07双曲线的简单几何性质(一)
双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线的简单几何性质1
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(1)顶点在x轴上,两顶点间的距离是8,e=5/4 (2)焦点在Y轴上,焦距为16,e=4/3 (3)求以椭圆 的焦点为顶点,以椭圆 的顶点为焦点的双曲线的方程
X2 Y2 1 8 5
5
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例3 根据已知条件研究双曲线的性质 2 2 x y (1)双曲线 2 2 1的两条渐近线互相垂直, a b 则它的离心率为________
1 (1)焦距为10,渐近线方程为Y= x 2
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(2)P(3,- 3 ),e=
5 2
7
小结 金太阳教育网
双曲线的简单几何性质
x y 2 1 2 a b F1F2 2c
2a 2b
2 2
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标准方程
(a>0,b>0)
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1
注:1.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 2 2 x y 2 1 2 性质 a b
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标准方程
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范围 顶点
x a, y R
A 1( a,0) A 、 2(a, 0) 2a 实轴长； B1( 0,-b) 、 B2( 0,b)
焦点
对称性 离心率
2b-----虚轴长。 (-c, 0),(c, 0)。 2c - - - 焦距
关于x、y轴、 原点对称。 c
e
2
品质来自专业 y x 信赖源于诚信 标 准 方 程 为 双曲线与它的渐进线无限接近 1( a 0, b 0) 2 2 ,但永远不相交 a b 金太阳教育网
双曲线的简单几何性质 第1课时(上课课件)
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(3)设与双曲线x22－y2＝1 有公共渐近线的双曲线方程为x22－y2＝k(k≠0)， 将点 M(2，－2)的坐标代入得 k＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方 程为y22－x42＝1.
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2.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
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3．2.2 双曲线的简单几何性质 第一课时 双曲线的简单几何性质(1)
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根据双曲线的方程研究其几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
性 图形
质
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3.若双曲线的渐近线方程为 y＝±34x，则双曲线的离心率 为__54_或__53___．
―→
依题意列 出不等式
―→
求出e的 取值范围
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[解析] 由题意可知直线 l 的方程为ax＋by＝1，即 bx＋ay－ab＝0.点(1,0)
到直线 l 的距离 d1＝ baa2－＋1b2，点(－1,0)到直线 l 的距离 d2＝ baa2＋＋1b2，
s＝d1＋d2＝ a22a＋b b2＝2acb，由 s≥45c，得2acb≥45c，
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标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
双曲线的简单几何性质(一)
B1 F2(c,0)
A1 O F1
x F1(0,-c)
x y 2 1 (a b 0) a2 b
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
13
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
3 2 离心率为_______ 4 2 x x 2 y 1 的渐近线方程为： y (2) : 4 2 2 x x 2 y 4的渐近线方程为： y 2 4 2 x x 2 y 1的渐近线方程为： y 4 2 2 x y 2 4 的渐近线方程为： y x
另外
b a c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a
c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ,叫做双曲线的离心率. a
5、离心率
b b ∴当 e (1, ) 时, (0, ) ,且 e 增大, 也增大. a a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
17
b 求证:渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写成 a x2 y2 2 ( 0) 的形式. 2 a b
证明:直线 y
∴双曲线的方程可写成
∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上. x2 y2 ⑴当焦点在 x 轴上,则方程可设为 2 2 1 . m 2 n 2 n2 b 2 2 2 ∴ 2 2 ,令 m a ( 0) ,则 n b m a x2 y2 x2 y2
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的简单几何性质(1)
