分类讨论问题
分类讨论问题
分类讨论问题一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。
四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。
若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。
分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。
解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。
②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。
③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。
又DF<2，所以2<DF<2。
说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。
例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。
解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。
需要分类讨论的九种常见情况
需要分类讨论的九种常见情况
1. 紧急情况：例如自然灾害、医疗急救、火灾等需要立即采取行动的情况。
2. 社会问题：例如贫困、失业、犯罪等社会现象引发的问题。
3. 健康问题：例如传染病、慢性病、心理健康等与人体健康相关的问题。
4. 教育问题：例如教育资源不均衡、学生压力过大、教育体制问题等与教育相关的问题。
5. 环境问题：例如空气污染、水资源短缺、垃圾处理等与环境保护相关的问题。
6. 经济问题：例如通货膨胀、就业机会减少、贫富差距扩大等与经济发展相关的问题。
7. 政治问题：例如政府腐败、民主权利受限、政治权力滥用等与政治体制相关的问题。
8. 科技问题：例如人工智能发展带来的伦理问题、信息安全问题等与科技进步相关的问题。
9. 文化问题：例如文化多元化、文化冲突、文化遗产保护等与文化发展相关的问题。
分类讨论解决问题
分类讨论解决问题在我们的生活中，我们会遇到各种各样的问题。
有些问题可能很简单，可以迅速解决，而有些问题则可能比较复杂，需要我们做更深入的思考和研究。
为了更好地解决问题，分类讨论是一种有效的方法。
通过将问题分成不同的类别，我们可以更系统地分析和解决问题。
在本文中，将讨论分类讨论解决问题的意义以及如何进行分类讨论的具体步骤。
分类讨论的意义分类讨论解决问题的意义在于帮助我们整理思路、提供更清晰的解决方案并节省时间。
通过将问题划分为不同的类别，我们可以更好地理解问题的本质和根源，并有针对性地采取措施。
此外，分类讨论还可以帮助我们找到不同类别之间的相似之处和差异之处，从而更全面地了解问题。
通过有序地分类讨论，我们可以系统地探索问题，并实施相应的解决方案。
分类讨论的具体步骤进行分类讨论需要以下几个具体步骤：1. 识别问题：首先，我们需要明确所面临的问题。
只有明确了问题，我们才能有目标地进行分类讨论。
2. 划分类别：根据问题的性质和特点，确定适合的分类标准。
例如，如果我们要解决家庭预算的问题，我们可以将家庭开支、收入来源、节省策略等作为分类标准。
3. 归类问题：将问题按照不同的分类标准进行分类。
确保每个问题都能被正确归类，并且不会出现重复或遗漏的情况。
4. 分析每个类别：针对每个类别，我们需要详细地分析其特点、问题和可能的解决方案。
这可以通过收集相关信息、进行调查研究和与他人讨论来实现。
5. 制定解决方案：基于对每个类别的分析，制定相应的解决方案。
确保解决方案具有可行性和可操作性，并且能够解决每个类别中的问题。
6. 实施和评估：将制定好的解决方案付诸实施，并持续监督和评估其效果。
如果发现问题没有得到解决或效果不理想，可以对解决方案进行调整和改进。
通过上述步骤，我们可以进行有序的分类讨论，深入分析问题并提供相应的解决方案。
分类讨论可以帮助我们更系统地解决问题，提高解决问题的效率和准确性。
总结分类讨论是一种有效的解决问题的方法。
分类讨论问题(含问题解析)
初三数学专题复习：分类讨论问题【学习目标】1、学会运用数学的思维方式去观察、分析数学问题，体会分类讨论思想解决数学问题的方法．2、培养学生思维的逻辑性、探究性、以及归纳的条理性、完整性．【学习重点】用分类讨论思想观察、分析数学问题【学习难点】选择恰当的标准进行分类【学习过程】一、分类讨论概述：1、分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.2、分类的要求：①分类的标准统一②分类要不重不漏.二、典型例题例1.已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。
例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝例3.如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。
当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
例4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。
设运动时间为秒。
⑴设△BPQ 的面积为S ，求S 与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？二、当堂达标1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0)2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．± 6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 63．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，44．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或85．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22 C.22D. 26．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________． 7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC上一定点，且MC＝8.动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．8．在△ABC中，AB＝AC＝12 cm，BC＝6 cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t秒，过D、P两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为________．9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示．把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_______．10．如图，点A、B在直线MN上，AB＝11 cm，⊙A、⊙B的半径均为1 cm，⊙A以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点A出发后________秒两圆相切．11．(2010·柳州)如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2 cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60°.若动点E以2 cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接EF，当t值为多少时，△BEF是直角三角形．12．(2011·南通)已知A(1,0)，B(0，－1)，C(－1,2)，D(2，－1)，E(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C、E两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；(2)点A在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？(3)求a和k的值．13、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M 为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．中考数学专题复习分类讨论问题参考答案一、例题参考答案【例题1】解：由已知易得⑴若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
第36课 分类讨论型问题
(2)分三种情况讨论：①当 0≤x＜6 时，如解图②所示． ∵∠GDB＝60° ，∠GBD＝30° ，∴∠BGD＝90° ． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x． 2 2 1 1 1 3 3 ∴y＝ DG· BG＝ × x· x＝ x2． 2 2 2 2 8 ②当 6≤x＜12 时，如解图③所示． 1 3 ∵BD＝x，∴DG＝ x，BG＝ x，BE＝x－6， 2 2 ∴EH＝ 3 (x－6)． 3
【典例 1】
(2015· 河南)如图 361，正方形 ABCD 的边长是 16，
点 E 在边 AB 上，AE＝3，F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一 个动点．把△ EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在点 B′处，若△ CDB′恰 为等腰三角形，则 DB′的长为________．
【点评】
图 361 本题主要考查折叠的性质、正方形的性质及等腰三角
形的性质，注意等腰三角形的腰和底的不确定性．
