按连续复利计算
2年连续复利的计算器按法
2年连续复利的计算器按法
拿出你的计算器，随便输入一个数字，比如2，然后按一下乘号键，再按一下等号键，是否变成了4?再按一下等号键则变成了8,再按一下等号键……同样输入2,然后按一下除号键，再按一下等号键，是否变成了0.5?再按一下等号键则变成了0.25,再按一下等号键……
若能通过上面的测试，则说明你的计算器具有这样的功能，并且可以因此得出一个规律：
一、任何数的n次方，等于“按一下乘号，再按n－1次等号；
二、任何数的－n次方，等于“按一次除号，再按n次等号”。
比如：
1、计算复利终值系数，假设年利率为16.68％，期间为10年，等于“输入1.1668,按一下乘号，再按9次等号”即可得；
2、计算复利现值系数，假设年利率为8％，期间为5,等于“输入1.08,按一下除号，再按5次等号”即可得。
•
•。
《连续复利》课件
连续复利的定义及计算方法
定义
连续复利是指将利息连续计算并加入本金进行 复利计算的方式，而不仅仅是按照固定时间间 隔计算。
计算方法
连续复利的计算公式是 A = P * e^(rt)，其中 A 为最终金额，P 为本金，r 为年利率，t 为时间 （单位为年）。
不同复利计算方式的差异与应用场景
简单复利
是指按照固定时间间隔计算利息的方式，适用于简 单的利息计算场景，如银行存款。
《连续复利》PPT课件
欢迎来到《连续复利》PPT课件！在这个课程中，我们将一起探索复利的概念， 了解连续复利的计算方法，探讨不同复利计算方式的差异与应用场景，并分 享一些实际应用案例。让我们开始吧！
理解复利的概念
复利是指利息再投资所产生的收益也将继续产生收益的现象。通过复利，我 们可以加速资金的增长，实现更高的财务目标。
复利
是指将利息再投入资金中进行复利计算的方式，适 用于长期投资和贷款场景。
连续复利的优缺点
1 优点
连续复利具有更精确的计算方法，可以更准确地预测资金增长。
2 缺点
计算较为复杂且需要使用特定的连续复利公式。
连续复利实际应用案例分享
1
投资组合管理
通过连续复利计算，可以更好地了解投
房屋贷款
2
资组合的回报和风险，帮助做出更明智 的投资决策。
利用连续复利计算方法，可以更准确地
估算贷款的总成本复利是实现长期资金增长的理想选 择，可用于有效规划退休储蓄计划。
如何在Excel中应用连续复利公式
使用Excel的幂函数和指数函数，可以轻松地在电子表格中应用连续复利计算公式。希望这个技巧对您有所帮 助！
总结与答疑
通过本课件的学习，您已经掌握了复利的概念、连续复利的计算方法以及应用场景。如果您有任何问题，欢迎 提问！
若以连续复利计算利息
设 A0 是本金， r 是计息期的利率， A 是本利和，则
第一个计息期末本利和为： A A0 (1 r )
第二个计息期末本利和为： A A0 (1 r ) A0 (1 r )r A0 (1 r ) 2
第 t 个计息期末本利和为： A A0 (1 r ) t ．
t 年末 A0 现有本金 A0 ,以年利率 r 贷出，若以复利计息，
将增值到 A ，试计算 。 At t
At 的复利公式： t 一年计息一期，年末的本利和
At A0 (1 r )t
t年末的本利和 At 的复利公式： 一年均匀计息 n期，
r nt At A0 (1 ) n
2018/12/30
【巩固练习】
假设你用分期付款买了一套价值80万元的商品房， 设贷款期限为10年，年利率为6%。试计算10年末 还款的本利和。
【布置作业】
练习： 某医院2010年5月20日进口一台彩色超声波诊断仪， 贷款20万美元，以复利计息，年利率4%，2019 年5月20日到期一次还本付息，试确定贷款到期时 还款总额。
第2章
第四节
复利
课型：新授课
2018/12/30
复利计息
复 利
按离散情况计算利息的复利公式
按连续情况计算利息的复利公式
2018/12/30
【复习旧知】
第二个重要极限
2018/12/30
【学习新知】
一、复利计息
每期利息于每期之末加入该期本金，并以此作 为新本金再计算下期利息。
利滚利
2018/12/30
解决案例一：
解： A
0
10000
年利率 r
Байду номын сангаас 12%
复利计算 复利终值和现值公式
