与三角形面积有关的最值问题的求解策略
三角函数最值的求解策略(解析版)
三角函数最值的求解策略【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。
解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 f (x )a sin 2 xb cos 2 xc sin x cos xd 类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 ya sin xb cos xc 形式；第二步 利用辅助角公式a sin x b cos xa sin(x) 化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.x4x cos4例1 已知函数 fx 在 x 0 ，2上的最x，则 f大值与最小值之差为 ．【答案】3i n 2 2 s i n x2x66 , 76，即为换元思想，把2x6 看作一个整体，利用 ysin x 的单调性即可得出最值，这是解决 y a sin xb sin x 的常用做法．【变式演练1】设当x时，函数 f (x )2sin xcos x 取得最大值，则cos__________．【变式演练2】已知函数 f (x ) 4cos x sin(x )1(0) 的最小正周期是．6(1)求 f (x ) 的单调递增区间；3(2)求 f (x ) 在[ ， ]上的最大值和最小值．【答案】58 8【答案】(1) 6 k , 3k k Z ； (2) 最大值2 、最小值 622所以 f x 在8 , 38上的最大值和最小值分别为2 、 6 2 2 .考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数 yA sinx 的性质；【变式演练3】已知函数 f (x ) sin xa cos x 图象的一条对称轴是 x，且当 x(2) 当 3,88x时， 72,612 12x2sin 262fx x,4时，函数g(x) sin x f (x) 取得最大值，则cos．【答案】5【解析】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换．2 x sin2 x) 2cos2(x ) 1的定义域为[0,]. 【变式演练4】已知 f (x) 3(cos4 2 (1)求 f (x) 的最小值.(2)ABC中, A 45 ,b 32 ,边a的长为函数3 3 f (x) 的最大值,求角 B 大小及ABC的面积.【答案】(1)函数 f (x) 的最小值 3 ；(2) ABC的面积S 9(3 1) .【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.x x) 3cos 2 x 3 .【变式演练5】已知函数 f (x) cos(2（I）求 f (x) 的最小正周期和最大值；2（II）求 f (x) 在[ , ]上的单调递增区间．6 3【答案】（I） f (x) 的最小正周期为，最大值为1；（II）[, 5]．6 12【解析】试题分析：（I ）利用三角恒等变换的公式，化简 f x sin(2x ) ，即可求解 f (x )35的最小正周期和最大值；（II ）由 f (x ) 递增时，求得kx k(kZ )，12125即可得到 f (x ) 在[ , ]上递增．6 12 试题解析： f (x ) （-cos x )()31cos2x 3221sin2x3 cos2x sin(2x)223（I ） f (x ) 的最小正周期为，最大值为1；（II ） 当 f (x ) 递增时，2k2x 2k (k Z )，2 325即kxk(kZ ),12125 所以， f(x ) 在[ ,]上递增 6 12 25即 f (x ) 在[ , ]上的单调递增区间是[ , ]6 3 6 12考点：三角函数的图象与性质．方法二 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子 解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值. 第三步 得出结论.例2 函数 f (x ) cos 2x2sin x 的最小值为．函数 ycos 2 xa sin xa 22 a5有最大值2，【变式演练6】已知求实数a 的值．【答案】 a【解析】 试题分析： ysin 2 x a sin x a 2 2 a 6 ，令sin x t ,t 1,1，则 yt 2ata 22 a6 ，对称轴为ta ，【答案】考点：三角函数的最值．【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于sin x的二次函数，根据sin x 的取值范围[－1，1]，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值．【变式演练7】函数 f x sin x cos x 2sin x cos x x4, 4 的最小值是__________．【答案】1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈ 4 , 4 ，化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1设sinx+cosx=t，则t=２sin（x）x+ ，那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．∵x∈ 4 , 4t 1．∵函数g（t）=t2+t﹣1．∴x+ ∈[0，]，所以：04 ２１开口向上，对称轴t=－，∴0 t 1是单调递增．２当t=0时，g（t）取得最小值为-1．求函数y 74sin x cos x4cos2 x4cos4 x的最大值与最小值.方法三直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步得出结论.【点评】若函数表达式可化为形如 yat t 21（其中t 1，t 2 为含有三角函数的式子）， b则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三角函数的最值.【高考再现】） f (x )1.【2017全国III 文，6】函数的最大值为（例 3 求函数2 sin2 cosx yx的最值 .【答案】2 sin 2 cosx y x的最大值为4 3，最小值为 4 3.【变式演练 8 】求函数 21sin 1 sinx yx在区间 [0,) 2上的最小值 . 【答案】 1sin(x )cos(x )A． B．1C．D．【答案】A所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征2.【2016高考新课标1卷】已知函数 f (x )sin(x+)(0，),x 为24418，536单调,则的最大 f (x ) 的零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在值为( )（A ）11 （B ）9（C ）7 （D ）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖, 是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin x A 0,0的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinx A0,0的图像关于直线 xx 0 对称,则 fx 0A 或fx 0A .3. 【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点P ( ,t ) 向左平移s3 4（s 0 ） 个单位长度得到点P '，若P '位于函数 ysin2x 的图象上，则（）A.t1 ，s 的最小值为B.t 3，s 的最小值为2626C.t1，s 的最小值为D.t3，s 的最小值为2 323【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，t sin(2) 1，故此时P '所对应的点为(,1) ，此4 3212 2时向左平移 - 个单位，故选A.4 126考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换4.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin(x )k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值6为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C5.【2015高考安徽，理10】已知函数 f xsinx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当 x2时，函数 fx取得最小值，则下列结论正3 确的是（ ）（A ） f2f2f（B ） f 0 f 2 f2（C ） f2ff2（D ） f 2 f 0 f2【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.6.【2015高考湖南，理9】将函数f (x) sin 2x的图像向右平移(0 )个单2位后得到函数g(x) 的图像，若对满足 f(x1) g(x2) 2 的x1，x2，有x1x2 min ，3 则（）5 A. B. C. D.12 3 4 6【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x) A sin(x ) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017全国II文，13】函数f (x) 2cos x sin x 的最大值为 .【答案】1 【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：f x 1cosx 3cosxcos x 3cos x14 cos x2321，x 0,2可得：cos x0,1，当cos x3时，函数 f x 取得最大值1。
收藏：圆锥曲线综合五个类型
（一）求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型，求解策略一般有以下几种： ①几何分析+方程思想； ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合； ④参数法+方程思想 类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析，利用图形，结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出含有待定系数的方程，解出待定的系数即可。
例1.2014年全国Ⅱ卷（理科20）设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C :x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直，直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ．Ⅰ 若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；Ⅱ 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN ∣=5∣F 1N ∣，求 a ，b ．【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系，结合椭圆的几何性质和方程思想，通过待定系数法进行求解。
着重考查椭圆的几何性质，将几何特征转化为坐标表示，突显数形结合的思想。
.21∴.2102-32.,4321∴4322222211的离心率为解得，联立整理得：且由题知，C e e e c b a c a b F F MF ==++==•=72,7.72,7.,,1:4:)23-(,:.23-,,.4,.42222211111122====+===+=+====•=b a b a c b a ace NF MF c e a NF ec a MF c c N M m MF m N F ab MF 所以，联立解得，且由焦半径公式可得两点横坐标分别为可得由两直角三角形相似，由题可知设，即知，由三角形中位线知识可类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x ，y)依赖与另一个动点Q(x 0，y 0)变化而变化，并且动点Q(x 0，y 0)又在另一个已知曲线上，则可先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线，可得到所求动点的轨迹方程。
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略
中考数学二次函数问题中三角形面积最值问题解题策略考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
解决此类题目的基本步骤与思路:1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想.3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
原题：在（1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出P点的坐标及△PBC的面积最大值，若没有，请说明理由。
考试题型，大多类似于此。
求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。
一般解题思路和步骤是，设动点P的坐标，然后用代数式表达各线段的长。
通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。
方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。
请看解题步骤。
解法二：铅锤定理，面积=铅锤高度×水平宽度÷2。
