江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(解析版)
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(含解析)
泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题（参考公式：柱体的体积，椎体的体积）一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1.函数的最小正周期为．【答案】【解析】试题分析：的周期为考点：三角函数周期2.已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.【答案】±4【解析】【分析】根据集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，从而得到，得到结果.【详解】因为A∩B，可知，解得，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目.3.复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目. 4.函数的定义域是__.【答案】［－1,1］【解析】【分析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域.【详解】要使函数有意义，需要满足，解得，所以函数的定义域是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.5.从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.【答案】【解析】【分析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.【详解】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，则取出两个数的和为6的概率为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可.6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.【答案】8【解析】【分析】首先拟执行该程序，最后求得结果.【详解】第一步：；第二步：，推出循环；此时.【点睛】该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解. 7.已知数列｛｝满足＝1，则＝__.【答案】4【解析】【分析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的等比数列，从而求得，得到结果.【详解】由，可得，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8.若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值.【详解】抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，解得，故答案是.【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C 的体积为V2，则的值是__.【答案】【解析】【分析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得和的值，进而求得其比值，得到结果. 【详解】设的面积为，三棱柱的高为，则，，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10.已知函数，若，则实数的取值范围为__.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果. 【详解】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.【点睛】该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.11.在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.【答案】2【解析】【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】如图，因为PQ为切线，所以，由勾股定理，得，要使最小，则需最小，显然当点P为与的交点时，最小，此时，，所以当最小时，就最小，，当时，最小最小，得到最小，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则＝__.【答案】－【解析】【分析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的的值，从而求得结果.【详解】如下图，因为，所以，即，即，所以，即，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.13.已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.【答案】［－1,0）【解析】【分析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在处有交点，结合函数的图象，从而得到最后的结果，求得参数的取值范围.【详解】当时，如果，，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；当时，如果，，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，，，切点为，代入，得，所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；如果且时，，相当于函数在处有交点，即处有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；综上，可知：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.14.在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.【答案】【解析】【分析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】由，得：，由，得：，即，（k为定值），即，即恒成立，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.二、解答题（90分）15.已知向量，，其中。
泰州市2019届高三上学期期末数学试题及解析
8
泰州市 2019 届高三上学期期末数学试题及解析
【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出 p 的值. 【详解】抛物线y2 = 2px(p > 0)的准线为：x =− 2， 双曲线的左准线为：x =− 由题意可知− 2 =− 故答案是 2. 【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目. 9.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 M 为棱 AA1 的中点，记三棱锥 A1－MBC 的体积为 V1，四棱锥 A1 －BB1C1C 的体积为 V2，则V1的值是__.
泰州市 2019 届高三上学期期末数学试题及解析
泰州市 2019 届高三上学期期末 数学试题
（参考公式：柱体的体积 V = Sh，椎体的体积 V = 3 Sh） 一､填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分．
1.函数 f(x) = sin2x 的最小正周期为 ．
1
2.已知集合 A＝｛4，a2｝ ，B＝｛－1，16｝ ，若 A∩B≠ ∅，则 a＝__. 3.复数 z 满足 zi = 4 + 3i（i 是虚数单位） ，则｜z｜＝__. 4.函数 y = 1 − x2 的定义域是__. 5.从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为 6 的概率为___. 6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 T 的值是__.
1 1 1 1
则V1 = VA1 −MBC = VA1 −ABC − VM−ABC = 3 Sh − 3 S × 2 h = 6 Sh，
V2 = VA1 −BB1C1C = VABC− A1B1C1 − VA1 −ABC = Sh − 3 Sh = 3 Sh，
2018-2019学年江苏省泰州市高三(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．（5分）函数f（x）＝sin2x的最小正周期为．2．（5分）已知集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，若A∩B≠∅，则a＝．3．（5分）复数z满足zi＝4+3i（i是虚数单位），则|z|＝．4．（5分）函数y＝的定义域为．5．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是．6．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是．7．（5分）已知数列{a n}满足log2a n+1﹣log2a n＝1，则＝．8．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与双曲线x2﹣y2＝1的一条准线重合，则p＝．9．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1﹣MBC 的体积为V1，四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2，则的值是．10．（5分）已知函数f（x）＝2x4+4x2，若f（a+3）＞f（a﹣1），则实数a的取值范围为11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．12．（5分）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则λμ＝．13．（5分）已知函数，若存在x0＜0，使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．14．（5分）在△ABC中，已知sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，其中，若为定值，则实数λ＝．三、解答题（90分）15．（14分）已知向量，，其中x∈（0，π）．（1）若，求x的值；（2）若tan x＝﹣2，求||的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD 的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知P A⊥AB，P A⊥AD．求证：（1）直线PB∥平面OEF；（2）平面OEF⊥平面ABCD．17．（14分）如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，P A，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．19．（16分）设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f （x）的“优点”．（1）若函数不存在“优点，求实数a的值；（2）求函数f（x）＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；（3）求证：函数f（x）＝lnx的“优点”一定落在第一象限．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a2＝a3，且对任意的n∈N*，n≥2都有2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1．（1）若a1≠0，a2＝3a1，求r的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？说明理由；（3）当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018-2019学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．【解答】解：函数f（x）＝sin2x的最小正周期为＝π，故答案为：π．2．【解答】解：∵集合A＝{4，a2}，B＝{﹣1，16}，A∩B≠∅，∴a2＝16，解得a＝±4．故答案为：±4．3．【解答】解：由zi＝4+3i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：5．4．【解答】解：要使函数有意义，需满足1﹣x2≥0解得﹣1≤x≤1故答案为{x|﹣1≤x≤1}5．【解答】解：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，基本事件总数n＝＝10，这2个数的和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），共2个，则这2个数的和为6的概率是p＝＝．故答案为：．6．【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，T＝1满足条件i≤2，执行循环体，T＝1×21＝2，i＝2满足条件i≤2，执行循环体，T＝2×22＝8，i＝3不满足条件i≤2，退出循环，输出T的值为8．故答案为：8．7．【解答】解：∵log2a n+1﹣log2a n＝1，∴＝2，∴数列{a n}是公比q为2的等比数列，∴＝q2＝4．故答案为：4．8．【解答】解：抛物线y2＝2px的准线为：x＝﹣，双曲线x2﹣y2＝1的左准线为：x＝﹣＝﹣，由题意可知﹣＝﹣，p＝．故答案为：．9．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，A到BC是距离为：t，记三棱锥A1﹣MBC的体积为V1＝•t＝•t四棱锥A1﹣BB1C1C的体积为V2＝则＝＝．故答案为：．10．【解答】解：f（x）＝2x4+4x2是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；∴由f（a+3）＞f（a﹣1）得：f（|a+3|）＞f（|a﹣1|）；∴|a+3|＞|a﹣1|；∴（a+3）2＞（a﹣1）2；解得a＞﹣1；∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．11．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r ＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有＝1，解可得：k＝2；故答案为：2．12．【解答】解：由，得＝，即；…①由，得，即，∴，即（μ+1），∴，…②由①②可得，得，∴，故答案为：﹣13．【解答】解：由f（x）＝x3+3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2+3＞0，可得x＜a为增函数，可得f（x）＜a3﹣a，且x≥a时，f（x）＝x3﹣3x﹣4a的导数为f′（x）＝3x2﹣3，即有﹣1＜x＜1时，f（x）递减；x＞1或x＜﹣1时，f（x）递增，可得x＝1为极小值﹣2+2a，x＝﹣1处取得极大值2+2a，a＝0时，x＜0时，f（x）＜0；x≥0时，f（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，无负的零点；0＜a＜1时，x＜a时，f（x）＜f（a）＜0，函数f（x）无负的零点；当a≥1时，x＜a时，f（x）递增，x≥a，f（x）递增，f（x）也无负的零点；当a＜0时，由f（a）≥0即a3﹣a≥0，解得﹣1≤a＜0，可得f（x）存在负的零点．