2007—2008期末 二本离散数学A卷
《离散数学》(上)试卷(A卷)及参考答案
安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ D ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。
2.下列命题是重言式的是（ C ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。
3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x<y.下列公式在R 下为真的是( )A.(∀x)(∀y)(∀z)(A(x,y)→A(f(x,z),f(y,z)))B.(∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ B ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。
5. 9．关于{,,}X a b c =到{1,2,3}Y =的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}f c -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。
6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ B ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。
离散数学-2007`2008(2)-试卷(毕业生)参考答案及评分细则
西南科技大学2007——2008学年第2学期《离散数学J 》参考答案及评分细则学院:_______________班级:_____________姓名:_______________学号:____________ 1．完成┐(R∨S)↔(R∧S)的真值表，并求出它的最简合取范式。
（20分）解：真值表（8分）求最简合取范式:（12分）设A = ┐(R∨S)↔(R∧S)，则┐A = ┐(┐(R∨S)↔(R∧S))= ┐(┐(R∨S)∧R∧S∨(R∨S) ∧(R∧S))= ┐((R∨S)∧┐(R∧S))= (┐R∧┐S)∨(R∧S)所以，A = (R∨S)∧(┐R∨┐S)2．“同班同学有同一个班主任，张三和李四的班主任不是同一个人，所以张三和李四不是同班同学。
”将上述命题谓词符号化，并证明。
(20分)其中P(x,y):x和y是同班同学，Q(x,y):x和y有同一个班主任，a:张三，b:李四。
解：符号化：（5分）前提：∀x∀y(P(x,y)→Q(x,y)), ┐Q(x,y)结论：┐P(a,b)推理证明：（15分）(1)∀x∀y(P(x,y)→Q(x,y)) P(2)∀y(P(a,y)→Q(a,y)) T,(1),US(3)P(a,b)→Q(a,b) T,(2),US(4)┐Q(a,b) P(5)┐P(a,b) T,(3,4),I43．写出集合{{φ,a},{a}}的全部子集合（8分）解：子集有：φ，{{φ,a}},{{φ}},{{φ,a},{a}}4．某班学生40人，会排球的有20人，会篮球的15人，以上两种运动都会的5人，问两种运动都不会的有几人？（12分）解：设会排球的是集合A，会篮球的是集合B。
则|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|＝20＋15－5＝30所以，两种运动都不会的有40-30＝10人。
5．设R是从集合A到集合B的关系，S,T是从集合B到集合C的关系，试证明R(S∩T)⊆(RS)∩(RT) （15分）证明：对任意<a,c>∈Rο(S∩T)，则由合成运算知，至少存在b∈B,使得：<a,b>∈R ,<b,c>∈(S∩T)，即：<b,c>∈S,且<b,c>∈T。
2008级离散数学试题答案
2008级离散数学A 卷试题参考答案一、填空题（每小题2分，共20分） 1．(ｐ∧┐q)∨(┐ｐ∧q) 2．┐∀x ∀y (F(x )∧G(y )→H(x ,y )) 3．(F(a, a ）∨F(a, b)）∧( F(b, a)∨F(b, a)) 4．245 5．e6．a, a 5, a 7, a 11 7．交换律、结合律和吸收律 8．19．r=s10．G 是连通图二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划v ，错误的划×） 1．v 2．× 3．× 4．v 5．× 6．×7．v8．×9．v10．v三、计算题（每小题5分，共15分） 1．ｍ１∨ｍ３∨ｍ５∨ｍ７2．令f : Ｎ×Ｎ→Ｎ，f (<x,y>) = x 3．6四、证明题（共45分）1．必要性：假设An B?∅，必有x 属于An B ，则x 属于A 同时属于B ，即x 属于A 但是x 不属于A B −，与A B A −=矛盾。
充分性：显然A B A −⊆，下面证明A A B ⊆−。
任取x ，有 x ∈A ⇒ x ∈An E ⇒ x ∈An(B ∪～B) ⇒ x ∈(An B)∪(An ～B) ⇒ x ∈An B ∨ x ∈An ～B ⇒ x ∈An B ∨ x ∈A-B⇒ x ∈A-B （因为An B=∅） 综上上述命题得证。