【解析】 △ CDB′恰为等腰三角形需分三种情况讨论： ①当 DB′＝DC 时，DB′＝16(易知点 F 在 BC 上且不与点 C，B 重合)． ②当 CB′＝CD 时，∵EB＝EB′，FB＝FB′， ∴点 E，F 在 BB′的垂直平分线上，∴EF 垂直平分 BB′． 由折叠可知，点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去． ③当 CB′＝DB′时，如解图，过点 B′作 B′G⊥AB 于点 G， B′G 的反向延长线交 CD 于点 H． ∵AB∥CD，∴B′H⊥CD． 1 ∵CB′＝DB′，∴DH＝ CD＝8． 2 ∴AG＝DH＝8．∴GE＝AG－AE＝5． 在 Rt△ B′EG 中，∵GE＝5，B′E＝BE＝AB－AE＝13， ∴B′G＝12．∴B′H＝GH－B′G＝4． 在 Rt△ B′DH 中，B′H＝4，DH＝8，∴DB′＝4 5． 综上所述，DB′＝16 或 4 5．
初一上册分类讨论典型例题
初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。
通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。
下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。
1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。
假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。
根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。
如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。
所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。
当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。
当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。
所以答案是至少有1个数。
2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。
所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。
假设这4个点是A、B、C、D。
我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。
然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。
通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。
3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。
解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。
首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。
如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。
计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。
分类讨论的七年级数学题题目
以下是一些适合七年级学生的数学题，这些题目需要使用分类讨论的思维方式来解决：1.有理数的比较大小比较有理数的大小是七年级数学中的一个基本技能。
给定两个有理数，例如a和b，我们可以比较它们的大小。
首先，我们可以将这两个数进行绝对值比较，即比较|a|和|b|的大小。
如果|a|小于|b|，那么a小于b；如果|a|大于|b|，那么a大于b。
如果|a|等于|b|，那么我们需要进一步比较a和b的符号。
如果a和b都是正数，那么a 等于b；如果a和b都是负数，那么a等于b。
如果a和b中一个是正数另一个是负数，那么无法比较它们的大小。
例如，比较-3和2的大小。
首先，我们比较它们的绝对值。
|-3|等于3，而|2|等于2。
因为3大于2，所以-3小于2。
2.分式的约分分式的约分是七年级数学中的一个重要内容。
给定一个分式，例如a/b，我们可以将其约分成最简形式。
首先，我们需要找出分子a 和分母b的最大公约数。
然后，我们将分子a和分母b分别除以这个最大公约数。
这样就可以得到最简形式的分式。
例如，约分36/48。
首先，我们找到36和48的最大公约数是12。
然后，我们将36除以12得到3，将48除以12得到4。
所以，36/48约分成最简形式是3/4。
3.一元一次方程的解法一元一次方程是七年级数学中的一个基本方程形式。
给定一个一元一次方程，例如ax+b=0，我们需要找到它的解。
首先，我们需要确定方程的解的类型。
如果a等于0且b不等于0，那么方程无解；如果a等于0且b等于0，那么方程有无数个解。
如果a不等于0，那么方程有唯一解，这个解可以通过将方程变形得到。
例如，解方程2x+6=0。
首先，我们看到a=2且b=6。
因为a不等于0，所以方程有唯一解。
我们可以将方程变形得到x=-3。
所以，方程2x+6=0的解是x=-3。
4.绝对值的应用绝对值是七年级数学中的一个基本概念。
给定一个有理数，例如a，它的绝对值是|a|。
绝对值的性质包括：如果a小于0，那么|a|=-a；如果a大于或等于0，那么|a|=a。
分类讨论问题
（一）分类讨论问题【简要分析】分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x、y的长满足240x-+=，则第三边长为．例2：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝例3：如图2-4-2，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似．例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为项点的三角形是等腰三角形？题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练12】1．已知等腰△ABC的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC≌△A´B´C´，则△A´B´C´中一定有一定有条边等于（）A．7㎝ B．2㎝或7㎝ C．5㎝ D．2㎝或7㎝2．已知⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，那么以P这圆心，且与⊙O相切的圆的半径一定是（）A．1或5 B．1 C．5 D．1或则3．A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．2或2．5 B．2或10 C．10或12．5 D．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA是⊙O的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作了长为的弦AB，连续PB，则PB的长为5．在直角坐标系xoy中，一次函数2y=+的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）苈以原点O这圆心的圆与直线AB切于点C，求切点C的坐标．（2）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【提高训练12参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5（1）3()2（2）满足条件的点P存在，它的坐标是((4(4---或或或 （二）信息题 【简要分析】信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细观阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息（如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等），然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解． 【典型考题例析】例1：长沙市某公司的门票价格如下表所示．某校初三年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只付515元．问甲、乙班分别有多少人？说明： 本题书籍条件由图表给出，题型新颖，是近年来的热点题型．解这类问题要学会读懂图表信息，分析题设与图表信息的联系，巧设未知数，建立方程或方程组求解．例2：张欣和李明相约到图书城去买书，请你根据全心全意的对话内容（图2-4-4），， 图出李明上次买书籍的原价．例3：某商定公司为指导某种应季商品的生产和销售，对3月份至7月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M （元）与时间t (月)的关系可用一长线段上的点来表示（如图2-4-5）；一件商品的成本Q （元）与时间t (月)的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图2-4-6）．根据提供的信息解答下列问题：(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少?(2)求图2—26中表示的一件件的成本Q(元)与时间t (月)之间的函数关系式，(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t (月)之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月内售出此种商品30000件，请你计算一下该公司在一个月内的最少获利．说明：此题紧密联系点生产、经营实际，用函数图象反映售价、成本与时间的关系，解题目时，要善于读民生 图象所给信息，弄清图象反映的是哪些变量之间的关系，然后再用相关的函数知识给予解答． 