河北省邯郸市2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(理科)(Word版 含答案解析)
2017-2018年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣23．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．3204．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=17．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．109．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），则A∩B=（0，3）．故选：A．2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，故选：C．3．（5分）设数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（）A．317B．318C．319D．320【解答】解：数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，∴{a n}设一3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴a20=320，故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：由于：，则：=，又a=2c，利用正弦定理：，解得：，故选：D．5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，综上可得：a≥b＞c，故选：A．6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=1【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，即有椭圆M的方程为：．故选：B．7．（5分）若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．【解答】解：∵公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），解得a=，∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．故选：B．8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．10【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，故选：A．10．（5分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，∴a n=n（2n﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，化为：=．∴a n=•…•••×1=．∴S n=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．故选：C．11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，由正弦定理得：，即，解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，∴CD==2（+1）．故选：C．12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为﹣1．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．【解答】解：椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2，椭圆长轴长为：2=2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．【解答】解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，则：A+B+C=180°，解得：B=60°，由于：bsinA=6sinB，则：，解得：a=6．若符合条件的三角形有两解，则：a＞b≥asinB，即：，故答案为：．16．（5分）设S n为正项数列{a n}的前n项和，a1=1，a n+1（S n+S n+1）=n，则S16= 11．【解答】解：∵a n+1（S n+S n+1）=n，∴（S n+1﹣S n）（S n+S n+1）=n，∴﹣=n，∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．则=+1=121，S16＞0．∴S16=11．故答案为：11．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），又由椭圆经过点A（﹣1，3），则2a=+=6，则a=3，又由c=4，则b2=a2﹣c2=2，则要求椭圆的方程为+=1；（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，离心率为，则有e2===1﹣=，解可得a2=25；则要求椭圆的方程为：+=1．18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg （mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，故p为真时，m≥1；m=0时，f（x）=lg1有意义，m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，故q为真时，0≤m＜4，（1）若p∨q为真，则m≥0；（2）若（￢p）∧q为真，则p假q真，则，故m∈[0，1]．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．（1）求A的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA，解得：tanA=3，则：A=arctan3．（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，由于：a=7，b=5，利用正弦定理：，解得：sinB=，则：cosB=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．所以：=．20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．【解答】解：硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，设这个纸盒的长，宽各为x和y时，则：4xy=80，解得：xy=20．则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足a n=2﹣，则有a n+1=3﹣=，变形可得=+，由于b n=，即b n=b n﹣1+，b1==，数列{b n}为等差数列，其首项为，公差为；（2）有（1）可得：b n=，即=，则a n=﹣1，则a n a n+1+a n+a n+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；则S n=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=∴k BM==∴可设直线BN方程为：y=由得，x B+x N=﹣x1+x N=⇒x N=，y N==，∴，∴=﹣+k2x12==0．∴AB⊥AN，即以线段BN为直径的圆经过点A．。
河北省邯郸市第一中学2017-2018学年高二上学期中期考试数学试题(A部)Word版含答案
邯郸市一中2017-2018学年第一学期期中考试试题 年级 高二 科目 A 部数 学一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分）222222221.,2( ). 1 . 1 . 1 .14422下列双曲线中渐近线方程为的是y x y x y x A x B y C x D y =±-=-=-=-=2.(1,2,1),(,1,5),,( ). 1 .1 .3 .4已知若则a b m m a b m A B C D =-=+⊥=-r r rr1122123.(1,0,1)(1,2,2),( )1 . 2已知直线的方向向量与直线的方向向量则和夹角的余弦值为l s l s l l A B C D ==--u r u r1111114.,( )已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等则与侧面所成角的正弦值等于ABC A B C AB ACC A A B C D -5.(1,1,2),1,,( )17.3 .2已知空间直角坐标系中有一点点是平面内的直线上的动点则两点的最短距离是O xyz A B xOy x y A B B C D ---+=6.sin (0,1)( ).330 .220 .210 .310x y x e A x y B x y C x y D x y =+-+=-+=-+=-+=曲线在点处的切线方程是27.()2(1),(0)( ).2 .0 . 2 .4f x xf x f A B C D ''=+=--若则328.,3( )5225.[0,)[,) .[,) .[0,)[,) .(,]2632326P y x P A B C D αππππππππππ=+⋃⋃设点是曲线上的任意一点点处切线倾斜角的取值范围为229.1,(1,2)( )1699999. . . .16326432椭圆中以点为中点的弦所在的直线斜率为x y M A B C D +=--2210.28,1( )ym xmA B C D+=若是和的等比中项则圆锥曲线的离心率为11.(2,0)(2,0),(,):3,,,( )A B P x y l y xC A B P CA B C D-=+已知两定点和动点在直线上移动椭圆以为焦点且经过点则椭圆的离心率的最大值为212.,,,,,( ) ....A B M ABN MN AN NB MA B C Dλλ=⋅已知、为平面内两定点过该平面内动点作直线的垂线垂足为若其中为常数则动点的轨迹不可能是圆椭圆抛物线双曲线u u u r u u u r u u u r二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13.(,12,1),(4,5,1),(,10,1).,.OA k OB OC k A B Ck===-=uu r uu u r uuu r已知向量且、、三点共线则14.,,(,1)5,.y P m已知抛物线过原点焦点在轴上抛物线上一点到焦点的距离为则该抛物线的标准方程是15.()(1)2,()()1,()1.R f x f f x R f xf x x'=< <+定义在上的连续函数满足且在上的导函数则不等式的解集为11221122112216.,60,||||,,.oC O OA B A B A B A B A B A BC=设双曲线的中心为点若有且只有一对相交于点且所成角为的直线和使其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点则该双曲线的离心率的取值范围是三、解答题（6小题，共70分）17(10).(1)sin cos ln(2);(2)22x xy x x y=--=分求下列函数的导数218.(12).1(1)sin(2);(3)ln.31xy y x yxπ+==+=-分求下列函数的导数19.(12)分如图四棱锥E ABCD-中，四边形ABCD为平行四边形，BCE∆为等边三角形，ABE∆是以A∠为直角的等腰直角三角形，且AC BC=.(Ⅰ)证明：平面ABE⊥平面BCE；(Ⅱ)求二面角A DE C--的余弦值.220.(12)()(),,.(1)0,()0;(2)0,,()2[,1].xf x ax x e e a Ra f xa t f x x t t=+∈>≤==++分函数其中是自然对数的底数当时解不等式当时求整数的所有值使方程在上有解3221.(12)()ln,() 2.(1)();(2)(0,),2()()2,.f x x xg x x ax xf xx f x g x a==+-+'∈+∞≤+分已知求函数的单调区间若对任意的恒成立求实数的取值范围22.(12)分已知⊙2249:(1)4M x y++=的圆心为M，⊙221:(1)4N x y-+=的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）设,A B 分别为曲线P 与x 轴的左右两个交点，过点（1,0）的直线l 与曲线P 交于,C D两点.若12AC DB AD CB ⋅+⋅=uuu r uu u r uuu r uu r，求直线l 的方程.邯郸市一中2017-2018学年第一学期期中考试高二数学（A 部）参考答案一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分） 1—6ABCABC 7—12DCBDBC二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13.;23- 214.16;x y = (1,15.);+∞16.(,2].3 三、解答题（6小题，共70分）217.(5,10)112(1)1cos ;(2).2(1)y x y x x ''=--=-每小题分共分218.(4,12)22(1)2sin(4);(3).31y y x y x π'''==+=--每小题分共分 19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设O 为BE 的中点，连结AO 与CO ，则AO BE ⊥，CO BE ⊥.设2AC BC ==，则1,AO CO ==222AO CO AC ⇒+=，90AOC ∠=︒，所以AO CO ⊥，故平面ABE ⊥平面BCE（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO ，BE ，CO 两两互相垂直，设OE 的方向为x 轴正方向. OE 为单位长，以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,则(0,0,1),(1,0,0),A E C (1,0,0),B -OD OC CD OC BA =+=+=uuu r uuu r uu u r uuu r uu r ,所以(1,0,1),D AD AE ==-uuu r uu u r((1,0,1)EC CD =-=uu u r uu u r .设(,,)n x y z =r 是平面ADE 的法向量，则0,0,n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即0,0,x x z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取(n =r ，设m u r 是平面DEC 的法向量，则0,0,m EC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u ru r uu u r同理可取m =u r ，则1cos ,7n m n m n m ⋅==⋅r u rr u r r u r，所以二面角A DE C --的余弦值为17. 20.（12分）解：(1)因为e x＞0，所以不等式f (x )≤0即为ax 2＋x ≤0.又因为a ＞0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0，所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0.(2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x＞0，所以x ＝0不是方程的解， 所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3,1}．2221.(12):(1)()ln (0,),()ln 1.11()0,0,()(0,),11()0,,()().(2)()321,:2ln 32 1.310,ln (0,).22f x x x f x x f x x f x e e f x x f x e eg x x ax x x x ax x a x x x x =+∞'∴=+'<<<∴'>>∴+∞'=+-≤++>∴≥--∈+∞Q Q Q 分解函数的定义域为令解得的单调递减区间是令解得的单调递增区间是，由题意得在上恒成立设221231()ln (0),22131(1)(31)().2221()0,1,().3()(0,1],[1,),()(1) 2.[2,).h x x x x xx x h x x x x h x x x h x h x h a =-->-+'=-+=-'===-+∞=-∴-+∞则令得舍在单调递增在单调递减最大值为的取值范围是22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则71,22PM r PN r =-=+，两式相加，得4PM PN MN +=>，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，其方程22143x y += （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，则()()331,,1,,2,0,2,022C D A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则96122AC DB AD CB ⋅+⋅=+≠uuu r uu u r uuu r uu r .当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()()()()1122,,,,2,0,2,0C x y D x y A B -，联立22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(34)84120k x k x k +-+-=.则有2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+ AC DB AD CB ⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uu r212121212822822(1)(1)x x y y x x k x x =--=---- 22212128(22)2()2k x x k x x k =-+++-221024834k k +=++ 由已知，得22102481234k k++=+，解得k =. 故直线l的方程为1)y x =-.。
2017-2018学年河北省邯郸市永年二中高二上学期期中数学试卷与解析(理科)
2017-2018学年河北省邯郸市永年二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x 0∈R，2x0﹣3＞1”的否定是（）A．∃x0∈R，2x0﹣3≤1 B．∀x∈R，2x﹣3＞1C．∀x∈R，2x﹣3≤1 D．∃x0∈R，2x0﹣3＞12．（5分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b3．（5分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．85．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个6．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．10239．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A．{﹣3，0}B．{3，﹣1}C．{0，1}D．{﹣3，0，1}11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=012．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c n}是“和等比数列”，则d=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2（n∈N*），则a7=．14．（5分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的面积为．15．（5分）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2000元，设备乙每天的租赁费为3000元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题（共6道题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；（2）与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2．18．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=log a（x+1）在区间（﹣1，+∞）内单调递减；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q 为真命题，求实数．19．（12分）已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），（1）求关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集．（2）若对一切x＞2，均有x2+ax+b≥（m+1）x﹣m﹣5成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b．（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．21．（12分）在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0，设b n=log2a n．且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（1）求{a n}的通项a n．（2）若c n=，求{c n}的前n项和S n．22．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P向x轴作垂线，垂足为D．当点P在圆上运动时，动点M满足=2，动点M形成的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且•＞0，求直线l的斜率k的取值范围．2017-2018学年河北省邯郸市永年二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每个小题只有一个正确选项，每题5分，共60分）1．（5分）命题“∃x0∈R，2x0﹣3＞1”的否定是（）A．∃x0∈R，2x0﹣3≤1 B．∀x∈R，2x﹣3＞1C．∀x∈R，2x﹣3≤1 D．∃x0∈R，2x0﹣3＞1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，2x0﹣3＞1”的否定是：∀x∈R，2x﹣3≤1．故选：C．2．（5分）若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．＞B．＞1 C．a2＜b2D．ab＜a+b【解答】解：A．取a＜0，不成立；B．取a＜0，不成立；C．取a=﹣3，b=2，则a2＞b2，因此不成立；D．∵a＜1，b＞1，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，∴ab＜a+b﹣1＜a+b，因此成立．故选：D．3．（5分）方程对应的曲线是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y≤0∴x2+y2=4∴表示x轴下方的半圆故选：A．4．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．5．（5分）原命题：“设a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【解答】解：原命题：若c=0则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题：∵ac2＞bc2知c2＞0，由不等式的基本性质得a＞b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．故选：C．6．（5分）若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，所以由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，所以cosB=，故选：D．7．