差分格式
有限元素法有限体积法有限差分法有限容积法的区别
1.1 概念有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
1.2 差分格式（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
1.3 构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2. FEM2.1 概述有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
2.2 原理有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学、土力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
复习第三章求解导热问题的有限差分法
n Tm Tw
（n＝0，1，2，…）
⑥式
12
第一节 差分格式 将④，⑤，⑥式联立，得完整差分格式：
n n n Ti n1 f Ti ( 1 2 f ) T f T 1 i i 1
⑦式
（n＝1，2，…；i＝2，3，…，m－1）
Ti 0 T0 (i 2,3,...,m 1)
内容 （1）显式差分格式 1、差分格式 （2）完整隐式差分格式 （3）六点差分格式 （1）内节点法 （2）外节点法
2、直接差分法
1
第一节 差分格式 一 . 概述 1. 差分格式 实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法 中它们也必须差分化。 因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而 且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组 成的代数方程组。又称为差分格式。 2. 非稳态导热方程的完整的差分格式（步骤）
二. 显式差分格式
Ti n1 Ti n t
a
n n Ti n 2 T T 1 i i 1
( x ) 2
即显式差分方程。 ④式 由②式离散得：Ti 0
T0 (i 2,3,, m 1) ⑤式
11
第一节 差分格式 注意边界节点在初始时刻的温度值应由边界条件来提供。 由③式所示的边界条件在离散区域内表示为给定边 界节点在时刻t＝0，1，2，…的温度值，即：
t ( ) 2
(T
n 1 i 1
2Ti
n1
n 1
T
n1 i 1
n 1 i 1
)
t 令f ( 2 ，则： )
Ti Ti
n
f (T
n1 i 1
2Ti
T
)
差分方程和差分方程组的求解方法
差分方程和差分方程组的求解方法差分方程(difference equation)是一类离散时间的数学方程，它的形式是$$f(x_{n}) = g(x_{n-1},x_{n-2},\dots,x_{n-k})$$其中，$f$ 和 $g$ 是给定的函数，$x_n$ 表示第 $n$ 个时间点上的值，$k$ 是差分方程的阶数。
差分方程可以看做是差分格式(discretization scheme)的离散时间版本，它在数学建模中有着广泛的应用，特别是在自然科学、工程科学和金融学等领域。
在实际问题中，常常会遇到包含多个变量的复杂差分关系，这时候就需要考虑差分方程组(difference equation system)，它可以写成如下形式：$$\mathbf{x}_n = \mathbf{g}(\mathbf{x}_{n-1},\mathbf{x}_{n-2},\dots,\mathbf{x}_{n-k})$$其中，$\mathbf{x}_n$ 是一个 $m$ 维列向量，表示第 $n$ 个时间点上所有变量的取值，$\mathbf{g}$ 是一个$m$ 维列向量函数，它的每个分量 $g_i$ 表示与 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量有关的函数。
如果差分方程组是非线性的，那么它的求解通常需要使用数值方法，比如欧拉法(Euler method)、龙格-库塔方法(Runge-Kutta method)、辛普森法(Simpson's rule)等数值积分方法。
接下来我们将介绍这些常用的求解方法。
欧拉法欧拉法(Euler method)是一种初值问题的数值解法，它的核心思想是将连续的问题离散化，然后用迭代的方式在离散时间上逐步逼近真实解。
对于一阶差分方程$$y_n = f(y_{n-1},t_{n-1},\Delta t)$$欧拉法的迭代公式可以写成如下形式：$$y_{n+1} = y_n + \Delta t f(y_n,t_n,\Delta t)$$其中，$\Delta t$ 表示时间间隔，它可以取足够小的正数以保证求解精度。