【提高训练13】1．某超市购进了一批不同价格的皮鞋,下表是该超市在近几年统计的平均数据：要使该超市销售皮鞋收入最大，该超市应多购进( )皮鞋. A ．160元 B ．140元 C ．120元 D ．100元3．南宁市是广西最大的罗非鱼养殖产区，被国家农业部列为罗非鱼优势区域，某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产值G （吨）满足：15801600G <<，总产值为1000万元．已知相关数据如上表所示，问该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围？（产值=产量×单价） 4．某公司推销一种新产品，设x （件）是推销新产品的数量，y （元）是推销费，图2-4-8表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案．看图解答下列问题：（1）求12,y y 与x 的函数关系式．（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的．（3）如果你是推销员，应该如何选择付费方案？102030405060100200300400500600x(件)y(元)y 1y 2【提高训练13参考答案】1．B ．2．每件T 恤衫20元，每瓶泉水2元．3．设该该养殖场下半年罗非鱼的产量为x 吨，则10000.45158016000.85xx -≤+≤，解得857．5≤X ≤900．故该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制有在857．5吨到900吨的范围．4．（1）1220,10300y x y x ==+ （2）1y 是不推销产品没有推销费,每推销10件产品得推销费200元，2y 是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元 （3）若业务能力强，平均每月能保证推销30件时，就选择1y 的付费方案，否则选择2y 的付费方案． （三）阅读理解题 【简要分析】阅读理解题的篇幅一般都较长，试题结构大致分两部分：一部分是阅读材料，别一部分是根据阅读材料需解决的有关问题．阅读材料既有选用与教材知识相关的内容的，也有广泛选用课外知识的．考查目标除了初中数学和基础知识外，更注重考查阅读理解、分析转化、范例运用、探索归纳等多方面的素质和能力．．【典型考题例析】例1：若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=两实数根的平方和是2，求m 的值．解：设方程的两个实数根为1x ，2x ，那么12121,4x x m x x m +=+=+g ．∴21222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=+-+=-=g，即29.3m m ==解得． 答：m 的值是3．请把上述解答过程的错误或不完整之处写出来，并给出正确解答．例2：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这图形的一个转角．例如：下班正方形绕着它的对角线的交点旋转090后能与自身重合（如图2-4-9），所以正方形是一个旋转对称图形，它有一个转角为090．（1）判断下列命题的真假（在相应的特号内填上“真”、“假”）： ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为1800（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个转角是1200的是 ．（写出所有正确结论的序号）①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为720，并且分别满足下列条件；①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．例3：阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点．而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线，如图2-4-10可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标（1，3）就是方程组13x y =⎧⎨=⎩在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分，如图2-4-11；21y x ≤+也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分，如图2-4-12．回答下列问题：在直角坐标系（图2-4-13）中，（1）用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解．（2）用阴影表示2220x y x y ≥-⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，所围成的区域．图2-4-12图2-4-11图2-4-10yxOy=2x+1yx O 13y=2x+11P(1,3)Oxy【提高训练14】1． 先阅读下列材料，然后解答题后的问题．材料：从A 、B 、C 三人中选择取二人当代表，有A 和B 、A 和C 、B 和C 三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素组合，记作2332321C ⨯==⨯． 一般地，从m 个元素中选取n 个元素组合，记作(1)(2)(1)(1)(2)321nm m m m m n C n n n ---+=--⨯⨯L L ．问题：从6个人中选取4个人当代表，不同的选法有 种． 2． 阅读下列一段话，并解决后面的问题．观察下面一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． （1）等比数列5，-15，45，……的第4项是 ．（2）如果一列数1a ，2a ，3a ，4a ，……是等比数列，且公比为q ，那么根据规定，有32441233,,,,a a a aq q q q a a a a ====L L 所以223213214311,(),(),a a q a a q a q q q a a q a q q a q =======L Ln a = （用1a 和q 的代数式表示）（3）一大体上等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．先阅读下材料，然后按要求解答有关问题．已知关于x 的一元二次方程2(12)0x k x k +-+=有两个实数根1x 和2x ，且1212()30x x x x ++=g ，求实数k 的值．小虹同学对上面的问题是这样解的： 解：由根与系数的关系有：2121221,x x k x x k +=-=g ．∵1212()30x x x x ++=g ，∴22130k k -+=，即23210.k k +-= 解方程，得1211,3k k =-=，∴k 的值为1-或13． 老师看了小虹的这个解答后，写了如下评语：“你的解题方向是正确的，但过程欠严密，请再思考一下，相信你一定会求出正确结果．”请你帮助小虹同学订正此题，好吗？3． 如果将点P 绕定点M 旋转1800后与点Q 重合那么称点P 与点Q 关于点M 对称，定点M 叫做对称中心．此时P 与点O 关于点M 是线段PQ 的中点．如图2-4-14，在直角坐标系中，△ABO 的顶点A 、B 、O 的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列1P ，2P ，3P ，……中的相信两点都关于△ABO 的一个顶点对称；点1P 与点2P 关于点A 对称，点2P 与点3P 关于点B 对称，点3P 与4P 关于O 对称，点4P 与点5P 关于点A 对称，点5P 与点6P 关于点B 对称点6P 与点7P 关于点O ，对称中心分别是A 、B 、O 、A 、B 、O 、……且这些对称中心依次循环，已知点1P 坐标是（1，1），试求出点2P ，7P ，100P 坐标．4． 阅读以下短文，然后解决问题．如果一个三角形和一个矩形满期足下列条件：三角形的三边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图2-4-15所示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好三角形”．显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好三角形”只有一个．图2-4-17图2-4-16图2-4-15F ECCCBBBAAA（1）仿照以上叙述，说明了什么是一个三角形的“友好平行四边形”．（2）如图2-4-16中画出△ABC 所有的“友好矩形”．（3）若△ABC 是锐角三角形，且BC AC AB >>，在图2-4-17中画出△ABC 年有的“友好矩形”．【提高训练14参考答案】1．15．2．（1）135- （2）11n a q - （3）145,40a a ==． 3．由方程有两个实数根知△=221(12)4140,4k k k k --=-≥≤即．由根与系数的关系有2121221,x x k x x k +=-=,而1212()30x x x x ++=,∴22130k k -+=,即23210k k +-=．解得1211,3k k =-=．又∵14k ≤，∴13k =舍去．∴k 的值为1-．4．2P 的坐标为（1，-1）， 7P 的坐标为（1，1） 100P 的坐标为（1，-3）5．（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”（2）共有2个友好矩形，如图（1）的四边形BCAD 、ABEF （3）共有3个友好矩形，如图（2）的BCDE 、CAFG 及ABHK ． （四）综合题图(2)图(1)KHG F ED C BAF E D CBA综合题一直是中考复习最后阶段的重点和难点．综合题所考查的内容涉及初中代数或几何中若干不同的知识点，这就需要我们既要扎实地掌握好数学基础知识，又具备灵活综合运用数学知识解决问题的能力．在近年的中考命题中，综合题的难度有所下降，形式与内容也有一定程度的创新． （Ⅰ）方程型综合题 【简要分析】方程是贯穿初中代数的一条知识主线．