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福建省师大附中2015届高三数学上学期期末考试试题理

福建省师大附中2015届高三数学上学期期末考试试题理

福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷高三数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共50分一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知全集R U =，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=<≤-=-412|},02|1x x B x x A ｛，则*****R C A B⋂=（）（） A. (,2](1,)-∞-⋃-+∞ B ．(,2)[1,)-∞-⋃-+∞ C ．(,)-∞+∞ D ．(2,)-+∞2.设随机变量X 服从正态分布N （0， 1），P （X>1）= p,则P （X>－1）=（ ******* ） A ．1－2p B ． p C ．1－p D ．2p3． 定义：a b ad bc c d =-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于（******* ） A ．1i + B ．1i - C ．3i + D ．3i -4．已知m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（******* ） （1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）,,βα⊥⊥m m 则α∥β（4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA ．（1）、（2）B ．（3）、（4）C ．（2）、（3）D ．（2）、（4）5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（******* ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．456． 函数21,0()2,0xog x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点的充要条件是（******* ）A ．01a a ≤>或B ．102a <<C ．0a >D ．0a ≤ 7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=，且12FPF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（******* ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅的值是 （*******）正视图 侧视图A ．34-B ．14-C ．89-D ．49- 9．已知抛物线22(0)y px p => 的焦点为F,准线为l ,,A B 是抛物线上的两个动点,且,3AFB π∠=设线段AB 的中点M 在l 上的射影为N ,则MN AB的最大值是（******* ）A ．12 B. 1C. 32D. 210．把曲线C ：)8cos()87sin(ππ+⋅-=x x y 的图像向右平移)0(>a a 个单位，得到曲线C '的图像，且曲线C '的图像关于直线4π=x 对称，当]823,812[ππ++∈b b x （b 为正整数）时，过曲线C '上任意两点的斜率恒大于零，则b 的值为（******* ）A ．4B ． 3C ．2D ． 1第Ⅱ卷 共100分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.11．2)n x的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是 ******* ．12． 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的 边界为直角梯形，则该几何体的体积是 ******* ．13． 若,x y 满足 30,10,350,x y x y x y +-≥-+≥--≤则yx的最大值是*************** ．14．如图.A 1，A 2，…A m-1(m ≥2)将区间[0,l]m 等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=e x所围成的区域为1Ω图中m 个矩形构成的阴影区域为2Ω,在1Ω中任取一点,则该点取自2Ω的概率等于 ******* ．15．已知函数sin ()xf x x=，下列命题正确的是******* .（写出所有正确命题的序号）①()f x 是奇函数;②对定义域内任意x ，()f x <1恒成立；` ③当32x π= 时，()f x 取得极小值； ④(2)(3)f f > ;⑤当x>0时，若方程|()f x |=k 有且仅有两个不同的实数解,()αβαββ>则·cos α=－sin β.三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.17．（本小题满分12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． (1)任选1名教师，求该教师选择参加两项培训的概率;(2)任选3名教师，记ξ为3人中选择不参加培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）已知s i n c o s ,1)a x x =- ，(cos ,)b x m = ，函数()f x a b =∙ ()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值以及函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ，求()f A 的取值范围．19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ADC ∠=的菱形， M 为PB 的中点.(Ⅰ)求PA 与底面ABCD 所成角的大小； (Ⅱ)求证：PA ⊥平面CDM ；(Ⅲ)求二面角D MC B --的余弦值.20．（本小题满分13分）.已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259x y C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆222247x y +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．21．(本小题满分14分)已知函数)1ln()(),(,12)(2+=∈+-=x x g R a x ax x f . ⑵ x x g y -=)(在]1,0[上的最小值.⑵若存在(0,)x ∈+∞使不等式2(1)()2xa x f x e-->,求实数a 的取值范围. ⑶ 记函数)()()(x g x f x +=ϕ的图像为C ，l 为曲线C 在点)1,0(p 的切线，若存在21≥a ,使直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，求满足条件的所有a 的值.福建师大附中2014-2015学年第一学期期末考试卷解答一、选择题：BCABB ,AACBD; 二、填空题： 11． 112 12．1 13． 2 14.11(1)mm e - 15． ②④⑤三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）1122123222211.1,1;(1)(1)2.2,221,(2)(222...2)[1234...(21)2]222[(12)(34)...(21)2]1222n n n n n nn n n n a S n n n n n a S S nn a n a nT n n n n n -+===+---≥=-=-===∴==+++++-+-+++-+-⋅=+-++-+++-+-=+-经检验，符合21222n n T n +∴=+-17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =．