2019年高考新课标Ⅱ 卷(理)

2019年普通高等学校招生全国统一考试( 新课标Ⅱ)
数学(理科) 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
{}2|(1)4,,1,0,1,2,3M x x x R N =-<∈=-，则=N M
（A ）{}2,1,0 （B ）{}2,1,0,1-
（C ）{}3,2,0,1- （D ）{}3,2,1,0 2．设复数z 满足(1)2i z i -=，则=z
（A ）i +-1
（B ）i --1 （C ）i +1
（D ）i -1
3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a
（A ）
3
1 （B ）31-
（C ）9
1 （D ）9
1
-
4．已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β。

直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则
（A ）βα//，且α//l
（B ）βα⊥，且β⊥l
（C ）α与β相交，且交线垂直于l
（D ）α与β相交，且交线平行于l
5．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2
x 的系数为5，则=a （A ）4-
（B ）3-
（C ）2-
（D ）1-
6．执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =
（A ）1111+
2310+++…… （B ）111
1+2310+++……！！！ （C ）1111+
2311+
++…… （D ）111
1+2311+++……！！！
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为
(A) (B) (C) (D)
8．设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则
（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>
9．已知0a >，,x y 满足约束条件1
3(3)x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，若2z x y =+的最小值为1，则a =
（A ）
14
（B ）
12
（C ）1
（D ）2
10．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是 （A ）0x ∃∈R ，0()0
f x =
（B ）函数()y f x =的图像是中心对称图形 （C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减
（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =
11．设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点)2,0(，
则C 的方程为
（A ）2
4y x =或2
8y x = （B ）2
2y x =或2
8y x =
（C ）2
4y x =或2
16y x = （D ）2
2y x =或2
16y x =
12．已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -，直线(0)y ax b a =+>将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的
取值范围是
（A ）(0,1) (B) 1
(1)2
( C) 1(1]3 (D) 11[,)32 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

三、13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD =_______．
14．从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为
1
14
，则n =________．
15．设θ为第二象限角，若1
tan()4
2
π
θ+
=
，则sin cos θθ+=________． 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10150,25S S ==，则n nS 的最小值为________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）
△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若2b =，求△ABC 面积的最大值．
18．（本小题满分12分）如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，
1AA AC CB AB ===
． （Ⅰ）证明：1//BC 平面1A CD ； （Ⅱ）求二面角1D A C E --的正弦值．
19．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X （单位：t ，150100≤≤X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润． （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率）,求利润T 的数学期望．
20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆
22
22
:1(0)
x y
M a b
a b
+=>>的右焦点F
作直0
x y+=交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程；
（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线CD AB
⊥，求四边形ABCD面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数)
ln(
)
(m
x
e
x
f x+
-
=．
（Ⅰ）设0
x=是()
f x的极值点，求m，并讨论()
f x的单调性；
（Ⅱ）当2
m≤时，证明()0
f x>．
22．（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲：如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，,E F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE DC AF
⋅=⋅，,,,
B E F C四点共圆．
（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DB BE EA
==，求过,,,
B E F C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知动点,P Q都在曲线
2cos
:
2sin
x
C
y
β
β
=
⎧
⎨
=
⎩
(β为参数)上，对应参数分别为βα
=与)
2
0(
2π
α
α
β<
<
=，M为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：
（Ⅰ）13ab bc ca ++≤； （Ⅱ）2221a b c b c a
++≥．
参考答案
一、选择题 1．A 2．A 3．C 4．D 5．D 6．B 7．A 8．9．B 10．C 11．C 12．B 13．2 14．8
15．5
- 16．49- 17．
18．
19．。