高中数学课下能力提升十四直线的倾斜角和斜率北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程211直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2(2)
【解题指南】利用斜率公式求出直线PA，PB的斜率， 根据l与线段AB有公共点，求出l的斜率k的取值范围.
【解析】如图所示：因为点A(-1，2)，B(3，0)，
P(-2，-3)，
所以 kP A 2 3 2 15,kP B 3 2 0 35 3，
由图可知kPB≤k≤kPA， 所以 3 ≤k≤5.
【方法总结】直线斜率公式的应用技巧 求直线斜率的取值范围，当斜率恒正或恒负时，可直 接得出直线斜率的范围；当斜率有正有负时，一般借 助于图形判断，斜率的取值范围一般是小于(或等于) 负的，或大于(或等于)正的.
【跟踪训练】 已知点A(-1，2)，B(3，0)，P(-2，-3)，经过点P的 直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
03 73, x2 52
解得x= 1
10
，所以P的坐标为 (
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
直线AB的倾斜角为 ( )
A.0°
B.45° C.90° D.180°
【解析】选A.因为A，B两点纵坐标相等，所以直线AB
平行于x轴，倾斜角为0°.
类型二 直线的斜率
【典例2】(1)(2018·天津高二检测)过两点A(m，
4)，B(0，3)的直线的倾斜角为60°，则实数m的值
为( )
A . 23 3
A . 2 2
B .1 C .1 D . 3
2
2
()
【解析】选C.k=tan α=tan 45°=1.
3.若直线x=0的倾斜角为α，则α ( )
A.等于0°
B.等于180°
北师版数学必修2讲义：第2章 §1 1.1 直线的倾斜角和斜率
§1直线与直线的方程
1.1 直线的倾斜角和斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.(重点)
[基础·初探]
教材整理1直线的确定及直线的倾斜角
阅读教材P61至P62“图2-5”前面部分，完成下列问题.
1.直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向.
2.直线的倾斜角：(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示.
(2)范围：0°≤α<180°.
如图2-1-1中标注的α表示直线l的倾斜角的是()
图2-1-1
A.①
B.①②
C.①③
D.②④
【解析】 结合直线l 的倾斜角的概念可知①正确，选A. 【答案】 A
教材整理2 直线的斜率
阅读教材P 62“图2-5”以下至P 64“例1”以上部分，完成下列问题. 1.直线的斜率与斜率的计算公式： (1)直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝⎩⎨⎧
tan α，α≠90°
，不存在，α＝90°.
(2)经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
2.斜率与倾斜角的关系：
已知A (a ,0)，B (2，3)，且k AB ＝3，求a .。
高中数学第二章解析几何初步2.1.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
解析几何初步
§1 直线与直线的方程 1．1 直线的倾斜角和斜率
自主学习·新知突破
升高量 日常生活中，常用坡度(坡度＝前进量)表示倾斜程度．例如，“进 2 升 3”与
32 “进 2 升 2”比较，前者更陡一些，因为坡度2＞2.
[问题1] 对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直 线的倾斜程度？
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝__9_0_°__ 90°＜α＜180°
斜率(范围) __k_＝__0___ ___k_＞__0__
不存在
__k_＜__0___
(3)过两点的直线的斜率的计算公式 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中
x1≠x2)的直线的斜率公式为__k_＝_x_y22_－－__yx_11__.
________．
[思路探究] 1.直线倾斜角α的范围是什么？ 2．关于x轴对称的两条直线的倾斜角能互补吗 ？
[边听边记] (1)因为直线 l 的倾斜角为 β－15°， 所以 0°≤β－15°<180°，即 15°≤β<195°. (2)当 α1＝0°时，α2＝0°，当 0°<α1<180°时，α2＝180°－α1.
