案为：35．6．解：设计划用x天完成任务，那么原计划每天的工作效率是，提高后每天的工作效率是×（1+20%）＝×＝，前面完成工程的所用时间是天，提高工作效率后所用的实际是（185﹣）×天，所以，+（185﹣）××＝1，+（185﹣）××﹣＝1﹣，（185﹣）××＝，（185﹣）×÷＝÷，185﹣+＝x+，x÷＝185÷，x＝180，答：工程队原计划180天完成任务．故答案为：180．7．解：如图延长并反向延长AF，BC，DE，分别相交与点G、H、N，因六边形ABCDEF的每个角是120°所以∠G＝∠H＝∠N＝60°所以△GHN，△GAB，△HCD，△EFN都是等边三角形AB＝BC＝CD＝3厘米，△GHN边长是3+3+3＝9（厘米）AN＝9﹣3＝6（厘米）AN＝AF+EFDE＝六边形ABCDEF的周长﹣AB﹣BC﹣CD﹣（AF+EF）＝16﹣3﹣3﹣3﹣6＝1（厘米）EF＝EN＝9﹣3﹣1＝5（厘米）答：EF＝5厘米．故答案为：5．8．解：依题意可知：甲乙丙的工作效率分别为：，，；甲乙工作总量为：×2+×4＝；丙的工作天数为：（1﹣）＝3（天）；共工作2+4+3＝9故答案为：99．解：图1所示的长方体容器的容积：10×10×30＝3000（立方厘米）接水口的面积为：10×30＝300（平方厘米）接水口每平方厘米每小时可接水：3000÷300÷1＝10（立方厘米）所以，图①需要：10×10×30÷（10×10×10）＝3（小时）图②需要：（10×10×20+10×10×10）÷（10×10×20）＝1.5（小时）图③需要：2÷2＝1（厘米）3.14×1×1×20÷（3.14×1×10）＝2（小时）答：容器①需要3小时，容器②需要1.5小时，容器③需要2小时．10．解：依题意可知：玫瑰与康乃馨和百合的枝数化连比为：10：15：3；购买一份比例的价格为：3×20+15×6+15×10＝300；正好是1倍关系．答：购买玫瑰10枝，康乃馨15枝，百合3枝．11．解：3×102÷2﹣3×（10÷2）2＝3×100÷2﹣3×25＝150﹣75＝75答：阴影部分的面积是75．故答案为：75．12．解：2×1×4+3×12＝8+3＝11（平方厘米）答：阴影部分的面积是11平方厘米．故答案为：11．13．解：总工作量看做单位“1”．剩余工作量为1﹣＝，一个人的工作效率为÷6÷35，（1﹣）÷[÷6÷35×（6+6）]＝÷（÷6÷35×12）＝÷＝35（天）35+35＝70（天）答：完成这项工程共用70天．故答案为：70．14．解：×3.14×13×3÷（﹣）＝12.56×15＝188.4（立方分米）答：圆柱形容器最多可以装水188.4立方分米．故答案为：188.4．15．解：（11111011111）2＝1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+0×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝1024+512+256+128+64+0+16+8+4+2+1＝（2015）10答：是2015．。
六年级下册数学试题-计算之裂项、换元与通项归纳(解析版)全国通用
第一讲 计算之裂项、换元与通项归纳教学目标对于六年级同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握了。
既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容。
考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点。
这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”。
可以这么说：“如果一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳。
”你还记得吗？ 1．（计算：11+192+1993+19994+199995 所得和数的数字之和是多少？分析：原式=（20-9）+（200-8）+（2000-7）+（20000-6）+（200000-5）=（20+200+2000+20000+200000）-（9+8+7+6+5）=222220-35 = 222185本例是帮助学生回忆最基本的巧算思想“凑整求和”。
［巩固］计算：617+271-43+83-157-71分析：原式=（617+83）+（271-71）-（43+157）=700+200-200=700；2．计算7.816×1.45＋3.14×2.184＋1.69×7.816分析：不难看出式子是7.816出现过两次，联想提取公因数。