这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。
铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。
因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。
这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解三角形中取值范围的求解策略例谈
技法点拨摘要：解三角形是高考数学考查的重点内容，从历年高考真题来看题型难度中等。
有关取值范围的问题是一个难点，涉及的问题主要有三角形边或边的比值的取值范围、角的取值范围、面积和周长等几类。
关键词：解三角形；取值范围；高考解三角形是普通高中数学重要的内容之一，主要研究三角形中边和角的关系，其中有关取值范围的考题是历年高考的重点和热点。
解三角形中的取值范围问题通常有三类，一是边或边的比值的取值范围；二是角的取值范围；三是三角形的周长或面积的取值范围。
本文结合实例，分析求解解三角形取值范围的常用策略。
一、运用函数思想方法求解取值范围函数思想方法，是破解取值范围和最值问题的强大武器。
运用函数思想方法的关键是合理选择自变量，在解三角形的取值范围中，主要以角为自变量，通过三角函数的有界性求解。
例1.（2020年浙江卷）在锐角△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知2b sin A -3a =0.（1）求角B 的大小；（2）求cos A +cos B +cos C 的取值范围.解：（1）B =π3（过程略）.（2）由A +B +C =π得C =2π3-A ，由△ABC 是锐角三角形，得ìíîïïïï0<A <π20<C <π2，即ìíîïïïï0<A <π20<2π2-A <π2，解得π6<A <π2.由cos C =cos(2π3-A )=-12cos A+A ，得cos A +cos B +cos C=A +12cos A +12=sin(A +π6)+12，因为π3<A +π6<2π3，sin(A +π6)≤1，<sin(A +π6)+12≤32，得cos A +cos B +cosC∈(32].故cos A +cos B +cosC ∈(3+12,32].点评：本题把求解的式子转化为关于角A 的三角函数，也可以转化为角C 的三角函数，无论转化为哪一种都有求出角的范围。
铅垂线定理求三角形面积_概述说明以及解释
铅垂线定理求三角形面积概述说明以及解释1. 引言1.1 概述铅垂线定理是三角形几何学中的重要概念，可以通过该定理求解三角形的面积。
在实际生活中，我们经常会遇到需要计算三角形面积的情况，比如建筑设计、地理测量等。
因此，了解和应用铅垂线定理对于准确计算三角形面积具有重要意义。
1.2 铅垂线定理简介铅垂线定理（又称高度定理）是指在一个三角形中，如果某一条边上的高（即垂直于底边且与底边相交于顶点）被引出，则该高可将底边分成两个互为共轭的部分，并且这两个部分上对应的底边长度与高成正比。
具体而言，假设在三角形ABC中，AB为底边，CD为通过顶点C且垂直于AB的高，则有CB/CA=CD/AB。
1.3 目的本文旨在全面介绍铅垂线定理以及其在求解三角形面积中的应用。
通过深入剖析铅垂线定理的原理和推导过程，我们将探讨它在规则和不规则三角形面积计算中的具体运用方法。
同时，我们还将探讨铅垂线定理在数学教学中的重要性，并提供一些简单易懂的教学方法和实例，帮助学生更好地理解和应用该定理。
最后，我们将总结本文的主旨和要点，并展望未来铅垂线定理在更多领域的应用潜力。
同时，我们也会指出当前研究中存在的局限性以及可能改进之处。
2. 铅垂线定理原理解析:2.1 定义与概念:铅垂线定理是指在一个平面内，对于任意给定的三角形ABC，如果通过顶点A 作BC边的铅垂线，则这条铅垂线可以将三角形分割为两个叠加的直角三角形ACD和ABD。
其中，AD被称为铅垂线，且满足AD ⊥BC。
铅垂线定理是三角形几何学中重要的基本原理之一。
2.2 三角形铅垂线定理述评:铅垂线定理具有广泛的应用价值和意义。
它为解决各类与三角形相关问题提供了有效的数学手段，尤其在求解三角形面积方面起到关键作用。
通过采用铅垂线定理，我们能够将一个不规则的三角形转化为两个直角三角形，并通过计算直角三角形的面积来得到整个三角形的面积，简化了计算过程。
2.3 铅垂线定理推导与证明:要推导和证明铅垂线定理，首先需要利用欧几里得几何体系中已知命题和性质进行推演。
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法
浅谈解三角形中的最值与取值范围的解题方法摘要：解三角形是高考重点考查内容，其中涉及到最值与取值范围问题，对基础一般的学生来说难度相对大点，学生比较害怕，所以本文整理了解三角形中最值与取值范围的基本解题思路，即一般情况下除了求面积最大值是用基本不等式之外，其他求最值与取值范围，化简成角的的范围去控制，转化为某一变量的函数求解基本能把问题解决.关键词:基本不等式;最值;取值范围一、化成角,转化为某一变量的函数求解(一)用正弦定理化边为角，用正弦和差角公式求解.例1.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积 ,a＝2，且A [ ]，则边c的取值范围为：______________.解：由正弦定理整理得：c＝A+B+C= , B＝ , 又a＝2，∴C＝﹣A，故c＝＝＝ +1，又，∴1≤tan A≤，∴ 1≤≤∴c∈[2， +1]．，由题得，求边的范围，化成角的范围去控制，用正弦定理，正弦的和差角公式化简，结合三角函数的图像与性质即有界性可求得结果.例2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝2B，求的取值范围．解：由正弦定理，A＝2B， A+B+C= ,得：＝＝＝＝＝，A∈（0，π），∴2B∈（0，π），且A+B＝3B∈（0，π），所以B∈（0，），令t＝cos B，则，则f（t）＝，求导得：在恒成立，故f（t）在上单调递减，所以f（1）＜f（t）＜f（），即，故的取值范围为．求边的范围，还是先考虑用角去控制，用正弦定理把边化为角之后，用正弦的和差角公式化简，用换元法整理后，求导化简，判断函数单调性从而求得取值范围.（二）用三角关系及正弦和差角公式求解.例3.角A，B，C所对的边分别为a，b，c且△ABC为锐角三角形,B＝,则cos A+cos B+cos C的取值范围为________．解：B＝，A+B+C= ,∴C＝﹣A，∴cos A+cos B+cos C＝cos A+cos（﹣A）+cos＝cos A﹣ cos A+sin A+＝ cos A+ sin A+＝sin（A+）+，△ABC为锐角三角形，∴＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴ +＜sin（A+）+≤，故所求的取值范围为（， ]．例4.（2019•新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知a sin＝b sin A．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）略；（2）∴△ABC面积S＝a•1sinB＝a，由正弦定理：，因为△ABC为锐角三角形，所以，∴，,所以＜a＜2.故△ABC面积S＝a的取值范围为（，）．本道题求面积的取值范围，通过整理转化求边的取值范围，然后转化为角的范围来控制.（三）用三角形的三角关系及二倍角，辅助角公式化简.例5.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足,，求△ABC周长l的取值范围.解：由正弦定理得，因为所以，，， .又，所以，.所以所求△ABC周长l=a+b+c的取值范围为．求三角形周长取值范围，已知一组对边对角，用正弦定理求出2R，结合正弦的和差角公式，辅助角公式，利用三角函数的有界性控制范围，这道题可以变为求周长的最值，思路一样，此处略.二、用基本不等式求解例6.在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则的最小值为（）A． B． C． D．＝＝bc＝2，∴bc＝8，解：由题得S△ABC∴＝，令t＝则t＞0，上式＝＝≥2﹣＝，当且仅当2t+1＝2，即t＝，可得b＝2c，又bc＝8，解得c＝4，b＝2时，等号成立；∴的最小值为：．故选：C．求与角有关的范围，直接用角来控制，换元后用基本不等式求解，难在需要配凑能约去的分母部分.本题也可以把角化为边，用边求解，同样用换元方法也可以，此处略.例7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知且B为锐角，b＝1，则△ABC面积的最大值为_______．，解： A+B+C= , ，，， 0 故B＝ .又b＝1，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac•cos B得，当且仅当a=c时，等号成立.最值与取值范围的解题方法有多种，但是对于基础比较比较差的学生来说，方法多不一定就是好的，特别对于普通历史班中，学生基础较弱，方法多了学生还难以选择，我们可以总结最适合学生解题的一种（或者两种）方法，让学生多练习一类方法，提高解题速度，所以解三角形中很多都是化成角，变为某一变量的函数去求解，需要注意定义域范围，求面积最大值就用基本不等式即可.参考文献：1.高磊.运用一题多变探究三角形中的最值与范围问题[J].数学通讯，2020年（12）；49-52.2.罗礼明.解三角形中的最值与范围问题求解策略[J].数学通讯，2020年（7）；50-56.第4页（共4页）。
高三数学选择填空难题突破 立体几何中最值问题
高三数学选择填空难题突破立体几何中最值问题高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题。
此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练。
立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面，此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合。
解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。
二、解题策略类型一：距离最值问题例1：如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为（）解：建立空间直角坐标系，设CG长度为a及点P的坐标，求BP与GP的坐标，得到函数关系式，利用函数求其最值。
举一反三：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A中，点E、F分别是棱BC、CC'的中点，P是侧面BCC'B内一点，若A'P⊥平面AEF，则线段A'P长度的取值范围是_____。
二、改写后的文章高三数学选择填空难题突破——立体几何中的最值问题一、方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目。
而几何问题中的最值与范围类问题，不仅可以考查学生的空间想象能力，还可以考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此这类问题将是有中等难度的考题。
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型
高三数学压轴题训练——解三角形问题的两类题型解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略： (1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解； (2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．[典例] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知∠A ＝2π3，a ＝3c ，则cb ＝______.[思路点拨]本题条件涉及三角形边、角的数量关系，结论是求边比问题，必然通过解三角形来处理．注意正弦定理和余弦定理的灵活应用．[方法演示]法一：角化边(余弦定理)由余弦定理及a ＝3c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－2c 22bc ＝－12，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法二：边化角(正弦定理)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3c ，∠A ＝2π3得sin A ＝3sin C ＝32，即sin C ＝12. 又角C 是三角形的内角，则∠C ＝π6.又∠A ＝2π3，所以∠B ＝π6，从而有c b ＝sin C sin B ＝1.法三：几何法过点C 作BA 的垂线CD ，交BA 的延长线于点D ，如图，由∠BAC ＝2π3，得∠DAC ＝π3，即在Rt △DAC 中，AD ＝12b ，CD ＝32b .由△BDC 是直角三角形，得CD 2＋BD 2＝BC 2， 即⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a 2. 由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法四：坐标法根据题意，以点A 为原点，AB 为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意可知AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，∠CAB ＝2π3，则A (0,0)，B (c,0)，C －b 2，32b .根据两点间距离公式，BC ＝⎝⎛⎭⎫32b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋12b 2＝a .由a ＝3c ，得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)． 