9年级培优专题07 一元二次方程的应用
九年级培优训练：一元二次方程的应用
《一元二次方程的应用》一、学习目标1.能体验用一元二次方程解决实际问题的过程，体会现实世界的数量关系可以用数学模型进行刻画. 2。
能根据问题中的数量关系列出一元二次方程并求解、检验，规范写出解答过程．3。
有意识．．．的注意自己分析和解决问题的方法并提高自身探究的能力．二、学习重点与难点从(实际或数学的）问题情景中建立一元二次方程的数学模型,并掌握解决问题的全过程是重点;其中从问题情景中建立一元二次方程是学习的难点．．;突破难点的关键．．是体会分析问题的方法，找到题目中的基本关系．．．．（它决定题目的性质．．．．．．．．）以及相等关系．．．．．三、学习过程1、传播问题（树枝开叉）例1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？2、循环问题又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例3、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共比赛90场比赛,共有多少个队参加比赛？3、平均率问题例4、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％,该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？推广：（2010年山东聊城)2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率一实现，并且2011年全市国民生产总值要达到1726亿元．（1)求全市国民生产总值的年平均增第率（精确到1％）（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？（精确到1亿元）4、商品销售问题常用关系式：售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额）（a）给出关系式例5、某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件）与每件的销售价X （元）满足关系：P=100—2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件?（b）一个“+”一个“—"例6某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
九年级数学一元二次方程实际应用
九年级数学一元二次方程实际应用大家好！今天咱们来聊聊一个看似有点神秘的数学概念——一元二次方程。
不过别担心，咱们不是要搞什么复杂的公式，而是要看看这些方程是怎么在我们生活中派上用场的。
你可能会问，这玩意儿跟咱们的日常生活有什么关系呢？其实，关系大着呢！一起来瞧瞧吧！1. 一元二次方程的基础知识首先，咱们得了解一下什么是一元二次方程。
简单来说，一元二次方程就是形如( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中 ( a )、( b )、和 ( c ) 是常数，( x ) 是我们要找的变量。
听起来有点儿抽象？别急，我们用实际的例子来解释一下。
1.1. 生活中的例子举个简单的例子吧。
如果你家有一个小花园，你想种一排花。
假设你种的花每行需要的空间是固定的，而且你还希望每行的花之间有一定的间隔。
假设花间距是2米，而你想要种6排花。
你想知道需要多长的空间？这时候，一元二次方程就可以帮你计算出这个长度了。
1.2. 小故事比如说，小明决定在他家花园里种花。
他量了一下花园的长度和宽度，然后想要把花园分成几个小区域，每个区域种一种花。
经过一番计算，他发现这个问题可以用一元二次方程来解决。
经过几次试错和计算，小明终于找到了一种合适的种植方案，这样既美观又实用。
2. 一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程不仅仅是在数学课上出现，它们其实在很多实际问题中都能找到身影。
下面我们来看几个实际应用的例子。
2.1. 解决问题想象一下，你有一个游泳池，你想在池子里放一个大的浮排。
如果浮排的面积是固定的，你又想知道池子里最大能放多大的浮排。
这里的“浮排面积”就是我们的一元二次方程中的一个参数，通过计算，你就能得到浮排的最大尺寸了。
2.2. 购物打折还有一个常见的应用场景，就是购物打折。
比如说，你要买一件原价200元的衣服，现在商店搞了一个“买一送一”的活动，但你只想买一件。
假设你能用一元二次方程计算打折后的实际花费，那么你就能准确知道自己能省多少钱。
专题7 一元二次方程及其应用(课件+练习)
知识回顾 教学目
标
3. 一元二次方程根的判别式： b²-4ac 关于x的一元二次方程的根的判别式为__________.