差分方法稳定性介绍
03
多尺度问题的求解
多尺度问题广泛存在于科学和工程领 域，对差分方法的稳定性提出更高要 求。未来研究中，将更加注重多尺度 问题的求解方法和技术研究。
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差分方法稳定性介绍
• 引言 • 差分方法的基本原理 • 差分方法的稳定性分析 • 差分方法的误差分析 • 提高差分方法稳定性的措施 • 差分方法稳定性的应用案例 • 总结与展望
01
引言
差分方法的概念
差分方法
差分方法是一种数值计算方法，用于求解微分方程的近似解。它通过构造差分 格式来逼近微分方程的导数，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
差分方法的稳定性分析
稳定性定义
数值稳定性
差分方法在数值计算过程中，对于初 始条件和边界条件的小扰动，解的变 化能够保持有界，即不会因计算步数 的增加而无限放大。
渐近稳定性
当计算步数趋于无穷时，差分方法的 解能够收敛到真实解，即误差能够逐 渐减小并趋于零。
稳定性判据
要点一
Lax-Richtmyer稳定性判据
对于线性偏微分方程，如果差分格式能够保持离散能量不 增长，则该格式是稳定的。该判据提供了判断差分格式稳 定性的一个充分条件。
要点二
Courant-Friedrichs-Lewy （CFL…
对于显式差分格式，为了保证计算的稳定性，时间步长与 空间步长之间需要满足一定的关系，即CFL条件。该条件 给出了时间步长的上限。
边界条件的处理
Dirichlet边界条件
直接给出边界上的函数值，处理简单。
Neumann边界条件
给出边界上的法向导数值，需要通过差分 近似进行处理。
Robin边界条件
周期边界条件
时间差分格式
时间差分格式
时间差分格式是指在时间计算中，将两个时间点之间的时间差表示为一定的格式，以便更方便地进行时间计算和比较。
常见的时间差分格式有以下几种：
1. 小时差分格式：将小时数表示为小数或整数，例如 3.5 小时或 3 小时 30 分钟。
2. 分钟差分格式：将分钟数表示为小数或整数，例如 120 分钟或 2 小时。
3. 秒差分格式：将秒数表示为小数或整数，例如 7200 秒或 2 小时。
4. 天差分格式：将天数表示为整数，例如 3 天。
5. 周差分格式：将周数表示为整数，例如 2 周。
6. 月差分格式：将月数表示为整数，例如 6 个月。
7. 年差分格式：将年数表示为整数，例如 2 年。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择不同的时间差分格式。
例如，在计算两个时间点之间的工作时长时，通常使用小时差分格式；在计算两个日期之间的天数差时，通常使用天差分格式。
掌握不同的时间差分格式，可以更有效地进行时间计算和比较。
- 1 -。
40种常用差分格式的源代码
40种常用差分格式的源代码对于网格差分的语言处理应该可以说这些格式见证了CFD的发展历史，从简单的CTCS到TVD、ENO这里都应有尽有。
不知道放在这里合适不？其中包括如下源代码：1SimpleBurger'EquationSolver2E某actRiemannSolver3Roe'Appro某imateRiemannSolver4LagrangeFormPolynomialInterpolation5NewtonFormPolynomialInterpolation6CubicSpline7Piecewie-QuadraticENORecontruction(viathePrimitiveFunction) 8Average-QuadraticENORecontruction(viathePrimitiveFunction)9ImplicitEulerMethod(BTCS)10LeapfrogMethod(CTCS)11GeneratorforInitialCondition12La某-FriedrichMethod13La某-WendroffMethod14Roe'Firt-OrderUpwindMethod15Beam-WarmingSecond-OrderUpwindMethodwithFlu某Splitting16La某-FriedrichMethod(18.1)17La某-WendroffMethod(MacCormackandRichtmyer)18Steger-WarmingFlu某SplitFirt-OrderUpwindMethod19VanLeerFlu某SplitFirt-OrderUpwindMethod20Liou-SteffenFlu某SplitFirt-OrderUpwindMethod(AUSM)21Zha-BilgenFlu某SplitFirt-OrderUpwindMethod22Beam-WarmingSecond-OrderUpwindMethodw/ThreeOptionforFlu某VectorSplitting23Godunov'Firt-OrderUpwindMethod24Roe'Firt-OrderUpwindMethod25VanLeer'Flu某LimitedMethod26Sweby'Flu某LimitedMethod(TVD)27Davi-RoeFlu某LimitedMethod(TVD)28Yee-RoeFlu某LimitedMethod(TVD)29Bori-BookFlu某-CorrectedMethod(FCT)30Harten'Flu某-CorrectedMethod(TVD)31Shu-OherMethod(ENO):Second-Order32Shu-OherMethod(ENO):Second-OrderpluSubcellReolution33Shu-OherMethod(ENO):Third-OrderMethod34Shu-OherMethod(ENO):Third-OrderpluSubcellReolution35Shu-OherMethod(ENO):ArbitraryGridandOrder-of-Accuracy36Jameon'Method37Jameon'Method:ArbitraryGrid38OriginalMUSCL(ASlope-LimitedVerionofFromm'Method)对于网格差分的语言处理39UNO40Second-OrderENO41Second-OrderENOwithSubcellReolution42Third-OrderENO43Firt-OrderUpwindMethodBaedonOne-WaveSolver就这些了，全都是很重要的差分格式的源代码，以前上传了一些东西，再申请之后就没有回音了，这回我把比较小的文件都贴上来。
二阶混合偏导差分格式的详解
二阶混合偏导差分格式的详解文章标题：深度解析二阶混合偏导差分格式正文：一、引言在数学和计算机科学领域中，二阶混合偏导差分格式是一种重要的数值计算方法，它在求解偏微分方程和数值模拟中发挥着关键作用。
本文将针对二阶混合偏导差分格式进行全面深入的解析，从简单的定义和原理出发，逐步深入探讨其数学推导和应用场景，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数值计算方法。
二、基本概念二阶混合偏导差分格式是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程。
它通过将偏微分方程中的偏导数用差分表示，然后构建差分方程并进行数值求解，从而得到偏微分方程的近似解。
在二阶混合偏导差分格式中，一阶导数使用中心差分逼近，二阶导数则结合前向和后向差分来逼近，从而实现更高的数值精度和稳定性。
三、数学推导接下来，我们将通过数学推导来深入探讨二阶混合偏导差分格式的具体计算过程。
假设我们要求解的偏微分方程为一维扩散方程，即∂u/∂t = α∂²u/∂x²我们可以使用二阶混合偏导差分格式来离散化这个方程，首先对时间t 进行离散化，然后对空间x进行离散化，最终得到差分方程，并通过迭代求解得到数值解。
具体的推导过程将在以下几个步骤中详细展开。
第一步，对时间进行离散化，使用显式欧拉方法进行离散化求解。
第二步，对空间进行离散化，使用中心差分逼近一阶导数，结合前向和后向差分逼近二阶导数。
第三步，构建差分方程，将离散化的时间和空间方程组合在一起。
第四步，通过迭代求解差分方程，得到偏微分方程的数值解。
通过以上数学推导，我们可以清晰地了解二阶混合偏导差分格式的具体计算过程，以及其在求解偏微分方程中的应用。
四、应用场景二阶混合偏导差分格式主要适用于求解具有时间和空间耦合的偏微分方程，例如扩散方程、波动方程和热传导方程等。
在工程、物理、生物和环境科学等领域，这些偏微分方程广泛应用于模拟和预测各种复杂现象，而二阶混合偏导差分格式则成为了求解这些偏微分方程的重要数值方法之一。
有限差分weno格式
有限差分weno格式
有限差分WENO格式是一种高精度的数值计算方法，用于对偏微
分方程进行数值求解。
它采用了WENO重构的思想，通过对数值通量的
加权平均，使数值解更加光滑和准确。
该方法主要分为两个步骤：重构和演化。
在重构步骤中，通过对
网格点周围的节点进行加权平均，得到一个更加光滑的数值解。
