2020_2021学年高中数学课时分层作业5补集及综合应用新人教A版必修1
2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册课时分层作业：1.3.2空间运算的坐标表示
姓名，年级：时间：课时分层作业（五)（建议用时:40分钟)一、选择题1．已知三点A（1，5，－2)，B(2，4，1）,C(a,3，b＋2)在同一条直线上,那么( ）A．a＝3，b＝－3 B．a＝6,b＝－1C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1C［根据题意错误!＝（1，－1,3），错误!＝（a－1，－2，b＋4)，∵错误!与错误!共线,∴错误!＝λ错误!,∴(a－1,－2，b＋4)＝（λ，－λ，3λ），∴错误!解得错误!故选C.]2．已知a＝(2,3，－4),b＝（－4，－3,－2),b＝错误!x－2a,则x 等于（）A．(0,3，－6）B．(0，6,－20)C．（0,6，－6) D．(6，6，－6)B［由题a＝(2,3,－4），b＝(－4，－3，－2）,设x＝（w，y,z）则由b＝错误!x－2a，可得(－4,－3,－2)＝错误!(w，y,z）－2(2，3，－4）＝错误!－（4，6，－8）＝错误!，解得w＝0,y＝6，z＝－20,即x ＝（0,6,－20）．]3．已知向量a＝（1，0，－1），则下列向量中与a成60°夹角的是( ）A．（－1，1,0) B．（1,－1,0)C．（0,－1，1) D．（－1,0，1)B［不妨设向量为b＝（x，y，z)，A．若b＝（－1,1，0)，则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!≠错误!，不满足条件．B．若b＝(1，－1,0)，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!，满足条件．C．若b＝（0，－1，1），则cos θ＝错误!＝错误!＝－错误!≠错误!，不满足条件．D．若b＝(－1,0,1）,则cos θ＝错误!＝错误!＝－1≠错误!，不满足条件．故选B。
］4．已知向量a＝（－2，x,2），b＝（2，1,2)，c＝(4，－2，1），若a⊥（b－c）,则x的值为（）A．－2 B．2C．3 D．－3A[∵b－c＝（－2,3,1）,a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2。
2020学年高中数学课时作业5补集及集合的综合应用新人教A版必修1(最新整理)
课时作业5 补集及集合的综合应用时间：45分钟-—基础巩固类——一、选择题1．已知全集U＝｛1，2,3,4,5,6}，集合A＝｛1,2，5｝，∁U B＝{4,5,6｝,则A∩B＝( A )A．{1，2} B．｛5｝C．{1,2,3} D．{3，4,6｝解析：因为∁U B＝{4,5，6}，所以B＝{1,2,3｝，所以A∩B＝{1，2,5｝∩{1,2，3｝＝｛1，2}，故选A.2．已知全集U＝｛0，1，2,3,4｝，集合A＝｛1，2,3｝，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为（ C )A．｛1，2,4｝B．{2，3，4}C．{0，2,4｝D．{0,2，3,4｝解析:∁U A＝{0，4｝，所以(∁U A）∪B＝{0,4}∪{2，4｝＝{0，2,4｝．3．已知全集U＝｛0,1,2，3,4，5,6，7，8,9｝，集合A＝{0，1，3，5，8},集合B＝{2，4，5，6，8}，则(∁U A）∩（∁U B)＝（ B )A．｛5,8} B．｛7，9}C．{0，1，3｝D．｛2,4,6｝解析：根据集合运算的性质求解．因为A∪B＝｛0,1,2，3，4，5，6，8}，所以(∁U A)∩（∁U B）＝∁U(A∪B)＝｛7，9}．4．设集合S＝{x|x〉－2｝,T＝｛x｜x2＋3x－4≤0},则（∁R S）∪T＝（ C )A．｛x｜－2〈x≤1} B．{x｜x≤－4}C．｛x｜x≤1} D．｛x｜x≥1｝解析：因为∁R S＝{x｜x≤－2}，T＝｛x｜x2＋3x－4≤0}＝｛x｜－4≤x≤1}，所以(∁S）∪T＝｛x|x≤1}．故选C。
R5．如图,I是全集，M,P，S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是（ D ）A．(M∩P）∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∪(∁I S) D．（M∩P）∩（∁I S)解析：由题图，可知阴影部分是M与P除S外的公共部分，所以阴影部分所表示的集合是（M∩P)∩(∁I S)．故选D。
1.4.1 充分条件与必要条件(分层练习)-2020-2021学年高一数学新教材配套练习(人教A版必修第一册)
1.4.1 充分条件与必要条件基 础 练巩固新知 夯实基础1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不是充分条件，也不是必要条件2．a <0，b <0的一个必要条件为 ( )A ．a ＋b <0B ．a －b >0 C.a b >1 D.a b<－1 3．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．既是充分条件，也是必要条件4．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1能 力 练综合应用 核心素养6．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设x ，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >18．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是()A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝09．设a，b，c∈R，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac>bc”是“a>b”的充分条件C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．11．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．12．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.【参考答案】1. C 解析 ab ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2. A 解析 a ＋b <0a <0，b <0，而a <0，b <0∈a ＋b <0.3. C 解析 ∈－2<x <1D ∈/x >1或x <－1且x >1或x <－1D ∈/－2<x <1，∈“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分条件，也不必要条件．4. A 解析 ∈0<ab <1，∈a ，b 同号，且ab <1.∈当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a. ∈“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b，但不能推出0<ab <1， ∈“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分而不必要条件． 5. C 解析 ∈一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∈⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2<0.即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a >0，1a<0∈a <0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a |a <－1}{a |a <0}，故答案为C. 6. A 解析 x 2＋y 2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x |≥2且|y |≥2，而x ≥2且y ≥2时，x 2＋y 2≥4，但x 2＋y 2≥4不一定推出x ≥2且y ≥2.故A 正确．7. B 解析 对于选项A ，当x ＝1，y ＝1时，满足x ＋y ＝2，但命题不成立；对于选项C 、D ，当x ＝－2，y ＝－3时，满足x 2＋y 2>2，xy >1，但命题不成立，也不符合题意．8．A 【解析】因x 2＋(y －2)2＝0∈x ＝0，且y ＝2∈x (y －2)＝0，故选A.9．C 【解析】排除选项A ，B ，D 项知，C 项正确．10.a >2 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.11. 解 p ：－2≤x ≤10. q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0∈[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)∈1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－21＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．12. 解 依题意a >0.由条件p ：|x －1|>a 得x －1<－a ，或x －1>a ，∈x <1－a ，或x >1＋a .由条件q ：2x 2－3x ＋1>0，得x <12，或x >1. 要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ，则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≤12，1＋a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a <12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1，则p ：x <0，或x >2，此时必有x <12，或x >1.即p ∈q ，反之不成立．∈a ＝1.。
2020-2021数学人教版选择性第一册课时1.1.1空间向量及其线性运算
2020-2021学年新教材数学人教A 版选择性必修第一册课时分层作业：1.1.1空间向量及其线性运算课时分层作业（一)（建议用时：40分钟）一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则错误!＋错误!－错误!等于（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!D ［错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点,且错误!＋错误!＝错误!＋错误!，则四边形ABCD 是（ )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵错误!＋错误!＝错误!＋错误!，∴错误!＝错误!.∴错误!∥错误!且｜错误!｜＝｜错误!｜。
∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线,对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝错误!＋错误!＋错误!B ．错误!＝2错误!－错误!－错误!C ．错误!＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!D ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!D [由错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!,可得3错误!＝错误!＋错误!＋错误!⇒错误!－错误!＋错误!－错误!＋错误!－OC ，→＝0，即错误!＝－错误!－错误!。
所以错误!与错误!，错误!在一个平面上,即点M 与点A ，B ,C 一定共面．]4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足错误!＝m 错误!＋n 错误!，其中m ＋n ＝1，则( ）A ．P ∈ABB ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ,所以错误!＝（1－n )错误!＋n 错误!，即错误!－错误!＝n （错误!－错误!），即错误!＝n 错误!，所以错误!与错误!共线．又错误!，错误!有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上,即P ∈AB .］5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 是A 1C 1的中点， 点F 是AE 的三等分点，且AF ＝错误!EF ，则错误!＝（ )A ．AA 1→＋错误!错误!＋错误!错误!B ．错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!C．错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!D．错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!D［如图所示,错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!，错误!＝错误!,所以错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!，故选D。
高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1.1空间向量与平行关系含解析第一册
课时分层作业(六）（建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0,0)，n＝（－2,0,0)B．a＝（1,3,5)，n＝（1，0，1）C．a＝（0,2,1),n＝(－1,0，－1）D．a＝（1,－1,3），n＝（0，3，1）D［若l∥α,则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D。
]2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5），n ＝(－6，－2,10),则（)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对B[因为m＝(3,1，－5)，n＝（－6，－2，10),所以有n＝－2m，即m与n共线（平行），可知平面α和平面β相互平行．答案选B。
]3．平面α的法向量u＝（x，1，－2）,平面β的法向量v＝错误!，已知α∥β,则x＋y＝(）A．错误!B．错误!C．3 D．错误!A[由题意知,∵α∥β，∴u＝λv,即错误!解得λ＝－4，y＝－错误!，x＝4，∴x＋y＝4－错误!＝错误!.]4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2）,α的一个法向量为n＝(3，1,2）,则下列点P中，在平面α内的是（）A．(1，－1，1）B．错误!C．错误!D．错误!B［对于B，错误!＝错误!，则n·错误!＝(3,1，2）·错误!＝0，∴n⊥AP→，则点P错误!在平面α内．]5.如图,在正方体ABCD.A1B1C1D1中,以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点,则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(）A．(1，－2,4）B．（－4，1,－2）C．（2，－2，1）D．(1,2，－2)B［设正方体棱长为2，则A(2，0，0）,E(2,2,1），F(1,0,2），∴错误!＝（0，2,1），错误!＝（－1，0,2)设向量n＝（x，y，z)是平面AEF的一个法向量则错误!，取y＝1，得x＝－4，z＝－2∴n＝(－4，1,－2）是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.］二、填空题6．若直线l的方向向量为a＝（1，－2，3）,平面α的法向量为n＝(2，x，0)，若l∥α，则x的值等于________．1［由l∥α可知a·n＝0,即2－2x＝0，所以x＝1。