（5分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，∴a1+a2+a3+a4=2（a1+a2）∴a3+a4=a1+a2，∴q2=1，⇔“|q|=1”∴则“|q|=1”是“S 4=2S2”的充要条件，故选：C．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差数列，则{a n}的前8项和为（）A．127 B．255 C．511 D．1023【解答】解：∵2a4、a6、48成等差数列，∴2a6 =2a4 +48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比数列{a n}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{a n}的前8项和为故选：B．9．（5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．10．（5分）变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A．{﹣3，0}B．{3，﹣1}C．{0，1}D．{﹣3，0，1}【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=x﹣2平行，此时﹣a=1，解得a=﹣1．若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=﹣3x+14平行，此时﹣a=﹣3，解得a=3．综上满足条件的a=3或a=﹣1，故实数a的取值集合是{3，﹣1}，故选：B．11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选：D．12．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，若（n∈N*）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．若数列{c n}是首项为2，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列{c n}是“和等比数列”，则d=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．【解答】解：由题意可知，数列{c n}的前n项和S n=，前2n项和S2n=，∴==2+=2+，∴当d=4时，为非零常数，数列{c n}是“和等比数列”，∴d=4．故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}中，已知a1=1，a2=2，a n+1=a n+a n+2（n∈N*），则a7=1．【解答】解：由a n=a n+a n+2，得a n+2=a n+1﹣a n，+1所以a3=a2﹣a1=1，a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2，a6=a5﹣a4=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，a7=a6=a5=﹣1﹣（﹣2）=1．故答案为：1．14．（5分）椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的面积为．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为+=1，其中a==4，b=，则c==3，则F1（﹣3，0），F2（3，0）；过F1作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，设A（﹣3，y0），则有+=1，解可得y0=±，则有|AB|=2|y0|=，||F1F2|=2c=6，则△ABF2的面积S=|AB|×|F1F2|=××6=．故答案为：．15．（5分）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2000元，设备乙每天的租赁费为3000元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为23000元．【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=2000x+3000y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=2000x+3000y有最小值23000元．故答案为：23000．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．三、解答题（共6道题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M（3，2）；（2）与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为2．【解答】解（1）根据题意，由要求椭圆的焦距是4，可得c=2，又由椭圆的焦点在y轴上，焦点坐标为（0，﹣2），（0，2）．由椭圆的定义知2a=+=8，所以a=4，所以b2=a2﹣c2=12．又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为+=1．（2）椭圆9x2+4y2=36可化为+=1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±），设所求椭圆方程为+=1（a＞b＞0），则c=．又2b=2，即b=1，所以a2=b2+c2=6，所求椭圆标准方程为x2+=1．18．已知a＞0且a≠1，设命题p：函数y=log a（x+1）在区间（﹣1，+∞）内单调递减；命题q：曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴有两个不同的交点，如果p∨q 为真命题，求实数．【解答】解：由y=log a（x+1）在区间（﹣1，+∞）上单调递减知0＜a＜1；∵曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于两个不同的点，∴△=（2a﹣3）2﹣4×1×1＞0，解得a＜或a＞；∴p真对应集合A={a|0＜a＜1}，q真对应集合B={a|a＜或a＞}；由p∨q真，即p，q中至少有一个为真命题；因此适合题目要求的a的取值集合是：A∪B={a|a＜1或a＞}．19．（12分）已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），（1）求关于x的不等式bx2+ax+1＞0的解集．（2）若对一切x＞2，均有x2+ax+b≥（m+1）x﹣m﹣5成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为（1，2），∴方程x2+ax+b=0的解集为1，2；由根与系数的关系，得，解得a=﹣3，b=2；∴不等式bx2+ax+1＞0化为2x2﹣3x+1＞0，解方程2x2﹣3x+1=0得，x1=，x2=1，∴不等式bx2+ax+1＞0的解集为{x|x＜或x＞1}；（2）当x＞2时，x2+ax+b≥（m+1）x﹣m﹣5恒成立，即x2﹣3x+2≥（m+1）x﹣m﹣5恒成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）；∴对一切x＞2，均有不等式≥m成立．而=（x﹣1）+﹣2≥2﹣2=2（当且仅当x=3时等号成立），∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．20．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b．（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．【解答】解：（I）根据三角形面积公式可知：，解得：ab=4；又根据三角形余弦公式可知：，解得a2+b2=8．综上可得a=b=2．（II）sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（B+A）+sin（B﹣A）=4sinAcosAsinBcosA=2sinAcosA①当cosA=0时，，②当cosA≠0时，sinB=2sinA，由余弦定理得b=2a，联立，得∴b2=a2+c2，∵，∴，综上或．21．（12分）在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0，设b n=log2a n．且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（1）求{a n}的通项a n．（2）若c n=，求{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）依题意，a n=a1q n﹣1，∵a1＞1，q＞0，∴数列{a n}是单调数列，∵b1+b3+b5=log2a33=6，∴a33=26，得a3=4，又∵b n=log2a n，b1•b3•b5=0及a1＞1，∴b5=0，可得a5=1．因此a3q2=1，即q2=，解之得q=（舍负）．∴a n=a5q n﹣5=25﹣n；（2）b n=log2a n=5﹣n，c n==﹣=﹣（﹣），前n项和S n=﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=﹣（1﹣）=﹣．22．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P向x轴作垂线，垂足为D．当点P在圆上运动时，动点M满足=2，动点M形成的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且•＞0，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）解法1：由=2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标是（x，y），则点P的坐标是（x，2y），∵点P在圆x2+y2=4上，∴x2+（2y）2=4，∴曲线C的方程为+y2=1；解法2：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x0，y0），由=2，得，x0=x，y0=2y，∵点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，∴x02+y02=4，①，把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4．∴曲线C的方程为+y2=1．（2）显然直线x=0不满足题设条件，故设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立消去y并整理，得（k2+）x2+4kx+3=0，所以x1+x2=﹣，x1x2=．由△=（4k）2﹣12（k2+）=4k2﹣3＞0，得k＞或k＜﹣．①又•＞0，所以•=x1x2+y1y2＞0．又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=++4=，所以+＞0，即k2＜4，所以﹣2＜k＜2．②综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，+∞）．。
最新河北省邯郸市-高二上学期期末考试数学(理)试题
邯郸市2017～2018学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“260x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为（ ） A ．20x y +-= B ．540x y --= C ．540x y -+= D ．320x y --=3.已知{}n a 为等比数列，且32a =，78a =，则5a =（ ） A ．22 B ．22± C ．4 D ．4±4.双曲线2214y x -=的一个焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．25.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F N 分别是11,CC BB 和AB 的中点，则异面直线1A E 与NF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B 23 D 26.已知,,,a b c d R ∈，且a b >，c d >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c da b< B ．22a b > C.ac bd > D ．a d b c ->- 7.在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，已知4A π=，2a =，6b =，则B =（ ）A ．3π B ．23π C.3π或23π D ．6π或3π8.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“sin sin αβ>，则αβ>”的逆否命题是真命题B ．命题“0x ∀≥，均有22x x ≥”的否定为“00x ∃≥，使得0202x x <”C.命题“p q ∧”的否定是“p q ⌝∧⌝”D ．命题“若a b >，则33a b >”的否命题为“若a b >，则33a b ≤”9.在平面直角坐标系中，已知定点(0,2)A -，(0,2)B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为4，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)4y x x +==≠B ．2214y x +=C. 2214y x -= D ．221(0)4y x x -=≠10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，525S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．21n n - B ．121n n -+ C. 21n n + D ．221nn + 11.已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，抛物线24y cx =与双曲线在第一象限的交点为P ，若1||4PF a c =+，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B12.已知函数1()(12)ln(1)f x a e x x =-+-+有两个零点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(,)e-∞-C. 1(,)(0,)e -∞-+∞U D ．1(,)2e-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2214y y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≥-⎩，则z x y =-的最大值为 ．14.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若||6AB =，AB 的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为 ．15.已知0x >，0y >，且3x y xy ++=，则x y +的最小值为 ．16.已知数列1214218421{}:,,,,,,,,,1121241248n a L L 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则979899100a a a a +++= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若22b a ==，求c 的值和ABC ∆的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，141n n n a a S +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令2n a n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且45DAB ∠=︒，PA AB =，12CD AB =，且//CD AB ，BC CD ⊥.（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高1AO 为x ，储粮仓的体积为y .（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式；（圆周率用π表示） （Ⅱ）求1AO 为何值时，储粮仓的体积最大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点33. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点3(0,)2P ，且||5AB =求直线l 的方程.22.设函数()(1)ln f x a x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的1x ≥，恒有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DCBDC 11、12：AC二、填空题13.2 14. 24y x = 15.2 16.858三、解答题17.解：（Ⅰ）由2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理，得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，则2cos sin()sin C A B C +=. ∵A B C π++=，,,(0,)A B C π∈，∴sin()sin 0A B C +=>， ∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵(0,)C π∈，∴3C π=. （Ⅱ）由22b a ==，得1,2a b ==.根据余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，∴c =∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯⨯222⨯=18.解：（Ⅰ）由题设，得141n n n a a S +=-，12141n n n a a S +++=-，两式相减得121()4n n n n a a a a +++-=. ∵0n a ≠，∴24n n a a +-=.由题设11a =，12141a a S =-，可得23a =，由24n n a a +-=，知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143m a m -=-. 令21n m =-，则12n m +=，∴()2121n a n n m =-=-. 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列，241m a m =-.令2n m =，则2n m =，∴21(2)n a n n m =-=.∴21()n a n n N *=-∈. （Ⅱ）令2112(21)()42n n n b n n -=-=-⨯.211(1)4(2)422n T =-⨯+-⨯1()42n n ++-⨯L . ①214(1)42n T =-⨯31(2)42+-⨯+11()42n n ++-⨯L . ②①-②，得123134442n T -=⨯++114()42n n n +++--⨯L ，即21114(14)34214n n T ---=⨯+-11()42n n +--⨯=1105()436n n +---，1105()4363n n n T +---=-(1210)10499n n -=⨯+. 19.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥.又CD AB ∥，BC CD ⊥， ∴BC AB ⊥.故BC ⊥平面PAB .又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB BC ⊥，设BC 的方向为x 轴正方向，BA 的方向为y 轴正方向，过点B 作PA 的平行线为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不防设2PA AB ==，又∵45DAB ∠=︒，PA AB =，1//2CD AB ， ∴1DC BC ==.连接BD ，又BC CD ⊥，∴2BD =∴BD AD ⊥，∴BD ⊥平面ADP .∴(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2)A C D P ，(1,1,2)DP =-u u u r ，(0,1,0)CD =u u u r ，(1,1,0)BD =u u u r.设111(,,)n x y z =r为平面PDC 的法向量，则00n CD n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rgr u u u rg ，即1111020y x y z =⎧⎨-++=⎩，可取(2,0,1)n =r . ∵()110BD =u u u r ，，为平面PAD 的法向量，∴10cos ,||||n BD n BD n BD ==r u u u rr u u u r g r u u u ur 又二面角A PD C --的平面角为钝角，∴二面角A PD C --的余弦值为10. 20.解：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径24,02r x x -<<， ∴22123y r r x ππ=⨯+. ∴2212(4)(4)3y x x x ππ=-+-，即32142833y x x x ππππ=--++，02x <<.（Ⅱ）2443y x x πππ'=--+，令2443y x x πππ'=--+24(4)03x x π=-+-=， 解得14323x =--，24323x =-+.又02x <<，∴14323x =--（舍去）.当x 变化时，,y y '的变化情况如下表：故当1432AO =-. 21.解：（Ⅰ）由题意得2231314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.故椭圆C 的方程是2214x y +=. （Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8440k x ktx t +++-=.则有122814ktx x k-+=+，21224414t x x k -=+. 1212y y kx t kx t +=+++1222()214tk x x t k =++=+.设,A B 的中点为(,)D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k+==+. ∵直线PD 与直线l 垂直，∴312PD m k k m-=-=-，整理得21142t k =-+.∴2142(0)k t t +=-<. 又∵221212||(1)[()4]AB k x x x x =++-2222284(44)(1)[()]1414kt t k k k --=+-++2224(1)(14)5k k t ++-==，∴2224(1)(14)5k k t ++-=22(23)(2)t t t -+--=，解得1t =-或3t =.∵3t =与0t <矛盾，∴1t =-.∵21142t k =-+，∴12k =±.故直线l 的方程为112y x =-或112y x =--.22．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为0x >，()1ln f x a x '=--，若()0f x '=， 则ln 1x a =-，1a x e -=，又∵()f x '是单调递减的，∴当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 在区间1(0,)a e -内为增函数，在区间1(,)a e -+∞内为减函数.（Ⅱ）(1)0f =，()1ln f x a x '=--.当1a ≤时，在1x ≥上，()0f x '≤，故函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f ≤=.当1a >时，在1x ≥上，()1ln 0f x a x '=--=，解得111a x e -=>.又()1ln f x a x '=--在(1,)+∞上单调递减，∴在1(1,)x 上()0f x '>，函数()f x 在1(1,)x 上单调递增，()(1)0f x f ≥=与任意1x ≥， 恒有()0f x ≤成立矛盾.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞.。
河北省邯郸市高二数学上学期期中试题(A部)