常用
的加权函数有三次多项式的WENO-JS、WENO-Z以及五次多项式的WENO5。
在演化步骤中，利用数值通量的值更新每个网格点的数值解。
与之前的有限差分格式相比，WENO格式具有更高的精度和更好的数值稳定性。
它在求解一些复杂偏微分方程时表现出了良好的效果，
受到了广泛的应用。
(完整word)差分格式
§1。
差分1．一阶导数的差分近似（差商）导数的定义： 000limxx f x f x f x xx导数的近似： 1001f x f x f x x x （当 1x 与 0x 足够接近时）这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。
误差分析 － 泰勒展开:将 1f x 在 0x 处做泰勒展开，有2101112f x f x f x x x f x x x于是100101f x f x f x x x x x各种差分近似： 取 0h （称为步长），则可以有向前差分近似（相当于取 10x x hx ）f x h f x f x h向后差分近似（相当于取 10x x hx ）000f x f x hf x h中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均）2f x h f x hf x h2． 差分近似的一般形式差分近似的一般形式可写成22110011221m mnnfx c f x c f xc f xhc f x c f x c f x c f x或简写为1n j j jmf x c f x h称为一阶导数 0f x 的一个 1mn 点差分近似。
这里( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )jx x jh j m n差分近似的精度 : 阶 定义:若1n p j jjmf x c f x h h则称表达式1n j j jmc f x h 是一阶导数 0f x 的 p 阶差分近似。
例:通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的.中心差分近似的精度较高.差分近似的分类若 mn ，则1m j j j mc f x h 称为中心差分近似；若 mn，则 1n j j j mc f x h 称为偏心差分近似，特别是若 0m,则1n j j j c f x h 称为向前差分近似(前差近似）； 若 0n,则01j j jmc f x h 称为向后差分近似（后差近似）。
三角网的差分格式
4. 三角网差分格式前面介绍了矩形网格的差分格式，其特点是：计算公式简单，求解差分方程较容易，但是对于复杂的区域其几何逼近误差大，不能局部任意调整网格，不易处理法向导数边界条件。
三角网的差分格式具有网格的灵活，法向导数边界条件容易处理等优点，特别地，它还保持积分守恒（质量守恒），深受使用者的欢迎。
积分插值法用于三角网，可得到三角网的差分格式。
文献上常称之为有限体积法或广义差分法。
考虑有界区域G 上的Poisson 方程（4.1） f u =∆-在边界Γ上各个部分123,,ΓΓΓ分别满足第一、第二或第三边值条件： （4.1a ） 1(,)ux y ϕΓ=（4.1b ） ),(y x u ψ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2Γn（4.1c ） ),(y x u u γκ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂3Γn其中κ是常数。
作G 的三角剖分：1)在Γ上取一系列的点，以其为顶点连成闭折线≈Γ~Γ，并记G ~为由Γ~围成且逼近G 的多边形区域；2）将G ~分割成有限个三角形之和。
这些三角形满足：①任意一个三角形的顶点与其它三角形或者不相交，或者仅仅与其他三角形的顶点相交；②三角形的每个内角不大于ο90。
引入如下术语：节点—三角形的顶点；单元—每个三角形；同一条边上的两个节点互为相邻节点；有一公共边的两个三角形互为相邻单元；对于任一节点，考虑所有以它为顶点的三角形单元和以它为顶点的三角形边，过每一条边作中垂线，交于外心，得到围绕该节点的小多边形，称为对偶单元。
全体对偶单元构成区域G 的一个新的网格剖分，称为对偶剖分。
下面我们先对每一个内点建立差分方程。
设0p 是如图的内点，621,,p p p Λ是0p 的相邻节点，i q 是三角形10+∆i i p p p （17p p =）的外心（三条垂直平分线的交点），i m 是线段i p p 0的中点，0G 是621,,,q q q Λ所围成的对偶单元。