2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人教A版)课时练习 5.2.1 三角函数的概念(含解析)
课时作业(二十八) 三角函数的概念[练基础]1．若角α的终边过点P (－4,3)，则2sin α＋cos α的值为( )A ．－25 B.25C ．－25或25D ．1 2．sin(－140°)cos 740°的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定3．若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第二或第四象限角4．若点P ⎝⎛⎭⎫2cos π6，－2sin π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－325．sin(－1 380°)＝________.6．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.[提能力]7．(多选)已知x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，则函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |－tan x |tan x |的值可能为( ) A ．3 B ．－3C ．1D ．－18．已知角α的终边经过点P (x ，－12)，且cos α＝－513，则tan(8π＋α)＝________. 9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值．[战疑难]10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点A (1,0)出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，则P ，Q 两点在第2 019次相遇时，点P 的坐标为________．课时作业(二十八) 三角函数的概念1．解析：由题意知，sin α＝35，cos α＝－45，则2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.答案：(0,1)。
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1
【思路导引】(1)依据a∈A，则 1 ∈A(a≠1)，求集合A中的元素，同时注
1 a
意集合中元素的互异性.
(2)转化为判断a= 1 是否有实数解.
1 a
【变式探究】
本例前提条件不变，求证以下两个问题：
(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素. (2)若a∈A，则1- 1 ∈A.
a
角度2 与集合相等有关的问题 【典例】设a，b∈R，集合A中含有三个元素a， b ，1，集合B中含有三个元
类型二 元素与集合的关系(逻辑推理)
【题组训练】
1.下列元素与集合的关系表示正确的是 ( )
①0∈N*.②
2
∉Z.③
3 2
∈Q.④π∈Q.
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
2.由形如x=3k+1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是 ( )
A.-1∈A
B.-11∈A
C.15∈A
D.32∈A
2.设M是所有偶数组成的集合，则
()
A.3∈M
B.1∈M
C.2∈M
D.0∉M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
3.英文短语“open the door to...”中的字母构成一个集合，该集合的元素
个数是 ( )
A.7
B.8
C.9
D.10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to...”中的
3.常见的数集及表示符号
数集
非负整数集 (自然数集)
正整 数集
整数集
有理 数集
实数集
符号
_N_
_N_*_或__N_+
Z
2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价五补集及综合应用新人教A版必修第一册
课时素养评价五补集及综合应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.设全集U=R,则下列集合运算结果为R的是( )A.Z∪(U N)B.N∩(U N)C.U(U∅)D.U Q【解析】选A. Z∪(U N)=R,N∩(U N)=∅,U(U∅)=∅,U Q表示无理数构成的集合.2.(多选题)设全集为U,则图中的阴影部分可以表示为( )A.U(A∪B)B.(U A)∩(U B)C.U(A∩B)D.A∪(U B)【解析】选A、B.阴影部分的元素是由不属于集合A且不属于集合B的元素构成,即元素x∈U但x∉A,且x∉B,即x∈,即x∈(U(A∪B)).3.已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(U B)=( )A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},且U(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩(U B)={3}.4.已知集合P={x|x>0},Q={x|-1<x<1},那么(R P) ∩Q= ( )A.{x|x>-1}B.{x|0<x<1}C.{x|-1<x≤0}D.{x|-1<x<1}【解析】选C.因为P={x|x>0},所以R P={x|x≤0},因为Q={x|-1<x<1},所以(R P)∩Q={x|-1<x≤0}.【加练·固】已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为( )A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x≤-1}D.{x|-1≤x≤3}【解析】选 D.由题意得,阴影部分所表示的集合为(U A)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知全集U={x∈N*|x≤9},(U A)∩B={1,6},A∩(U B)={2,3},(U A)∩(U B)= {4,5,7,8},则A=________,B=________.【解析】因为全集U={x∈N*|x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},(U A)∩B={1,6},A∩(U B)={2,3},(U A)∩(U B)={4,5,7,8},所以作出Venn图,得:由Venn图得:A={2,3,9},B={1,6,9}.答案:{2,3,9} {1,6,9}6.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},A∪(R B)=R,则实数a的取值范围是________.【解析】因为R B={x|x≤1或x≥2},又A={x|x<a},观察R B,A在数轴上所表示的区间,如图所示.可知当a≥2时,A∪(R B)=R.答案:{a|a≥2}三、解答题(共26分)7.(12分)设全集U={x∈Z|0≤x≤10},A={1,2,4,5,9},B={4,6,7,8,10},C= {3,5,7}.求A∪B,(A∩B)∩C,(U A)∩(U B).【解析】A∪B={1,2,4,5,6,7,8,9,10};(A∩B)∩C=∅;(U A)∩(U B)={0,3}.8.(14分)已知集合A={x|x<-3或x>2},B={x|-4≤x-2<2},(1)求A∩B ,(R A)∪(R B ).(2)若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合A的真子集,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为B={x|-4≤x-2<2}={x|-2≤x<4},且A={x|x<-3或x>2},所以R A={x|-3≤x≤2},R B={x|x<-2或x≥4},所以A∩B ={x|2<x<4},(R A)∪(R B ) ={x|x≤2或x≥4}.(2)当M=∅时,则2k-1>2k+1,无解,因为集合M是集合A的真子集,所以2k+1<-3或2k-1>2,解得k<-2或k>,所以实数k的取值范围是.(15分钟·30分)1.(4分)设U=R,N={x|-2<x<2},M={x|a-1<x<a+1},若U N是U M的真子集,则实数a的取值范围是( )A.-1<a<1B.-1≤a<1C.-1<a≤1D.-1≤a≤1【解析】选D.因为U N是U M的真子集,所以M是N的真子集,所以a-1≥-2且a+1≤2,解得-1≤a≤1.2.(4分)设U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(U A)∩B={4},(U A)∩(U B)={1,5},则下列结论正确的是( )A.3∉A且3∉BB.3∈A且3∉BC.3∉A且3∈BD.3∈A且3∈B【解析】选B.因为U={1,2,3,4,5} ,若A∩B={2},(U A)∩B={4},(U A)∩(U B)={1,5},所以画出Venn图:所以A={2,3},B={2,4},则3∈A且3∉B.3.(4分)设集合P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则Z(P∪Q)=________.【解析】P={x|x=3k+1,k∈Z},表示被3除余数为1的整数构成的集合,Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示被3除余数为2的整数构成的集合,故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合,Z(P∪Q)={x|x=3k,k∈Z}. 答案:{x|x=3k,k∈Z}4.(4分)下列命题之中,U为全集时,下列说法正确的是________.(填序号)(1)若A∩B=∅,则(U A)∪(U B)=U;(2)若A∩B=∅,则A=∅或B=∅;(3)若A∪B=U,则(U A)∩(U B)=∅;(4)若A∪B=∅,则A=B=∅.【解析】(1)对,因为(U A)∪(U B)=U(A∩B),而A∩B=∅,所以(U A)∪(U B)=U(A∩B)=U.(2)错,A∩B=∅,集合A,B不一定要为空集,只需两个集合无公共元素即可.(3)对,因为(U A)∩(U B)=U(A∪B),而A∪B=U,所以(U A)∩(U B)=U(A∪B)=∅.(4)对,A∪B=∅,即集合A,B均无元素.综上(1)(3)(4)对.答案:(1)(3)(4)5.(14分)设全集U=R,M={m|方程mx2-x-1=0有实数根},N={n|方程x2-x+n=0有实数根},求(U M)∩N.【解析】对于集合M,当m=0时,x=-1,即M={0},当m≠0时,Δ=1+4m≥0,即m≥-,且m≠0,所以U M=,而对于集合N, Δ=1-4n≥0,即n≤,所以N=,所以(U M)∩N=.1.已知全集U,M,N是U的非空子集,且U M⊇N,则必有( )A.M⊆U NB.M U NC.U M=U ND.M⊆N【解析】选A.依据题意画出Venn 图,观察可知,M U N.2.已知全集U=R,集合A={x|x≤-a-1},B={x|x>a+2},C={x|x<0或x≥4}都是U的子集,若U(A ∪B)⊆C,问这样的实数a是否存在?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)-a-1<a+2时,得a>-,所以U(A∪B)={x|-a-1<x≤a+2}.为使U(A∪B)⊆C成立,所以a+2<0,解得a<-2,或-a-1≥4,解得a≤-5,而此时a>-,所以无解;(2)-a-1≥a+2时,得:a≤-,所以U(A∪B)=∅,显然U(A∪B)⊆C成立,综上:a≤-.【加练·固】已知全集U=R,集合A={x|2<x<9},B={x|-2≤x≤5}.(1)求A∩B.B∪(U A).(2)已知集合C={x|a≤x≤a+2},若C⊆(U B),求实数a的取值范围.【解析】(1)全集U=R,集合A={x|2<x<9},B={x|-2≤x≤5}.则U A={x|x≤2或x≥9},那么A∩B={x|2<x≤5},B∪(U A)={x|x≤5或x≥9}.(2)集合C={x|a≤x≤a+2},B={x|-2≤x≤5}.则U B={x|x<-2或x>5},因为C⊆(U B),所以需满足:a+2<-2或a>5,故得:a<-4或a>5,所以实数a的取值范围是{a|a<-4或a>5}.。
2020-2021学年高中数学新人教A版必修第一册 1
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法： 1要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 M 中的 每个元素 x 证明 px成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能 举出集合 M 中的一个 x，使得 px不成立即可这就是通常所说的“举 出一个反例”. 2要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 M 中， 能找到一个 x 使 px成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
问题：上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一 个”“有的”都表示什么含义？如何定义这类命题？
提示：这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存 在量词．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ， 并用符号“∀ ”表示． (2)含有 全称量词 的命题，叫做全称量词命题，通常将含有变
2．掌握3种方法 (1)判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法 是看命题中含有哪种量词，判定时要特别注意省略量词的全称量词 命题． (2)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的 每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例 即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．
[答案] B
3．下列命题中的假命题是( ) A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，x＋2019<1 D．∃x∈R,2x＞2 B [当x＝1时，(x－1)2＝0， 所以B项为假命题．]
4．(1)命题“有些梯形是等腰梯形”的否定为：________. (2)命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定为： ________.
(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题． 把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题 是真命题． (3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题． 由于使x2＝3成立的实数只有± 3，且它们都不是有理数，因 此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
高中数学第一章空间向量与立体几何1.3.1空间直角坐标系含解析第一册 (1)