[强化拓展] (1)关于直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角与其斜率是刻画直线位置状态的两种基本量，决定了这条直线 相对于 x 轴正方向的倾斜程度，两者之间存在以下关系： ①所有的直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率． ②当倾斜角 0°≤α<90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大； ③当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．
[思路探究]
[规范解答] 根据题中的条件可画出图形，如图所示：
北师大版高中数学必修2课件2.1直线的倾斜角和斜率课件(数学北师大必修二)
（1） k （3） k
2 (1) 3 2 (2) ； k 0； （ 2 ） 3 1 4 5 1
5 4 9 2 3 5 ； （4）∵倾斜角 =90°，
2 m 1 1 解： m m tan 60 3 ，得 m =
二、知识应用： 题型四 平行、垂直的条件应用
9 21 N , 3 M , 6 l ， ， 例 6．已知 1 经过 A（―3，3） ，B（―8，6） ， l2 经过 2 2
解： l1 的倾斜角为 90°，则 l1 ⊥x 轴； k2 则 l2 ∥x 轴，∴ l1 ⊥ l2 ．
40 40 0， 10 (10)
∴k 不存在．
二、知识应用： 题型三 已知两点求斜率
例 4．直线 l 过点 A（1，2） ，B（m，3）且斜率为 1，求 m．
3 2 解： m 1 1 ,得 m=2.
二、知识应用： 题型三 已知两点求斜率
3+1 2 .
例 5．经过两点 A m,1 ， B m ,2m 1 的直线倾斜角为 60 ，则 m 的值为_________.
y x
0
一、新课讲授： 2.斜率
⑴ 直线斜率的定义：一条直线倾斜角 的正切值叫这条直线的斜率（slope）,通常用小写字母 k 表示 k tan 900 .
⑵ 直线的倾斜角与斜率之间的关系：
平行于
直线情况
情况
由 左 向 垂 直 由右向 右上升
于 x 轴 左上升
的大小
二、知识应用： 题型二 倾斜角与斜率
例 2．求斜率或倾斜角kΒιβλιοθήκη 03060
数学：2.1.1《直线的倾斜角和斜率》教案说明(1)(北师大版必修2)
“直线的倾斜角和斜率”教案说明南昌外国语学校一、教学内容和内容解析教学内容：直线倾斜角与斜率的概念，斜率公式。
内容解析：本课是北师大版高中数学必修2第二章第一节直线的倾斜角与斜率，是高中解析几何内容的开始。
直线是最常见的简单几何图形，在实际生活和生产中有广泛的应用。
首先，初中几何对直线的基本性质作了比较系统的研究，初中代数研究了一次函数的图象和性质。
本课内容是以上述知识为依据，在此基础上，对直线再进一步地认识和探讨。
再则，直线是解析几何学的基础知识，不但是进一步学习圆锥曲线以及其他曲线方程的基础，也是今后学习导数、微分、积分等的基础，在解决许多实际问题中有广泛的应用。
直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是用坐标法研究直线性质的基础。
本课不仅要理解两个概念、得到一个公式，更要了解几何问题代数化的过程，渗透解析几何的基本思想方法。
本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。
在探索确定直线位置的两个几何要素——一个点，一个方向中，引入倾斜角概念，让学生体会直线位置与倾斜角之间的对应关系，阐述了倾斜角是从几何角度描述了直线的倾斜程度。
借助“坡度”引出斜率概念，描述了直线的斜率与倾斜角的关系，沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系，阐述了斜率是从代数角度描述了直线的倾斜程度，掌握斜率与倾斜角的关系和区别。
直线可由两点来确定，坐标平面内的点由其坐标确定，因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示，从而推导出经过两点直线的斜率公式。
例题讲解采用一例四变式，强化训练斜率公式，渗透方程、不等式、函数知识的运用。
“坐标法”与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。
强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
二、教学目标和目标定位本课教学设计以知识为载体、思维为主线、能力为目标的设计原则，以发展潜能、形成能力、提高素质为目标。
知识目标：1．在平面直角坐标系中，结合具体的图形，探索确定直线位置的几何要素，引出直线的倾斜角概念。
北师大版高中数学必修2课件2.1.1直线的倾斜角和斜率解析
直线与x轴垂直时，k不存在
直线与x轴平行时，k=0
03
直线倾斜角与斜率的应用
直线方程的表示
斜截式： y=kx+b，k为 斜率，b为截距
点斜式：yy1=k(x-x1)， 通过点(x1,y1) 和斜率k确定直 线方程
两点式：yy1=k(x-x1)， 通过点(x1,y1) 和点(x2,y2)确 定直线方程
分类与范围
倾斜角的分类：锐角、直角、钝角 范围：$[0, \pi]$ 特殊情况：直线与x轴平行时，倾斜角为0 直线倾斜角与斜率的关系
02
直线的斜率
定义与几何意义
定义：直线斜率是直线倾斜角的正切值 几何意义：表示直线在坐标平面上的倾斜程度 公式：斜率=tanθ 性质：斜率是直线的重要属性，与直线的倾斜角密切相关
• a) 范围：0°到180°之间 • b) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ，其中θ为倾斜角 • c) 垂直关系：当两直线垂直时，它们的倾斜角之和为180° • d) 平行关系：当两直线平行时，它们的倾斜角相等
判定方法
定义：倾斜角是直线与x轴正方向之间的夹角 取值范围：[0,π) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ(θ为倾斜角) 特殊情况：当直线与x轴垂直时，倾斜角为π/2
学院
北师大版高中数学必修2课件2.1.1 直线的倾斜角和斜率解析
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目录
01
直线的倾斜角
02
03
直线倾斜角与斜率的应用
04
直线的斜率 典型例题解析
01
直线的倾斜角
定义与性质
• 定义：直线与x轴正方向之间的夹角
• 性质： a) 范围：0°到180°之间 b) 斜率与倾斜角的关系：斜率k=tanθ，其中θ为倾斜角 c) 垂直关系：当两直线垂直 时，它们的倾斜角之和为180° d) 平行关系：当两直线平行时，它们的倾斜角相等
北师大版数学高一(北师大)必修2教案 《直线的倾斜角与斜率》
