2015年高中数学新课标一轮复习下册选修4-4-1
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.3 简单曲线的极坐标方程
预习 思考
1．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)圆心位于极点，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝1 __________ ；
(2)圆心位于 M(1,0)，半径为 1 的圆的极坐标方程为：
ρ＝2cos θ ； ____________
π (3)圆心位于 M1，2， 半径为 1 的圆的极坐标方程为：
第一讲
坐 标 系
1.3 简单曲线的极坐标方程
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1.理解极坐标方程的意义. 2.能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程. 3.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标 系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当 坐标系的意义.
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1．定义． 如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ， θ)＝0 有如下关系：
π π (2)如下图所示， A3，3 ，即 |OA|＝ 3， ∠AOB ＝ . 3
3π 由已知∠MBx＝ ， 4
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∴∠OAB＝
3π π 5π － ＝ . 4 3 12 5π 7π ＝ . 12 12
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∴∠OAM＝π－
3π 又∠OMA＝∠MBx－θ＝ －θ. 4 3 ρ 在△MOA 中，根据正弦定理，得 ＝ . 3π 7π sin 4 －θ sin 12
π 1 ．过 A 3，3 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
____________．
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3 答案：ρsin θ＝ 2
题型2
直角坐标方程与极坐标的互化
例3 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．
(1)y2＝4x； (2)y2＋x2－2x－1＝0； π (3)θ＝ ； 3
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
π
θ=4代入 ρ2-2ρcos
+1=0,得 ρ2-3 2ρ+1=0,∴ρ1+ρ2=3 2,ρ1ρ2=1,∴|AB|=|ρ1-ρ2|
= (1 + 2 )2 -41 2 =
(3 2)2 -4 × 1 = 14.
θ-4ρsin θ
考向2参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程
例2(2022全国甲,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个 定点
叫做极点;自极点O引一条 射线
再选定一个 长度
(通常取 弧度
O,
Ox,叫做极轴;
单位、一个 角度
)及其正方向(通常取
单位
逆时针 方
向),这样就建立了一个极坐标系.
|OM|
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离
叫做点M
的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM 叫做点
选修4—4 第1节 极坐标方程与参数方程
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.了解在直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况.
2.能用极坐标表示点的位置,理解在两个
坐标系中表示点的位置的区别,能进行极
坐标和直角坐标的互化.
3.能在极坐标系中给出简单图形的方程,
通过比较这些图形在两个坐标系中的方
程,理解用方程表示平面图形时选择适当
坐标系的意义.
4.了解参数方程及参数的意义.
5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆
锥曲线的参数方程.
衍生考点
核心素养
高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：选修4-4
(建议用时：50分钟)1.(2015·江苏卷)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上.(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系.解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交.3.(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解 (1)∵C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，∴⎩⎨⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5.∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎨⎧（x －4）2＋（y －5）2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1，1)，(0，2).∴C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 4.在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程.解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3).故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎨⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤ 3 法二 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数).M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.6.(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.7.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值. 解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3).故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2. 8.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围.解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52].。
高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析(二)
高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分 选考部分第十二讲 选考内容第一节 选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值． 解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节 选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ； 当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2， 即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )， 当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立． 此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4， 所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1； 当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围． 解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4， 解得－54＜x ＜－23： 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4， 解得－23≤x ≤12； 当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。
2015年高考数学总复习新课标课件：选修4-1课件(共24张PPT)
第2课时 直线与圆的位置关系
第一页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
1．圆周角与圆心角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ________．一半 (2)圆心角定理 圆心角的度数等于_____它__所__对__弧__的__度_．数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角________相；等同圆或等圆中,相等的圆 周角所对的弧也相等． 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____直__角_；90°的圆周角所 对的弦是________．直径
第五页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题 (1)O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，BE∥MN交于点E，若 AB＝6，BC＝4，则AE的长为________．130
第六页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
第十九页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或 弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也 可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例．在实际 应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及 两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用 切割线定理．
第三页，编辑于星期五：十一点 二十三分。
3．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理 圆的切线垂直于经过切点的______半__径． 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过_____切__点_． 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过________．圆心 (2) 判 定 定 理 经 过 半 径 的 外 端 并 且 垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆 的 _______切_．线 4．弦切角的性质 定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4 坐标系与参数方程
选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________． 解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10， 即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)． 故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2， 即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段． 答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1， 画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。
高三理科数学第一轮复习选修4-4§1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
选修4-4：坐标系与参数方程 §1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
选修4-4：坐标系与参数方程 §1：坐标系与简单曲线的极坐标方程
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高中数学高考高三理科一轮复习资料 选修4-4-1 坐标系
说基础
课前预习读教材
考点梳理 1.极坐标的概念 (1)极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做①______，从 O 点引一条射线 Ox，叫做②______，选定一个单位长度和角及 其正方向(通常取逆时针方向)，这样应确定了一个平面极坐标 系，简称为③__________.