原式=7.816×（1.45＋1.69）＋3.14×2.184=7.816×3.14 ＋3.14×2.184 =3.14×10 =31.4想 挑 战 吗？计算：1511914117111234567892612203042567290-+--+-+-［巩固］(华罗庚学校五年级入学考试试题) 8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62＋2.38)-3.27分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算一步,再用简便方法进行计算.原式=8×0.25×12.5×4－3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27 =100-3.27 =96.733．计算：333×332 332 333 – 332 × 333 333 332分析：原式=333×（332 332 332+1）-332×（333 333 333-1）=333×（1001001×332+1）-332×（333×1001001-1） =333+332 =6654．计算：200782007388....833...3⨯个个分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来，200782007200682006188....899...988...8711...12⨯=个个9个个 ，原式可将上式除以3即可得到，296668037296296...2962957037...03704668个个 ，学生平时做题时注意对典型例题的记忆.［巩固］ 计算：200692006999....999....9⨯个个分析：从简单情况入手找规律.9×9=81 ； 99 × 99 =9801 ；999 × 999 =998001 ，……所以：200692006999....999....9⨯个个=200592005099...9800...01个个 .通项归纳 【例1】12389(1)(2)(3)(8)(9)234910-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-分析：“通项归纳”可以形象地说成“找规律，总结性的写出第n 项”，它其实是我们解决奥数问题的一种重要思想，我们先通过几道题目体会这种思路，而后在较复杂的裂项中将充分展示它的魅力！如果发现式子中都是成规律的运算，可先找出通项公式，根据通项展示的规律性结论，解答问题。
小学奥数教程-分数裂项计算 教师版 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级下册奥数试题计算综合全国通用(含答案)
第24讲计算综合计算问题是学习数学必不可少的一个环节。
无论是要学好课内知识，还是要学好奥林匹克数学，解决好计算问题，都是一个很重要的因素。
要掌握较复杂的各类计算，不仅需要熟练的掌握各类运算法则、定律、性质，还需要掌握各类运算的技巧。
关键要对题目进行认真的观察，识别算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活地运用运算定律，使计算变得简单易行。
因此，解决好计算问题，对于开拓学生的视野，启迪学生的思维，培养学生综合应用知识的能力，将会起到重要的作用。
一、利用法则进行运算在很多的数学竞赛中，经常出现这样一类的运算。
从算式的特征和各数的关系上，并不具备简算和巧算的特点。
这类计算通常是考察同学们的运算能力。
这类题目通常数目较大，并且计算较繁琐，在解题的过程中需要同学们要有足够的耐心，并且要具有扎实的基本功。
例1 计算：分析：这道题目计算步骤较多，同时又不具备简算和巧算的条件，主要是考察同学们的计算能力。
但在计算的过程中，同学们也要注意合理地运用法则，恰当地使用通分和约分及分数和小数转化的手段，从而使计算变得相对简单，提高计算的准确性。
解答：说明：本道例题选自《第八届华罗庚金杯复赛》的第一题，不难看出要准确地解答这道题目，要求学生具备扎实的基本功。
但是“硬算”并不等于傻算。
如果能像解答中合理的控制分数与小数的转化，掌握好约分和通分的时机，也可以使解答变得相对简单。
二、合理、灵活地运用所学的定律和性质进行计算在较复杂的运算中，利用所学的运算定律和性质进行简算和巧算，是很常见的一种变化类型。
由于一般情况下数比较大，运算比较复杂，因此要求学生要善于观察数与运算符号的特点。
抓住它们之间的联系，合理地运用定律和性质。
例2计算：分析：这道例题初看时，并不具备简算的特点，但是仔细观察可以看出两步乘法运算中分数的分母都是19；并且两步乘法运算之间的运算是加法，具备乘法分配率逆运算的运算特征。