法五：向量法由BC ―→＝AC ―→－AB ―→，得|BC ―→|2＝|AC ―→－AB ―→ |2＝|AC ―→|2－2AC ―→·AB ―→＋|AB ―→|2.又由|BC ―→|＝a ＝3c ，得3c 2＝b 2－2bc cos 2π3＋c 2，化简得b 2＋bc －2c 2＝0，即2⎝⎛⎭⎫c b 2－c b －1＝0，解得c b ＝1或c b ＝－12(舍去)．法六：特殊值法因为a ＝3c ，不妨令c ＝1，所以a ＝3，结合条件∠A ＝2π3，由余弦定理得b ＝1，于是cb ＝1.答案：1 [解题师说]本题法一、法二分别运用了余弦定理和正弦定理，这两种方法(边化角、角化边)是最基本的方法，其本质就是将题中的边、角统一，方便求解；法三运用了三角形的几何性质，回归三角形的本质；法四和法五都是将题中的边和角坐标化、向量化，将几何问题代数化，从而求出结果．易知法五和法一的本质是相同的，因为我们知道余弦定理是可以用向量法证明的．法六是抓住了条件a ＝3c 的本质，这是两个边的比例关系，通过令c ＝1将比例变为了具体数值，便于计算，也体现了基本量的思想．[应用体验]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：选C 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ， 则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ， 即sin C －2cos C ＝2， 所以(sin C －2cos C )2＝4，即sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b )sin C2＝12，(a －b )cos C2＝5，则c ＝________.解析：因为(a ＋b )sin C 2＝12，(a －b )cos C2＝5，所以(a ＋b )2(1－cos C )2＝144，①(a －b )2(1＋cos C )2＝25，②由①②得2a 2＋2b 2－4ab cos C2＝169，即a 2＋b 2－2ab cos C ＝169， 由余弦定理得c 2＝169，所以c ＝13. 答案：13三角形中的最值、范围的求法(1)目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．(2)数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．[典例] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．[思路点拨]本题条件为三角形的边角关系式，而问题是求三角形面积的最值，势必要利用三角形的正、余弦定理、三角形的面积公式，以及三角恒等变换，再利用三角形的几何性质和均值不等式来解决最值问题．[方法演示]法一：综合运用正、余弦定理由正弦定理知(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(2＋b )(a －b )＝c (c －b )， 将a ＝2代入整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，故A ＝π3，则△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc .而b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －a 2⇒bc ≤4， 所以S ＝34bc ≤3，当且仅当b ＝c ＝2时取到等号， 故△ABC 的面积的最大值为 3. 法二：正、余弦定理与数形结合由法一得A ＝π3，可知△ABC 的边a ＝2为定长，△ABC 的角A ＝π3为定值，作出示意图如图所示，满足条件的点A 在圆周上的运动轨迹为优弧BC (包括两个端点B ，C )，易知当点A 位于优弧中点时，此时△ABC 的面积最大，由于A ＝π3，则此时的△ABC 是等边三角形，面积为 3.法三：正、余弦函数的有界性由法一知A ＝π3，则由正弦定理得，b ＝a sin A ·sin B ＝433sin B ，c ＝433sin C ，则S △ABC＝12bc sin A ＝34bc ＝433sin B ·sin C ＝433·12[cos(B －C )－cos(B ＋C )]＝233cos(B －C )＋12≤233·⎝⎛⎭⎫1＋12＝3，当且仅当cos(B －C )＝1，即B ＝C 时，△ABC 的面积取得最大值 3.法四：函数思想 由法三得S ＝433sin B ·sin C ＝433sin B ·sin 2π3－B ，令g (B )＝sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin B32cos B ＋12sin B ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋14. 由0<B <2π3，易得g (B )max ＝34，当且仅当B ＝π3时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为 3.答案： 3 [解题师说]上述四种解法，可归为两类：法一、三、四是借助正、余弦定理，把三角形面积这个目标函数转化为边或角的形式，然后借助基本不等式或函数性质来解决；法二是结合问题特征，构造几何图形来求得最值，直观迅速．不难发现，法三与法四的区别仅是对式子sin B ·sin C 的变形方法不同，两者本质相同． [应用体验]1．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ， 则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)2．若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C 及正弦定理， 得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14(a ＋2b )22ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝3a 8b ＋b 4a －24≥6－24，当且仅当3a 2＝2b 2时取等号． 故cos C 的最小值为6－24.答案：6－24一、选择题1．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(5,6]B ．(3,5)C ．(3,6]D ．[5,6]解析：选A 由正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则A ＝π3.又b sin B ＝c sin C ＝a sin π3＝2，所以b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝41－cos 2B 2＋1－cos[2(A ＋B )]2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin2B －π6＋4.又△ABC 是锐角三角形，所以B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B －π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6.所以b 2＋c 2的取值范围是(5,6]．2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ∵23cos 2A ＋cos 2A ＝0，∴23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos 2A ＝125，∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝15.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即49＝b 2＋36－125b ，解得b ＝5或b ＝－135(舍去)． 3．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上不同于A ，B 的任意一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为( ) A ．2 3 B. 3 C.33D.233解析：选D 由S △BCD ＝1，可得12×CD ×BC ×sin ∠DCB ＝1，即sin ∠DCB ＝55，所以cos ∠DCB ＝255或cos ∠DCB ＝－255.又∠DCB <∠ACB ＝180°－A －B ＝120°－B <120°，所以cos ∠DCB >－12，所以舍去cos ∠DCB ＝－255.在△BCD 中，cos ∠DCB ＝CD 2＋BC 2－BD 22CD ·BC ＝255，解得BD ＝2，又sin ∠DCB ＝55，由正弦定理得sin ∠DBC ＝CD sin ∠DCB 2＝1010，在△ABC 中，由正弦定理可得AC ＝BC sin B sin A ＝233.4.如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64D.63解析：选C 因为DE ⊥AB ，DE ＝22，所以AD ＝22sin A ，所以BD ＝AD ＝22sin A .因为AD ＝DB ，所以∠A ＝∠ABD ，所以∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A .在△BCD 中，由正弦定理BD sin C ＝BC sin BDC ，得22sin A 32＝4sin 2A，整理得cos A ＝64. 5.为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )A.3＋64 km 2B.3－64 km 2C.6＋34km 2D.6－34km 2解析：选D 如图，连接AC ，根据余弦定理可得AC ＝22＋12－2×2×1×12＝＝3，故△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，故△ADC 为等腰三角形，设AD ＝DC ＝x ，根据余弦定理得x 2＋x 2＋3x 2＝3，即x 2＝32＋3＝3(2－3)．所以所求小区的面积为12×1×3＋12×3(2－3)×12＝23＋6－334＝6－34(km 2)．6．若钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.22B ．1 C. 2D. 5解析：选D 由题意可得12AB ·BC ·sin B ＝12，又AB ＝1，BC＝2，所以sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 5.7．在非等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ，由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0.因为0<A <π，所以0<A <π2，又a 为最大边，所以A >π3，即角A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2.8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( )A ．2B ．3 C. 2D. 3解析：选A 由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A.334B.34C.332D.32解析：选A 根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，可得a －b ＝c (a －c )a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.10.为了竖一块广告牌，要制造一个三角形支架，如图，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于1 m ，且AC 比AB 长0.5 m ，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋32m B ．2 m C ．(1＋3)mD ．(2＋3)m解析：选D 设BC 的长度为x m ，AC 的长度为y m ，则AB 的长度为(y －0.5)m ，在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，得(y －0.5)2＝y 2＋x 2－2xy ×12，化简得y (x －1)＝x 2－14.因为x >1，所以x －1>0，因此y ＝x 2－14x －1＝(x －1)＋34(x －1)＋2≥3＋2，当且仅当x －1＝34(x －1)时取等号，即x ＝1＋32时，y 取得最小值2＋3，因此AC最短为(2＋3)m.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736 C.334或213D.334或736解析：选D 由sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，可得2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，得A ＝π2，因为C ＝π3，则B ＝π6，又c ＝7，由正弦定理，得b ＝c sin B sin C ＝213，由三角形的面积公式知△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A ，得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝12，可得a ＝1，b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝334.综上可知，△ABC 的面积为736或334. 12.如图所示，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b ＝c ，b a ＝1－cos B cos A.若点O 是△ABC 外一点，∠AOB ＝θ(0<θ<π)，OA ＝2，OB ＝1，则四边形OACB 面积的最大值是( )A.4＋534B.8＋534 C ．