对于（4.1）两端在0G 上积分，得()()y x y x,f y x y x u d d d d G G ⎰⎰⎰⎰=∆-0,利用Green 公式，得 （4.2） ()y x y x,f s ud d d G G ⎰⎰⎰=∂∂-∂0n 0P Γ~Γ其中0G ∂是0G 的边界，n 是0G ∂的外法向量。
积分形式的有限差分格式
积分形式的有限差分格式有限差分法（Finite Difference Method）是一种常用的数值解法，用于求解微分方程或偏微分方程。
其基本思想是将微分方程中的导数用差分形式逼近，将函数的变化用离散化的有限点来表示，从而将微分方程转化为一个代数方程组。
积分形式的有限差分格式是一种特殊的有限差分法，通过将微分方程中的积分操作用差分近似替代来求解积分方程。
本文将详细介绍积分形式的有限差分格式，并讨论其应用和特点。
积分形式的有限差分格式是将积分操作用差分近似替代来求解积分方程的方法。
与一般的有限差分法不同，积分形式的有限差分格式一般需要对方程进行积分操作，从而得到一个新的积分方程。
积分形式的有限差分格式可以分为两种类型：前向差分和后向差分。
前向差分是指通过将积分方程中的积分操作用差分近似替代，得到一个新的方程，其中时间变量的差分值为正。
前向差分格式的基本思想是用当前时间步的近似解来逼近下一个时间步的解。
前向差分格式具有简单、易于实现、计算量小等优点，但是对于某些情况，可能出现不稳定或耗散现象。
后向差分是指通过将积分方程中的积分操作用差分近似替代，得到一个新的方程，其中时间变量的差分值为负。
后向差分格式的基本思想是用下一个时间步的近似解来逼近当前时间步的解。
后向差分格式具有稳定性好、精度高等优点，但是计算量较大，需要求解非线性方程组。
积分形式的有限差分格式的主要优点是可以处理包含积分操作的方程，适用于求解一些经典的积分方程和输入输出关系。
例如，常微分方程的积分形式为y(t) = y(a) + ∫(a to t) f(s,y(s))ds，其中y(t)为t时刻的解，a为初始时刻，f为函数。
通过将积分操作用差分近似替代，可以得到y(t)的递推公式，从而用迭代的方法求解。
积分形式的有限差分格式也常用于求解偏微分方程的边界条件和初值条件。
积分形式的有限差分格式也有一些限制和局限性。
首先，积分形式的有限差分格式一般需要对方程进行积分操作，从而得到一个新的积分方程，增加了计算的复杂度。
有限差分格式
2.X方向一阶导数的一阶向后差分
3.X方向一阶导数的二阶中心差分
4.X方向二阶导数的二阶中心差分
5.y方向一阶导数的一阶向前差分
6.y方向一阶导数的一阶向后差分
7.y方向一阶导数的二阶中心差分
8.y方向二阶导数的二阶中心差分
8.二阶混合导数的二阶中心差分
位于边界的单侧差分（多项式逼近）
1.一阶
2.二阶
3.三阶
显示格式和隐式格式的提法
三阶weno格式
三阶weno格式
三阶WENO格式是一种用于数值求解偏微分方程的高分辨率差分格式。
这种格式基于WENO （Weighted ENO）的概念，其目标是在保持高分辨率的同时减少数值耗散。
WENO格式通过加权平均的方式来提高精度，特别是在激波和边界层等极端梯度区域。
与其他格式如Lax-Wendroff格式和TVD格式相比，WENO格式在某些情况下可以提供更高的精度。
此外，研究还表明，WENO-JS3格式和WENO-Z3格式在光滑流场区域（包括极值点）具有相同的理论精度，且均低于三阶设计精度。
总的来说，三阶WENO格式是一个强大的工具，可以在多种应用场景中提供准确的数值解。
四阶差分格式
四阶差分格式
u:+a4x=0
(1)其中u是以速度a传播的纯量，a是正实数我们知道，对该方程进行空间离散后，可以得到一个常微分方程组（Odes):=f(u,)Dot
再选择适当的时间离散格式，就可得到方程(1)的数值解为此，对所定义的空间区域进行一致网格剖分，设h为网格剖分步长，x=h,=u(x),为了近似计算空间变量的一阶导数，使其具有四阶精度，我们用待定系数法设
(△4)y=4h(4y+22)+2h(4+1-4-1)
其中（△w),表示对在结点x,处的近似将式中u及△u各项在w点做Taylor展开，合并后比较对应项系数，有：m1=4,m2=·1书，于是对空间变量我们得到了一个简单的四阶中心差分格式：=品1)
(2)12h(u j+2-42)再用蛙跳方法对离散得到方程()的全离散格式
(3)其中c=a k万是CFL条件数，k是时间剖分步长对问题(P):,+aux=0,(x,t)∈0,1X0,T]u(x,0)=sim(2Π)，x∈0,1
(4)period i c boundary value condition,t∈0，T]。