复利计算复利终值和现值公式复利终值和现值公式什么意思终值公式F=Px(F/P,i,n)现值公式P=Fx(P/F,i,n)这两个公式是什么意思啊?怎么利用公式计算呢?f:future value终值p:present walue 现值终值=现值*复利终值系数现值=终值*复利现值系数这是计算资金时间价值的公式，对应系数可以通过查复利现值系数表和福利终值系数表找出。
比如10000元现金，在年利率为10%的情况下，3年后终值F=10000*(F/P,10%,3)(F/P,10%,3)就是期数为3，年利率为10%的复利终值系数现值概念则刚好相反。
计算未来现金在现在的价值。
复利终值、现值，年金终值、现值的公式及运用复利终值s=p*(1+i)n ：p——现值或初始值i——报酬率或利率s——终值或本利和。
n表示年。
例：张三拟投资10万元于一项目，该项目的投资期为5年，每年的投资报酬率为20％，张三盘算着：这10万元本金投入此项目后，5年后可以收回的本息合计为多少？分析：由于货币随时间的增长过程与复利的计算过程在数学上是相似的，因此，在计算货币的时间价值时，可以使用复利计算的各种方法。
张三的这笔账实际上是关于"复利终值"的计算问题。
所谓"复利"，实际上就是我们通常所说的"利滚利".即每经过一个计息期，要将利息加入本金再计利息，逐期计算。
假如张三在期初投入资金100000元，利息用i表示，那么经过1年的时间后，张三的本利和＝100000×（1＋i）＝100000＋100000×20％＝120000；经过2年的时间后，张三的本利和＝100000×（1＋i）＋［100000×（1＋i）］×i＝（100000＋100000×20％）＋（100000＋100000×20）×20％＝100000×（1＋i）2；依次类推，5年后，张三的本利和＝100000×（1＋i）5.我们称（1＋i）n为复利终值系数，在实际运用时，通常查表得到其解。
银行利息计算公式
银行利息计算公式银行利息是指在金融机构存款的基础上，根据一定利率计算的收益。
银行利息计算公式是根据一定的数学原理和公式计算得出的，下面将介绍几种常见的银行利息计算公式。
1. 简单利息计算公式:简单利息是指利息只按照本金计算的一种利息计算方式。
简单利息计算公式如下:利息 = 本金× 年利率× 存款期限其中，本金是指存款的初始金额，年利率是银行规定的年利率，存款期限是存款的计息期限。
例如，小明在银行存了10000元，年利率是2%，存款期限是1年，则计算利息的公式为:利息 = 10000 × 0.02 × 1 = 200元2. 复利计算公式:复利是指利息按照一定的周期计算并加入到本金中，再次计算利息的一种计算方式。
复利计算公式如下:利息 = 本金× (1 + 年利率/周期)^周期× 存款期限 - 本金其中，周期是指利息计算的周期，一般为年、半年、季度等，存款期限是存款的计息期限。
例如，小红在银行存了10000元，年利率是2%，存款期限是1年，周期是半年，则计算利息的公式为:利息= 10000 × (1 + 0.02/2)^2 × 1 - 10000 ≈ 201.01元3. 复利计算(连续复利)公式:连续复利是指利息按照每一瞬间的微小利息计算并累计的一种复利计算方式。
连续复利计算公式如下:利息 = 本金× e^(年利率× 存款期限) - 本金其中，e是自然对数的底数，本金是指存款的初始金额，年利率是银行规定的年利率，存款期限是存款的计息期限。
例如，小刚在银行存了10000元，年利率是2%，存款期限是1年，则计算利息的公式为:利息= 10000 × e^(0.02 × 1) - 10000 ≈ 201.82元以上是几种常见的银行利息计算公式，不同的计算方式会产生不同的利息结果。
银行根据不同的存款产品和政策，选择不同的利息计算方式来满足客户的需求。
我整理的几个利息利率计算公式
我整理的几个利息利率计算公式
一、简单利息计算公式：
简单利息是指按照无论时间多长，都以一定比例计算的利息。
其计算公式为：
I=P*R*T
其中
I为利息；
P为本金（Principal）；
R为利率（Rate）；
T为时间（Time）。
二、复利息计算公式：
复利息是指将已经产生的利息，再按照一定比例计算，并将其加入到本金中，再次进行计算的利息。
其计算公式为：
A = P * (1 + r/n)^(nt)
其中