河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题（A 部）一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分）222222221.,2( ). 1 . 1 . 1 .14422下列双曲线中渐近线方程为的是y x y x y x A x B y C x D y =±-=-=-=-=2.(1,2,1),(,1,5),,( ). 1 .1 .3 .4已知若则a b m m a b m A B C D =-=+⊥=-r r rr1122123.(1,0,1)(1,2,2),( )1 . 2已知直线的方向向量与直线的方向向量则和夹角的余弦值为l s l s l l A B C D ==--u r u r1111114.,( )已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等则与侧面所成角的正弦值等于ABC A B C AB ACC A A B C D -5.(1,1,2),1,,( )17.3 .2已知空间直角坐标系中有一点点是平面内的直线上的动点则两点的最短距离是O xyz A B xOy x y A B B C D ---+=6.sin (0,1)( ).330 .220 .210 .310x y x e A x y B x y C x y D x y =+-+=-+=-+=-+=曲线在点处的切线方程是27.()2(1),(0)( ).2 .0 . 2 .4f x xf x f A B C D ''=+=--若则328.,3( )5225.[0,)[,) .[,) .[0,)[,) .(,]2632326P y x P A B C D αππππππππππ=+⋃⋃设点是曲线上的任意一点点处切线倾斜角的取值范围为229.1,(1,2)( )1699999. . . .16326432椭圆中以点为中点的弦所在的直线斜率为x y M A B C D +=--2210.28,1( )ym xmA B C D+=若是和的等比中项则圆锥曲线的离心率为11.(2,0)(2,0),(,):3,,,( )A B P x y l y xC A B P CA B C D-=+已知两定点和动点在直线上移动椭圆以为焦点且经过点则椭圆的离心率的最大值为212.,,,,,( ) ....A B M ABN MN AN NB MA B C Dλλ=⋅已知、为平面内两定点过该平面内动点作直线的垂线垂足为若其中为常数则动点的轨迹不可能是圆椭圆抛物线双曲线u u u r u u u r u u u r二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13.(,12,1),(4,5,1),(,10,1).,.OA k OB OC k A B Ck===-=uu r uu u r uuu r已知向量且、、三点共线则14.,,(,1)5,.y P m已知抛物线过原点焦点在轴上抛物线上一点到焦点的距离为则该抛物线的标准方程是15.()(1)2,()()1,()1.R f x f f x R f xf x x'=< <+定义在上的连续函数满足且在上的导函数则不等式的解集为11221122112216.,60,||||,,.oC O OA B A B A B A B A B A BC=设双曲线的中心为点若有且只有一对相交于点且所成角为的直线和使其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点则该双曲线的离心率的取值范围是三、解答题（6小题，共70分）17(10).(1)sin cos ln(2);(2)22x xy x x y=--=分求下列函数的导数2218.(12).11(1);(2)sin(2);(3)ln.3112xy y x yxxπ+==+=--分求下列函数的导数19.(12)分如图四棱锥E ABCD-中，四边形ABCD为平行四边形，BCE∆为等边三角形，ABE∆是以A∠为直角的等腰直角三角形，且AC BC=.(Ⅰ)证明：平面ABE⊥平面BCE；(Ⅱ)求二面角A DE C--的余弦值.220.(12)()(),,.(1)0,()0;(2)0,,()2[,1].xf x ax x e e a Ra f xa t f x x t t=+∈>≤==++分函数其中是自然对数的底数当时解不等式当时求整数的所有值使方程在上有解3221.(12)()ln,() 2.(1)();(2)(0,),2()()2,.f x x xg x x ax xf xx f x g x a==+-+'∈+∞≤+分已知求函数的单调区间若对任意的恒成立求实数的取值范围22.(12)分已知⊙2249:(1)4M x y++=的圆心为M，⊙221:(1)4N x y-+=的圆心为N，一动圆与圆M内切，与圆N外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）设,A B 分别为曲线P 与x 轴的左右两个交点，过点（1,0）的直线l 与曲线P 交于,C D两点.若12AC DB AD CB ⋅+⋅=uuu r uu u r uuu r uu r，求直线l 的方程.邯郸市一中2017-2018学年第一学期期中考试高二数学（A 部）参考答案一、选择题：（12小题，每小题5分，共60分） 1—6ABCABC 7—12DCBDBC二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13.;23- 214.16;x y = (1,15.);+∞ 232]. 三、解答题（6小题，共70分）217.(5,10)112(1)1cos ;(2).2(1)y x y x x ''=--=-每小题分共分22218.(4,12)222(1);(2)2sin(4);(3).31(12)12xy y x yxx xπ'''==+=----每小题分共分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设O为BE的中点，连结AO与CO，则AO BE⊥，CO BE⊥.设2AC BC==，则1,3,AO CO==222AO CO AC⇒+=，90AOC∠=︒，所以AO CO⊥，故平面ABE⊥平面BCE（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO两两互相垂直，设OE的方向为x轴正方向. OE为单位长，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O xyz-,则(0,0,1),(1,0,0),(0,3,0),A E C(1,0,0),B-(1,3,1)OD OC CD OC BA=+=+=uuu r uuu r uu u r uuu r uu r,所以(1,3,1),(1,3,0),(1,0,1),D AD AE==-uuu r uu u r(1,3,0),(1,0,1)EC CD=-=uu u r uu u r.设(,,)n x y z=r是平面ADE的法向量，则0,0,n ADn AE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uu u r即30,0,x yx z⎧+=⎪⎨-=⎪⎩所以可取(3,1,3)n=--r，设mu r是平面DEC的法向量，则0,0,m ECm CD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uu u ru r uu u r同理可取(3,1,3)m=-u r，则1cos,7n mn mn m⋅==⋅r u rr u rr u r，所以二面角A DE C--的余弦值为17. 20.（12分）解：(1)因为e x＞0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0.又因为a＞0，所以不等式可化为x⎝⎛⎭⎪⎫x＋1a≤0，所以不等式f(x)≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a，0.(2)当a＝0时，方程即为x e x＝x＋2，由于e x＞0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x－2x－1＝0.令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3,1}．2221.(12):(1)()ln (0,),()ln 1.11()0,0,()(0,),11()0,,()().(2)()321,:2ln 32 1.310,ln (0,).22f x x x f x x f x x f x e e f x x f x e eg x x ax x x x ax x a x x x x =+∞'∴=+'<<<∴'>>∴+∞'=+-≤++>∴≥--∈+∞Q Q Q 分解函数的定义域为令解得的单调递减区间是令解得的单调递增区间是，由题意得在上恒成立设221231()ln (0),22131(1)(31)().2221()0,1,().3()(0,1],[1,),()(1) 2.[2,).h x x x x xx x h x x x xh x x x h x h x h a =-->-+'=-+=-'===-+∞=-∴-+∞则令得舍在单调递增在单调递减最大值为的取值范围是22. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）设动圆P 的半径为r ，则71,22PM r PN r =-=+，两式相加，得4PM PN MN +=>，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,M N 为焦点，焦距为2，实轴长为4的椭圆，其方程22143x y += （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，则()()331,,1,,2,0,2,022C D A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则96122AC DB AD CB ⋅+⋅=+≠uuu r uu u r uuu r uu r .当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，设()()()()1122,,,,2,0,2,0C x y D x y A B -，联立22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(34)84120k x k x k +-+-=.则有2122834k x x k +=+，21224(3)34k x x k-=+ AC DB AD CB ⋅+⋅uuu r uu u r uuu r uu r212121212822822(1)(1)x x y y x x k x x =--=---- 22212128(22)2()2k x x k x x k =-+++-221024834k k +=++ 由已知，得22102481234k k++=+，解得2k =. 故直线l 的方程为2(1)y x =-.。
河北省邯郸市高二上学期数学期中考试试卷
河北省邯郸市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分）圆的圆心坐标和半径分别是（）A . （0，2），2B . （2，0），4C . （－2，0），2D . （2，0），22. （1分）命题“若，则”的否命题是A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则3. （1分）“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （1分）(2020·达县模拟) 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2 ， 900cm2 ，高为9cm ，长方体形凹橹的体积为4300cm3 ，那么这个斗的体积是（）注：台体体积公式是V （S' S）h ．A . 5700cm3B . 8100cm3C . 10000cm3D . 9000cm35. （1分）程序框图，如图所示，已知曲线E的方程为ax2+by2=ab (a，b∈R)，若该程序输出的结果为s，则（）A . 当s＝1时，E是椭圆B . 当s＝0时，E是一个点C . 当s＝0时，E是抛物线D . 当s＝－1时，E是双曲线6. （1分） (2016高二上·湖州期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （1分）(2017·鄂尔多斯模拟) 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A .B .C .D .8. （1分）(2017·武汉模拟) 已知点F1 ， F2分别为双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为（）A . 2B . 5C . 3D . 2或59. （1分）直线与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为（）A . 1B . -1C . 1或-1D . 1或-1或010. （1分）设a,b是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则是的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高二上·武城期中) 若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．12. （1分）若双曲线 C：2x2﹣y2=m（m＞0）与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，且|AB|=4则m的值是________13. （1分）(2018·大新模拟) 已知二面角的大小为，点，点在内的正投影为点，过点作，垂足为点，点，点，且四边形满足 .若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．14. （1分）(2017·潍坊模拟) 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为________．15. （1分） (2017高二上·常熟期中) 若直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=8分成长度相同的四段弧，则ab=________．16. （1分）(2017·山东) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．17. （1分） (2016高二上·襄阳开学考) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC=DC=AB=AD= ，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为________．三、解答题 (共3题；共5分)18. （2分） (2016高二上·武城期中) 已知命题p：不等式2x﹣x2＜m对一切实数x恒成立；命题q：|m﹣1|≥2．如果“￢p”与“p∧q”均为假命题，求实数m的取值范围．19. （2分） (2017高一下·盐城期末) 如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B 两点．（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；（3）是否存在一个定点Q（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20. （1分）(2017·青岛模拟) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1 ．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．参考答案一、单选题 (共10题；共10分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共3题；共5分) 18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、第11 页共11 页。
河北省邯郸市2017学年高二数学上学期期中试题
高二上学期期中考试数学试题一、 选择题（每题5分，共60分）1、若,,,a b c R a b ∈>且，则下列不等式正确的个数是（ ） ①b a 11< ②22b a > ③44bc ac > ④1122+>+c b c a A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（ ）A ．511B ．1023C ．1533D ．3069 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，2b =，sin cos 2B B +=，则角A 的大小为（ ）A ．60oB ．30oC ．150oD ．30o 或150o4、设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．514C ．7D ．14 5、不等式xx 1>的解集为（ ）A.)1,0()1,(Y --∞B.),1()0,1(+∞-YC.),1()1,(+∞--∞YD.)1,1(-6、已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A ．20 B ．17 C ．19 D ．217、设变量x,y 满足约束条件2020280-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩x x y x y ，则目标函数z=3x+y 的最大值为（ ）A.7B.8C.9D.148、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ） A ．74 B ．34C ．73D ．13 9、如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝100米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．米B ．米C ．米D ． 100米10、数列{}n a 满足11=a ，对任意的*n ∈N 都有n a a a n n ++=+11，则=+++201621111a a a Λ（ ） A 、20152016 B 、40322017 C 、40342017 D 、2016201711、在ABC ∆中，已知C B A ,,成等差数列，且3=b ，则=++++cb a CB A sin sin sin （）A ．2B ．21C ．3D ．3312、对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．（－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞） D ．[0，＋∞） 二、填空题（每题5分，共20分） 13、在数列{}n a 中，1112,1n n n a a a a +-==+，则2015a =14、若直线()0,01>>=+b a bya x 过点（2，1），则3a+b 的最小值为 ． 15、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S = . 16、已知ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，则下列命题中正确的有_________．（填上你认为所有正确的命题序号）①若C B A c b a cos :cos :cos ::=，则ABC ∆是正三角形； ②若C B A c b a sin :sin :sin ::=，则ABC ∆是正三角形； ③若CcB b A a tan tan tan ==，则ABC ∆是正三角形；④若C ab c b a sin 32222=++，则ABC ∆是正三角形. 三、解答题17、（10分）解关于错误！未找到引用源。
2017-2018学年河北省邯郸市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）“x＞2”是“x2+x﹣6＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）曲线y＝2x3﹣x在点（1，1）处的切线方程为（）A．x+y﹣2＝0B．5x﹣y﹣4＝0C．x﹣5y+4＝0D．3x﹣y﹣2＝0 3．（5分）已知{a n}为等比数列，且a3＝2，a7＝8，则a5＝（）A．B．C．4D．±44．（5分）双曲线的一个焦点到渐近线的距离为（）A．1B．2C．D．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E，F，N分别是CC1，BB1和AB的中点，则异面直线A1E与NF所成角的余弦值为（）A．0B．C．D．6．（5分）已知a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．ac＞bd D．a﹣d＞b﹣c 7．（5分）在锐角△ABC中，三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，a ＝2，，则B＝（）A．B．C．或D．或8．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“sinα＞sinβ，则α＞β”的逆否命题是真命题B．命题“∀x≥0，均有2x≥x2”的否定为“∃x0≥0，使得”C．命题“p∧q”的否定是“￢p∧￢q”D．命题“若a＞b，则a3＞b3”的否命题为“若a＞b，则a3≤b3”9．（5分）在平面直角坐标系中，已知定点A（0，﹣2），B（0，2），直线P A与直线PB的斜率之积为4，则动点P的轨迹方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝9，S5＝25，则数列的前n 项和为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线的左焦点和右焦点，抛物线y2＝4cx与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＝4a+c，则双曲线的离心率为（）A．3B．C．2D．12．（5分）已知函数有两个零点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．14．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，AB的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为．15．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝3，则x+y的最小值为．16．（5分）已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则a97+a98+a99+a100＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若b＝2a＝2，求c的值和△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n+1＝4S n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，且∠DAB＝45°，P A＝AB，，且CD∥AB，BC⊥CD．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面P AB；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．20．（12分）某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高AO1为x，储粮仓的体积为y．（Ⅰ）求y关于x的函数关系式；（圆周率用π表示）（Ⅱ）求AO1为何值时，储粮仓的体积最大．21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点，且，求直线l的方程．22．（12分）设函数f（x）＝a（x﹣1）﹣xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意的x≥1，恒有f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：“x2+x﹣6＞0”的充要条件为：“x＜﹣3或x＞2”，由“x＞2”能推出“x＜﹣3或x＞2”，由“x＜﹣3或x＞2”不能推出“x＞2”，即“x＞2”是“x＜﹣3或x＞2的充分不必要条件，即“x＞2”是“x2+x﹣6＞0”的充分不必要条件．故选：A．2．【解答】解：求导函数可得f′（x）＝6x2﹣1，则x＝1时，f′（1）＝5，切点坐标为（1，1）∴曲线y＝f（x）在点（1，1）处的切线方程是y﹣1＝5（x﹣1），即5x﹣y﹣4＝0．故选：B．3．【解答】解：根据题意，{a n}为等比数列，且a3＝2，a7＝8，则q4＝＝4，则a5＝a3q2＝4；故选：C．4．