课时分层作业(四）(建议用时:40分钟)一、选择题1．空间两点A，B的坐标分别为（x,－y，z），（－x，－y,－z)，则A，B两点的位置关系是(）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于z轴对称D．关于原点对称B[纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y轴对称．]2．已知A（1,2，－1），B(5,6，7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是（)A．(0，1,1) B．(0,1，－3）C．（－1，0,3) D．（－1,0，－5)D［设直线AB与平面xoz交点坐标是M（x，y，z）,则错误!＝（x－1,－2，z＋1)，错误!＝（4,4,8），又错误!与错误!共线，∴错误!＝λ错误!，即错误!解得x＝－1，z＝－5，∴点M（－1,0，－5)．故选D。
］3．设A(3，3,1)，B(1,0,5），C(0，1，0）,则AB的中点M到点C的距离|CM|＝（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［M错误!,｜CM｜＝错误!＝错误!。
]4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD.A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝错误!A1B1，则错误!等于()A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!C［{错误!，错误!,错误!}为单位正交向量，错误!＝错误!＋错误!＝－错误! DC，→＋错误!，∴错误!＝错误!。
］5．设{i，j，k｝是单位正交基底，已知向量p在基底{a,b，c｝下的坐标为(8,6,4),其中a＝i＋j,b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底｛i,j,k｝下的坐标是(）A．(12,14,10) B．(10，12,14)C．（14,12，10) D．（4，3,2)A［依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8（i＋j）＋6（j＋k)＋4(k ＋i）＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底｛i,j，k}下的坐标是（12,14,10)．］二、填空题6．在空间直角坐标系中,已知点P（1,错误!,错误!)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为________．(0，错误!,错误!）［过P的垂线PQ⊥面yOz，则Q点横坐标为0，其余不变，故Q(0，错误!，错误!)．]7．设｛e1,e2,e3}是空间向量的一个单位正交基底,a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3,则a，b的坐标分别为________．（4，－8,3)，（－2，－3,7）［由题意可知a＝(4，－8,3）,b ＝(－2，－3，7）．］8。
2019-2020学年人教A版高中数学必修1 课时分层训练 ：第一章 1.1 1.1.3 第二课时
姓名，年级：时间：第一章1.1 1.1。
3第二课时全集、补集及综合应用课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标｜1．已知全集U＝{1，2,3，4，5,6，7｝，A＝{x｜x≥3，x∈N｝，则∁U A＝( ）A．{1,2｝B．｛3，4,5,6,7｝C．{1，3,4,7} D．｛1，4，7}解析：选A ∵U＝{1，2，3，4,5,6,7｝，A＝｛x|x≥3,x∈N}＝{3,4,5，6,7｝，∴∁U A＝｛1，2｝．2．已知U＝R，A＝｛x|x>0}，B＝｛x｜x≤－1｝，则[A∩(∁U B)]∪[B∩（∁U A)］等于（)A．∅B．｛x|x≤0｝C．{x|x>－1} D．｛x|x>0或x≤－1}解析：选D ∵∁U A＝｛x|x≤0}，∁U B＝{x｜x〉－1}，∴A∩（∁U B）＝｛x|x>0}，B∩（∁U A)＝{x|x≤－1｝，∴［A∩(∁U B)］∪［B∩(∁U A）］＝｛x｜x>0或x≤－1｝．3．已知U＝Z，A＝｛1,3,5,7,9}，B＝{1,2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{1,3,5｝B．{1,2,3,4,5｝C．｛7，9} D．｛2,4}解析：选D 图中阴影部分表示的集合是（∁U A)∩B＝{2,4}．4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3｝,A＝｛1，a}，∁U A＝{3｝，则实数a等于( )A．0或2 B．0C．1或2 D．2解析:选D 由题意,知错误!则a＝2.5．如图所示的阴影部分表示的集合是（）A．A∩（B∩C) B．(∁U A)∩（B∩C)C．C∩［∁U（A∪B）］D．C∩[∁U（A∩B)]解析：选C 由于阴影部分在C中，且不在A,B中，则阴影部分表示的集合是C 的子集，也是∁U(A∪B)的子集，即是C∩[∁U(A∪B）]．6．已知全集U＝{n∈N｜1≤n≤10｝，A＝｛1,2，3，5,8｝，B＝{1,3,5,7，9}，则（∁U A)∩B＝________。
人教A版高中数学必修1课时作业(5) 补集及综合应用
课时作业（五）补集及综合应用一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3,5},B＝{2,4,5},则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．∅B．{4}C．{1,5} D．{2,5}解析：选A ∵∁U A＝{2,4},∁U B＝{1,3},∴(∁U A)∩(∁U B)＝∅,故选A.2．若全集U＝{1,2,3,4,5},∁U P＝{4,5},则集合P可以是( )A．{x∈N*||x|＜4}B．{x∈N*|x＜6}C．{x∈N*|x2≤16}D．{x∈N*|x3≤16}解析：选A 由题意得P＝{1,2,3}．又因为选项A化简得{1,2,3},选项B化简得{1,2,3,4,5},选项C 化简得{1,2,3,4},选项D化简得{1,2},故选A.3．设集合U＝{－1,1,2,3},M＝{x|x2－5x＋p＝0},若∁U M＝{－1,1},则实数p的值为( )A．－6 B．－4C．4 D．6解析：选D 由已知可得M＝{2,3},则2,3是方程x2－5x＋p＝0的两根,则p＝6,故选D.4．已知U为全集,集合M,N是U的子集．若M∩N＝N,则( )A．(∁U M)⊇(∁U N)B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N)D．M⊇(∁U N)解析：选C ∵M∩N＝N,∴N⊆M,∴(∁U M)⊆(∁U N)．5．已知全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x＝2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选B A＝{1,2},B＝{x|x＝2a,a∈A}＝{2,4},∴A∪B＝{1,2,4},∴∁U(A∪B)＝{3,5},故选B.二、填空题6．设全集U ＝R,A ＝{x|x>0},B ＝{x|x>1},则A∩(∁U B)＝________.解析：∵U ＝R,B ＝{x|x>1},∴∁U B ＝{x|x≤1}．又∵A ＝{x|x>0},∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}7．已知集合A ＝{x|x<a},B ＝{x|1<x<2},A ∪(∁R B)＝R,则实数a 的取值范围是________．解析：∵B ＝{x|1<x<2},∴∁R B ＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A ∪(∁R B)＝R,A ＝{x|x<a}．观察∁R B 与A 在数轴上表示的区间,如图所示：可得当a≥2时,A ∪(∁R B)＝R. 答案：{a|a≥2}8．全集U ＝R,A ＝{x|x<－3或x≥2},B ＝{x|－1<x<5},则集合C ＝{x|－1<x<2}＝________(用A,B 或其补集表示)．解析：如图所示,由图可知C ⊆∁U A,且C ⊆B,∴C ＝B∩(∁U A)．答案：B∩(∁U A)三、解答题9．设全集U ＝R,M ＝{x|3a ＜x ＜2a ＋5},P ＝{x|－2≤x≤1},若M ∁U P,求实数a 的取值范围． 解：∁U P ＝{x|x ＜－2或x ＞1},∵M ∁U P,∴分M ＝∅,M≠∅,两种情况讨论．(1)M≠∅时,如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＜2a ＋5，2a ＋5≤－2， 或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＜2a ＋5，3a≥1，∴a≤－72,或13≤a＜5. (2)M ＝∅时,应有3a≥2a＋5⇒a≥5.综上可知,a≤－72,或a≥13. 10．已知集合A ＝{x|2≤x<7},B ＝{x|3<x<10},C ＝{x|x<a}．(1)求A ∪B,(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅,求a 的取值范围．解：(1)因为A ＝{x|2≤x<7},B ＝{x|3<x<10},所以A ∪B ＝{x|2≤x<10}．因为A ＝{x|2≤x<7},所以∁R A ＝{x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A ＝{x|2≤x<7},C ＝{x|x<a},且A∩C≠∅,所以a>2,所以a 的取值范围为{a|a>2}．11．设全集I ＝R,已知集合M ＝{x|(x ＋3)2≤0},N ＝{x|x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A ＝(∁I M)∩N ,已知集合B ＝{x|a －1≤x≤5－a,a ∈R},若B ∪A ＝A,求实数a 的取值范围． 解：(1)∵M ＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3},N ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{－3,2},∴∁I M ＝{x|x ∈R 且x≠－3},∴(∁I M)∩N＝{2}．(2)A ＝(∁I M)∩N＝{2},∵A ∪B ＝A,∴B ⊆A,∴B ＝∅或B ＝{2},当B ＝∅时,a －1>5－a,∴a>3；当B ＝{2}时,⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3,综上所述,所求a 的取值范围为{a|a≥3}．12．已知全集U＝{小于10的正整数},A⊆U,B⊆U,且(∁U A)∩B＝{1,8},A∩B＝{2,3},(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9}．(1)求集合A与B；(2)求(∁R U)∪[∁Z(A∩B)](其中R为实数集,Z为整数集)．解：由(∁U A)∩B＝{1,8},知1∈B,8∈B；由(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,9},知4,6,9∉A,且4,6,9∉B；由A∩B＝{2,3},知2,3是集合A与B的公共元素．因为U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},所以5∈A,7∈A.画出Venn图,如图所示．(1)由图可知A＝{2,3,5,7},B＝{1,2,3,8}．(2)(∁R U)∪[∁Z(A∩B)]＝{x|x∈R,且x≠2,x≠3}．。
2020_2021学年高中数学全一册课时分层作业(打包25套)新人教A版必修1
课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：60分钟)一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．拥有手机的人 B ．2019年高考数学难题 C ．所有有理数D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A ．5∈M B ．0∉M C ．1∈MD ．－π2∈MD [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．]3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∉N ；④π∈Q ；⑤－3∈Z .其中正确的个数为________．3 [①②⑤是正确的，③④是错误的．]7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．k ≠±1 [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ； (2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)若集合A 有3个元素1，a 和a －2，且3∈A ，则实数a ＝________. (1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)5[(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C . (3)由3∈A 知，a ＝3或a －2＝3.当a ＝3时，a －2＝1，不满足元素的互异性，故a ≠3；当a －2＝3时，a ＝5符合题意． 综上知a ＝5.] 三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． [解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去． (2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1. 由(1)知x ＝0应舍去． 综上知：x ＝1，y ＝0.1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( ) A ．1∈M B ．0∈M C ．－1∈M D ．－2∈MC [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2. 所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2. 故方程的另一根为－1.选C.]2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素， 当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]3．设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对为(x ，y )的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .∉ ∈ [∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋bb ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a＋－bb＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a＋|b |b＝0. ∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－－1＝12∈A ；由1 2∈A可知，11－12＝2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.课时分层作业(二) 集合的表示(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是( )A．0∈A B．1.5∉AC．－1∉A D．6∈AD[∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故选D.]2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]3．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )A．{y|y＝2} B．{x＝2}C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}B[{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合．]4．