2.1.1《直线的倾斜角与斜率》教学设计【教学目标】(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念。
(2)理解直线的倾斜角的唯一性。
(3)理解直线的斜率的存在性。
(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
(5)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。
【导入新课】问题导入（1）经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?新授课阶段1.直线的倾斜角的概念当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a ∥b ∥c , 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线。
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P ．和一个倾斜．．．．．角．α．.。
2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1。
2.1直线的倾斜角和斜率教学设计（北师大版必修2）
2.1直线的倾斜角和斜率教学设计（北师大版必修2）2.1.1直线的倾斜角和斜率教学设计1 教学内容分析1.1教学内容本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容，主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式.1.2教材所处地位及前后的联系本节内容是高中解析几何内容的重点，涉及的直线倾斜角，斜率是解析几何中的重要概念。
这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。
本节内容的学习，为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫；为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。
2教学目标2.1知识目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
2.2能力目标通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念，培养学生的数学理解能力；通过对斜率公式的推导，增强学生运用坐标法解决几何问题的能力；通过练习增强学生分类讨论的意识。
2.3情感、态度与价值观学生通过主动探究，合作学习，相互交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，强化学生参与意识与主体作用.3学情分析3.1认识结构经过半年多时间的学习，学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上路”，让学生主动参与探究过程.3.2情感结构随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣.4 教学重点、难点分析4.1教学重点直线的倾斜角和斜率的概念。
4.2教学难点斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。
5教学方法本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法，增加学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体。
高中数学学案北师大版必修2 直线的倾斜角和斜率 教案
教学设计1．1 直线的倾斜角和斜率整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究．对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧．本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要．三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻画直线相对于x 轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想．2．掌握经过两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，培养学生树立辩证统一的观点，并形成严谨的科学态度和求简的数学精神．3．培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练．重点难点教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式． 教学难点：斜率公式的推导． 课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(如图1所示)在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转，不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．图1思路2.我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线．那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？这些直线有什么联系和区别呢？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率．推进新课新知探究提出问题①怎样描述直线的倾斜程度呢？②下列图(图2)中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？图2③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？⑤正切函数的定义域是什么？⑥任何直线都有斜率吗？⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且l 与x轴不垂直，如何才能求出直线l的斜率呢？活动：①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．．．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了．②考虑正方向．③动手在坐标系中任意作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线对x 轴正方向的倾斜程度．