如果能找出公因数，就可以进行简算。
进一步观察可以看出；，从而发现公因数，因此可以利用乘法分配率进行运算。
最新六奥第三讲分数计算题之裂项求和教案
六奥第三讲分数计算题之裂项求和12教学课题：分数计算技巧（2）3教学课时：两课时4教学目标：在分数运算中，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法5则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑6整法、裂项法、约分法等，这堂课主要学习裂项法，会用裂项法解决简单的实际问题。
7教学重难点：经历裂项的探究过程，观察裂项的规律。
8教具准备：9本周通知：1011教学过程：12一、故事导入13一天，旅店服务员碰上了一个难题：一下子来了11位旅客，每个人都要一个单人房间，可14当时旅店里只有10间空房。
来客都很坚决，非单人房不可。
当时只好设法把这11位客人安15排在10个客房中。
而每个房间只许一人，这是无论如何也做不到的。
可是，那位服务员想16出了一个办法，他能解决这个伤脑筋的难题。
17他的主意是，把第一位客人安排在1号房间，请他同意让第十一位客人暂时（5分钟左右）18也在他房间里呆一下。
这两位客人安排好后，他把其他客人逐一分配到其他各号房间去；把19第三位客人分配到2号房；把第四位客人分配到3号房；把第五位客人分配到4号房；把第六位客人分配到5号房；把第7位客人分配到6号房，把第八位客人分配到7号房；把第九2021位客人分配到8号房；把第十位客人分配到9号房。
这时第10号房间还空着，他就把暂时呆在1号房的第十一位客人请了过来，满足了全体旅客的要求。
22这里问题何在呢？ 2324二、新课学习 25师：例1：431321211⨯+⨯+⨯怎么求？ 26师：谁来展示一下你的做法？根据学生摆的情况，师板书各种情况。
（逐一相加） 27师：还有不同的做法吗？ 28生：没有了。
29 师：211⨯=1- 21，321⨯= 21- 31，你能发现什么？ 30生：一个分数可以拆成两个分数的差，中间的都可以抵消掉。
31师：很好，这里我们发现，拆项后，前一个分数的第二项和后一个分数的第一32项是可以抵消的。
【经典】小学六年级下学期数学竞赛试题(含答案)图文百度文库
【经典】小学六年级下学期数学竞赛试题(含答案)图文百度文库一、拓展提优试题1．分子与分母的和是2013的最简真分数有个．2．若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的2倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是．3．小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的硬币最多有枚．4．老师让小明在400米的环形跑道上按照如下规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，则小明要准备面旗子．5．12013+22013+32013+42013+52013除以5，余数是．（a2013表示2013个a 相乘）6．（15分）王老师将200块糖分给了甲乙丙三个小朋友，甲比乙的2倍还要多，乙比丙的3倍还要多，那么甲最少有块糖，丙最多有块糖．7．认真观察图4中的三幅图，则第三幅图中的阴影部分应填的数字是．8．王老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3，4，…，然后擦去三个数（其中有两个质数），如果剩下的数的平均数是19，那么王老师在黑板上共写了39个数，擦去的两个质数的和最大是．9．对于一个多边形，定义一种“生长”操作：如图1，将其一边AB变成向外凸的折线ACDEB，其中C和E是AB的三等分点，C，D，E三点可构成等边三角形，那么，一个边长是9的等边三角形，经过两次“生长”操作（如图2），得到的图形的周长是；经过四次“生长”操作，得到的图形的周长是．10．如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是cm2．（π取3.14）11．若A：B＝1：4，C：A＝2：3，则A：B：C用最简整数比表示是．12．如图所示的容器中放入底面相等并且高都是3分米的圆柱和圆锥形铁块，根据图1和图2的变化知，圆柱形铁块的体积是立方分米．13．用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体．将这个长方体的六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有个．14．