方程型综合题也是中考命题的热点，中考中的方程型综合题主要有两类题：一类是与地、一元二次方程根的判别式、根与系数有关的问题，另一类是与几何相结合的问题．【典型考题例析】例1：已知关x 的一元二次方程 230x x m +-=有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为1x 和2x ，且1x x +221211x x +=求m 的值．例２：已知关于x 的方程2(2)20a x ax a +-+=有两个不相等的实数根1x 和2x ，并且抛物线2(21)25y x a x a =-++-与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁． （1） 求实数a 的取值范围．当12x x +=时，求a 的值．说明 运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．例3： 如图2-4-18，090B ∠=，O 是AB 上的一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ．若AD=AB 的长是关于x 的方程280xx k -+=的两个实数根．（1）求⊙O 的半径．（2）求CD 的长． 【提高训练15】 1．已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=的两根是一矩形两邻边的长．（1）k 取何值时，方程有两个实数根？（2k 的值．2．已知关于x 的方程222(1)230xm x m m -++--=的两个不相等的实数根中有一个根为0，是否存在实数k ，使关于x 的方程22()520xk m x k m m ----+-=的两个实数根1x 、2x 之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．3．已知方程组221y x y kx ⎧=⎨=+⎩有两个不相等的实数解．（1）求k 有取值范围．（2）若图2-4-18C图2-4-19B方程组的两个实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是否存在实数k ，使11221x x x x ++=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．4．如图2-4-19，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点，连结DE ．（1）DE 与半圆O 相切吗？若不相切，请说明理由．（2）若AD 、AB 的长是方程210240x x -+=的个根，求直角边BC 的长．【提高训练15答案】１．（1）32k ≥ （2）2k = ２．存在，24k =-或 ３．（1）12k < （2）满足条件的k 存在，3k =- ４．（1）相切，证明略 （2）（Ⅱ）函数型综合题 【简要分析】中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力．此类综合题，不仅综合了《函数及其图象》一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点．善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键． 【典型考题例析】例1：如图2-4-20，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x 的取值范围．说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．例2 如图2-4-21，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0），点C （0，5）、D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．例3 ：已知抛物线2(4)24y x m x m =-+-++与x 轴交于1(,0)A x 、2(,0)B x ，与y 轴交于点C ，且1x 、2x 满足条件1212,20x x x x <+=（1）求抛物线的角析式；（2）能否找到直线y kx b =+与抛物线交于P 、Q 两点，使y 轴恰好平分△CPQ 的面积？求出k 、b 所满足的条件．说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线．解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化．例如：二次函数与x 轴有交点．可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解．点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等．例4 已知：如图2-4-23，抛物线2y ax bx c =++经过原点（0，0）和A （－1，5）．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点为E ，连结MD ．已知点E 的坐标为（0，m ），求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）（3）延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON 、OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S ∆=四边形？请求出此时点P 的坐标． 【提高训练16】1．已知抛物线的解析式为2(21)y x m x m m =--+-，（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点．（2）若此抛物线与直线34y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值．2．如图2-4-24，已知反比例函数12y x=的图象与一次函数4y kx =+的图象相交于P 、Q 两点，并且P 点的纵坐标是6．（1）求这个一次函数的解析式．（2）求△POQ 的面积．3．在以O 这原点的平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，3）．与x轴正半轴交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），抛物线的对称轴是2x=，且32AOC S ∆=．（1）求此抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为D ，求四边形ADBC 的面积． ４．OABC 是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6．（1）如图2-4-25，在上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B 点，求所B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）作B G ∥AB 交CM 于点G ，若抛物线216y x m =+过点G 析式，交判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标． 5．如图2-4-26，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，BCAC >，以斜边AB 所在直线为x 轴，以斜边AB 上的高所在的直线为y 轴，建立直角坐标系，若2217OA OB +=，且线段OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程22(3)0x mx m -+-=的两根．（1）求点C 的坐标．（2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图．（3）在抛物线的解析式上是否存在点P ，使△ABP 和△ABC 全等？若相聚在，求出符合条件的P 点的坐标；若f x () = 2⋅x 2图2-4-25f不存在，请说明理由． 【提高训练16答案】 1．（1）22[(21)]4()10m m m ∆=----=>，∴抛物线与x 轴必有两个不同的交点．（2）1m =-1m =-2．（1）4y x =+．（2）16POQ S ∆=．3．（1）243y x x =-+．（2）4ADBC S =四边形．4．（1）B ′（8，0）；（2）163y x =-+ （3）抛物线方程为212263y x =-．除了交点G 外，另有交点为点G 关于y 轴的对称点，其坐标为（－8，103）．5．（1）C （0，2）．（2）213222y x x =--．（3）存在，其坐标为（0，－2）和（3，-2）．（Ⅲ）几何型综合题 【简要分析】几何型综合题包括几何论证型综合题和几何计算型综合题两大类，一般以相似为中心，以圆为重点，还常与代数综合．它以知识上的综合性与中考中的重要性而引人注目．值得一提的是，在近两年各地的中考试题，几何综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何型综合题命题的新趋势． 【典型考题例析】例1：如图2-4-27，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点．（1）求证：△BCF ≌△DCE ．（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG ：GC 的值．例2：已知如图2-4-28，BE 是⊙O 的走私过圆上一点作⊙O 的切线交EB 的延长线于P ．过E 点作ED ∥AP 交⊙O 于D ，连结DB 并延长交PA 于C ，连结AB 、AD ．（1）求证：2AB PB BD = ．（2）若PA=10，PB=5，求AB 和CD 的长．例2：如图2-4-29，⊙1O 和⊙2O 相交于A 、B 两点，圆心1O 在⊙2O 上，连心线1O 2O 与⊙1O 交于点C 、D ，与⊙2O 交于点E ，与AB交于点H ，连结AE ．