………1分（1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是1()0.60.750.45P P AB ==⨯= ……4分 （2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=． ……5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，， …6分 且33()0.10.9kk k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，， …8分 即ξ的分布列是所以，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=．……12分 （或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=．） 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由()21π1cos cos 2(cos 21)sin(2)262f x x x x m x x m x m =-+=-++=--+．因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上，所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =.……4分 2,2T ππ==由222262k x k πππππ-≤-≤+， 可得函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈……6分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……8分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……9分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分 所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…11分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……12分19. （本小题满分12分）解：(I)取DC 的中点O ，由ΔPDC 是正三角形，有PO ⊥DC ．又∵平面PDC ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD 于O ．连结OA ，则OA 是PA 在底面上的射影．∴∠PAO 就是PA 与底面所成角．∵∠ADC =60°，由已知ΔPCD 和ΔACD 是全等的正三角形，从而求得OA =OP．∴∠PAO =45°．∴PA 与底面ABCD 可成角的大小为45°．……………………………4分 (II)由底面ABCD 为菱形且∠ADC =60°，DC =2，DO =1，有OA ⊥DC ．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则0,0),(0,0,(0,1,0)A P D -, 2,0),(0,1,0)B C ． 由M 为PB中点，∴M ．∴2,0,DM PA ==(0,2,0)DC = ．∴200PA DM ⋅=⨯= ，0200(0PA DC ⋅=⨯+⨯=．∴PA ⊥DM ，PA ⊥DC ． ∴PA ⊥平面DMC ．……………………………8分(III)0,1,0)CM CB ==．令平面BMC 的法向量(,,)n x y z = ， 则0n CM ⋅=，从而x +z =0； ……①, 0n CB ⋅=，从而0y +=． ……②由①、②，取x =−1，则1y z ==．∴可取(1,1)n =- ．……………10分由(II)知平面CDM的法向量可取0,PA =，…………………………11分∴cos ,||||n PA n PA n PA ⋅<>===．∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分 法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取AP 的中点N ，连接MN ，由（Ⅰ）知，在菱形ABCD 中，由于60ADC ∠=，则AO CD ⊥，又PO CD ⊥，则CD APO ⊥平面，即CD PA ⊥，又在PAB ∆中，中位线//MN 12AB ，1//2CO AB ，则//MN CO ，则四边形OCMN 为 ，所以//MC ON ，在APO ∆中，AO PO =，则O N A P ⊥，故A P M C ⊥而MC CD C = ，则PA MCD ⊥平面…………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知M C P A B ⊥平面，则N M B ∠为二面角D MC B --的平面角，在Rt PAB ∆中，易得PA=PB ===cosABPBAPB∠===，cos cos()NMB PBAπ∠=-∠=故，所求二面角的余弦值为.…………13分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）设点00(,)P x y，则220034x y+=，（1）……………………1分设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则M00(,)22x y，……2分椭圆22:1259x yC+=的右焦点(4,0)F，………………3分MF OP⊥Q,∴1OP MFk k⋅=-，∴2142yyxx-⋅=--，∴2200080y x x+-=，（2）…………………………4分由（1），（2），解得174x=，∴点P的横坐标为174．……………5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b+=+上任意一点(,)Q m n作椭圆22221x ya b+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．”……………………7分证明如下：（ⅰ）当过点Q与椭圆22221x ya b+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a=±，Q点Q在圆2222x y a b+=+上，∴(,)Q a b±±，∴直线y b=±恰好为过点Q与椭圆22221x ya b+=相切的另一条切线∴两切线互相垂直．………………………………8分（ⅱ）当过点(,)Q m n与椭圆22221x ya b+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m-=-，由22221,(),x ya by n k x m⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得[]222222()0b x a k x m n a b+-+-=，整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b++-+--=，……………9分Q直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n kmb a k a n km a b∆=--+--=，整理得()()2222220m a k mnk n b--+-=，………………………10分∴221222n bk km a-=-，………………………11分点(,)Q m n在圆2222x y a b+=+上，∴2222m n a b+=+，∴2222m a b n-=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分21．(本小题满分14分) 解:⑴0,10,111≤'∴≤≤-+='y x x y ,所以x x g y -=)(在]1,0[上单调递减，当1=x 时，12ln min -=y …………………（4分）2(1)()(2)2x a x f x e -->可化为2221212x xax a ax x a x e--+-><--()21,()22[1]0,11()0,()0+()(0),(0)1,1x x x x x h x x h x e e x e e h x h x h x h h a '=--∴=-=->>∴>>'∴<∴∞∴<=-∴<- 令且在(，）上是减函数，（10分）(3) 函数)(x ϕ的定义域为,1)0(,1122)(),,1(-='++-='+∞-ϕϕx ax x 所以在切点)1,0(p 处的切线l 的斜率为1-，因此，切线的方程为：1+-=x y 。