(2)极坐标： 对于平面内任意一点 M，用 ρ 表示线段 OM 的长，θ 表示 以 Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ 叫做点 M 的④______，θ 叫做点 M 的⑤______，有序实数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标， 记作 M(ρ，θ)． 当点 M 在极点时，它的极径⑥____ ，极角 θ 可以取⑦ ______.
考点自测 1.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线 ρ＝2sinθ 与 ρcosθ ＝－1 的交点的坐标为__________．
x＝ρcosθ， 解析： 由极坐标方程与普通方程的互化式 y＝ρsinθ
知，这两条曲线的普通方程分别为 x2＋y2＝2y，x＝－1.解得 x＝－1， x＝ρcosθ， 3π 由 得点(－1,1)的极坐标为 2， 4 . y＝1. y＝ρsinθ 3π 答案： 2， 4
题型探究 题型一 直角坐标系中的伸缩变换 例 1. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 伸 缩 变 换 φ ： x′＝3x， 2y′＝y. 1 (1)求点 A3，－2经过 φ 变换所得的点 A′的坐标； (2)求直线 l：y＝6x，经过 φ 变换后所得的直线 l′的方程．
2．极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的 正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的 单位长度，如图所示．
2015届高考数学(理科)第一轮细致复习课件：选修4-4-1坐标系(人教A版)
； .
a：ρ＝ 2asinθ
诊断· 基础知识
突破· 高频考点
培养· 解题能力
诊 断 自 测 1 ．点 P 的直角坐标为 ( － 2 ， 2) ，那么它的极坐标可表示为 ________．
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
3π 2， 4
诊断· 基础知识
突破· 高频考点
培养· 解题能力
【训练 2】 ⊙O1 和⊙ O2 的极坐标方程分别为 ρ ＝ 4cos θ ， ρ ＝－
4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程． 解 以极点的原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标
x＝－1， 解得 y＝1，
2 2 x ＋y －2y＝0， x＝－1，联立方程，得 x＝－1，
即两曲线的交点为(－1,1)，又 0≤θ＜2π，因此 3π 2， . 4
这两条曲线的交点的极坐标为 3π 答案 2， 4
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突破· 高频考点
培养· 解题能力
4．在极坐标系中，直线 l 的方程为 ρsin 的距离为________．
π θ＝3，则点2，6到直线
l
解析 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 为( 3，1)，
π ∴点2，6到直线
π y＝3， 点2，6化为直角坐标
l 的距离为 2.
系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcos θ； ρ＝－4sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsin θ. 由ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2， 得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4+第2节+参数方程(共46张PPT)
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线
l 上以定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M
的数量．( )
第五页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
(2)方程yx＝＝12＋cos2sθin θ 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半
规律方法 3 1.第(2)问利用极坐标方程求两点间的距 离，要注意两点：(1)准确把曲线 C1，C2 化为极坐标方程； (2)理解极径的意义．
2．本题将极坐标与参数方程交织在一起，考查逻辑思 维能力及运算求解能力．善于将各类方程相互转化是求解该 类问题的前提．
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
联
立
方
程
组
y＝2x－1， y2＝2x，
解 得 公 共 点 的 坐 标 为 (2,2) ，
12，－1.