集合{－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}用描述法可表示为( )A．{－1≤x≤8}B．{x|－1≤x≤8}C．{x∈Z|－1≤x≤8}D．{x∈N|－1≤x≤8}C[观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，故选C.]5．下列集合的表示方法正确的是( )A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集为{x<5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为RD [选项A 中应是xy <0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{}”与“全体”意思重复．]二、填空题6．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________． {x |x ＝2n ，n ∈N *} [正整数中所有的偶数均能被2整除．]7．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 1 [由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.]8．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝________. {1,3} [由题意知，－5是方程x 2－ax －5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a －5＝0，得a ＝－4， 则方程x 2＋ax ＋3＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．] 三、解答题9．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x (x 2－2x －3)＝0的所有实数根组成的集合； (2)大于2且小于6的有理数；(3)由直线y ＝－x ＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解] (1)方程的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3}，当然也可以用描述法表示为{x |x (x 2－2x －3)＝0}．(2)由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x ∈Q |2<x <6}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }；或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪43－x ∈Z ， (1)用列举法表示集合A ； (2)求集合A 的所有元素之和．[解] (1)由43－x ∈Z ，得3－x ＝±1，±2，±4.解得x ＝－1,1,2,4,5,7.又∵x ∈Z ，∴A ＝{－1,1,2,4,5,7}．(2)由(1)得集合A 中的所有元素之和为－1＋1＋2＋4＋5＋7＝18.1．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，若a ＝5，则有( ) A ．a ∈A B ．－a ∉A C ．{a }∈AD ．{a }∉AA [由题意，当k ＝2时，x ＝5，所以a ∈A .当k ＝－3时，x ＝－5，所以－a ∈A .故选A.] 2．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [当a ＝1，b ＝4时，x ＝5；当a ＝1，b ＝5时，x ＝6；当a ＝2，b ＝4时，x ＝6；当a ＝2，b ＝5时，x ＝7；当a ＝3，b ＝4时，x ＝7；当a ＝3，b ＝5时，x ＝8.由集合元素的互异性知M 中共有4个元素．]3．有下面六种表示方法 ①{x ＝－1，y ＝2}；②(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝－1，y ＝2；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x ，y |x ＝－1或y ＝2}．其中，能正确表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________(填序号)．②⑤ [ 序号 判断 原因分析① 否 ①中含两个元素，且都是方程，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点② 能 ②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同③ 否 ③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素 ④ 否 ④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合 ⑤ 能 ⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等⑥ 否⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且”4．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,10}，若－3∈A ，则a ＝________.－32 [因为－3∈A ，所以a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3，当a －2＝－3时，a ＝－1， 此时2a 2＋5a ＝－3，与元素的互异性不符，所以a ≠－1. 当2a 2＋5a ＝－3时，即2a 2＋5a ＋3＝0， 解得a ＝－1或a ＝－32.显然a ＝－1不合题意．当a ＝－32时，a －2＝－72，满足互异性．综上，a ＝－32.]5．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值； (2)若集合A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围； (3)若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝0时，原方程可化为－3x ＋2＝0，得x ＝23，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0为一元二次方程，由题意得，Δ＝9－8a ＝0，得a ＝98.所以当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．(2)由题意得，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a >0，即a <98且a ≠0时方程有两个实根，又由(1)知，当a ＝0或a ＝98时方程有一个实根．所以a 的取值范围是a ≤98.(3)由(1)知，当a ＝0或a ＝98时，集合A 中只有一个元素．当集合A 中没有元素，即A ＝∅时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98.综上得，当a ≥98或a ＝0时，集合A 中至多有一个元素.课时分层作业(三) 集合间的基本关系(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，则含有元素0的A 的子集的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8B [根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．] 2．已知集合B ＝{－1,1,4}，满足条件∅M ⊆B 的集合M 的个数为( )A ．3B ．6C ．7D ．8C [由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个，选C.]3．①0∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上面关系中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a ，b )}含一个元素(a ，b )，集合{(b ，a )}含一个元素(b ，a )，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]4．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A B B ．ABC ．A ＝BD ．A ⊆BB [∵B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y x＝1＝{(x ，y )|y ＝x ，且x ≠0}，∴B A .]5．已知A ＝{1,3，m ＋2}，B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则m ＝( ) A ．±1 B ．－1或2 C ．1D ．2D [由B ⊆A 知，m 2＝1或m 2＝m ＋2. 当m 2＝1时，m ＝±1，此时不满足集合元素的互异性；当m 2＝m ＋2时，m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，不满足集合元素的互异性，验证知m ＝2时成立．]二、填空题6．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围是________．{a |a ≥2} [如图，因为AB ，所以a ≥2，即a 的取值范围是{a |a ≥2}．]7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________．{(1,2)}，{(－3,4)} [{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．]8．设a ，b ∈R ，集合A ＝{1，a }，B ＝{x |x (x －a )(x －b )＝0}，若A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.0 1 [A ＝{1，a }，解方程x (x －a )(x －b )＝0， 得x ＝0或a 或b ，若A ＝B ，则a ＝0，b ＝1.] 三、解答题9．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .[解] (1)因为B ＝{5}，元素5是集合A ＝{5,3}中的元素， 集合A ＝{5,3}中除元素5外，还有元素3,3在集合B 中没有，所以B A .(2)当a ＝0时，由题意B ＝∅，又A ＝{3,5}，故B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，又A ＝{3,5}，B ⊆A ，此时1a ＝3或5，则有a ＝13或a ＝15.所以C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.10．已知集合A ＝{x |x <－1，或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，2a >a ＋3，即a >3.显然满足题意． (2)当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为{a |a <－4，或a >2}．1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1C [∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1. 又a ≠1，∴a ＝－1， ∴a2 017＋b2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.]2．若集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．MND ．以上均不对C [M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }．N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }．又2k ＋1，k ∈Z 为奇数，k ＋2，k ∈Z 为整数，所以MN .]3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________． 0或±1 [由题意得P ＝{－1,1}， 又因为Q ⊆P ，①若Q ＝∅，则a ＝0，此时满足Q ⊆P ；②若Q ≠∅，则Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝1a ，由题意知，1a ＝1或1a ＝－1，解得a ＝±1.综上可知，a 的取值是0或±1.]4．集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则a 的取值为________． 1或－18 [由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，当a ＝1时，满足题意．当a ≠1时，由Δ＝9＋8(a －1)＝0可得a ＝－18.]5．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； (2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．[解] 化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254(个)． (2)①当m －1≥2m ＋1，即m ≤－2时，B ＝∅⊆A ； ②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－2，2m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是 {m |－1≤m ≤2或m ≤－2}.课时分层作业(四) 并集、交集及其应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}A [∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∴A ∪B ＝{1,2,3,4}． 故选A.]2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，∴A ∩B ＝{2,4}． ∴A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.]3．已知集合A ＝{x |x ＋1<0}，B ＝{x |x －3<0}，那么集合A ∪B 等于( ) A ．{x |－1≤x <3} B ．{x |x <3} C ．{x |x <－1}D ．{x |x >3}B [A ＝{x |x ＋1<0}＝{x |x <－1}，B ＝{x |x －3<0}＝{x |x <3}．∴A ∪B ＝{x |x <3}，选B.]4．已知集合A ＝{1,3}，B ＝{1,2，m }，若A ∩B ＝{1,3}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{1,2,3}D ．{2,3}C [∵A ∩B ＝{1,3}，∴3∈B ，∴m ＝3， ∴B ＝{1,2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．]5．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2 D ．a ＝－2，b ＝－3B [∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B.]二、填空题6．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. {1,3} [A ∩B ＝{1,2,3}∩{y |y ＝2x －1，x ∈A } ＝{1,2,3}∩{1,3,5} ＝{1,3}．]7．