信息论讲义_第四讲
信息论讲义4
1、关于离散信源熵的总结 实际信源可能是非平稳的有记忆随机序列信源，其极限熵H∞不存在。 解决的方法是假设其为离散平稳随机序列信源，极限熵存在，但求解困难； 进一步假设其为m阶Markov信源，用其m阶条件熵Hm+1来近似，近似程度的 高低取决于记忆长度m 的大小； 最简单的是记忆长度 m =1的马尔可夫信源，其熵Hm+1=H2=H(X2|X1) 再进一步简化，可设信源为无记忆信源，信源符号有一定的概率分布。这时 可用信源的平均自信息量H1=H(X)来近似。 最后可假定是等概分布的离散无记忆信源，用最大熵H0 来近似。
补充：文本隐写技术
– 法轮功的信息传递：使用文本隐写工具软件Snow。
– 该软件使用公开对称加密算法ICE对秘密信息进行加密，再使用基于 行末不可见字符的文本隐写方法把秘密信息隐藏在文本中。
– 这种使用隐写技术传递隐秘信息的方法使得政府许多常规侦察方法失 去效果，从而使得相关职能部门对这些不法分子进行的不法活动更加 难以采取预防措施，给国家安全、社会稳定和经济的发展带来了严峻 的挑战。
补充：文本隐写技术
• 4)基于文件格式的文本隐写技术
• 该类方法利用文件格式中通常允许存在一定冗余的特性， 在文件格式中加入一些隐藏的信息。比如附加编码法， 是在文件中附加经过编码后的隐藏信息；PDF注释法， 是在PDF文件格式的注释部分加入编码后的隐藏信息等。
补充：文本本都当作一个独立的m阶时齐遍历马尔可夫信 源，以该文本中的单词作为信源符号；即检测方法只考虑每一篇文 本内部单词间的关系，而不将该文本与其所属的语种的总体特征进 行对比。 • 一般传统意义上关于文本的剩余度是指将某种自然语言作为信源并 计算该语言的剩余度，每个单独的文本只是作为该信源的一个输出。
数字通信原理4信息论基础1103页PPT文档
xMy1,pxMy1 xMy2,pxMy2 ...xMyN,pxMyN
满足条件：
M i1
N j1pxiyj 1
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离散信源的联合熵与条件熵(续)
第四章 信息论基础
两随机变量的联合熵
定义4.2.3 两随机变量 X :x iy Y j,i 1 , 2 ,. M ; .j .1 , 2 ,,. N ..,
I[P(xM)]
H(X)
图4－2－1 符号的平均信息量与各个符号信息量间关系 的形象表示
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离散信源的熵(续) 示例：求离散信源
X: 0 1 2 3
pX: 38 14 14 18
的熵。
第四章 信息论基础
按照定义：
H X i4 1pxilopg xi 8 3lo8 3g 1 4lo1 4g 1 4lo1 4g 8 1lo8 1g
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4、离散信源的平均信息量：信源的熵
第四章 信息论基础
离散信源的熵
定义4.2.2 离散信源 X:xi,i 1 ,2 ,.N ..的,熵
H X iN 1p xilop x g i
熵是信源在统计意义上每个符号的平均信息量。
I[P(x1)]
I[P(x2)]
I[P(x3)]
I[P(x4)]
同时满足概率函数和可加性两个要求。
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离散信源信的息量(续)
第四章 信息论基础
定义 离散消息xi的信息量:
IPxi loP g1xiloP gxi
信息量的单位与对数的底有关：
log以2为底时，单位为比特：bit
log以e为底时，单位为奈特：nit
《信息论》研究生课程讲义
《信息论》研究生课程讲义2-5 平均互信息量的特性平均交互信息量IX,Y在统计平均的意义上,描述了信源、信道、信宿组成的通信系统的信息传输特性。
这一节将进一步讨论IX,Y的数学特性,重点介绍其特性的结论和其物理意义。
2-5-1 IX,Y的非负性当x为大于0的实数时,底大于1的对数logx是x的严格上凸函数,可以证明若fx为上凸函数,则有:f∑pixi≥∑pifxi,如fxlogx,则有:log∑pixi≥∑pilogxi根据这个关系,考虑平均互信息量,IX,Y ∑∑pxi,yjlog[pxi,yj/pxipyj]则:-IX,Y ∑∑pxi,yjlog[pxipyj/pxi,yj]≤log∑∑pxi,yj[pxipyj/pxi,yj]log∑pxi ∑pyj0所以有:IX,Y ≥0只有当PX,YPXPY,即对于所有的i1,2,…n, j1,2,…m。
都有:pxi,yjpxipyj,才有:IX,Y0互信息量可能出现负值,但平均互信息量不可能出现负值。
接收者收到一个Y的符号,总能从中获取道关于信源X的信息量,只有当XY相互独立时,平均互信息量才为0。
由IX,YHX-HX/Y,可知,在信息传输过程中,后验熵不可能大于先验熵,这种特性称为后熵不增加原理。
当XY相互独立时,pxi,yjpxipyj可得:HX,YHX+HY当XY相互独立时,pyj/xipyj可得:HY/XHY当XY相互独立时,pxi/yjpxi可得:HX/YHX由互信息量的定义可知:IX,YHX+HY-HX,YHX-HX/YHY-HY/X02-5-2 平均互信息量的交互性由于pxi,yjpyj,xi则:IX,YIY,X交互性表明在Y中含有关于X的信息,IX,Y;在X中含有关于Y的信息,IY,X;而且两者相等。
实际上IX,Y和IY,X只是观察者的立足点不同,对信道的输入X 和输出Y的总体测度的两种表达形式。
两个园相交的部分为平均互信息量,可见,平均互信息量的大小体现了X和Y 的相关程度。
信息论课件CHAPTER4
由于
h( X
)
h( X
/Y
)
p( xy) log
p( x / y)dxdy p( x)