b2 4ac 0
方程有两个 不相等 的实
数根
判别式与 根的关系
b 4ac 0 方程有两个 相等 的实数 根
2
b 4ac 0 方程 没有 实数根
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利 于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解题指导 教学目
标
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售
量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时
的销售单价即可确定几折．
n a (1 m ) b . ___________
（下降）率问题 __________; a(1 m)n b 当m为平均下降率时，
利润=售价-成本 营销问题 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额
面积问题
解题指导 教学目
标
一元二次方程的有关概念 1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ B ） A．x²-4=0 C．x²+2x+1=0 B ．x ² + D．3x²+
标
知识回顾 教学目
标
（3）公式法：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
2 b b 4ac 2 的求根公式是( x1,2 (b 4ac 0) ). 2a
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解 这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方 程的解.21·cn·jy·com
九年级一元二次方程的实际应用非常经典全面
一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。
（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。
突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
例题2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。
若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
人教版九年级上册 一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义
一元二次方程的定义，解法和应用培优讲义一、主要知识点回顾1．一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程，它的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系 数，b 叫做 系数，c 叫做 。
2．解一元二次方程的方法（1）直接开平方法：如果一元二次方程能化成2x p =或()()20≥mx n p p +=的形式，那么可以得到x =± 。
或mx n +=± 的形式，从而通过解一元一次方程得到一元二次方程的两根。
（2）配方法：先将原方程变为 2()x m n +=的形式，再两边直接开平方。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．； ④把原方程变为2()x m n +=的形式； ⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
（3）公式法：求根公式为=x （ ≥0）（4）因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3．一元二次方程的四种解法的灵活运用：对于方程20ax bx c ++=（a ≠0，240b ac -≥）（1）若b ＝0，即20ax c +=，则宜用 法解；（2）若c ＝0，即20ax bx +=，则宜用 法解；（3）若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
①方程化为标准形式ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）后，左边易于因式分解的，用因式分解法。
②若方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，a ＝1、b 是偶数，可以考虑用配方法。
③如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的系数是无理数，而且因式分解困难，配方法也很麻烦的，用公式法。
北师大版-数学-九年级上册-小专题七 一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用类型1 增长率问题1．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了( )A．2x% B．1＋2x%C．(1＋x%)·x% D．(2＋x%)·x%2．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，则这两年的绿地面积的平均增长率是( )A．10% B．11.5% C．12% D．21%3．随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米5 000元降至每平方米4 050元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为________．4．(珠海中考)白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．(1)求该镇2012年至2014年绿地面积的年平均增长率；(2)若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？类型2 几何问题5．如图，矩形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为68 cm2，那么矩形ABCD的面积是( )A．21 cm2 B．16 cm2C．24 cm2 D．9 cm26．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为( ) A．5米 B．3米C．2米 D．2米或5米7．如图是我市将要开发的一块长方形的土地，长为x km，宽为3 km，建筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园，若已知丙地的面积为2 km2，则x的值为________．8．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙保留1 m宽的通道，当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m2?类型3 营销问题9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x元，则所列方程为____________________．10．(东海县校级月考)某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－x210＋710x＋710，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x为________万元．11．(淮安中考)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至多少元？12．毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？类型4 动点问题13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B 同时开始移动，点P的速度为1 cm/秒，点Q的速度为2 cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是( )A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟14．在矩形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：BQ＝________，PB＝________(用含t的代数式表示)；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5 cm?(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26 cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．D 2.A 3.10%4.(1)设2012年至2014年绿地面积的年平均增长率为x，依题意有57.5(x＋1)2＝82.8.解得x1＝－2.2(舍去)，x2＝0.2＝20%.答：2012年至2014年绿地面积的年平均增长率为20%.(2)2015年的绿地面积为82.8×(0.2＋1)＝99.36＜100，所以2015年的绿地面积不能达到100公顷．5.B6.C7.4或58.设矩形温室的宽为x m ，则长为2x m ，根据题意，得(x －2)(2x －4)＝288，解得x 1＝－10(不合题意，舍去)，x 2＝14.∴2x＝2×14＝28.答：当矩形温室的长为28 m ，宽为14 m 时，蔬菜种植区域的面积为288 m 2.9.(40－x)(20＋2x)＝1 20010.311.(1)(100＋200x)(2)设这种水果每斤的售价降价x 元，则(2－x)(100＋200x)＝300，解得x 1＝1，x 2＝12. 当x ＝1时，每天的销量为300斤；当x ＝12时，每天的销量为200斤． 