故答案为：[﹣1，0）．14．【解答】解：由，可得，sinθ＝，cosθ＝，∵sin A sin B sin（C﹣θ）＝λsin2C，sin A sin B sin C﹣sin A sin B cos C＝λsin2C，∴sin A sin B＝＝∵＝＝，＝＝为定值，∴则实数λ＝故答案为：三、解答题（90分）15．【解答】解：（1）∵；∴sin x cos x＝，即sin2x＝1；∵x∈（0，π）；∴；（2）∵tan x＝＝﹣2；∴sin x＝﹣2cos x；∵；∴＝＝．16．【解答】证明：（1）O为PB中点，F为PD中点，∴PB∥FO，而PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，∴PB∥平面OEF．（2）连结AC，∵ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴P A∥OE，∵P A⊥AB，P A⊥AD，AB∩AD＝A，∴P A⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又OE⊂平面OEF，∴平面OEF⊥平面ABCD．17．【解答】解：（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性知P A＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝π﹣θ，∠OAP＝，由正弦定理，得：，又OA＝2，所以，P A＝，OP＝，所以，y＝P A+PB+OP＝2P A+OP＝＝，又∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝（π+）＝，所以，θ∈（，）；（2）令，θ∈（，），令，得：，所以，f（θ）在上单调递减，在（，）上单调递增；所以，当，即OP＝时，f（θ）有唯一的极小值，即是最小值：f（θ）min＝2，答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小．18．【解答】解：（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：a＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：；（2）由（1）知，A（﹣2，0）、设AB：x＝my﹣2，m≠0，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，解得，即点B的坐标为，则，所以，直线OP的斜率为，则直线OP的方程为，直线BQ的斜率为，所以，直线BQ的方程为，将直线OP的方程与直线BQ的方程联立，得出．因此，x0的取值范围是（4，8）．19．【解答】解：（1）若函数不存在“优点，可得f′（x）＝f′（）对x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，不妨取0＜x＜1，可得f′（x）＝＝＝f′（），即3a＝x，即有a∈（0，），故存在两条切线平行，且a的范围是（0，）；（2）设A（t，t2），B（，），（t≠0），f′（x）＝2x，以A，B为切点的切线方程为y＝2tx﹣t2，y＝x﹣，令2tx﹣t2＝x﹣，可得x＝（t+）＞1或x＜﹣1，可得“优点”的横坐标的取值范围为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）；（3）证明：设A（t，lnt），B（，﹣lnt），0＜t＜1，由f′（x）＝，以A，B为切点的切线方程为y＝+lnt﹣1；y＝tx﹣lnt﹣1，可令tx﹣lnt﹣1＝+lnt﹣1，可得x＝＞0，y＝（lnt2﹣），设t2＝m∈（0，1），可令h（m）＝lnm﹣，h′（m）＝﹣＝＞0，即h（m）递增，h（m）＜h（1）＝0，即lnt2﹣＜0，又＜0，则y＝（lnt2﹣）＞0，函数f（x）＝lnx的“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，一定落在第一象限．20．【解答】解：（1）令n＝2，得：4S3﹣9S2+S1＝ra1，即：4（a3+a2+a1）﹣9（a2+a1）+a1＝ra1，化简，得：4a3﹣5a2﹣4a1＝ra1，∵2a1+a2＝a3，a2＝3a1，∴4×5a1﹣5×3a1﹣4a1＝ra1，解得：r＝1；（2）假设数列{a n}是等比数列，公比为q，则，且a1≠0，解得q＝2或q＝﹣1．由2nS n+1﹣（2n+5）S n+S n﹣1＝ra1，可得4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2）．∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1，两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n，两边同除以a n﹣1，可得2n（q2﹣q）＝3q﹣1，∵q≠1，∴q2﹣q≠0，则上式不可能对任意n≥3恒成立，故数列{a n}不可能是等比数列；证明：（3）当r＝1时，令n＝2，整理得：﹣4a1﹣5a2+4a3＝ra1，又由2a1+a2＝a3，可得a2＝3a1，a3＝5a1，令n＝3，可得6S4﹣11S3+S2＝a1，解得a4＝7a1．由（2）可知，4S n＝2na n+1﹣a n﹣ra1（n≥2），∴4S n﹣1＝2（n﹣1）a n﹣a n﹣1﹣ra1（n≥3），两式相减得：2na n+1+a n﹣1＝（2n+3）a n（n≥3），∴2（n﹣1）a n+a n﹣2＝（2n+1）a n﹣1（n≥4）．∴2n[（a n+1﹣a n）﹣（a n﹣a n﹣1）]＝（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）（n≥4）．∵（a4﹣a3）﹣（a3﹣a2）＝0，∴（a n﹣a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣a n﹣2）＝0（n≥4）．即a n﹣a n﹣1＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥4），又∵a3﹣a2＝a2﹣a1＝2a1，∴数列{a n}是以a1为首项，以2a1为公差的等差数列．。
江苏各市2019届高三上学期期末数学试卷【解析几何综合类题】汇编及解析
ab
2
顶点，原点 O 到直线 BD 的距离为 6 . 设点 P 在第一象限，且 PB x 轴，连接 PA 交椭圆于点 C . 3
（ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）若三角形 ABC 的面积等于四边形 OBPC 的面积，求直线 PA 的方程； （ 3）求过点 B,C, P 的圆方程（结果用 t 表示） .
又 MA (s 6, t 1),MB ( s 6, t 1) ，所以 6 s2 (t 1)2 0 ②
由①②解得： t
1 ，或 t
3
1（舍），所以 s2
70 .
9
AB
又圆 P 的圆心为 AB的中点 (0,t ) ，半径为
s，
2
所以圆 P 的标准方程为 x2 ( y 1)2
70 .
39
(3)设 M ( x0 , y0) ，则 lMA 的方程为 y y0
所以 8b2 ( 1)2 2b2 2 2b2 ，即 4 ( 1)2
2
，所以
5
2
. ………16 分
方法二：不妨设点 P 在第一象限，设直线 OP : y kx( k 0) ，代入椭圆 E2 : x2 2 y2 8b2 ，
解得 x0
2 2b 1 2k 2 ，则 y0
2 2bk
，
1 2k 2
直线 OP, OA 的斜率之积为
y2
y0 (
………12 分
1) y1
所以 ( x0 ( 1)x1 ) 2 2( y0 ( 1) y1 )2 2b 2
则 x02 2( 1)x0x1 ( 1)2 x12 2y02 4( 1) y0 y1 2( 1) 2 y12 2 2b2
(x02 2 y02) 2( 1)(x0 x1 2y0 y1) ( 1) 2( x12 2 y12 ) 2 2b2
江苏省泰州市2019届高三数学上学期期末考试试卷
2018〜2019学年度第一学期期末考试(满分160分，考试时间120分钟)1参考公式：柱体的体积V= Sh,锥体的体积V= §Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 函数f(x) = sin 2x的最小正周期为 ___________ .22. 已知集合A= {4 , a} , B= { —1, 16}，若A n B M ?，则实数a =_____________ .3. 复数z满足z i = 4+ 3i (i是虚数单位)，则|z| = _________________ .4. 函数y=寸1 —x2 3的定义域是_______ .5. 从1, 2, 3, 4,5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为__________6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是_________ .b 7I h；While /<2 ::T^TX^I hI h;1 ：I hi End While : ■I hi Print T：(第h题)(第9题)a5+ a37. 已知数列｛a n｝满足log 2a n+ 1—log 2a n= 1,则—:—= .a3+ a12 2 28. 若抛物线y = 2px(p>0)的准线与双曲线x —y = 1的一条准线重合，则p= __________________________9. 如图，在直三棱柱ABCABQ中，M为棱AA的中点，记三棱锥AMBC勺体积为M,四V棱锥ABBGC的体积为V2，则二的值是+ PC = 0,贝y 入卩= __________x — 3x + 2a , x 》a ,13. 已知函数f(x) =< 3若存在x ov 0,使得f(x o ) = 0,贝U实数a 的取x + 3x — 4a , x<a ,值范围是 _________14.在厶 ABC 中，已知 sin A s in B s in (C — 0 ) = X sin 2C,其中 tan 0 =舟 0< 0 亏,、解答题：本大题共 6小题，共计90分•解答时应写出文字说明步骤.15. (本小题满分14分)A、已知向量 a = (sin x , 1), b = , cos x ，其中 x € (0 , n ). 幺 /(1) 若a // b ,求x 的值；(2) 若 tan x = — 2，求 | a + b | 的值.1tan A 1tan B2tan C为定值，则实数,证明过程或演算16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD^，底面ABC［为平行四边形，O为对角线BD的中点，E, F分别为棱PC, PD的中点，已知PAL AB, PAL AD.求证:⑴直线PB//平面OEF(2) 平面0EF1平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段0Q上找一处开挖工作坑P(不与点0, Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PQ PA PB,已知n0A= 2千米，/ AQB=—，记/ APQ= 0 rad，地下电缆管线的总长度为y千米.(1) 将y表示成0的函数，并写出0的范围；(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小.18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系2 2x yxOy中，椭圆C: g+亓=1(a>b>0)的左顶点为A, B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线0P交于1点Q已知椭圆C的离心率为2,点A到右准线的距离为 6.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设点Q的横坐标为x o,求x o的取值范围.19. (本小题满分16分)设A, B为函数y= f(x)图象上相异两点，且点A, B的横坐标互为倒数，过点A, B分别作函数y= f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的"优点”.|ln x , 0<x<1,(1) 若函数f(x) = 2 不存在“优点”，求实数a的值；|ax , x>1(2) 求函数f(x) = x2的“优点”的横坐标的取值范围；(3) 求证：函数f(x) = ln x的“优点” 一定落在第一象限.20. (本小题满分16 分)已知首项不为0的数列｛a n｝的前n项和为s n, 2a i+ a2= a3,且对任意的n € N, n》2都有2nS+i —(2n+ 5)Si + S-1 = ra 1.(1) 若a2= 3a i,求r的值；(2) 数列｛a n｝能否是等比数列？说明理由；(3) 当r = 1 时,求证：数列｛a n｝是等差数列．2018〜2019学年度第一学期期末考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答•若多做，则按 作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修42 :矩阵与变换］（本小题满分10分）B.［选修44 :坐标系与参数方程］（本小题满分10分）1 x =2—t ,在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线I 的参数方程为（t 为参数），曲线C［y =1+1x = — 1 + 2cos 0 ,的参数方程为（0为参数）•若直线I 与曲线C 相交于A , B 两点，求线|y = 2s in 0段AB 的长.已知矩阵"=§ _7 2T J的一个特征值为一2,向呆求Mr.C. ［选修45 :不等式选讲］（本小题满分10分）b, c满足3a+ 2b+ c= 1，求-+ 斗 + 幺的最小值.设正数a,a a+b b+c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDACD中，AA = 3, AB= 1.(1) 求异面直线AB与AC所成角的余弦值；(2) 求平面ABC与平面ACD所成二面角的正弦值.23. (本小题满分10分)已知函数f(x) = 1 - |2x - 1| , 0<x< 1，设 f n(x) = f n—1(f 1(x))，其中 f 1(x) = f(x)，方程f n(x) = 0和方程f n(x) = 1根的个数分别为g n(0) , g n(1).(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0) = g n(1) + 1.2018〜2019学年度第一学期期末考试数学参考答案11. n2. ±43. 54. [ — 1 , 1]5. 56. 87. 4 8.2 1 9. -10. 4(—1,+m)11. 2314.请12.—4 13. [—1, 0)16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以 PB// FO.因为PB?平面 OEF FO?平面OEF 所以PB//平面OEF. ⑵连结AC,因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AC 与BD 交于点O, O 为AC 的中点. 因为E 为PC 的中点， 所以 PA// OE.因为 PAI AB PAI AD ABA AD= A, AB, AD?平面 ABCD 所以PA!平面ABCD15. (1)因为 a //b ,所以 sin x cosx =弓，即sin 2 x = 1因为 x € (0 , n ),所以 n x = .4因为ta nsin x⑵x =-—2,cos x所以 sin x =- -2c os x .