福建省师大附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷

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福建师大附中20-2015学年第学期模块考试卷 高一数学必修（满分：150分，时间：120分钟） 说明：试卷分第卷和第卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷. 第卷共100分 一、选择题本大题有小题，每小题分，共分.每小题四个选项，．1．400个家庭，其中高等收入家庭120户，中等收入家庭180户，低收入家庭100户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本； ②某校高一年级有12名女排运动员，要求从中选出3人调查学习负担情况. 完成上述两项调查应采取的抽样方法是 A．①用系统抽样，②用分层抽样 B．①用简单随机抽样，②用系统抽样 C．①用分层抽样，②用简单随机抽样 D．①用分层抽样，②用系统抽样 2．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.3么质量在[4.8，4.85]（g）范围内的概率是 A0.66 B．0.64 C．0.36 D．0.04 3．某学校五四青年节举办十佳歌手赛右图是七位评委为某选手打出的分数的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为 A83，1.6 B84, 0.4 C．85, 1.6 D．86, 1.5 4．，那么角是 Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第一或第四象限角Ｄ．第三或第四象限角 5．．．．．．（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据： 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为 A．．．．．函数图象的一个对称中心是 A． B． C． D． 8．．．．．，则值为 A． B．．．．在平面直角坐标系xOy中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于4的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率为 B．．．、．设扇形的半径长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是．，且，则的值为 . 13．的终边经过点，则 . 14． . 三、组号分组频数频率第1组 5 0.050 第2组0.350 第3组30 第4组20 0.200 第5组10 0.100 合计 100 1.00 1．本小题满分1分）某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示. （Ⅰ）求频率分布表中的值，完成答题纸上频率分布直方图； （Ⅱ）100名学生笔试成绩．（本小题1分）（Ⅰ）（Ⅱ）第卷共50分一、选择题本大题有题，每小题，共.在每小题四个选项，．17．，，的部分图象（如图），则 A．为的图像，为的图像，为的图像 B．为的图像，为的图像，为的图像 C．为的图像，为的图像，为的图像 D．为的图像，为的图像，为的图像 18．中，，．在上随机取 一点，则和中至少有一个是钝角的概率是 A． B．．．．，且在区间有最小值，无最大值，则 A．B．C．D．二、．，且，则的值是 . 21． . 三、解答题：本大题共3题，30分．本小题满分分已知某海滨浴场的海浪高度米是时间≤t≤24单位小时的函数，记作：.下表是某日各时的浪高数据； （时）0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米） 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1 0.5 1.5 经长期观测，的曲线可近似地看成是函数ωt +b. （Ⅰ）根据以上数据,求出函数ωt +b的表达式； （Ⅱ）根据规定，当海浪高度高于米时才对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅰ）的结论，判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行活动？ ．本小题满分分． （Ⅰ）试用“五点法”画出函数在一个周期内的简图 （Ⅱ）函数上的； 若时，函数的最小值为2，试求出函数的最大值并指出取何值时，函数取得最大值． 2．（本小题满分分）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为 （Ⅰ）求f（）的值； （Ⅱ）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位后，得到函数的图象. 若关于的方程在有实数解，求实数的取值范围.福建师大附中20-2015学年第学期模块考试卷 高一数学必修第卷一、选择题：二、填空题：13. 14. 三、解答题15.解：（Ⅰ）由题可知，人,, 频率分布直方图如下: （Ⅱ）众数为，中位数为. 16．解：（Ⅰ）设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，，所以n=2000. z=2000－100－300－150－450－600=400 设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2;B1，B2，B3，则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2 ，B2），（S2 ，B3），（S1，S2），（B1 ，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为样本的平均数为9 ，那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7， 9.3， 9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 . 第卷共50分一、选择题二、填空题 20. . 21. 等 三、解答题：解：由表中数据，知周期T=12，，由得由得 A=0.5,b=1.. ∴ （Ⅱ）由题知，当y>1时才对冲浪者开放，，， 即 ,故可令k分别为01,2. 得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24, 在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动：上午9：00至下午15：00.Ⅰ）列表 0 描点连线得函数在一个周期内的简图为 （Ⅱ）由得 ，即 ∵ ∴或∴函数的， （Ⅲ）∵，∴， ∴ . 当且仅当时，， 此时，函数取得最小值，取最小值. 即 ,解得, 所以，函数，当时， . 24. （Ⅰ）f(x)＝2sin(-) 因为　f(x)为偶函数，所以　又因为　0＜＜π，故　.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos. 由题意得,所以 故f(x)=2cos2x. 所以 （Ⅱ）依题意得， 所以 所以方程化为，即方程在有解， 令则在有解， 设所以 当即时，在单调递减，又所以要有实数解当且仅当即，所以 当即时，在单调递增，又所以没有实数解 综上所述，. 答图测 A O B a b c 命题人：周裕燕 审核人：江泽。