A为最终的本金和利息之和；
P为初始本金；
r为年利率；
n为每年的复利计算次数；
t为年数。
三、连续复利息计算公式：
连续复利息是指将复利息的计算次数无限接近于无穷大时的利息计算方式。
其计算公式为：
A = P * e^(rt)
其中
四、实际利率计算公式：
实际利率是指除去通货膨胀等因素影响后的利率。
其计算公式为：实际利率=(1+名义利率)/(1+通货膨胀率)-1
五、加权平均利率计算公式：
加权平均利率是指根据不同借贷项目的金额和利率，计算出总体的加权平均利率。
其计算公式为：
加权平均利率=(借款金额1*利率1+借款金额2*利率2+...+借款金额n*利率n)/总借款金额
六、年金计算公式：
年金是指在一定时间内每年支付固定金额的一种金融工具。
其计算公式为：
A=P*[(1+R)^N-1]/R
其中
A为年金支付金额；
P为年金现值（即本金）；R为年利率；
N为年数。
连续复利公式推导
For personal use only in study and research; not for commercial use连续复利(Continuous compounding)设本金为p0，年利率为i，当每年含有m个复利结算周期（若一个月为一个复利结算周期，则m=12，若以一季度为一个复利结算周期，则m=4）时，则n年后的本利和为：当复利结算的周期数（这意味着资金运用率最大限度的提高）时，的极限为e,即所以当连续复利本利和公式为：(1)即：p n = p0e ni式中e ni成为瞬间复利系数，或称一元钱的瞬间复利本利和仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
连续复利计算公式
连续复利计算公式
A=P*e^(r*t)
其中
A为最终的本利之和；
P为本金；
r为年利率；
t为持有时间（以年为单位）；
e为自然对数的底数，约等于2.718
这个公式的推导过程如下：
假设我们有一个本金P，以年利率r进行投资，我们想知道在t年后的本利之和A是多少。
根据复利的定义，我们知道年利息是本金和利率的乘积，即P*r。
所以第一年之后的本金是P+P*r=P(1+r)。
第二年的本金是第一年本金的基础上再加上第一年的利息，即
P(1+r)+(P(1+r))*r=P(1+r)(1+r)=P(1+r)^2
以此类推，t年后的本利之和是P(1+r)^t。
当我们将计算从离散到连续的转变时，可以将年利率r除以无限小的时间t，即r/t。
当t无限趋近于0时，得到的是一个无穷小的数，可以用e^x来表示。
所以经过推导，可得到连续复利的公式A=P*e^(r*t)。
连续复利的计算公式在实际应用中并不常见，因为在现实情况下，我们通常会根据固定的时间段计算复利。
但是了解连续复利的计算公式可以帮助我们更好地理解复利的本质，并且在一些特殊情况下可能会有应用。
连续复利的公式还可以应用在一些金融领域，例如确定投资的回报率或计算债券的价格。
在这些情况下，利息是以连续复利的方式计算的，因此我们需要使用此公式来计算。
需要注意的是，连续复利只是一种理论模型，实际上在现实中不会有连续复利的情况出现。
在实际应用中，我们通常会根据设定的时间段来计算复利，例如按照每年、每月或每日计算复利。
但是通过了解连续复利的计算公式，可以帮助我们更好地理解复利的概念和计算方法。
连续复利的计算公式
连续复利的计算公式
连续复利计算公式F=P*。
连续复利：
在极端情况下，本金C0在无限短的时间内按照复利计息。
假设利息率为δ，e为自然常数，则在投资年限T年后，投资的终值FV=C0×e^(δt)。
扩展资料：
复利的计算是对本金及其产生的利息一并计算，也就是利上有利。
复利计算的特点是：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的。
复利的计算公式是：
复利现值是指在计算复利的情况下，要达到未来某一特定的资金金额，现今必须投入的本金。
所谓复利也称利上加利，是指一笔存款或者投资获得回报之后，再连本带利进行新一轮投资的方法。
复利终值是指本金在约定的期限内获得利息后，将利息加入本金再计利息，逐期滚算到约定期末的本金之和。
简单来讲，就是在期初存入A，以i为利率，存n 期后的本金与利息之和。
公式：F=A*(1+i)^n.