因为 a + b =3x +2cos x = 2.1x + 2, 1 +cos所以|a + b |+ sin所以0吐平面ABCD. 因为0E?平面OEF 所以平面0E 吐平面ABCD..-n17. (1)因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知 PA = PB,/ AOP=Z BOP=6n又/ APO= n — 0 ,/ OA = 0 —石,因为/ APQ>/ AOP=2』3.答：当工作坑P 与0的距离为寸千米时，地下电缆管线的总长度最小.3由正弦定理，得sin PA________ OA n= sin ( n — 0 )6OP，又 0A= 2,n isin 0—云1所以P A =寸，0P=2sin 0-纟sin 0所以 y = PA + PB+ OP = 2PA^ OP=n 'i2+2sin 0—n 3sisin 0 — cos 0 + 2sin 0sin 0所以0 >-6, / 0A =/ 0Q= *nn —石)所以06， 12 .人x/3sin 0 — cos⑵令f( 0 )=sin 0n 5 n6， 12 ，1— 2cos 0n厂=°，得 0=3，f( 0 )在区间n n I—,n上单调递减，在区间(扌,竽)上单调递增,所以当0 =nn ，即OF =年千米时，f(3 30 )有唯一的极小值，即是最小值，贝U f( 0 )min「c 1 I a =2，依题意，得 2aa + ~C =6,所以 b = ... f a 2 — c 2 = •-』3,2 2所以椭圆C 的方程为x +y =1.4 3因为 f ' (x) = 2x ,2 1所以A, B 两点处的切线方程分别为y = 2tx — t 2, y = -x — ^,22 1 1( 1令 2tx — t = $x —严解得 x = t + - € ( —a, — 1) U (1 ,+s ), 所以"优点”的横坐标取值范围为(一a,— 1) U (1 ,+a ).18. (1) 解得/ =2,c = 1,由(1)知，A( — 2, 0)，设 AB: x = my — 2, m^0, 联立幣=my_22，3x + 4y = 12,6n i — 8 x = 7 ,3m + 4或x =— 2, 12m y= 3m T 42卄 6m — 8 12m即 B(3n i + 4，3论 4y = 0, —8 一 )，贝"P(3m +4，3m +4)， 6m 3m 3m所以 k op = — —, OP y =— -^x因为AB 丄BQ 所以k BQ =— m3所以直线亞的方程为BQ y=—m灶零罗联立3m y =—才x ，3得6m + 4my = — mx^ ~~2 ■-,X o = 28 (3m + 2) 162= 8— 2- € (4 , 8).19. (1)由题意可知，f ' (x) = f1 不妨取 x € (0 , 1)，则 f ' (x)=- x1经验证，a = 符合题意.2ax-恒成立，即1) U (1 , 设 A(t , t 2),1,b -，- In t , t € (0 , 1),1因为 f ‘ (x)=-,x人1令-x + In t — 1 = tx —In解得 x = 20 21^>0, t — t所以h(m)单调递增, 所以 h(m)<h(1) = 0, 加 t 2— 1 即 In t — <0.t + 1 t 2 +1 因为d <0, 所以 y =!•+ In t — 1>o , t —1所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限.20 (1)令 n = 2,得 4$— 9S 2+ S = ra 1, 即 4(a 3+ a 2+ a" — 9(a ? + a" + a 1= ra 1, 化简，得 4a 3— 5a 2 — 4a 1= ra 1. 因为 2a 1 + a 2 = a 3, a 2 = 3a 1, 所以 4X 5a 1 — 5X 3a 1 — 4a 1= ra 1, 解得r = 1.(2)假设数列｛a n ｝是等比数列，公比为q ,则由2a 1+ a 2= a 3得2a 1 + aq = ag 2,且0, 解得q = 2或q =— 1,⑶设 A(t , ln t)所以A , B 两点处的切线方程分别为1y = -x + In t — 1, y = tx — In t — 1,t — 1,所以y =1 • 设 h(m) = In 则 h ' (m)=2ln t + In t 1 t-1m — 1m — m^，m € (0 , 1),2 2(m — 1)门m (ni + 1) 2> ， 1 t 2— 1F —!(In t —币)，由2nS n+1—(2n + 5)S n+ S—1= ra 1,得4S= 2na n+1 —a n —ra i(n >2),所以4S—1 = 2(n —1)a n —a n—1—ra i(n >3)，两式相减，整理得2na n+1 + a n—1= (2n + 3)a n,两边同除以a n—1,可得2n(q 2 —q) = 3q— 1.因为q= 2或一1,所以q2—q z0,所以上式不可能对任意n》3恒成立，故数列｛a n｝不可能是等比数列.⑶r = 1时，令n = 2,整理得一4a1 —5a2+ 4a3= a—又由2a1 + a2 = a3 可知a2= 3a1, a3= 5a1,令n = 3,可得6S—11S3 + S = a1,解得a4= 7a1,由(2)可知4S n = 2na n+1 — a —a'n》2),所以4S-1 = 2(n —1)a n —a n-1 —a1 (n》3),两式相减，整理得2na n+1+ a n—1= (2n + 3)a n(n >3),所以2(n —1)a n+ a n—2= (2n + 1)a n—1(n >4),两式相减，可得2n[(a n+ 1 一a n) 一(a n 一a n—1)] = (a n 一a n—1) 一(a n—1 一a n—2)(n》4).因为(a 4 —a3)—(a 3 —氏)=0,以(a n —a n—1) —(a n—1 —a n—2) = 0(n》4),即a n—a n—1 = a n—1 —a n—2(n》4),又因为a3—a2= a2—a1 = 2a1,所以数列｛a n｝是以a1为首项，2a1为公差的等差数列.—2221. A. 将入=一2代入=入一(x —1)入一(x + 5) = 0，得x = 3, 入一x-1 2所以51— §2 3 2亠T 2''28-所以Ma= A 3L. J[i 6r-5〜B.由题意得曲线 C 的直角坐标方程为（x + 1）2+ y 2 = 4.1 【x =t ，将直线I 的参数方程代入（x + 1）2+ y 2= 4得1 尸2+t-t + 12+ 1+ t 2= 4, 即 4t 2— 4t — 3 = 0, 1 3解得 t 1=— -, t 2= ~,则 AB =*J 2|t i — 12| =迈 —2 — 2 | = 2血 C.因为 3a + 2b + c = 1, 1 1 1 所以 a + a +b +b +c [1 1 1 、 =(2a+ a + b + b + c)•a + a+L +b+^=(一2 + 1 + 1)222. （1）以AB, AD, AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz ,则A （0 , 0, 3) , B(1 , 0, 0) , G(1 , 1 , 3),所以 BA = ( — 1, 0, 3) , AC = (1 , 1, 3),>(2a x1 1 所以 a +a+b +b +ca + b.a + b _■ b + c1的最小值为6 + 4 J 2b + C时，等号成立,2=6+ 4 2,所以 cos 〈 BA I , AC 〉=二V+ 二=心0. 濟 X 0 55 ⑵由题意得 C(1, 1, 0) , D(0, 1 , 0),所以 AB = (1 , 0,— 3) , Ab = (1 , 1,— 3) , AC = (1 , 1, 3) , A D= (0 , 1, 0), 设平面ABC 的一个法向量为 m= (X 1, y 1,乙)，则X 1 — 3Z 1 = 0, 即* X 1 + y 1— 3z 1 = 0,令乙=1,贝U m= (3 , 0, 1).设平面ACD 的一个法向量为n 2= (X 2, y 2, Z 2)，则了X 2 + y 2+ 3Z 2= 0,即y 2= 0,令 Z 2= 1,贝U n 2= ( — 3, 0, 1),n 1 -n 2— 9 + 14所以 cos 〈 n i , n 2〉== — ■—=—",|n 1||n 2| 你X 近 5,3所以平面ABC 与平面ACD 所成二面角的正弦值为 -.523. (1) 当 n = 2 时，f 2(x) = f 1(1 — |2x —1|) = f(1 — |2x — 1|) = 1— |2(1 — |2x —1|)— 1| = 1,所以 2(1 — |2x — 1|) = 1, 1所以 1 — |2x — 1| = °, 1 所以 2x — 1 = ± 2V 3所以x =1或x =-,4 4 所以 g 2(1) = 2. (2)因为 f(0) = f(1) = 0, 所以 f n (0) = f n (1) = 0.因为 f 1(x) = 1 — |2x — 1| € [0 , 1], 当 x € 0, 2 时，f 1(x)单调递增，且 f 1(x) € (0 , 1], 当 x € 2, 1 时，f 1(x)单调递减，且f 1(x) € [0 , 1).下面用数学归纳法证明：方程 f n (x) = 0(x € (0 , 1])、方程f n (x) = 1(x € (0 , 1])、方程m = 0,n 1 = 0,AC • n 2 =0,AD" nf n(X)= 0(X € [0 , 1))、方程f n(X)= 1(x € [0 , 1))的根的个数都相等，且为g n(1).(i )当n= 1 时，方程f i(x) = 0(x € (0 , 1])、方程f i(x) = 1(x € (0 ,1])、方程f i(x) =0(x € [0 , 1))、方程f«x) = 1(x € [0 , 1))的根的个数都相等，且为1, 上述命题成立.(ii)假设n = k 时，方程f k(x) = 0(x € (0 , 1])、方程f k(x) = 1(x € (0 , 1])、方程f k(x)=0(x € [0 , 1))、方程f k(x) = 1(x € [0 , 1))的根的个数都相等，且为g k(1),则当n= k + 1 时，有f k+ 1(x) = f k(f 1(x)).当x € 0, 2 时，f1(x) € (0 , 1]，方程f k+ 1(x) = 0 的根的个数为g k(1).当x € 2, 1时，f1(x) € [0 , 1)，方程f k+ 1(x) = 0的根的个数也为g k(1).所以方程f k+ 1(x) = 0(x € (0 , 1])的根的个数为g k+1(0) = 2g k(1),同理可证：方程f k+ 1(x) = 1(x € (0 , 1])、方程f k+1(x) = 0(x € [0 , 1))、方程f k+ 1(x)=1(x € [0 , 1))的根的个数都相等，且为2g k(1),由(i )( ii)可知，命题成立，又因为 f n(0) = f n(1) = 0,所以g n(0) = g n(1) + 1.V210. 已知函数f(x) = 2x4+ 4x2,若f(a + 3)>f(a —1)，则实数a的取值范围为______________2 211. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C : (x —k) + (y + k —4) = 1上任一点P作圆C2：x2+ y2= 1的一条切线，切点为Q则当线段PQ的长最小时，k= _____________ .12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足云+ P B+ 2P D)= 0,入PA+ P B。
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(附解析)
泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题（参考公式：柱体的体积，椎体的体积）一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1.函数的最小正周期为．【答案】【解析】试题分析：的周期为考点：三角函数周期2.已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.【答案】±4【解析】【分析】根据集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，从而得到，得到结果.【详解】因为A∩B，可知，解得，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目.3.复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目. 4.函数的定义域是__.【答案】［－1,1］【解析】【分析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域.【详解】要使函数有意义，需要满足，解得，所以函数的定义域是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.5.从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.【答案】【解析】【分析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.【详解】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，则取出两个数的和为6的概率为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可.6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.【答案】8【解析】【分析】首先拟执行该程序，最后求得结果.【详解】第一步：；第二步：，推出循环；此时.【点睛】该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解. 7.已知数列｛｝满足＝1，则＝__.【答案】4【解析】【分析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的等比数列，从而求得，得到结果.【详解】由，可得，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8.若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值.【详解】抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，解得，故答案是.【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C 的体积为V2，则的值是__.【答案】【解析】【分析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得和的值，进而求得其比值，得到结果. 【详解】设的面积为，三棱柱的高为，则，，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10.已知函数，若，则实数的取值范围为__.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果. 【详解】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.【点睛】该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.11.在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.【答案】2【解析】【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】如图，因为PQ为切线，所以，由勾股定理，得，要使最小，则需最小，显然当点P为与的交点时，最小，此时，，所以当最小时，就最小，，当时，最小最小，得到最小，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则＝__. 【答案】－【解析】【分析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的的值，从而求得结果.【详解】如下图，因为，所以，即，即，所以，即，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.13.已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.【答案】［－1,0）【解析】【分析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在处有交点，结合函数的图象，从而得到最后的结果，求得参数的取值范围.【详解】当时，如果，，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；当时，如果，，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，，，切点为，代入，得，所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；如果且时，，相当于函数在处有交点，即处有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；综上，可知：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.14.在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.【答案】【解析】【分析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】由，得：，由，得：，即，（k为定值），即，即恒成立，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.二、解答题（90分）15.已知向量，，其中。