【解答】解：根据题意，由双曲线，可得焦点坐标为（﹣，0）（，0），渐近线的方程为y＝±2x；结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等，故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d＝＝2，故选：B．5．【解答】解：方法一：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱为2，则A1（2，0，2），E（0，2，1），N（2，1，0），F（2，2，1），＝（﹣2，2，﹣1），＝（0，1，1），设异面直线A1E与NF所成角的为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1E与NF所成角的余弦值为．方法二：将NF平移到如图EM处，则异面直线A1E与NF所成角即为∠A1EM，在三角形A1EM中，A1E＝3，EM＝，A1M＝3，根据余弦定理cosθ＝＝故选：D．6．【解答】解：∵a，b，c，d∈R，且a＞b，c＞d，∴与的大小关系不确定，若a，d中为0，一定不成立．a2与b2大小不确定，ac与bd不确定．a﹣d＞b﹣c一定成立．则下列不等式一定成立的是D．故选：D．7．【解答】解：在锐角△ABC中，三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，a＝2，，则由正弦定理可得＝，求得sin B＝．又b＞a，∴B＞A，∴B＝，或B＝，因为△ABC为锐角三角形，∴B＝，故选：A．8．【解答】解：对于A，命题“sinα＞sinβ，则α＞β”的逆否命题是真命题，比如α＝﹣300°，β＝30°，满足sinα＞sinβ，即原命题为假命题，其逆否命题也是假命题，故A错误；对于B，命题“∀x≥0，均有2x≥x2”的否定为“∃x0≥0，使得”正确；对于C，命题“p∧q”的否定是“￢p∨￢q”，故C错误；对于D，命题“若a＞b，则a3＞b3”的否命题为“若a≤b，则a3≤b3”，故D错误．故选：B．9．【解答】解：设P（x，y）（x≠0），∵A（0，﹣2），B（0，2），∴，，由，可得（x≠0）．∴动点P的轨迹方程为（x≠0）．故选：D．10．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，前n项和为S n，a5＝9，S5＝25，可得a1+4d＝9，5a1+10d＝25，解得a1＝1，d＝2，则a n＝2n﹣1，可得＝＝（﹣），即有数列的前n项和为（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：C．11．【解答】解：抛物线y2＝4cx的焦点为（c，0），准线方程为x＝﹣c，|PF1|＝4a+c，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，由抛物线的定义可得|PF2|＝x P+c＝2a+c，解得x P＝2a，y P2＝4c×2a，代入双曲线的方程，可得4﹣＝1，由c2＝a2+b2，e＝，可得3e2﹣8e﹣3＝0，e＞1可得离心率e＝3．故选：A．12．【解答】解：函数有两个零点，即为a（1﹣2e+x）＝有两个不等实根，由y＝的导数为y′＝﹣，由x+1＞0，可得函数y＝在（﹣1，0），（0，+∞）递减，作出y＝的图象，由y＝a（1﹣2e+x）恒过定点（2e﹣1，0），当a＞0时，直线和曲线有两个交点；当a＜0时，直线与曲线相切，设切点为（m，a（1﹣2e+m）），可得a＝﹣，且a（1﹣2e+m）＝，解得a＝﹣，m＝e﹣1，可得a＜﹣时，直线和曲线有两个交点，综上可得a的范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x﹣y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最小此时z最大．由，解得A（﹣1，﹣3），代入目标函数z＝x﹣y得z＝2．即目标函数z＝x﹣y的最大值为2．故答案为：2．14．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0），过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，AB的中点的横坐标为2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝2，因为AB＝x1+x2+p＝6，可得p＝2，所求的抛物线方程为：y2＝4x．故答案为：y2＝4x．15．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y+xy＝3，∴xy＝3﹣（x+y），∴（x+y）2+4（x+y）﹣12≥0，∵x+y＞0，∴x+y≥2，则x+y的最小值为2故答案为：216．【解答】解：根据题意知，第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，1+2+3+…+i＝，i＝13时，＝91，∴a97+a98+a99+a100＝+++＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（Ⅰ）由2cos C（a cos B+b cos A）＝c，由正弦定理，得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，则2cos C sin（A+B）＝sin C．∵A+B+C＝π，A，B，C∈（0，π），∴sin（A+B）＝sin C＞0，∴2cos C＝1，，∵C∈（0，π），∴．（Ⅱ）由b＝2a＝2，得：a＝1，b＝2．根据余弦定理，得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝，∴．∴．18．【解答】解：（Ⅰ）由题设，得a n a n+1＝4S n﹣1，a n+1a n+2＝4S n+1﹣1，两式相减得a n+1（a n+2﹣a n）＝4a n+1．∵a n≠0，∴a n+2﹣a n＝4．由题设a1＝1，a1a2＝4S1﹣1，可得a2＝3，由a n+2﹣a n＝4，知数列奇数项构成的数列{a2m﹣1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2m﹣1＝4m﹣3．令n＝2m﹣1，则，∴a n＝2n﹣1（n＝2m﹣1）．数列偶数项构成的数列{a2m}是首项为3，公差为4的等差数列，a2m＝4m﹣1．令n＝2m，则，∴a n＝2n﹣1（n＝2m）．∴．（Ⅱ）令．．①．②①﹣②，得，即＝，＝．19．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC．又CD∥AB，BC⊥CD，∴BC⊥AB．故BC⊥平面P AB．又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面P AB．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥BC，设BC的方向为x轴正方向，BA的方向为y轴正方向，过点B作P A的平行线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．不防设P A＝AB＝2，又∵∠DAB＝45°，P A＝AB，，∴DC＝BC＝1．连接BD，又BC⊥CD，∴，∴BD⊥AD，∴BD⊥平面ADP．∴A（0，2，0），C（1，0，0），D（1，1，0），P（0，2，2），，，．设为平面PDC的法向量，则，即，可取．∵为平面P AD的法向量，∴．又二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．20．【解答】解：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径，∴．∴，即，0＜x＜2．（Ⅱ），令＝，解得，．又0＜x＜2，∴（舍去）．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：2+）2+，故当时，储粮仓的体积最大．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得．故椭圆C的方程是．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0．则有，．y1+y2＝kx1+t+kx2+t＝．设A，B的中点为D（m，n），则，．∵直线PD与直线l垂直，∴，整理得．∴1+4k2＝﹣2t（t＜0）．又∵＝＝，∴＝，解得t＝﹣1或t＝3．∵t＝3与t＜0矛盾，∴t＝﹣1．∵，∴．故直线l的方程为或．22．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为x＞0，f'（x）＝a﹣1﹣lnx，若f'（x）＝0，则lnx＝a﹣1，x＝e a﹣1，又∵f'（x）是单调递减的，∴当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：∴f（x）在区间（0，e a﹣1）内为增函数，在区间（e a﹣1，+∞）内为减函数．（Ⅱ）f（1）＝0，f'（x）＝a﹣1﹣lnx．当a≤1时，在x≥1上，f'（x）≤0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）≤f （1）＝0．当a＞1时，在x≥1上，f'（x）＝a﹣1﹣lnx＝0，解得．又f'（x）＝a﹣1﹣lnx在（1，+∞）上单调递减，∴在（1，x1）上f'（x）＞0，函数f（x）在（1，x1）上单调递增，f（x）≥f（1）＝0与任意x≥1，恒有f（x）≤0成立矛盾．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=05．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞26．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知A （4，0）、B （0，4），从点P （2，0）射出的光线经直线AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）A ．2B ．6C ．3D ．210．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 ．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△A BC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．18．已知圆C 的半径为1，圆心C 在直线3x ﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C 被直线x ﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C 的标准方程； （Ⅱ）设点A （0，3），若圆C 上总存在两个点到点A 的距离为2，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．19．如图，已知抛物线C ：x 2=2py （0＜p ＜4），其上一点M （4，y 0）到其焦点F 的距离为5，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．20．直线l过点M（2，1），且与椭圆交于A，B两点，O是坐标原点．（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积的值．21．如图，直线y=kx+b与椭圆=1交于A，B两点，记△AOB的面积为S．（I）求在k=0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程．22．已知动圆Q过定点A（2，0）且与y轴截得的弦MN的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，1），动直线l和坐标轴不垂直，且与轨迹C相交于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一定点G，使直线l过点G，且使得直线PA，PG，PB的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．2016-2017学年高二上学期期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．若直线l经过点和B（1，0），则直线l的倾斜角为（）A．0°B．60° C．90° D．不存在【考点】直线的倾斜角．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】由于AB⊥x轴，可得倾斜角α=90°．【解答】解：设直线l的倾斜角为α，α∈[0°，180°），∵AB⊥x轴，∴α=90°．故选：C．【点评】本题考查了垂直于x轴的直线的倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．抛物线y=ax2（a≠0）的准线方程是（）A． B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先将抛物线化为标准方程形式，进而根据抛物线的性质得到准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a≠0）的标准方程为：x2=y，其准线方程为：y=﹣，故选：D【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的性质是解答的关键．3．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．5．点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜1 B．a＜﹣2或a＞1 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；直线的斜率．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，可得（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵点A（﹣1，0）和点B（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，∴（﹣1+0﹣a）（1+1﹣a）＜0，化为（a+1）（a﹣2）＜0，解得﹣1＜a＜2，故选：C．【点评】本题考查了线性规划的应用、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知双曲线，过点O（0，0）作直线l与双曲线仅有一个公共点，这样的直线l共有（）A．0条B．2条C．4条D．无数条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】分类讨论；分类法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】讨论直线的斜率不存在和存在，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，讨论二次项的系数为0，大于0，小于0，判断方程的解的情况，进而判断直线和双曲线的交点情况．【解答】解：若直线l的斜率不存在时，显然直线与双曲线无交点；若直线的斜率存在时，可设直线l：y=kx，代入双曲线的方程，可得（1﹣4k2）x2=4，①当1﹣4k2=0，即有k=±，直线为渐近线，显然与双曲线无交点；当1﹣4k2＞0，即有﹣＜k＜时，方程①有两解，直线与双曲线有两个交点；当1﹣4k2＜0，即有k＜﹣或k＞时，方程①无解，直线与双曲线无交点．综上可得符合条件的直线不存在．故选A．【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查分类讨论的思想方法，以及运算能力，属于基础题．7．经过直线上的点P，向圆O：x2+y2=1引切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值为（）A．B． C．D．【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．【专题】数形结合；分析法；直线与圆．【分析】要使|PA|最小，只有|OP|最小，利用点到直线的距离公式求得|OP|的最小值d，利用勾股定理可得|PA|的最小值．【解答】解：要使|PA|最小，只有|OP|最小，如图所示：而|OP|的最小值，即为原点O到直线的距离d，由于d==2，故|PA|的最小值为==，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体出了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．已知焦点在y轴上的双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且C的一个焦点到l的距离为3，则C的标准方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】可设双曲线的标准方程为，从而可得出渐近线方程，根据一条渐近线和l垂直，可以求出这条渐近线的斜率，从而得到，而根据焦点到l的距离为3可以求出c=，再根据c2=a2+b2便可求出a2，b2，从而得出双曲线C的标准方程．【解答】解：设双曲线的标准方程为：；∴渐近线方程为，；直线l的斜率为；∴；又（0，c）到直线l的距离为3；∴；∴；∴a2+b2=3b2+b2=12；∴b2=3，a2=9；∴C的标准方程为．故选：A．【点评】考查双曲线的标准方程，根据双曲线的标准方程可以求出其渐近线方程，相互垂直的直线的斜率的关系，以及点到直线的距离公式，c2=a2+b2．9．如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A．2B．6 C．3 D．2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】转化思想；直线与圆．【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选A ． 【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．10．已知圆O ：x 2+y 2=1，点M （x 0，y 0）是直线上x ﹣y+2=0一点，若圆O 上存在一点N ，使得∠NMO=，则x 0的取值范围是（ ）A ．[﹣2，0]B ．（0，3）C ．[2，4]D ．（﹣1，3）【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，则∠OMR≥∠OMN，由题意可得∠OMR≥，|OM|≤2．再根据M （x 0，2+x 0），求得x 0的取值范围．【解答】解：过M 作⊙O 切线交⊙C 于R ，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．反过来，如果∠OMR≥，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=．∴若圆O 上存在点N ，使∠OMN=，则∠OMR≥． ∵|OR|=1，OR⊥MR，∴|OM|≤2．又∵M（x 0，2+x 0），|OM|2=x 02+y 02=x 02+（2+x 0）2=2x 02 +4x 0+4，∴2x 02+4x 0+4≤4，解得，﹣2≤x 0≤0．∴x 0的取值范围是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点评】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考察了学生的转化能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．11．已知点A （4，3），P 是双曲线x 2﹣y 2=2右支上一点，F 为双曲线的右焦点，则|PA|+|PF|的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得 右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，故|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，运算求得结果． 【解答】解：由题意得右焦点F （2，0），左焦点为 F′（﹣2，0），由双曲线的定义可得|PF′|﹣|PF|=2a=2，|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2=﹣2=3﹣2， 故选：B【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到|PF|+|PA|=|PF′|﹣2+|PA|≥|AF′|﹣2，是解题的关键12．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，双曲线C 2的方程为，C 1与C 2的离心率之积为，则双曲线C 2的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab 关系，即可求出双曲线C 2的离心率．【解答】解：a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为，∴C 1的离心率为：，双曲线C 2的方程为，∴C 2的离心率为：，∵C 1与C 2的离心率之积为，∴•=，∴（）2=，即=，则C 2的离心率： =，故选：D 【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率的求法，基本知识的考查，难度中档．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线y 2=5x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是10，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．【解答】解：∵F 是抛物线y 2=5x 的焦点F （，0），准线方程x=﹣，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）∴|AF|+|BF|=x 1++x 2+=10，解得x 1+x 2=，∴线段AB 的中点横坐标为：．∴线段AB 的中点到y 轴的距离是．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的基本性质，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．14．设z=x+y ，其中x ，y 满足，若z 的最大值为12，则z 的最小值为 ﹣6 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，先求出最优解，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y 得y=﹣x+z ，则直线截距最大时，z 也最大．平移直线y=﹣x+z 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点B 时，直线y=﹣x+z 的截距最大，此时z 最大为12，即x+y=12，由，得，即B （6，6），此时B 也在直线y=k 上，∴k=6，当直线y=﹣x+z 经过点A 时，直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小，由，即，即A （﹣12，6）， 此时z=x+y=﹣12+6=﹣6，故答案为：﹣6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15．若曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0与曲线C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 （﹣，0）∪（0，） ．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（﹣1，0），当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d==r=1，求出m 的值，数形结合求出实数m 的取值范围．【解答】解：由题意可知曲线C 1：x 2+y 2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C 2：y （y ﹣mx ﹣m ）=0表示两条直线y=0和y ﹣mx ﹣m=0，由直线y ﹣mx ﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：当直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m 2=，m=±．则直线y ﹣mx ﹣m=0与圆相交时，m ∈（﹣，0）∪（0，），故答案为：（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．