多重积分的应用(面积,转动惯量,质心)知识讲解
重积分的应用
2π
π
a
a5 π 3 = ρ ⋅ 2π ⋅ ∫ sin ϕ dϕ 5 0 a5 4 = ρ ⋅ 2π ⋅ ⋅ 5 3
8πρ a 5 = . 15
21
思考题
1. 求由曲面 x + y = az 和 z = 2a −
2 2
x2 + y2
(a > 0) 所围立体的表面积.
2. 设平面薄板由
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = 1+⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
2 2
a a2 − x 2 − y2
.
因这函数在闭区域 D 上无界,不能直接应用公式.
4
先取积分区域 D1 : x 2 + y 2 ≤ b 2 (0 < b < a ).
A1 = ∫∫
D1
a a −x −y
2 2 2
dxdy = ∫∫
2 D
= μ ∫ sin θ dθ ∫
2 0
4
π
a
D
0
∫
π
0
sin θ dθ
2
a π πμ a 4 =μ ⋅ = . 4 2 8
18
空间物体的转动惯量
立体对于 x 轴的转动惯量
I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y, z )dV .
Ω
立体对于 y 轴的转动惯量
I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρ ( x , y, z )dV .
4 sin θ
56 π 4 sin θ dθ = ∫ 9π 0 56 π 3 − 4cos 2θ + cos 4θ = dθ ∫ 9π 0 8 56 3π 7 = . = ⋅ 3 9π 8
高数大一知识点总结重积分
高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。
本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。
一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。
与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。
重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。
根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。
在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。
重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。
这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。
二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。
通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。
2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。
在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。
在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。
高等数学中的多重积分计算技巧
多重积分在高等数学中是一个重要的概念和计算技巧。
它涉及到对多元函数在多个变量上的积分，是对一元函数积分的扩展和推广。
在计算多重积分时，可以运用一些技巧来简化计算和提高效率。
首先，需要了解多重积分的概念和性质。
多重积分可以分为定积分和不定积分。
定积分是指在一定的范围内对给定的函数进行积分。
不定积分是指对给定的函数进行积分，但没有具体的范围和上下限。
对于定积分，可以利用变量代换来简化计算。
变量代换即将积分变量换成其他变量，使得原来的积分变得更容易求解。
常用的变量代换方法有直角坐标系与极坐标系的转换、直角坐标系与球坐标系的转换、直角坐标系与柱坐标系的转换等。
通过适当选择不同的坐标系，可以消去一些变量，从而简化积分的计算。
对于不定积分，可以通过分部积分法、换元积分法等技巧进行计算。
分部积分法适用于需要对一个函数的乘积进行积分的情况，可以将乘积的积分变成两个函数的积分相减。
换元积分法可以通过适当的变量代换将原来的不定积分转化为一个更容易求解的形式。
另外，多重积分中还可以使用对称性等性质来简化计算。
如果被积函数具有对称性，可以将积分区域进行适当的对称分割，从而减少多重积分的计算步骤。
此外，还可以利用积分的可加性性质，将多重积分拆解成多个单重积分的和。
在实际应用中，多重积分经常用于计算物体的体积、质量、重心等物理量。
在计算这些物理量时，可以根据物体的几何形状选择适当的坐标系，并利用多重积分技巧进行求解。
总之，高等数学中的多重积分是一个重要的概念和计算技巧。
在计算多重积分时，可以利用变量代换、分部积分法、换元积分法等技巧进行简化和提高效率。
通过合理选择坐标系和利用对称性等性质，可以进一步简化计算。
多重积分在物理和工程等领域中有广泛的应用，可以用来求解物体的体积、质量、重心等物理量。
重积分的几何应用2
2.质点系的情形
设xOy平面上有 n个质点( x1 , y1 ),L, ( xn , yn ), 质量 分别为 m1 ,L, mn .
y
x
M ( x, y )
质点系关于 x轴的静矩 质点系关于 y轴的静矩
n
M x = ∑ m i yi . M y = ∑ mi xi .
i =1 i =1 n
n
y
O
O
x
此小区域绕x轴旋转一周得环状立体 ,
体积近似为 dV = 2 πydσ , 故旋转体体积 V = ∫∫ 2 πydσ = 2 π ∫∫ ydσ
D D
由于形心的纵坐标 y=
y
D
( x, y)
∫∫ ydσ D
A
dσ x , y ) (
y
物理背景 v = ωr
解
先求形心.