规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以，倾斜角的范围是0°≤α＜180°.④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念．倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫作这条直线的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.⑤指导学生回忆正切函数相关知识．⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x 轴的直线没有斜率(倾斜角是90°的直线没有斜率)．当α∈[0°，90°)时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；当α∈(90°，180°)时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大．⑦教学时可与教材上的方法一样推出．这样显得简捷明了，合情合理且科学严谨． 讨论结果： ①用倾斜角．②都不对．与定义中的x 轴正方向、直线向上方向相违背．③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角．④有，常用的有坡度比． ⑤定义域：{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }．⑥倾斜角是90°的直线没有斜率．⑦过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． 应用示例思路1例1 求过已知两点的直线的斜率． (1)直线PQ 过点P (2,3)，Q (6,5)； (2)直线AB 过点A (－3,5)，B (4，－2)． 解：(1)如图3，直线PQ 的斜率k ＝5－36－2＝12；(2)如图4，直线AB 的斜率k ＝－2－54－(－3)＝－1.图3 图4例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1,2及－3的直线a ，b ，c ，l .活动：要画出经过原点的直线a ，只要再找出a 上的另外一点M .而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定；或者由k ＝tan α＝1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x 轴的正半轴为角的一边，在x 轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可．解：设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x ，y )，根据斜率公式有1＝y －0x －0，所以x ＝y .可令x ＝1，则y ＝1.于是点M 的坐标为(1,1)．此时过原点和点M (1,1)可作直线a . 同理，可作直线b ，c ，l .画图略. 变式训练如图5，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率．图5解：l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33， ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率. 例3 已知直线的倾斜角，求直线的斜率． (1)α＝0°；(2)α＝60°；(3)α＝90°；(4)α＝3π4.活动：指导学生根据定义直接求解． 解：(1)∵tan0°＝0，∴倾斜角为0°的直线斜率为0； (2)∵tan60°＝3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3； (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在； (4)∵tan 3π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－tan π4＝－1，∴倾斜角为3π4的直线斜率为－1.点评：通过此题的训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率．当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°；倾斜角是90°的直线没有斜率. 变式训练1．已知α和k 分别是l 的倾斜角和斜率，当(1)sin α＝35；(2)cos α＝35；(3)cos α＝－35时，分别求直线l 的斜率k .解：(1)当sin α＝35时，∵0°≤α＜180°，∴k ＝tan α＝±34.(2)当cos α＝35时，∵0°≤α＜180°，∴0°≤α＜90°.∴k ＝tan α＝43.(3)当cos α＝－35时，∵0°≤α＜180°，∴90°＜α＜180°.∴k ＝tan α＝－43.2．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( ) A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π D ．直线斜率的范围是(－∞，＋∞) 答案：D思路2例1 求经过点A (－2,0)，B (－5,3)的直线的斜率和倾斜角． 解：k ＝3－0－5－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又∵0°≤α＜180°，∴α＝135°. ∴该直线的斜率是－1，倾斜角是135°.点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角. 变式训练求过下列两点的直线的斜率k 及倾斜角α.(1)P 1(－2,3)，P 2(－2,8)；(2)P 1(5，－2)，P 2(－2，－2)．解：(1)∵过P 1，P 2的直线与x 轴垂直， ∴直线斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)k ＝tan α＝－2－(－2)－2－5＝0，∴直线斜率为0，倾斜角α＝0°.例2 已知三点A ，B ，C ，且直线AB ，AC 的斜率相同，求证：这三点在同一条直线上． 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB 的倾斜角与AC 的倾斜角相等，而两直线过公共点A ，所以直线AB 与AC 重合．因此A ，B ，C 三点共线．点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有公共点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练1．