3 D.4＋52 解析：选B 由b a ＝1－cos B cos A及正弦定理得sin B cos A ＝sin A －sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＝sin A ，所以sin C ＝sin A ．又b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，△ABC 为等边三角形．设△ABC的边长为k ，则k 2＝12＋22－2×1×2×cos θ＝5－4cos θ，则S 四边形OACB ＝12×1×2sin θ＋34k 2＝sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin θ－π3＋534≤2＋534＝8＋534，所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，四边形OACB 的面积取得最大值，且最大值为8＋534. 二、填空题13．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．解析：由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝74，则sin B ＝34， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 答案：3214．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝__________.解析：如图，AD 为△ABC ，BC 边上的高．设BC ＝a ，由题意知AD ＝13BC ＝13a .又B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，DC ＝23a . 在Rt △ABD 中，由勾股定理得，AB ＝ ⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a . 同理，在Rt △ACD 中，AC ＝⎝⎛⎭⎫13a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 2＝53a . ∵S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12BC ·AD ， ∴12×23a ×53a ·sin ∠BAC ＝12a ·13a ， ∴sin ∠BAC ＝310＝31010. 答案：31010 15．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为__________．解析：由题意得，4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得，2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1.∵0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc .又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.答案：816．在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________.解析：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4.又ADsin ∠ACD ＝CD sin A ，所以sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以BC ＝AC ·sin A sin B＝4. 答案：4。
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略
三角形在数学竞赛中的题型与解题策略三角形是数学竞赛中一个重要的题目类型，涉及了几何学和三角函数等相关概念。
对于这类题目，理解三角形的性质和掌握解题策略是至关重要的。
首先，我们来看一些与三角形相关的常见题型。
1. 三角形的性质：1.1 三边关系：根据三条边的长度关系，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.2 角关系：根据三个角的大小关系，可以判断三角形的形状，如锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.3 高度、中线和角平分线：这些线段可以把三角形分成几个等腰三角形，从而利用等边、等腰三角形的性质推导出结果。
2. 三角形的面积：2.1 海伦公式：对于已知三边长度的三角形，可以使用海伦公式计算其面积。
2.2 边长和高度：已知底边和高度，可以计算三角形的面积。
2.3 角度和边长：已知两条边和夹角，可以计算三角形的面积。
3. 三角形的相似和全等：3.1 相似三角形：利用三角形的相似性质，可以求解未知边长和角度。
3.2 全等三角形：利用三角形的全等性质，可以求解未知边长和角度。
在解题过程中，可以采用以下策略：1. 分析和利用已知条件：仔细阅读题目，了解已知条件和寻找解题线索。
根据已知条件，可以找到合适的定理和公式来解题。
2. 利用几何图形：画出准确且清晰的几何图形，有助于观察和推导出一些结论。
使用图形的性质和构造，可以解决一些几何问题。
3. 运用数学公式和定理：熟练掌握三角函数、海伦公式、相似三角形和全等三角形等的公式和定理。
根据需要，将问题转化为可以利用这些公式和定理求解的形式。
4. 利用等边、等腰三角形等性质：假设三角形具有一些特殊性质，如等边三角形、等腰三角形等，并根据这些性质进行推导和计算。
这些特殊性质往往可以简化问题，加快解题进程。
5. 运用三角形的内角和外角性质：根据三角形内角和外角的关系，可以推导出一些重要的结论。
利用这些结论，可以解决一些需要求角度的问题。
6. 利用垂线、中线和角平分线：根据垂线、中线和角平分线的性质，可以将三角形分成几个相等的小三角形，从而简化问题的解决过程。
中考数学复习之因动点产生的面积问题解题策略
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
小学数学面积计算中若干易错问题的原因及其攻克策略
小学数学面积计算中若干易错问题的原因及其攻克策略作者：邓国来源：《卷宗》2020年第08期摘要：随着教学模式的不断各项，小学数学教育也应当从书本和教师的资源限制中解放出来，更加重视学生在课堂中的地位，将小学生在练习数学的过程中做错的题也当成重要的教学资源，从学生的错题中找寻规律，并帮助学生理清思路，对数学错题进行总结与分析，避免以后再犯同样的错误，从而有效提高数学成绩。
关键词：小学数学;面积计算;数学错题;错题总结小学生在进行数学学习、求解题目的过程时，由于各种因素的影响，难免会出现各种错误。
小学数学教师在面对小学求解面积问题的错误时，就应当根据面积问题的类型，归纳总结出每个类型中比较容易出错的题目，并利用具备针对性的教学方法来让学生掌握这些题目的正确的解答策略，并充分激发学生的学习效率和信心。
1 面积计算常见错误原因学生在计算面积时往往由于各种因素而出现错误，总结下来主要有以下几种：1.1 粗心大意很多同学容易在审题方面犯下粗心大意的问题，例如碰到新的面积题也只会草草地看题目，没有仔细理解题目的意思，误以为按照以往做过的相似的面积计算题的方法就可以顺利解决问题，然而学生这样草率地读题往往会让自己忽视对题目解题差异的辨别，在审题阶段就开始出现思路的偏差，从而导致学生解题出错。
还有一种情况是学生在审题时忽略了面积计算题目的必要信息，例如在如何制作长方体鱼缸这道题目中，很多学生都会在计算面积的过程中忘记鱼缸的“盖子”。
除此之外学生还可能会因为计算马虎而出错，对面积计算公式把握得不牢靠，比如弄混计算平行四边形和计算三角形这两种图形的面积公式，在计算过程中忘记乘以2或者是1/2。
1.2 混淆概念很多学生再把握概念时往往会被定势思维误导，例如求解如下题目：“一个长方形长11cm，宽9cm，将其进行拉伸后，我们可以得到一个新的平行四边形，而这个平行四边形的高则为10cm”，很多学生在读了题目后，就会被定势思维误导，会用11cm×9cm来计算面积，因为学生会觉得这个新平行四边形的10cm高的底边是11cm，实际上这正是这道题目为学生设置的现今，学生要做对题目，就必须对新平行四边形的高以及底边进行准确的判断，所以这道题目的正确解答应当是：10×9=90cm2。
解三角形中的最值与范围问题求解策略
解三角形中的最值与范围问题求解策略
三角形是数学中经常出现的形状，它是由三条直线相交组成的特殊形状。
在解决三角形中最值与范围问题时，首先需要了解三角形的基础特性。
三角形是一种等腰三角形，其中有三个角，每个角的角度都不同，没有两个角相等。
另外，三角形内部各边分别为a，b，c，其中a+b>c，b+c>a，c+a>b，这三条不等式是三角形的一个重要的基本性质，也是三角形边长间的关系。
三角形的最值与范围可以通过三角形的基本性质和两个角的和程度来求解。
具体来说，三角形的最短边长的范围为两个在0~180°之间的角的和，最小值为两角和除以2；最长边长范围为两个较大角的和，最大值为两个较大角的和，此外，皮型公式可以用来求解三角形的外接圆半径，半径范围为两个角值的乘积与两个边长的乘积之和的平方根。
通过以上内容可以看出，解决三角形最值与范围的有效求解策略是：首先了解三角形的基本特性，利用不等式及皮型公式计算出边长和半径的最大值与最小值，从而求出三角形最值与范围的结果。
这个策略单纯而有效，在解决三角形最值与范围问题时十分有用。
抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略
图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。
.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在 性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段， 并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的 解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既 要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和 数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多 方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很 好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问 题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围 绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精 心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以 帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得 以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同 方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决 问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提 高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质 之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初 三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结 合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高 频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积 及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公 式（底乘髙的一半）来求,在平面 直角坐标系中求斜三角形的面 积用这个公式难度大，那如何求 呢？那就需要运用转化的方法 把斜三角形分割成底与高分别 与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分 割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜 三角形的面积不仅可以运用分 割法，也可以转换思路，用补形 的方法把不规则图形转化成规 则图形，将斜三角形面积转化 成矩形面积减去三角形的面 积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (： 一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点 ，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点 所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的 面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我 们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点 由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需 使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化 思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点 作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设 出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确 角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是 变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基 础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ， 利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用 公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教 学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、 数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念， 是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度 学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引 领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并 在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的 过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在 学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价 值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层 面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。
