江苏省2013届高三数学复习填空题系列训练(3)
江苏省盐城市2013届高三考前突击精选模拟试卷数学卷3
江苏省盐城市2013届高三考前突击精选模拟试卷数学卷3数学Ⅰ（必做题）一、填空题 （本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上）1．若全集U ={1,2,3,4}，集合A ={1,2},B ={1,4}，则()U AB ð ▲ ．2．若双曲线221y x m-=的一条渐近线方程是y =，则m 等于 ▲ ． 3．函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 ▲ ． 4．运行下面的一个流程图，则输出的S 值是 ▲ ． 5. 若从集合{}1,1,2,3-中随机取出一个数m ，放回后再随机取出一个数n ，则使方程22221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为 ▲ ．6. 函数()lg 2f x x x =+-的零点个数是 ▲ . 7．若直径为2的半圆上有一点P ，则点P 到直径两端点,A B 距离之和的最大值为 ▲ ．8．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率 如条形图所示，则这组数据的方差等于 ▲ ． 9．已知n s 是等差数列{n a }的前n 项和，若2s ≥4，4s ≤16， 则5a 的最大值是 ▲ .10. 已知函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对1,x D ∀∈∃唯一的2x D ∈C =，则称常数C 是函数()f x在D 上的 “翔宇一品数”。
若已知函数()[]1,1,32xf x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在[]1,3上的“翔宇一品数”是 ▲ ．11．如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足 函数sin()y A x B ωϕ=++，(02)ϕπ≤<，则温度变化曲线的函数解析式为 ▲ .12．已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =，若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ▲ ．13．如图，,,A B C 是直线上三点，P 是 直线外一点，若a BC AB ==，∠90APB =︒，∠45BPC =︒，记∠PBA θ=， 则PA PC ⋅＝ ▲ .（仅用a 表示） 14．已知函数()|1||21||31||1001|f x x x x x =-+-+-++-，则当x = ▲ 时，()f x 取得最小值．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知复数1sin 2z x t =+i ，()22z m m x =+i ，（i 为虚数单位，,,t m x ∈R ），且12z z =．（1）若0t =且0x π<<，求x 的值； （2）设()t f x =，已知当x α=时，12t =，试求cos 43πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．16．（本小题满分14分）如图a ，在直角梯形ABCD 中，,AB AD AD BC ⊥，F 为AD 的中点，E 在BC 上，且EF AB 。
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷
2013年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共71.0分)1.记函数f(x)=的定义域为A，函数g(x)=lg(x-1)的定义域为B，则A∩B= ．【答案】(1，3]【解析】试题分析：先由条件求得A和B，再由两个集合的交集的定义求得A∩B．∵函数f(x)=的定义域为A，∴A={x|x≤3}．∵函数g(x)=lg(x-1)的定义域为B，∴B={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x≤3}=(1，3]，故答案为(1，3]．2.已知复数z满足(z+1)i=3+5i，其中i为虚数单位，则|z|= ．【答案】5【解析】试题分析：化简复数求出z的表达式，然后求解复数的模即可．因为复数z满足(z+1)i=3+5i，所以z+1=所以z==，两边求模可得：|z|===5．故答案为：5．3.某算法的伪代码如图所示，若输出y的值为3，则输入x的值为．【答案】8【解析】试题分析：根据伪代码可知该题考查一个分段函数y=，再利用输出值为3，即可求得输入值．本题的伪代码表示一个分段函数y=∵输出值为3∴或∴x=8∴输入值x=8故答案为：8．4.如图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是．【答案】【解析】试题分析：根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据方差的计算方法，把七个数字求出平均数和方差即得．由茎叶图知，七个数据为88，89，89，90，91，91，92，平均数为=90；方差为[(88-90)2+(89-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(91-90)2+(92-90)2]=．故答案为：．5.已知函数f (x)=2sin(ωx+ϕ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω= ．【答案】【解析】试题分析：由函数的图象可得=，解方程求得ω的值．由函数的图象可得==，解得ω=，故答案为．6.在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，4，5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是．【答案】【解析】试题分析：从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有种方法；其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况(2，4)；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中一次取出2张卡片，共有=10种方法，其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况：一类是取得的两个数字都是偶数：只有一种情况(2，4)；另一类是一个偶数和一个奇数，有=6种情况，因此取到的卡片上的数字之积为偶数的情况共有1+6=7，∴取到的卡片上的数字之积为偶数的概率P=．故答案为．7.在平面直角坐标系x O y中，已知=(3，-1)，=(0，2)．若•=0，=λ，则实数λ的值为．【答案】2【解析】试题分析：根据向量、的坐标，得到=(-3，3)，设=(m，n)可得•=-3m+3n=0．而=(m-3，n+1)=λ，得到m-3=0且n+1=2λ，两式联解即可得到实数λ的值．∵=(3，-1)，=(0，2)∴=-=(-3，3)设=(m，n)，可得•=-3m+3n=0…①又∵=(m-3，n+1)，=λ，∴m-3=0且n+1=2λ…②将①②联解，可得m=-3，n=-3，λ=2故答案为：28.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊂α，m⊥β，则α⊥β，②若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是(填写所有真命题的序号)．【答案】①④【解析】试题分析：①由线面垂直的判定定理可知正确；②m与n可能平行可能相交；③m与n 可能平行或异面；④由线面平行的性质定理可知正确．选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；选项②错误，若m⊂α，α∩β=n，α⊥β，则m与n可能平行可能相交；选项③错误，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n可能平行或异面；选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n．故答案为：①④9.如图，在△ABC中，B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【答案】【解析】试题分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==-，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，，由正弦定理得∠∴AB=故答案为：．10.记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x0∈[a，b]，使得f(b)-f(a)=f′(x0)(b-a)成立，则称x0为函数f(x)在区间[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x)=x3-3x在区间[-2，2]上“中值点”的个数为．【答案】2【解析】试题分析：利用导数的运算法则得出f′(x)，分别计算出f(2)-f(-2)，2-(-2)，利用f(2)-f(-2)=f′(x0)[2-(-2)]，即可解出．∵函数f(x)=x3-3x，∴f′(x)=3x2-3．又f(2)-f(-2)=23-3×2-[(-2)3-3×(-2)]=4，2-(-2)=4．设x0∈[-2，2]为函数f(x)在区间[-2，2]上的“中值点”．则4f′(x0)=4，得f′(x0)=1．∴，解得．∴函数f(x)=x3-3x在区间[-2，2]上“中值点”为，其个数为2．故答案为2．11.在平面直角坐标系x O y中，点F是双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若=2，则双曲线的离心率为．【答案】2【解析】试题分析：先由=2，得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．如图因为=2，所以A为线段FB的中点，∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒．∴，e2=4⇒e=2．故答案为：2．12.在平面直角坐标系x O y中，已知圆C：x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0，直线l经过点(1，0)．若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为．【答案】2x+y-2=0【解析】试题分析：根据圆的方程求出圆心和半径，由题意可得圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，经过检验不符合条件．当直线l的斜率存在时，直线l的方程为y-0=k(x-1)，圆心C到直线l的距离为定值求得k的值，从而求得直线l的方程．圆C：x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0即[x-(3-m)]2+(y-2m)2=9，表示以C(3-m，2m)为圆心，半径等于3的圆．∵直线l经过点(1，0)，对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|m-3-1|=|m-4|，不是定值．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-0=k(x-1)，即kx-y-k=0．此时，圆心C到直线l的距离d==为定值，与m无关，故k=-2，故直线l的方程为y-0=-2(x-1)，即2x+y-2=0，故答案为2x+y-2=0．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=-n+p，数列{b n}的通项公式为b n=2n-5．设c n=，若在数列{c n}中，c8＞c n(n∈N*，n≠8)，则实数p的取值范围是．【答案】(12，17)【解析】试题分析：由c n表达式知c n是a n，b n中的较小者，易判断{a n}是递减数列，{b n}是递增数列，由c8＞c n(n≠8)知c8是c n的最大者，从而可知n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，进而可知a n与b n的大小关系，且c8=a8或c8=b8，分两种情况讨论，当c8=a8时，a8＞b7，当c8=b8时，b8＞a9，分别解出p的范围，再取并集即可；当a n≤b n时，c n=a n，当a n＞b n时，c n=b n，∴c n是a n，b n中的较小者，因为a n=-n+p，所以{a n}是递减数列；因为b n=2n-5，所以{b n}是递增数列，因为c8＞c n(n≠8)，所以c8是c n的最大者，则n=1，2，3，…7，8时，c n递增，n=8，9，10，…时，c n递减，因此，n=1，2，3，…7时，2n-5＜-n+p总成立，当n=7时，27-5＜-7+p，∴p＞11，n=9，10，11，…时，2n-5＞-n+p总成立，当n=9时，29-5＞-9+p，成立，∴p＜25，而c8=a8或c8=b8，若a8≤b8，即23≥p-8，所以p≤16，则c8=a8=p-8，∴p-8＞b7=27-5，∴p＞12，故12＜p≤16，若a8＞b8，即p-8＞28-5，所以p＞16，∴c8=b8=23，那么c8＞c9=a9，即8＞p-9，∴p＜17，故16＜p＜17，综上，12＜p＜17．故答案为：(12，17)．14.设点P是曲线y=x2上的一个动点，曲线y=x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为．【答案】【解析】试题分析：设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值．设，由y=x2得′，所以过点P且与直线l垂直的直线方程为．联立y=x2得：．设Q(x1，y1)，则，所以，．所以|PQ|===．令t=．g(t)=．则′，当t∈(0，2)时，g′(t)＜0，g(t)为减函数，当t∈(2，+∞)时，g′(t)＞0，g(t)为增函数，所以．所以PQ的最小值为．故答案为．二、解答题(本大题共12小题，共79.0分)15.已知α，β∈(0，π)，且tanα=2，cosβ=-．(1)求cos2α的值；(2)求2α-β的值．【答案】解：(1)cos2α=cos2α-sin2α==，因为tanα=2，所以，所以cos2α=．(2)因为α∈(0，π)，且tanα=2，所以又cos2α=，∴，，因为β∈(0，π)，cosβ=-．所以，，所以sin(2α-β)=sin2αcosβ-cos2αsinβ==-，又，∴2α-β=-．【解析】(1)利用二倍角的余弦函数，通过分母“1=sin2α+cos2α”的代换，然后化简分式2tanα的形式，代入数值全家健康．(2)通过α，β的范围求出sin2α，sinβ，通过二倍角的正弦函数，求出sin(2α-β)的值，结合角的范围求出角的大小即可．16.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AC，D，E，F分别为线段AC，A1A，C1B的中点．(1)证明：EF∥平面ABC；(2)证明：C1E⊥平面BDE．【答案】证明：(1)如图所示，取BC的中点G，连接AG，FG．又∵F为C1B的中点，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，E为A1A的中点，∴，∴四边形AEFG是平行四边形．∴EF∥AG．∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC．(2)∵点D是正△ABC的BC边的中点，∴BD⊥AC，由正三棱柱ABC-A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1．∴BD⊥C1E．∵，∴R t△A1C1E∽R t△AED，∴∠A1EC1=∠ADE．∴∠∠，∴C1E⊥ED．∵ED∩DB=D．∴C1E⊥平面BDE．【解析】(1)取BC的中点G，连接AG，FG，利用三角形的中位线定理即可得出．利用三棱柱的性质可得，再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；(2)利用面面垂直的性质即可得出BD⊥侧面ACC1A1．利用相似三角形的判定和性质即可得出∠∠，再利用线面垂直的性质定理即可证明．17.已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx，m∈R．(1)当m=0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当m＞0时，若曲线y=f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值．【答案】解：(1)当m=0时，函数f(x)=-2x+3+lnx由题意知x＞0，f′(x)=-2+=，令f′(x)＞0，得0＜x＜时，所以f(x)的增区间为(0，)．(2)由f′(x)=mx-m-2+，得f′(1)=-1，知曲线y=f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y=-x+2，于是方程：-x+2=f(x)即方程m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx，(x＞0)．