精品：【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

精品：【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形 7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BABA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内. 12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-.考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = . 【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ， 因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2.考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】( 【解析】试题分析：如图，画出函数u y sin 3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππx u ，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3x f ，当2π=x 时，23-=y 根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈23,3m ，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=x u ，并且求出u 的取值范围，然后画出函数u y sin 3=的图像，这问题转化为m y =与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m 的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π652sin 3x y 的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x ，ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 . 【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kTT +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a+=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x x x +-的值．【答案】（1）41；（2）7528. ∴．原式==，由以上知cosx ﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值 22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD 上划出一片三角形地块CMN 建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M ，N 分别在边AB ，AD 上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN 的周长为2千米，请探究∠MCN 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈， 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

福建省师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷

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福建师大附中2015-2016学年第一学期模块考试卷高一数学必修2（满分：150分，时间：120分钟） 说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 已知直线方程34)y x --，则这条直线的倾斜角是( ) A. 150︒B. 120︒C.60︒D.30︒2. 在空间直角坐标系中，点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A. (1,3,6)- B. (1,3,6)-- C. (1,3,6)-- D. (1,3,6)-- 3．已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是( ) A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，m Ìβ，则α⊥β4.已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=0或m=1 D ．m=0或m=1-5. 正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ， 异面直线M B '与CN 所成的角是( ) A ．0 B ．90C ． 45D ．606.若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ）A ．6πBC ．3πD ．12π 7．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为（ ） A ．22(4)(1)1x y -++= B ．22(4)(1)1x y +++= C ．（x+2）2+（y+4）2=1 D ．22(2)(1)1x y -++=8．已知实数,x y 满足22(5)(12)25,x y ++-= ） A ．5B ． 8C ． 13D ．189．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，11=AA ，则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为（ 1A ．63 B ．552C ．515D ．51010．已知点()()4,0,0,2B A －,点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ,则使090=∠APB 的点P 的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．311．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体的三视图 中的正视图和俯视图如图所示，若 该几何体的表面积为64 80 ，则 r ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 812. 已知点(,)M a b ,(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么( )A.//m n 且n 与圆O 相离B. //m n 且n 与圆O 相交C.m 与n 重合且n 与圆O 相离D. m n ⊥且n 与圆O 相交二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k 为何值，直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________. 14．在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1C BD C --的正切值为 ． 15．点P (4，－2)与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是 ．16．若直线x y k +=与曲线y =,则k 的取值范围是 . 17．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于 ．18．若直线m 被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为则m 的倾斜角可以是8832①15② 45③60 ④ 105︒ ⑤120︒ ⑥165︒其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 三、解答题：（本大题共5题，满分60分） 19．（本小题满分12分）如图,已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-，(21)B ,--，(23)C ,．（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标； （2）在∆ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程； （3）求ACD ∆的面积.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1) 求证：EF //平面PAD ； (2) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (3) 求二面角B PD C --的正切值． 21．(本小题满分10分)一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ,拱圈内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示.(1) 建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；(2)近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水 面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m 2.45≈)BACxyOB22．（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠= . (1)证明:1AB AC ⊥; (2)若2AB CB ==,1AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.23．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=， （1）求过点(4,6)的圆1C 的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍. 试求所有满足条件的点P 的坐标.福建师大附中2015-2016学年第一学期模块考试卷解答高一数学必修2一、选择题：CDBCB,BABDB, CA 二、填空题： 13. (2,3) 1422(2)1)1x y -+＋(＝ 16．11k k -≤<=或318. ④或⑥ 三、解答题：（本大题共5题，满分60分） 19.解：（11分 设点D 坐标为（x,y ）,由已知得M 为线段BD 中点，有解得⎩⎨⎧==83y x所以D （3,8） …………………4分(2)5分 所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-…………………6分故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+，即为5190x y +-=………8分 （3）(2,3),(3,8)C D由C ，D 两点得直线CD 的方程为：570x y --=……………………10分11分12分20．（本小题满分13分） (1)证明：ABCD 为平行四边形 连结AC BD F = ，F 为AC 中点，E 为PC 中点∴在CPA ∆中，EF //PA且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面// ………4分(2)证明： 面PAD ⊥面ABCD ，平面PAD 面ABCD AD = 又 ABCD 为正方形∴CD AD ⊥，且CD ⊂平面ABCD ∴CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥又PA PD AD ==∴PAD ∆是等腰直角三角形， ∴PA PD ⊥又CD PD D = ，且CD 、PD ⊆面ABCD∴PA ⊥面PDC 又 PA ⊆面PAB∴面PAB ⊥面PDC ………8分(3) 解：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF ,则EM PD ⊥,由(2)知EF ⊥面PDC∴EF PD ⊥ ∴PD ⊥面EFM ∴PD MF ⊥，∴EMF ∠是二面角B PD C --的平面角在Rt FEM ∆中，124EF PA a == 1122EM CD a ==4tan 122EF EMF EM a ∠===故所求二面角的正切值为2 ………13分21．(本小题满分10分)21．(1)解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A,B,D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C(0, b).因为|CD|=|CB|，所以8b -=，解得12b =-．所以圆拱所在圆的方程为:2222(12)(812)20x y ++=+==400(2)当x=4时,求得y ≈7.6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m, 距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m ）以上，船才能顺利通过桥洞．22．（本小题满分12分(1)取AB 的中点O,连接OC 、1OA 、1A B ,因为CA=CB,所以OC AB ⊥,由于 AB=A A 1,∠BA A 1=600,故,AA B ∆为等边三角形,所以OA 1⊥AB.C 1B 1AA 1B C因为OC ⋂OA 1=O,所以AB ⊥平面OA 1C.又A 1C ⊆平面OA 1C,故AB ⊥A 1C. (2)由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形，12AA B 都是边长为的等边三角形，所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB===+⊥⊥ 又=A C ，故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC 的体积23. （本小题满分13分）解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为()64y k x -=-， 则圆心1C 到切线的距离4d ==，解得512k =所以切线的方程为：512520x y -+=;若切线的斜率不存在，则切线方程为4x =，符合题意.综上所述，过P 点的圆1C 的切线方程为512520x y -+=或4x =. ……4分（2）设点(,)P a b 满足条件, 不妨设直线1l 的方程为：()(0)y b k x a k -=-≠,即0(0)kx y b ak k -+-=≠,则直线2l 的方程为：1()y b x a k-=--，即0x ky b k a +--=.因为圆1C 的半径是圆2C 的半径的2倍,及直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍,所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离是圆2C 的圆心到直线2l 的距离的2倍,即2=……8分整理得 214(28)ak b a b k -=-+-从而214(28)ak b a b k -=-+-或214(28)b ak a b k -=-+-, 即(28)214a b k a b -+=+-或(28)214a b k a b +-=-++,因为k的取值有无穷多个,所以2802140a ba b-+=⎧⎨+-=⎩或2802140a ba b+-=⎧⎨-++=⎩, ……11分解得46ab=⎧⎨=⎩或36525ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,这样点P只可能是点1(4,6)P或点2362(,)55P.经检验点1P和点2P满足题目条件. ……13分。