16．已知点P 是椭圆16x 2+25y 2=400上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 2的斜率为，则△PF 1F 2的面积为 8 ．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a ，b ，c ，可得右焦点，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3），代入椭圆方程，求得P 的坐标，注意舍去横坐标大于3的点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求．【解答】解：椭圆16x 2+25y 2=400即为+=1，即有a=5，b=4，c=3，右焦点F 2（3，0），由P 在x 轴上方，且直线PF 2的斜率为，可得P 的横坐标小于3，由直线PF 2的方程：y=﹣2（x ﹣3）， 代入椭圆方程可得，27x 2﹣150x+175=0，解得x=（＞3，舍去），即有P 的纵坐标为y=﹣2（﹣3）=，则则△PF 1F 2的面积为•|F 1F 2|•y P =3•=8． 故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．三.解答题：共6小题，第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分.17．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （1，1），B （3，2），C （5，4）（1）求边AB 上的高所在直线的方程；（2）若直线l 与AC 平行，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 与两条坐标轴围成的三角形的周长．【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得边AB 上的高所在直线的斜率，再利用点斜式即可得出；（2）设直线l 的方程为：，即，利用斜率计算公式可得，再利用相互平行的直线斜率相等的性质可得，解得即可．【解答】解：（1）∵， ∴边AB 上的高所在直线的斜率为﹣2，又∵直线过点C （5，4），∴直线的方程为：y ﹣4=﹣2（x ﹣5），即2x+y ﹣14=0．（2）设直线l 的方程为：，即，∵，∴，解得：，∴直线l 的方程为：．∴直线l 过点，三角形斜边长为∴直线l与坐标轴围成的直角三角形的周长为．【点评】本题综合考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、相互平行的直线斜率之间的关系、直线的方程、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．已知圆C的半径为1，圆心C在直线3x﹣y=0上．（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，求圆C的标准方程；（Ⅱ）设点A（0，3），若圆C上总存在两个点到点A的距离为2，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）若圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x﹣y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），因为圆C的半径为1，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为，所以圆心C到直线x﹣y+3=0的距离，又，所以，解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=1或（x﹣2）2+（y﹣6）2=1．（Ⅱ）设圆A：x2+（y﹣3）2=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即：，由整理得5a2﹣9a+4＞0，解得或a＞1；由整理得5a2﹣9a＜0，解得．所以或．【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，已知抛物线C：x2=2py（0＜p＜4），其上一点M（4，y）到其焦点F的距离为5，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B左、右两点．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）若，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用点在曲线上，以及抛物线的定义，列出方程求解即可．（Ⅱ）利用方程组，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，利用，求解即可．【解答】解（Ⅰ）由题意，，解得p=2或p=8，由题意0＜p ＜4，所以p=2，y 0=4．所以抛物线标准方程为x 2=4y ．（Ⅱ）抛物线的焦点坐标（0，1）直线l 的方程的方程为：y=kx+1，解方程组，消去y ，得x 2﹣4kx ﹣4=0，显然△=16k 2+16＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k①，x 1x 2=﹣4②又，所以，即x 2=﹣2x 1③由①②③消去x 1，x 2，得，由题意，故直线l 的方程为． 【点评】本题考查抛物线方程的求法，仔细与抛物线的综合应用，考查计算能力．20．直线l 过点M （2，1），且与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（Ⅰ）若点M 是弦AB 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l 过椭圆的左焦点，求数量积的值．【考点】椭圆的简单性质． 【专题】转化思想；设而不求法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；（Ⅱ）求得直线FM 的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程得，，两式作差得，因式分解得（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+2（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=0，所以，即，所以l 方程为：x+y ﹣3=0．（Ⅱ）因为F （﹣2，0），M （2，1），所以l 斜率，所以l 方程为：x ﹣4y+2=0，联立解方程组，得9y 2﹣8y ﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以，，x 1x 2=（4y 1﹣2）（4y 2﹣2）=16y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4，所以=x 1x 2+y 1y 2=17y 1y 2﹣8（y 1+y 2）+4=．【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．21．如图，直线y=kx+b 与椭圆=1交于A ，B 两点，记△AOB 的面积为S ．（I ）求在k=0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ）当|AB|=2，S=1时，求直线AB 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（Ⅰ）设出点A ，B 的坐标利用椭圆的方程求得A ，B 的横坐标，进而利用弦长公式和b ，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值．（Ⅱ）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得AB 的长度的表达式，利用O 到直线AB 的距离建立方程求得b 和k 的关系式，求得k ．则直线的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）设点A 的坐标为（x 1，b ），点B 的坐标为（x 2，b ），由，解得，所以=≤b 2+1﹣b 2=1．当且仅当时，S 取到最大值1．（Ⅱ）解：由得，①△=4k 2﹣b 2+1，=．②设O 到AB 的距离为d ，则，又因为，所以b 2=k 2+1，代入②式并整理，得，解得，，代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是或或，或．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．已知动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4．（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点P （﹣2，1），动直线l 和坐标轴不垂直，且与轨迹C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在一定点G ，使直线l 过点G ，且使得直线PA ，PG ，PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点G 的坐标；否则，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据动圆Q 过定点A （2，0）且与y 轴截得的弦MN 的长为4，建立方程，即可求动圆圆心Q 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线的方程为x=ny+m ，代入y 2=4x ，利用韦达定理，结合k PA +k PB =2k PG ，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设Q （x ，y ），根据题意得，…整理得y 2=4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2=4x ．…（Ⅱ）设存在符合题意的定点G ．设直线的方程为x=ny+m （n≠0且n ∈R ），则G （m ，0）．…将x=m+ny 代入y 2=4x ，整理得y 2﹣4ny ﹣4m=0．由题意得△=16n 2+16m ＞0，即n 2+m ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m ，，，，由题意得k PA +k PB =2k PG ，即k PA +k PB ﹣2k PG =0，所以，… 即…把y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣4m 代入上式，整理得（m ﹣2）n=（m+2）（2﹣m ），…又因为n ∈R ，所以，解得m=2．所以存在符合题意的定点G ，且点G 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
河北省邯郸市2017_2018学年高二数学上学期期中试题(BC部)
河北省邯郸市2017-2018学年高二数学上学期期中试题（BC 部）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分 1．已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为（ ） A ．,20x x R ∃∈< B ．20x x R ∀∈<, C ．,20x x R ∃∈≤D ．20x x R ∀∈,≤2．原命题：若a +b ≥2，则a ,b 都不小于1．则原命题与其逆命题的真假是（ ） A ．原命题真，逆命题真 B ．原命题假，逆命题真 C ．原命题真，逆命题假D ．原命题假，逆命题假3．在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a （ ） A.4- B.4± C ．2- D ．2±4．已知以方程F (x ，y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上，则下列说法正确的有（ ） A ．方程F (x ，y )=0的曲线是C B ．曲线C 的方程是F (x ，y )=0C ．不在曲线C 上的点的坐标不是方程F (x ，y )=0的解D ．曲线C 上的点的坐标都是方程F (x ，y )=0的解{}1234105.1,23,456,78910,( ).505 .510 .610 .750n a a a a a a A B C D ==+=++=+++=数列中,则6．设0,0a b >>，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A ．11()()4a b a b++≥ B ．3322a b ab +>C ．22222a b a b ++≥+ D ≥7．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为3，这个椭圆方程为（ ）A .191222=+y xB .112919122222=+=+y x y x 或 C ．112922=+y x D ．以上都不对8．已知函数()2,1{,1x a x f x x a x -≤=-+>，则“函数()f x 有两个零点”成立的充分不必要条件是a ∈（ ）A. (]0,2B. (]1,2C. ()1,2D. (]0,19. ,1,(42)(0,0)7161.5 . 6 .7.8y x x y x y z a x y b a b y a bA B C D ≤⎧⎪+≤=++>>⎨⎪≥-⎩+已知满足约束条件若的最大值为，则的最小值为（ ）22121210. ,1,,126( ).4 .6 .8 .x y F F P PF F P A B C D +=∆已知焦点为的椭圆为椭圆上一点则使得为直角三角形的点共有个不确定11．已知椭圆1422=+y x 的左右顶点分别为M ，N ，P 为椭圆上任意一点，且直线PM 的斜率取值范围是]2,21[，则直线PN 的斜率的取值范围是（ ） A ．]8,2[B ．]2,8[--C ．]21,81[D ．]81,21[--12．已知点P 是椭圆13422=+y x 上一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为12PF F ∆的内心，若2211MPF F MF MPF S S S ∆∆∆λ-=成立，则λ的值为（ ） A ．32 B ．12 CD ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分2212121213.16054o x y P F F F PF F PF +=∠=∆已知点在椭圆上，、是焦点，若，则的面积是________.2214.4936(1,1) .l x y A B AB l +=已知直线与椭圆相交于、两点，弦的中点坐标为则直线的方程是1221215. .F F F P F PF ∆设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为16.以下五个命题中：①若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题②命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是q 的必要不充分条件； ③“1=a 是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件；④曲线192522=+y x 与曲线221(09)925x y k k k+=<<--有相同的焦点； ⑤设A ，B 为两个定点，若动点P 满足PB PA -=10，且6=AB ，则PA 的最大值为8；其中真命题的序号是 .（填上所有真命题的序号）三．解答题：（17题10分，其余12分）解答应写出文字说明，演算步骤．17.(1,0) 4 1:2,.M F x M -=-点与定点的距离和它到定直线的距离的比是求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形18．已知命题p ：方程22167+=+-x y m m表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤， （1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 的取值范围.{}{}{}11212319. ,2,420(2)(1)1111(2)log 1,n 1-=--=≥=+++++<L n n n n n n n n n na n S a S S n ab a T b T T T T 已知数列前项和为且满足求数列的通项公式；令为的前项和.求证：．20. 已知椭圆2241x y +=及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB ∆的面积的最大值.22.已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列． 设*1423log ()n n b a n N +=∈，数列{}n c 满足.n n n c a b =⋅（1）求证：数列{}n b 成等差数列； （2）求数列{}n c 的前n 项和;n S （3）若n c 2114m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．邯郸市一中2016-2017第一学期期中试题高二数学答案1-12 CBACA BBCCB DD； 14.4x+9y-13=0；1；16. ②⑤()2222117. ,523412 14310=+=+=∴±K K K K K K K K M x y x y x y 解：设点的坐标为（） 分化简得：即：8分轨迹为焦点为，长轴长为4的椭圆 10分18．（1）∵命题q 为真，当0m > 时， ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m ≤ 时，不等式恒成立.综上， 1m ≤ . ．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）若p 为真，则6017067267+>⎧⎪->⇒-<<≠⎨⎪+≠-⎩m m m m m m且 ， ∵若p q ∨为真， q ⌝为真，∴p q 为真为假∴11,67,172>-<<≠∴<<m m m m ．．．．．．．．．．．．．． 12分19.（1）当n ≥3时，可得S n -4S n -1-2-（S n -1-4S n -2-2）=0． ∴a n =4a n -1， (n ≥3) 又因为a 1=2，代入表达式可得a 2=8，满足上式． 所以数列{a n }是首项为a 1=2，公比为4的等比数列，故：1222124222n n n n a ---=⨯=⨯=．．． 6分 2123(22)(2)log 12,(1)921111(1)1111111111(1)()2231111121+=+===+∴==-++⎛⎫∴++++=-+-++- ⎪+⎝⎭=-<+L L K K K ．．．．．．．．．分， 分n n n n n n n b a n T n n T n n n n T T T T n n n20解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．…………6分 （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．…………12分21.解：（1）由题意可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分解得2,a b ==故椭圆的标准方程为22143x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）设()()1122,,,A x y B x y ，112121212F AB S F F y y y y ∆=⋅-=- ………………6分 由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以，12122269,3434m y y y y m m --+==++．．．．．．．．．8分 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()()22636340,m m m R ++>∈．则112121212∆=⋅-=-=F ABS F F y y y y ．．．．．10分令t =1t ≥，则121241313F ABt S t t t∆===++，令()13f t t t =+，由函数的性质可知，函数()f t在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增， 因此有()()413f t f ≥=，所以13F AB S ∆≤， 即当1t =，即0m =时，1F AB S ∆最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分22.（1）由已知可得，n n n qa a )41(11==-， n b n n 3)41(log 3241==+ 23-=∴n b n 13n n b b +∴-=}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==.．．．．．．．．．．．．．． 4分 23234123411(2)(32)()4111114()7()(32)()44441111111()4()7()(35)()(32)()4444443111111+3[()()()()](32)()444444411()1164 =+34nn n n nn n n n n n n c a b n S n S n n S n ++==-=⋅+⋅+⋅++-=⋅+⋅+⋅++-+-=++++---两式相减得L L L 111221(32)() =()()81433414n n n n n S n ++--∴-+-．．．．分1111max 1222211(3)(32)() 9()(1)441 2 () 411411144450-5 1.12n n n n n n n n n n n c n c c n c c c c c c c c m m n m m m m m m ++++=--=--=≥<∴===≤+-+-≥∴+-≥≤≥当n=1时当n 时若对一切正整数恒成立，则即可即或．．．．．．．．．．．．．．分。
2017-2018学年河北省邯郸一中高二上学期期中数学试卷与解析