泰州市2019学年度第一学期期末联考高三数学试题
泰州市2019学年度第一学期期末联考(考试时间：120分钟+30分钟 总分160分+40分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．A ．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上。
）1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B =，则a 的值为______▲_______．2．若函数2sin()4y a ax π=+的最小正周期为π，则正实数a =______▲_______．3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(3)(2)2f f +-=，则(2)(3)f f -=______▲_______．4．3sin 5α=，3cos 5β=，其中(0,)2παβ∈、，则αβ+=______▲_______． 5．已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C 的焦点坐标是______▲_______．6．右边的流程图最后输出的n 的值 是______▲_______．7．已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，若)3()2(f f <，则实数a 的取值范围是____▲______．8．若数列{}n a是各项均为正数的等比数列，则当n b={}n b 也是等比数列；类比上述性质，若数列{}n c 是等差数列，则当n d =______▲_______时，数列{}n d 也是等差数列． 9．i 是虚数单位，若32()4a bii a b R i+=+∈-、，则a b +的值是______▲_______． 10．通项公式为2n a an n =+的数列{}n a ，若满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数a 的取值范围是______▲_______．11．正三棱锥S ABC -中，2BC =，SB =D E 、分别是棱SA SB 、上的点，Q 为边AB 的中点，SQ CDE ⊥平面，则三角形CDE 的面积为______▲_______．12．点(,)a b 在两直线1-=x y 和3-=x y 之间的带状区域内（含边界），则(,)f a b =22244a ab b a b -++-的最小值为______▲_______．13．等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-时，AMMB=______▲_______． 14．已知实数x s t 、、满足：89x t s +=，且x s >-，则2()1x s t x st x t+++++的最小值为______▲_______．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在底面为菱形的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，G 为DF 的中点；AB CDC 1D 1G（1）求证：EF ⊥平面11B BDD ； （2）求证：EG ∥平面11AA D D ．16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的对边长分别为a b c 、、； （1）设向量)sin ,(sin C B =，向量)cos ,(cos C B =， 向量)cos ,(cos C B z -=，若)//(y x z +，求tan tan B C +的值；（2）已知228a c b -=，且sin cos 3cos sin 0A C A C +=，求b ．17．（本小题满分14分）甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：()2sin ,[0,12]f t t t =+∈，乙水池蓄水量（百吨）与时间t （小时）的关系是：]12,0[,65)(∈--=t t t g ．问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？（参考数据：sin 60.279≈-）．18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、分别为其左、右顶点，点12F F 、分别为其左、右焦点，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；若直线:l y x =被圆A 和圆B； （1）求椭圆C 的离心率；（2）己知a =7，问是否存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；若存在，请求出所有的P 点坐标；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足：91a =-，134a =，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数m p 、使得：11m m m p m m m p a a a a a a +++++++=，请找出所有的有序数对(,)m p ，并证明你的结论．20．（本小题满分16分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）记函数()[()1][()1]H x f x g x =-⋅-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．B ．附加题部分三、附加题部分（本大题共6小题，其中第21～24题为选做题，请考生在第21～24题中任选2个小题作答，如果多做，则按所选做的前两题记分;第25和第26题为必做题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 21．（本小题为选做题．．．，满分10分） 如图，点,M N 分别是正ABC ∆的边,AB AC 的中点，直线MN 与ABC ∆的外接圆的一个交点为P ．设正ABC ∆（1）求线段AB 的长； （2）求线段PM 的长．22．（本小题为选做题．．．，满分10分）{(,),,A x y x y m ααα===+为参数}，{(,)3,3,B x y x t y t t ==+=-为参数}，且A B ≠∅，求实数m 的取值范围．23．（本小题为选做题．．．，满分10分） 已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A B C D ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．APMNBC（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标．24．（本小题为选做题．．．，满分10分） 已知,,a b c R ∈，证明不等式： （1）66622218227a b c a b c ++≥； （2）22249236a b c ab ac bc ++≥++．25．（本小题为必做题．．．，满分10分） 已知边长为6的正方体1111ABCD A BC D -，,E F 为ADCD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点.（1）求1A H 与平面EFH 所成角的余弦值； （2）设点P 在线段GH 上，且GPGHλ=，试确定λ的值，使得1C P 的长度最短．26．（本小题为必做题．．．，满分10分） 设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭.FE EG 1B 1A C DAB1C 1D PH（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求4i i a =∑；（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．泰州市2019学年度第一学期期末联考高三数学试题参考答案A ．必做题部分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．0 2．2 3．2- 4．2π5．(2,0)± 6．9 7．),1(+∞ 8．12nc c c n++⋅⋅⋅+ 9． 1910．11(,)917--1112．5 13．3 14．6二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在111A B C ∆中，因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点，所以11//EF AC ， 因为底面1111A B C D 为菱形，所以1111AC B D ⊥，所以11EF B D ⊥，（3分）因为直四棱柱1111ABCD A BC D -，所以11111DD A B C D ⊥平面，又因为1111EF A BC D ⊂平面，所以1DD EF ⊥； 又1111B D DD D =，所以EF ⊥平面11B BDD ．（7分） （2）延长FE 交11D A 的延长线于点H ，连接DH ， 因为E F 、分别为11A B 、11B C 的中点， 所以11EFB EHA ∆≅∆，所以HE EF =， 在FDH ∆中，因为G F 、分别为DF 、HF 的中点， 所以//GE DH ， （10分）又DA D A GE 11平面⊄，DA D A DH 11平面⊂， 故EG ∥平面11AA D D ．（14分）16． （本小题满分14分）CABA 1B 1C 1D 1EGFH D解：（1）)cos sin ,cos (sin C C B B ++=+，由)//(+，得cos (sin cos )cos (sin cos )0C B B B C C +++=， （4分）即sin cos cos sin 2cos cos B C B C B C +=-所以sin sin sin cos cos sin tan tan 2cos cos cos cos B C B C B CB C B C B C++=+==-； （7分） （2）由已知可得，sin cos 3cos sin A C A C =-，则由正弦定理及余弦定理有：222222322a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=-⋅，（10分）化简并整理得：2222a c b -=，又由已知228a c b -=，所以228b b =， 解得40()b b ==或舍，所以4b =．（14分）17．（本小题满分14分）解：设甲、乙两水池蓄水量之和为()()()H t f t g t =+，（1分） 当[0,6]t ∈时，()()()2sin 5(6)sin 1H t f t g t t t t t =+=++--=++，（3分）'()cos 10H t t =+≥，所以()H t 在[0,6]t ∈上单调递增，所以max [()](6)7sin6H t H ==+；（7分）当]12,6(∈t 时，()()()2sin 5(6)sin 13H t f t g t t t t t =+=++--=-+， （9分）'()cos 10H t t =-≤，所以()H t 在]12,6(∈t 上单调递减，所以6sin 7)(+<t H ；（13分）故当t =6h 时，甲、乙两水池蓄水量之和()H t 达到最大值， 最大值为7+sin6百吨．（14分）（注：取最大值为6.721也算对）18．（本小题满分16分） 解：（1）由l k =l 的倾斜角为150︒， 则点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=， 故直线l 被圆A截得的弦长为1L =， 直线l 被圆B截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒，（3分）据题意有：126L L ==（5分）化简得：2163270e e -+=，解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈； 故椭圆C 的离心率为14e =．（7分）（2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ； 当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截； 故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-，则点)0,7(-A 到直线L 的距离2117knkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421， 故直线L 被圆A截得的弦长为1'L = （9分）则点)0,7(B 到直线L 的距离2217kn km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =，（11分）据题意有：1234L L =，即有22221216()9()A B r D r D -=-，整理得1243D D =， 即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，（13分）关于k 的方程有无穷多解，故有：⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n m n n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）．