初中数学自主招生考试试题含解析2

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2015年福建省福州自主招生考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠32．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，166．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．39．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= ．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是．15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．22．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．2015年福建省福州一中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1且x≠3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0且x﹣3≠0，解得：x≥﹣1且x≠3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a|的结果为（）A．﹣2a+b B．﹣b C．﹣2a﹣b D．b【考点】实数与数轴．【分析】根据绝对值的意义，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案．【解答】解：由题意，得原式=b﹣a﹣（﹣a）=b﹣a+a=b，故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴，利用绝对值的意义化简绝对值是解题关键．3．如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移的性质，结合图形求得平移后的图形，采用排除法判定正确选项．【解答】解：观察可知，平移后的图形，上下火柴棒方向不变，位置改变；左右火柴棒，往中间移动，方向不变，位置改变．只有B符合．故选B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．4．打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键．【解答】解：因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除B，清洗时水量大致不变，函数图象与x轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除A，对于C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水．故选D．【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．5．对参加某次野外训练的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：年龄13 14 15 16 17 18人数 4 5 6 6 7 2则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）A．17，15.5 B．17，16 C．15，15.5 D．16，16【考点】众数；中位数．【专题】图表型．【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【解答】解：17出现的次数最多，17是众数．第15和第16个数分别是15、16，所以中位数为15.5．故选：A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，掌握各部分的概念是解题关键．6．如图所示，圆A和圆B的半径都为1，AB=8．圆A和圆B都和圆O外切，且三圆均和直线l相切，切点为C、D、E，则圆O的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】相切两圆的性质；切线的性质．【分析】如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R，在RT△AOM中利用勾股定理即可解决．【解答】解：如图，连接AC、BE、AB、AO、OB、OD，OD与AB交于点M．设⊙O半径为R．∵AC⊥CE，DO⊥CE，BE⊥CE，∴AC∥OD∥BE，∵AC=BE=1，∴四边形ACEB是平行四边形，∵∠ACD=∠ODC=∠BEC=90°，∴四边形ACEB是矩形，∴DM=AC=1，∵AB∥CE，OD⊥CE，∴OD⊥AB∵OA=OB，∴AM=BM=AB=4，在RT△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴（R+1）2=42+（R﹣1）2，∴R=4故选B．【点评】本题考查相切两个圆的性质、切线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设参数，构建方程解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＜0；③2a+b=0；④a+b＞0．则其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据对称轴x=﹣=1即可确定2a+b的取值范围，根据b=﹣2a，a＜0可以确定a+b＞0是否成立．【解答】解：∵抛物线开口朝下，∴a＜0，∵对称轴x=1=﹣，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②错误．∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴2a+b=0，故③正确；∵b=﹣2a，∴a+b=a﹣2a=﹣a，∴a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b＞0，故④正确；故选B．【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE 的值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】首先过点E作EH⊥BC于点H，由矩形的性质，可得EH=AB=2，由折叠的性质，可得BE=DE，设AE=x，由勾股定理即可求得方程：22+x2=（6﹣x）2，解此方程即可求得BH的长，易得△BEF是等腰三角形，又由等腰三角形的性质，可求得BF的长，继而求得答案．【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴EH=AB=2，∠A=90°，设AE=x，则DE=AD﹣AE=6﹣x，由折叠的性质可得：BE=DE=6﹣x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，∴BH=AE=，DE=，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∵∠DEF=∠BEF，∴∠BEF=∠BFE，∴BF=DE=，∴FH=BF﹣BH=，∴tan∠BFE===3．故选D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．9．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）A．B．C． D．【考点】几何体的展开图．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．故选B．【点评】解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．10．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了（）A．1场B．2场C．3场D．4场【考点】推理与论证．【分析】根据甲参赛了5场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了1场，戊只和甲比赛了一场；再根据乙已经赛了4场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁已经赛了2场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了3场，则丙和甲、乙、小强各比赛了一场．所以小强比赛了3场．【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比5场．甲已经赛了5场，则说明甲和其他5人都比了一场；由此可知：甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；乙赛了4场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小强；丁赛了2场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；丙赛了3场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩下的一场比赛必为和小强的比赛．因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．故选C．【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置11．对正实数a，b作定义a*b=﹣a，若2*x=6，则x= 32 ．【考点】二次根式的化简求值．【分析】根据定义把2*x=6化为普通方程，求解即可．【解答】解：∵a*b=﹣a，∴2*x=﹣2，∴方程2*x=6可化为﹣2=6，解得x=32，故答案为：32【点评】本题主要考查二次根式的化简，利用新定义把方程化为普通方程是解题的关键．12．罗马数字有7个基本符号，它们分别是I，V，X，L，C，D，M分别代表1，5，10，50，100，500，1000．罗马数依靠这7个符号变换组合来表示的，如：I，II，III，IV，V，VI，VII，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用IX，X，XI，XII，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为LII表示的数应该是52 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】根据上述数字的表示方法，可以发现：如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．则LII=50+1+1=52．【解答】解：LII=50+1+1=52．【点评】能够根据具体例子发现规则，然后进行计算．解题的关键是要知道如果较小的数字在较大的数字前面，则表示的数是较大的数表示的数字减去较小的数字；如果较小的数字写在较大的数字的后面，则表示的数的较大的数字加上较小的数字．13．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球，若往口袋中再放入x 个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，则y与x之间的函数关系式为y=3x+5 ．【考点】概率公式．【分析】根据白球的概率公式：得到相应的方程： =，根据方程求解即可．【解答】解：∵取出一个白球的概率P=，∴=，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5．故答案为：y=3x+5．【点评】此题主要考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．若关于x的不等式组有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是14＜a＜16 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有四个整数解，求出实数a的取值范围．【解答】解：解①得x＞2，解②得x＜a，∴2＜x，∵不等式组有且只有四个整数解，即3，4，5，6；∴7＜a＜8，即14＜a＜16．故答案为14＜a＜16．【点评】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了15．将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是20.3 cm2（结果精确到0.1，≈1.73）．【考点】旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．【解答】解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，则GF=FC=x，∵旋转角为60°，即可得∠FAG=60°，∴AF=GFcot∠FAG=x．所以x+x=8，则x=12﹣4．所以S△AGC=×8×（12﹣4）≈20.3cm2．故答案为：20.3．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．三、解答题：本大题共7小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（1）计算： +（）﹣2﹣20150﹣2cos30°+|﹣|（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中x=﹣6．