p( xy)(1
p( x) )dxdy p(x | y)
0
仅当X、Y独立时等式成立。
4.1.5 连续随机变量集合差熵的性质(续) ——连续熵与离散熵的类似性
3. 可加性 设N维高斯随机矢量集合 XΝ X1X2 X N ,很容易证明
4.1.1 连续随机变量的离散化
一个连续随机变量的离散化过程大致如下：
若给定连续随机变量集合X 的概率分布F(x) P{X x} 或 概率密度p(x) ；再给定一个由实数集合到有限或可数集 合的划分 P ，使得
P {Si, i 1, 2, }，其中Si 表示离散区间，i Si 为实数集合，
主要是高斯信源的差熵；然后介绍连续信 源最大熵定理；最后介绍连续集合之间的 平均互信息、离散集合与连续集合的平均 互信息。
§4.1 连续随机变量集合的熵
本节主要内容：
1.连续随机变量的离散化 2.连续随机变量集的熵 3.连续随机变量集的条件熵 4.连续随机变量集的联合熵 5.连续随机变量集合差熵的性质 6.连续随机变量集合的信息散度
4.1.5 连续随机变量集合差熵的性质 ——连续熵与离散熵的类似性
1. 连续熵与离散熵计算表达式类似。通过比较可见，由计算 离散熵到计算连续熵，不过是将离散概率变成概率密度， 将离散求和变成积分。
2. 熵的不增性。连续熵同样满足熵的不增原理，即
h( X ) h( X / Y )
(4.1.15)
i
p(xi )x log p(xi ) p(xi )x log x （4.1.5）
信息论基础教学课件ppt信息论基础概述信息论基础概论
§1.2.1 通信系统模型
例如，奇偶纠错 将信源编码输出的每个码组的尾补一个1或0 当传输发生奇数差错，打乱了“1”数目的奇偶性，就 可以检测出错误。
34
§1.2.1 通信系统模型
(a) 无检错
(b) 可检错 (奇校验) (c) 可纠错(纠一个错)
图1.4 增加冗余符号增加可靠性示意图
35
§1.2.1 通信系统模型
信源的消息中所包含的信息量 以及信息如何量度
核心 问题
29
§1.2.1 通信系统模型
编码器(Encoder)
编码器的功能是将消息变成适合于信道传输的信号 编码器包括：
信源编码器(source encoder) 信道编码器(channel encoder) 调制器(modulator)
信源编码器
信道编码器
调制器
功能：将编码器的输出符号变成适合信道传输的信号 目的：提高传输效率 信道编码符号不能直接通过信道输出，要将编码器的输 出符号变成适合信道传输的信号，例如，0、1符号变成 两个电平，为远距离传输，还需载波调制，例如，ASK， FSK，PSK等。
36
§1.2.1 通信系统模型
信道(channel)
13
§1.1.2 信息的基本概念
1949年，Weaver在《通信的数学》中解释香农的工 作时，把通信问题分成三个层次： 第一层：通信符号如何精确传输？（技术问题） 第二层：传输的符号如何精确携带所需要的含义？（语义问题） 第三层：所接收的含义如何以所需要的方式有效地影响行为？ （效用问题）
14
§1.1.2 信息的基本概念
§1.1.2 信息的基本概念
信息的三个基本层次：
语法(Syntactic)信息 语义(Semantic) 信息 语用(Pragmatic)信息
信息论第四讲
2.2 重要定理2.2.1 链式法则从定理 2.1，我们得到：)|()(),(X Y H X H Y X H +=和)|()(),(Y X H Y H Y X H +=，并解释说它们是熵的链式法则在两个随机变量情况下的特例。
现在，我们来看它的一般形式，即针对一组随机变量的情况。
世界上有很多事情取决于多种因素，这时就可以看作多个随机变量共同决定了事情的不确定性。
定理2.3（熵的链式法则）设随机变量n X X X ,,,21 服从联合分布),,,(21n x x x p ，则∑=-=ni i i n X X X H X X X H 11121),,|(),,,( (2-36)证明 根据式(2-15)，可以把等式左边写成左边=)),,,,((),,,(12121n n n X X X X H X X X H -=)),,,(|(),,,(121121--+=n n n X X X X H X X X H)),,,(|(),,,(2211221---+=n n n X X X X H X X X H ),,|(11X X X H n n -+∑=-=ni i i X X XH 111),,|( =右边在证明过程中，我们没有使用联合概率分布),,,(21n x x x p ，如果使用之，同样可以证明这个定理。
可以从物理概念上对上述定理加以解释：多随机变量的联合熵是多个事件同时发生的不确定性，它应该等于事件1X 的不确定性与1X 已出现的情况下其它事件同时发生的不确定性之和，而后者是1X 已出现的前提下事件2X 的不确定性，与1X 、2X 已出现的情况下其它事件同时发生的不确定性之和，依此类推。
这个定理告诉我们一个重要的结论：多随机变量的联合熵等于条件熵之和。
；如果多个事件互相独立，问题就变得更简单了。
例如，我们班上有n 个同学，每人的学习成绩是[0，100]间的随机数，用随机变量i X 表示。
根据上述定理，全班成绩的不确定性为∑=-=ni i i n X X X H X X X H 11121),,|(),,,( ，是条件熵之和，但是由于大家的成绩相互独立，全班成绩的不确定性只由每人成绩不确定性之和决定，即为∑=n i i X H 1)(。
信息论4-1
在一般的广义通信系统中， 在一般的广义通信系统中，信道是很重要的一部 分，信道是信息传输的通道（如电缆、光纤、电波传 信道是信息传输的通道（如电缆、光纤、 播的介质等物理通道，以及磁盘、光盘等），其任务 播的介质等物理通道，以及磁盘、光盘等），其任务 ）， 是以信号方式传输信息和储存信息， 是以信号方式传输信息和储存信息，在信息论中只研 究信号在这些信道中传输的特性及在此基础上信息的 可靠传输问题，而并不研究这些特性如何获得的 即研 可靠传输问题，而并不研究这些特性如何获得的(即研 究信道中理论上能够传输和存储的最大信息量， 究信道中理论上能够传输和存储的最大信息量，即信 道容量问题) 道容量问题 。