（1）求证：AE 为⊙1O 的切线． （2）若⊙1O 的半径r=1，⊙2O 的半径32R=，求公共弦AB 的长． （3）取HB 的中点F ，连结1O F ，并延长与⊙2O 相交于点G ，连结EG ，求EG 的长例4 如图2-4-30，A 为⊙O 的弦EF 上的一点，OB 是和这条弦垂直的半径，垂足为H,BA 的延长线交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线与EF 的延长线交于点D ． （1）求证：DA=DCEP图2-4-28GFED BA（2）当DF ：EF=1：8且时，求AB AC 的值．（3）将图2-4-30中的EF 所在的直线往上平移到⊙O 外，如图2-4-31，使EF 与OB 的延长线交⊙O 于点C ，过点C 作⊙O 的切线交EF 于点D ．试猜想DA=DC 是否仍然成立，并证明你的结论． 【提高训练17】1．如图2-4-32，已知在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 和BC 上的点，连结DE 并延长与AC 的延长线相交于点F ．若DE=EF ，求证：BD=CF ． 2．点O 是△ABC 所在平面内一动点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，如果DEFG 能构成四边形．（1）如图2-4-33，当O 点在△ABC 内时，求证四边形DEFG 是平行四边形．（2）当点O 移动到△ABC 外时，（1）中的结论是否成立？画出图形，并说明理由．（3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由．3．如图2-4-35，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=450．翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ．若AD=2，BC=8，求：（1）BE 的长．（2）∠CDE 的正切值．4．如图2-4-35，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知直径AD=2，∠ABC=1200，∠ACB=450，连结OB 交AC 于点E ．（1）求AC 的长．（2）求CE ：AE 的值．（3）在CB 的延长上取一点P ，使PB=2BC ，试判断直线PA 和⊙O 的位置关系，并加以证明你的结论．5．如图2-4-36，已知AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 分别是⊙O 的切线，切点分别为B 、D ，E 是BA 和CD 的延长线的交点．（1）猜想AD 与OC 的位置关系，并另以证明．（2）设A D O C 的值为S ，⊙O 的半径为r ，试探究S 与r 的关系．（3）当r=2，1sin 3E ∠=时，求AD 和OC 的长． 【提高训练17答案】1．过D 作DG ∥AC 交BC 于G ，证明△DGE ≌△FCE 2．（1）证明DG ∥EF 即可 （2）结论仍然成立，证明略 （3）O 点应在过A 点且垂直于BC 的直线上（A 点除外），说理略． 3．（1）BE=5 （2）3tan 5CDE ∠=4．（1）AC =（2）1:2CE AE = （3）∵1:2CE AE =，PB=2BC ，∴CE ：AE=CB ：PB ．∴BE ∥AP ．∴AO ⊥AP ．∴PA 为⊙O 的切线 5．（1）AD ∥OC ，证明略 （2）连结BD ，在△ABD 和△OCB 中，∵AB 是直径，∴∠ADB=∠OBC=900．又∵∠OCB=∠BAD ，∴Rt △ABD ∽Rt △OCB ．∴A D A BO B O C=．222S AD OC AB OB r r r ==== ，∴22S r = （3）AD =，OC = （Ⅳ）动态几何综合题 【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念．加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点．大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体图2-4-33图2-4-34F EDCBA图2-4-36现．这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”．以“不变”应“万变”．同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件． 【典型考题例析】例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,O 是原点,A 、B 、C 三点的坐标分别为A （18，0）、B （18，6）、C （8，6），四边形OABC 是梯形．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P 沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解析式．（2）设从出发起运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（3）设从出发起运动了t 秒，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由．例2： 如图2-5-40，在Rt △PMN 中，∠P=900，PM=PN ，MN=8㎝，矩形ABCD 的长和宽分别为8㎝和2㎝，C 点和M 点重合，BC 和MN 在一条直线上．令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C 点与N 点重合为止．设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y ㎝2．求y 与x 之间的函数关系式．N图2-4-40N图2-4-41T M图2-4-44图2-4-43MT．说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形 则“动”这“静”，再设法分别求解．这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮我们理清思路，各个击破． 【提高训练18】 1．如图2-4-45，在ABCD 中，∠DAB=600，AB=5，BC=3，鼎足之势P 从起点D 出发，沿DC 、CB向终点B 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，点P 所以过的线段与绝无仅有AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的函数关系的变化而变化．在图2-4-46中，能正确反映y 与x的函数关系的是（ ）A B C D2．如图2-4-47，四边形AOBC为直角梯形，OB=%AC，OC所在直线方程为2y x=，平行于OC的直线l为：2y x t=+，l是由A点平移到B点时，l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S．（1）求点C的坐标．（2）求t的取值范围．（3）求出S与t之间的函数关系式．3．如图2-4-48，在△ABC中，∠B=900，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8㎝2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到达点B后又继续沿BC边向点C移动，点Q到达点C后又继续沿CA边向点A移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q，使△PBQ的面积等于9㎝2？若存在，试确定P、Q的位置；若不存在，请说明理由．4．如图2-4-49，在梯形ABCD中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=900．（1）如图2-4-50，动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止．设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为1y（㎝2），求1y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式．（2）如图2-4-51，动点P以每秒1㎝的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为2y（㎝2）．求2y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．图2-4-51图2-4-50BB【提高训练18答案】1．A2．（1）C（1，2）（2）－10≤t≤2 （3）S与t的函数关系式为215(100)20S t t t=++-≤≤或211(02)4S t t t=-+≤≤3．（1）2秒或4秒（2）存在点P、Q，使得△PBQ的面积等于9㎝2，有两种情况：①点P在AB边上距离A为3㎝，点Q在BC边上距离点B为6㎝时②点P在BC边上，距B点3㎝时，此时Q点就是A点图2-4-47A图2-4-49。
专题六 分类讨论问题
分类讨论问题是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干 不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想.分类讨 论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难度较大，在各地中考 试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性.目前， 深圳中考试卷中，常见的需分类讨论的知识点有三大类: （1）代数类：有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等. （2）几何类：有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似 的可能对应情况等. （3）综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
●考点解析
题型三 综合类
类代数与几何类分类情况的综合运用.