例如：本金为50000元，利率或者投资回报率为3%，投资年限为30年，那么，30年后所获得的利息收入，按复利计算公式来计算本利和（终值）是：50000×（1+3%）^30
由于，通胀率和利率密切关联，就像是一个硬币的正反两面，所以，复利终值的计算公式也可以用以计算某一特定资金在不同年份的实际价值。
只需将公式中的利率换成通胀率即可。
连续复利计息的计算公式
连续复利计息的计算公式
连续复利计算公式F=P*e^rct为复利记息F：连续复利终值，P：本金，rc：连续复利利率，t：相应利率获取时间的整数倍(以年为单位)。
连续复利()
F=P*
复利计算公式
复利计算公式[1]
为复利记息F：l连续复利终值
P：本金
t：相应利率获取时间的整数倍(以年为单位)
：与t单位相关的连续复利利率,其中：
erc=1+EAR
EAR为单位时间内的有效利率；
1、每年计算m次复利，复利本息和=P*(1+i/m)^mn，其中P=本金，i=利率，n=期限。
2、当m趋于无穷大时，就是连续复利，复利本息和=P*(1+i/m)^mn的极限值，属于高等数学的一种运算方式。
补充：复利的计算公式是什么？
复利计算公式如下：
1、复利利息=（本金+利息）*利率，即本金所产生的利息会记入下一期继续产生利息，这就是利滚利的由来。
2、复利本息和=P*(1+i)^n，其中P=本金，i=利率，n=期限，符号“^”表示次方，比如“2^3”=2*2*2=8，数字2重复相乘3次。
连续复利的现值计算公式
连续复利的现值计算公式连续复利的现值计算公式是投资者在对未来投资收益做出预测时必须了解的一种重要计算方式。
它可以帮助投资者预期投资回报的大小，从而作出明智的投资决策。
关于“连续复利的现值计算公式”，需要先介绍两个重要概念复利和现值，这是利用其计算现值所必须掌握及了解的基本概念。
复利是指投资者收到的本金及其相关收益之和。
投资者在投资资金时，通常会得到一定的回报，这些回报可能是收益，也可能是损失。
复利的计算是把本金及其相关收益按照时间来计算的过程。
现值是把未来的收入、支出或者投资的资金以现在的价值来计算的一种金融概念。
现值计算是根据未来的投资回报和当前的投资成本，基于时间价值理论（Time Value of Money），用当前价格计算出一次性投资或者多期投资的价值。
现在，让我们来看看“连续复利的现值计算公式”。
续复利的现值计算公式的一般形式如下：PV=M * (1+r)^t其中，PV表示现值，M表示复利，r表示复利率，t表示投资期限。
根据连续复利的现值计算公式，投资者可以通过改变复利、复利率和投资期限三个变量中的任意一个来预测投资回报。
以张先生为例，他投资了100元，并取得了每年10%的复利。
假设他投资期限为5年，根据连续复利的现值计算公式，其现值为：PV=100*(1+0.1)^5PV=162.88从上述的实例中可以看出，张先生的投资总金额是162.88元，其中本金为100元，收益为62.88元。
此外，连续复利的现值计算公式也可用于对未来的投资收益做预测的时候。
假设张先生现在想预测他投资一年后的投资收益，在这种情况下，张先生可以使用连续复利的现值计算公式，把他的未来一年收益计算出来，即：PV=100*(1+0.1)^1PV=110从上面的实例中可以看出，张先生投资一年后的投资收益是110元，其中本金为100元，收益为10元。
由此可见，连续复利的现值计算公式对投资者而言是十分重要的。
它不仅可以帮助投资者估算投资回报，还可以帮助投资者更好的预测投资收益。
连续复利公式范文
连续复利公式范文
A = P × e^(rt)
对于离散复利公式：A = P(1 + r/n)^(nt)，其中n是复利的次数，nt是时间t内的复利次数。
现在考虑当n趋于无穷大时，我们可以得到：
lim(n→∞) (1 + 1/n)^n = e
其中e是自然对数的底数。
通过这一极限运算，我们可以将离散复利的公式转换为连续复利的公式。
根据连续复利公式，我们可以计算：
然而，需要注意的是，连续复利公式假定了利率在给定的时间段内是恒定的。
在实际情况中，利率可能会有所变化。
因此，连续复利公式只能用作近似计算，而对于具体情况下的复利计算，可能需要考虑更多的因素和数据。
总之，连续复利公式是描述复利计算的一种方法，它通过将复利的时间间隔推至极限来计算本金的增长情况。
它具有高精度和准确的优点，在财务和投资分析中有重要的应用。
然而，在实际应用中，需要注意连续复利公式是基于一些假设条件的，并不适用于所有复利计算的情况。
ear连续复利公式
ear连续复利公式连续复利这个概念在金融领域中可是相当重要的呢！咱先来说说啥是连续复利。
简单来讲，连续复利就是利息不停地在计算和加入本金，每时每刻都在产生利息。
比如说，你存了一笔钱在银行，普通的复利可能是一年或者一个月计算一次利息，然后加到本金里。
但连续复利呢，那可是一刻不停地在计算利息，就像一个永不停歇的赚钱机器。