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. R {x |－1<x ≤1，或4≤x <5} [借助数轴可知：A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |－1<x ≤1，或4≤x <5}．]8．设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，则a 的取值范围为________．{a |1＜a ≤3} [如图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3.] 三、解答题9．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{x |2x －1<3}，求A ∩B ，A ∪B .[解] 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，即A ＝{x |－2<x <3}．解不等式2x －1<3，得x <2，即B ＝{x |x <2}， 在数轴上分别表示集合A ，B ，如图所示．则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}． 10．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}． (1)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围． [解] (1)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }， 又A ∩B ＝∅，∴m ≤－2.(2)∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x <m }，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴m ≥4.1．若集合A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，则满足条件的实数x 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个B [∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验，当x ＝2或－2时满足题意，故选B.]2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，0，12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，－12C [当m ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝B ；当m ≠0时，x ＝1m ，要使A ∩B ＝B ，则1m ＝1或1m ＝2，即m ＝1或m ＝12.]3．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.6 [用数轴表示集合A 、B 如图所示．由A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.]4.设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，若S ∪T ＝R ，则实数a 应满足________．－3<a <－1 [在数轴上表示集合S ，T 如图所示．因为S ∪T ＝R ，由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.]5．已知A ＝{x |x >a }，B ＝{x |－2<x <2}，求A ∪B ，A ∩B . [解] 如图所示．当a <－2时，A ∪B ＝{x |x >a }，A ∩B ＝{x |－2<x <2}； 当－2≤a <2时，A ∪B ＝{x |x >－2}，A ∩B ＝{x |a <x <2}； 当a ≥2时，A ∪B ＝{x |－2<x <2，或x >a }，A ∩B ＝∅.课时分层作业(五) 补集及综合应用(建议用时：60分钟)一、选择题1．若全集U ＝{0,1,2,3}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个C [A ＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.]2．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}D [由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0，或x ≥1}，所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．] 3．若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R PC [由题意知∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，则∁R P ⊆Q ，故选C.] 4．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}A[由A＝{x|x＋1＞0}得∁R A＝{x|x≤－1}，又B＝{－2，－1,0,1}所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}，故选A.]5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)D[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．]二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}[∵∁U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由∁U A⊆B可知m<1.]7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝________.{x|－1≤x<3}[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴∁R B＝{x|x≥－1}，∴A∩(∁R B)＝{x|－1≤x<3}．]8．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是______．(填序号)①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.]三、解答题9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解] 法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解] 如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．1.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}A[阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.]2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≤1}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}C[由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.]3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．{x|－2≤x<1}[阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.{2}[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U ＝{1,2，－1}，A ＝{1，－1}，则∁U A ＝{2}．]5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x ≤2}，若B ∪(∁U A )＝R ，B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}，求集合B .[解] ∵A ＝{x |1≤x ≤2}， ∴∁U A ＝{x |x <1或x >2}．又B ∪(∁U A )＝R ，A ∪(∁U A )＝R ，可得A ⊆B . 而B ∩(∁U A )＝{x |0<x <1或2<x <3}， ∴{x |0<x <1或2<x <3}⊆B . 借助于数轴可得B ＝A ∪{x |0<x <1或2<x <3}＝{x |0<x <3}．课时分层作业(六) 函数的概念(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝3x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．1aB ．3aC ．aD ．3aD [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝3a ，故选D.] 2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．]4．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.] 5．下列四组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∵f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∴A 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B 中两个函数不表示同一函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∴C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∴D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由题意知3a －1>a ，则a >12.] 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. －56 [由f (t )＝6，得11＋t ＝6， 即t ＝－56.]8．设函数f (x )＝2x －1，g (x )＝3x ＋2，则f (2)＝________，g (2)＝________，f (g (2))＝________.3 8 15 [f (2)＝2×2－1＝3，g (2)＝3×2＋2＝8，f (g (2))＝f (8)＝2×8－1＝15.]三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4；(2)f (x )＝x ＋30|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域；(2)求f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值； (3)当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝38＋333.(3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1.1．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )A B C DD [A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．]2．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x |A [对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立． 对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立． 对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x＋1，不成立． 对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．]3．若函数f (x )＝ax 2－1，a ＞0，且f (f (－1))＝－1，则a ＝________，f (x )的值域为________．1 [－1，＋∞) [由f (x )＝ax 2－1得f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a (a －1)2－1，由f (f (－1))＝－1得a (a －1)2－1＝－1， ∴a (a －1)2＝0.又a ＞0，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2－1≥－1，即f (x )的值域为[－1，＋∞)．]4．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．(0,2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0,2)．] 5．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值；(2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值．[解] (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.课时分层作业(七) 函数的表示法(建议用时：60分钟)一、选择题1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4})D [题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2，1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x1 2 3f (x ) 2 3 0A ．3B ．2C ．1D ．0B [由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x－1 B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.]5．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f(0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3B [设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b －－a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.]二、填空题6．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________. －1 [由2x ＋1＝3得x ＝1，∴f (3)＝1－2＝－1.] 7．f (x )的图象如图所示，则f (x )的值域为________．[－4,3] [由函数的图象可知，f (x )的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．] 8．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．y ＝80x (x ＋10)，x ∈(0，＋∞) [由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0.]三、解答题9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)求函数f (x )的值域．[解] f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示：(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4， 则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＋1，求f (x )的解析式．