九年级数学上册28.3二次函数中的三角形面积问题说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：
1.创设情境：以实际问题为背景，引发学生对二次函数与三角形面积问题的思考；
2.分组讨论：组织学生进行合作交流，让学生在讨论中相互启发，共同解决问题；
3.激励评价：对
3.合理安排课堂时间，关注学生的学习进度，对学习困难的学生给予个别辅导。
课后评估教学效果：
1.课后收集学生的作业和数学日记，分析他们的学习效果和困惑；
2.与学生进行交流，了解他们对课堂知识的掌握程度；
3.反思自己的教学过程，针对学生的反馈，调整教学策略。
具体反思和改进措施：
1.针对学生对知识点的掌握情况，调整教学内容和难度，确保学生能扎实掌握基础知识；
2.提高题：布置一些富有挑战性的题目，培养学生的解题能力和创新思维。
3.实践题：布置与实际生活相关的二次函数与三角形面积问题，让学生将所学知识应用于生活实践。
作业的目的在于：巩固所学知识，提高学生的应用能力；培养学生的独立思考和解决问题的能力；增强学生对数学学科的兴趣和信心。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
2.问题驱动的教学：以实际问题为载体，引导学生运用所学知识解决问题，提高学生的知识运用和问题解决能力。
3.合作学习：组织学生进行分组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时通过互相启发，提高学生的思维品质。
（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、计算器等，用于直观演示和操作，帮助学生理解二次函数图像与三角形面积的关系。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划采取以下措施：
常见复合三角形问题的题型归类与求解策略
常见复合三角形问题的题型归类与求解策略常见复合三角形问题的题型归类与求解策略引言：三角形是数学中的重要概念之一，它涉及到许多与角度、边长和面积相关的问题。
其中，复合三角形问题是三角形问题中的一类常见且复杂的题型。
本文将对常见的复合三角形问题进行分类，并介绍解决这些问题的有效策略。
一、题型归类：根据复合三角形的构成方式和性质，我们可以将常见的复合三角形问题归类如下：1. 外接三角形问题在这类问题中，我们需要考虑一个三角形与另外一个三角形外接的情况。
常见题型包括外接角和外接圆的性质，以及利用外接三角形解决其他几何问题。
已知一个三角形ABC，点D在边AB上，点E在边AC上，若∠BDC=∠CED，则证明：BD=CD。
2. 内切三角形问题这类问题中，我们需要考虑一个三角形与另外一个三角形内切的情况。
常见题型包括内切角和内切圆的性质，以及利用内切三角形解决其他几何问题。
已知一个三角形ABC，其中点D是边BC上的一点，且∠BAD=∠ACD，则证明：∠BAC=∠BCD。
3. 相似三角形问题在这类问题中，我们需要考虑两个或多个相似三角形之间的关系。
常见题型包括相似三角形的比例关系，以及基于相似三角形的尺规作图和面积计算等问题。
已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=3/4，求三角形ABC的面积。
4. 重心、垂心和外心等特殊点问题这类问题中，我们需要研究一个三角形的重心、垂心和外心等特殊点的性质和应用。
常见题型包括特殊点的坐标计算、性质证明以及基于特殊点解决其他几何问题。
已知一个三角形ABC，点H分别是边AB、BC和CA上的垂足，证明：垂心H和重心G的连线段HG与边BC平行。
二、求解策略：针对不同的复合三角形问题，我们可以采用以下求解策略：1. 利用基本几何定理和性质在解决复合三角形问题时，我们可以运用如角平分线定理、垂直角性质、圆的性质等基本几何定理和性质。
通过对复合三角形的角度、边长、面积等要素的分析，结合这些定理和性质，我们可以逐步推导出问题的解答。
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究
求三角形周长(面积)范围类问题解法探究楚雄第一中学赵泽民解三角形是高考的常考题型，主要出现在高考试卷 的解答题中，以解答题第17题的位置较为常见，偶尔也会 出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定 理，结合三角恒等变换，重点考査正、余弦定理的边角互 化及三角恒等变换公式的灵活应用，往往要求考生计算 边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主， 是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三 角形周长范围的求解为例，探讨此类题的解法，总结解题 规律，帮助考生摆脱“会而不对，对而不全”的苦恼.解决这类问题的方法主要有两种:一是利用“正弦定 理结合三角函数的值域”来求得最终范围；二是利用“余 弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好 的解决.在遇到此类问题时，学生往往偏向于计算量相对 较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题，但随着解题的深人，往往会遇到诸如范围被放大或缩 小的困境;另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角 函数值域”的求解策略，但随着解决问题的深人往往会受 正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”，最终使自 己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张那 么，当我们遇到这样的问题时，应该采取什么样的解题策 略呢？原题呈现：在锐角A /1SC 中，角的对边分别为 a ,6 ,c ,已知6=3，sin /l +asinfi =2(1) 求角4的大小;(2) 求周长的取值范围.对于A 4S C 周长的取值范围问题，我们驾轻就熟的往 往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或 周长的最值”这一类问题.而本题的第(2)问却巧妙地避开① 当a 矣1时，由1矣*矣3得g U )矣0，/，U )«0，.../U ) 在[1,3]上单调递减，此时/(x K 1 )=-a -l =-2,解得a =l ;② 当时，由 1以《3得g U )>0，/，(*)>0, .•./0«:)在[1,3]上单调递增，此时/U )_=/(3)=U -l )ln 3-f -3=-2,解得a =」^±L <3,舍去；ln 3-—3③ 当l <a <3时，由 l <Cc <a 得g (;c )>0，/彳*)>0,由a <x <3得 g U )<0,/' U )<0,此时/U )在[1, a ]上单调递增，在[a , 3]上单 调递减，从而〇 )=( a_ 1) l na_ 1 _a =_2,解得a =e .综上所述，a =l 或a =e .【点拨】在例4中,/'U )的函数值符号由函数g U )z -U +D U -a )的函数值符号决定，/'U )的零点即的 零点为-1和a ,其中a 与定义域[1,3]的关系不确定,应分为 三类，即①a 矣1,②a >3,③l <a <3.总之，在解函数导数综合题的过程中，当导函数含函数g U )=ax +6,且导函数的符号由)函数值符号决定，要根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g U )z a ^+h +c ,且导函数的符号由g U )函数值符号决定，要把 握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论:首先，根 据二次项系数的符号进行分类;其次，根据方程g U )=0的 判别式A 的符号进行分类;最后，在根存在时，根据根的 大小进行分类.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 65了平时复习中“练熟练透”的解题方法，把已知条件由常 规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角 形的一边和与这条边不相对的角”，还加上了一条限制一“A/l f i C为锐角三角形”,最终要求考生求“周长的 取值范围”，成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新 酒解决该题的第(2)问时无论考生选择“余弦定理结合 基本不等式”，还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫，造成一定的心理负担.一、一波三折，尝试解答在解决第(2)问时，如果采用“余弦定理结合基本不 等式”的解题策略，能顺利地解决问题吗？我们又会遇到 哪些困惑呢？第一种境遇，由第(1)问很容易求得/1= |，结合已知条件6=3，我们容易想到P d+c^a cco sB或^(a+c)2 -l a c d+c o s S)，但苦于B角未知导致解题受阻，进而尝试 a^/^+^-Sfcccos/l或 +c)2-26c(l+cos/4),也因没有任何解题进展而放弃，最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结 论，出现虽“惺惺相惜，但不得不罢手”的遗憾，因为这个 题由不得考生花太多的时间尝试.第二种境遇，尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解，考生受制于定式思维的影响，往往第一时间想到 a=2/?sin/4, 6=2/?siaB ,c=2/?sinC ,进一步得到a+ c= 2/f (sia4+S inC),结合/I+S+C=i7，快速地达到统一角的目 标，欣喜之余，发现2/?成了解下去的拦路虎，解题受挫，产 生“放弃与坚持”的纠结.第三种境遇，考生静下心来认真审视正弦定理+sirvi=2f t的结构和已知条件“6=3,4 =，找到解sin B sinC决问题的突破口，通过尝试发现，虽然“边不是角的对边，角也不是边的对角”,但只要搭配得当，也一样可以达到2V J统一角的目标.由-sin5-可知，csin；4 sinB3sinC-可知,0sinB，进一步得到a+c=2s\n B3V T;再由csinC3sinC合三角形内角和定理可知a+c:3V T2s\nB2sinB sin B3sin(^--B)sin/?，结，化简得a+c=3V T21+cosB 3 _ 3\^3~sin B 2 21+w寻-i..B Bzsin—cos—22•一1到此，本题基本上可以算是考生2 2 B2tan—2的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意失荆州”的苦恼与失落.由A/1S C为锐角三角形可知2(I,I),进一步求得tan!£(2-\A T,l),从而求得12 4 2-^E(1,2+\A T),q+c E( 3-^?—,3V T+6),又因B 2tan—2为6=3,所以周长的取值范围为a+6+C e(i V^,3V T+9).通过上述分析与解答，我们不难发现该题虽属中档题，每一个学生都是有思路的，但在解答的过程中却总是遇到或这样或那样的解题挫折，从心理上给学生造成相当大的压力，致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫，导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的“陷阱”，稍不留神，就会出现“会而不对，对而不全”的遗憾.另外，本题解题过程看似很新，实则还是利用了常规的“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略，只是方法和以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重二、遇见真题，强化巩固变式：（2019年全国卷nUZUBC的内角的对边分别为a,6，c,已知o sin l^"=fesinA.2(1) 求 S;(2) 若A/IBC为锐角三角形，且c=l,求厶/1BC面积的取值范围.