第十五页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
规律方法 1 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用 代入法、加减消元法．三角恒等变换消去参数．
2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参 数，并且要注意参数的取值对普通方程中 x 及 y 的取值范围 的影响．
(t 为 参 数 ) 和
x＝ y＝
2cos θ， 2sin θ
(θ 为参数)，则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为
________．
第十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
【解析】 C1 的普通方程为 y2＝x(x≥0，y≥0)， C2 的普通方程为 x2＋y2＝2. 由yx22＝＋xy，2＝x2≥0，y≥0 得yx＝＝11.， ∴C1 与 C2 的交点坐标为(1,1)． 【答案】 (1,1)
(新课标)北京市2015届高考数学一轮复习 第23讲 部分知识新题赏析(选修4) 理
第23讲 选修4系列部分知识新题赏析题一：极坐标cos ρθ=和参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是A. 直线、直线B. 直线、圆C. 圆、圆D. 圆、直线题二：曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为___________.题三：已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩求直线l 与曲线C 相交所成弦的弦长．题四：极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆 2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）交于,,A B 求PA PB ⋅．题五：如图，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB =4，30ACB ∠=o， 则圆O 的面积等于题六：如图，点D 在圆O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交圆O 于点C ，则CD 的最大值为 .题七：如图,过点P 的直线与圆O 相交于A , B 两点，若PA =1, AB =2, PO =3, 则圆O 的半径等于_______.题八：如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E ,EF DB ⊥,垂足为F , 若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=__________.题九：设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=， 则a b c x y z ++=++ （ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．34题十：已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥ 9.题十一：已知函数()1112f x x x =++-． （1）画出函数()f x 的图象，写出函数()f x 的单调区间；（2）解关于x 的不等式()f x a ≥()a ∈R ．题十二：解不等式∣2x -1∣<∣x ∣+1题十三：若行列式,021421=-x 则=x ．题十四：在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值． 题十五：求矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.题十六：已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-15231321X ，则二阶矩阵X = ． 第23讲 选修4系列部分知识新题赏析题一：D 详解：极坐标方程cos ρθ=化为普通方程为：22x y x +=，22x y x +=为圆的方程，参数方程123x ty t =--⎧⎨=+⎩化为普通方程为：310x y ++=，310x y ++=表示的是直线方程，故选D.题二：2cos ρθ=详解：把公式cos ,sin x y ρθρθ== 代入曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=.详解：曲线C 的极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程为2240x y x +-=， 即22(2)4x y -+=．直线l的参数方程1,2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩化为普通方程为10x y --=．曲线C 的圆心()2,0到直线l2=， 所以直线l 与曲线C相交所成的弦的弦长为．题四：65详解：直线cos sin 10ρθρθ--=的直角坐标方程是10x y --=，∴直线与x 轴交于(1,0)，直线的斜率为1，∴直线的参数方程为1,202x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） ，①椭圆的普通方程为：2244,x y +=②①代入②得：2560,t +-=③∵1280∆=>，根据直线参数方程的几何意义知1265PA PB t t ⋅=⋅=题五：16π详解：连结AO ,OB ,因为 30ACB ∠=o ,所以60AOB ∠=o,AOB ∆为等边三角形,故圆O 的半径4r OA AB ===,圆O 的面积216S r ππ==.题六：2详解：由于,CD OD ⊥因此22OD OC CD -=,线段OC 长为定值， 即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此 时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此2||21||==AB CD .详解：设PO 交圆O 于C , D ,如图,设圆的半径为R ,由割线定理知,1(12)(3-)(3),PA PB PC PD r r r ⋅=⋅⨯+=+∴=即题八：5详解：5BE =,25DE AE EB =⋅=,DE =在Rt DEB D 中,25DF DB DE ⋅==题九：C详解：由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++，等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a =t x b =t y c =t z ，10)(2222=++z y x t ， 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以，答案选C .题十：省略详解：证明 (1)∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ×a b＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥ 8.∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥ 9.题十一：（1）单调递减区间是(),1-∞-，单调递增区间是[)1,-+∞；（2）当32a ≤时，不等式的解为(),-∞+∞； 当332a <≤时，不等式的解为[)2,24,3a a ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦；当3a >时，不等式的解为22,,33a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 详解：()3(2)211112(12)223(1)2x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=++-=+-≤<⎨⎪⎪-<-⎪⎩．画出函数()f x 的图象如图中的折线，其单调递减区间是(),1-∞-，单调递增区间是[)1,-+∞．（2）结合图象可知：当32a ≤时，()f x a ≥恒成立，即不等式的解为(),-∞+∞； 当332a <≤时，不等式的解为[)2,24,3a a ⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦；当3a >时，不等式的解为22,,33a a ⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．题十二：{|02}x x <<详解：:当x<0时,原不等式可化为211,0x x x -+<-+>解得又0,x x <∴不存在; 当102x ≤<时,原不等式可化为211,0x x x -+<+>解得 又110,0;22x x ≤<∴<<当11,222x x ≥∴≤<综上,原不等式的解集为{|02}x x <<题十三：2详解：由124012x -=得12240x -⋅-=，即24x =，所以2x =.题十四：2±详解：由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1 ⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k1 0.由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0 ⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0 ⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k－2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.题十五：11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦详解：设矩阵A 的逆矩阵为,x y z w ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦故321,320,20,21,x z y w x z y w +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩ 解得：1,2,2,3x z y w =-===-，从而A 的逆矩阵为11223A --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.题十六：1021-⎛⎫⎪--⎝⎭详解：设x y X z w ⎛⎫=⎪⎝⎭，则由题意知12323151x y z w -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据矩阵乘法法则可得23223531x z y w x z y w -=⎧⎪-=⎪⎨+=-⎪⎪+=-⎩，解得121x y z w =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=-⎩，即1021X -⎛⎫= ⎪--⎝⎭.。