2．①()F a前提引入 ②(()())x F x G x ∀→ 前提引入 ③()()F a G a → ②ＵＩ ④()G a ①③假言推理 ⑤()H a前提引入 ⑥(()()())x G x H x I x ∀∧→ 前提引入 ⑦()()()G a H a I a ∧→⑥ＵＩ ⑧()()G a H a ∧ ④⑤合取 ⑨()I a⑦⑧假言推理 3． (1)因为ｐ→ｐ为永真式，所以 ｐＲｐ，Ｒ满足自反性。
（２）若ｐＲｑ和ｑＲｐ，则ｐＲｑ∧ｑＲｐ ⇔ （ｐ→ｑ）∧（ｑ→ｐ）⇔ ｐ↔ｑ，由于ｐ→ｑ和ｑ→ｐ为永真式，故ｐ↔ｑ为真，即 ｐ与ｑ等价，Ｒ满足反对称性。
离散数学期末考试题答案
北京交通大学2007-2008学年第二学期《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）学院：____________ _专业：___________________ 班级____________姓名：学号：□选修□必修一、填空题（共10分，每空1分）1.在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以引入推导过程中，这一推理规则叫做（T规则）。
2.设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}}；3.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系。
4.既是满射，又是单射的映射称为1-1映射（双射）。
5.设S为非空有限集,代数系统<P(S),∪>的单位元和零元分别为S和φ。
6.具有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。
7.简单图是指无环、无重边的图。
8.k-正则图是指所有顶点的度数均为k的的图。
9.Hamilton通路是指通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。
10.设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。
11.命题公式(P→Q) ∧ (P→R)的主析取范式中包含极小项（ A ）A．P∧Q∧R；B．P∧Q∧⌝R；C ．P ∧⌝Q ∧R ；D ．P ∧⌝Q ∧⌝R12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。
A ．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； B ．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)；C ．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)；D ．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ；13. 设S = {2，a ，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法中正确的是（ D ）（A ）R=S ； （B ）{a,3}⊆S ； （C ）{a}⊆R ；（D ）φ⊆R ；14. 下列命题公式不是重言式的是 C 。
吉林大学2008级本科《离散数学II》期末考试试题答案(A卷)
一、简答题1.运算表如下：其中单位元为a，b与c互为逆元2.1个3.(1 2)(1 3)(1 4)4.{I, (2 3)},{(1 2),(1 3 2)},{(1 3),(1 2 3)}5.{ I, (1 3 4),(1 4 3)}；6.1的逆元是1，2与4互为逆元，3与5互为逆元，6的逆元是6；7.4；8.,,9,8,6,4,3,2;109.（3），（7）10.是；11.{a0，a3，a6，a9},{a，a4，a7，a10},{a2，a5，a8，a11}。
12.是，同态核是6Z。
13.不同构14.不一定，无15.不一定16.4（或1）17.商式：3x2+2x+6; 余式：418.不是19.不可约20.特征是2，子域有：GF(2),GF(4),GF(8)21.是，不一定22.不是，是23.{a,b,d,f}24.b的余元素是g；c无余元素。
二、证明：若f(x)在R0上可约，则f(x)在R2上可约。
因此，只需证明f(x)在R2上不可约，则可知在R0上不可约。
在R2上，f2(x)=x5+x3+1。
（1）证明f2(x) 在R2上无一次因式。
因为R2={0,1}，而f(0)=f(1)=1,故无一次因式（2）证明f2(x)在R2上无二次因式。
在R2上二次因式只有：x2，x2+1，x2+x，x2+x+1，其中只有x2+x+1是质式。
但x5+x3+1=(x3+x2+x)(x2+x+1)+x+1，因此f2(x) 在R2上无二次因式。