§8.4 双曲线的简单几何性质（一）祝林华教学目标：使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质。
用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题。
能力目标：通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心。
情感目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物。
教学重点：双曲线的简单几何性质。
教学难点：渐近线的求法及理解。
教具：三角板。
教学流程：(一)创设情境T:前面，我们已经学了什么叫椭圆，什么叫双曲线，以及各自的标准方程。
而对于椭圆我们还进一步研究了它的简单几何性质；我们知道，椭圆和双曲线同属于一类-----都为圆锥曲线，那么研究的方法方式应该是大同小异的。
类比椭圆，我们今天一起来研究一下双曲线的简单几何性质。
【板书】：§8.4 双曲线的简单几何性质T:为了能够对双曲线的简单几何性质有一个更为全面的认识，首先来复习一下前面所学的只是和内容。
T:双曲线有几个标准方程？S:………………….T:分焦点在x轴和焦点在y轴上两种情况。
T:当点在x轴上时，双曲线的大致图像呈现为这样一种趋势吧！T:再来回想一下，椭圆我们研究了它的哪些焦点几何性质啊？(T, S)研究了范围，对称性，顶点以及离心率四个方面的性质。
T:类比椭圆，你认为应该研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？（二）新课讲解T:在没有办法画出双曲线较为精确的图像之前，我们只能够利用双曲线的标准方程及这个草图来研究双曲线的几何性质 T:不妨以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax 。
1．范围：T:由标准方程12222=-b y a x 可得，112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，所以a x -≤或a x ≥，不难发现：|Y|随|x|的增大而增大。
双曲线的简单几何性质(一)()
双曲线与其渐近线无限 接近, 永不相交 . x2 y2 2 2 2 实 轴 和 虚 轴 等 长 的 双线 曲 2 - 2 1即x y a a a 叫 等轴双曲线 .
椭圆定义 图 形
| | MF1 | | MF2 | | 2a (0 2a | F1F2 |)
y
yF
b B2
关于x轴、y轴、原点对称
A1(-a, 0),
A2(a, 0) A1(0, -a), A2(0, a)
b y x a
c e (1, ) a
a y x b
例题讲解
例1.求双曲线9y2 -16x2 = 144的实轴和虚轴长, 焦 点坐标, 离心率, 渐近线方程 .
例2.已知点P是曲线x2-4y2=4上的动点, 另有定点 A(0, 2), 当点P在何处时P, A两点间距离最小?
F1(-c, 0)，F2(c, 0)
2 2 2
F1(0, -c)，F2(0, c)
c a b (c a 0, c b 0)
焦点位置的 焦点在正项所对应的坐标轴上 . 判断
新知探究 1.双曲线的对称性
x y - 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
2 2
y
P2 ( x, y )
F1
o
F2
c
-c
x
P1 ( x, y )
P3 ( x, y)
F1
o
F2
c
x
P1 ( x, y )
y
b B2
-c
F1 -a
A1
o a
-b B1
A2
F2
c
x
y
b B2
yF
c
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
《双曲线的简单几何性质(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
又c2＝a2＋b2＝4＋b2，②联立①②，解得c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为．故选B．
B
知识点 双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质．
题型归纳 数形结合法．
双曲线的简单几何性质(1)
第二章 圆锥曲线
我们已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，
类比对椭圆的研究，接下来我们应该研究双曲线的哪些内容？
平面内到两个定点距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于的点的集合（或轨迹）叫做双曲线．
双曲线的标准方程：
观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？
观察双曲线的图象，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．
中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的实轴与虚轴长相等的双曲线的方程是( )A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝ ×16＝8，∴双曲线方程为x2－y2＝8．故选Ａ．
中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线．
解：将x2 4y2=1化为标准方程为=1，
由此可得实半轴长a=１，虚半轴长b=，半焦距．
所以双曲线的焦点坐标为(0)，(0)，中心坐标为(0)，顶点坐标为(0)，(0) ，实轴长为2，虚轴长为1.
先将双曲线方程化为标准方程形式，再进行求解．
设双曲线的标准方程为，
解: 图（2）是冷却塔的轴截面，为了得到双曲线的标准 方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐 标为（33.5，0）.
双曲线的简单几何性质
01
课堂小结
渐近线方程
A2
B2
B1
a
b
这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并
A
D
B
C
且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
双曲线叫做等轴双曲线.