高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：选修4-1
(建议用时：50分钟)1.(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明 因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB .2.(2015·湖南卷)如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：(1)∠MEN ＋∠NOM ＝180°；(2) FE ·FN ＝FM ·FO .证明 (1)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，所以OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，即∠OME ＝90°，∠ENO ＝90°，因此∠OME ＋∠ENO ＝180°，又四边形的内角和等于360°，故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .3.如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC的外接圆于F ，G 两点.若CF ∥AB .证明：(1)CD ＝BC ；(2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF .因为CF ∥AB ，所以AF ︵＝BC ︵，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，所以GB ︵＝CF ︵，故GB ＝CF .由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .所以∠BGD ＝∠BDG ，因为CD＝BC，所以∠CBD＝∠CDB.因为∠BGD＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.4.(2015·全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小.(1)证明如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线.(2)解设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.5.(2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.6.如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长.(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以FBFD＝F AFB，所以FB2＝F A·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BC tan∠ABC＝23，所以AD＝ACcos∠DAC＝43(cm).7.(2015·全国Ⅱ卷)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积. (1)证明由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线.又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)解由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD所在直线是EF的垂直平分线，又EF为⊙O的弦，所以O在AD上.连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.因为OM＝OE＝2，DM＝12MN＝3，所以OD＝1.于是AD＝5，AB＝1033.所以四边形EBCF的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.8.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆.(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.(1)证明因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC F A＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EF A.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EF A＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径.(2)解连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为1 2.。
2015届高三数学湘教版一轮复习配套课件：选修4-4 第2节 参数方程
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第十七页，编辑于星期五：八点 五十分。
第二节 参数方程 结束
在本例(1)条件下，若直线 C1：xy＝＝t1s＋intαco，s α (t 为参
数)，与直线
x＝s C2y＝1－as
(s 为参数)垂直，求 a.
解：由(1)知C1的普通方程为y＝ 3 (x－1)，C2的普通方程
为y＝1－ax，由两线垂直得－a×
第二节 参数方程 结束
第二节
参数方程
1．参数方程和普通方程的互化 (1) 曲 线 的 参 数 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 线 方 程 的 不 同 形 式．一般地，可以 通过消去参数 而从参数方程得到普通方程．
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第二节 参数方程 结束
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第二节 参数方程 结束
[典例]
(2013·郑州模拟)已知直线
C1：
x ＝1＋tcos y＝tsin α
α，
(t 为
参数)，曲线
C2：
x ＝cos y＝sin
θ， θ
(θ为参数)．
(1)当α＝π时，求 3
C1
与
C2
的交点坐标；
(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝
1＝ 2
22<1，
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4+第1节+坐标系(共44张PPT)
变式训练 1 求将圆 x2＋y2＝1 按照伸缩变换公式
x′＝3x y′＝5y
变换后所得椭圆的标准方程和焦距．
第十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
Hale Waihona Puke 【解】 由xy′′＝＝53yx 得 x＝x′3 且 y＝y′5 ， 代入圆 x2＋y2＝1，得 x′9 2＋y2′52＝1，即x92＋2y52 ＝1. ∵a2＝25，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝25－9＝16. ∴c＝4,2c＝8. 即所得椭圆的标准方程为x92＋2y52 ＝1，焦距为 8.
∴x′＝13×3＝1，y′＝－22
＝－1. ∴点 A′的坐标为(1，－1)．
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点．
由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝3yx，，
得x＝x3′， y＝2y′，
代入 y＝6x，得 2y′＝6·x′ 3 ＝2x′，
∴y′＝x′为所求直线 l′的方程．
【答案】 2 3
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
(2)在 ρsinθ－π3＝－ 23中，令 θ＝0，得 ρ＝1， 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆 C 经过点 P
2，π4，
第二十三页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
所以圆 C 的半径 PC＝ 22＋12－2×1× 2cos π4＝ 1，
第一页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
第一节 坐标系 考纲传真 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极 坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表 示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在 极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心 在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面 直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当 坐标系的意义．
2015届高三数学一轮总复习课件：选修4-4参数方程
题型一
3
x = 1 + t,
2 (t为参数)
1
y=1+ t
2
题型二
(2)2
题型三
第十三页，编辑于星期五：八点 三十五分。
重点难点
题型二 直线的参数方程
解析:(1)直线的参数方程为
(2)把直线
得 1+
3
t
2
2
+
x = 1 + t ,
6
即
y = 1 + t ,
6
3
t,
2 代入
1
1+ t
y=t
.