4.据信道的统计特性来分类 据信道的统计特性来分类 ①无记忆信道：信道的输出只与信道该时刻的输入有关 无记忆信道： 而与其他时刻的输入无关 . 有记忆信道(无扰信道 无扰信道) 信道某一时刻输出的消息， ②有记忆信道 无扰信道 ：信道某一时刻输出的消息， 不仅与该时刻的输入消息有关， 不仅与该时刻的输入消息有关，而且还与前面时刻的输 入消息有关。 入消息有关。 5. 根据信道的参数与时间关系来划分 统计特性)不随时间而变化 ①恒参信道：信道的参数(统计特性 不随时间而变化 . 恒参信道：信道的参数 统计特性 统计特性)随时间而变化 ②随参信道：信道的参数(统计特性 随时间而变化 随参信道：信道的参数 统计特性 随时间而变化. 6.根据信道的统计特性对输入端是否有对称性分类 根据信道的统计特性对输入端是否有对称性分类 ①恒参信道 ②随参信道
(2) 对称信道 ① 定义 若信道矩阵中，每行元素都是第一行元素的不同排列， 若信道矩阵中，每行元素都是第一行元素的不同排列， 每列元素都是第一列元素的不同排列， 每列元素都是第一列元素的不同排列，则这类信道称为 对称信道。 对称信道。
信息论讲义-第四章(10讲)
信息理论基础第10讲北京航空航天大学201教研室陈杰2006-11-274.3离散无记忆扩展信道一、无记忆Ｎ次扩展信道定义：假设离散信道［X, p (y|x ), Y ］,输入符号集合:A ={a 1,a 2,……,a r }输出符号集合:B ={b 1,b 2, ……,b s } X 取值于Ａ，Ｙ取值于Ｂ．将输入，输出Ｎ次扩展得其中,Ｘi 取值于Ａ，Ｙi 取值于Ｂ，i =1,2,……Ｎ12()N X X X =X "12()N YY Y =Y "信道ＸＹp (y|x )2006-11-274.３离散无记忆扩展信道二、无记忆Ｎ次扩展信道其数学模型如下：若则称为Ｎ次无记忆扩展信道。
信道NX X X ……21NY Y Y ……211212(|)N N p y y y x x x ……12121(|)(|)(|)NN N i i i p p y y y x x x p y x ===∏y x ""[,(|),]N N N N X p y x Y2006-11-27三、离散无记忆信道数学模型信道输入序列取值信道输出序列取值信道转移概率信道X YNX X X X (21)Y Y Y Y ……=2112,N x x x x =……A x i ∈12,N y y y y =……B y i ∈1(|)(|)Ni i i p y x p y x ==∏{,(|),}i ip y x X Y 离散无记忆信道2006-11-27离散信道的数学模型可表示为定义若离散信道对任意N 长的输入、输出序列有称为离散无记忆信道，简记为DMC 。
数学模型为{,(|),}p y x X Y 1(|)(|)Ni i i p y x p y x ==∏{,(|),}i i p y x X Y2006-11-27(1) 对于DMC 信道，每个输出符号仅与当时的输入符号有关，与前后输入符号无关。
(2) 对任意n 和m ，，，若离散无记忆信道还满足则称此信道为平稳信道的或恒参信道。
信息论基础详细ppt课件
1928年，哈特莱(Hartley)首先提出了用对数度量信
息的概念。一个消息所含有的信息量用它的可能值
香农
的个数的对数来表示。
(香农)信息： 信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。 可运用研究随机事件的数学工具——概率来测度不确定性大小。 在信息论中，我们把消息用随机事件表示，而发出这些消息的信 源则用随机变量来表示。
2.1 自信息和互信息
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I (xi ) 是该事件发生概率 p(xi ) 的函数，并且应该满 足以下公理化条件：
1. I (xi )是 p(xi )的严格递减函数。当 p(x1)p(x2) 时，I(x1)I(x2)，概率 越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
事件 x i 的概率为p(xi ) ，则它的自信息定义为：
I(xi)d eflogp(xi)logp(1xi)
从图2.1种可以看到上述信息量的定义正 是满足上述公理性条件的函数形式。I (xi ) 代表两种含义：当事件发生以前，等于 事件发生的不确定性的大小；当事件发 生以后，表示事件所含有或所能提供的 信息量。
2．极限情况下当 p(xi )=0时，I(xi)；当 p(xi ) =1时，I (xi ) =0。
3．另外，从直观概念上讲，由两个相对独立的不同的消息所提供的 信息量应等于它们分别提供的信息量之和。 可以证明，满足以上公理化条件的函数形式是对数形式。
定义2.1 随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
我们把某个消息 x i 出现的不确定性的大小，定义为自信息，用这
个消息出现的概率的对数的负值来表示：I(xi)lop(g xi)
自信息同时表示这个消息所包含的信息量，也就是最大能够给予 收信者的信息量。如果消息能够正确传送，收信者就能够获得这 么大小的信息量。
信息论课件.ppt教学文案
– 先验概率：选择符号 ai 作为消息的概率----P(ai)
– 自信息：ai 本身携带的信息量
I(ai
)
log 1 P(ai
)
– 后验概率：接收端收到消息(符号) bj 后而发送端
发的是 ai 的概率 P(ai/bj)