如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是平方厘米．15．（15分）一个棱长为6的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？【参考答案】一、拓展提优试题1．解：分子与分母的和是2013的真分数有，，…，共1006个，2013＝3×11×61，只要分子是2013质因数的倍数时，这个分数就不是最简分数，因数分子与分母相加为2013，若分子是3，11，61的倍数，则分母一定也是3，11或61的倍数．[1006÷3]＝335，[1006÷11]＝91，[1006÷61]＝16，[1006÷3÷11]＝30，[1006÷3÷61]＝5，[1006÷11÷61]＝1，1006﹣335﹣91﹣16+30+5+1＝600．故答案为：600．2．解：长方体的高是：56÷4÷（1+2+4），＝14÷7，＝2，宽是：2×2＝4，长是：4×2＝8，体积是：8×4×2＝64，答：这个长方体的体积是64．故答案为：64．3．解：因为0.60元＝60分，设1分，2分，5分的硬币各有x枚、y枚和z枚，则有x+y+z＝25，x+2y+5z＝60，把上面的两个式子相减得出y+4z＝35，要使5分的硬币最大，即Z最大，y最小，因为35是奇数，所以y必须是奇数，当y＝1时，z的值不是整数，当y＝3时，z＝8，所以z＝8；答：5分的硬币最多有8枚；故答案为：8．4．解：400和90的最小公倍数是3600，则3600÷90＝40（面）．答：小明要准备40面旗子．故答案为：40．5．解：多个2相乘结果个位数字有一个规律：2、4、8、6每4个2相乘一个循环，多个3相乘结果个位数字有一个规律：3、9、7、1每4个3相乘一个循环，2013÷4＝503…1，所以2013个2相乘后个位数字是2，2013个3相乘后个位数字是3，2013个4相乘后个位数字是4，1的任何次方都是1，5的任何次方的个位数字都是5，1+2+3+4+5＝15所以12013+22013+32013+42013+52013的个位数字是5，所以除以5的余数是0；故答案为：0．6．解：甲比丙的2×3＝6倍多，总数就比丙的6+3+1＝10倍多200÷（2×3+3+1）＝20（块），丙最多：20﹣1＝19（块）此时甲乙至少有：200﹣19＝181（块），181÷（2+1）＝60（块）…1（块），乙最多60块，甲至少：60×2+1＝121（块）．故答案为：121，19．7．解：由每个图形的数字表示该图形所含曲边的数目可得：第三幅图中的阴影部分含有5个曲边，所以阴影部分应填的数字是5，故答案为：5．8．解：由剩下的数的平均数是19，即得最大的数约为20×2＝40个，又知分母是9，所以剩下的数的个数必含因数9，则推得剩余36个数．原写下了1到39这39个数；剩余36个数的和：19×36＝716，39个数的总和：（1+39）×39÷2＝780，擦去的三个数总和：780﹣716＝64，根据题意，推得擦去的三个数中最小是1，那么两个质数和63＝61+2能够成立，61＞39不合题意；如果擦去的另一个数是最小的合数4，64﹣4＝6060＝29+31＝23+37，成立；综上，擦去的两个质数的和最大是60．故答案为：39，60．9．解：边长是9的等边三角形的周长是9×3＝27第一次“生长”，得到的图形的周长是：27×＝36第二次“生长”，得到的图形的周长是：36×＝48第三次“生长”，得到的图形的周长是：48×＝64第四次“生长”，得到的图形的周长是：64×＝＝85答：经过两次“生长”操作，得到的图形的周长是48，经过四次“生长”操作得到的图形的周长是85．故答案为：48，85．10．解：40÷2＝20（厘米）20÷2＝10（厘米）3.14×202﹣3.14×102÷2×4＝1256﹣628＝628（平方厘米）答：阴影部分的面积是628平方厘米．故答案为：628．11．解：A：B＝1：4＝：＝（×6）：（×6）＝10：29C：A＝2：3＝：＝（×15）：（×15）＝33：55＝3：5＝6：10这样A的份数都是10，所以A：B：C＝10：29：6．故答案为：10：29：6．12．解：25.7÷（1+1+3）＝25.7÷5＝5.14（立方分米）5.14×3＝15.42（立方分米）答：圆柱形铁块的体积是15.42立方分米．故答案为：15.42．13．解：因为1024＝210＝8×8×16（8﹣2）×（8﹣2）×（16﹣2）＝6×6×14＝504答：六个面都没有涂色的小正方体最多有504个．故答案为：504．14．解：10＝80（平方厘米）答：兔子图形的面积是80平方厘米．故答案为：80．15．