因为为保证每天至少售出260斤，所以x 2＝12不合题意，应舍去．此时每斤的售价为4－1＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至3元．12.(1)设学生纪念品的成本为x 元，根据题意，得50x ＋10(x ＋8)＝440.解得x ＝6.∴x＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x 元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x －6)(400＋100x)＋(4－6)＝2 500，整理，得x 2－2x ＋1＝0.解得x 1＝x 2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．13.B14.(1)2t cm (5－t)cm(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2.当t ＝2秒时，PQ 的长度等于5 cm.(3)存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.理由如下：矩形ABCD 的面积是5×6＝30(cm 2)，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2，则△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2)，即(5－t)·2t·12＝4.解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2.。
九年级一元二次方程的实际应用非常经典全面
一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (设每轮传染中平均一个人传染了x 个人)突破题 1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题 1. 某商场于第一年年初投入50 万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。
(1)如果第一年的年获利率为P,那么第一年年终的总资金是多少万元?(年获利率=年利润/年初投入资金X100%)(2)如果第二年的年获利率多10 个百分点，第二年年终的总资金为66 万元，求第一年的年获利率。
突破题 1.某种商品的进价为 a 元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题 2.某商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率。
例题 2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 〃提高到12.1 〃，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题 3. 受全球金融危机的影响，2008 年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题 4. 某商场将每件进价为80 元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100 件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1 元，其销量可增加10 件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元。
若商场经营该商品一天要获利润2160 元，则每件商品应降价多少元？例题 5. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少20 千克。
初三数学培优——一元二次方程应用题
一元二次方程应用题数字问题1 两个数的和为8，积为9.75，求这两个数。
2两个连续偶数的积是168,则这两个偶数是__________.3 .一个两位数，个位数字与十位数字之和为5，把个位数字与十位数字对调，所得的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数。
增长（降低）率问题1，（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程．2.（莱芜）某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为____万元．3，（2010年兰州）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是A．128)%1(1682=+a B．128)%1(1682=-aC．128)%21(168=-a D．128)%1(1682=-a4．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．5，(2010台州市)某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为▲．6，某木器厂今年一月份生产课桌500张，因管理不善，2月份的产量减少了10%，从3月份起加强了管理，产量逐月上升，4月份的产量达到了648张，求工厂3月份和4月份的平均增长率。
7，某城市按该市的“九五”国民经济发展规划要求，1997年的社会总产值要比1995年增长21%，求平均每年增长的百分率.8，某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）9. 小明将勤工俭学挣得的100元钱，按一年定期存入“少儿银行”，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的50元和应得的利息又全部按一年定期存入，若存款的年利率保持不变，这样到期后可得本金和利息共66元，求这种存款的年利率。
人教版九年级上册数学补课讲义第7讲 一元二次方程的应用(二)
第7讲一元二次方程的应用(二)（四）销售问题售价—进价=利润=进价×利润率一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额总销售额—总成本=总利润例1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价x(元)满2，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？足关系：P=100-x每天要售出这种商品多少件？例2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x170 。
只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30x，P=x2（１）当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？（２）若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？例 3.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（五）动态几何问题：例1、已知：如图3-9-3所示，在△ABC 中，cm 7cm,5,90==︒=∠BC AB B ,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.（1）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）如果Q P ,分别从B A ,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？（3）在（1）中，△PQB 的面积能否等于7cm 2?说明理由.（六）数字问题数值与数字的关系:例如2013=3101100010002+⨯+⨯+⨯例1.有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008，求调换位置后得到的两位数。
九年级一元二次方程的实际应用非常经典全面
一元二次方程的实际应用一.传播问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？（设每轮传染中平均一个人传染了x个人）突破题1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？那第三轮又将有多少人繁殖？二.增长率问题例题1. 某商场于第一年年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营。
（1）如果第一年的年获利率为P，那么第一年年终的总资金是多少万元?（年获利率=年利润/年初投入资金X100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率。
突破题1.某种商品的进价为a元，商店将价格提高20%销售，经过一段时间，又以九折的价格促销，这时这种商品的价格是？突破题2.某商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额比九月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率。
例题 2.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10㎡提高到12.1㎡，若每年的年增长率相同，则年增长率为？例题3.受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、第四季度的销售额平均下降的百分率为？例题4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件。
后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件。