区域面积 A = bh,
y
h
( x, y)
建立坐标系如图
O
b
x
因为矩形板面密度为常 数ρ , b h 根据对称性知形心坐标为 x = , y = , 2 2
将坐标系平移如图,
则对 u 轴和 v 轴的转动惯量分别为 : I u = ρ ∫∫ v 2dudv
D
v
y
h
O′ ( x , y )
重积分的应用
一、质心 二、转动惯量 三、引力
一、质心
1.一个质点的情形
质点的质量为 m .
质点关于 x轴的静矩是 质点关于 y轴的静矩是
y
M ( x, y)
x
O
y
x
M x = my . M y = mx .
2.质点系的情形
设xOy平面上有 n个质点( x1 , y1 ),L, ( xn , yn ), 质量 分别为 m1 ,L, mn .
4重积分的应用
x0 )
d
v
Fy
G
(x,
y,
z)( y r3
y0 )
d
v
Fz
G
(x,
y, z)(z r3
z0) d
v
其中: r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点
的引力分量, 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为
解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占
z l
域为
则
O
(x2 y2 ) dxdydz (用球坐标) x
y
( r 2 sin2 cos2 r 2 sin2 sin2 )
r 2 sin drd d
2π
d
π sin3 d
d Fy
G
(x,
y, z)( y r3
y0 ) dv
d
Fz
G
(x,
y, z)(z r3
z0 ) dv
z
dv
dF r
O P0
x
y
其中 r (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ,G 为引力常数
因此引力分量为
Fx
G
(x,
y, z)(x r3
a
2
)
3
2
x
Fz
G a
D
d
(
x
2
y
高数10-4重积分的应用
取 D1 : x 2 y 2 b2 (0 b a )
A1
D1
2 b d a a dd a d dxdy 2 2 0 0 2 2 2 a2 2 a D1 a x y
2 2 1 b d a a 2 a 2 2 2 a 2 0 a2 2
D1 ： x 2 y 2 ax ( x , y 0) 曲面方程 z a x y , a z x , z 2 z 2 2 2 2 , 1 x y a x y x a2 x2 y2
2 2 2
D1
A 4 1 z x z y dxdy 4
在D上偏 导数连续
z
S
n
M
d cos d A
n f x , f y ,1 cos
d A
1 1 f x ( x, y) f y ( x, y)
2 2
o x
n
d y
z
dA M d
2 2 1 f x ( x , y ) f y ( x , y ) d (曲面S的面积元素)
xy
d
0
2
a
0
1 2 2 2a 2 a 4 d a
a 2 (6 2 5 5 1). 6
§10.4 重积分的应用
一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 1.平面薄片的质心 四、引力 2.空间物体的质心
y
10/55
1.平面薄片的质心 (1)
xM
D
y
y ( x , y )d
D
x 面密度 ( x , y )
多重积分的方法总结
多重积分的方法总结引言：高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。
那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。
（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ）这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号.同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。
此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。
平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D={}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。
多重积分计算方法小结
多重积分计算方法小结多重积分是微积分中的一个重要概念，它是对具有多个自变量的函数进行求积的方法。
在实际问题中，往往需要对多个变量间的关系进行综合考虑，多重积分就提供了一个有效的工具。
多重积分可以分为二重积分和三重积分两种情况，分别对应于二维平面和三维空间中的函数求积。
在计算多重积分时，我们常常需要利用几何图形、物理问题以及正交曲线坐标系等概念和方法。
下面我将对多重积分的计算方法进行小结。
首先，我们来看二重积分的计算方法。
二重积分可以看作是对一个平面区域上的函数进行求积。
二重积分的计算可以分为直角坐标系和极坐标系两种情况。
在直角坐标系下，我们常常利用矩形分割和极限的思想来进行计算。
具体而言，我们将整个积分区域分成若干个小矩形，然后计算每个小矩形上函数值的积累，最后将所有小矩形的积累相加，得到整个区域上函数的积分值。
这种方法又称为“矩形分割法”或“Darboux和”方法。
在极坐标系下，我们常常利用极坐标的性质来简化计算。
具体而言，我们将整个积分区域表示成极坐标下的简单几何形状，如直线段、圆、扇形等，然后利用极坐标变换和对称性来计算积分值。