– 互信息：收信者获得的信息量-----先验的不确定 性减去尚存在的不确定性
I(ai;bj)loP g(1 ai)loP g(ai1/bj)
第一章 绪论
信息论
通信技术 概率论 随机过程 数理统计
相结合逐步发展而形 成的一门新兴科学
奠基人：美国数学家香农（C.E.Shannon） 1948年“通信的数学理论”
本章内容：
信息的概念 数字通信系统模型 信息论与编码理论研究的主要内容及意义
1.1 信息的概念
信息是信息论中最基本、最重要的概念，既抽象又复杂
– 信息具有以下特征： （1）信息是可以识别的 （2）信息的载体是可以转换的 （3）信息是可以存贮的 （4）信息是可以传递的 （5）信息是可以加工的 （6）信息是可以共享的
1.2 信息论研究的对象,目的,内容
一、 研究对象 – 前面介绍的统一的通信系统模型。人们通过系统 中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共 同规律。
消息：用文字等能够被人们感觉器官所感知的形式， 把客观物质运动和主观思维活动的状态表达出来。 知识：一种具有普遍和概括性质的高层次的信息 ， 以实践为基础，通过抽象思维，对客观事物规律性的 概括。 情报：是人们对于某个特定对象所见、所闻、所理解 而产生的知识 。
它们之间有着密切联系但不等同 ，信息的含义更深刻、广泛
– 它的主要目的是提高信息系统的可靠性、有效性、 保密性和认证性，以便达到系统最优化；
信息论讲义(4讲)
信息论第4讲北京航空航天大学201教研室陈杰buaa201gcss@ PWD:buaaf615例4.14 根据概率转移图给出信道矩阵，并求信道的信道容量1 31 21 61 31 6161613131316161213131216x a1a2Yb1b2b3b4xa1a2a3Yb1b2b32由概率转移图可以写出信道矩阵如下11111336611116633⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P2111236111623111362⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P34解：信道1和2都为对称信道，所以()'''112log ,,,sC s H p p p=−"1111log 4,,,3366H ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠0.0817 bit=()'''212log ,,,sC s H p p p=−"111log 3,,236H ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠0.126 bit=5例4.15 根据信道矩阵，求下列信道的信道容量解：该信道为对称信道111002211002211002211022⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ()'''112log ,,,sC s H p p p=−"11log 4,22H ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠1 bit=6例4.15 根据信道矩阵，求下列信道的信道容量解：信道为无损信道21100 0 0 0 0221100 0 0 0 022110000 0 022110000 0 0 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 22log C r=2log 4=2 bit=7另解：将该信道看成准对称信道输入等概分布时，输出为：2211()(|)log 8,2 22C H Y H Y X H bit⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠12818q q q ===="8例4.15 根据信道矩阵，求信道容量1111336611116363⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P9解法1：利用定理信道为准对称信道，当输入为等概分布时达到信道容量则121/2p p ==|11111133661111226363Y X Y X⎡⎤⎢⎥⎡⎤=•=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P P 1111 4364⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10()max (;)p x C I X Y =[]()max ()(|)p x H Y H Y X =−11111111,,,,,,43643366H H ⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0.041 bit=11例4.16 有一离散信道的概率转移图如图所示：试求①信道容量C②若求信道容量010x 1121εε−−121εε−−1ε2ε2ε1ε20ε=12解法1：利用定理求解由转移概率矩阵可知，此信道为准对称信道当时，达到信道容量122121211 1 εεεεεεεε−−⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦P 1212p p ==13则输出端符号概率分布为：()()()()0122112121111111122211111222122q q q εεεεεεεεεεε⎧=−−+=−⎪⎪⎪=+−−=−⎨⎪⎪=×=⎪⎩14()max (;)p x C I X Y =[]()max ()(|)p x H Y H Y X =−()()011212,,1,,H q q q H εεεεε=−−−112212121(1)log (1)log (1)log(1)2εεεεεεεε=−−−++−−−−210 =1C εε=−当时15三、离散无记忆N 次扩展信道的信道容量N 次扩展信道的信道容量为其中{}()max ()Np x C I =X;Y {}()max (,)i i i p x C I X Y =()1max (,)N i i p x i I X Y ==∑1Ni i C ==∑16•物理意义：对于离散无记忆N 次扩展信道，其信道容量等于单变量信道的信道容量的N 倍。