分析：（1)已知边角等式asin^^=6Sin A.结合三角形2内角和定理得到sin土1^"=cos呈，进一步可求得s in Z■，最222终求出角5.(2)由（1)求得角S，结合三角形面积公式、正弦定理，以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式，从66 4左焱1 •中学教师202 U、2方法与策略A XB C为锐角三角形出发，可求得面积的范围.有前面的解题实践，我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结合三角函数求值域”这一路径上.解答：⑵由（1)可知又因为c=l,所以S A,sc=V T 4由正弦定理可知〇=csin/1sinC sinC2tanCj.因为A薦为锐角三角形，所如(+’2)，S导，苧点评:在本题第(2)问的解答过程中，准确地用好正 弦定理是关键，其易错点是忽视“S C为锐角三角形”这 一题设条件,导致角4 ,C的取值偏大，从而影响最终结果.三、反思人教A版《数学》（必修五）第一章“解三角形”重点讲 了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积 公式，而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热 点，深受命题者青睐.近几年,这一题型的命题方式呈现考 点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上 考生人手是容易的，但要做对、做全却并非易事.在平时的 教学中，无论是教师，还是学生都认为这道题往往是考卷 中解答题的第一题，其难度中档，是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必 得的题目，是后进生突破90分，中等生突破120分的关键 题型之一,也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础，对 提升应考状态也至关重要.解决这类问题,定理的选择很 重要，有效的边角互化是解题的关键,方法一旦出错，便 容易在这个问题上绕弯，甚至出现“无法自拔”的解题投 人，最终是“求之不得，弃之不舍”的无奈.所以，教师在平 时讲解训练时，一定要注重对方法的总结，鼓励学生大胆 尝试，重视对一题多解和多题一解的强化.总之，所有解题 时的从容应对，都是平时解题方法的日积月累，静下心 来，用心投人，所有的问题都经不起琢磨.解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属 于中档题，解题关键是灵活应用正(余)弦定理及其变形，有效地结合三角函数值域或基本不等式来找到解题的突 破口，但在解题时需破除解题定式干扰，勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边（或角是边的对 角）,则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结 合三角函数值域”都可以解决问题;但如果题设条件中限 制三角形为锐角三角形（或钝角三角形）则宜选择“正弦 定理结合三角函数值域”来解决问题;若已知三角形的边 不是已知角的对边（或已知三角形的角不是已知边的对 角）,则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问 题.在使用正弦定理时，应规避三角形外接圆半径对解题 的影响，直接使用正弦定理解决问题即可.解题时,必须注 意三角形形状对解题结果的影响，注意角的取值范围.从近几年高考题来看，命题者往往选择比较熟悉的 命题背景，在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积 的范围时，考生往往比较熟悉最值,而命题者在考生熟悉 的解题题型上，稍加改进，就可能困住考生.譬如在已知条 件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒 我们在平时的教学训练中，应有针对性地进行一题多解 和多题一解的训练.这样可有效地提髙学生V I别问题和解 决问题的效率，可有效增强学生的解题自信.在教学中，教师强化学生的解后反思意识是非常有 必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮 点,关注解题过程中遇到的困难，优化解题过程和解题思 路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究，领悟解题 的主要思想，关键因素，掌握数学中的基本思想和通性通 法，并能灵活地应用其去解决不同的问题.◊责任编辑邱艳〇Journal of Yunnan Education 67。
圆锥曲线面积最值问题
面积最值问题1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。
这样可以使函数解析式较为简单，便于分析例1已知椭圆（）的一个顶点为，离心率为，直线（）与椭圆交于，两点，若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称． （I ）求椭圆的方程； （II ）求实数的取值范围；（III ）用表示的面积，并判断是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．，可得：C:22221x y a b+=0a b >>()0,1M-3:l y kx m =+0k ≠C A B M AB C m m ∆MAB SS ()()()()()()2121212121212020x x x x y y y y x x k y y +-+++-=⇔++++=，则有：（），故（III ）法一（面积转化为弦长）：，到的距离，2262203131km m k k k ⎛⎫-++= ⎪++⎝⎭22311m k =+>0k ≠()1122022m m m ∆=->⇔<<()()()22212122122131m m x x y y kk -AB =-+-=++A :l y kx m =+d =1122S d ∆MAB=AB =，设，，则，所以在上是减函数，所以面积无最大值．法二（面积坐标化公式）：易得向量，，则有，因，在上均为减函数，则在上均为减函数，所以面积无最大值．可得的面积的取值范围为．点评：（1）第二小问分为两个操作程序：①据对称性得到直线斜率与截距之间的关系；②据位置关系构建直线斜率与截距之间的不等关系．点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线，法一进一步转化为等腰三角形，从而线段相等，利用两点距离公式进行坐标化，化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦的斜率，故可以使用韦达定理整体代入．实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化：①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式；②横坐标纵坐标；法二则点差法处理弦中点问题．均可得到直线的斜率与截距之间的关系．构建不等式的方式：法一根据直线与椭圆的位置关系，利用判别式构建参数的不等式；法二根据点与椭圆的位置关系，利用中点在椭圆内构建参数的的不等式；故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化；（2）第三小问分成两个操作程序：①构建面积的函数关系；②求函数的值域．法一利用底与高表示三角形面积，三角形的底则为弦长，三角形高则为点线距离．法二利用三角形面积的坐标公式，不管哪种面积公式，均会出现交点坐标之差，故从整道题223234S m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()223f m m m =+-122m <<()2220f m m m '=--<()f m 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭S ()11,1x y MA =+()22,1x y MB =+()()()12121212122112111222m x x S x y x x y x x kx m x kx m x x ∆MAB +-=+--=+-++-=223234S m m ⎛⎫=⇒=+- ⎪⎝⎭122m <<2m 2m -1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭223234S m m ⎛⎫⇒=+- ⎪⎝⎭1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭S ∆MAB S 810,16⎛⎫⎪⎝⎭AB k m AB k m AB ←−−→交点在直线上AB k m m m 122112S x y x y =-全局来说，第二问使用韦达定理显得更流畅，时分比更高，所以要注意方法的选择与整合．关于分式型函数求最值，常见思路为：以分母为整体，分子常数化，往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数，本题这个函数形式并不常见．特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数，特殊情况可以直接判断单调性，这样可以避免导数过程． 变式与引申：若过点的直线交椭圆于，求四边形的面积的取值范围．例2、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点， 的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值. 【思路引导】M D D MAB ()222210x y a b a b+=>>12,F F 22e =A 2AF B AO C ABC ∆（1） 由题意得，再由， 标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取 ； ②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组，又直线的距离点到直线的距离为.解析：（1） 由题意得，解得，1b =2222c e a b c a a ===+=1c =⇒2212x y +=AB ,1,,1,A B C ⎛⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭122ABC S ∆=⨯=AB AB ()1y k x =-()221{ 12y k x x y =-+=⇒()222222121222422214220,2121k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+=⋅=++⇒AB =0kx y k --=d ==⇒C AB2d =⇒2211122221ABCk S AB d ABCk ∆⎛⎫+=⋅=⋅=≤ ⎪+⎝⎭22b =1b =化简得，设点到直线的距离因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，∴()2222214220k x k x k +-+-=()()221122121222422,,,,,2121k k A x y Bx y x x x x k k-+=⋅=++AB ===O 0kx y k --=d ==O AC C AB 2d =2211122221ABCk S AB d k ∆⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭综上，.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得 ，再求得点到直线的距离为.例3、已知点A （﹣4，4）、B （4，4），直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2，点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）Q 为直线y=﹣1上的动点，过Q 做曲线C 的切线，切点分别为D 、E ，求△QDE 的面积S 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）设，由题意得，化简可得曲线的方程为 ； （Ⅱ）设，切线方程为，与抛物线方程联立互为，由于直线与抛物线相切可得，解得，可切点==ABC ∆22x y 12+=AB 2121224k x x ,x x 2k 1+=⋅=⇒+22k 1AB 222k 1+=+C AB 22k 2d k 1=+⇒()2ΔABC22222k 11k 111S AB 2d 22222ΔABC222k 14k 142k 1⎛⎫+=⋅=⋅=- ⎪++⎝⎭+2(),M x y 44244y y x x ---=-+-C 24x y =()4x ≠±().1Q m -()1y k x m +=-()24410x kx km -++=0∆=2x k =，由，利用韦达定理，得到，得到为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．例4、已知椭圆的焦距为2,离心率为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;()22,k k QD QE ⊥QDE∆2222:1(0)x y C a b a b+=>>e 12C(Ⅱ)过点作圆的切线,切点分别为,直线与轴交于点,过点作直线交椭圆于两点,点关于轴的对称点为,求面积的最大值. 【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为，离心率为，求出，由此能求出椭圆的标准方程；(Ⅱ) 由题意，得、 、、 四点共圆，该圆的方程为，得的方程为，直线的方程为，设，则，从而最大， 就最大，可设直线的方程为，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，能求出的面积的最大值. 试题解析：(Ⅰ)由题意, ,解得,由,解得; 所以椭圆的标准方程为. 