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元。
若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？例题5.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
一元二次方程的应用—数字与图文问题(专项培优训练)—2023-2024九年级上册(人教版)(解析版)
一元二次方程的应用—数字与图文问题（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟试卷难度:较难试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题2分）（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，则原两位数是（）A．35B．53C．62D．35或53【答案】D【分析】设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据新数与原数之积为1855，列出方程，解方程即可．【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为()8x−，根据题意得：()() 1081081855x x x x+−−+=⎡⎤⎣⎦，解得：13x=或25x=，∴这个两位数为35或53，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系列出方程．2．（本题2分）（2022秋·湖北·九年级统考期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（）A．2B．4C．5D．6【答案】B【分析】设个位上的数字为a，由题意可分别表示出十位、百位及千位上的数字，再由“共生数”可得到方程，解方程即可．【详解】设个位上的数字为a，由题意得：十位上的数字为112a−、百位及千位上的数字分别为3a+与a，由此数是“共生数”，则得方程：12312a a a a⎛⎫⋅=++−⎪⎝⎭，解方程得：4a=或1a=−（舍去），即这个“共生数”四位数的个位数字为4．故选：B．【点睛】本题是新定义问题，考查了一元二次方程的应用，理解新定义的含义并正确列出方程是关键．3．（本题2分）（2023·广东广州·模拟预测）某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（）A．15B．18C．21D．35【答案】C【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有()12x x−种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案．【详解】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有()12x x−种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得：()12x x−÷(24÷8)=70解得：x=21，即有21名护士．故选C．【点睛】本题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出x人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．【答案】D【分析】本题首先用含x的式子表示某数的一半，继而表示某数的平方的3倍，最后按数量关系列方程即可．【详解】由已知得：x 的一半为12x ，x 的平方的3倍为23x ， 则有：211324x x −=．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理清题意，按数量关系列式即可． 5．（本题2分）（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）修建一个面积为 100 平方米的矩形花园，它的长比宽多 10 米，设宽为 x 米，可列方程为 （ ） A ．()10100x x −=B ．()2210100x x +−=C ．()2210100x x ++=D ．()10100x x += 【答案】D【分析】设宽为x 米，则长为()10x +米，根据矩形花园的面积为100平方米，即可由矩形面积公式得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设宽为x 米，则长为()10x +米， 依题意得：()10100x x +=．故选：D ．键． 6．（本题2分）（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，原正方形铁皮的面积为224x x +，则无盖箱子的外表面积为（ ）A ．1B ．4C ．6D ．9【答案】D 【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为4x +，从而得到原正方形铁皮的面积为()24x +，即()22424x x x =++，解得1x =，从而得到无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，即可得到答案． 【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x ，∴原正方形铁皮的边长为4x +，∴原正方形铁皮的面积为()24x +， 又正方形铁皮的面积为224x x +，∴()22424x x x =++， 解得1x =，∴无盖箱子的外表面积为142189x +⨯=+=，故选：D ．【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．A ．有一种围法B ．有两种围法C ．不能围成菜园D ．无法确定有几种围法【答案】A 【分析】设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设矩形ABCD 的边AC 为x 米，则宽DC 为()402x −米，根据题意得：()402194x x −=，即：2240194x x −+=，解得：110x =，210x =而40218x −≤，∴11x ≥，∴10x =∴只有一种围法，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程．A ．()2120080604816x x x −+−=B ．()()4030816x x −−=C ．()()402302816x x −−=D ．()8023021200816x x x +−=− 【答案】B【分析】根据要使草坪的面积为2816m ，列一元二次方程，进一步判断即可．【详解】解：可列方程()()402302816x x −−=， 故C 选项不符合题意，变形后，可得()2120080604816x x x −+−=或()8023021200816x x x +−=−，故A 选项不符合题意，D 选项不符合题意，()()4030816x x −−=不能得到，故B 选项符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键． 9．（本题2分）（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x 尺，则依题意所列方程为（ ）（1丈10==10尺，1尺10==10寸）A ．222( 6.8)10x x ++=B ．()2226.8100x x +−= C ．()2226.810x x +−=D ．2226.8100x += 【答案】A 【分析】设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出关于x 的方程，此题得解．【详解】解：设门宽为x 尺，则门的高度为(8)6.x +尺，依题意得：222( 6.8)10x x ++=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．10．（本题2分）（2020秋·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm 2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm 2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）A．6cm2B．7 cm2C．12cm2D．19 cm2【答案】B【分析】设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得出关于x、y的方程组，利用(②-①)÷3可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y值，进而得出x的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可得出答案．【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：()()16348163411xy xxy y⎧=+−+⎪⎨=+−+⎪⎩①②，（②-①）÷3，得：y-x+1=0，∴x=y+1③．将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，整理，得：y2-2y-15=0，解得：y1=5，y2=-3（舍去），∴x=6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.11．（本题2分）（2023·全国·九年级假期作业）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为2551m．则道路的宽为是．【答案】1米【分析】设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，解方程即可求解． 