解：大正方体表面积：6×6×6＝216，体积是：6×6×6＝216，切割后小正方体表面积总和是：216×＝720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：（63﹣53）÷13＝91（个），这时表面积总和是：52×6+12×6×91＝696≠720，所以不可能有棱长为5的小正方体．（1）同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，则解得：（2）棱长为3的小正方体要少于（6÷3）×（6÷3）×（6÷3）＝8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，化简：由上式可得：b＝9c+24，a＝，当c＝0时，b24＝，a＝24，当c＝1时，b＝33，a＝19.5，（不合题意舍去）当c＝2时，b＝42，a＝15，当c＝3时，b＝51，a＝10.5，（不合题意舍去）当c＝4时，b＝60，a＝6，当c＝5时，b＝69，a＝28.5，（不合题意舍去）当c＝6时，b＝78，a＝﹣3，（不合题意舍去）当c＝7时，a＝负数，（不合题意舍去）所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个．。
六年级历史 事件的裂项求和
六年级历史事件的裂项求和本文档将介绍六年级历史课程中的事件裂项求和问题。
裂项求和是一个常见的数学问题，通过分解并重新排列式子中的项，可以简化求和过程并得到更简洁的表达式。
裂项求和的基本概念裂项求和是指将求和式中的项进行分解和合并，从而简化求和过程。
在历史课程中，我们经常遇到一些事件的连续发生，如某个时期的战争、政治运动等。
这些事件可以表示为一个求和式，每个项代表一个事件的影响程度或者时期的长度。
裂项求和的步骤下面将介绍裂项求和的基本步骤：1. 首先，观察给定的求和式，明确每个项代表的含义和其它相关参数。
2. 接下来，将每个项分解为更简单的形式，例如将一段时间的事件分解为每年的影响程度。
3. 然后，重新排列分解后的项，使得相同类型的项在一起，方便进行合并和简化。
4. 最后，根据求和式的形式，使用适当的求和公式或方法进行求和。
例子假设我们要求解以下求和式：$$S = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$$根据裂项求和的步骤，我们可以将每个奇数项进行分解：$$S = (2 \times 0 + 1) + (2 \times 1 + 1) + (2 \times 2 + 1) + (2 \times 3 + 1) + (2 \times 4 + 1)$$重新排列项后，可以得到：$$S = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (0 + 2 + 4 + 6 + 8)$$简化后的求和式为：$$S = 5 + 20 = 25$$因此，原始的求和式可以简化为结果为25的表达式。
总结裂项求和是一个能够简化复杂求和式的方法。
通过观察并分解每个项，我们可以得到更简洁的表达式。
在解决六年级历史问题中，裂项求和可以帮助我们处理复杂的事件连续发生情况并得到准确的结果。
希望本文档能对六年级历史课程中的裂项求和问题有所帮助。
如果有任何疑问或需要进一步的解释，请随时提问。
六年级下册数学竞赛课件-分数数列运算 全国通用
1 1 3 5 10 10
变式练习
在方框中填入适当的一位数，使等式成立：
1 (1) 30 2 (2) 63 11 (3) 28
1
5
1
1
6
1
7
1
9
1
4
7
将下面的各组数列求和： 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 (2) ... 2 4 4 6 68 98 100
1 98 1 . 99 99
4、计算：
典型问题
5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 . 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 原式= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
★★★计算：1×2+2×3+3×4+...+19×20
1 1×2+2×3 2 (1 3) 2 4 2 3 4 3 1×2+2×3+3×4 1 2 4 3 4 4 (2 3) 4 5 3 4 5 3 1×2+2×3+3×4+4×5 1 4 5 4 5 4 (5 5) 4 5 2 4 5 6 3
2 2 2 2 ... . (6) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 98 98 100