这种方法又称为“极坐标变换法”。
除了这两种基本方法外，还可以利用换元积分法、对偶积分法和奇偶性等方法来简化计算。
换元积分法是通过坐标变换将积分区域变换成更简单的形式，然后进行计算。
对偶积分法是通过对倒数进行积分变换，将二重积分转化为两个单变量积分，更便于计算。
奇偶性是指若被积函数在积分区域上的对称性，利用奇偶性可以简化计算过程。
接下来我们来看三重积分的计算方法。
三重积分可以看作是对一个空间区域上的函数进行求积。
三重积分的计算可以分为直角坐标系和柱面坐标系两种情况。
在直角坐标系下，我们常常利用分割和极限的思想来进行计算。
具体而言，我们将整个积分区域分成若干个小立方体，然后计算每个小立方体上函数值的积累，最后将所有小立方体的积累相加，得到整个区域上函数的积分值。
这种方法又称为“立方体分割法”。
重积分的知识点总结
重积分的知识点总结一、多重积分的概念1. 多元函数多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$z=f(x,y)$，其中$x$、$y$是自变量，$z$是因变量。
2. 二重积分二重积分是对二元函数在平面区域上的积分，其定义如下：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sig ma_i$其中$D$为平面区域，$f(x,y)$为在$D$上的连续函数，$\Delta\sigma_i$为区域$D$上第$i$个小面积，$\xi_i$、$\eta_i$为$(x,y)$的取值点。
$\lambda$是面积的划分趋于0时的极限。
3. 三重积分三重积分是对三元函数在空间区域上的积分，其定义如下：$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_ i)\Delta V_i$其中$\Omega$为空间区域，$f(x,y,z)$为在$\Omega$上的连续函数，$\Delta V_i$为区域$\Omega$上第$i$个小体积，$\xi_i$、$\eta_i$、$\zeta_i$为$(x,y,z)$的取值点。
$\lambda$是体积的划分趋于0时的极限。
4. 一般情况下的重积分对于$n$元函数在$n$维空间上的积分通常可以表示为：$\int...\int_Df(x_1,x_2,...,x_n)dV$其中$D$为空间区域，$f(x_1,x_2,...,x_n)$为在$D$上的连续函数，积分区域为$D$，$dV$为该区域上的$n$维体积元。
二、多重积分的性质1. 多重积分的可加性重积分在可加性方面与定积分类似，即若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续，则有：$\iint_Df(x,y)\,d\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\,d\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\,d\sigma$其中$D=D_1\cup D_2$，$D_1$、$D_2$为$D$的互不相交子区域。
重积分应用PPT课件
01
球面坐标系的建立
以原点为球心，以r为半径的球面将空间划分为若干个球面区域。
02
球面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为球面坐标系下的二重积分，再对r、θ和φ进行积分。
03
典型例题解析
通过具体例题展示球面坐标系下三重积分的计算过程。
典型例题解析
01
02
03
04
例题1
计算球体体积（直角坐标系下 ）。
典型例题解析
例题一
求解二重积分$int_{0}^{1}int_{0}^{1}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$， 分别采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并比较各方 法的精度和计算量。
例题二
求解二重积分$int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}sin(x+y)dxdy$，分别 采用矩形法、梯形法和Simpson法进行求解，并分析各方法的 适用性。
03
三重积分计算方法
直角坐标系下三重积分计算
投影法
将三重积分投影到三个坐标面上， 分别计算每个投影区域上的二重
积分，再相加得到最终结果。
截面法
通过平行于坐标面的平面截取积 分区域，对每个截面上的二重积 分进行计算，再对截面进行积分
得到最终结果。
先一后二法
先对其中一个变量进行积分，将 三重积分转化为二重积分，再对
剩余两个变量进行积分。
柱面坐标系下三重积分计算
1 2
柱面坐标系的建立
以原点为顶点，以z轴为对称轴的圆柱面将空间 划分为若干个柱面区域。
柱面坐标系下三重积分的计算
将三重积分转化为柱面坐标系下的二重积分，再 对r和θ进行积分。
3
典型例题解析
重积分应用案例分析
重积分应用案例分析数学中的重积分是一种重要的数学工具，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
本文将通过详细分析几个重积分应用案例，展示其在实际问题中的应用价值。
1. 案例一：物体质心计算假设有一个有界闭区域D，其边界为曲线C。
我们需要确定该区域D的质心坐标。
根据数学原理，我们可以通过计算重心的坐标来确定该物体的质心坐标。
首先，将区域D分成无限小的面积元素dA，并确定每个面积元素的质量密度函数ρ(x,y)。
然后，通过重积分来计算质心坐标：（x_c, y_c) = ( (1/M) ∫∫_D x *ρ(x,y) dA , (1/M) ∫∫_D y * ρ(x,y) dA )其中，M表示整个区域D的质量。