【详解】解：设道路的宽为x ．由题意可得：()()2030551x x −−=，整理得：250490x x −+=，解得：11x =，249x =（不符合题意，舍去）．∴道路的宽为1米．故答案为：1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．【答案】8m /8米【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合住房墙的长度为12m ，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．【详解】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为m x 时，羊圈面积为280m ，此时所围矩形与墙平行的一边长为()2512x +−米，由题意得：()251280x x +−=，整理得：213400x x −+=，解得：5x =或8x =，当5x =时，2512251251612x +−=+−⨯=>，不符合题意，舍去；当8x =时，2512251281012x +−=+−⨯=<，符合题意，∴当所围矩形与墙垂直的一边长为8m 时，羊圈面积为280m ， 故答案为：8m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（本题2分）（2023秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，则道路的宽为 米．【答案】2【分析】将同样宽的两条互相垂直的道路平移至矩形地面的最右边与最下面，然后直接列出面积方程求解即可．【详解】设修建的道路宽为x ，则(22)(17)300x x −−=，239374300x x −+=(2)(34)0x x −−=解得2x =或37因为17x <，所以2x =故答案为：2【点睛】此题考查一元二次方程的图形面积问题，解题关键是设出未知数，根据数量关系式直接列方程． 14．（本题2分）（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，是由三个边长分别为6，9，x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是 ．【答案】3或6【分析】延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，可得四边形ADBC 是矩形，依据ABD △与ABC 面积相等，线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，即可得到四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，进而得到x 的值．【详解】解：如图所示，延长AE BG ，交于点C ，延长AN BH ，交于点D ，则四边形ADBC 是矩形，∴ABD △与ABC 面积相等，又∵线段AB 将三个正方形分成面积相等的两部分，∴四边形CEFG 与四边形DHMN 的面积相等，∴6(96)(9)x x ⨯−=−，解得3x =或6，故答案为：3或6．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，矩形的性质，正方形的性质，题中的辅助线的引入是难点． 15．（本题2分）（2022秋·九年级单元测试）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原数的积为736，则原数为 ．【答案】23或32【分析】可以设原来两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，然后可表示出两个两位数，然后根据它们的乘积为736列一元二次方程，然后解方程即可．【详解】解：设原两位数的十位数字为x ，则个位数字为()5x −，依题意得：[][]10(5)10(5)736x x x x +−−+=，整理得：2560x x −+=，解得：12x =，2=3x ，当=2x 时，10(5)102(52)23x x +−=⨯+−=，当=3x 时，10(5)103(53)32x x +−=⨯+−=，∴原两位数为23或32，故答案为：23或32．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意设出合适的未知数列出方程并能够准确解出方程． 16．（本题2分）（2022秋·九年级课时练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x ，列出关于x 的方程： .【答案】223200x x −−=【分析】用x 表示出十位上数，即可表示出这个两位数，再根据题目条件列出方程化简即可.【详解】∵个位上的数字为x ，个位上的数字比十位上的数字小4∴十位上的数字为4x +所以这个两位数为()1041140++=+x x x∵个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4∴()22411404++=+−x x x化简得223200x x −−=故答案为223200x x −−=.【点睛】本题考查一元二次方程的应用——数字问题，解题的关键是正确的表示出这个两位数，从而建立方程. 17．（本题2分）（2021·全国·九年级专题练习）如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出33⨯个位置相邻的数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为 ．【答案】144【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可．【详解】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x ，则最大数为x+16，根据题意得出：x （x+16）=192，解得：x1=8，x2=-24（不合题意舍去），故最小的三个数为：8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．故答案为144.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用、数字变化规律以及一元二次方程的解法，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．18．（本题2分）（2022秋·全国·九年级专题练习）有一个两位数，个位数字比十位数字大2，且个位数字与十位数字的平方和等于20，这个两位数是 ．【答案】24【分析】由个位上的数字与十位上的数字的平方和等于20，设未知数代入求得整数解即可．【详解】解：设十位上的数字为x ，的个位上的数字为()2x +，可列方程为()22220x x ++=， 解得12x =，24x =−（舍去），24x \+=，10424x ∴+=，故答案为24．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握题中的等量关系列出方程是本题的解题关键． 19．（本题2分）（2023·全国·九年级专题练习）如图是一块矩形菜地()(),m ,m ABCD AB a AD b ==，面积为()2m s ．现将边AB 增加1m ．（1）如图1，若5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，则b 的值是 ．（2）如图2，若边AD 增加2m ，有且只有一个a 的值，使得到的矩形面积为()22m s ，则s 的值是 ．【答案】 6 6+6【分析】（1）根据面积的不变性，列式计算即可．（2）根据面积，建立分式方程，转化为a 一元二次方程，判别式为零计算即可．【详解】（1）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()211m a b +−， ∵5a =，边AD 减少1m ，得到的矩形面积不变，∴()()5115b b +−=，解得6b =，故答案为：6．（2）根据题意，得，起始长方形的面积为()2m s ab =，变化后长方形的面积为()()()212m a b ++， ∴()()212s a b =++，s b a =，∴()212s s a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴221s s a a =++，∴()2220a s a s +−+=，∵有且只有一个a 的值，∴()22Δ4280b ac s s =−=−−=，∴21240s s −+=，解得1266s s =+=−故答案为：6+【点睛】本题考查了图形的面积变化，一元二次方程的应用，正确转化为一元二次方程是解题的关键． 将BCP 沿BP 【答案】125或245AD ＞DC 和AD ＜DC 两种情况讨论，当AD ＞DC 时，点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．根据翻折的性质，有58PC PF x ==，38DP x =．即在Rt PDF 中，用勾股定理表示出DF ，再在Rt ABF 中，利用勾股定理得2221(3)32x x +−=，解方程即可得解；当AD ＜DC 时，由翻折变换可知四边形BCPF 是正方形，即有PC=BC ，则CD 易求．【详解】解：如图1所示，AD ＞DC 时，当点F 落在AD 边上，则设CD 的长度为x ．由翻折变化可知，58PC PF x ==，5388DP x x x =−=．在Rt PDF 中，由勾股定理得，4182DF x x ===， ∴132AF x =−． 根据翻折可知BF=BC ，在Rt ABF 中，由勾股定理得，222AB AF BF +=，即2221(3)32x x +−=， 解得125x =，或0x =（舍去）； 如图2所示，AD ＜DC 时，当点F 落在AB 边上，由翻折变换可知，四边形BCPF 是正方形， ∴538x =， 解得245x =．故CD 的长度为：125或245． 故答案为：125或245．