综上，因为f 2(x)的最高次是5，而f 2(x) 在R 2上既无1次因式，也无2次因式，因此也无3次因式和4次因式，所以f 2(x)在R 2上不可约，从而f(x)在R 0上不可约三、 证明：因为(R ，＋)是循环群，则必存在生成元a ，则R 中任意元素可表示为na,n ∈Z 。
设R 中任意两个元素x=ma ，y=na ，则x ·y=mana=mnaa=nama=y ·x因此，R 中乘法满足交换律，故R 是交换环，结论成立四、解：由于16=24，所以，p=2,m=4，（1）首先求Φpm-1(х)，即Φ15(х)。
2007离散A(答案)
7、设A={1,2,3,4},*为A上的取大值运算，即a,b∈A,a*b=max(a,b),那么<A,*>的单位元是1，零元是4。
8、无向连通图是欧拉图的充分必要条件是图中各顶点的度数都是偶数。。
9、含有生成元的群称为循环群。。
3、（6分）设<G，*>是群，对于G中任意元素a、b，都有（a*b）2＝a2*b2，证明<G，*>是可交换群。
4、（6分）证明欧拉图中必没有割边。
证明：主要利用“无向图中，奇度顶点的个数为偶数”这一结论用反证法，设欧拉图中含有割边。由于欧拉图中每一个顶点的度数为偶数，所以割边的两个端点也是偶数度顶点。删去割边后，构成两个连通分支，每个连通分支都含有割边的一个端点；此时每一个连通分支中仅有一个奇数度顶点，这与已知矛盾。所以，欧拉图中没有割边。
①求T中4度顶点的个数。②画出符合题设条件的所有不同பைடு நூலகம்的无向树。
4、（6分）求下列图的所有不同构的最小生成树。
5、（6分）设G=<a>为12阶循环群。
①求G的所有非平凡子群；②指出G的所有生成元。
四、证明题（共24分）
1、（6分）构造下面的推理证明。
前提：
结论：
2、（6分）设R是A上的传递关系，证明R2也是A上的传递关系。
5、下列集合L构成的偏序集<L,≤>，其中≤定义为：对于n1,n2∈L,n1≤n2当且仅当n1是n2的因子。
L={1,2,3,4,6,12},偏序集<L,≤>是格(√)
L={1,2,3,4,6,8,12,14},偏序集<L,≤>是格（╳）
安徽大学计算机学院级—学年第二学期《离散数学》(下)考试(A卷)及参考答案A
元素 确定的各子群的左陪集对应为： ， ， ， 。 8分
四、证明题（每小题10分，共40分）
1. 2分
6分
。 10分
2. 因 对 和 运算封闭，故 对 运算封闭；对 ， 2分
,
故 ，从而 上的 运算满足结合律； 6分
因对 ， ， ，故 为 运算的么元；
综合以上， 为 上的可结合的二元运算，且 关于 运算有么元，所以 为独异点。 10分
(2) 求 ，说明从 到 的长为 的路径各有几条；
(3) 求 的可达矩阵 ；
(4) 求 的强连通分图。
图1
2. 求群 的所有子群及由元素 确定的各子群的左陪集，其中 ， 是模 加法。
四、证明题（每小题10分，共40分）
1. 证明布尔恒等式： 。
2. 设 为实数集合， 和 为数的加法和乘法运算，对 ， ，
A、欧拉路径；B、欧拉回路；C、哈密尔顿路径；D、哈密尔顿回路。
二、填空题（每小空2分，共20分）
1. 设 为实数集合， ，则在代数 中，
关于 运算的么元是＿ ＿＿，零元是＿ ＿＿。
2. 设 为模 加法，则在 中，元素 的阶为＿ ＿＿， 的阶为＿ ＿＿。
3. 设 ， 和 分别为求最大公约数和最小公倍数运算，
安徽大学计算机学院级—学年第二学期《离散数学》(下)考试(A卷)及参考答案A
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安徽大学2007—2008学年第2学期
《离散数学（下）》考试试卷（A卷）
一、单项选择题（每小题2分，共20分）
4. 设 是整环，则 不一定是（ ）
离散数学考试试题(A卷及答案)
离散数学考试试题(A 卷及答案)一、 (10 分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)？1)((P Q)∧Q)一 ((Q∨R)∧Q) 2)((Q P)∨P)∧ (P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解： 1)永真式； 2) 永假式； 3)可满足式。
二、 (8 分) 个体域为{1， 2}，求x3y (x+y=4)的真值。
解：x3y (x+y=4) 一 x ((x+1=4)∨(x+2=4))一((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))一(0∨0)∧(0∨1)一1∧1一0三、 (8 分) 已知集合 A 和 B 且|A|=n， |B|=m，求 A 到 B 的二元关系数是多少？ A 到 B 的函数数是多少？解：因为|P(A×B) |=2|A×B|=2|A| |B|=2mn，所以 A 到 B 的二元关系有 2mn 个。
因为|BA|= |B| |A|=mn，所以 A 到 B 的函数 mn 个。
四、 (10 分) 已知 A={1,2,3,4,5}和 R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求 r(R) 、s(R)和 t(R)。