1 1 1 1 (7) ... . 2 24 246 2 4 6 ... 20
六年级下册数学试题-能力提升：第07讲 整数裂项与通项归纳(解析版)全国通用
六年级下册数学试题-能力提升：第07讲 整数裂项与通项归纳（解析版）全国通用【一】整数裂项1：观察下面式子，寻找规律：23(234123)334(3434)45(4545)⨯=⨯⨯-⨯⨯÷⨯=⨯⨯-⨯⨯÷⨯=⨯⨯-⨯⨯÷三个式子相加，“左边相加 = 右边相加” 得到：233445()⨯+⨯+⨯=⨯⨯-⨯⨯÷延长：1233445910(91011123)3⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯L 结论：首尾顺次相连，末项的后一项 减去 首项的前一项，再除以32：观察下面式子，寻找规律：24(246024)646(4646)68(6868)⨯=⨯⨯-⨯⨯÷⨯=⨯⨯-⨯⨯÷⨯=⨯⨯-⨯⨯÷三个式子相加，“左边相加 = 右边相加” 得到：244668()⨯+⨯+⨯=⨯⨯-⨯⨯÷延长：12446681820(182022024)6⨯+⨯+⨯++⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯L 结论：首尾顺次相连，末项的后一项 减去 首项的前一项，再除以6÷首尾顺次相连，(末项的后一项 - 首项的前一项) 前后差3：PRACTICE ：（1）2334451920⨯+⨯+⨯++⨯L1(192021123)3⨯⨯⨯-⨯⨯ （2）12233445910⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L1(91011012)3⨯⨯⨯-⨯⨯ （3）2446681820⨯+⨯+⨯++⨯L1(182022024)6⨯⨯⨯-⨯⨯ （4）3557791921⨯+⨯+⨯++⨯L1(192123135)6⨯⨯⨯-⨯⨯ （5）133557791921⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L1(192123135)6⨯⨯⨯+⨯⨯ （6）25588112932⨯+⨯+⨯++⨯L1(293235125)9⨯⨯⨯+⨯⨯4：拓展：（1）123234345456567+678+789+8910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1(8910110123)4=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 3→个数 （2）12345234561011121314⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯L1(101112131415012345)6=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯ 5→个数 （3）1234561920⨯+⨯+⨯++⨯LA 1234561920B 2345202111223344519202021(202122012)30803(23452021)(1234561920)224262202220A B B A =⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=-=⨯+⨯++⨯-⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=L L L L L L 设， 1430A ∴= →不是首尾相连+++例题1练一练例题2练一练【二】通项归纳1：数列通项(1)1234n (2)13572n 1(3)3572n 1(4)24682n (5)258113n 1(6)111417203n 8⋯⋯⎧⎪⋯⋯-⎪⎪⋯⋯+⎪⎨⋯⋯⎪⎪⋯⋯-⎪⋯⋯+⎪⎩ ，，，， 通项： ，，，， 通项： ，，， 通项： 等差数列 ，，，， 通项： ，，，， 通项： ，，，，通项： 1(1)24816(2)1248(3)13715,1n n n -⎧⋯⋯⎪⋯⋯⎨⎪⋯⋯-⎩ ，，，， 通项：2等比数列 ，，，， 通项： 2 ，，， 通项： 2 22(1)14916(2)491625⎧⋯⋯⎪⎨⋯⋯⎪⎩ ，，，， 通项：n 平方数列 ，，，， 通项： (n+1) 369123,,,,,4710133112,23,34,45,,(1)n n n n +⨯⨯⨯⨯⨯+L L 综合数列： 通项：特殊数列： 通项： 4例题2：通项归纳KEY ：在一些计算题中，如果题目中数字很有规律，而且题目又长，我们通常的做法是：把这个规律用字母总结成公式的形式，然后对公式进行逐一顺序带入计算。