[解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5. (2)因为f (x )为二次函数， 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.(3)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋3.∴f (x )＝x 2＋3.1．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．5 C ．1D ．8C [由3x ＋2＝2得x ＝0， 所以a ＝2×0＋1＝1.故选C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)D [由题意得y ＋2x ＝20， 所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5， 由y >0即20－2x >0得x <10， 所以5<x <10.故选D.]3．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，则f (x )的解析式为________．f (x )＝13x 2－2x [以－x 代替x 得： f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .]4．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________．－1 [因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x2－x ＋1，求得a ＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域．[解] (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋2＋2h]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．课时分层作业(八) 分段函数与映射(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5，x ≥4，x －2，x <4，则f (3)的值是( )A ．1B ．2C ．8D ．9A [f (3)＝3－2＝1.]2．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )A B C DC [当x >0时，f (x )＝x ＋xx＝x ＋1， 当x <0时，f (x )＝x －1，且x ≠0， 根据一次函数图象可知C 正确． 故选C.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]B [当0≤x ≤1时，0≤2x ≤2，即0≤f (x )≤2；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.综上可知f (x )的值域为[0,2]∪{3}．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x 2，0<x ≤3，若f (x )＝3，则x 的值是( )A. 3 B ．9 C ．－1或1D ．－3或 3A [依题意，若x ≤0，则x ＋2＝3，解得x ＝1，不合题意，舍去．若0<x ≤3，则x 2＝3，解得x ＝－3(舍去)或x ＝ 3.故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13.]二、填空题6．已知A ＝R ，B ＝{x |x ≥1}，映射f ：A →B ，且A 中元素x 与B 中元素y ＝x 2＋1对应，则当y ＝2时，x ＝________.±1 [由x 2＋1＝2得x ＝±1，故填±1.]7．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1[由题图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，即f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1，即f (x )＝－x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－x ，0≤x ≤1.]8．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝a ＋1与函数y ＝|x ＋2|的图象只有一个交点，则a 的值为________．－1 [函数y ＝|x ＋2|的图象如图所示：直线y ＝a ＋1与函数y ＝|x ＋2|的图象只有一个交点， 则有a ＋1＝0，解得a ＝－1.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值；(2)画出函数f (x )的图象． [解] (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4.所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：10．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕周界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4×x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x >10，f f x ＋5，x ≤10，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16A [f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24.]2．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )的映射下，B 中的元素为(4,2)对应的A 中元素为( )A ．(4,2)B ．(1,3)C ．(6,2)D ．(3,1)D [∵从A 到B 的映射f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，B 中元素为(4,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4x －y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴集合A 中的元素为(3,1)．]3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．－34 [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1，∴2(1－a )＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32(舍去)． 当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，∴－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.]4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．(－∞，1] [由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域为(－∞，1]．]5．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3 000元的部分3%超过3 000元至12 000元的部分10%超过12 000元至25 000元的部分20%(1)请写出y关于x的函数关系式；(2)有一职工八月份交纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？[解] (1)由题意，得y＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x≤5 000，x－5 000×3%，5 000<x≤8 000，90＋x－8 000×10%，8 000<x≤17 000，990＋x－17 000×20%，17 000<x≤30 000.(2)∵该职工八月份交纳了54元的税款，∴5 000<x≤8 000，(x－5 000)×3%＝54，解得x＝6 800.故这名职工八月份的工资是6 800元．课时分层作业(九) 函数的单调性(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C [函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．]2．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12D [函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.]3．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A ，y ＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B ，y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C ，y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D ，y ＝(2x －1)2在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]4．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)C [分别作出f (x )与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.]5．f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( ) A ．f (a )＜f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )C [因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.]二、填空题6．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2] [∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.]7．若函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． [－1，＋∞) [函数f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， 又f (x )在(a ，＋∞)上单调递减，所以a ≥－1.]8．已知函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34与f (a 2－a ＋1)的大小关系为________．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 [∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴由函数的单调性知f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.]三、解答题9．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f (x )＞f (8(x －2))．解：由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，8x －2>0，x >8x －2，解得2＜x ＜167.10．证明：函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－1x 1－x 22＋1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋1x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x 2－1x在区间(0，＋∞)上是增函数．。
高中数学 课时作业5 补集及综合应用 新人教A版必修1
课时作业5 补集及综合应用|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁U A等于( )A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}【解析】由题意知∁U A＝{2,4,7}，选C.【答案】 C2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.【答案】 D3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．A∩B B．A∪BC．B∩(∁U A) D．A∩(∁U B)【解析】由Venn图可知阴影部分为B∩(∁U A)．【答案】 C4．设全集U＝{1,2,3,4,5}，若A∩B＝{2}，(∁U A)∩B＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,5}，则下列结论中正确的是( )A．3∉A,3∉B B．3∉A,3∈BC．3∈A,3∉B D．3∈A,3∈B【解析】由Venn图可知，3∈A,3∉B，故选C.【答案】 C5．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若(∁R M)⊇(∁R N)，则k的取值范围是( )A．k≤2 B．k≥－1C．k>－1 D．k≥2【解析】由(∁R M)⊇(∁R N)可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x<3或x>4}，则ab＝________.【解析】因为A∪(∁U A)＝R，所以a＝3，b＝4，所以ab＝12.【答案】127．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.【解析】依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．【答案】{7,9}8．市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种都不订的有________户．【解析】由题意得两种报纸至少订阅一种的有334＋297－150＝481，从而两种都不订的有500－481＝19.【答案】19三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}．求(1)A∩B；(2) ∁U(A∪B)；(3)A∩(∁U B)．【解析】(1)因为A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|0<x≤3}＝{x|0<x<2}．(2)A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|0<x≤3}＝{x|－1<x≤3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－1或x>3}．(3)A∩(∁U B)＝{x|－1<x<2}∩{x|x>3或x≤0}＝{x|－1<x≤0}．10．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求(∁R A)∩B；(2)若A⊆C，求a的取值范围．【解析】(1)因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<3或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(2)因为C＝{x|x<a}，且A⊆C，如图所示，所以a≥7，所以a的取值范围是{a|a≥7}．|能力提升|(20分钟，40分)11．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅【解析】由A∪B＝{1,2,3}，B＝{1,2}，U＝{1,2,3,4}知A∩(∁U B)＝{3}．【答案】 A12．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且 (∁U A)∩B＝∅，则实数。