解： r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、 (10 分) 75 个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20 人这三种东西都乘过，其中 55 人至少乘坐过其中的两种。
07级A卷参考答案
离散数学2007级A卷试题参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1．┐p∧q 2．┐∃x(F(x)∧G(x))3．(F(a)∨F(b)∨F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) 4．f是双射的5．2 6．<a3>=<e, a3, a6, a9>7．(a∧b)∨c≥c 8．79．2 10．n-1二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划√，错误的划×）1．×2．√3．√4．√5．×6．×7．×8．×9．×10．√三、计算题（每小题5分，共15分）1．M2∧M4∧M5∧M62． I={<<2,2>,<2,2>>, <<2,4>,<2,4>>, <<4,2>,<4,2>>, <<4,4>,<4,4>> } R⊆I3． 2m=2n-2=2*2+2*3+1*4+(n-5)*1=9+n解出n=11，m=10，t=11-5=6。
四、证明题（共45分）1．(8分)设集合D,E,F∈P(B) (1分)(1) 证明对称差运算具有可结合性(4分)(D⊕E)⊕F＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝[((D∩～E)∪(～D∩E))∩～F]∪[～((D∩～E)∪(～D∩E))∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[～(D∩～E)∩～(～D∩E)∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F] 但：[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F]＝[(～D∩D)∪(E∩D)∪(～D∩～E)∪(E∩～E)]∩F＝[φ∪(D∩E)∪(～D∩～E)∪φ]∩F＝(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 故：(D⊕E)⊕F ＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 同理：D⊕(E⊕F)＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 因此，(D⊕E)⊕F＝D⊕(E⊕F)所以对称差运算具有结合性。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散试卷及答案离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1)(P ∧(Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∧Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ((P ∨Q)∨(P ∨Q))∧RT ∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明 ：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))（P ∧(Q ∨R)）∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q)∨(P ∧R))∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分） 1）C ∨D, (C ∨D) E, E (A ∧B), (A ∧B)(R ∨S)R ∨S证明：(1) (C ∨D) E(2) E (A ∧B) (3) (C ∨D)(A ∧B)(4) (A ∧B)(R ∨S)(5) (C ∨D)(R ∨S)(6) C ∨D (7) R ∨S 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明（1）xP(x)(2)P(a) (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。
2007-2008(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
学号：
武汉工业学院 2007 –2008 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 14 分)
7. x2dS=
其中∑是柱面 x 2 y 2 4 在0 z 1之间的部分曲面.
二、解答下列各题(每小题 7 分,，总计 70 分)
1.
求过直线l
:
3x 2y z 1 0 2x 3y 2z 2 0
且垂直于平面
:
x
2y
3z
5
0 的平面方程。
2.