则g′(x)==，①当m=1时，g′(x)=≥0，g(x)在(0，+∞)上为增函数，且g(1)=0，故m=1符合题设；②当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由g′(x)=＜0得＜x＜1，故g(x)在区间(0，)，(1，+∞)上单调递增，在( 1，)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→0时，g(x)→-∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；③当0＜m＜1时，由g′(x)=＞0得0＜x＜1或x＞，由g′(x)＜0得1＜x＜，故g(x)在区间(0，1)，(，+∞)上单调递增，在(1，)区间单调递减，又g(1)=0，且当x→0时，g(x)→+∞，此时曲线y=g(x)与x轴有两个交点，故0＜m ＜1不合题意；∴由上述知：m=1．【解析】(1)求出f′(x)，在定义域内解不等式f′(x)＞0，即得f(x)的单调增区间；(2)先求切线方程为y=-x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m(x-1)2-x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．18.将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1≤S2．记折痕长为lcm．(1)若l=4，求S1的最大值；(2)若S1：S2=1：2，求l的取值范围．【答案】解：如图所示：不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：情形①情形②情形③①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．(1)在情形②③中，MN≥6，故当l=4时，折痕必定是情形①．设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，所以，当且仅当x=y=2时取等号，即S1的最大值为4．(2)由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32．当折痕是情形①时，设AM=xcm，AN=ycm，则，即y=，由，解得，所以l==，，设f(x)=，x＞0，则′=，x＞0，故当x∈()时f′(x)＜0，f(x)递减，当x∈(4，8)时，f′(x)＞0，f(x)递增，且f()=64，f(8)=80，所以f(x)的取值范围为[64，80]，从而l的范围是[8，4]．当折痕是情形②时，设AM=xcm，DN=ycm，则，即y=，由，解得0，所以l==，0，所以l的范围为[6，]；当折痕是情形③时，设BN=xcm，AM=ycm，则，即y=4-x，由，得0≤x≤4，所以l==，0≤x≤4，所以l的取值范围为[8，4]，综上，l的取值范围为[6，4]．【解析】(1)不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中点A在面积为S1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．易判断l=4为情形①，设AM=xcm，AN=ycm，则x2+y2=16．利用不等式即可求得S1的最大值；(2)由题意知，长方形的面积为S=6×8=48，因为S1：S2=1：2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32，按三种情形进行讨论：根据S1的面积可把折痕l表示为函数，根据函数的特点可用导数或二次函数性质分别求得l的范围，综上即可求得l的范围；19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆C：+=1．(1)若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；(2)若m=6，①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为(1，0)，求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：是定值，并求出这个定值．【答案】解：(1)由题意得，m＞8-m＞0，解得4＜m＜8，所以实数m的取值范围是(4，8)；(2)因为m=6，所以椭圆C的方程为，①设点P坐标为(x，y)，则，因为点M的坐标为(1，0)，所以PM2=(x-1)2+y2===，，所以当x=时，PM的最小值为，此时对应的点P坐标为()；②由a2=6，b2=2，得c2=4，即c=2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x=3，离心率e=，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点H(x0，y0)，则，，两式相减得，，即，令k=k AB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y-y0=-(x-x0)，令y=0，则x N=ky0+x0=，因为F(2，0)，所以FN=|x N-2|=，因为AB=AF+BF=e(3-x1)+e(3-x2)=|x0-3|．故==，即为定值．【解析】(1)由焦点在x轴上得，m＞8-m＞0，解出即可；(2)①设点P坐标为(x，y)，则，由两点间距离公式可表示出PM2，根据二次函数的性质即可求得PM2的最小值，从而得到PM的最小值，注意x的取值范围；②易求焦点F的坐标及右准线方程，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点H(x0，y0)，利用平方差法可用H坐标表示直线AB的斜率，用点斜式写出AB中垂线方程，从而得点N横坐标，进而得到线段FN的长，由第二定义可表示出线段AB长，是定值可证；20.记等差数列{a n}的前n项和为S n．(1)求证：数列{}是等差数列；(2)若a1=1，且对任意正整数n，k(n＞k)，都有+=2成立，求数列{a n}的通项公式；(3)记b n=(a＞0)，求证：≤．【答案】(1)证明：设等差数列{a n}的公差为d，(1)由于，从而，所以当n≥2时，=，即数列{}是等差数列．解：(2)∵对任意正整数n，k(n＞k)，都有+=2成立，∴，即数列{}是等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当n≥2时，a n=S n-S n-1=[1+(n-1)t]2-[1+(n-2)t]2=2t2n-3t2+2t，又由等差数列{a n}中，a2-a1=a3-a2，即(4t2-3t2+2t)-1=(6t2-3t2+2t)-(4t2-3t2+2t)所以t=1，即a n=2n-1．(3)由于a n=a1+(n-1)d，，则，即数列{b n}是公比大于0，首项大于0的等比数列，记其公比是q(q＞0)．以下证明：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∵(b1+b n)-(b p+b k)==，当q＞1时，因为y=q x为增函数，p-1≥0，k-1≥0，∴q p-1-1≥0，q k-1-1≥0，∴b1+b n≥b p+b k；当q=1时，b1+b n=b p+b k；当q=1时，因为y=q x为减函数，p-1≥0，k-1≥0，∴q p-1-1≤0，q k-1-1≤0，∴b1+b n≥b p+b k，综上：b1+b n≥b p+b k，其中p，k为正整数，且p+k=1+n．∴n(b1+b n)=(b1+b n)+(b1+b n)+…(b1+b n)≥(b1+b n)+(b2+b n-1)+…(b n+b1)=(b1+b2+…+b n)+(b n+b n-1+…+b1)，即．【解析】(1)数列{a n}为等差数列，等价于a n+1-a n=d(d为常数)；(2)已知数列前n项和公式求通项公式，需用公式，整理化简即可得到数列{a n}的通项公式；(3)与不等式有关的数列证明题通常用放缩法来解决．21.如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．(1)若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；(2)若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．【答案】解：(1)如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB 平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)∴=(，1，-2)，=(0，1，1)设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ==即直线AE与PB所成角的余弦值为；(2)设PA=a，则P(0，0，a)，可得=(，1，-a)，=(0，2，-a)设平面PBC的法向量为=(x，y，z)，则•=0且•=0∴，令z=2，得y=a，x=．可得=(a，a，2)是平面PBC的一个法向量∵D、E分别为PB、PC中点，∴D(，，)，E(0，1，)因此，=(，，)，=(0，1，)，类似求平面PBC法向量的方法，可得平面ADE的一个法向量=(-a，-a，2)∵平面ADE⊥平面PBC，∴⊥，可得•=-a2-a2+4=0，解之得a=因此，线段PA的长等于．【解析】(1)以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量、的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；(2)设PA=a，可得、含有字母a的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为=(a，a，2)，同理得到平面ADE的一个法向量=(-a，-a，2)，由平面ADE⊥平面PBC可得•=-a2-a2+4=0，解之得a=，由此即可得到线段PA的长．22.如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n．(1)求p1，p2的值；(2)求证：＞．【答案】解：(1)棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点，棋子从A出发．由3条路径，所以p1=．棋子移动两次，还在上底面时，有两种可能，p2==．证明：(2)因为移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率为p n．故落在下底面顶点的概率为1-p n．于是，移了n+1次后，棋子落在上底面顶点的概率记为p n+1=，从而p n+1-=，所以数列{}是等比数列，首项为公比为，所以，用数学归纳法证明：＞．①当n=1时左式=，右式=，因为，所以不等式成立．当n=2时，左式=，右式=，所以不等式成立；②假设n=k(k≥2)不等式成立，即．则n=k+1时，左式==，要证，只要证，即证：，只要证，只要证3k+1≥2k2+6k+2，因为k≥2，所以=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+1＞2k2+6k+2所以，即n=k+1时不等式也成立，由①②可知＞对任意n∈N*都成立．【解析】(1)通过棋子移动结合路径直接求出p1，利用棋子移动的情况直接求解p2的值；(2)通过棋子移动通过数列是等比数列求出p n．然后利用数学归纳法证明＞．在证明n=k+1时，利用分析法证明即可．23.选修4-1：几何证明选讲如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，线段OP交⊙O于点C．若PA=12，PC=6，求AB的长．【答案】解：如图所示，延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．∵PA与⊙O相切，∴PA2=PC•PD．设⊙O的半径为R，∵PA=12，PC=6．∴122=6(6+2R)，解得R=9．∵PA，PB与⊙O都相切，∴PA=PB．又∵OA=OB，∴OP垂直平分AB．即OP⊥AB，AB=2OE．在R t△OAP中，．∴=．∴．【解析】延长PO交⊙O于D点，连接AO，BO，AB交OP于点E．利用切割线定理即可得出⊙O 的半径R，利用切线长定理得到PA=PB，由半径OA=OB，于是可得OP垂直平分AB．在R t△OAP中，由面积即可得出AE，从而得出AB．24.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M=对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，将曲线C：xy=1变为曲线C′．(1)求实数a，b的值；(2)求曲线C′的方程．【答案】解：(1)由已知得M ′′=′′，即′′=′′，∴∴．(2)设点P(x'，y')是曲线C：xy=1上的任意一点，变换后的点为P'(x，y)则=′′，即′′′′，解得′′，因为x′y′=1，所以=1，即．即曲线C′的方程为．【解析】(1)先根据矩阵M对应的变换将点A(1，1)变为A′(0，2)，建立二元一次方程组求出实数a，b的值；(2)由(1)得矩阵M，然后设曲线C：xy=1上的任意一点P(x'，y')，变换后的点为P'(x，y)的关系，将点P(x'，y')的坐标代入曲线C：xy=1的方程即可求出曲线C′的方程．25.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-)，点M的极坐标为(6，)，直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．【答案】解：圆C的直角坐标方程为(x-)2+(y-1)2=4．…(3分)点M的直角坐标为(3，3)，当直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y-3=k(x-3)，圆心到直线的距离为r=2，…(6分)因为圆心到直线l的距离d=，所以k=0或k=．故所求直线的方程为y=3或x-y-6=0，其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin(-θ)=3…(10分)【解析】先把圆C极坐标方程化成直角坐标方程，得到圆心坐标和半径，再设直线l的直角坐标方程，由于直线与曲线C相切，从而圆心到直线l的距离等于半径，可得直线的直角坐标方程，最后利用极坐标与直线坐标之间的关系化成极坐标方程即可．26.选修4-5：不等式选讲解不等式x|x-4|-3＜0．【答案】解：原不等式转化为：或解得或或即或3＜x＜4或x＜1．综上不等式的解集为：{x|x＜1或3＜x＜2+}．【解析】通过去掉绝对值符号，转化为二次不等式求解即可．。
2013江苏高考数学模拟试卷3-参考答案
犛 ０ １ １ 犪 ２ ０ １ １ ＝２ １＋ 烄 烅 犪 犪 ０ ０ ７ 犱＝７ １ ０ ０ ８＝ １ ＋１ 烆
｛
｛
２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ２ ０ １ ３×２ ０ １ ２ ） vw ， ×犱＝２ ×４＝６ ０ ３ ９． 犛 ０ １ ３ 犪 ０ １ ３× （ －４ ０ ２ １ ＋ ２ ０ １ ３ ＝２ １＋ ２ ２ ， 】 (÷ø# ４ + ±２， vw ω＝ ， ! 狓） 犃＝２， 【 1~^w3ö 犳（ π （２狓＋ ４π） ２ １ １ ３ π， ， 1Ùùt®^3 １ × π ＋ y φ＝３ vw 犳（ 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ ＝π， 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ（ 狓＋ π） ． 犳（ φ） ４ ２ ２ ２ φ ２ ４ ８． 狓） ＝２ ｓ ｉ ｎ 犳（ １ ３ １
３ ２ （ ３ ２ ＋ ＝２ 犿＋３ 狀） ＋ 犿 狀 犿 狀
（
）
· y ＋ (# ２ ＋１ ２＝２ ４， ４． 犿 狀 犿 狀 槡
→ ＝ → → 】 １ ３． ５ 【 犆＝ 犆－ 犈犎 λ犈 λ犃
λ → ， λ→ → ＝犃 → → ＝１－ → 犃 犅 犃犎 犈＋犈犎 犃 犅＋ 犆， λ犃 ３ ３
２ ０ １ ３ !"#$%&'()*+,-./ · 0&12/35
】 !¾789# 狓＝－２． １． 狓＝－２ 【 ２ 狆＝８， 狆＝４， ） ｝ ｝ ， ｝ ， ） 】 ! 犃∩犅＝ ［ ２．［ ０， １ 狓 １－狓＞０ ＝｛ 狓 狓＜１ 犅＝ ｛ 狓 狓≥０ ０， １ ． 【 犃＝ ｛ ｜ ｜ ｜ ） 】 !êëCgì(´;# ３． １ １ ２ ５ 【 ０． ０ ０ ５ ０＋０． ０ ０ ４ ３＋０． ０ ０ ３ ２ ×２ ０×１ ５ ０ ０＝３ ７ ５， êëgì(´;+ （ １ ５ ０ ０－３ ７ ５＝１ １ ２ ５． ４． ５． １ 【 １ １ １ １ １ １－ ｉ ! 犪－ ＝０， 犪＝ ． ＋ ＋ ｉí(t< 狓 = ， 狕＝ 犪 ｉ ＝ 犪 ｉ ＝ ＋ 犪－ 】 １＋ ｉ ２ ２ ２ ２ ２ ２
2013江苏高考数学试卷含答案(校正精确版)