（16分）（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标同样得分） 19． （本小题满分16分）解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由421)31(21121213=+-+-==d d a a a 可得21q d =⎧⎨=⎩或659q d =⎧⎪⎨=⎪⎩，（3分）又数列{}n a 各项均为整数，故21q d =⎧⎨=⎩；所以1110,122,13n n n n a n N n *--≤⎧=∈⎨≥⎩； （6分）（2）数列{}n a 为：9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,4,8,16,---------当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为负数时，显然10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+<，所以10m m m p a a a ++⋅⋅⋅<，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以8p ≤，2p =时，经验算只有(3)(2)(1)(3)(2)(1)-+-+-=-⋅-⋅-符合，此时7m =； 4,6,8p =时，经验算没有一个符合；故当1,,,m m m p a a a ++均为负数时，存在有序数对(7,2)符合要求．（8分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，11m m N *≥∈且，1110111222m m m p m m m p a a a --+-++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+111112(122)2(21)m p m p --+=++⋅⋅⋅+=- (1)11101111121121222(2)2(2)2p p m m m p m ppm pm m m p a a a +--+--++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅因为121p +-是比1大的奇数，所以1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+能被某个大于1的奇数（121p +-）整除，而(1)112(2)2p p m p+-⋅不存在大于1的奇约数，故1m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+1m m m p a a a ++≠；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅均为正数时，不存在符合要求有序数对；（11分）当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数，即1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中含有0时， 有10m m m p a a a ++⋅⋅⋅=，所以10m m m p a a a ++++⋅⋅⋅+=，（方法一）设负数项有(9)k k N k *∈≤,且，正数项有()l l N *∈， 则1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅应是1,(1),(2),,2,1,0,1,2,,2l k k k ------⋅⋅⋅--，故有(1)212l k k +=-；经验算： 1k =时，1l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为1,0,1-，9,2m p ==； 2k =时，2l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为2,1,0,1,2--，8,4m p ==；5k =时，4l =，此时1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅为5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，5,9m p ==；3,4,6,7,8,9k =时，均不存在符合要求的正整数l ；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；（方法二）因为负数项只有九项，我们按负数项分类： 含1个负数项时，1,0,1-，符合，此时9,2m p ==； 含2个负数项时，2,1,0,1,2--，符合，此时8,4m p ==； 含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时， 5,4,32,1,0,1,2,4,8-----，符合，此时5,9m p ==； 含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当1,,,m m m p a a a ++⋅⋅⋅中既有正数又有负数时，存在三组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)符合要求；综上，存在四组有序数对(9,2)，(8,4)，(5,9)，(7,2)符合要求． （16分）（注：只找出有序数对无说明过程，一个有序数对只给1分）20．（本小题满分16分）解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323a aa -=⇒=；综上：3a =或1a =-． （4分）（2）假设存在，即存在(1,)3ax ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<， 则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（6分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>； 2当1123a a --≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >．（9分）（3）据题意有()10f x -=有3个不同的实根， ()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（ⅰ）()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1()1132a g a a ->⇒><-或；（ⅱ）()10f x -=有3个不同的实根，1当3aa >即0a <时，()f x 在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3aa =即0a =时，不符合题意，舍；3当3a a <即0a >时，()f x 在3ax =处取得极大值，()13a f a >⇒>a >因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故2a >；（注：343>a 也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立； 若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000(1)x x a x a x a -=-+-+（）， 得20000(1)0x a x ax x --++=（），当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当0x a ≠时，既有200010x ax x -++= ①； 又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+= ②；联立①②式，可得0a =；而当0a =时，32()[()1][()1](1)(1)0H x f x g x x x x =-⋅-=----=没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >()y H x =有5个不同的零点．（16分）B ．附加题部分三、附加题部分：21．（选做题）（本小题满分10分） 解：（1）设边长为x ，由正弦定理知sin 60x2x ⇒=； （5分）（2）延长PN 交圆于P '，设PM x =，可得(1)1x x x ⋅+=⇒=. （10分）22．（选做题）（本小题满分10分）解：22{(,)()2}A x y x y m =+-=,{(,)6}B x y x y =+=，（5分）[4,8]m ≤∈．（10分）23．（选做题）（本小题满分10分）解：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111,3311d c b a d c b a ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+--=+=+1133d c b a d c b a 解得1,2,2,1-=-===d c b a ，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦． （5分）（2）由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--33111221知，)3,3('-C ， 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131323231知，)1,1(-D ． （10分）24．（选做题）（本小题满分10分）证明：（1）由均值不等式可得6662221822733a b ca b c ++≥=， 即66622218227a b c a b c ++≥，故所证成立．（5分）（2）因为 2244a b ab +≥ ①，224912b c bc +≥ ②，2296a c ac +≥ ③①②③式两边相加，得 22228184612a b c ab ac bc ++≥++ 即22249236a b c ab ac bc ++≥++，故所证成立． （10分）25．（必做题）（本小题满分10分）解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,H （1）设(1,,)n x y =，(2,2,0)EF =-,(4,6,EH =则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n =；1A H =111cos ,927n A H n A H n A H⋅=== 设1A H 与平面EFH 所成角为θ，则cos 9θ=． （5分） （2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)GH =-,设(5,5,2)GP GH λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，()()2222215155(26)546458C P λλλλλ=++-+-=-+，当1627λ=时，1C P 的长度取得最小值． （10分） 26．（必做题）（本小题满分10分）解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2分） （2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y=++++=+，3334322a C m m ==⇒=， 4402(1)811ii a==+=∑； （5分）（3）由(,1)(,)nf n m f n t =可得2(1)(1)()nnn nm m m m m t t+=+=+，即 21m m m m t +=+⇒=⇒201020101(1(1)1000f ==+．2341234201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---tt m t f ，所以原不等式成立． （10分）。
泰州市2019届高三数学上学期期末考试试卷
2018～2019学年度第一学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t(t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ， 所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t ≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t 2－1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1， 即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1， 化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1， 所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1， 解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1， 得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1， 所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立， 故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2， 整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1， 令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1， 解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)， 所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)， 所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)， 即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)， 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0， 解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1， 所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0， 所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立， 又因为f n (0)＝f n (1)＝0， 所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学I试题(精品解析含答案)
泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题 2019.1一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上． 1、函数()sin 2f x x =的最小正周期为 答案：π考点：正弦函数的图象及其性质。
解析：T ＝22ππ= 2、已知集合A ＝｛4，2a ｝，B ＝｛－1，16｝，若A ∩B ≠∅，则a ＝ 答案：±4考点：集合的运算。
解析：A ∩B ≠∅，所以，2a ＝16，a ＝±43、复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝ 答案：5考点：复数的运算，复数的模。
解析：4334iz i i+==-，｜z ｜＝5 4、函数21y x =-的定义域是 答案：［－1,1］考点：函数的定义域，二次根式的意义，一元二次不等式。