已知平面
: 3x
y 2z 5 0 与直线l :
与路径无关，
其中 L 为上半平面内的任意曲线，并计算从点(3, 2) 沿曲线 L 到达点(1,2) 时该曲线积分之值。 3
A 卷第 1 页(共 1 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
吉林大学2007级本科《离散数学II》期末考试试题答案(A卷)
一、1错；2对；3对；4错；5对；6错；7错；8错；9错；10错。
二、1.（1 2），2.H的左陪集是H,{{(12),(132)},{(13),(123)}，3.(1)不是; (2)是4.(1)a2=b，(2)b的周期是3，(3)是交换群；5.(1)不是，3和6是零因子；（2）R或{0}6.C是分配格；7.GF(4) ;8.{10,8,6,4,2,0}和{9,6,3,0}；9.6；10.σ的核是{0，4，8，12，16}，σ-1(σ(H))=G。
三、1、取p=2,则由Eisenstein定则知道f(x)不可约2、若f(x)在R0上可约，则f(x)在R2上可约。
因此，只需证明f(x)在R2上不可约，则可知在R0上不可约。
而在R2上，f(x)=x5+x2+1。
f(0)=1,f(1)=1,故无一次因子。
注意R2上二次质式只有x2+x+1,而x5+x2+1=(x2+x+1)(x3-x2)=1，故无二次因子。
所以x5+3x2-1在R2上不可约，从而在R0上必不可约四、证明：若H1和H2有一个包含另一个，则结论成立。
假设H1，H2互不包含，则存在x，y，使得x∈H1，且x∉H2，y∈H2，且y∉H1。
则断言x〃y∉H1，且x〃y∉H2，否则，若x〃y∈H1，则x∈H1及由H1是G的子群知，x-1∈H1，故，x-1〃（x〃y）∈H1，即y∈H1，与y∉H1矛盾。
同理可证x〃y∉H2。
因此，x〃y∉H1∪H2。
而x〃y∈G，所以，H1∪H2≠G，矛盾，即假设不成立。
故必有H1和H2有一个包含另一个，结论成立。
五、解：由于8=23，所以，p=2,m=3，（1）首先求Φp m-1（х），即Φ7（х）。
由x7-1=Φ7Φ1，x-1=Φ1，得Φ7（х）=111234567++++++=--xxxxxxxx，（2）求Φ7（х）在R2[х]中的3次质因式ψ（х）。
由于0，1都不是Φ7（х）的根，故Φ7（х）无一次因式。
由例7.2.11知，R2上二次质式只有x2+x+1，用它去除Φ7（х）余数为1，因为：Φ7（х）=x4（x2+x+1）+x（x2+x+1）+1。
《离散数学A》试题及答案
《离散数学A》试题及答案西南科技大学2010-2011-2学期《离散数学A》本科期末考试试卷（B卷）参考答案及评分细则一、判断题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）将每小题的判断结果写在答题纸上，正确的写“正确”，错误的写“错误”。
1. “3+3=6”,不是命题。
（错误）2. 命题公式（P Q Q）是偶然式。
（正确）3. 若B中不含有x，则x（A(x)B）xA(x)B。
（错误）4. 如果论述域是{a，b}，则xR(x) R(a)R(b)。
（错误）5. 若集合A的基数|A|=5，则A的幂集的基数|(A)|=32。
（正确）6. 设A是一个集合，则A A=。
（错误）7. 设R是非空集合A上的二元关系，则R的传递闭包t(R)=R R0。
（错误）8. 所有欧拉图的顶点次（度）数一定是偶数。
（正确）9. 无向图G是二部图当且仅当G中所有回路的长度均为偶数。
（正确）10. K5、K3,3都是非平面图。
（正确）二、简单计算题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）将每小题的计算结果写在答题纸上。
1. 设P：我有时间；Q：我去镇上，用逻辑符合写出命题“只有我有时间，我才去镇上。
”。
答案：Q P2. 对命题公式：P（Q R）P Q化为仅含和的等价表达式。
答案：（P Q）3. 设S(x)：x是火车，L(x)：x是卡车，F(x,y)：x比y快。
在谓词逻辑中符号化命题“所有火车都比所有卡车快”。
答案：?x(S(x)→?y(L(y) ∧F（x , y）)4. 求谓词公式xP(x)xQ(x)的前束范式。
答案：x y(P(x)Q(x))5. 在一个班级50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A，假如17人两次考试都没有得到A，问有多少学生在两次考试中都得到A？答案：14人。
6. 假设A是n个元素的有限集合，有多少个元素在A上的最小等价关系中？答案：n个。
7. 二元关系的关系图如下图所示，则R具有哪些特性（性质）？答案：R是反自反的、对称的。