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭2212x y +=M N 、MN x E E l C A B 、E y G ΔGAB 2e 12,a b O M P n 221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O2212x y +=MN 210x y +-=()()1122,,,A x y B x y 121212GAB S GE y y y y ∆=-=-GAB S ∆12y y -l 1x my =+221{ 143x my x y =++=()2234690m y my ++-=GAB ∆22c =1c =12c e a ==2a =22143x y +=又直线与椭圆交于不同的两点,则,即,,令,则,令,则函数在上单调递增, 即当时, 在上单调递增,因此有； 所以,当时取等号. 故面积的最大值为3.【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值，属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函l C 0∆>()()22636340,m m m ++>∈R 121212GABS GF y y y y ∆=⋅-=-==t =221241,134313GABt t S m t t t∆≥===+++()13f t t t =+()f t 3,3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭1t ≥()f t [)1,+∞()()413f t f ≥=3GAB S ∆≤0m =GAB ∆数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调法面积的最大值的.已知椭圆()22211x y a a+=>，(),P m n 为圆2216x y +=上任意一点，过P作椭圆的切线,PA PB ，设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ． （1）证明：切线PA 的方程为1114x xy y +=； （2）设O 为坐标原点，求OAB ∆面积的最大值．解：（1）由题，c e a ===，解得2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ①当10y =时，12x =± ，直线2x =±，∴24x =，代入椭圆方程得到0y =， ∴切线PA 的方程是2x =±．②当10y ≠时，联立2211440440x y x x y y ⎧+-=⎨+-=⎩，消y ，得到2211114404xx x y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即2211222111241404x x x x y y y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 所以222221111142242421111111441444144x x x x x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-+-=--+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2211222211114444161616160y x y y y y -=-++=-++= ∴切线PA 的方程为1114x xy y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 （2）根据（1）可得切线PA 的方程为1114x x y y +=，切线PB 的方程为2114x xy y +=，∴11221414x my n x m y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 方程为14mx ny +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 GAB ∆∴2214440mxny x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消y 得到22222241404m m x x n n n ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，∴22222221641611414m m n n AB ka n m n -++∆⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭+．．．．．．．．．．．．．．11分又∵原点O 到直线AB 的距离22214d mn =+，∴222222222164161111224144OABm m n nS AB d n m m n n∆-++⎛⎫==+- ⎪⎝⎭++22224444n m n m +-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分又∵(),P m n 为圆2216x y +=上任意一点，∴2216m n +=．∴224312316OABn S n ∆+=+，令231223t n =+≥，则24444OAB t S t t t∆==++在)23,⎡+∞⎣上单调递减，所以32OAB S ∆≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分已知抛物线24y x =，焦点为F ，过点(2,0)且斜率为正数的直线交抛物线于,A B 两点，且11FA FB =-．( I ) 求直线AB 的方程；（II ）设点C 是抛物线上()AB A B 不含、两点上的动点， 求ABC △面积的最大值．解：( I )设直线AB 为2(0)x my m =+>，221212(,), B(,)44y y A y y ,(1,0)F [来224x my y x =+⎧⎨=⎩ ，消x ，得2480y my --=，则212121632048m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩则2222222212121212121212(1,)(1,)(1)(1)14444164y y y y y y y y FA FB y y y y y y +=--=--+=-++ 21616418114m +=-+-=- 得21m =，又因为0m >，故1m =，即直线AB 的方程2xy =+，即20x y --=（II ）设20(,)4y C y ，224x y y x=+⎧⎨=⎩，解得1,22y =±，故022y -<<+设点C 到直线AB的距离为022001|2||(2)3|y yy d ----== 当02y =，max d =，而||AB ==故max 1||ABC S AB d ==△ OA OB 的最大值．4OA OB =；．)()2kx m +=)22222642121m km km m k k --+=++2OA OB =)()222228221221k k k +-++，32OA OB ≤OA OB 的最大值为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，左焦点F 到直线l ：9x =的距离为10，圆G ：22(1)1x y -+=，（1）求椭圆的方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，EF 为圆N ：22(1)4x y -+=的任一直径，求PE PF ⋅的取值范围；（3）是否存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得圆M 上任意一点N 作圆G 的切线，切点为T ，都满足||||NF NT =若存在，求出圆M 的方程；若不存在，请说明理由。
解三角形中最值问题的求解策略
所以数列S n n是一个常数列,故S nn=S 11=1,即S n =n ,所以S n =n 2(n ȡ2)㊂因为S 1=a 1=1也满足上式,所以S n =n 2㊂(2)由(1)知S n =n 2,所以b n =(-1)n㊃2n +1S n +n =(-1)n ㊃2n +1n 2+n =(-1)n㊃1n +1n +1㊂所以T 2n =-1+12+12+13-13+14 +14+15 - -12n -1+12n+12n +12n +1=-1+12n +1=-2n 2n +1㊂点评:解决此类结构不良的开放性问题,补充条件完整是解题的第一步,基于条件的补充,形成一个完整的题目,与正常试题的解答基本一致㊂解决此类开放性问题时,往往又分为选择条件型与探索条件型,基于不同的开放性条件加以合理选择,进而进行分析与求解,可以有效考查同学们分析问题㊁解决问题的能力,对理解能力㊁探究能力㊁创新能力与应用意识等的考查也是积极和深刻的㊂数列解答题中的存在性㊁探索性㊁应用性与开放性等创新试题的创设,巧妙融入数列的基本概念㊁基本性质与基本公式,借助两个特殊数列(等差数列与等比数列)的模型构建与应用,融入函数与方程㊁不等式等其他知识,通过合理的数学运算,巧妙的逻辑推理,全面考查数学 四基 及数学能力,成为高考试题中一个常考常新的基本点㊂(责任编辑 王福华)ʏ江西师范大学附属中学 胡祝齐作为高考中的主干知识之一的解三角形,其中最值(或取值范围)问题的设置与考查是最为常见的一类综合应用问题,也是高考中的一个热点与重点问题㊂求解解三角形中的最值问题,往往离不开三角函数㊁几何直观㊁基本不等式㊁坐标应用,以及函数与导数等思维及其知识应用,合理转化,巧妙处理,实现解三角形中最值问题的求解㊂一、三角函数思维例1 在平面四边形A B C D中,A B ʅA C ,且AB =AC ,AD =2C D =22,试求B D 的最大值㊂分析:根据题设条件,合理引入 角参 ,结合解三角形中的正弦定理与余弦定理的应用,构建关于边长B D 的平方的三角关系式,结合三角函数中的辅助角公式,利用三角函数的图像与性质来确定最值问题㊂图1解:依题意,可知A B =A C ,A D =22,C D =2,作出图形,如图1所示,设øA D C =θ㊂在әA D C 中,利用正弦定理有A C s i n θ=C Ds i n øD A C,所以A C s i n øD A C =C D s i n θ=2s i n θ;利用余弦定理有A C 2=A D 2+C D 2-2A D ㊃C D c o s θ=12-82c o s θ㊂在әA D B 中,利用余弦定理有B D 2=A B 2+A D 2-2A B ㊃A D c o s øD A B =A C 2+A D 2-2A C ㊃A D c o s øD A C +π2=12-82c o s θ+8+42A C s i nøD A C =20-82c o s θ+82s i n θ=20+16s i n θ-π4ɤ02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月20+16=36,当且仅当øA D C =θ=3π4时等号成立,所以B D 的最大值为6㊂点评:三角函数思维确定最值问题,主要是利用三角函数的图像与性质,通过三角函数的有界性来应用㊂解题的关键是合理引入 角参 ,构建所求元素的三角关系式,综合三角恒等变换公式化为单一的正弦型(或余弦型)函数,进而利用正弦(或余弦)函数的有界性来达到目的㊂二㊁几何直观思维例2 在әA B C 中,D ,E分别是线段A C ,B D 的中点,øB AC =120ʎ,A E =4,试求әA B C 面积的最大值㊂分析:根据题设条件,回归解三角形的平面几何本质,将三角形的面积加以转化,进而将问题转化为 定边对定角所对应点的轨迹问题 ,通过数形结合与几何直观,得以确定几何图形的运动变化规律与对应变量的关系,进而来确定对应三角形面积的最值问题㊂图2解:如图2所示,取A D 的中点F ,连接E F ,而E 是线段B D 的中点,则有E F ʊA B ,A B =2E F ,øA F E=图360ʎ㊂由图2知S әA B C =2S әA B D =8S әA E F ㊂而A E =4,øA F E =60ʎ,由 定边对定角 的几何意义可得点F 的轨迹是圆O 中的优弧A E ,如图3所示,则当F H ʅA E ,即点F 位于点F 0处时,S әA E F 取得最大值,对应的әA E F 是边长为4的等边三角形,所以S әA B C =8S әA E Fɤ8ˑ34ˑ42=323,即әA B C 面积的最大值为323㊂点评:几何直观思维确定最值问题,主要是利用解三角形自身的几何直观本质与内涵,通过平面几何法的转化,数形结合处理,更加直观有效地分析与解决问题㊂解题的关键是借助解三角形中相关知识的内涵与实质,对比相应的平面几何图形㊁几何意义等,通过几何直观分析来应用㊂三㊁基本不等式思维例3 在әA B C中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a +c =3b ,试求t a n A 2+t a n C2的最小值㊂分析:根据题设条件,通过解三角形中的正弦定理化边为角,结合三角关系式的构建,借助和差化积公式及倍角公式的应用确定两半角正切值的乘积,进而利用基本不等式思维来求解对应的最值问题㊂解:已知a +c =3b ,由正弦定理可知s i n A +s i n C =3s i n B =3s i n (A +C )㊂根据和差化积公式及倍角公式,可得2s i nA +C 2c o s A -C 2=6s i nA +C2㊃c o s A +C 2,即c o s A -C 2=3c o s A +C2,展开得c o sA 2c o s C 2+s i n A 2s i n C2=3c o sA 2c o s C 2-s i n A 2s i nC 2,整理得2s i nA 2s i n C 2=c o s A 2c o s C2,两边同时除以c o sA 2c o s C 2,可得t a n A 2t a n C 2=12㊂由于t a nA 2>0,t a n C2>0,利用基本不等式,可得t a nA 2+t a n C 2ȡ2t a n A 2t a n C2=2,当且仅当t a n A 2=t a n C 2=22时等号成立㊂所以t a nA 2+t a n C 2的最小值为2㊂点评:基本不等式思维确定最值问题,主要是利用涉及三角形中的角或边的关系式的 定和 或 定积 