信息论基础-第4章信息论基础1
研究目的——信息传输系统最优化
1.可靠性高 使信源发出的消息经过信道传输后，尽可能准确地、 不失真地再现在接收端。
2.有效性高 经济效果好，用尽可能短的时间和尽可能少的设备来 传送一定数量的信息。
往往提高可靠性和提高有效性是矛盾的。
3. 保密性 隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被授
权接收者获取，而不能被未授权者接收和理解。
★信息论研究的对象、目的和内容
研究对象——通信系统模型
信 源 消息 编码器 信号 信 道
干扰
噪声源
译码器 消息 信 宿
1. 信息源：简称信源 信源是产生消息和消息队列的源。如电视直播厅，广 播室，人等等。
特点：信源输出的消息是随机的、不确定的，但有一 定的规律性。
2. 编码器：
编码器是把消息变换成信号的措施，编码器输出的 是适合信道传输的信号。
定理4.2.5 熵函数 H X 是概率 px1, px2 ,..., pxN
的型凸函数。
定理4.2.6 当离散信源X取等概分布时，其熵 H X 取最大值。
max
H px1 ,
px2
,...,
pxN
H
1 N
,
1 Ng 1 log 1
i1 N
N
N
即：当信源取等概分布时，具有最大的不确定性。
(1) f ( p应i ) 是先验概率 的P(x单i ) 调递减函数，
即
P(x1)时 P,(x2 )
f [P(x1)] f [P(x2)]
(2) 当 P(xi )时,1
f ( pi ) 0
(3) 当 P(xi )时 0, f ( pi )
(4) 两个独立事件的联合信息量应等于它们分
信息论ppt第四章
如图所示，信源在某时刻处于某一状态 si ， 当它发出一个符号xim1 后，所处的状态就变了， 转移到状态 s j,因此,信源输出的符号序列X1 X 2 X m X m1 变换成信源状态序列S1S2 SmSm1 ，于是一个讨论 信源输出符号不确定性的问题变成讨论信源状态 转换的问题。
作业：1. 证明 2. 有一无记忆信源的符号集为{0，1}，已知信源的 概率空间为 1 X 0 P 1 / 4 3 / 4 ， (1)求信源熵； (2)求由m个“0”和(100-m)个“1”构成的某一特定序 列的自信息量的表达式； (3)计算由100个符号构成的符号序列的熵。
并设发出的符号只与前一个符号有关，其关联程 度由条件概率 p(a j | ai ) 给出，如下所示：
， 求：(1)此信源每发出一条消息提供的平均信息 量 H(X ) ； (2)此信源的平均符号熵 H2 ( X ) (3)此信源的极限熵 H 。
7 / 9 2 / 9 0 1/ 8 3/ 4 1/ 8 2 / 11 9 / 11 0
实际信源分类如下：
离散无记忆信源 记忆长度无限 平稳信源 离散平稳信源 离散有记忆信源 记忆长度有限 随机过程：波形信源 (马尔科夫信源) 连续平稳信源 非平稳信源
第二节
离散离 散单符号信源，它是最简单、最基本的信 源，是组成实际信源的基本单元，用一个 离散型随机变量表示。 信源所有可能输出的消息和消息所对应 的概率共同组成的二元序 [ X , P( X )] 对称为信 源的概率空间。
X X x1 , X x2 , X xi , X xq P( X ) p( x ), p( x ), p( x ), p( x ) 2 i q 1
信息论基础ppt课件
（a） H ( X , Y ) , H ( X ) , H ( Y ) , H ( X |Y ) , H ( Y |X ) , I ( X ; Y ) ;
（b）如果q(x,y)p(x)p(y)为两个边际分布的乘积分布，计 算 D( p Pq) 和 D(q P p)。
解：
(a )
H (X ,Y ) 1 lo g 1 1 lo g 1 1 lo g 1 5 lo g 5 44441 21 21 21 2
1 p(X)
可见熵是自信息的概率加权平均值
引理 1.2.1 H(X) 0，且等号成立的充要条件是 X 有退化分布。
例题 1.2.1 设
1
X
0
依概率 p 依概率 1 p
则 H ( X ) p l o g p ( 1 p ) l o g ( 1 p ) h ( p ) 。
I (x) log 1 。 p(x)
1.2 熵、联合熵、条件熵
X 定义 1.2.1 离散随机变量 的熵定义为
H(X)p(x)logp(x) x
e 我们也用 H ( p ) 表示这个熵，有时也称它为概率分布 p 的熵，其中对
数函数以2为底时，熵的单位为比特（bit），若对数以 为底时，则熵的
图1.1 通信系统模型
第一章 随机变量的信息度量
1.1 自信息 1.2 熵、联合熵、条件熵 1.3 相对熵和互信息
1.1 自信息
定理1.1.1
定义 1.1.1
若自信息I ( x ) 满足一下5个条件：
( i ) 非复性：I(x) 0;
( i i ) 如 p(x) 0, 则 I(x) ;
信息论讲义
第二章信源与信息熵主要内容：（1）信源的描述与分类；（2）离散信源熵和互信息；（3）离散序列信源的熵；（4）连续信源的熵和互信息；（5）冗余度。
重点：离散/连续信源熵和互信息。
难点：离散序列有记忆信源熵。
说明：本章内容主要针对信源，但是很多基本概念却是整个信息论的基础，所以安排了较多课时。