2017-2018学年河北省邯郸一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为（）A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0 2．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=﹣16，a4=8，则a7=（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±24．（5分）已知以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，则下列说法正确的有（）A．方程F（x，y）=0的曲线是CB．曲线C的方程是F（x，y）=0C．不在曲线C上的点的坐标不是方程F （x，y）=0的解D．曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解5．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610 B．510 C．505 D．7506．（5分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥7．（5分）若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，这个椭圆方程为（）A．B．C．D．以上都不对8．（5分）已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（）A．（0，2]B．（1，2]C．（1，2） D．（0，1]9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）已知焦点为F1，F2的椭圆=1，P为椭圆上一点，则使得△PF1F2为直角三角形的点P共有（）个．A．4 B．6 C．8 D．不确定11．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为M，N，P为椭圆上任意一点，且直线PM的斜率取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是（）A．[2，8]B．[﹣8，﹣2]C．D．12．（5分）已知点P是椭圆=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF 1F2的内心，若成立，则λ的值为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知点P在椭圆=1上，F1、F2}是焦点，若∠F1PF2=60o，则△F 1PF2的面积是.．14．（5分）已知直线l与椭圆4x2+9y2=36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（1，1），则直线l的方程为．15．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．16．（5分）以下五个命题中：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；④曲线+=1与曲线+=1（0＜k＜9）有相同的焦点；⑤设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；其中真命题的序号是．（填上所有真命题的序号）三．解答题：（17题10分，其余12分）解答应写出文字说明，演算步骤．17．（10分）点M与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是1：2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．18．（12分）已知命题p：方程表示椭圆，命题q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0，．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足a1=2，S n﹣4S n﹣1﹣2=0（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n+1，T n为{b n}的前n项和．求证：．20．（12分）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．21．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列．设b n+2=3log a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省邯郸一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分1．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，那么命题¬p为（）A．∃x∈R，2x＜0 B．∀x∈R，2x＜0 C．∃x∈R，2x≤0 D．∀x∈R，2x≤0【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：∀x∈R，2x＞0，的否定是：∃x∈R，2x≤0．故选：C．2．（5分）设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题故选：A．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=﹣16，a4=8，则a7=（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±2【解答】解：由等比数列的性质可得，a1•a7=a42故选：A．4．（5分）已知以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，则下列说法正确的有（）A．方程F（x，y）=0的曲线是CB．曲线C的方程是F（x，y）=0C．不在曲线C上的点的坐标不是方程F （x，y）=0的解D．曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解【解答】解：根据题意，方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，反之不能确定曲线C上的点不一定都是方程F（x，y）=0的解，依次分析选项：对于A，由于不能确定曲线C上的点不一定都是方程F（x，y）=0的解，A错误；对于B，由于不能确定曲线C上的点不一定都是方程F（x，y）=0的解，B错误；对于C，方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，反之不在曲线C上的点的坐标不是方程F （x，y）=0的解，C正确；对于D，曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，错误；故选：C．5．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=2+3，a3=4+5+6，a4=7+8+9+10，…，则a10=（）A．610 B．510 C．505 D．750【解答】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．6．（5分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2﹣2b=2（﹣）≥0，∴≥故选：B．7．（5分）若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，这个椭圆方程为（）A．B．C．D．以上都不对【解答】解：根据题意，设短轴的一个端点为P，左右焦点分别为F1、F2，若△PF1F2为正三角形，则有b=c，变形可得a2﹣c2=3c2，又由焦点到椭圆上点的最短距离为，则a﹣c=，解可得a2=12，c2=3，则b2=3c2=9，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为：+=1，当椭圆的焦点在y轴上时，其方程为：+=1，故选：B．8．（5分）已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（）A．（0，2]B．（1，2]C．（1，2） D．（0，1]【解答】解：∵函数，则“函数f（x）有两个零点”⇔2﹣a≥0，﹣1+a＞0，解得1＜a≤2．∴“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（1，2）．故选：C．9．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=a（4x+2y）+b（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由x，y满足约束条件，画出可行域：∵a＞0，b＞0，z=a（4x+2y）+b，∴y=﹣2x+，其斜率﹣2＜0，在y轴上的截距为，由图象可知：当此直线过点（2，﹣1）时，z=a（4x+2y）+b取得最大值7．即6a+b=7．∴+=（+）（6a+b）=（37++）≥（37+2）=7，当且仅当a=b=1时取等号．∴的最小值为7．故选：C．10．（5分）已知焦点为F1，F2的椭圆=1，P为椭圆上一点，则使得△PF1F2为直角三角形的点P共有（）个．A．4 B．6 C．8 D．不确定【解答】解：根据题意，椭圆的方程为=1，其中a=，b=，则c==，有b=c，如图：在椭圆上，满足∠F1PF2为直角的点有2个，即A、B；满足∠PF1F2为直角的点有2个，即C、D；满足∠PF2F1为直角的点有2个，即E、F；则使得△PF1F2为直角三角形的点P共有6个，故选：B．11．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为M，N，P为椭圆上任意一点，且直线PM的斜率取值范围是，则直线PN的斜率的取值范围是（）A．[2，8]B．[﹣8，﹣2]C．D．【解答】解：M（﹣2，0）、N（2，0），设点P的坐标（x，y），则，即y2=1﹣，直线PM的斜率与直线PN的斜率之积等于×==1﹣=﹣，∵PM的斜率的取值范围是[，2]，当PM的斜率等于时，PN的斜率等于﹣，当PM的斜率等于2时，PN的斜率等于﹣，∴PN的斜率的取值范围为[﹣，﹣]，故选：D．12．（5分）已知点P是椭圆=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF 1F2的内心，若成立，则λ的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：设△PF1F2的内切圆的半径为r，∵M为△PF1F2的内心，S△MPF1=λS△MF1F2﹣S△MPF2，∴|PF1|=λ×|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|=λ|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=λ|F1F2|，∵点P是椭圆上一点，F1F2分别为椭圆的左、右焦点，∴2a=λ×2∴λ===2，故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知点P在椭圆=1上，F1、F2}是焦点，若∠F1PF2=60o，则△F 1PF2的面积是.．【解答】解：根据题意，点P在椭圆=1上，设|PF1|=m，|PF2|=n，椭圆的方程为：=1，其中a=，b==2，则c==1，由椭圆的定义可得m+n=2a=2，由余弦定理可得：m2+n2﹣2mncos60°=4c2，即（m+n）2﹣3mn=4，解可得mn=，则△F1PF2的面积S=mnsin60°=；故答案为：．14．（5分）已知直线l与椭圆4x2+9y2=36相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（1，1），则直线l的方程为4x+9y﹣13=0．【解答】解：设通过点M（1，1）的直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0设A、B的横坐标分别为x1、x2，则==1解之得k=﹣故AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，即所求的方程为4x+9y﹣13=0；故答案为：4x+9y﹣13=0．15．（5分）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．【解答】解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），设点P（c，h），则=1，h2=b2﹣=，∴|h|=，由题意得∠PF 1F2=90°，∠PF1F2=45°，Rt△PF1F2 中，tan45°=1=====，∴a2﹣c2=2ac，+2•﹣1=0，∴=﹣1，故答案为：．16．（5分）以下五个命题中：①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；④曲线+=1与曲线+=1（0＜k＜9）有相同的焦点；⑤设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；其中真命题的序号是②⑤．（填上所有真命题的序号）【解答】解：①若p∧q为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假命题，故错误；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则￢p：x=2且y=3，￢q；x+y=5，则￢p是￢q的充分不必要条件；则p是q的必要不充分条件；故正确；③“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”⇔“a=±1”故“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故错误；④曲线+=1的焦点在x轴上，曲线+=1（0＜k＜9）的焦点在y轴上，故错误；⑤设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则P点是长轴为10，焦距为6的椭圆上，则则|PA|的最大值为=8，故正确；故答案为：②⑤．三．解答题：（17题10分，其余12分）解答应写出文字说明，演算步骤．17．（10分）点M与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是1：2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解答】解：根据题意，设M（x，y），∵动点M与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣4的距离的比是，∴=，整理得：=1．∴点M的轨迹方程为=1，其轨迹为以F为焦点的椭圆．18．（12分）已知命题p：方程表示椭圆，命题q：∃x∈R，mx2+2mx+2m ﹣1≤0，．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，¬q为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当命题q为真时，即∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0，则m≤0，或，∴解得，m≤1，（2）∵命题p：方程表示椭圆∴当命题p为真时，则∴解得，﹣6＜m＜7，且m≠，若p∨q为真，￢q为真，则p真q假；即1＜m＜7．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足a1=2，S n﹣4S n﹣1﹣2=0（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=log2a n+1，T n为{b n}的前n项和．求证：．【解答】解：（1）∵数列{a n}前n项和为S n，且满足a1=2，S n﹣4S n﹣1﹣2=0（n ≥2）∴当n≥3时，可得S n﹣4S n﹣1﹣2﹣（S n﹣1﹣4S n﹣2﹣2）=0．∴a n=4a n﹣1，（n≥3）又∵a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式．∴数列{a n}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：．（2）∵b n=log2a n+1=2n，∴T n==n（n+1），∴=，∴=1﹣=1﹣＜1，∴．20．（12分）已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．【解答】解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x2+（x+m）2=1即：5x2+2mx+m2﹣1=0，△=（2m）2﹣4×5×（m2﹣1）=﹣16m2+20≥0解得：．（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程5x2+2mx+m2﹣1=0的两根，由韦达定理可得：，∴|AB|=====；∴m=0．∴直线的方程为y=x．21．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，…（2分）解得：，…（3分）故椭圆的标准方程为；…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），…（6分）由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理可知：，…（8分）又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R．则，…（10分）令，则t≥1，则，令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t=1，即m=0时，最大，最大值为3．…（12分）22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=，公比q=的等比数列．设b n+2=3log a n（n∈N*），数列{c n}满足c n=a n•b n．（1）求证：数列{b n}成等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤+m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．【解答】（1）证明：由已知可得，=，b n+2=3=3n，∴b n=3n﹣2，b n+1﹣b n=3，∴数列{b n}为等差数列，其中b1=1，d=3．（2）解：c n =a n •b n =，∴S n =++…+，=++…+，两式相减可得：=+…+﹣=﹣=，∴S n =．（3）解：c n =a n •b n =，∴c n +1﹣c n ==﹣9．当n=1时，c 2=c 1；当n ≥2时，c n +1＜c n ，∴（c n ）max =c 1=c 2=．∵c n ≤+m ﹣1对一切正整数n 恒成立，∴+m ﹣1，化为m 2+4m ﹣5≥0， 解得m ≤﹣5或m ≥1．∴实数m 的取值范围是m ≤﹣5或m ≥1．。
河北省邯郸市高二上学期数学期中考试试卷
河北省邯郸市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高二下·太原月考) 直线（为参数）的倾斜角是（）A .B .C .D .2. （1分）利用斜二侧画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O’A’=O’B’=1，则直线AB在直角坐标系中的方程为（）A . x+y=1B . x-y=1C .D .3. （1分）如图S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC＝AB，E、F分别为SC、AB中点，则异面直线EF与AB所成角为（）A . 60ºB . 90ºC . 45ºD . 30º4. （1分）“若，则”为真命题，那么不能是（）A .B .C .D .5. （1分） (2018高二上·长寿月考) 如果直线与直线平行，则a的值为（）A . 3B . －3C . 5D . 06. （1分）已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24,则正视图中a的值为（）A . 8B . 6C . 4D . 27. （1分）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（）A . 2x+y﹣3=0B . 2x﹣y﹣3=0C . 4x﹣y﹣3=0D . 4x+y﹣3=08. （1分） (2018高二上·慈溪期中) 点P 在圆的内部，则的取值范围是（）A .B .C .D .9. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .10. （1分） (2017高二上·廊坊期末) 已知命题p：∀x∈R，x2+2x﹣a＞0．若p为真命题，则实数a的取值范围是（）A . a＞﹣1B . a＜﹣1C . a≥﹣1D . a≤﹣111. （1分）已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1，， 2，则其外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （1分）平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·浙江期中) 已知、，点线段（含端点）上移动，则的最小值为________．14. （1分） (2018高二上·嘉兴月考) 已知点A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC中，BC边上中线所在的直线方程为________．15. （1分） (2016高二上·金华期中) 过平面外一点可以作________直线与已知平面平行．16. （1分）已知方程x2+y2+4x﹣2y﹣4=0，则x2+y2的最大值是________三、解答题 (共6题；共12分)17. （2分） (2016高三上·遵义期中) （在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．18. （2分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为6的等边三角形，点A1在底面△ABC内的射影为△ABC的中心O，D，E分别为A1B1 ， BC的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若AA1=4 ，求四棱锥A1﹣CBB1C1的表面积．19. （2分）(2017高一下·东丰期末) 已知圆 : 圆求：（1）圆上的点到直线的最大距离；（2）圆与圆与的公共弦长。
河北省邯郸市高二上学期期末考试数学(理)试题
邯郸市2017～2018学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“2x >”是“260x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2.曲线32y x x =-在点(1,1)处的切线方程为（ ） A ．20x y +-= B ．540x y --= C ．540x y -+= D ．320x y --=3.已知{}n a 为等比数列，且32a =，78a =，则5a =（ ）A ．．±．4 D ．4±4.双曲线2214y x -=的一个焦点到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．5.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F N 分别是11,CC BB 和AB 的中点，则异面直线1A E 与NF 所成角的余弦值为（ ）A ．0B D 6.已知,,,a b c d R ∈，且a b >，c d >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c da b< B ．22a b > C.ac bd > D ．a d b c ->-7.在ABC ∆中，三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，已知4A π=，2a =，b ，则B =（ ）A ．3π B ．23π C.3π或23π D ．6π或3π8.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“sin sin αβ>，则αβ>”的逆否命题是真命题B ．命题“0x ∀≥，均有22x x ≥”的否定为“00x ∃≥，使得0202x x <”C.命题“p q ∧”的否定是“p q ⌝∧⌝”D ．命题“若a b >，则33a b >”的否命题为“若a b >，则33a b ≤”9.在平面直角坐标系中，已知定点(0,2)A -，(0,2)B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为4，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)4y x x +==≠B ．2214y x +=C. 2214y x -= D ．221(0)4y x x -=≠10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，525S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．21nn - B ．121n n -+ C. 21n n + D ．221n n + 11.已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点和右焦点，抛物线24y cx =与双曲线在第一象限的交点为P ，若1||4PF a c =+，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 BC.2 D12.已知函数1()(12)ln(1)f x a e x x =-+-+有两个零点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,)+∞B ．1(,)e-∞-C. 1(,)(0,)e -∞-+∞ D ．1(,)2e-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2214y y x x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≥-⎩，则z x y =-的最大值为 ．14.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若||6AB =，AB 的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为 ．15.已知0x >，0y >，且3x y xy ++=，则x y +的最小值为 ．16.已知数列1214218421{}:,,,,,,,,,1121241248n a 其中第一项是0022，接下来的两项是100122,22，再接下来的三项是210012222,,222，依此类推，则979899100a a a a +++= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若22b a ==，求c 的值和ABC ∆的面积.