2 5
5
5
4
解析:由两曲线参数方程消去 x,y,t 得 5cos θ= sin2θ,
即 5cos2θ+4 5cos θ-5=0.
5
5
x = 1,
2
5
sin θ= 1- 2 θ =
.因此
2 5
5
y=
.
x = 1,
2 5
5
.
2 5 故交点坐标为 1,
5
y=
.
5
又∵0≤θ<π,∴解得 cos θ= .
y = 2θ
.
答案:(1,1)
解析:由曲线 C1 的参数方程可得 y= x,
基础梳理
自我检测
第八页，编辑于星期五：八点 三十五分。
重点难点
题型一 参数方程化为普通方程
例1
点拨提示
迁移训练1
x = 8θ,
x = -4 + t,
已知曲线 C 1 :
(t为参数),C 2:
(θ为参数).
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(2014·北京通州5月)已知圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标中，该圆的方程为( )
A ．ρ＝2cos θ
B ．ρ＝2sin θ
C ．ρ＝－2cos θ
D ．ρ＝－2sin θ
[答案] A
[解析] 在极坐标系中，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入方程x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ，选A.
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在极坐标系中，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫22，π4，曲线C 的方程为ρ＝2cos θ，则OA (O 为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．
[答案] 2 [解析] 由题意知直线OA 的直角坐标方程为x －y ＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，易知曲线C 为圆，且圆心C 到直线OA 的距离为12，故直线OA 被曲线C 所截弦的长度为21－12＝ 2.
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(2014·襄阳模拟)极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是________．
[答案] 42＋2
[解析] 圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0， 即(x ＋1)2＋y 2＝4.
直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为x ＋y －7＝0.
圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－7|2
＝42， 所以圆上的动点到直线的距离的最大值为42＋2.
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(2014·江苏泰州二模)在直角坐标平面内，直线l 过点P (1,1)，且倾斜角α＝π4.
以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．
[解析] (1)∵ρ＝4sin θ，ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2－4y ＝0.
即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.
(2)由题意得，直线l 的直角坐标方程为：y ＝x .
将该方程代入圆C 的方程x 2＋y 2－4y ＝0中，得：
A (0,0)，
B (2,2)．
∴|P A |＝|PB |＝2，∴|P A |·|PB |＝
2.
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如图，在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0≤θ≤π2，O 1(1,0)， C 2：ρ＝4cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，O 2(2,0)，射线θ＝α⎝ ⎛⎭
⎪⎫ρ≥0，0<α<π4与C 1，C 2分别交于异于极点的两点A ，B
.
(1)若α＝π6，求直线BO 2的极坐标方程．
(2)试用α表示图中阴影部分的面积S .
[解析] (1)在直线BO 2上任取点P (ρ，θ)，由α＝π6，得∠BO 2x ＝π3，在△POO 2
中，由正弦定理，得：ρsin 2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ， 所以直线BO 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－θ＝ 3. (2)连接O 1A ，易得O 1A ∥O 2B ，得：
∠BO 2O ＝∠AO 1O ＝π－2α，
∠AO 1O 2＝2α，
∴S ＝12×2×2sin(π－2α)－12×1×1×sin(π－2α)－12×1×2α＝32sin 2α－α.
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在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α
(t 是参数，0≤α<π)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标
方程为ρ2＝21＋cos 2θ
. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)当α＝π4时，曲线C 1和C 2相交于M ，N 两点，求以线段MN 为直径的圆
的直角坐标方程．
[解析] (1)对于曲线C 1消去参数t 得
当α≠π2时，C 1：y －1＝tan α(x －2)；
当α＝π2时，C 1：x ＝2.
对于曲线C 2：ρ2＋ρ2cos 2 θ＝2，x 2＋y 2＋x 2＝2，
则C 2：x 2＋y 22＝1. (2)当α＝π4时，曲线C 1的方程为x －y －1＝0，联立C 1，C 2的方程，消去y
得2x 2＋(x －1)2－2＝0，即3x 2－2x －1＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
|MN |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋43 ＝2·169＝42
3，
圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22
，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－23， 从而所求圆的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋232＝89.
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已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t －3，y ＝3t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围．
[解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t －3，y ＝3t
(t 为参数)，将直线l 的参数方程化为普通方程为3x －y ＋33＝0.
曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，将极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1.
(2)曲线C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2,0)，半径为1，所以圆心C (2,0)到直线l 的距离d ＝|23－0＋33|2＝532， 因为P 是曲线C 上的动点，所以点P 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤532－1，532＋1.。