4．渐近线
新课讲授
渐近线
利用渐近线画双曲线草图 画出双曲线的渐近线； 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲 线的大致图象； 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
双曲线
202X
的简单几何性质(一)
两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的 距离的差的绝对值等于常数(小于| F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.
复习引入
202X
这两个定点叫做双曲线的焦点.
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
x
y
F1
F2
O
坐标轴是双曲线的对称轴．
原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心．
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴 有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根， 则双曲线和y轴无交点.
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
渐近线方程.
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
01
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
02
例题讲解
例2:
例题讲解
双曲线的简单几何性质(一)
例题讲解
例:
求双曲线 9y2 −16x2 = 144 的实半轴长,虚半轴长 的实半轴长 虚半轴长, 虚半轴长
焦点坐标,离心率 渐近线方程 焦点坐标 离心率,渐近线方程。 离心率 渐近线方程。
y2 x2 解：把方程化为标准方程 − =1 16 9 可得: 可得 半实轴长 a = 4
半虚轴长 b = 3
F1 轴上，（ ）、（0， ）） （焦点在y轴上，（ ，-c）、（ ，c）） 焦点在 轴上，（0， ）、（ F2
其中 c = a + b
2 2
2
类比椭圆几何性质的研究方法， 类比椭圆几何性质的研究方法，我 x y 们根据双曲线的标准方程 a − b = 1(a > 0, b > 0) 研究它的几何性质。 研究它的几何性质。
双曲线的简单几何性质（ 双曲线的简单几何性质（1）
复习1 复习1
椭圆的图像与性质
x2 y2 + 2 =1 2 a b (a > b > 0)
标准方程 范围 对称性 顶点 离心率
y
B2 (0,b) (-a,0) A1 F1 (-c,0) (a,0) A2
−a ≤ x ≤ a
−b ≤ y ≤ b
对称轴：坐标轴 对称轴： 对称中心： 对称中心：原点
y Q b B2 M(x,y)
逐渐接近， 逐渐接近，我们把这两条直线 叫做双曲线的渐近线。 叫做双曲线的渐近线。 渐近线
A1
o
A2
a x
B1
b y= x a
b y =− x a
双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。 双曲线与渐近线无限接近，但永不相交。
试写出下列双曲线的渐近线方程
y 2 =9 x − 4
高中数学选择性必修一课件：双曲线的简单几何性质(第1课时)
题型四 双曲线的离心率
例 4 (1)如果双曲线的渐近线方程是 y＝±34x，求离心率． 【解析】 方法一：若双曲线焦点在 x 轴上，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)． 由题意知ba＝34，又∵c2＝a2＋b2， ∴e2＝ac22＝1＋ba22＝1＋342＝542，∴e＝54. 若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题意知ab＝34，
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第1课时)
要点 1 双曲线的几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长
离心率
渐近线
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
2c
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
题型二 求渐近线方程
例 2 (1)求双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程． 【解析】 方法一：∵a＝2，b＝2 2，且焦点在 x 轴上， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：令x42－y82＝0， 得2x±2 y 2＝0， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x.