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，141n n n a a S +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）令2n a n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且45DAB ∠=︒，PA AB =，12CD AB =，且//CD AB ，BC CD ⊥.（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值.20.某粮库拟建一个储粮仓如图所示，其下部是高为2的圆柱，上部是母线长为2的圆锥，现要设计其底面半径和上部圆锥的高，若设圆锥的高1AO 为x ，储粮仓的体积为y .（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式；（圆周率用π表示） （Ⅱ）求1AO 为何值时，储粮仓的体积最大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点3(0,)2P ，且||AB =求直线l 的方程.22.设函数()(1)ln f x a x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意的1x ≥，恒有()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DCBDC 11、12：AC二、填空题13.2 14. 24y x = 15.2 16. 858三、解答题17.解：（Ⅰ）由2cos (cos cos )C a B b A c +=，由正弦定理，得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，则2cos sin()sin C A B C +=. ∵A B C π++=，,,(0,)A B C π∈，∴sin()sin 0A B C +=>， ∴2cos 1C =，1cos 2C =，∵(0,)C π∈，∴3C π=. （Ⅱ）由22b a ==，得1,2a b ==.根据余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，∴c =∴11sin 122ABC S ab C ∆==⨯⨯222⨯=. 18.解：（Ⅰ）由题设，得141n n n a a S +=-，12141n n n a a S +++=-，两式相减得121()4n n n n a a a a +++-=. ∵0n a ≠，∴24n n a a +-=.由题设11a =，12141a a S =-，可得23a =，由24n n a a +-=，知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143m a m -=-. 令21n m =-，则12n m +=，∴()2121n a n n m =-=-. 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列，241m a m =-.令2n m =，则2n m =，∴21(2)n a n n m =-=.∴21()n a n n N *=-∈. （Ⅱ）令2112(21)()42n n n b n n -=-=-⨯.211(1)4(2)422n T =-⨯+-⨯1()42n n ++-⨯. ①214(1)42n T =-⨯31(2)42+-⨯+11()42n n ++-⨯. ②①-②，得123134442n T -=⨯++114()42n n n +++--⨯，即21114(14)34214n n T ---=⨯+-11()42n n +--⨯=1105()436n n +---，1105()4363n n n T +---=-(1210)10499n n -=⨯+.19.（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥.又CD AB ∥，BC CD ⊥， ∴BC AB ⊥.故BC ⊥平面PAB .又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAB .（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB BC ⊥，设BC 的方向为x 轴正方向，BA 的方向为y 轴正方向，过点B 作PA 的平行线为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.不防设2PA AB ==，又∵45DAB ∠=︒，PA AB =，1//2CD AB ， ∴1DC BC ==.连接BD ，又B C C D⊥，∴BD =∴BD AD ⊥，∴BD ⊥平面ADP .∴(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2)A C D P ，(1,1,2)DP =-，(0,1,0)CD =，(1,1,0)BD =.设111(,,)n x y z =为平面PDC 的法向量，则0n CD n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1111020y x y z =⎧⎨-++=⎩，可取(2,0,1)n =.∵()110BD =，，为平面PAD 的法向量，∴10cos ,5||||n BD n BD n BD ==又二面角A PD C --的平面角为钝角，∴二面角A PD C --的余弦值为. 20.解：（Ⅰ）∵圆锥和圆柱的底面半径2r x =<<， ∴22123y r r x ππ=⨯+.∴2212(4)(4)3y x x x ππ=-+-，即32142833y x x x ππππ=--++，02x <<. （Ⅱ）2443y x x πππ'=--+，令2443y x x πππ'=--+24(4)03x x π=-+-=，解得12x =-22x =-+.又02x <<，∴12x =-.当x 变化时，,y y '的变化情况如下表：故当12AO =-+时，储粮仓的体积最大. 21.解：（Ⅰ）由题意得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.故椭圆C 的方程是2214x y +=. （Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx t =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2214y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得222(14)8440k x ktx t +++-=.则有122814ktx x k-+=+，21224414t x x k -=+. 1212y y kx t kx t +=+++1222()214tk x x t k=++=+. 设,A B 的中点为(,)D m n ，则1224214x x kt m k +-==+，122214y y tn k+==+. ∵直线PD 与直线l 垂直，∴312PD m k k m-=-=-，整理得21142t k =-+.∴2142(0)k t t +=-<.又∵||AB ====，==1t =-或3t =. ∵3t =与0t <矛盾，∴1t =-.∵21142t k =-+，∴12k =±. 故直线l 的方程为112y x =-或112y x =--.22．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为0x >，()1ln f x a x '=--，若()0f x '=， 则ln 1x a =-，1a x e -=，又∵()f x '是单调递减的， ∴当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 在区间1(0,)a e-内为增函数，在区间1(,)a e -+∞内为减函数.（Ⅱ）(1)0f =，()1ln f x a x '=--.当1a ≤时，在1x ≥上，()0f x '≤，故函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，()(1)0f x f ≤=.当1a >时，在1x ≥上，()1ln 0f x a x '=--=，解得111a x e -=>.又()1ln f x a x '=--在(1,)+∞上单调递减，∴在1(1,)x 上()0f x '>，函数()f x 在1(1,)x 上单调递增，()(1)0f x f ≥=与任意1x ≥， 恒有()0f x ≤成立矛盾.综上，实数a 的取值范围为(,1]-∞.。
河北省邯郸市第二中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题
河北省邯郸市第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{}1|21x B x +=>，则C B A =（ ）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(3,)-∞-+∞2．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．30B ．20C ．40D ．503．在ABC 中，若acosC ccosA bsinB +=，则此三角形为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知命题()()310p x x -+>：，命题2:210q x x -+>，则命题p 是命题q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．在公差不为零的等差数列{}n a 中，2579220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则259log b b =（）（ ） A ．1B ．2C ．4D ．86．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．3log 4log 3x y x =+ B ．4x x y e e -=+ C ．4sin sin y x x =+（0πx <<） D ．4y x x=+7．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 5=5，那么5122a a +的最小值为（ ） A ．4B ．C ．2D8．已知实数x y ，满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若目标函数Z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |-1≤a ≤1}B ．{a |a ≤-1}C ．{a |a ≤-1或a ≥1}D ．{a |a ≥1}9．若0a b ＜＜，则下列不等式：①|a |＞|b |；②11a b ＞；③2a bb a＞+；④a 2＜b 2中，正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1a =，22b acosC =，sinC =ABC 的面积为（ ） ABCD11．定义12nn p p p +++为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．111B ．112 C ．1011D ．111212．给出下列命题：①命题“若240b ac -<，则方程()200++=≠ax bx c a 无实根”的否命题；②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若0ab >>0>>”的逆否命题；④“若m 1≥，则()()22130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题；其中真命题的序号为（ ） A ．①②③④ B ．①②④C ．②④D ．①②③二、填空题13．若实数,a b 满足221a b +=，则+a b 的最大值是__．14．如图所示，为测量一水塔AB 的高度，在C 处测得塔顶的仰角为60°，后退20米到达D 处测得塔顶的仰角为30°，则水塔的高度为______米．15．若变量,x y 满足约束条件1{133x y x y x y +≥-≥--≤，则21y z x +=+的最大值为__________． 16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =, 对任意,p q ∈N *, 都有p q p q a a a +=+， 则()60(1n S f n n n +=∈+N *)的最小值为__________.三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n n n b a log a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．在ABC ∆ 中，已知三内角A,B,C 成等差数列，且11sin 214A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . （Ⅰ）求tan A 及角B 的值；（Ⅱ）设角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且5a = ，求b,c 的值. 19．（1）若0x >，0y >，且281x y+=，求xy 的最小值． （2）已知0x >，0y >满足21x y +=，求11x y+的最小值． 20．已知a R ∈，解关于x 的不等式()2110ax a x -++>.21．设有两个命题.命题p :不等式()2110x a x -++≤的解集是∅；命题q :函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数.如果p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求a 的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*122n n N S a n =-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围．参考答案1．A 【分析】首先解得集合A ，B ，再根据补集的定义求解即可. 【详解】 解：{}2|230{|13}A x x x x x =--<=-<<，{}1|21{|1}x B x x x +=>=>-，{}C |3[3,)B A x x ∴=≥=+∞，故选A ．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题. 2．B 【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值. 【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=. 故选：B. 【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单. 3．C 【解析】在ABC 中，由acosC ccosA bsinB +=以及正弦定理可知，2sin cos sin cos sin A C C A B +=，即2sin sin sin A C B B +==（），∵0B π<<，sin 0B ≠，∴1sinB =，2B π=，所以三角形为直角三角形，故选C.4．A 【解析】由()()310p x x ：-+>，得1x <-或3x >，∴命题2:210q x x -+>，解得1x ≠，由于p q ⇒成立，q p ⇒不成立，即命题p 是命题q 的充分不必要条件，故选A.5．C 【解析】∵数列{}n a 为等差数列，∴7592a a a =+，∵2579220a a a -+=，∴27740a a -=，∵70a ≠，∴74a =，∵数列{}n b 是等比数列，∴22597716b b b a ===，故()2592log log 164b b ==，故选C.6．B 【分析】对于A 可以根据基本不等式成立的条件判断；对于B 根据基本不等式成立的条件满足时，运用基本不等式即可求出最小值; 对于C 最小值取4时sinx=2，这不可能；对于D ，取特殊值x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4. 【详解】A y=log 3x+4log x 3，当log 3x ＜0，log x 3＜0故不正确；B y=e x +4e ﹣x ≥4，当且仅当x=ln2时等号成立．正确.4sin sin Cy x x =+（0x π<<），y=4sin sin y x x=+≥4，此时sinx=2，这不可能，故不正确； ④4y x x=+，当x=﹣1时，y=﹣5显然最小值不是4，故不正确； 故选B 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域，解题的关键是最值能否取到，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 7．A 【解析】由等差数列的前n 项和公式()155552a a S +==，即152a a +=，由512020a a >>，，55151122222224a a a a a a ++≥⋅===，当且仅当5122a a =，即151a a ==，取“=”，∴5122a a +的最小值4，故选A.8．A 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，直线y ax z =-+是斜率为a -，y 轴上的截距为z 的直线，作出不等式组6003x y x y x -+≥+≥≤对应的平面区域如图：则A 39（，），B 33-（，），()3,3C -，∵z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，可知目标函数经过A 取得最大值，经过C取得最小值，若0a =，则y z =，此时z ax y =+经过A 取得最大值，经过C 取得最小值，满足条件，若0a >，则目标函数斜率0k a =-<，要使目标函数在A 处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足1a kBC -≥=-，即1a ≤，可得01]a ∈（，，若0a <，则目标函数斜率0k a =->，要使目标函数在A 处取得最大值，在C 处取得最小值，可得1a kBA -≤=∴10a ＜-≤，综上可得[11]a ∈-，，故选A. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9．C 【解析】对于①，根据不等式的性质，可知若0a b ＜＜，则a b >，故正确，对于②若0a b ＜＜，两边同除以ab ，则 a b abab <，即11b a <，故正确，对于③若0a b ＜＜，则 00a b b a>>，，根据基本不等式即可得到2a bb a＞+；故正确，对于④若0a b ＜＜，则22a b >，故不正确，故选C. 10．C 【解析】∵22b acosC =，∴由正弦定理可得2sin 2sin cos B C A C =，∴2sin 2sin cos A C C A C +=（），∴2cos sin A C C =，∴cos A =，∴6A π=，∵sin 2C =，∴3C π=或23π，6A π=，3C π=，2B π=，1a =，∴ABC的面积为1122⨯⨯=6A π=，23C π=，6B π=，1a =，∴ABC的面积为1 112⨯⨯=故选C. 11．C 【分析】 由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】 由已知得12121nna a n a =++++， ∴()1221n n a a a n n S +++=+=，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴故选：C 【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 12．A 【分析】①写出其否命题，再判断真假；②写出其逆命题，再判断真假；③根据原命题与逆否命题真假性相同，直接判断原命题的真假即可；④写出其逆命题，再判断真假. 【详解】①命题“若240b ac -<，则方程()200++=≠ax bx c a 无实根”的否命题为：“若240b ac -≥，则方程()200++=≠ax bx c a 有实根”,为真命题，所以正确.②命题“在ABC ∆中，AB BC CA ==，那么ABC 为等边三角形”的逆命题为： “若ABC ∆为等边三角形，则AB BC CA ==”为真命题，所以正确.③命题“若0a b >>0>>”为真命题，根据原命题与逆否命题真假性相同，所以正确.④“若1m ≥，则()()22130mx m x m -+++≥的解集为R ”的逆命题为：“若()()22130mx m x m -+++≥的解集为R ，则1m ≥”当0m =时，230x -+≥不是恒成立的.当0m ≠时,则()()241430m m m m >⎧⎪⎨∆=+-+≤⎪⎩解得：1m ≥，所以正确. 故选：A 【点睛】本题考查四种命题和互化和真假的判断，属于基础题. 13．﹣2 【解析】22a b +≥=，即11224a ba b +≤⇒≤⇒+≤- ，所以+a b 的最大值是-2，故填：-2.14．【解析】设AB hm =，则BC =，BD =，则20-=，∴h =，故答案为15．3 【解析】做出如图所示可行域，由21y z x +=+，可看作(),x y 与()1,2--间连线的斜率，由题21310AC k --==--时斜率最大．故本题填3． 点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法:①()0z ax by b =+≠利用截距的几何意义;②()0ay bz ac cx d+=≠+利用斜率的几何意义;③()()22z x a y b =-+-利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式,求出(),x y 的可行域,利用(),x y 的条件约束,做出图形.数形结合求得目标函数的最值. 16．292【解析】由题可设1,p q n == ，则1112n n n n a a a a a ++=+∴+= ，则数列{}n a 是以2 为首项，2 为公差的等差数列，()()2222122,2n n n n a n n S n n +=+-⨯===+ ，()260606060111111n S n n f n n n n n n n +++===+=++-++++ ，当且仅当60111n n n +=⇒=+时()f n 取得最小值，由*n N ∈ ，所以6n =或7n =，因为 ()()()()102296,7,6772f f f f ==∴>，即()f n 得最小值为292点睛：本题考查数列的递推公式即等差数列的有关性质，解题时注意*n N ∈ 17．（1）12n n a -=；（2）()1212n n n ++- 【详解】（1）由题意可得32421a a a +=+（）， 即2222214a a a +=+（）， 解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）121log 2n n n n b a a n -+=+=+，12112312320222n n n T b b b b n -=+++⋯+=+++⋯+++++⋯+（）（）=()112212n n n +-+-=()1212n n n ++-．18．（Ⅰ）tanA=11,3B π= （Ⅱ）b=7,c=8【解析】试题分析：（Ⅰ）诱导公式由11sin 214A π⎛⎫+=⎪⎝⎭可得11cos 14A =，根据同角基本关系得出tan A（Ⅱ）正弦定理得sin 7sin a B b A==，求出sinC ，再由正弦定理得sin 8sin a Cc A ==. 试题解析：（Ⅰ）由11sin 214A π⎛⎫+=⎪⎝⎭可得11cos 14A = ，因0A π<< ，则sin tan 1411A A =⇒=由A,,B C 成等差数列可得2B A C =+，因为3B π=，所以3B π=，（Ⅱ）因5a =，sinA =3B π=所以由正弦定理得sin 57sin 2a B b A ==⨯=又因为,sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1111421427=+⨯=所以由正弦定理得sin 58sin 7a C c A ==⨯=19．（1）64；（2）3+ 【解析】试题分析：（1）利用基本不等式的性质28x y +≥即可得出；（2）利用“乘1法”即()11112x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭与基本不等式的性质即可得出.试题解析：（1）∵x ＞0，y ＞0，且2x +8y =1∴：1=2x +8y ≥8，当且仅当8x =2y ，即x =4，y =16时取等号． 那么：xy ≥64故xy 的最小值是64．（2）∵x ＞0，y ＞0，x +2y =1，那么：11xy +=（11x y +）（x +2y ）=1+22x y y x ++=3+x y ，即x，y 时取等号，故11x y +的最小值是：3+ 20．