2021_2020学年高中数学课时分层作业5补集及综合应用(含解析)新人教A版必修1
课时分层作业(五) 补集及综合应用(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．假设全集U＝{0，1，2，3}且U A＝{2}，那么集合A的真子集共有( )A．3个B．5个C．7个D．8个C[A＝{0，1，3}，真子集有23－1＝7.]2．全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，那么集合U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}D[由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]3．集合A、B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，那么A∩U B 等于( )A．{3} B．{4}C．{3，4} D．A[∵U＝{1，2，3，4}，U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．又U B＝{3，4}，∴A∩U B＝{3}．]4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，那么图中阴影局部所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}A[阴影局部表示的集合为N∩(U M)＝{x|－2≤x<1}，应选A.]5．M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，假设N∩I M＝，那么M∪N等于( ) A．M B．NC．I D．A[因为N∩I M＝，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.]二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，假设U A⊆B，那么实数m的取值范围是________．{m|m<1} [∵U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由U A⊆B可知m<1.]7．集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，那么A∩(R B)＝________．{x|－1≤x<3} [∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴R B＝{x|x≥－1}，∴A∩(R B)＝{x|－1≤x<3}．]8．设全集U＝R，那么以下集合运算结果为R的是________．(填序号)①Z∪U N；②N∩U N；③U(U)；④U Q.①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪U N＝R，故填①.]三、解答题9．U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，(U A)∩(U B)，A∩(U B)，(U A)∪B.[解] 法一(直接法)：由易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，U A＝{1，2，6，7，8}，U B＝{1，2，3，5，6}，∴(U A)∩(U B)＝{1，2，6}，A∩(U B)＝{3，5}，(U A)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．法二(Venn图法)：画出Venn图，如下图，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，(U A)∩(U B)＝{1，2，6}，A∩(U B)＝{3，5}，(U A)∪B＝{1，2，4，6，7，8}．10．全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．[解] 如下图．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(U B)＝{x|2<x<3}．U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[等级过关练]1．全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是( )A．A∪B B．A∩BC．U(A∩B) D．U(A∪B)D[∵A∪B＝{1，3，4，5，6}，∴U(A∪B)＝{2，7}．]2．集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(R B)＝R，那么实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}C[由于A∪(R B)＝R，那么B⊆A，可知a C.]3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如下图，那么阴影局部所表示的集合为________．{x|－2≤x<1}[阴影局部所表示的集合为U(M∪N)＝(U M)∩(U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，那么U A＝________．{2} [假设x＝2，那么x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，那么U A＝{2}．]5．全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，假设B∪(U A)＝R，B∩(U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.[解] ∵A＝{x|1≤x≤2}，∴U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(U A)＝R，A∪(U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．。
高中数学 1.1第5课时 补集及综合应用课时作业 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题
课时作业(五) 补集及综合应用A组基础巩固1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：由题意可得∁U A＝{2,4}，所以∁U A的所有非空子集为{2}，{4}，{2,4}，共3个，故选B.答案：B2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：∵∁U A＝{0,4}．B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}，故选C.答案：C3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．(∁U(A∩C)∪B解析：阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.答案：A4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x＞4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}解析：由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.答案：D5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}解析：∵∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}，如图所示．∴由图示可得(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选A.答案：A6.2014·潍坊高一检测已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则( )A．(∁U M)⊇(∁U N) B．M⊆(∁U N)C．(∁U M)⊆(∁U N) D．M⊇(∁U N)解析：∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ，如图所示．由图可知，(∁U M )⊆(∁U N )，故选C.答案：C7．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合S 与T 都是U 的子集，满足S ∩T ＝{2}，(∁U S )∩T ＝{4}，(∁U S )∩(∁U T )＝{1,5}，则有( )A ．3∈S,3∈TB ．3∈S,3∈∁U TC ．3∈∁U S,3∈TD ．3∈∁U S,3∈∁U T解析：根据题意，画出Venn 图，如图所示． 由图可知，3∈S,3∈∁U T ，故选B.答案：B8．设U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则a ＋b ＝________. 解析：∵U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∴∁U A ＝{x |x ＜a 或x ＞b }．又∵∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，∴a ＝3，b ＝4，a ＋b ＝7.答案：79．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值X 围是__________．解析：∵A ＝{x |x ≥－m }，∴∁U A ＝{x |x ＜－m }．又∵(∁U A )∩B ＝∅，∴－m ≤－2，m ≥2.答案：m ≥210．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，某某数m 的取值X 围．解析：(1)∵m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}，∴A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x ＞3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3.综上可知，实数m 的取值X 围是m ＞3或m ≤－12. B 组 能力提升11.2015·某某一中高一期中设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＞2，或x ＜－2}，N ＝{x |x ≥3，或x ＜1}都是U ( )A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |x ＜2}解析：图中阴影部分表示的集合为N ∩(∁U M )＝{x |x ≥3或x ＜1}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ＜1}，故选A.答案：A12.2015·某某宜城市高一期末已知全集U ＝{2,4，a 2－a ＋1}，A ＝{a ＋4,4}，∁U A＝{7}，则a ＝__________.解析：由题意，得a 2－a ＋1＝7，即a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3.当a ＝3时，A ＝{7,4}，不合题意，舍去，故a ＝－2.答案：－213.2015·某某某某市高一期末已知集合A ＝{x |3≤x ＜6}，B ＝{x |2＜x ＜9}．(1)求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若C ⊆B ，某某数a 的取值的集合．解析：(1)显然A ∩B ＝{x |3≤x ＜6}．又B ＝{x |2＜x ＜9}，∴∁R B ＝{x |x ≤2，或x ≥9}．∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2,3≤x ＜6，或x ≥9}．(2)∵C ⊆B ，如图，应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2，a ＋1≤9，解得2≤a ≤8，∴a ∈[2,8]．14.2015·某某某某市高一期中设全集为R ，A ＝{x |3＜x ＜7}，B ＝{x |4＜x ＜10}．(1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)若C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值X 围．解析：(1)∵A ∪B ＝{x |3＜x ＜10}，∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3，或x ≥10}．又∵(∁R A )＝{x |x ≤3，或x ≥7}，∴(∁R A )∩B ＝{x |7≤x ＜10}．(2)∵A ∩C ＝A ，∴A ⊆C .∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋4≥7，a －4≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤7⇒3≤a ≤7. 15.附加题·选做已知全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x 2＋3x －4)＝0}，(1)若b ＝4时，存在集合M 使得A M B ，求出所有这样的集合M .(2)集合A ，B 是否能满足(∁U B )∩A ＝∅？若能，某某数b 的取值X 围；若不能，请说明理由．解析：B ＝{－4,1,2}，(1)当b ＝4时，A ＝∅.∴M ≠∅且M B .∴符合题意的集合M 有6个，分别是{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．(2)能．由题意，A ⊆B ，①若A ＝∅，则Δ＝(－3)2－4b ＝9－4b ＜0，∴b ＞94. ②若A ≠∅，则方程x 2－3x ＋b ＝0有实根．由根与系数的关系知，x 1＋x 2＝3，又A ⊆B ，∴A ＝{1,2}．∴由根与系数的关系得b ＝1×2＝2.∴综上，b ＝2或b ＞94.。
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册课时分层作业：1.3.1 并集与交集 Wor
姓名，年级：时间：课时分层作业（四）并集与交集(建议用时:40分钟）一、选择题1．设集合A＝{1，2，3｝,B＝｛2,3,4}，则A∪B＝（)A．｛1，2，3，4} B．{1，2,3}C．｛2,3，4} D．｛1,3,4｝A［∵A＝{1，2,3｝，B＝{2，3，4}，∴A∪B＝{1,2，3，4｝．故选A.]2．已知集合A＝{1，2,3，4},B＝｛2,4，6,8}，则A∩B中元素的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4B［∵A＝｛1，2，3,4｝，B＝{2,4,6，8｝，∴A∩B＝{2，4｝．∴A∩B中元素的个数为2。
故选B.］3．已知集合A＝{x｜x＋1<0｝，B＝{x｜x－3〈0}，那么集合A∪B 等于（)A．｛x|－1≤x〈3｝B．｛x｜x<3}C．{x|x〈－1} D．｛x|x〉3｝B[∵A＝{x|x＋1〈0｝＝{x|x<－1｝,B＝｛x｜x－3<0｝＝{x|x 〈3｝，∴A∪B＝｛x｜x<3｝，选B。
]4．已知集合A＝{1,3}，B＝{1,2，m｝，若A∩B＝｛1,3｝，则A∪B ＝（)A．{1,2｝B．｛1，3}C．｛1,2,3} D．｛2，3｝C［∵A∩B＝｛1，3｝，∴3∈B，∴m＝3，∴B＝{1，2，3｝,∴A∪B＝{1,2，3｝．］5．设集合A＝{(x，y)|y＝ax＋1｝,B＝｛（x,y）｜y＝x＋b｝,且A∩B ＝｛（2，5）｝，则( ）A．a＝3,b＝2 B．a＝2，b＝3C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3解得a＝2，b＝3, B[∵A∩B＝｛(2,5)},∴｛5＝2a＋1，5＝2＋b故选B.］二、填空题6．已知集合A＝｛1，2,3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，则A∩B ＝________。