由于求熵涉及一些概率论的基础知识，考虑到大四的同学可能对这部分知识已经遗忘，故适当复习部分概率论知识。
较难的 2.1.2节马尔可夫信源部分放置在本章最后讲，便于同学理解。
本章概念和定理较多，比较抽象，课堂教学时考虑多讲述一些例题，通过例题来巩固概念和消化定理。
作业：2．1—2．7，2．10，2．12。
课时分配：10课时。
板书及讲解要点：在信息论中，信源是发出消息的源，信源输出以符号形式出现的具体消息。
如果符号是确定的而且预先是知道的，那么该消息就无信息而言。
只有当符号的出现是随机的，预先无法确定，一旦出现某个符合就给观察者提供了信息。
因此应该用随机变量或随机矢量来表示信源，运用概率论和随机过程的理论来研究信息，这就是香农信息论的基本点。
2．1 信源的描述与分类在通信系统中收信者在未收到消息以前对信源发出什么消息是不确定的，是随机的，所以可用随机变量、随机序列或随机过程来描述信源输出的消息，或者说用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。
信源：产生随机变量、随机序列和随机过程的源。
信源的基本特性：具有随机不确定性。
信源的分类连续信源：话音、图像——随机过程离散信源：输出在时间和幅度上都是离散分布的消息。
1213消息数是有限的或可数的，且每次只输出其中一个消息，即两两不相容。
发出单个符号的无记忆信源离散无记忆信源： 发出符号序列的无记忆信源离散信源离散有记忆信源： 发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源概率论基础：无条件概率，条件概率和联合概率的性质和关系： （1） 非负性0()()(/)(/)()1i j j i i j i j p x p y p y x p x y p x y ≤≤，，，， （2） 完备性111111()1,()1,(/)1,(/)1,()1nmnijiji j i mm nji i j j j i p x p y p x y p yx p x y ===========∑∑∑∑∑∑11()(),()()n mijjijii j p x y p y p x y p x ====∑∑（3） 联合概率()()(/)()(/)()()()(/)()(/)()i j i j i j i j i j i j j i j i j i p x y p x p y x p y p x y X Y p x y p x p y p y x p y p x y p x =====当与相互独立时，，（4） 贝叶斯公式11()()(/)(/)()()i j i j i j j i nmijiji j p x y p x y p x y p y x p x y p x y ====∑∑，2.1.1 无记忆信源：例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。
12953_精品课课件信息论与编码(全套讲义)
2024/1/28
10
03
信道编码
2024/1/28
11
信道编码概述
01
信道编码的基本概念
为了提高信息传输的可靠性，在信源编码的基础上增加一些监督码元，
这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。
02
信道编码的目的
对传输的信息码元进行检错和纠错，提高信息传输的可靠性。
2024/1/28
编码的基本原则
有效性、可靠性、安全性、经 济性。
8
编码的分类与原理
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分类
根据编码对象的不同，可分为信源编码、信道编码和加密 编码等。
原理
不同的编码方式采用不同的编码原理和算法，如信源编码 中的哈夫曼编码、信道编码中的卷积码和LDPC码等。
编码与调制的关系
编码是数字通信中的关键技术之一，与调制技术密切相关 。编码后的信号需要通过调制技术转换为适合在信道中传 输的信号。
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信宿
接收并处理信息的实体或系统， 如人、计算机等。
译码器
将信道中传输的信号还原成原始 信息。
6
02
编码理论
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编码的基本概念
编码定义
将信息从一种形式或格式转换 为另一种形式的过程。
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编码的目的
提高信息传输效率，增强信息 抗干扰能力，实现信息的可靠 传输。
共同应对挑战
在信息传输和存储领域，信息论 和编码技术将共同应对诸如信道 噪声、数据压缩等挑战。
创新应用领域
通过信息论与编码的交叉融合， 将产生更多创新性的应用，如无 损压缩、加密通信等。
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信息论讲义_第四讲
I ( X ; Y ) I (Y ; X ) 0
物理意义：当集X和集Y统计独立时，不能从一 个集获得关于另一个集的任何信息。
13
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
证明： I ( X ; Y ) I (Y ; X )
I ( X ; Y ) p( xi y j ) log
X Y
则:
IHX X |)Y 0 H ( X ); H (Y | X ) H (Y ) ( ( ;Y )
H (X ) H (X |Y)
H (Y ) H (Y | X )
22
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
例: 已知信源空间
X : x1 x 2 [ X P] : P( X) : 0.5 0.5