2013江苏一、 填空题1．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为 ．【解】利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π．2．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ．【解】z ＝3－4i ，|z |＝53．双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为 ．【解】y ＝±34x4．集合{－1，0，1}共有 个子集．【解】23＝8(个)5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲【解】经过了两次循环，n 值变为36．抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ ．【解】易知均值都是90，乙方差较小，2222222111()[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25n i i s x x n ==-=-+-+-+-+-=∑7．现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ ．【解】m 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7共7个，n 可以取的值有：1，2，3，4，5，6，7，8，9共9个，故总共有7×9＝63种可能，符合题意的m 可以取1，3，5，7共4个，符合题意的n 可以取1，3，5，7，9共5个，故总共有4×5＝20种可能符合题意，故符合题意的概率为2063． 8．如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝ ．【解】设三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高为h ，底面三角形ABC 的面积为S ，则V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，即V 1∶V 2＝1∶24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ ．【解】易知切线方程为：y ＝2x －1，故与两坐标轴围成的三角形区域三个点为(0,0)A ，(0.5,0)B ，(0,1)C -，易知过C 点时有最小值－2，过B 点时有最大值0．510．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ．若DE ―→＝λ1AB ―→＋λ2AC ―→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．【解】DE ―→＝DB ―→＋BE ―→＝12AB ―→＋23BC ―→＝12AB ―→＋23(BA ―→＋AC ―→)＝－16AB ―→＋23AC ―→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12． 11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ ．【解】由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎨⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ．若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ ．【解】由题意知2212,bc a b d d c a c c ==-=，故有2b c =，两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -=，两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即e =ABC1ADE F1B1C13．平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ ．【解】由题意设0001(,)(0)P x x x >，则有22220002000111()()2(+)PA x a a x a x x x x =-+-=+-+2220000112(+)2(+)22a x a x a x x =-+-，令001(2)x t t x +=≥，则222()222(2)PA f t t at a t ==-+-≥，对称轴t a =，1．2a ≤时，222min (2)242,2428PA f a a a a ==-+∴-+=，1a =-，3a =(舍去) 2．2a >时，222min()2,28PAf a a a ==-∴-=，a =，a =(舍去)综上1a =-或a =14．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3．则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n的值为 ．【解】a 5＝12，a 6＋a 7＝3，故a 5q ＋a 5q 2＝3，q 2＋q －6＝0，q ＞0，故q ＝2，故a n ＝2n －6，因a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，故2n －5－2－5＞2n 2－11n2，2n －5－2n 2－11n2＞2－5＞0，n －5＞12(n 2－11n )，故13－1292＜n ＜13＋1292，因n ∈N *，故1≤n ≤12，n ∈N *，又n ＝12时符合题意，故n 的最大值为12．设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由已知得，12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5q n －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝2n 2－11n 2，由a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5＞2n 2－11n2，由2n －5－2－5＞2n 2－11n2，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，故n 的最大值为12． 二、解答题15．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π． ⑴．若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；⑵．设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】⑴．由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b ；⑵．因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β).由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，可得sin β＝12.∴sin α＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6．16．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =．过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是侧棱SA ，SC 的中点．求证：⑴．平面EFG //平面ABC ； ⑵．BC SA ⊥．【解】⑴．,E G Q 分别是侧棱,SA SC 的中点，EG AC ∴∥，AC Q 在平面ABC 中，EG 在平面外，EG ∴∥平面ABC ，,AS AB AF SB =Q ⊥，F ∴为SB 中点，EF AB ∴∥，Q AB 在平面ABC 中，EF 在平面外，EF ∴∥平面ABC ，Q EF 与EG 相交于E ，,EF EG 在平面EFG 中，∴平面EFG //平面ABC⑵．Q 平面SAB ⊥平面SBC ，SB 为交线，Q AF 在SAB 中，AF SB ⊥，AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，BC AB Q ⊥，AF 与AB 相交于A ，,AF AB 在平面SAB 中，BC ∴⊥平面SAB ，BC SA ∴⊥17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．⑴．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； ⑵．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【解】⑴．由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0．⑵．因为圆心在直线y ＝2x －4上，故圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1．设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，故x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，故点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，故圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3．整理得－8≤5a 2－12a ≤0．由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125．故点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，125． 18．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ．在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35．⑴．求索道AB 的长；⑵．问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？⑶．为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【解】(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，故sin A ＝513，sin C ＝45．从而sin B ＝sin[π－(A＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365．由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．故索道AB 的长为1 040 m ． (2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，故由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C ．设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，故为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．19．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．⑴．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； ⑵．若{b n }是等差数列，证明：c ＝0．【解】⑴．由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d ．(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d ．又b 1，b 2，b 4成等比数列，故b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0．因为d ≠0，故d ＝2a ．因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a ．从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k ．⑵．设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D (*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0．即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0．若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，故d 1≠0．又cd 1＝0，故c ＝0．20．设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x －ax ，其中a 为实数．⑴．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； ⑵．若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．【解】⑴．令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(1a ，＋∞)，从而1a ≤1，即a ≥1．令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0．又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，故ln a ＞1，即a ＞e ．综上，a 的取值范围为(e ，＋∞)．⑵．当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a ，因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤1e．综合上述两种情况，有a ≤1e．(ⅰ)当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点．(ⅱ)当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a ，1]上的图像不间断，故f (x )在(e a ，1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，故f (x )只有一个零点．(ⅲ)当0＜a ≤1e 时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，解得x ＝1a ．当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＞0，当x ＞1a 时，f ′(x )＜0，故，x ＝1a 是f (x )的最大值点，且最大值为f (1a)＝－1－ln a ．①．当－1－ln a ＝0，即a ＝1e 时，f (x )有一个零点x ＝e ．②．当－1－ln a ＞0，即0＜a ＜1e时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜1e ，由于f (1e )＝－1－a e ＜0，f (1a )＞0，且函数f (x )在[1e ，1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1e ，1a )上存在零点．另外，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )＝1x －a ＞0，故f (x )在(0，1a )上是单调增函数，故f (x )在(0，1a)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(1a ，＋∞)上的情况．先证f (e 1a )＝a (1a2－e 1a )＜0．为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2．设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2．当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，故l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时，h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0，即当x ＞e 时，ex＞x 2．当0＜a ＜1e ，即1a ＞e 时，f (e 1a )＝a (1a 2－e 1a )＜0，又f (1a)＞0，且函数f (x )在[1a ，e 1a ]上的图像不间断，故f (x )在(1a ，e 1a )上存在零点．又当x ＞1a 时，f ′(x )＝1x －a ＜0，故f (x )在(1a ，＋∞)上是单调减函数，故f (x )在(1a，＋∞)上只有一个零点． 综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)，当a ≤0或a ＝1e 时，f (x )的零点个数为1，当0＜a ＜1e 时，f (x )的零点个数为2．B ．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B ．【解】设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，故A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3．C ．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标． 