举个例子吧，我之前有个学生小明，特别聪明好学。
有一次在课堂上，我给他们讲连续复利的知识，小明听得那叫一个认真。
课后，他跑来找我，说他爸爸准备做一个投资，好像涉及到连续复利的计算，他想搞清楚，好给爸爸出出主意。
我就跟他仔细地讲，假设本金是 P，年利率是 r，经过 t 年，按照连续复利的公式 A = Pe^(rt) 来计算，这里的 e 是自然常数，约等于2.71828。
小明一开始听得有点迷糊，眼睛瞪得大大的。
我就给他一步一步拆解，比如说本金是 1000 块，年利率是 5%，经过 3 年，那计算就是 A = 1000×e^(0.05×3) 。
我让小明自己动手算算，他拿着笔在纸上沙沙地写着，算出来后，兴奋地跟我说：“老师，我算出来啦！”看着他那开心的样子，我也觉得特别有成就感。
这连续复利公式在很多实际场景中都有用呢。
比如说，在考虑长期的投资回报时，或者计算债券的价值，都可能会用到。
再比如说，想象一下你有一笔钱，想知道多年后它能增值到多少。
用连续复利公式就能比较准确地估算出来。
又或者，一个企业要评估一项长期的项目收益，连续复利的计算能帮助他们做出更明智的决策。
不过呢，连续复利虽然强大，但也不是万能的。
在实际应用中，还得考虑各种因素，比如风险、市场波动等等。
总之，这连续复利公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开金融世界里很多未知的大门，让我们更清楚地看到财富的变化和增长。
希望大家都能掌握这个有用的工具，在金融的海洋里畅游无阻！。
银行派生存款计算公式
银行派生存款计算公式
银行的派生存款计算公式通常基于复利计算。
复利计算是指将每个计
息周期（通常是一年）的利息加到本金上，以形成新的本金，并在下个计
息周期内计算利息。
这种计算方法能够使存款本金在一段时间内迅速增加。
一般来说，派生存款的计算公式可以用以下两种方式表示：
1.每年复利计算的派生存款计算公式：
FV=PV*(1+r/n)^(n*t)
其中
FV表示派生存款的未来价值（即期末余额）
PV表示初始存款（即本金）
r表示年利率（以小数表示）
n表示复利计算的次数（通常是一年中的期数，如一年12期，即
n=12）
t表示存款的期限（以年为单位）
2.连续复利计算的派生存款计算公式：
FV=PV*e^(r*t)
其中
这个公式是在连续复利的情况下使用的，其中利率以年为单位。
与每
年复利计算不同，连续复利计算会按照实时变化的利率计算每个无限小的
时间段内的利息。
这种方法在计算利息时更精确，但计算方式稍显复杂。
这两种公式都可以用来计算银行的派生存款，选择哪种公式主要取决于实际情况和计算要求。
一般来说，如果利率变化频繁或存款期限较短，连续复利计算公式更适用；如果利率相对稳定或存款期限较长，每年复利计算公式更方便使用。
最后需要注意的是，以上公式为理论计算公式，实际存款金额可能还受到其他因素的影响，如银行可能对存款设置最低金额限制、账户管理费等。
因此，在实际操作中需要结合银行的具体规定和政策，对派生存款进行精确计算。
连续复利计算公式
F G(F / A,i, n 1) G(F / A,i, n 2)
G(F / A,i,2) G(F / A,i,1)
G [(1 i) 1] nG
ii
i
将上式代入（a）式，得：
A2
{G i
[(1 i)n i
1]
nG}[ i (1
i i)n
] 1
G[1 i
(1
n i)n
] 1
G(
A
/
G,
i,
n)
式中 1
n
[ i
(1
i)n
] 1
称为等差分付等值系数，可用符
号（A/G, i, n）表示。
由公式（b）知：
F
G
[ (1
i)n
1
n]
G(F
/
G, i,
n)
ii
式中 1[(1 i)n 1 n] ii
称为等差分付终值系数，可用符号
图中：A1——某一定值； h——某一固定的百分比。
九、普通复利公式小结与应用
（一）小结 1. 互为倒数关系 2. 乘积关系
(P / A,i, n) (F / A,i, n)(P / F,i, n) (F / A,i, n) (P / A,i, n)(F / P,i, n)
3. 等额分付资本回收公式与等额分付偿债基金公 式有以下关系
等值资金是指在特定的利率下，在不同的时间上绝 对数额不同，而价值相等的若干资金。
影响资金等值的因素有三个，即资金额大小、资金 发生的时间和利率。
利用等值概念，将一个时点发生的资金金额按一定 利率换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金 等值计算。
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2 1 3 1 1 ( x x ) 0 3 3 3
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铃
经济应用数学
例6.2 解