通过这个方法，我们可以准确计算物体的质心坐标，对于设计和工程应用具有重要意义。
2. 案例二：电磁场计算重积分在电磁场计算中也有广泛应用。
例如，在计算电场的引力势能时，重积分可以帮助我们确定电荷分布所产生的电场的总能量。
假设在有界闭区域D内有一个电荷分布ρ(x,y)，我们需要计算该电荷分布所产生的电场的总能量。
根据电场的定义，此能量可以通过计算电场强度E(x,y)的平方并乘以ρ(x,y)在整个区域D上的积分来获得：U = ∫∫_D E^2 (x,y) ρ(x,y) dA这个重积分可以帮助我们准确计算电荷分布在给定区域内的总能量，并在电磁学研究和应用中发挥重要作用。
3. 案例三：流体动力学分析在流体动力学中，重积分可以用于分析流体的流量、速度和压力等参数。
例如，在计算流体通过给定曲面的流量时，我们可以利用重积分来获得准确的结果。
假设有一个曲面S，我们需要计算流体通过该曲面的流量。
首先，将曲面S分成无限小的面积元素dA，并确定每个面积元素上的流体速度向量V(x,y,z)。
然后，通过重积分计算流体通过整个曲面S的流量：Q = ∬_S V(x,y,z) · dA这种流量计算方法可以应用于水力学、气象学和航空航天等领域，对于分析流体系统的性能和行为非常有效。
重积分的若干应用实例——以三重积分为例
（ ，），， ）ｄ
＝ ＿ — — 一
．
』ｆ『ｐ（ ，ｚ）ｄ
特别 地 ，当物体 的密度均匀时 ，即 Ｐ为常数 时 ，则有
ｄＶ
＝ｄＶ
，ｙ 一＿＿ ，。
‘
例 ４ 密度 均匀椭 球体 上半球 的质心．
解 设椭球体不等式为 ＋告 ＋ ≤１．
由对 称 性 知 ｘ ＝０， ＝ ０，又 因为 ｐ为 常 数 ，所 以
故 ．，＝ ｄ ＝ｐ ｄ 。ｓ ｒｄｒ
＝ ｐ ｃｏｓ２
Ｒ
ｒ
呼 ＝ ．
二 、结 语 通过 以上讨论 ，我们 了解到 三重 积分 是 我们 研究 数 学 问题 的一个有 力工具 ，在 今后 的学 习和 日常生 活 中，我们需 对三重积 分做 进一步 全面 的理解 和认 识 ，让 三重 积分 这 个
＝ ｆ『Ｉ 。＋Ｙ ＋Ｚ２ｄｘｄｙｄｚ，
２＋ｔ ２ ≤ ２
应用球坐标变换 ＝｛（ｒ， ， ） ÷丌≤０≤下１竹，
Ｌ
ｌ
二
０≤ ≤百，０≤ｒ≤２ｓｉｎ￣ｃｏｓ０｝．
于是，Ｍ＝ ｄ ｒｄ ｒ２ｓｉｎ ｄｒ＝了８亿
（二 ）利 用三重积 分求 曲面面积 引理 设 Ｄ为可求面积的平面有界区域 ，函数 ＿厂（ ，Ｙ） 在 Ｄ具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ，则 由方 程 ＝，（ ，ｙ），（ ，Ｙ）
所 以 △Ｊｓ＝
ｄｙ＝Ｊ２－ａＤ ＝ 亿
（三 ）利 用三Ｄ重积 分求体积
例 ３ Ｖ是 由 曲面 ２（ｘ ＋ｙ２） ＝ｚ与 ＝４为 界 面 的 区
域 ．袁 Ｖ 的 体 积 ．
解 由题 意 可 知 ， ： ｄＶ，
在 ｘｙ平面上的投影 区域 Ｄ为 ＋ｙ。≤２，经过柱 坐标 变 换 ，区 域 可 表 示 为
二重积分与多重积分及其应用总结
二重积分与多重积分及其应用总结知识要点。
（1） 二重积分（2） 三重积分（3） 多重积分的应用。
（4） 三重积分的总结。
一、二重积分(1) 直角坐标系下的二重积分。
（重点）直角坐标系下的二重积分，积分区域为二维平面。
⎰⎰=Ddxdy y x f I ),(。
这种形式的积分要让x 、y 取遍所有D 上的点（Ω为积分区域）。
所以要先让x 为常量，取遍y ，然后在上面的基础上再取遍x 。
或者先让y 为常量，取遍x ，然后在上面的基础上再取遍y 。
（点动成线，线动成面。
与这类似。
）针对不同的题目选择不同的方式。
而这其中的关键就是要找对积分区域D 和正确的目标函数表达式),(y x f 。
（2） 极坐标系下的二重积分。
（理解，计算是重点）极坐标系下的二重积分，积分区域同样为二维平面。
⎰⎰=Dd d f I θθ ),(。
这种形式的积分要先取长度 的线，然后变角度，就像是扫地一样。
或者是角度确定，变长度 一样就像是水波的扩散一样。
两种不同的方式一样可以取遍积分区域D 上的所有点。
但是单独拿出来的很少理解即可。
（3）直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分之间的转换（重点）。
积分区域D 为圆或圆的一部分是，直角坐标下的积分有时候很难计算，但是化为极坐标会很简单。
这就需要极坐标与直角坐标的相互转换。
转换公式如下：ϑcos =x ϑsin =y ⎰⎰⎰⎰=DD d d f dxdy y x f ϑϑϑ )sin ,cos (),(额略长。
不过这是省掉积分上下限的。
如果在圆域内（尤其是那种圆的一部分），在直角坐标下积分的上下限异常麻烦，而且计算量相当之大。
但在极坐标系下将很容易。
3/16.二、三重积分(1) 直角坐标系下的三重积分。
（重点）。
直角坐标系下的三重积分，积分区域为三维立体。
⎰⎰⎰=Ddxdydz z y x f I ),,( 。
计算方式与二重积分无异。
就是先固定两个动一个。
再固定原先固定的一个，动另一个。
多重积分计算方法小结
摘要多重积分的形式是各种各样的，掌握其计算方法及技巧是解答问题的关键。
本文主要从直角坐标、坐标变换、对称性、分部积分法、转化成曲线积分或曲面积分等方面讨论了二重积分及三重积分的几种计算方法和技巧，并分别举例说明。
此篇论文较为全面地总结了多重积分的计算方法，而且剖析了各种方法在运用中的常见错误，希望能够给初学者提供一定的借鉴作用。