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，求实数m 的值． 解：由题意，知k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2，∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC .∴m －312－2＝－1.∴m ＝92. 2．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于__________．答案：12例3 已知三角形的顶点A (0,5)，B (1，－2)，C (－6，m )，BC 的中点为D ，当AD 斜率为1时，求m 的值及|AD |的长．活动：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间的距离公式． 解：D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－52，m －22，∴k AD ＝m －22－5－52－0＝1.∴m ＝7. ∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎫－52，52.∴|AD |＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫5－522＝522. 变式训练1．过点P (－1，－1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角．答案：k ＝－22＝－1，倾斜角为3π4.2．如图6中菱形ABCD 的∠BAD ＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率．图6解：由题意知直线AD 和BC 的倾斜角为60°，直线AB 和DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°；直线AD 和BC 的斜率为k ＝tan60°＝3，直线AB 和DC 的斜率为k ＝tan0°＝0，直线AC 的斜率为k ＝tan30°＝33，直线BD 的斜率为k ＝tan120°＝－ 3.知能训练1．已知直线l 的倾斜角的变化范围为α∈⎣⎡⎭⎫π6，π3，求该直线斜率的变化范围． 解：∵α∈⎣⎡⎭⎫π6，π3， ∴斜率k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，3.2．已知直线l 的斜率k ∈[－1，3)，求该直线的倾斜角的范围． 解：∵k ＝tan α∈[－1，3)， ∴倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π∪⎣⎡⎭⎫0，π3.拓展提升已知点A (－2,3)，B (3,2)，过点P (0，－2)的直线l 与线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．活动：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形． 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－52∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 课堂小结通过本节学习，要求大家：(1)掌握直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围． (2)掌握直线斜率的概念．(3)掌握已知直线的倾斜角(或斜率)，求直线的斜率(或倾斜角)的方法．作业习题2—1 A 组第1,2,3,4题．设计感想在直线的倾斜角和斜率的学习过程中，引导学生注重倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系．掌握过已知两点的斜率公式，并能根据斜率求直线的倾斜角，由斜率相同怎样判定三点共线等．在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口．同时本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间．透彻理解直线的倾斜角和斜率的概念，能根据条件正确地求出直线的倾斜角和斜率是知识教学目的；在形成概念的过程中，培养分析、抽象、归纳的思维能力，强化“形”“数”结合相互转化的思想方法，完善学生的数学知识结构．新课程解析几何教材在学生没有三角函数、向量基础的情况下展开，使得教学设计有了无米之炊的感觉．本课还是力求在学生思维发展层面上保持较高要求．备课资料已知直线的倾斜角的取值范围，利用正切函数的性质，讨论直线斜率及其绝对值的变化情况．解：①0°≤α＜90°.作出y＝tanα在[0°，90°)区间内的函数图像，由图像观察可知：当α∈[0°，90°)时，y＝tanα＞0，并且随着α的增大，y不断增大，|y|也不断增大．所以，当α∈[0°，90°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大．②90°＜α＜180°.作出y＝tanα在(90°，180°)区间内的函数图像，由图像观察可知：当α∈(90°，180°)时，y＝tanα＜0，并且随着α的增大，y＝tanα不断增大，|y|不断减小．所以当α∈(90°，180°)时，随着倾斜角α的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小．点评：针对以上结论，虽然有当α∈[0°，90°)时，随着α增大直线斜率不断增大；当α∈(90°，180°)时，随着α增大直线斜率不断增大．但是当α∈[0°，90°)∪(90°，180°)时，随着α的增大直线斜率不断增大却是一错误结论．(设计者：于新彬)。
高中数学 解析几何初步(直线的倾斜角和斜率)参考教案 北师大版必修2 教案
直线的倾斜角和斜率【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念.②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义.③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式.（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力.②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.（3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位.②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神.【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的应用.【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程.【教法、学法指导】教师启发引导与学生自主探索相结合.1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解。