【例题 5】（2016·齐齐哈尔市）如图所示，在平面直角坐 标系中，过点 A( 3, 0) 的两条直线分别交y轴于B，C两点， 且B，C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x2 2x 3 0 的两 个根． （1）求线段BC的长度． （2）试问直线AC与直线AB是否垂直？
思路分析：直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质 进而得出x2=4，y2-5y+6=0，再利用分类讨论得出即可， 故答案为 2 2或 13或. 5.
●考点解析
题型二 几何题
几何类常涉及各种图形的位置关系，未明确对应关系 的全等或相似的可能对应情况，函数的定义以及点(坐标 未给定)所在象限等；函数自变量的取值变化、函数图象 未给出、函数对称性(反比例函数、二次函数的图象)等， 分类讨论问题也常通过数形结合的方法来解答.
【例题 3】在半径为5 cm的⊙O中，弦AB=6 cm，弦CD=8 cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离.
思路分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两 弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧.
第44课分类讨论型问题
①当点 Q 在边 AB 上时，0<t≤5，如解图①，过 Q 作
QE⊥AC 于 E，连结 PQ，∵∠C＝90°，∴QE∥BC，∴△
ABC∽△AQE，∴AAQB＝AACE＝QBCE，∵AQ＝2t，AP＝t，∴120t ＝ t＋8PE＝Q6E，∴PE＝53t，QE＝56t，∴PQ2＝QE2＋PE2，∴PQ
(例 3 题图解) ③如解图③，AE＝EF＝4.先求出 AE 边上的高 DF＝ 7，再代入面积公 式求得 S＝2 7 cm2.
答案 8 cm2 或 2 15 cm2 或 2 7 cm2
变式训练 3 (2015·攀枝花)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 在矩形 OABC 中，点 A(10，0)，C(0，4)，D 为 OA 的中点，P 为 BC 边上一 点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点 P 的坐标为________．
答案 D
变式训练 1 (2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边
的边长是关于 x 的一元二次方程 x2－12x＋k＝0 的两个根，则 k 的值是( )
A. 27
B. 36
C. 27 或 36
D. 18
解析 由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情 况进行讨论：①当 3 为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x＝3 代入原方 程可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出 的值是否符合题意即可；②当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有两个 相等的实数根，由 Δ＝0 可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．
变式训练 3 题图解
答案 (2.5，4)或(3，4)或(2，4)或(8，4)
总结回顾：此题型多为点的位置不确定，导致图形不确定，所以在解题 时依据点可能出现的位置进行分类讨论，此类问题的分类讨论容易遗漏，考 虑问题务必要全面.
小学三年级数学分类讨论练习题
小学三年级数学分类讨论练习题在小学三年级的数学学习中，分类讨论是一个重要的内容。
通过分类讨论，学生可以培养逻辑思维和分析问题的能力。
本文将给出一些小学三年级数学分类讨论练习题，帮助学生巩固知识并提高解决问题的能力。
1. 分类讨论加法运算（100以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：8 + 9、15 + 20、10 + 3、7 + 12、25 + 35、18 + 22分类汇总表：| 运算结果≥20 | 运算结果＜20 || ----------- | ----------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果大于等于20，则归类到“运算结果≥20”的一列中；如果小于20，则归类到“运算结果＜20”的一列中。
最后填写总数即可。
2. 分类讨论减法运算（100以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：30 - 10、40 - 25、21 - 9、50 - 35、12 - 8、18 - 25分类汇总表：| 运算结果≥20 | 运算结果＜20 || ----------- | ----------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果大于等于20，则归类到“运算结果≥20”的一列中；如果小于20，则归类到“运算结果＜20”的一列中。
最后填写总数即可。
3. 分类讨论乘法运算（10以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
算式：3 × 4、5 × 2、1 × 9、6 × 1、8 × 2、7 × 0分类汇总表：| 运算结果是偶数 | 运算结果是奇数 || ------------- | ------------- || | |解析：将算式的结果进行判断，如果是偶数，则归类到“运算结果是偶数”的一列中；如果是奇数，则归类到“运算结果是奇数”的一列中。
最后填写总数即可。
4. 分类讨论除法运算（10以内）题目：将下列算式归类，分类汇总结果，并填写在下表中。
分类讨论的概念
分类讨论的概念