关键词：二重积分；三重积分；计算方法AbstractThe form of multiple integral is various. Mastering calculation methods is the key to solve problems. This paper mainly discusses several calculation methods of double integral and triple integral, from every aspects such as rectangular coordinates, coordinate transformation, symmetry,integration by parts, converting curvilinear integral or surface integral and so on, meanwhile giving some examples respectively. This paper more comprehensively summarizes the calculation methods of multiple integral, and analyzes the common errors in the use of various methods, hoping to provide certain reference for beginners.Keywords:double integral; triple integral; calculation methods目录摘要 .....................................................I ABSTRACT ................................................... I I1. 引言 (1)2. 二重积分的计算方法 (1)2.1直角坐标系下二重积分的计算 (1)2.2用变量变换法计算二重积分 (6)2.3用极坐标计算二重积分 (8)2.4对称性在二重积分计算中的应用 (13)2.5用分部积分法计算二重积分 (15)2.6曲线积分在二重积分计算中的应用 (16)3. 三重积分的计算方法 (17)3.1直角坐标系下三重积分的计算 (17)3.2用变量变换法计算三重积分 (22)3.3用柱面坐标计算三重积分 (22)3.4用球坐标计算三重积分 (23)3.5用广义球坐标计算三重积分 (25)3.6对称性在三重积分计算中的应用 (26)3.7用分部积分法计算三重积分 (28)3.8曲面积分在三重积分计算中的应用 (30)4. 结束语 (31)参考文献 (32)致谢 (33)多重积分计算方法小结1. 引言积分学在古希腊时期初步出现，是微积分学的一个分支,它的发展经历了一个漫长的时期。
多重积分方法总结
摘要：二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．关键词：二重积分三重积分英文题目Summary of multiple integral methodAbstract:The double integral and triple integral concepts are have the real geometry or physical background, definition is divided into four steps with the method of structure are given, finally shown as "Riemann and" limit. So has the limits of the integral multiple basic properties, such as uniqueness, linear properties. Definition of the concept of a given accurate description method, and from the definition from pure logic can be reviews the concept has property and calculation method. Keyword: The double integral triple integral1.引言：重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分． 2.研究问题及成果 2.1．二重积分的计算 1. 在直角坐标下： (a) X-型区域几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)by x ay x Df x y dxdy dx f x y dy =⎰⎰⎰⎰．(b) Y-型区域几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：21()()(,)(,)dx y cx y Df x y dxdy dx f x y dx =⎰⎰⎰⎰．2. 在极坐标下：几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤；直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：2211()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r DDf x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．3. 