见解析 【分析】当0a =时求解一次不等式，当0a ≠时，求出对应方程的根11x a=，21x =，从而对1a >、1a =、01a <<、0a <分类讨论一元二次不等式的解集.【详解】当0a =时，10x -+>，∴1x <，则()2110ax a x -++>的解集为{}|1x x <.当0a ≠时，解()2110ax a x -++=，得11x a=，21x =. ①当1a >时，11a <，则()2110ax a x -++>的解集为1|,1x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或. ②当1a =时，11a=，则()2110ax a x -++>的解集为{}|1x x R x ∈≠且. ③当01a <<时，11a >，则()2110ax a x -++>的解集为1|1,x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.④当0a <时，11a <，则()2110ax a x -++>的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 综上：（1）1a >时，解集为1|,1x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （2）当1a =时，解集为{}|1x x R x ∈≠且； （3）当01a <<时，解集为1|1,x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； （4）当0a =时，解集为{}|1x x <； （5）当0a <时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.21．][()3,01,-⋃+∞ 【分析】根据一元二次不等式的解集、指数函数单调性可分别求得,p q 为真命题时a 的范围；由复合命题真假性可知,p q 一真一假，则分别讨论两种情况得到结果. 【详解】若命题p 为真，则()2140a ∆=+-<，解得：31a -<< 若命题q 为真，则11a +>，解得：0a >p q ∧为假命题，p q ∨为真命题 ,p q ∴一真一假若p 真q 假，则30a -<≤；若p 假q 真，则1a ≥ a ∴的取值范围为(][)3,01,-+∞【点睛】本题考查根据复合命题真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次不等式的解集求解参数范围、根据指数函数单调性求解参数范围的问题；关键是能够根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.22．（1）22n n a -=，21n b n =-；（2）()132322n n T n -=+-（3）(,-∞ 【详解】(1)解: ∵122n n S a =-，∴11111222S a a =-⇒=,当2n ≥时，11122n n S a --=-，∴1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴()*122,n n a a n n N -=≥∈，∴{}n a 是首项为112a =，公比为2的等比数列，因此2*2,n n a n N -=∈，当1n =时，满足11a S =，所以2*2,n n a n N -=∈，因为()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以120n n b b +-+=，而11b =，所以21n b n =-. (2)∵()()2*212n n n n c a b n n N -=⋅=-∈，∴()21113252212n nTn -=⨯+⨯+⨯++-③，因此()()2212112325221221n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-+-④，③-④得：()()2211212222212n n n T n ---=+++++--()111122221212n n n ---=+⨯---()132322n n -=-+-，∴()132322n n T n -=+-(3)证明:由(1)知1n ≥，()222221n nnb n a -=-，∵()()()2221221221221n n n n nn b b n n a a --++-=+--()()225601n n n -=-<≥，∴数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递减数列；∴当1n ≥时，1221n n b ba a ≤=即2n nb a 最大值为1，由2221k λλ-+>可得221k λλ<+，12k λλ<+，而当0λ>时，12λλ+≥λ=时取等号，∴(k ∞∈-.。
【精选】河北省邯郸市鸡泽县_高二数学上学期期中试题理
2017-2018学年度第一学期期中考试高二理科数学1. 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）第Ⅱ卷（主观题）两部分，试卷满分150分，时间120分钟.2. 请将答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在等差数列中，若，，则公差等于A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2.已知的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.在△ABC 中，若a 2+b 2＜c 2，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4.已知命题:负数的立方都是负数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是 A ． Ｂ．C ．D ．5.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）..3..6.已知数列{}是递增等比数列，，则公比A ．B ．C ．D ．7.某观察站与两灯塔、的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东30，灯塔在观察站南偏东30处，则两灯塔、间的距离为（ ）A ．800米B ．700米C ．500米D ． 400米8.在下列函数中，最小值是2的是（）9.已知实数x，y满足如果目标函数z=y﹣x的最小值为﹣2，则实数m等于（）A．﹣4 B．﹣2C．0 D．110.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则m=（）A．B．C．D．11.在各项均为正数的等比数列中,公比.若,,数列的前项和为,则当取最大值时,的值为（）A.8B.9C.8或9D.1712.椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填在答题卡相应的位置上。
）13.命题“使”的否定是 ______ ．14.过抛物线y2=4x的焦点且斜率为1的直线交该抛物线于A、B两点，则|AB|= ______ ．15.设a＞0，b＞0，是a与b的等比中项，log a x=log b y=3，则的最小值为．16．已知点P为椭圆上一动点，F为椭圆的左焦点，若直线PF的斜率大于，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围为______ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）2．已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣23．设数列{a n}满足a n=3a n（n≥2），且a1=3，则a20=（）﹣1A．317B．318C．319D．3204．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．5．若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c6．已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=17．若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．8．已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．109．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．11．如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里12．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为．14．若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为．15．在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是．16．设S n 为正项数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a n +1（S n +S n +1）=n ，则S 16= ．三、解答题（共6小题，满分70分） 17．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距为8，且经过点A （﹣1，3）；（2）焦点在x 轴上，短轴长为8，离心率为．18．已知p ：∃x ∈R ，m ≥﹣cos 2x +2sinx +3；q ：∀x ∈R ，函数f （x ）=lg （mx 2﹣mx +1）有意义．（1）若p ∨q 为真，求m 的取值范围； （2）若（￢p ）∧q 为真，求m 的取值范围．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB=3bcosA ． （1）求A 的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC 的面积．20．用硬纸做一个体积为80cm 3，高为4cm 的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．21．已知数列{a n }满足a 1=2，a n =2﹣（n ≥2），记b n =．（1）证明：数列{b n }为等差数列；（2）求数列{a n a n +1+a n +a n +1+1}的前n 项和S n ．22．已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），圆O ：x 2+y 2=4恰好经过椭圆C 的两个焦点和两个顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）经过原点的直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ，B 两点，AM ⊥x 轴于点M ，连接BM 并延长交椭圆C 于N ，证明：以线段BN 为直径的圆经过点A ．2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（）A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞）D．（0，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），则A∩B=（0，3）．故选：A．2．已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（）A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2【考点】2J：命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，故选：C3．设数列{a n}满足a n=3a n（n≥2），且a1=3，则a20=（）﹣1A．317B．318C．319D．320【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】先求出等比数列的通项公式即可求出答案【解答】解：数列{a n}满足a n=3a n﹣1（n≥2），且a1=3，∴{a n}设一3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n=3n，∴a20=320，故选：D4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，求出sinC的值，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】解：由于：，则：=，又a=2c，利用正弦定理：，解得：，故选：D．5．若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（）A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c【考点】72：不等式比较大小．【分析】作差判断差的符号，可得a≥b，且b＞c，综合可得答案．【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，综上可得：a≥b＞c，故选：A6．已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（）A．B．C．=1 D．=1【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】求出椭圆x2=1在长轴上的顶点；设椭圆M的焦点坐标，利用椭圆经过的点，求解椭圆方程即可．【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，即有椭圆M的方程为：．故选：B．7．若公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，则d=（）A．B．C．D．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，依次求出前3项，由2a2=a1+a3，求出a=，由此能求出d．【解答】解：∵公差为d的等差数列{a n}满足a n=（3a﹣1）n2+2an，∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，∵a1，a2，a3成等差数列，∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），解得a=，∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．故选：B．8．已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（）A．5B．9 C．6D．10【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF′|．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，这样即可求得|PA|﹣|PF′|的最大值，从而求出|PA|+|PF|的最大值．【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，∴|PA|+|PF|的最大值为6+，故选：C．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及等差数列的性质判断即可．【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，故选：A．10．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=n（2n﹣1）a n，且a1=1，则S n=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，可得a n=n（2n，化为：=．利用“累乘求积”即可得﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1出．【解答】解：∵S n=n（2n﹣1）a n，n≥2时，S n﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，∴a n=n（2n﹣1）a n﹣（n﹣1）（2n﹣3）a n﹣1，化为：=．∴a n=•…•••×1=．∴S n=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．故选：C．11．如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（）A．海里B．海里C．海里D．海里【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】利用正弦定理计算AC，再利用余弦定理计算距离．【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，由正弦定理得：，即，解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，∴CD==2（+1）．故选C．12．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y 轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒，由⇒即可求解．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．14．若椭圆C ： =1（m ＞0）的离心率为，则其长轴长为 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的离心率求出m ，然后求解椭圆的长轴长即可．【解答】解：椭圆C ：=1（m ＞0）的离心率为，可得：，解得m=2，椭圆长轴长为：2=2．故答案为：2．15．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A +C=2B ，bsinA=6sinB ，若符合条件的三角形有两解，则b 的取值范围是 ．【考点】HP ：正弦定理．【分析】直接利用三角形内角和定理的应用求出B 的值，进一步利用正弦定理求出a 的值，进一步利用三角形解的情况求出b 的范围．【解答】解：△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A +C=2B ， 则：A +B +C=180°， 解得：B=60°， 由于：bsinA=6sinB ，则：，解得：a=6．若符合条件的三角形有两解， 则：a ＞b ≥asinB ，即：，故答案为：．16．设S n 为正项数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a n +1（S n +S n +1）=n ，则S 16= 11 ．【考点】8H ：数列递推式．【分析】a n +1（S n +S n +1）=n ，可得（S n +1﹣S n ）（S n +S n +1）=n ，可得﹣=n ，利用累加求和即可得出．【解答】解：∵a n+1（S n+S n+1）=n，∴（S n+1﹣S n）（S n+S n+1）=n，∴﹣=n，∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．则=+1=121，S16＞0．∴S16=11．故答案为：11．三、解答题（共6小题，满分70分）17．求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），结合椭圆经过点的坐标可得2a=+=6，结合椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分析可得要求椭圆中b=4，由离心率公式变形可得e2===1﹣=，解可得a2的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），又由椭圆经过点A（﹣1，3），则2a=+=6，则a=3，又由c=4，则b2=a2﹣c2=2，则要求椭圆的方程为+=1；（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，离心率为，则有e2===1﹣=，解可得a2=25；则要求椭圆的方程为： +=1．18．已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg（mx2﹣mx+1）有意义．（1）若p∨q为真，求m的取值范围；（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，（1）求出p，q的并集即可；（2）判断出p假q真，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，故p为真时，m≥1；m=0时，f（x）=lg1有意义，m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，故q为真时，0≤m＜4，（1）若p∨q为真，则m≥0；（2）若（￢p）∧q为真，则p假q真，则，故m∈[0，1]．19．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB=3bcosA ． （1）求A 的大小；（2）若a=7，b=5，求△ABC 的面积． 【考点】HP ：正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理求出A 的值．（2）利用（1）的结论和同角三角函数的关系式求出sinC 的值，进一步利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB=3bcosA ，利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA ， 解得：tanA=3， 则：A=arctan3．（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，由于：a=7，b=5，利用正弦定理：，解得：sinB=，则：cosB=，所以：sinC=sin （A +B ）=sinAcosB +cosAsinB=．所以： =．20．用硬纸做一个体积为80cm 3，高为4cm 的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值． 【考点】7F ：基本不等式．【分析】首先利用长方体的体积公式求出xy=20，进一步利用表面积公式和均值不等式求出结果．【解答】解：硬纸做一个体积为80cm 3，高为4cm 的长方形无盖纸盒， 设这个纸盒的长，宽各为x 和y 时， 则：4xy=80，解得：xy=20．则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．21．已知数列{a n}满足a1=2，a n=2﹣（n≥2），记b n=．（1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n a n+1+a n+a n+1+1}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）根据题意，对a n=2﹣变形分析可得=+，又由b n=可得b n=b n+，由等差数列的定义分析可得答案；﹣1（2）由（1）的结论可得b n=，即=，变形可得a n=﹣1，代入a n a n+1+a n+a n+1+1中化简可得a n a n+1+a n+a n+1+1=9（﹣），由裂项相消法计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，数列{a n}满足a n=2﹣，则有a n+1=3﹣=，变形可得=+，由于b n=，即b n=b n﹣1+，b1==，数列{b n}为等差数列，其首项为，公差为；（2）有（1）可得：b n=，即=，则a n=﹣1，则a n a n+1+a n+a n+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；则S n=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，（2）设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=，k BM==可设直线BN方程为：y=，联立椭圆方程，可得N的坐标，只需求得即可证明以线段BN为直径的圆经过点A．【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．∴椭圆C的标准方程为：．（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=∴k BM==∴可设直线BN 方程为：y=由得，x B +x N =﹣x 1+x N =⇒x N =，y N ==，∴，∴=﹣+k 2x 12==0．∴AB ⊥AN ，即以线段BN 为直径的圆经过点A ．。