解析：210x -≥，即210x -≤，解得：11x -≤≤，所以，定义域为［－1,1］。
5、从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为 答案：15考点：古典概型。
解析：从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，所以可能为：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45，共10种，两个数和为6的有：15、24，共2种， 所以，所求概率为：P ＝21105=。
6、一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是答案：8考点：算法初步。
解析：第1步：T ＝2，i ＝2；第2步：T ＝8，i ＝3，退出循环，此时T ＝8。
7、已知数列｛n a ｝满足212log log n n a a +-＝1，则5331a a a a ++＝答案：4考点：对数运算，等比数列的概念及其通项公式的运算。
解析：212log log n n a a +-＝12log n n a a +＝1，所以，12n naa +=， 即数列｛n a ｝是以2为公比的等比数列，5331a a a a ++学科网＝2223131a q a q q a a +=+＝48、若抛物线22(0)y px p =>的准线与双曲线22x y -＝1的一条准线重合，则p ＝ 答案：2考点：抛物线与双曲线的性质。
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题
泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题 2019.1（参考公式：柱体的体积V Sh =，椎体的体积13V Sh =） 一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1、函数()sin 2f x x =的最小正周期为2、已知集合A ＝｛4，2a ｝，B ＝｛－1，16｝，若A ∩B ≠∅，则a ＝3、复数z 满足43zi i =+（i 是虚数单位），则｜z ｜＝4、函数21y x =-的定义域是5、从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为6、一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是7、已知数列｛n a ｝满足212log log n n a a +-＝1，则5331a a a a ++＝ 8、若抛物线22(0)y px p =>的准线与双曲线22x y -＝1的一条准线重合，则p ＝9、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1－MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1－BB 1C 1C 的体积为V 2，则12V V 的值是10、已知函数42()24f x x x =+，若(3)(1)f a f a +>-，则实数a 的取值范围为11、在平面直角坐标系xoy 中，过圆C 1：22()(4)x k y k -++-＝1上任一点P 作圆C 2：22x y +＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k ＝12、已知点P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足20PA PB PD ++=，0PA PB PC λμ++=，则λμ＝13、已知函数3332,()34,x x a x a f x x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，若存在0x ＜0，使得0()f x ＝0，则实数a 的取值范围是14、在△ABC 中，已知2sin sin sin()sin A B C C θλ-=，其中1tan (0)22πθθ=<<， 若112tan tan tan A B C++为定值，则实数λ＝三、解答题（90分）15、（本题满分 14分）已知向量(sin ,1)a x =，1(,cos )2b x =，其中(0,)x π∈。
江苏省南通泰州市 2019 -2020 学年度第一学期期末考试试卷高 三 数 学
8.
已知函数
f
(x)
=
sin
( ω
x
−
π
) (ω
> 0)，若当 x =
π
时，函数
f (x) 取得最大值，则 ω
的最小值为
.
3
6
9. 已知函数 f (x) = (m − 2)x2 + (m − 8)x(m ∈ R) 是奇函数，若对于任意的 x ∈ R，关于 x 的不等式 f (x2 + 1) < f (a)
E(单位: 焦耳) 与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 + 1.5M.2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震, 它释
放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的
倍.
12.
已知
△ABC
的面积为
3， CD
=
2D# A»，则
如图，在三棱锥 P − ABC 中，PA⊥ 平面 ABC，PC⊥AB，D, E 为 BC, AC 的
P
中点.
(1) AB 平面 PDE；
(2) 平面 PAB⊥ 平面 PAC.
A
E
C
D B
2020 届高考研究系列试卷 第 1 页 (共 4 页)
16. (本小题满分 14 分)
在 △ABC 中，已知 AC = 4，BC = 3，cos B = − 1 . 4
绝密 ⋆ 启用前
江苏省南通、泰州市 2019 ∼ 2020 学年度第一学期期末考试试卷
高三数学
一. 填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分)
1. 已知集合 A = {−1, 0, 2}，B = {−1, 1, 2}，则 A ∩ B =
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(PDF版)
参考答案1、π2、±43、54、［－1,1］5、156、87、48、29、1410、a >-111、212、－3413、［－1,0）14、51015、解：（1）因为a b ，所以，sinxcosx ＝12，即sin2x=1，因为(0,)x π∈，所以，4x π=；（2）因为tanx ＝sin cos x x ＝－2，所以，sinx ＝－2cosx ，1(sin ,1cos )2a b x x +=++ ，221||(sin )(1cos )2a b x x +=+++ ＝9sin 2cos 4x x ++＝3216、（1）O 为PB 中点，F 为PD 中点，所以，PB ∥FO而PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ，∴PB ∥平面OEF 。
（2）连结AC ，因为ABCD 为平行四边形，∴AC 与BD 交于点O，O 为AC 中点，又E 为PC 中点，∴PA∥OE，因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD又OE ⊂平面OEF ，∴平面OEF⊥平面ABCD17、（1）因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝6π，又∠APO＝πθ-，∠OAP＝6πθ-，由正弦定理，得：sin()sin sin()66PA OA OP πππθθ==--，又OA＝2，所以，PA＝1sin θ，OP＝2sin()6sin πθθ-，所以，y ＝PA+PB+OP ＝2PA+OP ＝22sin()6sin πθθ+-＝3sin cos 2sin θθθ-+，∠APQ＞∠AOP，所以，6πθ>，∠OAQ＝∠OQA＝15()2612πππ-=，所以，5(,)612ππθ∈；（2）令3sin cos 2()sin f θθθθ-+=，5(,)612ππθ∈212cos '()0sin f θθθ-==，得：3πθ=，()f θ在(,)63ππθ∈上递减，在5(,)312ππ上递增所以，当3πθ=，即OP＝233时，()f θ有唯一的极小值，即是最小值：min ()f θ＝23，答：当工作坑P 与O 的距离为233时，地下电缆管线的总长度最小。
江苏省泰州市2019届高三数学上学期期末考试试卷(含答案)
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________． 3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________． 4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB→＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π3，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，0<x<1，ax 2， x>1不存在“优点”，求实数a 的值；(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.(1) 若a2＝3a1，求r的值；(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．2018～2019学年度第一学期期末考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t (t 为参数)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．23. (本小题满分10分)已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为g n(0)，g n(1)．(1) 求g2(1)的值；(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.2018～2019学年度第一学期期末考试数学参考答案1. π2. ±43. 54. [－1，1]5. 15 6. 87. 4 8. 2 9. 14 10. (－1，＋∞) 11. 212. －34 13. [－1，0) 14. 51015. (1) 因为a∥b ，所以sin x cos x ＝12，即sin 2x ＝1.因为x ∈(0，π)，所以x ＝π4. (2) 因为tan x ＝sin xcos x ＝－2，所以sin x ＝－2cos x .因为a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋（1＋cos x ）2＝94＋sin x ＋2cos x ＝32.16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB∥FO.因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB∥平面OEF.(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA∥OE.因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA⊥平面ABCD ，所以OE⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ， 所以平面OEF⊥平面ABCD.17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP＝∠BOP＝π6，又∠A PO ＝π－θ，∠OAP＝θ－π6，由正弦定理，得PA sinπ6＝OAsin （π－θ）＝OPsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ，所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，因为∠APQ＞∠AOP，所以θ>π6，∠OAQ＝∠OQA＝12(π－π6)＝5π12，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12. (2) 令f(θ)＝3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12)上单调递增，所以当θ＝π3，即OP ＝233千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2 3.答：当工作坑P 与O 的距离为233千米时，地下电缆管线的总长度最小．18. (1) 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1.(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m≠0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m3m 2＋4)，所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4x.因为AB⊥BQ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2＋4∈(4，8)．19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 恒成立，即a ＝12， 经验证，a ＝12符合题意．(2) 设A(t ，t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，1t 2(t≠0且t≠±1)，因为f′(x)＝2x ，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2，令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，－ln t ，t∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x，所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1，令1t x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln tt －1t>0，所以y ＝1t ·2ln t t －1t ＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1，m∈(0，1)，则h′(m)＝（m 2－1）2m （m 2＋1）2>0，所以h(m)单调递增， 所以h(m)<h(1)＝0， 即ln t －t 2－1t 2＋1<0.因为t 2＋1t －1<0，所以y ＝1t ·2ln tt －1t＋ln t －1>0，所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1， 即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1， 化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1. 因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1， 所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1， 解得r ＝1.(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1， 得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n≥2)，所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1. 