【考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；分式．【分析】（1）原式利用算术平方根，零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=5+9﹣1﹣+=13；（2）原式=﹣÷=•=，当x=﹣6时，原式===．【点评】此题考查了实数的运算，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣6，n），线段OA=5，E 为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，根据已知的三角函数值和线段OA的长求出AD与OD的长，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式中求出反比例函数的解析式；（2）把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到B的坐标，然后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中，求出k与b的值即可得到一次函数解析式，从而求出点C的坐标，得到OC的长，最后利用三角形的面积公式求出△AOC与△BOC的面积，相加即可得到△AOB的面积．【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，∵tan∠AOE==，设AD=4x，OD=3x，∵OA=5，在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，∴A（3，4），把A（3，4）代入反比例函数y=中，解得：m=12，则反比例函数的解析式为y=；（2）把点B的坐标为（﹣6，n）代入y=中，解得n=﹣2，则B的坐标为（﹣6，﹣2），把A（3，4）和B（﹣6，﹣2）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0）得，解得，则一次函数的解析式为y=x+2，∵点C在x轴上，令y=0，得x=﹣3即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×4+×3×2=9．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，三角形函数值，以及三角形的面积公式的运用，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．（1）求证：△NPQ∽△PMR；（2）如果圆O的半径为，且S△PMR=4S△PNQ，求NP的长．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的性质．【分析】（1）只要证明两角对应相等即可证明．（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，先证明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意S=4S△PNQ，推出PR=4PQ，即2+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，△PMR再利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵NQ、RM是⊙O切线，∴NQ⊥MN，MR⊥MN，∴NQ∥MR，∴∠Q=∠R，∵MN是直径，∴∠MPN=∠MNQ=90°，∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，∴∠QNP=∠NMP，∵OM=OP，∴∠OPM=∠OMP，∴∠QNP=∠RPM，∴△NPQ∽△PMR．（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，在△OMR和△ONQ中，，∴△OMR≌△ONQ，∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）∵OE=OP，∴RE=PQ，时PQ=RE=a，由题意S△PMR=4S△PNQ，∴PR=4PQ，即2+a=4a，∴a=．在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=，OQ=，∴NQ==，∵•OQ•FN=•ON•QN，∴FN=，在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=，FN=，∴OF==，在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=，FN=，∴PN==2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型．19．如果方程x2+bx+c=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=﹣b，x1x2=c，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根之差的绝对值为，求a的值；（2）已知关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）有两个实数根，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由韦达定理可得x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，根据|x1﹣x2|=即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，代入解关于a的方程可得；（2）根据韦达定理知x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，由y1=、y2=，可知y1+y2、y1y2，继而可得新方程．【解答】解：（1）设方程x2﹣（a+1）x+a2+1=0的两根为x1、x2，则x1+x2=a+1，x1x2=a2+1，∵|x1﹣x2|=，∴（x1﹣x2）2=5，即（x1+x2）2﹣4x1•x2=5，∴（a+1）2﹣4（a2+1）=5，解得：a=4；（2）方程x2+px+q=0（q≠0）中x1+x2=﹣p，x1x2=q，设新方程两个分别为y1、y2，则y1=、y2=，∴y1+y2===﹣，y1y2==，故新方程为y2+y+=0．【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．20．福州一中初一（1）班的班徽如图1所示，班徽由一个菱形和一个正三角形组合构成，如图2，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，△DMN为正三角形，如果点M、N分别在菱形的变AB、BC上滑动，且M、N不与A、B、C重合．（1）证明：不论M、N如何滑动，总有BM=CN；（2）在M、N滑动的过程中，试探究四边形DMBN的面积是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）求△BMN的面积的最大值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△CDN≌△BDM，得到答案；（2）根据割补法求面积的思想解答；（3）当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．△DMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又根据S△BMN=S四边形DMBNF﹣S△DMN，则△BMN的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°，∴∠CDN+∠BDN=60°，∵∠BDM+∠BDN=60°，∴∠CDN=∠BDM，∵∠ADC=120°，∴△ABD和△CBD为等边三角形，∴∠ABD=60°，DC=DB，在△CDN和△BDM中，，∴△CDN≌△BDM（ASA），∴BM=CN；（2）解：四边形AECF的面积不变．理由：由（1）得△CDN≌△BDM，则S△CDN=S△BDM，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作DH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形DMBN=S△DBC=BC•DH=BC•=4；（3）由“垂线段最短”可知：当正三角形DMN的边DN与BC垂直时，边DN最短．故△BMN的面积会随着DN的变化而变化，且当DN最短时，正三角形DMN的面积会最小，又S△BMN=S四边形DMBN﹣S△DMN，则此时△BMN的面积就会最大．∴S△BMN=S四边形DM BN﹣S△DMN=4﹣×2×=，∴△BMN的面积的最大值为．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△CDN≌△BDM 是解题的关键，有一定难度．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x 轴上，点B的横坐标为﹣8．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E，设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）令y=0，则x﹣=0，解得x=2，x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣，∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），把点A、B代入抛物线得，解得，∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣x+；（2）∵点P在抛物线上，点D在直线上，∴P点坐标为（x，﹣ x2﹣x+），D点坐标为（x， x﹣），∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，∵PE⊥AB，∴∠DPE+∠PDE=90°，又∵PD⊥x轴，∴∠BAO+∠PDE=90°，∴∠DPE=∠BAO，∵D在直线AB上，∴=，∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，∴PE=PDcos∠DPE=PD，DE=PDsin∠DPE=PD，∴△PDE的周长为l=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4﹣）=﹣x2﹣x+，即l=﹣x2﹣x+；∵l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∴当x=﹣3时，l最大值为15．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（2）利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键．22．（14分）（2015•福州校级自主招生）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1）请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36 ；（2）试证明：当k为正整数时，k（k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3）记第n个k变形数位N（n，k）（k≥3）．例如N（1，3）=1，N（2，3）=3，N（2，4）=4．①试直接写出N（n，3）N（n，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N（n，5）=n2﹣n，N（n，6）=2n2﹣n，…，请你推测N（n，k）（k≥3）的表达式，并由此计算N（10，24）的值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；（2）通过因式分解，将k（k+1）（k+2）（k+3）+1化解为完全平方数，即为正方形数；（3）①由图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，即可得出结果；②由N（n，3）=，N（n，4）=，N（n，5）=，N（n，6）=，可推断N（n，k）=（k≥3），将N（10，24）代入即可得出结果．【解答】（1）解：∵正方形数点的个数是为n2，∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…，∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三角形数点的个数是为，∵4=无正整数解，∴4不是三角形数，∵9=无正整数解，∴9不是三角形数，∵16=无正整数解，∴16不是三角形数，∵25=无正整数解，∴25不是三角形数，∵36=，解得n=8，所以36是三角形数，∴除1外，最小的既是三角形数又是正方形数的是36，故答案为36；（2）证明：∵k（k+1）（k+2）（k+3）+1=k（k+3）（k+1）（k+2）+1=（k2+3k）（k2+3k+2）+1=（k2+3k）2+2（k2+3k）+1=（k2+3k+1）2∴k（k+1）（k+2）（k+3）+1是完全平方数，即为正方形数；（3）解：①由（1）知：N（n，3）=，N（n，4）=n2；②∵N（n，3）===，N（n，4）=n2==，N（n，5）=n2﹣n==，N（n，6）=2n2﹣n==，∴由此变化规律可推断N（n，k）=（k≥3）；∴N（10，24）==1000．【点评】本题考查三角形数、正方形数的规律、完全平方数与归纳推理等知识，观察已知式子的规律并改写形式是解决问题的关键．。