解：因为直线l 的参数方程为12x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，由1x t =+得，1t x =-，代入2y t =得，直线l 的普通方程为220x y --=，同理得曲线C 的普通方程为22y x =，联立方程组22(1),2y x y x =-⎧⎨=⎩，解得公共点的坐标为(2,2)，1(,1)2-．22．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点． ⑴．求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； ⑵．求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解：⑴．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (1，1，0)，A 1(0，0，4)，C 1(0，2，4)，所以A 1B ―→＝(2，0，－4)，C 1D ―→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B ―→，C 1D ―→〉＝A 1B ―→·C 1D ―→| A 1B ―→||C 1D ―→|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010； ⑵．设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD ―→＝(1，1，0)，AC 1―→＝(0，2，4)，所以n 1·AD ―→＝0，n 1·AC 1―→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2，1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ．由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53．因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53． 23．设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，11(1)(1)k k k k k 644474448－－－，，－，，个……即当(k －1)k 2<n ≤k (k ＋1)2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2000中元素的个数．解 (1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5．(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i＝m时成立，即S m(2m＋1)＝－m(2m＋1)，则i＝m＋1时，S(m＋1)(2m＋3)＝S m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．综合①②可得S i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是S(i＋1)(2i＋1)＝S i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．由上可知S i(2i＋1)是2i＋1的倍数，而a i(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1，2，…，2i＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i＋1)＋j(2i＋1)是a i(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋1)的倍数．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)(2i＋1)不是2i＋2的倍数，而a(i＋＝－(2i＋2)(j＝1，2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋1)(2i＋1)＋j2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1，2，…，2i＋2)的倍数，故当l＝i(2i＋1)时，集合P l中元素的个数为1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，当l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l中元素的个数为i2＋j．又2000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2000中元素的个数为312＋47＝1008．。
2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编5：数列
6．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）对于实数 ,将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分,用符号 表示.已知无穷数列 满足如下条件:① ;② .当 时,对任意 都有 ,则 的值为____________.
【答案】 或
7．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）在数列 中,已知 , ,当 时, 是 的个位数,
则 ________.
【答案】
8．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足 =ax，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x), + = ,若有穷数列{ }（n∈N*））的前n项和等于 ，则n等于.
【答案】5
9．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（2））对正整数 ,设曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ,则数列 的前 项和的公式是________.
① ;②若 , ;③ ,
则 ___, ___.
【答案】
29．（2013年江苏省高考数学押题试卷）设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若3Sn,4Sn+1,5Sn+2成等差数列,则q的值为
.
【答案】8Sn+1=3Sn+5Sn+2,即8(Sn+an+1)=3Sn+5(Sn+an+2),所以8an+1=5an+2,q= = .
(3)设数列 中, 成等比数列,由 , ,得
.
化简,得 . (※)
当 时, 时,等式(※)成立,而 ,不成立
当 时, 时,等式(※)成立
当 时,,这与b≥3矛盾.
这时等式(※)不成立
综上所述,当 时,不存在连续三项成等比数列;当 时,数列 中的第二、三、四项成等比数列,这三项依次是18,30,50
数学_2013年江苏省高考数学模拟试卷(三)(含答案)
2013年江苏省高考数学模拟试卷（三）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ={−1, 1, 2, 4}，B ={−1, 0, 2}，则A ∪B =________．2. 若复数z 满足z =i(2−z)（i 是虚数单位），则z =________．3. 在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P(x, y)，则|x|+|y|≤2的概率为________．4. 已知sin(α+π3)+sinα=−4√35，−π2<α<0，则cosα=________．5. 已知直线y =a 与函数f(x)=2x 及函数g(x)=3⋅2x 的图象分别相交于A ，B 两点，则A ，B 两点之间的距离为________．6. 已知B 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左准线与x 轴的交点，点A(0, b)，若满足AP →=2AB →的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为________． 7. 如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是________．8. 已知函数f(x)=x 2+ax +1，若∃θ∈(π4，π2)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a 的取值范围为________．9. 在四边形ABCD 中，AB →=DC →=(3, 4)，1|BA →|BA →+1|BC →|BC →=√2|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积是________．10. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中间一组（即第五组）的频数为________．11. 已知变量a ，θ∈R ，则(a −2cosθ)2+(a −5√2−2sinθ)2的最小值为________.12. 已知f(x)=mx(x −2m)(x +m +3)，g(x)=2x −2，若∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，则m 的取值范围是________．13. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x ∈[0, π]时，0<f(x)<1；当x ∈(0, π) 且x ≠π2时，(x −π2)f′(x)>0，则函数y =f(x)−sinx在[−2π, 2π]上的零点个数为________．14. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的焦点为F．设M是抛物线上的动点，则MOMF 的最大值为________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15. 已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别是a，b，c，面积为S△ABC，且m→=(b2+c2−a2,−2)，n→=(sinA,S△ABC)，m→⊥n→．（1）求函数f(x)=4cosxsin(x−A2)在区间[0, π2]上的值域；（2）若a=3，且sin(B+π3)=√33，求b．16. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60∘，E、F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；（2）证明：C1F // 平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．17. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，一条准线l:x=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．①若PQ=√6，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．18. 如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD的固定投食点A到两条平行河岸线l1、l2的距离分别为4m、8m，河岸线l1与该养殖区的最近点D的距离为1m，l2与该养殖区的最近点B的距离为2m．（1）如图甲，养殖区在投食点A的右侧，若该小组测得∠BAD=60∘，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A的两侧，试在该小组未测得∠BAD的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19. 已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n−1，n∈N∗．数列{b n}满足b n=1a n⋅a n+1，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N∗，不等式λT n<n+8⋅(−1)n恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n(1<m<n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．20. 已知函数f(x)=a3x3−12(a+1)x2+x−13(a∈R)．(1)函数f(x)的图象在点（−1, f(−1)）处的切线方程为12x−y+b=0(b∈R)，求a与b的值；(2)若a<0，求函数f(x)的极值；(3)是否存在实数a使得函数f(x)在区间[0, 2]上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．三、[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．21. 如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．22. （选修4−2：矩阵与变换）设T是矩阵[acb0]所对应的变换，已知A(1, 0)且T(A)=P（1）设b>0，当△POA的面积为√3，∠POA=π3，求a，b的值；（2）对于（1）中的a，b值，再设T把直线4x+y=0变换成√3x−y=0，求c的值．23. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=12ty=√22+√32t（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ−π4)．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ．24. （选修4−5：不等式选讲）设f(x)=x 2−x +l ，实数a 满足|x −a|<l ，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1． 四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.25. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−1, 1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ →=λOA →，直线OP 与QA 交于点M ，问：是否存在点P 使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．26. （1）求证：n ∈N ∗时，(√5+2)2n+1−(√5−2)2n+1为正整数；（2）设(√5+2)2n+1=m +α(m,n ∈N ∗,0<α<1)，求证：α(m +α)=1．2013年江苏省高考数学模拟试卷（三）答案1. {−1, 0, 1, 2, 4}2. 1+i3. 2π4.3√3−4105. log 236. √27. −9 8. (1, √2) 9. 25 10. 36 11. 912. (−4, 0) 13. 4 14.2√3315. 解：（1）∵ m→=(b2+c2−a2,−2)，n→=(sinA,S△ABC)，m→⊥n→，∴ m→⋅n→=(b2+c2−a2)sinA−2S△ABC=0，又a2=b2+c2−2bccosA，即b2+c2−a2=2bccosA，且S△ABC=12bcsinA，∴ 2bccosAsinA−2×12bcsinA=0，即2bccosAsinA−bcsinA=0，∴ cosA=12，又A为三角形的内角，∴ A=π3，函数f(x)=4cosxsin(x−A2)=4cosxsin(x−π6)4cosx(√32sinx−12cosx)=2√3sinxcosx−2cos2x=√3sin2x−cos2x−1=2sin(2x−π6)−1，∵ x∈[0, π2]，∴ 2x−π6∈[−π6, 5π6]，∴ −12≤sin(2x−π6)≤1，∴ −2≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[−2, 1]；（2）由sin(B+π3)=√33，得到3π4<B+π3<π，∴ cos(B+π3)=−√1−sin2(B+π3)=−√63，∴ sinB=[(B+π3)−π3]=sin(B+π3)cosπ3−cos(B+π3)sinπ3=√33×12+√63×√32=√3+2√26，又a=3，sinA=√32，∴ 由正弦定理asinA =bsinB得：b=asinBsinA=1+√6．16. 解：（1）证明：在△ABC中，∵ AC=2BC=4，∠ACB=60∘，∴ AB=2√3，∴ AB2+BC2=AC2，∴ AB⊥BC．由已知AB⊥BB1，∴ AB⊥面BB1C1C，又∵ AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB1C1C．（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM // AB，∴ 直线FM // 面ABE．