分类讨论是一种将问题或主题分解成多个不同类别或方面，并分别讨论每个类别或方面的方法。
通过将问题细分为不同的类别或方面，可以更全面地理解和分析问题，并深入探讨每个类别的特点和相关问题。
分类讨论的概念可以应用于多个领域和学科，如哲学、逻辑学、数学、科学研究和问题解决等。
其主要目的是将复杂的问题分解为更容易处理和理解的部分，并对每个部分进行系统性的分析和讨论。
分类讨论的一般步骤如下：
1.问题定义：明确定义要讨论的问题或主题。
2.创建类别或方面：确定用于分解问题的不同类别或方面。
这些类别可以根据问题的性质、因素的种类或其他相关因
素来确定。
3.收集信息：收集有关每个类别或方面的相关信息和数据。
这可以通过文献研究、实证研究、调查问卷等方式进行。
4.分析和讨论：对每个类别或方面进行分析和讨论。
评估每
个类别的特点、优点、限制和潜在影响等。
5.结论和概括：总结每个类别或方面的发现，并得出综合性
的结论。
可以对不同类别之间的相互关系和相互作用进行
讨论和归纳。
分类讨论的优点包括能够提供更系统和全面的分析，帮助
更好地理解复杂的问题，并促进深入的探讨和综合性的结论。
然而，分类讨论也可能存在一些挑战，如分类的主观性、类别的定义和边界问题等。
总之，分类讨论是一种有效的分析和讨论方法，有助于解决复杂问题和深入探讨不同方面的特点和影响。
它可以应用于各个领域和学科，并提供有关问题或主题更全面的见解和理解。
分类讨论问题的一种简捷方法
分类讨论问题的一种简捷方法分类讨论法是一种常用的思考和解决问题的方法，它帮助我们将复杂的问题拆分成若干个更小的子问题，并通过分类和讨论来深入思考和分析每个子问题。
下面我将详细介绍分类讨论法的步骤和应用，以及它在解决问题中的作用。
一、分类讨论法的步骤分类讨论法的使用步骤如下：1.确定问题范围和目标：首先要明确需要解决的问题是什么，以及我们希望达到的目标是什么。
2.拆分问题成若干子问题：将整个问题拆分成若干个更具体、更小的子问题，并确保每个子问题都能够独立思考和分析。
3.分类子问题：对于拆分出的子问题，根据它们的特点和属性进行分类。
可以根据问题的性质、影响因素、解决方案等进行分类。
4.讨论每个子问题：对于每个子问题，进行深入的讨论和分析。
可以列出各种观点、优缺点、解决方法等，并进行评估和比较。
5.综合总结：在讨论完每个子问题后，综合各个子问题的讨论结果，得出最终的结论和解决方案。
二、分类讨论法的应用场景分类讨论法适用于各种问题的分析和解决，特别是对于复杂的问题和多个因素综合影响的问题更为有效。
以下是分类讨论法的几个常见应用场景：1.问题分析：对于一个复杂的问题，通过分类讨论法可以将其分解成多个子问题，有助于更好地理解和分析问题的本质，并找到解决方案。
2.决策制定：在面临多个选择或者不同意见时，可以通过分类讨论法对每个选项或者意见进行分类和讨论，以帮助做出明智的决策。
3.方案评估：在评估不同方案的优劣时，可以通过分类讨论法对各个方案的优点、缺点、风险等进行分类和讨论，从而做出更有针对性的评估。
4.项目管理：在项目管理中，可以使用分类讨论法来对项目的各个方面进行分类和讨论，帮助更好地规划和组织项目。
5.辩论与讨论：在辩论或讨论中，可以使用分类讨论法将不同的观点和论证进行分类和讨论，有助于更全面和深入地探讨问题。
三、分类讨论法的作用分类讨论法在解决问题中起到了重要的作用，主要有以下几点：1.拆解问题：通过分类讨论法，可以将一个复杂的问题拆解成若干个更小的子问题，使其更具可解性，便于分析和处理。
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
请给小学生数学编写一个需要分类讨论的问题
问题：在一批图书中，有若干本是故事书，若干本是科普书，而剩下的是绘本。
已知故事书的数量是科普书数量的两倍，而绘本的数量又比科普书的数量少3本。
如果总共有30本图书，请问每种类型的图书各有多少本？
解答：我们可以通过分类讨论来解决这个问题。
设故事书的数量为x，科普书的数量为y，绘本的数量为z。
根据已知条件，我们可以列出以下方程：
1. 故事书的数量是科普书数量的两倍：x = 2y
2. 绘本的数量比科普书的数量少3本：z = y - 3
3. 图书总数为30本：x + y + z = 30
现在我们可以利用这些方程，解得每种类型的图书的数量。
首先，我们将方程1代入方程3中，得到：2y + y + z = 30，即3y + z = 30。
然后，将方程2代入上面的方程，得到：3y + y - 3 = 30，即4y = 33，解出y = 8.25。
由于y代表科普书的数量，而书的数量应为整数，所以无法得到一个精确的值。
此时，我们可以近似地认为y ≈ 8。
然后，将近似值代入方程1，得到x ≈ 16。
再将近似值代入方程2，得到z ≈ 5。
所以，根据我们近似得到的结果，可能有大约16本故事书，8本科普书和5本绘本。
请注意，这只是根据近似值得到的结果，实际的解可能会有所不同。
分类讨论思想答辩问题
分类讨论思想答辩问题1、自己为什么选择这个课题？由于自己对数学解题思想方面比较感兴趣，也因为将来最有可能的工作是教师，所以希望在毕业论文的研究中能对今后有所帮助。
加之数学解题技巧是初等数学中的一个非常重要的组成部分，所以选择了这个论问题2、研究这个课题的意义和目的是什么？答：数学解题是数学教学与学习的重要组成部分。
通过数学解题，可以深化对数学基础知识、基本技能的认识，逐渐体会数学知识的精髓--数学思想方法，培养严谨的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，提高灵活运用数学知识去分析问题、解决问题的能力。
为了学生以后走上工作岗位不出现瘸腿现象，加强数学教育中的文化素质显得比较重要和具有现实意义3、全文的基本框架、基本结构是如何安排的？答：第一部分：几种常见的数学解题思想；第二部分：数学解题技巧的培养；第三部分：如何将数学解题思想贯穿于解题技巧中；第四部分：解题技巧的误区；第五部分：解题思想与解题技巧的体会；第六部分：结束语4、你这篇论文的侧重点在哪方面？为什么？答：我这篇论文的侧重点在如何将数学解题思想融入到数学解题技巧当中因为我觉得在所有掌握了各种解题思想后最重要的是懂得何用将这些思想运用到实际问题当中，只有这些才算真正理解了解题思想它的应用5、你觉得数学解题技巧在解决数学问题有什么优势？答：数学问题的解决方法有很多种，但是万变不离其中，这就要求我们掌握一些常用的数学解题技巧，在解题中不用为了用哪种方式合适而浪费时间，在解数学题时可以做到条件反射，从而为你整个解题过程节省很多时间6、论文虽未论及，但与其较密切相关的问题还有哪些？答：本文在撰写有关解题技巧的误区这一方面只是列举了两个技巧的误区，但我觉得这方面很重要。