福建省师大附中2014_2015学年高一数学上学期期末考试试题

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福建师大附中2014-2015学年第一学期模块考试卷高一数学必修2（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷. 第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列说法正确的是A ．三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 共点的三条直线确定一个平面 2．直线310x +=的倾斜角是 A ．30B ．60C ．120D ．1353．已知空间中两点(123)A ，，，),24(a B ，，且||AB =10，则a 的值是 A. 2 B. 4 C. 0 D. 2或4 4．圆221:9C x y +=和圆222:8690C x y x y +-++=的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5．若直线(1)20x m y m +++-=和直线082=++y mx 平行，则m 的值为A ．1B ．2-C ．1或2-D ．32- 6．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别为棱BC 和 棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为 A ．30° B ．45° C ．90°D ． 60° 7．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ① 若//,//,αβαγ 则//βγ ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥③ 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ ④若//,m n n α⊂，则//m α其中正确命题的序号是A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④8．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是(单位:3cm)1 AA ．328π+B ．π+8C .3212π+ D. π+129．已知实数x 、y 满足方程221x y +=，则2x -的取值范围是 A ．[33-B ．3(,[,)33-∞-+∞C ．[D ．([3,)-∞+∞10．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知3,11==AA AB ，E 为AB 上一个动点，则CE E D +1的最小值为 A ．22 B ．10 C ．15+ D ．22+二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答案卷的相应位置. 11．已知过点A （－2，m ）和点B （m ，4）的直线与直线12=+y x 垂直，则m 的值为 . 12．已知直角三角形ABC 的边长分别为3、4、5，将三角形ABC 绕斜边所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的表面积为 .13．如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长均为5，则二面角V-AB-C 的大小为 .14．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当底面ABCD 满足 时，有C 1 A B C DA 1B 1 D 1 侧视图主视图俯视图A B 1C 1三、解答题:本大题有2小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）如图，已知三角形的顶点为(2,4)A ，(0,2)B -，(2,3)C -. （Ⅰ）求AB 边上的中线CM 所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 的面积． 16．（本小题16分）如图，在三棱柱111ABC A BC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC 3,4,AC BC == 5,AB =14AA =,点D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：11//AC CDB 平面； （Ⅱ）求证：1AC BC ⊥；（Ⅲ）求直线1AB 与平面11BB C C 所成的角的正切值.第II 卷 共50分一、选择题: 本大题有3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 17．若曲线y =34y x b =+有公共点，则b 的取值范围是 A ．[4,1]- B ．[4,0]- C ．[3,1]- D ．1[3,]2-18．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l:0x y b -+=的距离为则b 的取值范围是A. [2,2]-B. [10,10]-C. (,10][10,)-∞-+∞D. (,2][2,)-∞-+∞ 19．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水. 如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②）， 则图①中的水面高度为 A.3aB. 2aC.2a D. 12a ⎛- ⎝⎭ 二、填空题：本大题有2小题，每小题4分，共8分.把答案填在答案卷的相应位置.20．直线()()2132150m x m y m ++-+-=被圆2216x y +=截得弦长的最小值为 .21．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =.有下列结论：①AC BE ⊥； ②EF ∥平面ABCD ； ③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等.其中正确的有 .(写出所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．(本小题满分10分)如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，（Ⅰ）建立适当平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； （Ⅱ）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要 有0.5 m. 请计算车辆通过隧道的限制高度.23．(本小题满分10分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是等腰直角三角形，90o APD ∠=，且平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若2,4AD AB ==，求三棱锥P ABD -的体积；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P ABCD -的外接球的表面积24．（本小题满分10分）已知圆O 的直径AB=4，定直线l 到圆心的距离为4，且 直线l ⊥直线AB. 点P 是圆O 上异于A 、B 的任意一点， 直线PA 、PB 分别交l 与M 、N 点. 如图，以AB 为x 轴，圆心O 为原点建立平面直角坐标系xOy . （Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN 为直径的圆方程；（Ⅱ）当点P 变化时，求证：以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点福建师大附中2014-2015学年第一学期模块考试卷高一数学必修2参考答案第I 卷 一、选择题：二、填空题： 11. 2 12.845π 13.60o 14.AC BD ⊥(或ABCD 为菱形等) 三、解答题:15.解：（Ⅰ）解：AB 中点M 的坐标是(1,1)M ，中线CM 所在直线的方程是113121y x --=---，即2350x y +-= .（Ⅱ）解法一： AB ==直线AB 的方程是320x y --=， 点C 到直线AB 的距离是d ==所以△ABC 的面积是1112S AB d =⋅=． 解法二：设AC 与y 轴的交点为D ，则D 恰为AC 的中点，其坐标是7(0,)2D ，112BD =， 11ABC ABD BD S S S =+=△△△C 16．（Ⅰ）如图，令，，连接于点交OD O CB BC 11,21//11AC OD AB BC D O ∴的中点，和分别是、 又111,OD CDB AC CDB ⊂⊄平面平面，11//AC CDB ∴平面（Ⅱ）证明：∴===,5,4,3AB BC AC ∠AC ACB 即,900=⊥,BC在直三棱柱111ABC A BC -中,AC ⊥,1C C 又AC C C C BC ∴=,1 ⊥平面1BCC ,又AC BCC BC ∴⊂,11平面⊥.1BC （Ⅲ）由（Ⅱ）得AC ⊥平面11B BCC∴直线1B C 是斜线1AB 在平面11B BCC 上的射影 ∴1ABC ∠是直线1AB 与平面11B BCC 所成的角 在1Rt AB C ∆中，1BC =3AC =∴1tan AB C ∠==，即求直线1AB 与平面11BB C C第II 卷 共50分一、填空题：二、选择题：20. . 21. ①②③. 三、解答题： 22. 解：222EF MN 1m M(0,3), (x-0)+(y-b) F(33,0)M(0,3)x y r =(1)以所在直线为轴，以所在直线为轴，以为单位长度建立直角坐标系。