学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义.2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。
学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 1.1直线的倾斜角和斜率》
课题：直线的倾斜角和斜率（第一课时）阜阳市第二中学洪海涛【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
（3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的作用。
【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。
【教学手段】多媒体辅助课堂教学。
【教学过程】创设情境，导入新课利用利用激光舞表演这情境，向学生设问为什么这些光线可以组成美丽的图案？为什么光线会有不同的位置？（学生回答）怎样来刻画直线的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。
问题情境，形成概念如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线，那么这些直线有什么共同点和不同点呢？问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？过一点可以画几条直线？问题2、与轴正方向成30º角的直线有多少条过定点P且与轴正方向成30º角直线有多少条？引导学生得出倾斜角的意义和概念。
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课下能力提升（十四）直线的倾斜角和斜率
一、选择题
1．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2的倾斜角为θ，若l 1与l 2关于y 轴对称，则θ的值为( )
A ．45°
B ．90°
C ．135°
D ．180°
2．过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12
，则a 等于( ) A ．－8 B ．10
C ．2
D ．4
3．直线l 过点A (1,2)且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[0,1]
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，12 4．已知正方形的一条对角线在y 轴上，则它的两条邻边所在直线的斜率分别为( )
A ．0,1
B ．0，－1
C ．1，－1 D.22，－22
5．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( ) A.54 B.45
C ．－54
D ．－45
二、填空题
6．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是________．
7．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b
的值等于________． 8．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．
三、解答题
9．已知P (3，－1)，M (5,1)，N (1,1)，直线l 过P 点且与线段MN 相交，求：
(1)直线l 的倾斜角α的取值范围；
(2)直线l 的斜率k 的取值范围．
10．点P (x ，y )在一次函数y ＝－2x ＋8的图像上，当2≤x ≤3时，求y x
的最大值与最小
值．
答 案
1. 解析：选C 由对称性知θ＝180°－45°＝135°.
2. 解析：选B ∵k ＝4－a a ＋2＝－12，∴a ＝10.
3. 解析：选A 如图，当k ＝0时，不过第四象限，当直线过原点时也不过第四象限．
∴由k OA ＝2－01－0
＝2，知k ∈[0,2]． 4. 解析：选C 正方形的一条对角线在y 轴上，则另一条对角线在x 轴上，所以两条邻边所在直线的倾斜角为45°，135°，即斜率分别为1，－1.
5. 解析：选C 设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知这两点都在直线l 上，∴直线
l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a ＝－54
. 6. 解析：k ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －12＋a
，因为倾斜角为钝角， 所以k ＜0，即a －12＋a
＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)
7. 解析：由题意知直线AB 的斜率与直线AC 的斜率相等，又因为A ，C 两点横坐标不等，
由斜率公式得0－2a －2＝b －20－2，整理得1a ＋1b ＝12
. 答案：12
8. 解析：k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05
＝0. 要使A 、B 、C 三点能构成三角形，需三点不共线，
即k AB ≠k AC ，∴1－k 5
≠0. ∴k ≠1.
答案：(－∞，1)∪(1，＋∞)
9. 解：k PM ＝1＋15－3
＝1，∴直线PM 的倾斜角为45°.
又k PN ＝1＋11－3
＝－1，∴直线PN 的倾斜角为135°. (1)由图可知，直线l 过P 点且与线段MN 相交，则直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
(2)当l 垂直于x 轴时，直线l 的斜率不存在，
∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
10. 解：如图，P (x ，y )在线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (3,2)，y
x
的几何意义是直线OP 的斜率．
∵k OA ＝2，k OB ＝23
， ∴OP 的斜率在k OB 与k OA 之间．
∴y x 的最大值为2，最小值为23
.。