X Y
p ( xi y j ) log
X Y
I (Y ; X )
14
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
（3）平均互信息和各类熵的关系
平均互信息和熵、条件熵的关系为
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X Y ) H (Y ) H (Y X )
平均互信息和熵、联合熵的关系为 I ( X ; Y ) H ( X ) H (Y ) H ( X , Y )
得
i 1
P(y1) = P(x1)P(y1|x1) +P(x2)P(y1|x2)= 0.5×0.98＋0.5×0.2 = 0.59 P(y2) = 1– 0.59 = 0.41
24
H ( X | Y ) 0; H (Y | X ) 0 I ( X ; Y ) H ( X ) H (Y )
H (X ) H (Y ) I ( X ;Y )
《信息学概论》第4章 信息交流与信息传播
意愿的了解；娱乐等等。
4.1 信息交流与社会
15
联合国教科文组织：从信息交流的广泛意义上看，它具备的 功能包括：
获得信息：收集、储存、整理和传播必要的新闻、数据、
图片、事实的信息和相关的意见、评论，以便对个人的、
周围环境的、国家的和国际的情况获得了解、做出反应和
适当的决定；
社会化：提供知识的公开积累，使人们能在其生活的社会
检索系统 正式过程
4.2 信息交流的模式和要素
22
传统的信息交流体系来源于前苏联著名情报学家米哈伊诺夫 科学交流理论中对正式交流与非正式交流的划分。信息交流 作为科学研究生产、传递、组织、存储和服务的基础，往往 是由出版商、发行商、文摘索引商、联机检索服务商、网络
提供商和图书馆、情报所等严格有序的分工组成。其中，正
人类社会信息交流的发展以所采用的交流媒介的发展为标记，
经历了语言交流时代、文字交流时代、印刷交流时代、电子 交流时代和网络交流时代五个阶段。
1. 语言交流时代
语言是人类信息交流的主导媒介。语言产生后，即成为人类 社会最重要、最普遍的交流方式。
无结构口头语： 4万年前。
结构化口头语：1万4千年前。
4.1 信息交流与社会
4. 电子交流时代
10
在电子交流时代，运用电磁波技术和电子传输技术进行文字、 声音和图像信息的传播，人类的信息交流出现了同步特征。 电话、无线电通信、广播电影电视的相继出现不只是信息交
流媒介的丰富，对我们的思维方式和生活方式也形成了重要
影响。
1844年莫尔斯发明电报；
1866年大西洋海底电缆成功铺设；
介，所从事之交换消息的方法。”
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（第四讲）
授课教师：于
泽
电子信息工程学院201教研室
上
1 信息熵： 1. 2. 条件熵：
节
提
def q i 1
要
H X p ( xi ) log p ( xi )
3. 联合熵：
1
上
信息熵数学性质
• • • • • • •
节
提
要
对称性: H(p1, p2, …pq)= H(p2, p1, …pq) 上凸性: H(X)是(p1, p2, …pq)的严格上凸函数 极值性: H( p1, p2 ,, pn ) log n 确定性: H(1,0) H(1,0,0) H(1,0,0,0) H(1,0,,0) 0 非负性: H(p1, p2, …pq) ≥0 扩展性: lim Hq1 ( p1, p2 ,, pq , ) Hq ( p1, p2 ,, pq ) 递增性: H n m 1 ( p1 p 2 ,.., p n 1 , q1 , q 2 ,..., q m )
13
2.4.1 平均条件互信息量
• 平均条件互信息量的定义
在联合集XY上，由yj提供的关于集X的平均条件 互信息等于由yj所提供的互信息量I(xi ; yj) 在整个X 中以后验概率加权的平均值，其定义式为
I ( X ; y j ) p ( xi y j ) I ( xi ; y j )
X def
n m p( xi y j )log p( xi y j ) p( xi )log p( xi ) p( y j )log p( y j ) i 1 j 1 i1 j 1
n m
p( xi y j )log p( xi y j ) p( xi y j )log[ p( xi ) p( y j )]
22
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
① 观察者站在输出端
I ( X ;Y ) H ( X ) H ( X | Y )
• I(X;Y)—收到Y前、后关于X的不确定度减少的量。 从Y获得的关于X的平均信息量。
23
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
② 观察者站在输入端
I (Y ; X ) H (Y ) H (Y / X )
推广到多维，有
H ( X 1, X 2 ,, X N ) H ( X 1 ) H ( X 2 ) H ( X N )
等号成立的充要条件是 X 1 , X 2 ,, X N 相互统计独立。
8
2.3.3 各种熵的关系
证明： H ( X , Y ) H ( X ) H (Y ) 0
X Y
(log e) p ( xi ) p( y j ) p ( xi y j ) X Y X Y (log e) (1 1) 0
18
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
（2）互易性(对称性)
I ( X ; Y ) I (Y ; X )
证明：
H( X ,Y) p(xi yj )log p(xi yj )
i1 j 1 n m n m
p(xi yj )log[ p(xi ) p( yj xi )]