因为q ＝2或－1， 所以q 2－q≠0，所以上式不可能对任意n≥3恒成立， 故数列{a n }不可能是等比数列． (3) r ＝1时，令n ＝2， 整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1， 令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1， 解得a 4＝7a 1，由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n≥2)， 所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n≥3)， 所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n≥4)，两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n≥4)， 即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n≥4)， 又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－t ，y ＝12＋t代入(x ＋1)2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋t 2＝4，即4t 2－4t －3＝0， 解得t 1＝－12，t 2＝32，则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32＝2 2.C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c)2＝(2＋1＋1)2＝6＋42，当且仅当1a2a＝1a ＋ba ＋b ＝1b ＋cb ＋c时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c的最小值为6＋4 2.22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11＝411055.(2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10＝－45，所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35.23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1，所以2(1－|2x －1|)＝1， 所以1－|2x －1|＝12，所以2x －1＝±12，所以x ＝14或x ＝34，所以g 2(1)＝2.(2) 因为f(0)＝f(1)＝0， 所以f n (0)＝f n (1)＝0.因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]， 当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f 1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x∈[0，1))、方程f k (x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)．当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)，同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立， 又因为f n (0)＝f n (1)＝0， 所以g n (0)＝g n (1)＋1.。
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案
2018～2019学年度第一学期期末考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________． 8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB∥平面OEF；(2) 平面OEF⊥平面ABCD.。
江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝13Sh 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3a 3＋a 1＝________． 8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________．9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________． 10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →＋PC →＝0，则λμ＝________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A＋1tan B ＋2tan C为定值，则实数λ＝________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．16. (本小题满分14分)。
江苏省泰州市泰兴第五高级中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析
江苏省泰州市泰兴第五高级中学2019年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和（） A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C略2. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出S的值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】运行程序进行计算，退出循环后计算出输出的的值.【详解】输入，，判断是，，判断是，，判断是，……，依次类推，，判断否，输出.故选B.【点睛】本小题主要考查程序框图计算输出结果，考查裂项求和法，属于基础题.3. 已知双曲线（）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．3 B．2 C． D．参考答案：D4. 已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：A略5. 如图1所示，长方体中，AB=AD=1,AA1=面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（）图1A．B．C．D．2参考答案：A6. 命题“三角形ABC中，若cosA<0，则三角形ABC为钝角三角形”的逆否命题是A．三角形ABC中，若三角形ABC为钝角三角形，则cosA<0B．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA≥0C．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角三角形，则cosA <OD．三角形ABC中，若三角形ABC为锐角或直角三角形，则cosA≥O参考答案：D命题“三角形中，若，则三角形为钝角三角形”的逆否命题是“三角形中，若三角形为锐角或直角三角形，则”.7. 某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+6参考答案：B考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．8. 已知函数的图象如图所示，则等于( )A． B． C． D．参考答案：C9. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为A.25B.50C.100D.不存在参考答案：A10. 当x∈[1，2]，函数y=x2与y=a x（a＞0）的图象有交点，则a的取值范围是（）A．[，2] B．[，] C．[，2] D．[，]参考答案：B考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象，结合图象写出a的取值范围即可．解答：解：作函数y=x2与y=a x（a＞0）在[1，2]上的图象如下，结合图象可得，a的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题考查了函数的图象的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. ，若关于的方程有解，则的范围_______________.参考答案：【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】m≥∵max{a，b}=，∴f（x）=max{|x+1|，|x-2|}的图象如下图所示：由图可得f（x）的最小值为，若关于x的方程f（x）=m有解，则m≥，故答案为：m≥【思路点拨】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x-2|哪一个更大，先画出f（x）的图象，据此函数的图象得到f（x）min=f（）= ，然后根据图象交点的情况即可求出实数m的取值范围．12. 已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是___________．参考答案：(－∞,]当时,最大值是;当时,最大值为当时,,舍去综上a的取值范围是(－∞, ]13. 已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的回归方程为，则m= ．参考答案：3.1由题意得，代入到线性回归方程，得.∴∴故答案为3.1.14. （5分）已知集合A={x|0＜x＜}，则A∩Z=．参考答案：{1，2}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合A与整数集的交集即可．解：∵A={x|0＜x＜}，∴A∩Z={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．15. 已知函数的图象在处的切线斜率为－4，则a=______．参考答案：4【分析】先对函数f（x）求导，再根据图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【详解】由函数得，∵函数f（x）的图象在（0，f（0））处切线的斜率为﹣4，，.故答案为：4【点睛】本题考查了根据曲线上在某点切线方程的斜率求参数的问题，属于基础题．16. 求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°=参考答案：2略17. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是_____________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年江苏省泰州市第四高级中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019年江苏省泰州市第四高级中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－x2）}，则M N为（）A. (1.2)B. (1，＋)C. [2. ＋)D.［＋)参考答案：A2. 执行如图所示的程序框图，则输出的i的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的i值．【解答】解：模拟执行程序的运行过程，如下；S=1，i=1，S＜30；S=2，i=2，S＜30；S=4，i=3，S＜30；S=8，i=4，S＜30；S=16，i=5，S＜30；S=32，i=6，S≥30；终止循环，输出i=6．故选：B【点评】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．3. 函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．4. 已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系求得A的坐标，设B（m，n），运用向量的坐标关系，结合B在渐近线上，可得a，c的关系，再由a=1，即可得到c，b，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F（c，0），圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入圆的方程，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，则x=0或x=，当x=，y═?=，即A（，），设B（m，n），则n=﹣?m，则=（﹣m，﹣n），=（c﹣，﹣），∵，∴（﹣m，﹣n）=（c﹣，﹣），则﹣m=2（c﹣），﹣n=2?（﹣），即m=﹣2c，n=，即=﹣?（﹣2c）=﹣+，即=，则c2=3a2，由双曲线可得a=1，c=，b=n==．则双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．5. 设变量x，y满足约束条件，目标函数的最小值为－4，则a的值是A．1 B．0 C．－1 D．参考答案：C6. 已知集合，，则是（）A． B． C． D．参考答案：D略7. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的解析式为A． B．C． D.参考答案：A略8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．9. 设全集，集合，则集合=（）A. B.C. D.参考答案：C略10. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的（）A．4.5 B．5 C. 6 D．6.5参考答案：D本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力..输出.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的外接圆圆心为，半径为1，（），且，则的面积的最大值为参考答案：12. 现有张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各张．从中任取张，要求这张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多张．不同取法的种数为．参考答案：472考点：排列组合.13. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．参考答案：因为到点的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为抛物线，其中焦点为，即，所以轨迹方程为。
2019年江苏省泰州市兴化中学高三数学文上学期期末试卷含解析