【点睛】本题考查了几何图形的翻折、勾股定理、正方形的判定与性质以及一元二次方程的应用等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．21．（本题6分）（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）有一块长32cm 、宽14cm 的矩形铁皮．(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为2280cm 的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长；(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为2180cm 的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．【答案】(1)2cm(2)能，3180cm【分析】（1）设截去的小正方形的边长为cm x ，则长方体盒子的底的长为()322cm x −，宽为()142cm x −．根据题意列出方程就可以求出其解．（2）设左边的小正方形的边长为cm x ，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能．【详解】（1）设小正方形的边长为x cm ．得： ()()322142280x x −−=，解得：121x =（舍去），22x =．答：裁去的正方形的边长为2cm ．（2）能；设小正方形的边长为y cm ．得：()3221421802y y −⨯−=，解得：122y =（舍去），21y =． 体积为()31801180cm ⨯=【点睛】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题．22．（本题6分）（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料，鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为90平方米？【答案】鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【分析】设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()282x −米，根据矩形的面积公式列方程求解，即可得到答案．【详解】解：设AB 的长度为x 米，则CD 的长度为()1x −米，BC 的长度为()()271282x x x −−−=−米， 根据题意得：()28290x x −=，解得：15=x ，29x =，当5x =时，2821812x −=>，不合题意，舍去；当9x =时，28210x −=，即9AB =，10BC =，答：鸡舍的边长AB 、BC 分别是9米，10米．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积公式，一元二次方程的解法，根据题目的等量关系正确列方程是解题关键．23．（本题8分）（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．(1)若围成的花圃面积为40平方米时，求BC 的长；(2)围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC 的长；如果不能，请说明理由．【答案】(1)BC 的长为4米(2)不能围成面积为75平方米的花圃．理由见解析【分析】（1）设BC 的长度为x 米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可．【详解】（1）解：设BC 的长度为x 米，则AB 的长度为242x−米， 根据题意得：24402x x −⋅=，整理得：224800x x −+=，解得：124,20x x ==．∵2015>，∴220x =舍去．答：BC 的长为4米．（2）不能围成，理由如下： 当24752x x −⋅=时，整理得，2241500x x −+=()22441150240∆=−−⨯⨯=−<∴该方程无实数根， ∴不能围成面积为75平方米的花圃．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 24．（本题8分）（2023·全国·九年级专题练习）阅读材料，回答下列问题：反序数：有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单的说，就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是21，456的反序数是654．用方程知识解决问题：若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之积为1300，求这个两位数．【答案】52【分析】设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据这个两位数与其反序数之积为1300，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为()3x +，根据题意得：()()1031031300x x x x ++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()()10301031300x x x x ++++=，即()()11301131300x x ++=，∴212133033901300x x x +++=，∴23100x x +−=解得2x =或5x =−（舍去），∴()()1031023252x x ++=⨯++=，∴这个两位数为52．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【答案】(1)240b ac −=，不是(2)1mn =(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m 、n 互为倒数，又2m n +=−得出1m =−，1n =−，求出b a c =+，a c =，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵10010k a b c =++是喜鹊数，∴24b ac =，即240b ac −=；∵2416=，4218⨯⨯=，168≠，∴241不是喜鹊数；故答案为：240b ac −=；不是；（2）∵x m =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，x n =是一元二次方程20cx bx a ++=的一个根，∴20am bm c ++=，20cn bn a ++=，将20cn bn a ++=两边同除以2n 得：2110a b c n n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴将m 、1n 看成是方程20ax bx c ++=的两个根，∵240b ac −=，∴方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根， ∴1m n =，即1mn =；故答案为：1mn =；（3）∵2m n +=−，1mn =，∴1m =−，1n =−，∴0a b c −+=，∴b a c =+，∵24b ac =，∴()24+=a c ac ，解得：a c =，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484；故答案为：121，242，363，484．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． 26．（本题8分）（2021秋·江苏苏州·九年级统考期中）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形……按此规律排列下去，解答下列问题：（1）第5个图案中黑色三角形的个数有 个．（2）第n 个图案中黑色三角形的个数能是50个吗？如果能，求出n 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明道理．【答案】（1）15；（2）不能，理由见详解．【分析】（1）第5个图案中黑色三角形的个数有（1+2+3+4+5）个；（2）根据图形的变化规律总结出第n 个图形黑色三角的个数为1+12n n （），即可求解．【详解】解：（1）由图形的变化规律知，第5个图案中黑色三角形的个数有：1+2+3+4+5=15，故答案是：15；（2）不能，理由如下：第n 个图案中黑三角的个数为1+2+3+4+...+n=1+12n n （），根据题意，得1+1=502n n （），解得：n =不是整数，不合题意，所以第n 个图案中黑色三角形的个数不能是50个．【点睛】本题主要考查图形的变化规律和一元二次方程的应用，归纳出第n 个图形黑色三角的个数为是1+12n n （）解题的关键．27．（本题8分）（2022秋·全国·九年级专题练习）发现：四个连续的整数的积加上1是一个整数的平方． 验证：(1)34561⨯⨯⨯+的结果是哪个数的平方？(2)设四个连续的整数分别为1,,1,2n n n n −++，试证明他们的积加上1是一个整数的平方；延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少．【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19的平方；(2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则另外两个整数分别为x -1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第三个数的平方”，列出方程求解即可．