i1 j 1 n n m m p( yj xi ) p(xi )log p(xi ) p(xi yj )log p( yj xi ) i1 j 1 i1 j 1
H ( X , Y ) H (Y ) H ( X Y )
如果集X和集Y相互统计独立，则有
H ( X , Y ) H ( X ) H (Y )
此外 由上面两个结论式 可得 此外，由上面两个结论式，可得
H (Y ) H (Y X ) H ( X ) H ( X Y )
5
2.3.3 各种熵的关系
离散无记忆信源[X P W ]的加权熵定义为
1 HW ( X ) wi pi log pi i 1
n
加权熵的性质 （1）非负性 （2）若权中
HW ( X ) 0
W1 W2 Wn W ，则
HW ( X ) WH ( X )
11
2.3.4 加权熵
（3）确定性
若 p j p ( x j ) 1 ，而 pi p ( xi ) 0 i 1,2,, n; i j ， 则加权熵为零 即 则加权熵为零，即
p ( xi y j ) log
X Y
p ( xi y j ) log
X Y
p ( xi y j ) log g
X Y
I (Y ; X )
20
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
（3）平均互信息和各类熵的关系
平均互信息和熵、条件熵的关系为
I ( X ; Y ) H ( X ) H ( X Y ) H (Y ) H (Y X )
又可以表示为
I ( X ; y j ) p ( xi y j ) log
X def
p ( xi y j ) p ( xi )
14
2.4.1 平均条件互信息量
平均条件互信息量的性质 联合集XY上的平均条件互信息量有
I(X ; yj ) 0
等号成立条件 当且仅当集X中的各个xi都与事件 等号成立条件： yj相互独立。
p(xi )log p(xi ) H(Y X )
i1n H( X ) NhomakorabeaH(Y X )
6
2.3.3 各种熵的关系
推广到多维，有
H ( X 1, X 2 ,, X N ) H ( X 1 ) H ( X 2 X 1 ) H ( X N X 1 X 2 X N 1 )
I ( X ; y j ) p ( xi y j ) log
X def
p ( xi y j ) p ( xi )
15
2.4.1 平均条件互信息量（续）
p ( xi ) I ( X ; y j ) p ( xi y j ) log p ( xi y j ) X p( x ) i log e p ( xi y j ) 1 X p ( xi y j ) log l e p ( x ) p ( x y ) i i j X log e p ( xi ) p ( xi y j ) X X 0
2.3.1 平均自信息量（熵, Entropy py） 熵的定义 熵的性质 2.3.2 条件熵和联合熵 2.3.3 各种熵的关系 2 3 4 加权熵 2.3.4 加权熵定义 加权熵性质
4
2.3.3 各种熵的关系
（1）联合熵与信息熵、条件熵的关系
H ( X , Y ) H ( X ) H (Y X )
证明：
16
2.4.2 平均互信息量（续）
平均互信息量
互信息量 I(X;yj) 在整个集Y上的概率加权平均值。其 定义式为
I ( X ; Y ) p( y j ) I ( X ; y j )
Y
def
I (X; Y) = H(X)– H(X|Y) 根据各种熵的定义，从该式可以清楚看出平均互信息量 是一个表征信息流通的量. 其物理意义就是信源端的信息通过信道后传输到信宿端 的平均信息量.
表示从集Y中获得的关于X的信息量等于从集X 中获得的关于Y的信息量。 当集X和集Y统计独立时，
I ( X ; Y ) I (Y ; X ) 0
物理意义：当集X和集Y统计独立时，不能从一 个集获得关于另一个集的任何信息。
19
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
证明： I ( X ; Y ) I (Y ; X )
i 1 j 1 m i 1 j 1
n
m
n
m
p( xi ) p( y j ) p( xi y j )log i 1 j 1 p( xi y j )
n
log x (log e) ( x 1)
p( xi ) p( y j ) log e p( xi y j ) 1 i 1 j 1 p( xi y j ) n m n m log e p( xi ) p( y j ) p( xi y j ) i 1 j 1 i 1 j 1
H ( X i X 1 X 2 X i1 )
i1 N
称为链式关系(Chain Rules for Entropy)
7
2.3.3 各种熵的关系
（2）联合熵与信息熵的关系
H ( X , Y ) H ( X ) H (Y )
等式成立的条件是集X和集Y相互统计独立，即当
p ( xi y j ) p ( xi ) p ( y j ) 时取等号。 时取等号
平均互信息和熵、联合熵的关系为 I ( X ; Y ) H ( X ) H (Y ) H ( X , Y )
H(X) H(X|Y) I(X;Y) H(Y) H(X,Y)
21
H(Y|X)
2.4.2 平均互信息量-性质（续）
如果将X和Y分别看作信道的发送和接收端， 则两者之间的统计依赖关系，即信道输入和输 出之间的统计依赖关系描述了信道的特性。 ① 观察者站在输出端 ② 观察者站在输入端 ③ 观察者站在通信系统总体立场上
I ( X ; Y ) p ( xi y j ) log
X Y
p ( xi y j ) p ( xi ) p ( xi y j ) p ( y j ) p ( xi ) p ( y j ) p ( xi y j ) p ( xi ) p ( y j ) p ( y j xi ) p( y j )