2 求由抛物线y x 与直线 x y 2 0 所围成图形的面积．
y2 x 得交点 解方程组 y 2 x
1
P(1,1), Q(4, 2)
2 3 1 y y 9 2 A [(2 y) y ]dy (2 y ) 2 2 3 2 2
2 a a
b
b
类似地，如图所示，由连续曲线 直线 y
x ( y),
c, y d
c d 以及
y 轴所围成的.
11
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经济应用数学
曲边梯形绕
y
轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
V y π x 2 dy
c
d
π [ g( y )]2 dy
c
d
12
a
b
y
xa
xb
x
A
y f ( x)
3
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铃
经济应用数学
(3) 由曲线 y f ( x) （有正有负），直线
x a,
x b ( a b)
c a
及
x
d c
轴所围成的的面积为
b
A f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
d
y
y f ( x)
4 2 4 2
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经济应用数学
4.6.2 定积分在经济上的应用举例
1．已知边际函数求经济总量及其改变量
(1)设生产的总成本 C ( x ) 的边际成本是 C ( x )
那么当产量为
x
时，总成本
x
C ( x) C( x)dx C (0)
0
其中
C (0) 为固定成本，
x1
此时的平均效益为
R R x2 x1
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x2
x1
R( x)dx
x2 x1
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经济应用数学
(3)若已知边际利润函数
则总利润函数为
L( x) R( x) C( x)
L( x) L( x)dx C (0) [ R( x) C( x)]dx C (0)
x1
L( x)dx
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x2 x1
t
总产量的变化率为
f ( t ) 100 12t 0.6t 2，求：
； （1）总产量函数 Q( t )
（2）从
t0 2
t
到
t1 4
t
这段时间内的总产量．
解 （1）总产量函数为
Q(t ) f (u )du (100 12u 0.6u 2 )du
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4.6 定积分的应用
4.6.1 定积分在几何上的应用
4.6.2 定积分在经济上的应用
1
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4.6.1 定积分在几何上的应用
1．平面图形的面积 在直角坐标系中求平面图形的面积，借助几何图形 和定积分的几何意义，容易得到计算平面图形面积 的定积分表达式． （1）平面图形是由一条曲线 y f ( x ) 和直线 x a ,
则以截面 A( x) 为底、以
是旋转体体积的微元素：
dV A( x)dx y 2dx [ f ( x)]2 dx
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(3)将微元 dV 依次相“加”，即在 [ a, b] 上积分，得
所求的旋转体体积为
Vx π y dx=π [ f ( x)]2 dx
（2）当产量从4台增加到6台时，求增加的总成本和总收入； （3）当产量从4台增加到6台时，求增加的平均成本和平均
收入；
（4）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？
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解 （1）由于总成本是固定成本和可变成本之和，所以 总成本函数为
1 C ( x) C (0) C(t )dt 1 0 (3 t )dt 0 3
x1
x2
此时的平均成本为
C C x2 x1
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x2
x1
C ( x)dx
x2 x1
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(2)若已知边际效益 这里
R( x),
则效益函数R( x)
x
0
R( x)dx,
R(0) 0
当产量由
x1 增到 x2