【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192，即3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)设这四个连续整数依次为：n -1，n ，n+1，n+2，则(n -1)n(n+1)(n+2)+1，=[(n -1)(n+2)][n(n+1)]+1=(n2+n -2)(n2+n)+1=(n2+n)2-2(n2+n)+1=(n2+n -1)2．故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方；(3)设中间的整数是x ，则第一个是x -1，第三个是x+1，根据题意得(x -1)2+x2=(x+1)2解之得x1=4，x2=0，则x -1=3，x+1=5，或x -1=-1，x+1=1，x=0，答：这三个整数分别是3、4、5、0、1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整数的平方是正确解答本题的关键． 28．（本题8分）（2022秋·福建三明·九年级统考期中）有一块长为a 米，宽为b 米的矩形场地，计划在该场地上修筑互相垂直的宽都为2米的纵横小路（阴影部分），余下的场地建成草坪．(1)如图1，在矩形场地上修筑两条的纵横小路．①请写出两条小路的面积之和S =______（用含a 、b 的代数式表示）；②若:2:1a b =，且草坪的总面积为2312m ，求原来矩形场地的长与宽各为多少米？(2)如图2，在矩形场地上修筑多条的纵横小路，其中m 条水平方向的小路，n 条竖直方向的小路（m n ，为常数），若2814a b ==，，且草坪的总面积为120平方米，求m n +的值．【答案】(1)①224a b +−②长为28米，宽为14米(2)8m n +=或10【分析】（1）①②根据两条小路的面积之和=两个长方形的面积−重叠的正方形的面积表示即可；②根据草坪的总面积为2312m ，列一元二次方程，求解即可；（2）根据草坪的总面积为120平方米，列方程求解，再进一步求出符合条件的m 和n 的值，即可求出m n +的值．【详解】（1）解：①根据题意，两条小路的面积之和()224S a b =+−平方米， 故答案为：()224a b +−平方米；②根据题意，得()()22312a b −−=，又∵:2:1a b =， 2a b ∴=，∴原方程化为()()222312b b −−=，解得111b =−（不符合题意，舍去），214=b ，228a b ∴==（米），答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米；（2）解：根据题意，得()()282142120n m −−=，整理得()()14730n m −−=， m ，n 为正整数，14n ∴−是正整数且是30的约数，7m −是正整数且是30的约数，当145n −=时，76m −=，9n ∴=，1m =，10m n ∴+=；当146n −=时，75m −=，8n ∴=，2m =，10m n ∴+=；当1410n −=时，73m −=，4n ∴=，4m =，8m n ∴+=，综上所述，8m n +=或10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．。
9年级培优专题-一元二次方程的应用
专题07 一元二次方程的应用例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点.（1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BC AO【例4】 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点E 在直角边AC 上（点E 与A ，C 两点均不重合）.（1）若点F 在斜边AB 上，且EF 平分Rt △ABC 的周长，设AE ＝x ，试用x 的代数式表示S AEF ∆；（2）若点F 在折线ABC 上移动，试问：是否存在直线EF 将Rt △ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，则求出AE 的长；若不存在直线EF ，请说明理由.解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF ，将线段的计算转化为解方程.【例5】 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________.3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是________.4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ）A. 11B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ）A .215+B . 215- C . 1 D .2CA第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？（2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。
九年级数学一元二次方程的应用
九年级数学一元二次方程的应用1.一元二次方程在现实生活中有很多应用场景。
The application of quadratic equations in real life is wide-ranging.2.例如，用一元二次方程可以求解抛物线运动问题。
For example, quadratic equations can be used to solve problems related to parabolic motion.3.抛物线运动问题包括投掷物体的轨迹和飞行时间等。
Parabolic motion problems include the trajectory and flight time of a thrown object.4.一架飞机从高空投弹到地面可以用一元二次方程来描述。
The descent of a bomb from a high-flying plane can be described using a quadratic equation.5.一元二次方程也可以用来解决金钱相关的问题。
Quadratic equations can also be used to solve problems involving money.6.例如，计算投资增长和贷款利率等。
For example, calculating investment growth and loan interest rates.7.另外，一元二次方程还可以应用在工程领域。
In addition, quadratic equations can be applied in the field of engineering.8.工程问题中可包括建筑物的结构和桥梁的设计等。
Engineering problems may include the structure of buildings and the design of bridges.9.一些物理问题也可以通过一元二次方程进行建模。
2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用
2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用2016年人教版九年级上册：一元二次方程的实际应用一、传播问题在解决传播问题时，我们需要按照以下步骤进行：审题、设未知数、列方程、解方程、检验根是否符合实际情况和作答。
例如，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，我们可以求出每轮传染中平均一个人传染了几个人。
同样，对于某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，我们可以求出每个支干长出多少小分支。
另外，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，我们可以分析出每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑，并且可以预测在病毒得不到有效控制的情况下，3轮感染后被感染的电脑是否会超过700台。
二、循环赛制问题在解决循环赛制问题时，我们需要根据比赛的场次和每两队之间比赛的次数来求出参赛队伍的数量。
例如，参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，我们可以计算出共有多少个队参加比赛。
同样，如果每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，我们也可以求出参赛队伍的数量。
此外，对于生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，我们可以计算出这个小组共有多少名同学。
同样地，如果一个小组共送贺卡72张，我们也可以求出这个小组共有多少人。
三、平均增长率问题在解决平均增长率问题时，我们需要根据变化前后的数量和时间来求出年平均增长率。
例如，青山村种的水稻2013年平均每公顷产7200公斤，2015年平均每公顷产8450公斤，我们可以计算出水稻每公顷产量的年平均增长率。
同样，果农XXX原计划以每千克4元的单价销售某种水果，但由于部分果农盲目扩大种植，造成该水果代销，XXX为了加快销售，减少损失，经过两次下调价格后，以每千克2.56元的单价销售。
我们可以求出平均每次下调价格的百分率，并且可以计算出XXX共获得销售款多少元。
北师大版九上数学7、一元二次方程的应用(一)
（★★★）6、工艺商场按标价销售某种工艺品时，标价为200元时，每件可获利45元，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，可使每天获得的利润达到4900元？
（★★★）10、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出 了如图对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