(4)易知所求双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线方程为6x42 －1y62 ＝λ(λ>0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得 λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
探究 3 巧设双曲线方程的方法： (1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． (2)常见双曲线方程的设法． ①渐近线为 y＝±mn x 的双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果 两条渐近线的方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0， A>0，B>0)．
《双曲线的简单几何性质》课件
当焦点在$x$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$x$轴上，顶点坐标为 $(pm a, 0)$，焦点坐标为$(pm c, 0)$。
当焦点在$y$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$y$轴上，顶点坐标为$(0, pm a)$，焦点坐标为$(0, pm c)$。
其中，定点$F_1$和$F_2$称为双曲线的焦点，距离差称为双曲线的 实轴长，常数$2a$称为实轴长，定点$F_1$和$F_2$之间的距离称为 焦距，记作$2c$。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
= 1$或$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$。
详细描述
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但不会相交的直线，它们的方程为y=±(b/a)x。渐近线的斜率等于b/a，与x 轴的夹角等于arctan(b/a)。当双曲线的焦距逐渐增大或减小时，渐近线将逐渐接近于x轴或y轴。
离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状 和大小的参数，它等于焦距除以半轴长 。
02
双曲线的几何性质
焦点位置
总结词
双曲线的焦点位于x轴上，且距离原点的距离等于半轴长。
详细描述
双曲线有两个焦点，它们位于x轴上，且与原点的距离分别为 a和c，其中a为半短轴长，c为半焦距。根据双曲线的性质， 焦点到原点的距离c满足关系式c²=a²+b²，其中b为半长轴长 。
双曲线的简单几何性质(1)b
B2 A1
O
A2
x
B1
应用举例:
求双曲线9y 例1.求双曲线 2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴 求双曲线 的实半轴与虚半轴 焦点坐标,离心率及渐进线方程 长,焦点坐标 离心率及渐进线方程 焦点坐标 离心率及渐进线方程.
y 2 x2 解： 原方程可化为 : 2 − 2 = 1 4 3
∴ 实半轴长 a = 4 ，虚半轴长 b = 3 .
2
y2 − 2 =1 b
y
B2 A1
O
2、对称性： 关于 轴，y轴，原点对称. 、对称性： 关于x轴 轴 ），A ， ）， ， ） 3、顶点：A1（-a，0）， 2（a，0） 、顶点： 线段A 线段B 线段 1A2叫实轴 . 线段 1B2叫虚轴 . 实轴长|A 实轴长 1A2|=2a
，虚轴
A2
x
B1
A2
x
B1
y 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明。
x − y = 1 得 y = b x 2 − a 2 ( x > a) ， 由 2 2 a a b
2
2
Q M
B2 A1
O
设M(x，y) 是双曲线上的点，则 ， 是双曲线上的点， 它到渐近线 bx − ay = 0 的距离为： 的距离为：
A2
x
B1
| bx − b x 2 − a 2 | | MQ | = = 2 2 c a +b = b | x − x2 − a2 | c
| bx − ay |
| ( x − x 2 − a 2 )( x + x 2 − a 2 ) | ba 2 1 = ⋅ = b⋅ c x + x2 − a2 c x + x2 − a2
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江苏省沭阳高级中学学案 编写：严跃梅 审校：宋广会
高二数学学案-----双曲线的简单几何性质（一）
【学习目标】
1、 理解并掌握双曲线的几何性质，能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的几何性质；
2、 理解渐近线的概念，明确双曲线的标准方程中各量的几何意义，并能根据双曲线的几何性质确定
双曲线的标准方程。
【教学重难点】
双曲线的简单几何性质及其应用 【自学导引】 1、双曲线
2
214
x
y -=的顶点坐标是 ；焦点坐标是 ；离心率是 ；渐近线方程是
2、关于,x y 的方程2
2
sin cos tan (
)2
x y π
θθθθπ+=<<表示双曲线，则它的实轴等于
3、若双曲线的渐近线方程为320x y ±=，则离心率等于
【典例练讲】
例1、求双曲线9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
的绝对值等于6的点的轨迹方程。
例2、求满足下列条件的双曲线方程：
(1)以2x±3y=0为渐近线，且经过点(1，2)；
（4）与双曲线
22
1916
x y -=
有共同的渐近线，且经过点(- （5）经过点（3，-1），且对称轴是坐标轴的等轴双曲线
例3、证明：从双曲线的一个焦点一条渐近线的距离等于虚半轴长
例4、证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的距离的乘积是一个定值。
【即学即练】
1、 求双曲线22
143
x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
2、 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为
4
3
，求双曲线的标准方程。
3、求与双曲线
22
1169
x y -=
共渐近线，且经过()
3A -点的双曲线的标准方及离心率． 4、以知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小
值为 。