的结构特征,利用基本不等式进行放缩来达到最值的确定㊂解题的关键是利用解三角形进行统一化处理,或统一化边,或统一化角,结合仅含边或角的关系式的变形与应用来达到目的㊂四㊁坐标应用思维例4 在әA B C中,内角A ,B ,C 所12解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月对的边分别为a ,b ,c ,且满足a =2,c =2b ,试求әA B C 面积的最大值㊂分析:根据题设条件,合理构建平面直角坐标系,将三角形的边长关系转化为平面解析几何中两点间的距离问题,引入动点的坐标应用,结合动点轨迹的确定,数形直观确定相应动点的位置,进而确定相应的最值问题㊂图4解:如图4所示,以B C 的中点O 为坐标原点,B C 边所在的直线为x 轴,B C 边的中垂线所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则B (-1,0),C (1,0)㊂设A (x ,y ),依题知c =2b ,则有c 2=2b 2,即A B 2=2A C 2,结合两点间的距离公式可得(x +1)2+y 2=2[(x -1)2+y 2],整理化简得(x -3)2+y 2=8(y ʂ0)㊂由图4可知,当点A 到B C 边的距离的最大值为22时,әA B C 的面积最大,此时(S әA B C )m a x =12ˑ2ˑ22=22㊂点评:坐标应用思维确定最值问题,主要是利用平面直角坐标系的构建,结合解三角形中的边或角的关系转化为平面解析几何中的轨迹问题,借助坐标思维来分析与应用㊂解题的关键是在坐标应用场景中,确定与三角形相关的边或角的轨迹等相关问题,抓住图形直观或几何意义来转化与应用㊂五、函数与导数思维例5 已知әA B C中,内角A ,B ,C所对的边分别是a ,b ,c ,若1t a n A +1t a n B=3,试求b a +ab的最大值㊂分析:根据题设条件,借助 形 的视角构建相关线段之间的比例,又借助 数 的视角构建所求关系式的代数表达式,进而通过函数的构建与求导处理,利用函数与导数思维来处理函数的单调性,并结合函数的图像与性质来确定相应的最值问题㊂解:如图5所示,过点C 作C D ʅA B 交图5A B 于点D ,设C D =h ,A D =x ,B D =y ,则c =x +y ㊂结合三角函数的定义,可得1t a n A +1t a n B =x h +y h=ch=3,即c =3h ㊂设t =x h >0,可得b 2a 2=x 2+h2(3h -x )2+h2=t 2+1t 2-6t +10=f (t ),求导可得f '(t )=-6t 2+18t -6(t 2-6t +10)2㊂令f '(t )=0,解得t =3+132>1,则知f (t )m a x =f 3+132㊂对于双勾函数b a +a b =t +1t,其在区间(1,+ɕ)上为增函数,所以当t =3+132时,b a +a b 取得最大值为3+132+23+13=13㊂点评:函数与导数思维确定最值问题,主要是利用整体化思维引入相关参数,合理构建涉及所求边或角的函数关系式,利用函数与导数思维来分析与求解㊂解题的关键是合理构建函数关系式,通过导数及其应用来确定对应的最大值或最小值㊂本题就是借助 数 与 形 两者的综合思维与视角,来协同合作,共同完成任务㊂在实际求解解三角形中的最值问题时,合理融合解三角形中的正㊁余弦定理,三角形的面积公式,三角形的基本性质等,巧妙 串联 起初中平面几何与高中解三角形等知识之间的联系,合理应用解三角形与三角函数㊁方程与不等式㊁函数与导数㊁平面几何与平面解析几何等基本知识,借助相应的数学思维方法与对应的技巧策略,实现最值问题的求解,从而有效养成良好的数学思维品质,提升数学解题能力,拓展数学应用与创新思维㊂(责任编辑 王福华)22 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2024年1月。
高中-《计算三角形中周长(面积)的最佳求解策略(教师版)》
高中-《计算三角形中周长(面积)的最佳求
解策略(教师版)》
概述
本文档旨在给高中教师提供一种最佳求解三角形周长和面积的策略。
通过使用简单的方法和避免复杂的法律问题，该策略可帮助教师有效地教授学生计算三角形相关问题。
策略一：使用勾股定理和三边关系
- 首先，教师可以教授学生如何使用勾股定理求解三角形的边长。
- 在学生熟悉勾股定理的基础上，教师还可以引导学生了解三角形三边关系，例如两边之和大于第三边。
- 通过将这些概念与实际问题相结合，学生可以更好地理解如何计算三角形周长。
策略二：应用海伦公式计算三角形面积
- 海伦公式是一种简单而有效的方法，用于计算任意三角形的面积。
- 教师可以介绍海伦公式及其推导过程，并与学生一同解决几
个实例问题。
- 随后，教师可以指导学生应用海伦公式来计算不规则三角形
的面积。
策略三：利用正弦、余弦和正切求解角度和边长
- 在学生理解三角函数的基础上，教师可以教授如何使用正弦、余弦和正切等函数，以求解三角形中的角度和边长。
- 通过解决一些实际问题，学生能够加深对三角函数的理解，
并学会将它们应用于三角形问题中。
结论
通过以上三种策略的结合应用，教师可以帮助学生更好地理解
并计算三角形的周长和面积。
同时，这些简单的求解方法避免了法
律复杂性，使教学过程更加流畅和高效。
与三角形有关的范围最值问题（解析版）
与三角形有关的范围最值问题模型1 已知三角形的一角及其对边如图，已知ABC ∆的三个内角为A ，B ，C ，及其对应边分别为,,a b c ，且60,2A a ==（即已知三角形的一角及其对边），则根据三角形的边角关系就可得到以下三个隐含的解题条件： ①23B C A ππ+=-=②正弦定理：2432sinB sinC sin sin 603b c a R A ︒=====（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）（实现了边角的相互转化）③余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-（可看作,b c 的方程） 变形：24()3b c bc =+-以上三个隐含的解题条件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其对边”的本质：角的关系（内角和定理）、边角的关系（正余弦定理）.掌握这个本质就可解决多种不同类型的问题，进而得到解决此类问题的系统方法．例如，在上述条件下可求： （1）B C +；（2）ABC ∆外接圆的半径；（3）sin sin B C +的取值范围（拓展到求1212sin sin (0)t B t C t t +≠的最值）； 类似还有：sin sin ,cos cos ,cos cos B C B C B C +（4）b c +的取值范围（拓展到求(0)b c λμλμ+≠的最值）； （5）bc 的取值范围（6）ABC ∆周长的最大值（即求a b c ++的最大值）； （7）ABC ∆面积的最大值 （8）22b c +已知三角形的一角及对边，求三角形面积、周长等的最值①已知条件为三角形的一边和对角，可以借助正弦定理，转化为角，求三角函数最值 （口诀：正弦定理化角，三角函数求最值） 基本步骤：（1）利用正弦定理化边为角，并将式子中的角都化为唯一角 （2）将所求式子化简为)sin(ϕω+=x A y 的形式或二次函数型（3）确定此唯一角的取值范围（利用三个内角都在0到π之间）注：如果ABC ∆是锐角三角形，则需要满足 20π<<A ，20π<<B ，20π<<C（4）根据角的范围求最值（范围）②问题涉及三角形的一边和对角，可以借助余弦定理，转化为边，利用基本不等式求值。
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与三角形面积有关的最值问题的求解策略
作者：代润达
来源：《传播力研究》2018年第03期
解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分，而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是三角函数、平面几何、解析几何、平面向量相结合，尤其是解三角形中的与面积有关最值问题和范围问题，结合正弦定理、余弦定理，常常利用三角函数的有界限性、基本不等式、函数求值域来求得最值，在高考各种题型中均有出现，如选择题、填空a题、解答题，其试题难度属于中高档题，下面通过具体实例加以说明。
一、与三角函数相结合求最值
解三角形的面积问题，常常给出一些边和角的量，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果，解题的关键是利用三角函数的有界性进而得解。
典例1.如图，在ΔABC中，角A， B， C的对边分别为a，b，c， a=b（sinC+cosC）.
（1）求角B的大小；
（2）若A=， D为ΔABC外一点，DB=2， DC=1，求四边形ABCD面积的最大值.
试题分析：（1）先根据正弦定理将条件转化为角的关系sinA=sinB（sinC+cosC），再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得cosBsinC=sinBsinC，即得tanB=1，B=.（2）SABCD= SΔABC+ SΔBDC=×BC××BC+×BD× DCsinD，由余弦定理得BC2=12+22-
2×1×2×cosD=5-4cosD，将数据代入可得SABCD=-cosD +sinD，利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形ABCD的面积最大值。
【评注】在解三角形中求最值范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围，利用三角函数的有界性求得最后结果。
在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。
典例2. 源：学科在ΔABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A， B， C，已知a，b，c 成等比数列.
（1）若，求角B的值；
（2）若ΔA BC外接圆的面积为4π，求ΔABC面积的取值范围.
试题分析：（1）先将切化弦变形得=，
利用等比数列性质和正弦定理得sin2B=sinAsinC，进而得，即，由b不是最大边得B=；（2）易得外接圆半径R=2，利用余弦定理和均值不等式得cosB≥，即0
（2）∵ΔABC外接圆的面积为4π，∴ΔABC的外接圆的半径R=2，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得，又b2=ac，
∴cosB≥.当且仅当a=c时取等号，又∵B为ΔABC的内角，∴0
由正弦定理，得b=4sinB.
∴ΔABC的面积SΔABC=acsinB=b2sinB =8sin3B，
∵0
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
二、与基本不等式相结合求最值
有关解斜三角形面积问题，除了上面例题中利用正弦定理和余弦定理进行边化角，将求范围或最值问题，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，还有另一种方法是角化边，利用基本不等式求范围或最值。
典例3.在ΔABC中，已知a，b，c分别是角A， B， C的对边，且a=2。
（1）若c=，C=，求b的值；
（2）若b+c=2，求ΔABC的面积的最大值。
试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得ΔABC是等腰直角三角形，则b=c=；
（2）结合余弦定理得到面积的表达式，然后利用均值不等式的结论可得ΔABC的面积的最大值是1.
法2：因为a=2，c=，C=，
所以由余弦定理，得（）2=22+b2-2×2×bcos
即b2-2b+2=0
所以b=
（2）因为a=2， b+c=2，
所以由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA
所以cosA=-1
因为，所以
所以ΔABC的面积
由，
所以b=时，bc的最大值为2
故ΔABC的面积
所以ΔABC的面积的最大值为1。
【评注】：第一步利用正弦定理进行“边转角”化为三角函数关系，借助两角和公式进行恒等变形，求出角A的余弦值，进而求出角A；第二步利用余弦定理，转化为b+c与bc的关系，然后利用基本不等式“等转不等”，求出bc的范围，进而求出面积的范围。
三、利用二次函数求最值
在三角形的边角关系中，如果将三角形的面积转化为含有一个变量的函数关系，可借助函数求值域的方法求最值。
典例4.四边形ABCD如图所示，已知AB=BC= CD=2， AD=2.
（1）求cosA-cosC的值；
（2）记ΔABD与ΔBCD的面积分别是S1与S2，求S12+S22的最大值.
试题分析：（1）在ΔABD，ΔBCD中，分别用余弦定理，列出等式，得出cosA-cosC的值；（2）分别求出S1，S2的表达式，利用（1）的结果，得到S12+S22是关于cosC的二次
函数，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出BD的范围，由BD的范围求出cosC的范围，再求出S12+S22的最大值。
【解析】（1）在ΔABD中，BD2=AB2+AD2-2AB· ADcosA =16-8cosA ，
在ΔBCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC= 8-8cosC，
所以cosA-cosC=1.
（2）依题意S12=AB2·AD2sin2A=12-12cos2A， S22=BC2·CD2sin2C=4-4cos2C，
所以S12+S22=12-12cos2A+4-4cos2C=16-4（cosC+1）2-4cos2C，
因为2-2
解得-1
解法二：
设BD=2x，则2-2
，
=12-（4-x2）2，∴S12+S22=12-（4-x2）2+x2（4-x2），令4-x2=t，则x2=4-t， 0
【评注】有关解斜三角形问题，常用正弦定理、余弦定理、面积公式等，多用正弦定理和余弦定理进行“边角转化”，求范围或最值问题常用方法有两种，第一边化角，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，另一种方法是化边，利用基本不等式或函数求值域方法求范围或最值。
（作者单位：河北蠡县中学）。