在矩形ACC 1A 1中，E 、M 都是中点，∴ C 1M // AE ，∴ 直线C 1M // 面ABE ， 又∵ C 1M ∩FM =M ，∴ 面ABE // 面FMC 1，故C 1F // 面AEB ． （3）在棱AC 上取中点G ，连接EG 、BG ，在BG 上取中点O ，连接PO ，则PO // BB 1，∴ 点P 到面BB 1C 1C 的距离等于点O 到平面BB 1C 1C 的距离． 过O 作OH // AB 交BC 与H ，则OH ⊥平面BB 1C 1C ，在等边△BCG 中，可知CO ⊥BG ， ∴ BO =1，在Rt △BOC 中，可得OH =√32，∴ V P−B 1C 1F =√33． 17. 解：（1）由题意可知：{ca=√22a 2c=2， ∴ a =√2，c =1，b 2=a 2−c 2=1， ∴ 椭圆C 的方程为：12x 2+y 2=1（2）①由（1）知：F(1, 0)，设M(2, t)， 则圆D 的方程：(x −1)2+(y −12t)2=1+t 24，直线PQ 的方程：2x +ty −2=0， ∴ |PQ|=√6，∴ 2√(1+t24)−(|2+12t 2−2√4+t 2)2=√6∴ t 2=4，t =±2∴ 圆D 的方程：(x −1)2+(y −1)2=2或(x −1)2+(y +1)2=2 ②证明：设P(x 1, y 1)，由①知：{(x 1−1)2+(y 1−12t)2=1+t 242x 1+ty 1−2=0， 即：{x 12+y 12−2x 1−ty 1=02x 1+ty 1−2=0消去t 得：x 12+y 12=2∴ 点P 在定圆x 2+y 2=2上．18. （1）养殖区的面积为42√3m 2； （2）养殖区的最小面积为27m 2．19. 解：（1）在a n 2=S 2n−1中，令n =1，n =2，得{a 12=S 1a 22=S 3，即{a 12=a 1(a 1+d)2=3a 1+3d …解得a 1=1，d =2，∴ a n =2n −1又∵ a n =2n −1时，S n =n 2满足a n 2=S 2n−1，∴ a n =2n −1… ∵ b n =1an ⋅a n+1=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=n2n+1． …（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n +8⋅(−1)n 恒成立，即需不等式λ<(n+8)(2n+1)n=2n +8n +17恒成立． …∵ 2n +8n≥8，等号在n =2时取得．∴ 此时λ 需满足λ<25． …②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n +8⋅(−1)n 恒成立，即需不等式λ<(n−8)(2n+1)n=2n −8n −15恒成立． …∵ 2n −8n 是随n 的增大而增大，∴ n =1时，2n −8n 取得最小值−6． ∴ 此时λ 需满足λ<−21． …综合①、②可得λ的取值范围是λ<−21． … （3）T 1=13，T m =m 2m+1，T n =n2n+1， 若T 1，T m ，T n 成等比数列，则(m2m+1)2=13(n2n+1)， 即m 24m 2+4m+1=n6n+3． … 由m 24m 2+4m+1=n6n+3，可得3n=−2m 2+4m+1m 2>0，即−2m 2+4m +1>0，∴ 1−√62<m <1+√62． … 又m ∈N ，且m >1，所以m =2，此时n =12…因此，当且仅当m =2，n =12时，数列T 1，T m ，T n 中的T 1，T m ，T n 成等比数列．… 20. 解：(I)已知函数f(x)=a3x 3−12(a +1)x 2+x −13(a ∈R)． 则导数f′(x)=ax 2−(a +1)x +1，函数f(x)的图象在x =−1处的切线方程为12x −y +b =0可知：f′(−1)=a +(a +1)+1=12，f(−1)=−a3−12(a +1)−1−13=−12+b ，解得a =5，b =6；(2)f′(x)=ax 2−(a +1)x +1=a(x −1)(x −1a )∵ a <0，∴ 1a <1，∴ f(x)极小值=f(1a )=−2a 2+3a−16a 2，f(x)极大值=f(1)=−16(a −1) (3)f(1a )=−2a 2+3a−16a 2=−(a−1)(2a−1)6a 2，f(1)=−16(a −1)f(2)=13(2a −1)，f(0)=−13<0，①当a ≤12时f(x)在[0, 1]上为增函数，在[1, 2]上为减函数，f(0)=−13<0，f(1)=−16(a −1)>0，f(2)=13(2a −1)≤0，所以f(x)在区间[0, 1]，(1, 2]上各有一个零点，即在[0, 2]上有两个零点；②当12<a ≤1时，f(x)在[0, 1]上为增函数，在(1, 1a )上为减函数，(1a , 2)上为增函数，f(0)=−13<0，f(1)=−16(a −1)>0，f(1a )=−(a−1)(2a−1)6a 2>0，f(2)=13(2a −1)>0，所以f(x)只在区间[0, 1]上有一个零点，故在[0, 2]上只有一个零点；③当a >1时，f(x)在[0, 1a]上为增函数，在(1a , 1)上为减函数，(1, 2)上为增函数，f(0)=−13<0，f(1a )=−(a−1)(2a−1)6a 2<0，f(1)=−16(a −1)<0，f(2)=13(2a −1)>0，，所以f(x)只在区间(1, 2)上有一个零点，故在[0, 2]上只有一个零点； 故存在实数a ，当a ≤12时，函数f(x)在区间[0, 2]上有两个零点．21. 解：连接OD ，则OD ⊥DC 在Rt △OED 中，∵ E 是OB 的中点， ∴ OE =12OB =12OD所以∠ODE =30∘…在Rt △ODC 中，∠DCO =30∘… ∵ DC =2，∴ OD =DCtan300=23√3，∴ OC =√22+(23√3)2=4√33所以BC =OC −OB =OC −OD =4√33−2√33=2√33．… 22. 解：（1）∵ [a cb 0][10]=[a b]， ∴ P(a, b)． …∵ b >0，S △POA =√3，∠POA =π3， P(a, b)，A(1, 0)，∴ a =2，b =2√3．…(II)由(I)得，矩阵[ac b0]=[2c2√30]．设矩阵将点(x, y)变换成点(m, n)，则有{2x +cy =m 2√3x =n ，又{4x +y =0√3m −n =0，解得c =0．23. 设直线l 的倾斜角为α，根据直线参数方程的意义，得 {cosα=12sinα=√32且α∈[0, π)，可得α=π3， ∴ 即直线l 的倾斜角为π3⋯由（1）得直线l 是经过点(0, √22)，且倾斜角为π3的直线，斜率k ＝tan π3=√3∴ 直线l 的直角坐标方程为y =√3x +√22， 而曲线C:ρ=2cos(θ−π4)，即ρ2=√2ρcosθ+√2ρsinθ， ∵ ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴ 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=√2x +√2y ，整理得(x −√22)2+(y −√22)2＝1 可得曲线C 是以(√22, √22)为圆心，半径为1的圆 ∵ C 到直线l 的距离d =|√62|√3+1=√64， ∴ 线段AB 的长为2(√64)=√10224. 证明：∵ f(x)=x 2−x +1，|x −a|<l ，∴ |f(x)−f(a)|=|x 2−x −a 2+a|=|x −a|⋅|x +a −1|<|x +a −1|，又|x +a −1|=|(x −a)+2a −1|≤|x −a|+|2a −1|<1+|2a|+1=2(|a|+1)， ∴ ：|f (x)−f (a)|<2(|a|+1)成立．25.解：（1）设点P(x, y)为所求轨迹上的任意一点，则由k OP +k OA =k PA得，yx +1−1=y−1x+1，整理得轨迹C 的方程为y =x 2(x ≠0且x ≠−1)．（2）方法一、设P(x 1，x 12)，Q(x 2,x 22)，M(x 0,y 0)，由PQ →=λOA →可知直线PQ // OA ，则k PQ =k OA ， 故x 22−x 12x 2−x 1=1−0−1−0，即x 2+x 1=−1，由O 、M 、P 三点共线可知，OM →=(x 0,y 0)与OP →=(x 1,x 12)共线， ∴ x 0x 12−x 1y 0=0，由（1）知x 1≠0，故y 0=x 0x 1，同理，由AM →=(x 0+1,y 0−1)与AQ →=(x 2+1,x 22−1)共线，∴ (x 0+1)(x 22−1)−(x 2+1)(y 0−1)=0， 即(x 2+1)[(x 0+1)(x 2−1)−(y 0−1)]=0，由（1）知x 1≠−1，故(x 0+1)(x 2−1)−(y 0−1)=0，将y 0=x 0x 1，x 2=−1−x 1代入上式得(x 0+1)(−2−x 1)−(x 0x 1−1)=0， 整理得−2x 0(x 1+1)=x 1+1，由x ≠−1得x 0=−12，由S △PQA =2S △PAM ，得到QA =2AM ，因为PQ // OA ，所以OP =2OM ， 由PO →=2OM →，得x 1=1，∴ P 的坐标为(1, 1)．方法二、设P(x 1，x 12)，Q(x 2,x 22)， 由PQ →=λOA →可知直线PQ // OA ，则k PQ =k OA ， 故x 22−x 12x 2−x 1=1−0−1−0，即x 2=−x 1−1，∴ 直线OP 方程为：y =x 1x①； 直线QA 的斜率为：(−x 1−1)2−1−x 1−1+1=−x 1−2，∴ 直线QA 方程为：y −1=(−x 1−2)(x +1)，即y =−(x 1+2)x −x 1−1②； 联立①②，得x =−12，∴ 点M 的横坐标为定值−12．由S △PQA =2S △PAM ，得到QA =2AM ，因为PQ // OA ，所以OP =2OM ， 由PO →=2OM →，得x 1=1，∴ P 的坐标为(1, 1)．26. 证明：（1）当n ∈N ∗时，(√5+2)2n+1−(√5−2)2n+1=[(√5)2n+1+C 2n+11(√5)2n ×2+C 2n+12(√5)2n−1×22+...+C 2n+12n √5×22n +22n+1]−[(√5)2n+1−C 2n+11(√5)2n ×2+C 2n+12(√5)2n−1×2+...+C 2n+12n √5×22n −22n+1] =2C 2n+11(√5)2n ×2+2C 2n+13(√5)2n−2×23+...+2×22n+1，凡是含有√5时，其指数为偶数，因此上式为正整数，故结论成立．（2）由（1）可知：当n ∈N ∗时，(√5+2)2n+1−(√5−2)2n+1为正整数， 而0<√5−2<1，∴ 0<(√5−2)2n+1<1；再由(√5+2)2n+1=m +α(m,n ∈N ∗,0<α<1)，可得α=(√5−2)2n+1，∴ α(m +α)=(√5−2)2n+1(√5+2)2n+1=[(√5−2)(√5+2)]2n+1=12n+1=1． ∴ α(m +α)=1．。
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212l o gl o g a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ． 答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ． 答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=， 所以，最大的3737612a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得5975977444t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分 综上所述,的取值范围是59759744t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分 所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15 n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。
2013江苏高考数学含答案
2013年普通高等学校统一考试试题〔江苏卷〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2|＝π．2．设2)2(i z -=〔i 为虚数单位〕，则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．6．抽样统计甲、乙两位设计运发动的5此训练成绩〔单位：环〕，结果如下：运发动 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 8791908993乙89 90 91 88 92则成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运发动成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n 〔7≤m ，9≤n 〕可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ． 【答案】6320【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ． 【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．假设点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 假设AC AB DE 21λλ+=〔21λλ，为实数〕，则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=xABC1A DE F1B1Cy xlB FOcb a 所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ．11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
江苏省2013届高三数学考前6套填空题训练 含详细答案
1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________. 2．设i 为虚数单位，则复数3＋4ii＝________. 3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的 概率为________．4．高三(1)班共有48人，学号依次为1,2,3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样 本，已知学号5,29,41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．5．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14. 图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是6．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________． 7．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝________. 8．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________. 10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________. 11．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________． 12. 曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．13．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＞3，f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________．1．设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝_____ 2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝____3．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读 所用时间的数据，结果用下图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外 阅读时间为______4．已知向量a ，b 的夹角为90°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝___ 5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是____6．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间是___7．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______8．已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是___9．某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现 购买该种酒5瓶，能获奖的概率为______10．