时， 效益的改变量
x2
R( x) R( x)dx
y d
x ( y)
c o
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x ( y)
A
x
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例6.1
2 2 求由两条抛物线 y x, y x 所围成的图形的面积．
y2 x ，得两条抛物线的 解 解方程组 2 y x (1,1) 交点为 (0,0),
A ( x x 2 )dx
xb 及
b a
x
轴围成的.
y
y f ( x)
A f ( x)dx
xa
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A
xb x
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（2）由曲线 y f ( x) ( f ( x) 0) ，直线 x
a, x b
(a b) 及 x 轴所围成的图形的面积为
A
b a
f ( x)dx f ( x)dx
8
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2．旋转体的体积 旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转 一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．
下面我们计算由连续曲线
y f ( x) 、直线 x a
轴旋转一周所成旋转体
x b 所围成的图形绕 x
(如图)的体积 V
9
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解得
1 A T ln r A ar
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若对某企业投资400万元，年利率 r 10%， 设在10年内的均匀收入率为100万元/年，试求： （1）该投资的纯收入（贴）现值； （2）收回该笔投资的年限是多少？ 例6.6 解 这里， a 400, A 100,r 10% 0.1, T 10 得，10年中投资所得纯收入（贴）现值为
A1
xa o
c
A2
A3
d
xb x
4
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(4) 由两条连续曲线 y f ( x), y g ( x)
( f ( x) g ( x)),
直线 x a, x b
b
(a b) 所围成的图形的面积为
A [ f ( x) g ( x)]dx
（常数） f (t ) A
间内的收入）是均匀的，即
年利率也为常数，按连续复利计算，则在 [0, T ]
内的总收入现值
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R
T
0
A rt T A rT Ae dt e (1 e ) 0 r r
rt
（2）纯收入（贴）现值的计算 投资
1 2 1 2 L( x) R( x) C ( x) 7 x x (1 3x x ) 2 6 2 2 4 x x 1 (万元) 3
（2） 当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入 分别为
C C( x)dx C ( x ) 4
6
6
4
1 2 1 (1 3 6 6 ) (1 3 4 4 2 ) 6 6 9.33 (万元)
260.8
20
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例6.5
已知生产某产品台的边际成本函数和边际收入
1 函数分别为 C ( x) 3 x (万元/台)， 3 R( x) 7 x (万元/台)．
（1）若固定成本 C (0) 1 (万元)，求总成本函数，
总收入函数和总利润函数；
0 0
x
x
其中
C (0) 为固定成本， L( x)dx 表示不考虑固
0
x
定成本下的利润函数，亦称为毛利润 当产量由
x1 增到 x2
时, 利润的改变量为
x2
L( x) L( x)dx
x1
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此时的平均利润为 L
例6.4 设某产品在时刻
x2
a
y
y f ( x)
A
y g( x )
o a
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bx
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(5)由曲线 x ( y), x ( y) ( ( y) ( y)), 直线