课后小结
组长签字
3、某村家用电脑总量，2007年比2005年增长69％，若设平均每年的增长率为x,依题意得方程：______________________;
三、应用题
（★★营和科学种田，1997年粮食产量上升到72吨．求平均每年增长的百分率．
（★★）2、某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%，商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到了135.2万元，求四，五两月平均增长率．
7、某电视机厂计划两年后产量为现在的2倍，如果每年增长率为x，则可得 方程（）
A =3，B 1+x=2 C 1+2x=2 D =2
（★★）二、填空题
1、某校去年对实验器材的投资为2万元预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 ，则可列方程：。
2、某印刷厂今年一季度印刷了50万册书，第三季度印刷了72万册书，如果每个季度的增长率相同，设为x,依题意可得方程__________________;
九年级奥数：一元二次方程的应用
九年级奥数：一元二次方程的应用方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多问题可转化为解一元二次方程，研究一元二次方程根的性质而获解，一元二次方程的应用现阶段主要有以下两个方面：1．求代数式的值；2．列二次方程解应用题．列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是认真审题、分析数量关系，恰当设未知数，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．问题解决例1 若，则x +y 的值为____________．~例2 自然数n 满足这样的n 的个数是（ ）． 一 A ．1 8．2 C ．3 D ．4例3 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．-例4 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产28,1422=++=++x xy y y xy x 16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例5 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F 在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；：（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．数学冲浪知识技能广场1．小萍要在一幅长90厘米、宽40厘米的风景画的四周外围，镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图（如图），使风景画的面积是整个挂图面积的54％．设金色纸边的宽为x 厘米，根据题意所列方程为（）．^2．某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（ ）． A ．8.5％ B ．9％。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用
第4讲一元二次方程的应用
在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、
探索者，而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。
——苏霍姆林斯基
知识纵横
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。
许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
一元二次方程的应用有以下几个方面：
(1) 求代数式的值；
(2)列二次方程解应用题；
(3)解相关几何问题。
例题求解
(A、)2,3(B，C是坐标轴上一点。
若ABC是直【例1】在平面直角坐标系中有点)2,2
角三角形，则满足条件的点C的坐标是_________。
（山东省竞赛题）思路点拨C点可在x轴也可能在y轴，又ABC
Rt直角顶点未确定，故解本例的关键是
分类讨论。
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专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图1P'AAQ能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的飞机票价格应是________.4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ） A .215+ B . 215- C . 1 D .2CA第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。
若运送这批计算机用这两种型号的汽车，其中B 型汽车比A 型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按这种方案需A ，B 两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？ （四川省中考试题）9. 某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户只需交10元用电费；如果超过A 度，则这个月除了仍需交10元用电费外，超过部分还需按每度100A元交费.根据上表的数据，电厂规定的A （度）为多少？ （苏州市中考试题）10. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. 请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ （广东省中考试题）11. 某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元. 设第二个月单价降低x 元.（2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？（南京市中考试题）B 级1. 如图，梯子AB 斜靠在墙上，∠ACB ＝90°，AB ＝5m ，BC ＝4m ，当点B 下滑到点B ´时点A 向左平移到点A ´，设BB ´＝x ，当x ＝_______时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等.（徐州市中考试题）第2题图第1题图CBl第3题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，CA ＝8cm ，动点P 从点C 出发，以2cm /s 的速度沿CA ，AB 移到点B ，则C 点出发________秒时，可使ABC BCP S S ∆∆=41. 3. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。
事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。
”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试题）4. 一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级每人买1支，则只能按零售价付款，需用（12-m ）元（m 为正整数，且12-m ＞100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（12-m ）元.（1）设这个学校初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是____________；②铅笔的零售价每支应为____________元，批发价每支应为__________元.（用含x ，m ，n 的代数式表示）（2）若按批发价每购买15支，比按零售价每购15支少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名学生，并确定m 的值.5. 在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走5公里，而比第三辆车多走7.5公里；第二辆车到达终点比第一辆车迟3分钟，而比第三辆车早到5分钟.假设它们在路上都没停过.（1）比赛的路程是多少公里？（2）第二辆车的速度是每小时多少公里？（荆州市竞赛试题）6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分. 已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，参加此次比赛的选手共有多少人？（天津市竞赛试题）7. 如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积地一半，且花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？8.小明有5张人民币，面值合计20元.（1）小明的5张人民币的面值分别是______元、______元、______元、______元、______元.（2）小明来到水果店，称了x公斤苹果（x是整数），按标价应付y元，正好等于小明那5张人民币中的2张面值之和；这时果筐里还剩6公斤苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那么连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。