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§1. 差分 1．一阶导数的差分近似（差商）导数的定义： ()()()0000limx x f x f x f x x x ®-¢=-导数的近似：()()()10010f x f x f x x x -¢»- （当 1x 与 0x 足够接近时）这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。
误差分析 － 泰勒展开：将 ()1f x 在 0x 处做泰勒展开，有()()()()()()21001001012f x f x f x x x f x x x ⅱ?=+-+-+L于是()()()()1001010f x f x f x x x x x -¢-=--各种差分近似： 取 0h >（称为步长），则可以有 向前差分近似（相当于取 100x x h x =+>）()()()000f x h f x f x h+-¢»向后差分近似（相当于取 100x x h x =-<）()()()000f x f x h f x h--¢»中心差分近似 （前差近似与后差近似的算术平均）()()()0002f x h f x h f x h+--¢»2． 差分近似的一般形式差分近似的一般形式可写成()()()()()()()()022********* m m n n f x c f x c f x c f x hc f x c f x c f x c f x ------é¢?++êë+ù++++úûL L或简写为()()01nj j j mf x c f x h =-¢»å 称为一阶导数 ()0f x ¢ 的一个 1m n ++ 点差分近似。
这里0 ( , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , , )j x x jh j m n =+=---L L差分近似的精度 ： 阶 定义：若()()()01n pj jj mf x c f x h h =-¢-=å 则称表达式 ()1nj j j mc f x h =-å 是一阶导数 ()0f x ¢ 的 p 阶差分近似。
例：通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的。
中心差分近似的精度较高。
差分近似的分类若 m n = ，则 ()1mj j j mc f x h =-å 称为中心差分近似；若 m n ¹ ，则 ()1nj j j mc f x h =-å 称为偏心差分近似，特别是若 0m = ，则 ()01nj j j c f x h =å 称为向前差分近似（前差近似）；若 0n = ，则 ()01j j j mc f x h =-å 称为向后差分近似（后差近似）。
3． 待定系数法构造导数的差分近似可用待定系数法。
【例1】用 1x -、0x 、1x 、2x 四点构造一阶导数 ()0f x ¢ 的差分近似。
【解】由泰勒展开，有()()()()()()234(4)1000001112624f x f x hf x h f x h f x h f x -ⅱⅱⅱ=-+-+-L ()()()()()()234(4)1000001112624f x f x hf x h f x h f x h f x ⅱⅱⅱ=+++++L ()()()()()()234(4)200000422233f x f x hf x h f x h f x h f x ⅱⅱⅱ=+++++L 将这些展开式带入所求得差分近似，得()()()()()()110011221012011201120111211 2221 6c f c f c f c f c c c c f x h h c c c f x c c c hf x c ------+++=+++¢+-++骣÷çⅱ÷+++ç÷÷ç桫+-+()()21203(4)11201463112 24243c c h f x c c c h f x -骣÷çⅱ?÷+ç÷ç÷桫骣÷ç÷+-+++ç÷ç÷桫L为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的四个待定系数应满足1012112112112 0 211120221140663c c c c c c c c c c c c c ----ìïï+++=ïïïïïïï-++=ïïïíïïï++=ïïïïïïï-++=ïïî解得10121312116c c c c -ìïï=-ïïïïïïï=-ïïïíïïï=ïïïïïïï=-ïïî因此，若将函数值 ()j f x 简写成 j f ，所求的差分近似就是()()010121012111112363266f x f f f f f f f f h h--骣÷ç¢÷?-+-=--+-ç÷÷ç桫 误差为()()()()3(4)11203(4)03(4)0112 242431112112432436112c c c h f x h f x h f x -骣÷ç÷-+++ç÷ç÷桫轾骣骣骣骣骣鼢鼢?珑珑?犏鼢鼢?=--++-+珑珑?鼢鼢?犏珑珑?鼢鼢?桫桫桫桫桫犏臌=-+L L L 所以上述差分近似具有三阶精度。
【例2】用 1x -、1x 两点构造一阶导数 ()0f x ¢ 的差分近似。
【解】由泰勒展开，有()()()()()23100001126f x f x hf x h f x h f x -ⅱⅱⅱ=-+-+L ()()()()()23100001126f x f x hf x h f x h f x ⅱⅱⅱ=++++L 将这些展开式带入所求得差分近似，得()()()()()()()111111011011021101111 2211 66c f c f c c f x h h c c f x c c hf x c c h f x ------+=+¢+-+骣÷çⅱ÷++ç÷ç÷桫骣÷çⅱ?÷+-++ç÷ç÷桫L为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的两个待定系数应满足111101c c c c --ìï+=ïïíïï-+=ïïî 解得 111212c c -ìïï=-ïïïíïïï=ïïî因此，所求的差分近似为()11011111222f f f x f f h h--骣-÷ç¢÷?+=ç÷÷ç桫 这正好是前面提到过的中心差分近似，其误差为()()()211011001111 22661111111122226262c c hf x c c h f x hf x --骣骣鼢珑ⅱⅱ?鼢++-++珑鼢鼢珑桫桫轾?骣骣骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢鼢珑珑珑珑犏ⅱ鼢鼢鼢鼢=-++--+珑珑珑珑鼢鼢鼢鼢犏珑珑鼢鼢鼢鼢珑珑桫桫桫桫桫桫桫桫犏臌L ()()()()202002010616h f x hf x h f x h f x ù犏ⅱ?+犏犏臌ⅱⅱ?=?+ⅱ?=+L L L由于选点的对称性，误差中二阶导数项的系数恰好抵销为零，所以上述差分近似具有二阶精度。
这就是中心差分近似精度较高的原因。
4．高阶导数的差分近似以上关于一阶导数的差分近似，完全可以推广到高阶导数。
高阶导数的差分近似：其一般形式为()()()()()()()()()022*********k m m kn n fx c f x c f x c f x h c f x c f x c f x c f x ------é?++êë+ù++++úûL L待定系数法：构造高阶导数的差分近似，仍可用待定系数法。
【例3】用 1x -、0x 、1x 三点构造二阶导数 ()0f x ⅱ 的差分近似。
【解】由泰勒展开，有()()()()()()234(4)1000001112624f x f x hf x h f x h f x h f x -ⅱⅱⅱ=-+-+-L ()()()()()()234(4)1000001112624f x f x hf x h f x h f x h f x ⅱⅱⅱ=+++++L 将这些展开式带入所求得差分近似，得()()()()()()1100111010221101101111111 2211 66c f c f c f c c c f x h h c c f x h c c f x c c hf x ------++=++¢+-+骣÷çⅱ÷++ç÷ç÷桫骣÷çⅱ?÷+-+ç÷÷ç桫()()02(4)11011 2424c c h f x -骣÷ç÷+++ç÷ç÷桫L为了得到二阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的三个待定系数此时应满足1011111 0011+122c c c c c c c ---ìïï++=ïïïïïïï-+=íïïïïïï=ïïïî 解得 101121c c c -ìï=ïïïïï=-íïïïïï=ïî 因此，所求的差分近似为()()101010122212f f f f x f f f hh---+ⅱ?+=误差为()()()()()()()()()()2(4)1101102(4)002(4)001111 662424111111116624241012112c c hf x c c h f x hf x h f x hf x h f x h --骣骣鼢珑ⅱ?鼢-++++珑鼢鼢珑桫桫轾轾骣骣骣骣鼢鼢珑珑犏犏ⅱ?鼢鼢=-++++珑珑鼢鼢犏犏珑鼢鼢珑桫桫桫桫犏犏臌臌ⅱ?=?+=L L L ()2(4)0f x +L所以上述差分近似具有二阶精度。