离散数学-2007`2008(2)-试卷A参考答案及评分细则
参考答案及评分细则西南科技大学2007——2008学年第 2 学期《离散数学》期末考试试卷（A卷）一、(10分) 符号化下列命题：（1）R→S (2分)（2）┐(P∧Q)→R (2分)（3）┐(P∨Q) (2分)（4）┐∀x(L (x)→G(x)) (2分)（5）┐(∀x)（A（x）→B（x））或(∃x)（A(x)∧┐B(x)）(2分) 二、(7分)化简命题公式：┒(P→Q)∨(P→(P∧Q))解：┒(P→Q)∨(P→(P∧Q))⇔┒(┒P∨Q)∨(┒P∨(P∧Q)) (2分)⇔ (P∧┒Q)∨┒P∨(P∧Q) (2分)⇔ (P∧(Q∨┒Q)∨┒P (1分)⇔ (P∧T)∨┒P⇔ P∨┒P⇔T (2分)三、(10分)求命题公式：P↔(Q∧R) 的主析取范式和主合取范式。
解：（本题解法不唯一，只要能正确求出主析取范式和主合取范式均可。
）先求主合取范式(5分)：P↔(Q∧R)⇔(P→(Q∧R))∧((Q∧R)→P)⇔(┒P∨(Q∧R))∧(┒(Q∧R)∨P)⇔(┒P∨Q)∧(┒P∨R))∧(┒Q∨┒R∨P)⇔(┒P∨Q∨(┒R∧R))∧(┒P∨(┒Q∧Q)∨R))∧(┒Q∨┒R∨P)⇔(┒P∨Q∨┒R)∧(┒P∨Q∨R)∧(┒P∨┒Q∨R))∧(┒P∨Q∨R)∧(P∨┒Q∨┒R)⇔(┒P∨Q∨┒R)∧(┒P∨Q∨R)∧(┒P∨┒Q∨R)∧(P∨┒Q∨┒R) (2分)⇔π(3,4,5,6)根据命题公式主析取范式和主合取范式之间的对应关系可知，该命题的公式的主析取范式为：∑(0,1,2,7)。
(2分)即：(P∧Q∧R)∨(┒P∧Q∧┒R)∨(┒P∧┒Q∧R)∨(┒P∧┒Q∧┒R) (5分)四、(16分)用推理规则证明：（1）(8分)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R＝＞┐P证明：①┐R P，前提引入②┐Q∨R P，前提引入③R∨┐Q T，②恒等变换④┐Q T，②析取三段论⑤┐(P∧┐Q) P，前提引入⑥┐P∨Q T，⑤恒等变换⑦Q∨┐P T，⑥恒等变换⑧┐P T，④⑦析取三段论故，原命题成立，证毕。
莆田学院2008离散数学A卷
莆田学院期末考试试卷 （A ）卷2008 —— 2009 学年第 一 学期课程名称： 离散数学 适用年级/专业： 06级数学与应用数学 试卷类别 开卷（ ）闭卷（√） 学历层次 本科 考试用时 120分钟《．考生．．注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．》．一、单项选择题（每小题2分，共20分）( )1. 推理(1)若今天是星期二，则明天是星期四。
今天是星期二，所以明天是星期四。
推理(2) 若今天是星期二，则明天是星期三。
明天是星期三，所以今天是星期二。
对于这两个推理来讲，则A. 推理(1)和(2)都是正确的B. 推理(1)正确，而推理(2)是不正确的C. 推理(1)和(2)都是不正确的D. 推理(2)正确，而推理(1)是不正确的 ( )2. 设个体域为整数集合，公式 (1)x y zx y z∀∀∃+=, (2)(23)z x y x y z ∃∀∀+=, (3)(23)x y z x y z ∀∃∀+=用(,,)a b c 表示这三个公式的真值，则A. (,,)a b c (0,1,0)=，B.(,,)a b c (0,1,1)=，C. (,,)a b c (1,0,1)=，D. (,,)a b c (1,0,0)=( )3.下面推理证明中有的没有写出的推理规则 前提：()p q r →→，()q r s →→ 结论：()p q s ∧→ 证明：（1）p q ∧ 附加前提引入 （6）r（2）p 前提引入 （7）()q r s →→ 前提引入 （3）q 前提引入 （8）r s → （4）()p q r →→ 前提引入 （9）s （5）q r → 则填写正确的是A. （5）q r → （3），（4）拒取式B. （6）r （3），（4）假言推理C. （8）r s → （3），（7）假言推理D. （9）s （6），（8）拒取式( )4.设}3,2,1{=A 上的两个关系如下图，则(1) (2)A. 关系(1)具有性质: 自反，反对称，传递 ；关系(2)具有性质:反对称，传递B. 关系(1)具有性质: 自反，传递；关系(2)具有性质: 反自反，反对称，传递C. 关系(1)具有性质: 自反， 传递；关系(2)具有性质:反对称，传递D. 关系(1)具有性质: 自反，传递； 关系(2)具有性质:反自反，传递 ( )5.设{1,2,3,4}A =，在A A ⨯上定义二元关系R ,,,,u v x y ∀<><>∈A A ⨯, ,,u v R x y u y x v<><>⇔+=+则R 是A A ⨯上的等价关系且由R 引起的对A A ⨯的划分块个数为 A. 10 B. 8 C.6 D.7( )6.所有从A 到B 的函数的集合记作{|:}A B f f A B =→。