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，∠B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝_____，a ＝____11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝____ 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为___13．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－ 3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为____14．如图是见证魔术师“论证”64＝65飞神奇．对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们运用数学 知识不难发现其中的谬误．另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多更加直观与“令人信 服”的“论证”．请你用数列知识归纳：(1)这些图中的数所构成的数列：________；(2)写出与这 个魔术关联的一个数列递推关系式：________.1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝__ 2．复数11＋i＝__3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是___4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全 体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是___ 5．设a ＝2 0110.1，b ＝ln2 0122 010，c ＝ 2 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是____ 6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是____ 7．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为__8．在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ， 则AM ＜AC 的概率为_____9．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的 顶端A 看建筑物CD 的张角为___10．对于任意x ∈[1,2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为___11．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大， 则该直线的方程为_____12．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值 范围是___13．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB →＋AN →·AM →＝__14．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a ＝___1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝____2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为____3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎 叶图表示如图所示，则该组数据的方差为___4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝___5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为____6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其 图象过点(2,8)，则a 7的值为___7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为__ 8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于___9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝____10．设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假 命题是____①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β ③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ④如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余 11．已知函数f (x )＝x 33＋ax 22＋2bx ＋c 在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z ＝(a ＋3)2＋b 2的取值范围为__12．平面向量a ，b 满足|a ＋2b |＝5，且a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，若b ＝(2，－1)，则a ＝__13．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是____ 14．定义在实数集上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐 角三角形的两内角，则f (sin α)与f (cos β)的大小关系是___1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝__ 2．复数(1＋2i)2的共轭复数是____3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝_____4．设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－12x －y ≤3，，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是_____5．下列结论错误的是___①命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题；②命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0，则p ∨q 为真； ③“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真命题； ④若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题．6．从某项综合能力测试中抽取10人的成绩，统计如下表，则这10人成绩的方差为__7.函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高、最低点，O 为坐标原点， 且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．8．锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5， △ABC 的面积为53，则C ＝________，sin A ＝_____9．已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以 a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是____ 10．下图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝____11．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1| ＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝____12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)＋1，x ＞0，f (x )＝x 的根从小到大构成数列{a n }，则a 2 012＝____13．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不 等式f (x )＋xf ′(x )＞0成立，若a ＝40.2f (40.2)，b ＝(log 43)f (log 43)，c ＝⎝⎛⎭⎫log 4116 f ⎝⎛⎭⎫log 4116，则a ，b ，c 的大小关系是____ 14．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、 y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫 做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标． (1)若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →|＝________；(2)在坐标系xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为______1． 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示， 若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为_____ 2．复数：5(1＋4i )2i (1＋2i )＝______3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ= 4．曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为______5．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________． 6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ＋1≥0y ≥0，则x 2＋(y ＋1)2的最大值与最小值的差为______7．一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4 这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是___ 8．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是__9．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2， a 5成等比数列，则a 1的取值范围为______10．已知a ＞b ＞0，给出下列四个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b -1； ③a －b ＞a －b ；④a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式序号为 11．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝___12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10， △ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是____13．定义集合M 、N 的新运算如下：Mx N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但x ∉M ∩N }，若集合M ＝{0,2,4,6,8,10}，N ＝{0,3,6,9,12,15}，则(Mx N )xM 等于___14．若存在区间M ＝[a ，b ](a ＜b )，使得{y |y ＝f (x )，x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f (x )的一个“稳 定区间”．给出下列四个函数：①y ＝e x ，x ∈R ；②f (x )＝x 3；③f (x )＝cos πx2；④f (x )＝ln x ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．参考答案61．解析 高三年级总人数为：900.05＝1 800人；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案 8102．解析 5(1＋4i )2i (1＋2i )＝5(－15＋8i )－2＋i ＝5(－15＋8i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝5(38－i )5＝38－i.答案 38－i3．解析 根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝⎛⎭⎫3－λ，1＋12λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4.答案 44．解析 根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1x2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率．答案 －14 5．解析 若α∥β，α∥γ，则β∥γ 即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确；若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误；与若a ⊥α，a ⊥β，则α与β平行，故④正确．答案 ①④6．解析 作出不等式组对应的平面区域，利用两点间距离公式求解．不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当(x ，y )为(0,1)时，x 2＋(y ＋1)2取得最大值4；当(x ，y )为(0,0)时，x 2＋(y ＋1)2取得最小值1，故最大值与最小值的差是3.答案 37．解析 应用例举法共有16种等可能情况，(1,1)(1,2)，(1,3)(1,4)，(2,1)(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)(3,2)，(3,3)(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．两次向下的面上的数字之积为偶数共有12种情况，所以所求概率为34.答案 348．解析 阅读算法中流程图知：运算规则是S ＝S ×k 2故 第一次进入循环体后S ＝1×32＝9，k ＝3；第二次进入 循环体后S ＝9×52＝225＞100，k ＝5.退出循环，其输出结果k ＝5.故答案为：5.答案 59．解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列⇒a 22＝a 1a 5⇒(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )⇒d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13解得a 1＞1.答案 (1，＋∞)10．解析 因为a ＞b ＞0⇒a 2＞b 2，故①正确；a ＞b ＞0⇒a ＞b －1⇒2a ＞2b －1，故②正确；因为a ＞b ＞0⇒ab ＞b 2＞0⇒ab ＞b ＞0，而(a －b )2－(a －b )2＝a －b －a －b ＋2ab ＝2(ab －b )＞0，所以③正确；因为当a ＝3，b ＝2时，a 3＋b 3＝35＜2a 2b ＝36，故④不正确．答案 ①②③11．解析 由⎩⎨⎧y ＝b3ax ，x 2a 2－y2b 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.答案32412．解析 由题意可以求出sin C ，得到∠C 有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值．由S △ABC＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为∠B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3.答案533或－ 3 13．解析 由定义得：Mx N ＝{2,3,4,8,9,10,12,15}，所以(Mx N )xM ＝N .答案 N14．解析 根据新定义逐一判断．因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1,0]或[0,1]或[－1,1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos πx2存在稳定区间[0,1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．