这一点与如何培养学生的解题能力密切相关，应该罗列出哪些问题最容易产生惯性思维，避免走入技巧的误区7、哪些问题自己还没搞清楚，在论文中论述得不够透彻？答：有些数学题看起来哪种方法都可以用，但是实际上我们并不能直接反应出哪种方法最合适，这篇论文在有关哪些题型用哪些方法方面没有去罗列出来8、写作论文时立论的主要依据是什么？答：主要依据是数学解题思想的技巧，根据你所掌握的各种数学解题思想，然后将这些思想融入到实际问题当中，也即将这些思想融入到解题技巧当中。
分类讨论的原则和意义
分类讨论的原则和意义1. 分类讨论啊，那可太重要啦！就好比你整理房间，不把东西分类放好，那不是乱成一团嘛！比如做数学题，遇到多种情况的时候，你就得分类讨论呀，像讨论一个函数在不同区间的单调性，这样才能把问题搞清楚嘛！2. 分类讨论的原则就是要细致呀！你想想，要是粗枝大叶地去分类，那不是白搭嘛！就好像你分水果，不仔细区分苹果和梨，能行吗？比如在考虑一个事件的可能性时，要全面地去分类，不能遗漏任何一种可能呀！3. 分类讨论能让事情变得清晰明了呀！这就像在大雾中找到了方向一样！比如说讨论不同人的兴趣爱好，分类清楚了，才能更好地了解大家呀，是不是？4. 分类讨论的意义可大着呢！它就像一把钥匙，能打开复杂问题的大门！比如在研究生物种类的时候，通过分类讨论，我们才能更系统地认识各种生物呀！5. 分类讨论要遵循合理的原则呀！不然不就乱套了嘛！好比你给衣服分类，总不能把冬天的和夏天的混在一起吧！例如在分析市场趋势时，合理分类才能得出准确的结论呢！6. 分类讨论的意义在于能让我们不迷糊呀！就像在迷宫里找到正确的路！比如讨论不同交通工具的优缺点，分类好了，我们才能做出合适的选择呀！7. 分类讨论得有耐心呀！可不能半途而废！这就像搭积木，得一块一块认真搭呀！比如在解决一个复杂的逻辑问题时，耐心分类才能找到答案呢！8. 分类讨论是很有讲究的呀！可不是随便分的！就像厨师做菜，得按步骤来！比如在划分不同年龄段的特点时，严谨分类才能得出有价值的结论呀！9. 分类讨论的重要性不言而喻呀！它就像给混乱的世界带来秩序！比如在安排工作任务时，分类清楚了，大家才能高效完成呀，对不对？10. 分类讨论的原则和意义真的超级重要呀！这就像建房子的基石呀！比如在研究历史事件的原因时，全面分类才能深入理解呀！结论：分类讨论真的太重要啦，我们在很多事情上都需要用到它，只有遵循好原则，才能真正发挥出它的意义，让我们把事情做得更好呀！。
七年级上册数轴分类讨论
七年级上册数轴分类讨论
在解决数轴上的问题时，有时需要进行分类讨论。
以下是一些可能需要进行分类讨论的数轴问题：
1. 点在数轴上的移动：当一个点在数轴上移动时，可能需要讨论它向左还是向右移动，以及移动了多少个单位。
根据不同的移动方向和距离，点的位置会发生变化，从而影响问题的解决。
2. 数轴上两点之间的距离：当需要计算数轴上两点之间的距离时，可能需要讨论这两点的相对位置。
如果一点在另一点的左侧，那么距离就是两点之间的差的绝对值；如果一点在另一点的右侧，那么距离就是两点之和的绝对值。
3. 数轴上的区间问题：当涉及数轴上的区间时，可能需要讨论区间是开区间还是闭区间，以及区间端点的取值。
不同的区间类型和端点取值会影响区间内元素的数量和性质。
4. 数轴上的最值问题：当需要找到数轴上的最大值或最小值时，可能需要讨论数轴上元素的范围和性质。
例如，如果数轴上的元素都是正数，那么最大值就是所有元素中最大的那个；如果数轴上的元素既有正数又有负数，那么最大值可能是正数中的最大值或0。
以上是一些可能需要进行分类讨论的数轴问题。
需要注意的是，具体的分类讨论方法会根据问题的具体情况而有所不同。
因此，在解决数轴问题时，需要认真审题，理解问题的要求，并根据问题的特点选择合适的分类讨论方法。
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分类讨论问题（四边形）
某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占的面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个
顶点作为出入口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案：
方案1：如图1所示，两个出入口E，F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案2：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法。
分类讨论问题（四边形）
已知，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，AB=5，∠D=60°，还有一条边为 ，求出各边的长。
3
5
分类讨论问题（四边形）
已知四边形ABCD,AD∥BC,AB=DC,AC与BD相交于O,AD=7,BD=10, ∠BOC=120°，画出图形并求四边形的面积。
()
∠150
135
=
30
D
︒
45
120
︒
，
，
时，试讨论
，
，
︒
变式：︒
︒
分类讨论问题（四边形）
已知△ABC是边长为4的等边三角形，△ACD是一个含30°角的直角三角形，现将△ABC和△ACD拼成一个凸四边形ABCD，画出满足条件的四边形ABCD，并求出对角线BD的长
分类讨论问题（四边形）
在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长。
分类讨论问题（四边形）
在四边形ABCD中，AB=3,AD=DC=4,∠A=120°，BD平分∠ABC，求四边形ABCD的面积。