2019年江苏省泰州市兴化中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知则等于（A）7 （B）（C）（D）参考答案：B2. 如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则( )A．B．C．D．参考答案：C3. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是A．B．C．D．参考答案：B略4. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B．C．23 D．24参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．【思路点睛】根据三视图作出几何体的直观图，该几何体为四棱锥和三棱锥组合体，由三视图可知平面，平面，四边形是边长为的正方形，，再利用椎体体积公式求得两个椎体的体积之和即可．本题考查了空间几何体的三视图和体积计算，分析几何体的组成是关键，属于中档题．5. 等差数列中，，若数列的前项和为，则的值为（）A、14B、15C、16 D、18参考答案：C6. 函数的反函数是（）A． B．C． D．参考答案：D7. 设i是虚数单位，z=（3-i）（1+i），则复数z在复平面内对应地点位于第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四参考答案：A因为z=（3-i）（1+i）=4+2i, 所以z在复平面内对应点（4,2）位于第一象限8. 如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个截面截去正方体ABCD－A1B1C1D1的两个角后得到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（）参考答案：A9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，即可求出体积【解答】解：该几何体为正八面体，即两个全等的正四棱锥，棱长为1，棱锥的高为，所以，其体积为：2×（1×1）×=，故选：A10. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，，若f (x)≥x+a“对于任意x∈R恒成立，则常数a的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a= ．参考答案：【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12. 若方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是________________．参考答案：略13. 若,且，则参考答案：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及考查转化的思想．难度较小．∵cosα＝－，且α∈(π,)，∴sinα＝－－，∴tanα＝＝．14. 设函数，则不等式f（x）≤2的解集为．参考答案：[0，+∞）略15. 命题对，都有，则是____________________.参考答案：16. 已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x）的表达式为．参考答案：略17. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(1.5)＝________.参考答案：2.5三、解答题：本大题共5小题，共72分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泰州市2019届高三上学期期末考试数学试题2019.1（参考公式：柱体的体积，椎体的体积）一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1.函数的最小正周期为．【答案】【解析】试题分析：的周期为考点：三角函数周期2.已知集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，则＝__.【答案】±4【解析】【分析】根据集合A＝｛4，｝，B＝｛－1，16｝，若A∩B，从而得到，得到结果.【详解】因为A∩B，可知，解得，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合元素的特征，注意交集非空的条件，得到参数所满足的关系，属于简单题目.3.复数z满足（i是虚数单位），则｜z｜＝__.【答案】5【解析】【分析】首先根据复数的运算法则，得到，之后利用复数模的公式求得结果.【详解】因为，所以，所以，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，属于简单题目. 4.函数的定义域是__.【答案】［－1,1］【解析】【分析】令被开方式大于等于零，解不等式求出函数的定义域.【详解】要使函数有意义，需要满足，解得，所以函数的定义域是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.5.从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为___.【答案】【解析】【分析】根据题意，列举从5个数中一次随机取两个数的情况，可得其情况数目与取出两个数的和为6的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案.【详解】根据题意，从5个数中一次随机取两个数，其情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5），共10种情况，其中这两个数的和为6的有：（1,5），（2,4），共2种，则取出两个数的和为6的概率为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关古典概型的概率求解问题，在解题的过程中，注意该类问题的求解步骤，首先需要将所有的基本事件写出，之后找出满足条件的基本事件，最后应用概率公式求解即可.6.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是__.【答案】8【解析】【分析】首先拟执行该程序，最后求得结果.【详解】第一步：；第二步：，推出循环；此时.【点睛】该题考查的是有关程序运行后对应的输出值的问题，在解题的过程中，注意对语句的正确理解.7.已知数列｛｝满足＝1，则＝__.【答案】4【解析】【分析】首先根据对数的运算法则，可求得，从而可以断定数列是以2为公比的等比数列，从而求得，得到结果.【详解】由，可得，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，所以，故答案是：4.【点睛】该题考查的是有关等比数列的性质的问题，涉及到的知识点有对数的运算性质，等比数列的定义和性质，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.8.若抛物线的准线与双曲线＝1的一条准线重合，则p＝__.【答案】【解析】【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值.【详解】抛物线的准线为：，双曲线的左准线为：，由题意可知，解得，故答案是.【点睛】该题所考查的是有关抛物线与双曲线的几何性质的问题，属于简单题目.9.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M为棱AA1的中点，记三棱锥A1－MBC的体积为V1，四棱锥A1－BB1C1C 的体积为V2，则的值是__.【答案】【解析】【分析】首先设出该棱柱的底面积和高，之后根据椎体的体积公式求得和的值，进而求得其比值，得到结果. 【详解】设的面积为，三棱柱的高为，则，，所以，故答案是.【点睛】该题考查的是有关椎体的体积的问题，熟记公式是正确解题的关键.10.已知函数，若，则实数的取值范围为__.【答案】【解析】【分析】首先根据题中所给的函数解析式，确定出函数是偶函数，再利用导数得出其在当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，利用函数值的大小，得出自变量所满足的条件，最后求得结果. 【详解】函数为偶函数，因为，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，由得，即，解得故答案是：.【点睛】该题考查的是根据函数值的大小求解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有偶函数的特征，利用导数研究函数的单调性，根据图象，结合函数值的大小，确定自变量的大小的问题，属于中档题目.11.在平面直角坐标系xoy中，过圆C1：＝1上任一点P作圆C2：＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝__.【答案】2【解析】【分析】首先画出相应的图形，根据切线的性质，得到对应的垂直关系，利用勾股定理得到线段之间的关系，从而将问题转化，再应用圆上的点到定点的距离的最小值在什么位置取得，从而求得结果.【详解】如图，因为PQ为切线，所以，由勾股定理，得，要使最小，则需最小，显然当点P为与的交点时，最小，此时，，所以当最小时，就最小，，当时，最小最小，得到最小，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的位置关系，切线长的求法，勾股定理，两点间距离公式，二次函数的最值，以及数形结合的思想.12.已知点P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足，，则＝__.【答案】－【解析】【分析】首先利用向量的运算法则，将向量进行代换，最后求得对应的的值，从而求得结果.【详解】如下图，因为，所以，即，即，所以，即，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的问题，涉及到的知识点有平面向量的运算法则，属于简单题目.13.已知函数，若存在＜0，使得＝0，则实数的取值范围是__.【答案】［－1,0）【解析】【分析】首先将函数值等于零，转化为两曲线在在处有交点，结合函数的图象，从而得到最后的结果，求得参数的取值范围.【详解】当时，如果，，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；当时，如果，，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，，，切点为，代入，得，所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；如果且时，，相当于函数在处有交点，即处有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；综上，可知：.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点的范围求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意分段函数要分段来处理，再者就是要熟练应用数形结合.14.在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.【答案】【解析】【分析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.【详解】由，得：，由，得：，即，（k为定值），即，即恒成立，所以，，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.二、解答题（90分）15.已知向量，，其中。
（1）若，求x的值；（2）若，求｜｜的值。
【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量共线的条件，可得结论；（2）利用同角三角函数关系式，结合题中所给的正切值，得到，再利用向量的模的公式，结合所求得的结论，得到结果.【详解】（1）因为，所以，，即，因为，所以，；（2）因为＝＝－2，所以，，，＝＝【点睛】该题考查的是向量的有关问题，涉及到的知识点有两向量共线坐标所满足的条件，正弦倍角公式，已知三角函数值求角，向量的模，属于简单题目.16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD。
（1）求证：直线PB∥平面OEF；（2）求证：平面O EF⊥平面ABCD。
【答案】详见解析【解析】【分析】（1）根据O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO，之后应用线面垂直的判定定理证得结果；（2）根据题意，得到PA∥OE，结合题中所给的条件因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，可得PA⊥平面ABCD，从而得到OE⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理证得结果.【详解】（1）O为PB中点，F为PD中点，所以，PB∥FO而PB平面OEF，FO平面OEF，∴PB∥平面OEF。
（2）连结AC，因为ABCD为平行四边形，∴AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，∴PA∥OE，因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，∴PA⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD又OE平面OEF，∴平面OEF⊥平面ABCD【点睛】该题考查的是有关证明空间关系的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.17.如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
【答案】（1）（2）P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小【解析】【分析】（1）首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，利用正弦定理得到，根据OA＝2，得到PA＝，OP＝，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，根据题意确定出；（2）对函数求导，令导数等于零，求得，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，又∠APO＝，∠OAP＝，由正弦定理，得：，又OA＝2，所以，PA＝，OP＝，所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，所以，；（2）令，，得：，在上递减，在上递增所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，即是最小值：＝2，答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。
【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究函数的最值问题，属于较难题目.18.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6。
（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围。
【答案】（1）（2）（4,8）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，又因为点A到右准线的距离为6，得到＝6，联立求得＝2，c＝1，根据椭圆中的关系，求得b的值，从而求得椭圆的方程；（2）设出直线AB的方程，之后与椭圆方程联立，得到，从而求得，从而得到OP的斜率，进一步求得直线OP的方程，再得出BQ的方程，两直线方程联立，求得，从而得到其范围.【详解】（1）依题意，有：，即，又＝6，所以，＝6，解得：＝2，c＝1，b＝＝，所以，椭圆C的方程为：，（2）由（1）知：A（-2,0），设AB：，即，则，【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的交点，两直线垂直的条件，两条直线的交点，函数的范围，属于较难题目.19.设A，B为函数y＝f（x）图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别做函数y＝f（x）的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f（x）的“优点”。