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(解析版)附答案

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(解析版)附答案

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(附答案)一、选择题1．已知直线方程34)y x --，则这条直线的倾斜角是（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【答案】C【解析】试题分析：由题意得，直线的斜率为k =tan α=60α= ，故选C ．【考点】直线的倾斜角．2．在空间直角坐标系中，点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A ．(1,3,6)- B ．(1,3,6)-- C ．(1,3,6)-- D ．(1,3,6)-- 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是(1,3,6)--，故选D ．【考点】空间直角坐标系．3．已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不．正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m β，则α⊥β 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A 中，若//,m n m α⊥，则有直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，所以是正确的；B 中，若//,m n ααβ= ，则m 与n 平行或异面，所以是不正确的；C 中，若,m m αβ⊥⊥，则由平面与平面平行的判定定理得//αβ，所以是正确的；D 中，,m m αβ⊥⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，所以是正确的． 【考点】空间中线面位置的判定．4．已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（ ）ÌA ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1- 【答案】C【解析】试题分析：由12l l ⊥，得(1)1(2)0m m m ⨯++⨯-=，解得0m =或1m =，故选C ．【考点】两直线垂直的应用．5．正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所成的角是（ ）A ．0 B ． 90 C ． 45 D ．60【答案】B 【解析】试题分析：取A A '的中点为E ，连接BE ，则直线B M '与CN 所成角就是直线B M'与BE 所成的角，由题意得得B M BE '⊥，所以异面直线M B '与CN 所成的角是90，故选B ．【考点】异面直线所成的角．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（ ）A ．6π BC ．3πD ．12π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即2R =所以R =，所以求得体积为334433V R ππ==⨯=．【考点】球的组合及球的体积的计算．7．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为（ ） A ．22(4)(1)1x y -++= B ．22(4)(1)1x y +++= C ．（x+2）2+（y+4）2=1 D ．22(2)(1)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为()1,2，设圆心()1,2关于直线20x y --=的对称点为(,)P x y ，则2111122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得4,1x y ==-，所以对称圆方程为22(4)(1)1x y -++=．【考点】点关于直线的对称点；圆的标准方程．8．已知实数,x y满足22(5)(12)25,x y ++-= ）A ．5B ．8C ．13D ．18 【答案】B【解析】试题分析：=(,)P x y 到原点的距离，所以的最小值表示圆()()2251225x y ++-=上一点到原点距离的最小值，又圆心()5,12-到原点的距离为13=的最小值为138R -=，故选B ．【考点】圆的标准方程及圆的最值．9．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：连接11AC 交11B D 于点O ，连接BO ，因为长方体中，，所以1C O ⊥平面11BDD B ，所以1C BO ∠为1BC 与平面11BDD B 所成角，因为11112C O A C ==，1BC ，所以111sin C O C BO BC ∠===，故选D ．1111D C B A ABCD -2==BC AB 11=AA 1BC D D BB 11635525155101111D C B A ABCD -2==BC AB1A 1A【考点】直线与平面所成角的求解．10．已知点()()4,0,0,2B A －，点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ，则使090=∠APB 的点P 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：设(,)P x y ，要使90APB ∠=，只需P 到AB 中点(1,2)-的距离为12AB ==，而圆上的所有点到AB 中点距离范围为，即，所以使090=∠APB 的点P 的个数只有一个，就是AB 中点与圆心连线与圆的交点．【考点】点与圆的位置关系．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为6480π+，则r =（ ）A ．1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】 C【解析】试题分析：由几何体的三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体的一个半球和一个半圆柱，所以其表面积为22222111422254222S r r r r r r r r πππππ=⨯+++⨯+=+，又因为该几何体的表面积为1620π+，即22546480r r ππ+=+，解得4r =．【考点】几何体的三视图；体积的计算． 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力，求解三视图问题时，要牢记三是的规则“长对正，高平齐、宽相等”，得到原结合体的形状，再根据几何体的体积公式求解几何体的体积，本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体，通过计算半球的体积和半个圆柱的体积，从而得到给几何体的体积． 12．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ）A ．//m n 且n 与圆O 相离B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交 【答案】A【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab -，所以//n m ，圆心到直线n，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，r >，所以直线n 与圆相离，故选A ．【考点】直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．二、填空题13．不论k 为何值，直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________． 【答案】(2,3)【解析】试题分析：由题意得，直线(21)(2)(4)k x k y k ----+=，可化为(21)(24)0k x y x y ---+-=，解方程组240210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得2,3x y ==，所以直线恒经过点(2,3)． 【考点】直线方程．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1C BD C --的正切值为 ．【解析】试题分析：设正方体111A B C D A B C D -的棱长为a ，则111,BD DC BC CD BC CC a ======，取BD 的中点O ，连接1,OC OC ，则1COC ∠就是二面角1C B DC --的平面角，因为12CO BD ==，所以1t a n 2C O C ∠．【考点】二面角的求解．15．点P （4，－2）与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是 ． 【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】试题分析：设圆上任意一点为11(,)A x y ，AP 中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，代入224x y ＋＝得22(24)(22)4x y -++=，化简22(2)(1)1x y -++=，所以轨迹方程为22(2)(1)1x y -++=．【考点】轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键．本题解答中通过设圆上任意一点为11(,)A x y ，表示AP 中点为(),x y ，确定出A 与AP 中点坐标之间的关系112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，再代入圆的方程，化简即可得到动点的轨迹方程． 16．若直线x y k +=与曲线y =k 的取值范围是 ．【答案】11k k -≤<=或【解析】试题分析：曲线y =(1,0)A -时，直线y x k =-+与半圆只有一个交点，此时1k =-；当直线过点(1,0),(0,1)B C 时，直线y x k =-+与半圆有两个交点，此时1k =；当直线y x k =-+与半圆相切时，只有一个公共点，k =11k -≤<或k =x y k +=与曲线y =个公共点．【考点】直线与圆的方程的应用．17．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 ．【答案】【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为2，如图，在底面内的射影为的中心，故DA =由勾股定理得13A D ==，过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC所成角，且1B E =，作1A S AB ⊥于中点S，所以111ABC A B C -1A ABC ABC △1ABABC 31A ABC ABC △1AS =，所以1AB ==，所以与底面所成角的正弦值为1sin 3B AE ∠==．【考点】直线与平面所成的角．18．若直线被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为的倾斜角可以是①；②；③；④105︒；⑤120︒；⑥165︒其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号） 【答案】④或⑥【解析】试题分析：由题意得，两直线12,l l之间的距离为d ===线被两平行线1:0l x y +=与2:0l x y +=所截得的线段的长为m 与直线0x y +=的夹角为45，所以直线的倾斜角可以是105︒或165︒．【考点】两平行线之间的距离；直线的夹角． 【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用，属于中档试题，解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长，确定两条直线的位置关系（夹角的大小），本题的解答中，根据平行线之间的距离和被截得的线段长为确定直线m 与两平行线的夹角为45，从而得到直线m 的倾斜角．三、解答题19．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-，(21)B ,--，(23)C ,．1ABABC m m 15 45 60 m m（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标； （2）在∆ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程； （3）求ACD ∆的面积．【答案】（1）(3,8)；（2）5190x y +-=；（3）8．【解析】试题分析：（1）设AC 的中点为M ，则由M 为AC 的中点求得17(,)22M ，设点D 坐标为(,)x y ，由已知得M 为线段BD 中点，求D 的坐标；（2）求得直线CD 的斜率CD k ，可得CD 边上的高线所在的直线的斜率为15-，从而在ACD ∆中，求得CD 边上的高线所在直线的方程；（3）求得CD ，用两点式求得直线CD 的方程，利用点到直线的距离公式，求得点A 到直线CD 的距离，可得ACD ∆的面积． 试题解析：（1）），点坐标为（则边中点为设2721,M M AC 设点D 坐标为（x ，y ），由已知得M 为线段BD 中点，有[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-27212122y x 解得⎩⎨⎧==83y x 所以D （3，8）（2）所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+，即为5190x y +-= （3）(2,3),(3,8)C D由C ，D 两点得直线CD 的方程为：570x y --=【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式． 20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．（1）求证：//平面； （2）求证：面平面； （3）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接AC ，直线证明//EF PA ，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA ⊥面PDC ，进而转化为证明,PA PD PA DC⊥⊥，可证PAD ∆为等腰直角三角形，可得PA AD ⊥；由面PAD ⊥面ABCD 的性质及正方形ABCD 的性质可证CD ⊥面PAD ，得CD PA ⊥；（3）设PD 的中点为M ，连接,EM MF ，则EM P D ⊥，由此可知PD ