旋转+元调复习

旋转
最近二年真题
1．（2017武汉元调）在平面直角坐标系中，有A（2，－1）、B（－1，－2）、C（2，1）、D（－2，1）四点，其中，关于原点对称的两点为（）
A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A
2．（2017武汉元调）在平面直角坐标系中，点C沿着某条路径运动，以点C为旋转中心，将点A（0，4）逆时针旋转90°到点B（m，1）．若－5≤m≤5，则点C运动的路径长为．
3．（2017武汉元调）如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为A（4，0）、B（0，2），将△ABO绕点P（2，2）顺时针旋转得到△OCD，点A、B和O的对应点分别为点O、C和D．
（1）画出△OCD，并写出点C和点D的坐标；
（2）连接AC，在直线AC的右侧取点M，使∠AMC＝45°．
①若点M在x轴上，则点M的坐标为，
②若△ACM为直角三角形，求点M的坐标．
综合题案例研究
案例1旋转与作图
【真题呈现】如图，正方形ABCD和直角△ABE，∠AEB＝90°，将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF．（1）在图中画出点O和△CDF，并简要说明作图过程．
（2）若AE＝12，AB＝13，求EF的长．
D
A
E
C
B
真题解读
第一问：将△ABE绕点O旋转180°得到△CDF可知，A的对应点为C，B的对应点为D，而中心对称图形的旋转中心为两对对应点的交点，故连接AC、BD相交点即为O，E的对应点为F，故延长EO得到F，使OF＝OE，连接CF、DE，则△CDF即为所求．
第二问：考虑到△AOB为等腰直角三角形，可将△EOB绕点O顺时针旋转90°．
【真题变式】
1．△ABC中，∠ACB＝120°，以AB为边作等边△AB D．
（1）将△ABC绕点D旋转180°，得到△EFG，画出△EFG，并简要说明作图过程；
（2）若AC＝12，BC＝5，求CG的长．
D
C B
A
2．四边形ABCD中，AC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝45°．
（1）以D为中心，将△ABC绕点D旋转180°，得到△EFG，画出△EFG，并简要说明作图过程；
（2）若AB＝3，BC＝4，直接写出BF的长．
案例2旋转变换与几何计算
【真题呈现】
如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为．
【真题解读】
直接求出BD不现实，我们可以考虑条件等腰直角△ABC，故可利用旋转，将△ADB绕A点顺时针旋转90°，得到△AD′C，连接DD′，条件即可集中．
作AD′⊥AD，使AD′＝AD，连接CD′、DD′，易证：△BAD≌△CAD'（SAS）．
由勾股定理得DD′＝42
＋4
2
＝42，D′C＝DC
2
＋DD′
2
＝9＋32＝41．∴BD′＝CD′＝41．
【真题变式】
C B
A
D
C B
A
D
D′
C D
A
B
1．四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，则AC 的长为 ．
2．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝2，CD
＝，则AC 的长为 ．
D
C
B
A
3．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝30°，BC ＝2，AC ＝14，则DC 的长为 ．
D
C
B
A
案例3 等边三角形与旋转变换
【真题呈现】
如图，等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图1，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ．连CF ，FD ，D C ．
（1）求证：△CFD 为等边三角形；
（2）将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定角度，如图2，其它条件不变，求证：△CFD 为等边三角形．
C E
B
F D
F
B
A E C
【真题解读】
第一问：要证△CFD 为等边三角形，先证其他两边相等，再证有一个角为60°，几何直观：△CDA 绕点C 顺时针旋转60°得到△CFB ，如何证明：∵ CA ＝CB ，DA ＝AE ，而□AEF B ．∴AE ＝FB ，故AD ＝FB ，差夹角相等．故考虑平行线或导角，规范表述如下：
∵∠FBC ＋∠CBA ＋∠A ＝180°，∴∠FBC ＝180°－60°×2＝60°＝∠A 易证△CFB ≌△CDA ，∴∠FCB ＝∠DCA ，CF ＝C D ． ∵∠DCA ＋∠BCD ＝60°，∴∠FCB ＋∠BCD ＝60°， 即△FCD 为等边三角形．
C
B D
A
第二问：用上一问的方法，仍证△CDA≌△CBF，难点仍是如何证∠FBC＝∠DAC，考虑△ADE旋转，也可以看作∠CAD变化，设∠CAD＝α，则∠EAB＝60°×2－α＝120°－α，∵FB∥EA，∴∠FBA＝180°－（120°－α）＝60°＋α，∴∠FBC＝∠FBA－∠CBA＝60°＋α－60°＝α
从而得证，读者不妨设∠BAD＝β．
【真题变式】 1．（1）（回归教材，九年级P 63）如图，△ABD ，△AEC 都是等边三角形，EB 与DC 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
A
E C
B
D
（2）四边形ACBD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝60°，∠ADB ＝α，BD ＝a ，AD ＝b ，
①如图1，当α＝30°，a ＝6，b ＝8时，则CD ＝ ．
②如图2，当α＝90°，a ＝3，b ＝2时，则CD ＝ ． ③如图3，当α＝75°，a ＝2，b ＝2时，则CD ＝ ． ④如图4，当α＝60°，a ＝3，b ＝4时，则CD ＝ ．
图4
B A
C
C
A
B 图3
图2
B
A
C
图1
B
A
C
案例4 中点的妙用
【真题呈现】
如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝∠120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点． （1）如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠P AC 的度数； （2）如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP ；
（3）如图3，若点C 在线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度．
P E D
C A
B 图2
图1
图3
E
D P C A
B
【真题解读】
第一问：从几何直观看所求结论∠P AC 估计为1
2
∠BAC ＝30°；如何证明呢．从条件P 为BE 的中点，
可倍长中线，寻求思路，即延长AP ，DE 相交于F ，读者不妨一试．规范表述如下：
延长AP 、DE 相交于F ，∵P 为BE 的中点，∴BP ＝EP ，∵∠BAC ＝60°， ∠CDE ＝120°，∴∠BAC ＋∠CDE ＝180°，∴BA ∥DE ，∴∠ABP ＝∠FEP
∠BAP ＝∠EFP ，∴△ABP ≌△FEP ，∴JF ＝∠BAP ，AB ＝AC ，CD ＝DE ，∴AB ＝AC ＝EF ， ∴AC ＋CD ＝FE ＋DE ，即DA ＝DF ，∴∠P AD ＝∠F ，
∵∠F ＝∠BAP ，∴∠P AC ＝∠BAP ＝12∠BAC ＝1
2
×60°＝30°．
同样的理由，延长AB 、DP ，相交于F ，可试一试． 易证：△PDE ≌△PEB ，得到DE ＝BF ＝CD ；PD ＝PF ，再证AF ＝AD ，再利用等腰三角形“三线合一”
得到AP平分∠BA C．联想中点的相关定理，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是否可先构造直角，连BC，CE，CP，则∠BCE＝90°，∴CP＝BP，再证△BAP≌△CAP．
5．如图，AB＝BC，AB⊥EC，CD＝DE，CD⊥DE，M为AE中点．求证：BM＝MD，BM⊥M D．
6．如图，AB＝BC，∠ABC＝α，CD＝DE，∠CDE＝β，且α＋β＝180°，M为AE的中点，求证：BM⊥M D．
E
7．如图1，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝C D．
（1）求证：BD＝DE；
（2）在图1中，将△DBE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连AE，P为AE中点，连接PD、P C．探究线段PD、PC之间的关系；
（3）如图3，将△DBE继续绕点B逆时针旋转，使D落在线段BC上，连AE，P为AE中点，连PD，若AB＝4，直接写出PD的长．
C E。