答案 ②③ 51．解析 ∁U B ＝{x |x ≤1}，A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩∁U B ＝{x |0＜x ≤1}．答案 {x |0＜x ≤1} 2．解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ，其共轭复数为－3－4i.答案 －3－4i3．解析 利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项．设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a 3·a 9＝2a 25⇒a 23·q 6＝2(a 3q 2)2⇒q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝22.答案 224．解析 不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(2,1)时取得最小值7.案 75．解析 根据四种命题的构成规律，选项①中的结论是正确的；选项②中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项②中的结论正确；当m ＝0时，a ＜b ⇒am 2＝bm 2，故选项③中的结论不正确；选项④中的结论正确．答案 ③ 6．解析 考查统计初步知识，先求平均数，x ＝110(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2)＝3，再根据方差公式s 2＝1n ∑n i ＝1(x i－x )2代入数据，s 2＝110[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3－3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]计算得方差为125.答案1257．解析 由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N－1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2⎝⎛⎭⎫2－12＝3.答案 38．解析 由三角形面积公式可以求出sin C ，得到锐角∠C 的值，借助余弦定理求出c 边，最后利用正弦定理求sin A ．由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为锐角三角形的内角，所以C ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋i 2－2ab cos C ＝21，即c ＝21.再在△ABC 中，由余弦定理得sin A ＝a sin Cc ＝4×3221＝277.答案212779．解析 “在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ”的基本事件总数为23＝8，事件“以a ，b ，c 为边不能构成三角形”分别为(2,2,5)，(2,5,2)，(5,2,2)，所以P ＝1－38＝58.答案 5810．解析 当a ＝5，P ＝25＞24，S ＝25；a ＝6，P ＝24＜25，输出的S ＝25.答案 2511．解析 双曲线的方程为x 22－y 22＝1，所以a ＝b ＝2，c ＝2，因为|PF 1|＝|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，所以解得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，所以根据余弦定理得cos ∠ F 1PF 2＝(22)2＋(42)2－142×22×42＝34.答案 3412．解析 利用函数图象得数列通项公式，再求第2 012项．作出函数f (x )的图象如图，由图象可知方程f (x )＝x 的根依次是0,1,2,3，…，所以a n ＝n －1，故 a 2 012＝2 012－1＝2 011.答案 2 01113．解析 由f (x )＋xf ′(x )＞0得(xf (x ))′＞0，令g (x )＝xf (x )，则g (x )在(0，＋∞)递增，且为偶函数，且a ＝g (40.2)，b ＝g (log 43)，c ＝g ⎝⎛⎭⎫log 4116＝g (－2)＝g (2)，因为0＜log 43＜1＜40.2＜2，所以c ＞a ＞b .答案 c ＞a ＞b .14．解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.(1)|OP →|＝(3e 1＋2e 2)2＝9＋4－6＝7；(2)设圆O 上任意一点Q (x ，y )，则OQ →＝x e 1＋y e 2，|OQ →|＝1，即x 2＋2xy ×⎝⎛⎭⎫－12＋y 2＝1，故所求圆的方程为x 2－xy ＋y 2－1＝0. 答案 (1)7 (2)x 2－xy ＋y 2－1＝041．解析 M ∩N ＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案 M ∩N ＝{2,3} 2．解析 由(z －2)i ＝1＋i ，得z ＝1＋ii ＋2＝3－i ，所以|z |＝10.答案103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18，故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 54．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π38．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 39．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝⎛⎭⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，4.答案 ⎝⎛⎭⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a ＋2b |2＝5 m 2＝5，解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π，5π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)． 答案 f (sin α)＞f (cos β)31．解析 因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{0,1}答案 {0,1} 2．解析11＋i ＝(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i 2＝12－12i.答案 12－12i3．解析 根据对命题的否定知，是把命题取否定，然后把结论否定．答案 任意一个无理数，它的平方不是有理数4．解析 设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝2898，易得x ＝12.答案 125．解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1,0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c .答案 a ＞b ＞c6．解析 根据函数图象变换法则求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 7．解析 利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…·a 11＝a 116＝211.答案 2118．解析 所求概率P ＝180°－45°290°＝34.答案 349．解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°10．解析 由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1,2]恒成立，得－2≤ax ＋1≤2在x ∈[1,2]恒成立，利用分类参数的方法得⎩⎨⎧a ≤⎝⎛⎭⎫1x min ，a ≥⎝⎛⎭⎫－3x max ，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，12 11．解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝012．解析 由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、CE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝⎛⎭⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝ 2.答案 (0，2)13．解析 根据向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|cos ∠MAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AM →＝9.答案 914．解析 因为f ′(x )＝－ln x －1＋a ≥0在(0，e)上恒成立，所以a ≥(ln x ＋1)max ＝2.又x ∈[0，ln 3]时，e x∈[1,3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g (x )＝a －e x＋a 22递减，此时M －m ＝a －1＋a 22－⎝⎛⎭⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2,3]时，g (x )＝⎩⎨⎧a －e x ＋a 22，0≤x ≤ln a ，e x－a ＋a22，ln a ＜x ≤ln 3，此时m ＝a 22，M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a22，所以a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52.答案 5221．解析 由已知条件可得A ＝[－2,2]，B ＝[－4,0]，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2．解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝(－3＋4i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5＋10i5＝1＋2i.答案 1＋2i3．解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时)．答案 0.97小时4．解析 利用数量积的运算性质求解．由a ，b 的夹角是90°可得a·b ＝0，所以|a －b |＝(a －b )2＝1＋9＝10.答案105．解析 先由不等式组确定平面区域，再平移目标函数得最小值．作出不等式组对应的平面区域如图，当目标 函数x ＋y 经过点(1,1)时，取得最小值2. 答案 26．解析 利用零点存在定理求解．因为f (1)f (2)＝(－1)⎝⎛⎭⎫1－12＜0，所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1,2)．答案 (1,2)7．解析 由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27.答案 278．解析 可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27.答案 279．解析 P ＝35－(3×25－3)35＝5081.答案 508110．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin Csin B＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cosC ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B＝25×3101022＝6.答案 22 6 11．解析 由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝14，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝±154，所以sin ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝±154.答案 ±154 12．解析 由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±bax ，带入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1.答案 x 220－y 25＝113．解析 由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]．答案 (－∞，3]14．解析 利用推理知识求解．由图形可知，图中的数构成裴波纳契数列，所以(1)a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，a 2＝1；(2)题右图中间实质上有一个面积是1的平行四边形，有时空着，有时重合，所以与魔术有关的数列递推关系式可能是a n ＋2·a n －a 2n ＋1＝(－1)n－1和a na n ＋1≈0.618. 1(1)a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，a 1＝1，a 2＝1，(2)a n ＋2·a n －a 2n ＋1＝(－1)n－1和a n a n ＋1≈0.618.小题狂练(一) 1．解析 M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}．答案 M ∩N ＝{x |1＜x ≤2} 2．解析 依题意：3＋4i i ＝(3＋4i )i i 2＝4－3i.答案 4－3i3．解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，而点P 落在圆x 2＋y 2＝16内包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝29.答案 294．解析 根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.答案 175．解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.答案 106．解析 由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立．则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根．则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.答案 －1＜a ＜37．解析 因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝85，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝45.答案 458．解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集(2，＋∞)．答案 (2，＋∞) 9．解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q ＝2，所以S 8＝1－(2)81－2＝15(2＋1)．答案 15(2＋1)10．解析 利用余弦定理，再变形即得答案．答案 011．解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6⇒sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3∈⎝⎛⎦⎤12，1⇒y ∈(1,2]，所以值域为(1,2]． 答案 (1,2]12．解析 y ′＝2(x ＋2)2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.答案 y ＝2x ＋113．解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.答案 e ＞ 514．解析 由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f [1－(n2－8n －1)]＝－f (－n 2＋8n ＋2)，所以f (m 2－6m ＋23)＜－f (n 2－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23＜－n 2＋8n ＋2，即为(m －3)2＋(n －4)2＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3,4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3,2)时，m 2＋n 2＝13，圆心(3,4)到原点的距离为5，此时m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13,49)．答案 (13,49。