二重积分的换元法：(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =⎧'∈⎨=⎩ 将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且(,)0(,)x y J u v ∂=≠∂, (,)u v D '∈ 则有(,)((,),(,))DD f x y dxdy f x u v y u v J dudv '=⎰⎰⎰⎰．二． 三重积分的计算三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理．1. 在直角坐标下：空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;三重积分化为三次积分：21(,)(,)(,,)(,,)xyz x y z x y VD f x y z dV dxdy f x y z dz =⎰⎰⎰⎰⎰⎰（所谓“二套一”的形式）2211()(,)()(,)(,,)by x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为X －型）2211()(,)()(,)(,,)dx y z x y c x y z x y dy dx f x y z dz =⎰⎰⎰（xy D 为Y －型）注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：(,,)()zdcVD f x y z dV dz f z dxdy =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （所谓“一套二”的形式）()zdD c f z S dz =⎰其中zD S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．2. 在柱坐标下：柱坐标与直角坐标的关系：cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=⎧⎪=≤<∞≤≤-∞<<+∞⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；被积区域的集合表示：121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：(,,)(cos ,sin ,)VVf x y z dV f r r z rdrd dzθθθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222111()(,)()(,)(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=⎰⎰⎰．3. 在球坐标下：球坐标与直角坐标的关系：sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=≤<∞≤≤≤≤⎨⎪=⎩空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）被积区域的集合表示：121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θϕθθθϕϕϕθϕθϕ=≤≤≤≤≤≤；直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin VVf x y z dV f r r r r drd d ϕθϕθθϕθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=212(,)20(,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr ππθϕθϕθϕϕθϕθθϕ⎰⎰⎰．如球心在原点半径为a 的球形域下：220(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin aVf x y z dV d d f r r r r dr ππθϕϕθϕθθϕ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．4. 三重积分的换元法：(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换(,,):(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =⎧⎪'=∈⎨⎪=⎩将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且(,,)0(,,)x y z J u v w ∂=≠∂, (,)u v V '∈则有(,,)((,,),(,,),(,,))VVf x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =⎰⎰⎰⎰⎰⎰．三．重积分的几何和物理应用 1. 几何应用a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈DA =ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩()()uvuvu u u v v v u u u D D vvvi j kA x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++⨯++=⎰⎰⎰⎰注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．3.结束语：以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．参考文献1.华东师范大学数学系数学分析高等教育出版社2.陈传璋复旦第二版数学分析高等教育出版社。