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山西财经大学
2007—2008 学年第一学期期末
离散数学课程试卷（A卷）
1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。
2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。
3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。
4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。
5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。
否则，视为作弊。
6、考生可以使用普通计算器。
一、概念判断题（共15小题，每题1分，共计15分）
二、基本能力题（共 5 小题，每题3分，共计15分）
三、作真值表求主范式（共 1 题，共计10分）
四、计算与作图题（共2小题，每题15分，共计30分）
五、逻辑推理题（共 1题，共计12分）
六、证明题（共 1题，共计10 分）
七、证明题（共 1题，共计8 分）
一、概念判断题（共15小题，每题1分，共计15分） 答题要求：在括号中正确的划√，错误的划×
1. Q Q P P ⇒∨⌝, （ ）
2. P Q Q P ⌝∨⌝⇔∧⌝)( （ ）
3. )()()()(x P x x P x ∃⇔∀⌝ （ ）
4. A B B A →⇔→ （ ）
5. B x A x B x A x ∧∀⇔→∃)()(()()( （ ）
6. 与有理数集合等势的集合是可数集。
（ ）
7. n 个元素有限集A ，其幂集的元素个数是n
2。
（ ） 8. 整环一定是域。
（ ）
9. 群中可以有多个么元。
（ ） 10. 集合的对称差不满足结合律。
（ ） 11. 整数集合是可数集。
（ ）
12. 实数轴上长度不为零的闭区间基数是相同的 。
（ ） 13. 一个函数是双射，当且仅当这个函数既是满射又是入射。
（ ）
14. 相容关系是自反的、对称的、传递的关系。
（ ） 15. 含有么元的半群是独异点。
（ ）
二、基本能力题（共5小题，每题3分，共计15分） 答题要求：
1．设集合X ＝{a,b,c},给定X 上的二元关系R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<a,c>,<b,c>,<b,b>}，写出R 的关系矩阵。
2．设集合X ＝{a,b,c},Y={x,y,z},写出集合X 和集合Y 的笛卡尔积X ×Y 。
3．用谓词表达式写出命题：每一个有理数都是实数。
4．设关系R={<1,2>,<3,4>,<2,3>},关系S={<4,2>, <2,5>, <3,1>, <1,3>},求复合关系S
R 。
5．集合S={a,b,c,d,e},定义S上的一个二元运算*如下表,指出代数系统<S,*>中的么元，各元素的逆元或左逆元、右逆元（如果存在）。
三、求下面命题公式的真植表，并写出其主析取范式。
（10分）
∨
⌝
→
P→
∨
⌝
(
(
)))
(R
Q
Q
P
四、计算与作图：（每小题15分，共30分）
1. 设集合A为{a,b,c,d,e,f}，关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>, <d,d>,<e,e>,<f,f>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<a,d>,<d,a>,<a,f>, <f,a>,<b,f>,<f,b>,<c,f>,<f,c>,<c,d>,<d,c>,<d,f>,<f,d>}，证明关系R是相容关系，写出关系矩阵,并作出简化的关系图、写出所有最大相容类。
2. 设A是正整数m=12的因子的集合，并设”≤”为A上的整除关系，写出关系”≤”的全部序偶，求出COV A，并画出哈斯图。
五、逻辑推理题（共 1题，共计12分）
答题要求：写清楚步骤和推理规则。
推证)(C B A ∧→，D F E D B ⌝→⌝→∨⌝)(,
E B →⇒
六、证明题（共1题，计10 分）
所有n n ⨯阶的非奇异矩阵组成集合G ，设⊙为G 集合上的矩阵相乘的二元运算，证明代数系统〈G ，⊙〉构成群。
七、证明题（共1题，计8 分）
设A 为有限集，B 为可数集，证明B A 为可数集。