江苏2013届高三数学(理)模拟试卷3
ÚÊö ' Ｄ．ö % ４－５： １ ， ０＜ Z犪 ¤æ ： 犪＜１， 犪＋１， 犪 ＋ 犪（ 狀∈犖 ） 犪 １． １＝ 狀＋１ ＝ 狀＞ 犪 狀
【 N^9 】 Ì２ Ì２ h. １ øù ２ úûÃü23ýþå æ 、 ¤æÕYÿ!" ２.、 ３.， ０， ０． #$ ． ２ ２．（ ! １ ０ ） π x+u ， ØB 犃 犅 犆 犇 - B犅 犇 犈 犉 4\>: I Ù ， 犃犇＝ ． ∠犅 ３ （ ） 犅 jÓ :E 犃－犈 犽 # ； １ 犉＝ 犽·犅 犇， 犉－犆 %Ù Ó :Eà ， （ ） ） \（ #`a+ ， ÙV 犅 ２ １ 犆 >: 犃 犈 犉 4â#Eθ #/ 8 ． -. /0 Ｂ．ö % ４－２： &' ÓÔ-. 犃 1 ÕÖ λ＝－１ § ± ü # ; H Õ Ö Ö À α＝ ） ， 犃． 犃 ±ü# /0( r+ 7 ñS 犘 ′（ ０， ２ \-. １， －１） ［－１］，S 犘（ －１
§( r= ： ~ ? /" 狓 ， ~3Iü# 狔 ， à~ ? / " 狓 # ９．x+u4w#Y5 ¼ u ，
２ ０ １ ３+,-./"012345'6%·!"#$%&_
［ ］
!"#$% Ⅰ # （ &'( ） )% Ⅱ # （ *+( ） ,-$ ． % Ⅰ #. １ '"/0１ % ６ ０$， ２ ０$1； ， #. $ '"/0 $1 ４ ０ ３ ０ ． Ⅱ
１ ７．（
! １ ４ ）
µ¶¥ t # ¾¿o} =h¨# ÀÁ õO ÃÄ ]¸® ， ;ª® ２ &'°¨ÃÄ® ０¯； ÃÄ ®# j ¯%Ì １ ¯ ， Z １≤狓≤２ # ® Å © % 犳（ È Æ Â， ¥¾¿®Ç O#Ì 狓 ¯ （ ０） 狓） ） 、 \Ì 狓 ¯ （ #®À% 犵（ Â， Z 犳（ #uZ£%+:#u１u２4w# １≤狓≤２ ０ 狓） 狓） 狓） 犵（ ÈV． （ ） 、 犳（ #ú [ Ê ； １ 狓） 狓） 犵（ （ ） ² ¾¿ ® Ç \Ì ７ ¯® ¾¿ # É? ； ２ ） （ B２ |% ËÌ ？ ３ ０ ¯² ¾¿ ® Ç \ Ê ;¯#® É? | ，
2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)
2013年普通高等学校招生全国统一测试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。
1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。
2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。
3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V =运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892▲ 。
9、抛物线2y x =在1x =处的切线和坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)。
若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。
10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。
若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。
江苏省2013届高三数学下学期-最新精选试题分类汇编9-圆锥曲线
江苏省2013届高三下学期最新精选试题（27套）分类汇编9：圆锥曲线一、填空题1 ．（南京九中2013届高三第二学期二模模拟）若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点分成53：两段，则此椭圆的离心率为 ．2 ．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222xy b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为.3 ．（江苏省南京学大教育专修学校2013届高三3月月考数学试题）双曲线221416x y -=的渐近线方程为 .zxxk 4 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点，且经过点)2，则该椭圆的离心率为 ▲ ．5 ．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_____.6 ．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为__________.7 ．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）过椭52x +42y =1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点,O为坐标原点,求弦AB 的长_______8 ．（江苏省郑梁梅中学2013届高三下学期期初检测数学试题）若221m y x +=,的长轴是短轴的2倍,则m=__________;9 ．（江苏省扬州中学2013届高三下学期开学质量检测数学试卷）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是______.10．（江苏省扬州中学2013届高三3月月考数学试题）如图,已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右准线分别为21,l l ,且分别交x 轴于D C ,两点,从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被x 轴反射后与2l 交于点B ,若AF BF ⊥,且75ABD ∠=︒,则椭圆的离心率等于_________.11．（江苏省盐城市2013届高三第二次模拟（3月）考试数学试题）椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左焦点为F,直线m x =与椭圆相交于A,B 两点,若FAB ∆的周长最大时,FAB ∆的面积为ab ,则椭圆的离心率为________.12．（江苏省盱眙中学2013届高三下学期期初检测数学试题）中心在原点,焦点在x 轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为______________________________13．（江苏省泰兴市第三高级中学2013届高三下学期期初调研考试数学试题 ）已知F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 与圆22214x y b +=相切于点Q ,且→→=QF PQ ,则椭圆C 的离心率为___________.14．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（一）（数学））已知椭圆15222=+t y tx 的焦距为62,则实数=t ___________. 15．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学））已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F ,则该双曲线的离心率为___________.16．（江苏省青阳高级中学2013届高三月测试卷（三）（数学））设m x1}7,4,3,1{},9,8,5,2{22表示焦点在，方程=+∈∈nmxn y 轴上的 椭圆,则满足以上条件的椭圆共有__________个.17．（江苏省青阳高级中学2013届高三3月份检测数学试题 ）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->,作圆:2224a x y +=的切线,切点为E ,直线FE 交双曲线右支于点P ,若1()2OEOF OP =+u u u ru u ur u u u r ,则双曲线的离心率为_____. 18．（江苏省南师附中等五校2013届高三下学期期初教学质量调研数学试卷）已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1 (a >0,b >0) 的焦点到渐近线的距离是a ,则双曲线的离心率的值是_____.19．（江苏省南菁高级中学2013届高三第二学期开学质量检测数学试卷）若A 、B 与 F 1、F 2分别为椭圆C:2215x y +=的两长轴端点与两焦点,椭圆C 上的点P 使得∠F 1PF 2=π2,则ta n∠APB=____. 20．（江苏省姜堰市蒋垛中学2012-2013学年度第二学期期初测试高三数学试题）双曲线1222=-y x 的离心率为______________ 21．（江苏省江都市大桥高中2013届高三下学期开学考试数学试题）12,F F 分别是双曲线221169x y -=的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,I 是12PF F ∆的内心,且2112IPFIPF IF F S S S λ∆∆∆=-,则λ= _________.22．（江苏省江都市大桥高中2013届高三下学期开学考试数学试题）已知抛物线,42x y =焦点为F ,)2,2(A ,P 为抛物线上的点,则PF PA +的最小值为____23．（江苏省淮阴中学2013届高三下学期期初检测数学试题）双曲线2288kxky -=的一个焦点为(0,3),则k 的值为___________,双曲线的渐近线方程为___________.24．（江苏省淮阴中学2013届高三3月综合测试数学试题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>,12,F F 是左右焦点,是右准线,若椭圆上存在点P , 使1||PF 是P 到直线的距离的2倍,则椭圆离心率的取值范围是_______. 25．（2012学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ）已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线C 上且AF AK 2=,则AFK ∆的面积为__________.二、解答题26．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）如图，过抛物线2:4C y x =上一点P （1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y （1）求12y y +的值；（2）若120,0y y ≥≥，求PAB ∆面积的最大值。
江苏省2013届高三数学复习填空题系列训练(7)
江苏省2013届高考数学复习填空题系列训练（7）江苏省泗阳中学 刘建中1．若{U n n =是小于9的正整数},{A n U n =∈是奇数},{B n U n =∈是3的倍数},则()U A B =ð__ __.2．扇形OAB 半径为2,圆心角∠AOB ＝60°,点D 是弧AB 的中点,点C 在线段OA 上,且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 ．3．在区域(){},0,02M x y x y π=<<<<内随机撒一把黄豆,落在区域(){,N x y y =<内的概率是________.4．若关于x 的不等式211()22n x x +-≥0对任意*n N ∈在(,]x λ∈-∞恒成立,则实常数λ的取值范围是____．5．若函数()23k k h x x x =-+在(1,)+∞上是增函数,则实数k 的取值范围是 ． 6.如图所示，空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等,若,E F 分别是,SC AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成角等于__________． 7．定义“和常数列”：在一个数列中,如果每一项与它的后一项和都为同一个常数,那么这个数列叫做和常数列,这个常数叫做该数列的和常。
已知数列{a n }是和常数列,且21=a ,和常为5,则这个数列的前2013项的和为___________.8．过点(1,A 作圆222120x y x ++--=的弦，其中长度为整数的弦共有__________条.9．设向量i ，j 为直角坐标系的x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量yj ix a ++=)3(，yj i x b +-=)3(2，则满足上述条件的点(,)P x y 的轨迹方程是__________．10．若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立；且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当 14x ≤≤时,y x的取值范围 ． 11.毛泽东主席在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”，又知地球的体积大约是火星的八倍，则火星的表面积约为 万里．12．向量a ,b ,c 满足++=0a b c ,⊥a b ,()-⊥a b c ,M =++a b c b c a,则M =________.S CA B F E13．已知数列m a a a a n n a a m m m m n n 则若的通项公式,,,548}{113>>+-=+-=______．14、已知动点A 、B 分别在图中抛物线x y 42=及椭圆13422=+y x 的实线上运动，若AB ∥x 轴，点N 的坐标为（1，0），则三角形ABN 的周长l 的取值范围是__________．2012届江苏高考数学填空题“精选巧练”7答案1,{}8,4,2； 2.3 ; 3.162π； 4.1-≤λ； 5.2-≥k ； 6. 4π； 7.5032； 8.8； 9.221(0)8y x x -=>或者()1x ≥； 10. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21-； 11. π16； 12.1+223 ； 13.4； 14. ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,310。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省2013届高考数学复习填空题系列训练（3）
江苏省泗阳中学 刘建中
1. 若集合{}{}222,0A x y c c R B x y r r =+=∈=+=>,则A B 的子集个数为 ．
2. 在锐角ABC ∆中,若2A B =,则a b
的取值范围是 ．
3. 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 .
4在R 上定义运算⊗：()(1)1.x y x y ⊗=--若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围为_ ___．
5.右图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次的得分的茎叶图, 甲、乙两名运动员的得分的平均数分别为,x x 乙甲则x x +乙甲= .
6. 若x >1,则函数21161
x y x x x =+++的最小值为 ．
7. 设两个等差数列数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果5
()2
4n n S n N T n *=∈+，则
2
3
a b =______．
8. 设平面区域D 是由双曲线142
2=-x y 的两条渐近线和抛物线28y x =-的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点D y x ∈),(，则目标函数y x z +=的最大值为_______. 9. 已知命题P ：“对x ∀∈R ，∃m ∈R ，使22cos sin 20x x m -+=”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是 ．
10.若a 为正整数，2()(2)1f x ax a x =-++在[0,1]上的最小值为1-，则a = ． 11. 奇函数()()f x x R ∈满足：()30f -=，且在区间[]0,2与[)2,+∞上分别递减和递增，则不等式()0xf x <的解集为______________．
12. 在ABC ∆中,角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ,11tan ,tan 23
A B ==,且
ABC ∆最短
边的长为1,则ABC S ∆= ．
13. 已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆
的面
积为________.
14. 已知函数
21,0
()
1,0
x x
f x
x
⎧+≤
=⎨
>
⎩
，则满足不等式2
(1)(2)
f x f x
->的实数x的取值范围是
___ _____．参考答案（3）
1、1；2
、；3、1
2；4、(1,1)
-；5、58；6、8；7、
5
148、3；9
、
[11
--
10、1或2；11、(3,0)(0,3)
-；12、
1
2；13
、14
、
(,1(1,)
-∞-⋃+∞。