{1，3} ［A∩B＝｛1,2,3｝∩{y|y＝2x－1，x∈A｝＝｛1，2，3}∩{1,3,5｝＝｛1，3}．]7．(一题两空)若集合A＝｛x｜－1<x<5},B＝{x｜x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________,A∩B＝________.R｛x｜－1<x≤1，或4≤x<5} ［借助数轴可知:A∪B＝R，A∩B＝｛x|－1〈x≤1，或4≤x<5｝．]8．已知集合A＝{x｜x≥5｝，集合B＝{x｜x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________.6［用数轴表示集合A,B如图所示．由A∩B＝{x｜5≤x≤6},得m ＝6。
2.1.1 倾斜角与斜率(分层练习)-2020-2021学年高二数学新教材配套练习(人教A版选择性必修第一册)
2.1.1 倾斜角与斜率 基 础 练巩固新知 夯实基础1．下列说法正确的是 ( )A ．一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C ．与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D ．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率2．若A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在 3．斜率为2的直线经过点A (3,5)、B (a,7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝34．经过两点A (2，1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是 ( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1 5．如果直线l 过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1 005，b )在l 上，那么b 的值为________．6．若过P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为0°，则a ＝________.7．已知直线l 的斜率的绝对值为3，则直线的倾斜角为________．8．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值．9.如图所示，菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，求菱形ABCD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．能力练综合应用核心素养10．在平面直角坐标系中，正∠ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为() A．－2 3 B．0C. 3 D．2311．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°] B．[90°，180°)C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]12.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°13.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k214.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．15．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∠R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为____________．16．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．17.已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线P A的倾斜角为60°.18．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．19．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．【参考答案】1. D 解析：选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．2. C 解析：由倾斜角的定义知直线AB 的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．3. C 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.4. A 解析：∠直线l 的倾斜角为锐角，∠斜率k ＝m －11－2＞0，∠m ＜1. 5. 2011 解析：∠直线l 过(－1，－1)，(2，5)，由直线的两点式方y －（－1）5－（－1）＝x －（－1）2－（－1），即y ＋16＝x ＋13， ∠y ＝2x ＋1.又点(1 005，b )在l 上，∠b ＝2×1 005＋1＝2 011.6. 1 解析 由题意得1＋a ＝2a ，∠a ＝1.7. 60°或120° 解析：由题意知斜率k ＝3或k ＝－3，所以倾斜角的大小为60°或120°.8. 解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1.∠C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1.∠a ＋b －1＝0. 当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 9. 解 直线AD ，BC 的倾斜角为60°，直线AB ，DC 的倾斜角为0°，直线AC 的倾斜角为30°，直线BD 的倾斜角为120°. k AD ＝k BC ＝3，k AB ＝k CD ＝0，k AC ＝33，k BD ＝－ 3. 10. B 解析：如图，易如k AB ＝3，k AC ＝－3，∠k AB ＋k AC ＝0.11. C 解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．12. D 解析 因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.13. D 解析 由图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，且l 2比l 3的倾斜角大．∠k 1<k 3<k 2.14. [0,2] 解析 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．15. [0°，45°]∠(90°，180°) 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∠α∠[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan<0时，90°<α<180°.∠α∠[0°，45°]∠(90°，180°)．16. 2 解析：∠当过A ，B ，C 三点的直线斜率不存在时，即1－a ＝a ＝0，无解．∠当过A ，B ，C 三点的直线斜率存在时，即k AB ＝2a －（－5）a －（1－a ）＝k BC ＝－a －2a 0－a ，即2a ＋52a －1＝3，解得a ＝2. 综上可知当A ，B ，C 三点共线时a 的值为2.17.解 ∠当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∠A (1,2)，∠k ＝0－2a －1＝－2a －1.又∠直线P A 的倾斜角为60°，∠tan 60°＝－2a －1.解得a ＝1－233. ∠点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1－233，0. ∠当点P 在y 轴上时，设点P (0，b )，同理可得b ＝2－3，∠点P 的坐标为(0,2－3)．18.解 (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－－1＝0，k AC ＝3＋1－12－－1＝33. (2)如图所示．k BC ＝3＋1－12－1＝ 3. 设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤33，3.19.解 如图所示，(1)直线l 过点A (3,0)时，即为直线MA ，倾斜角α1为最小值．∠tan α1＝0－－33－0＝1，∠α1＝45°. (2)直线l 过点B (－4,1)时，即为直线MB ，倾斜角α2为最大值，∠tan α2＝1－－3－4－0＝－1，∠α2＝135°. 所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1；当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1.所以直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．。
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课时分层作业(五) 补集及综合应用
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A．3个B．5个
C．7个D．8个
C[A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.]
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}
D[由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]
3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )
A．P⊆Q B．Q⊆P
C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P
C[由题意知∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，则∁R P⊆Q，故选C.]
4．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
A[由A＝{x|x＋1＞0}得∁R A＝{x|x≤－1}，又B＝{－2，－1,0,1}所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}，故选A.]
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( ) A．A∪B B．A∩B
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
D[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．]
二、填空题
6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}[∵∁U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，
∴由∁U A⊆B可知m<1.]
7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝________.
{x|－1≤x<3}[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，
∴∁R B＝{x|x≥－1}，
∴A∩(∁R B)＝{x|－1≤x<3}．]
8．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是______．(填序号)
①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.
①[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.]
三、解答题
9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁
U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.
[解] 法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，
∁U B＝{1,2,3,5,6}，
∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，
(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．
10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．
[解] 如图所示．
∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，
∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．
A∩B＝{x|－2<x≤2}，
A∪B＝{x|－3≤x<3}．
故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，
A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．
∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．
1.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，
则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}
A[阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.]
2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤1}B．{a|a<1}
C．{a|a≥2}D．{a|a>2}
C[由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.]
3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．
{x|－2≤x<1}[阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]
4．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.
{2}[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．
故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁U A＝{2}．]
5．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.
[解] ∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴∁U A＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.
而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，
∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.
借助于数轴
可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．。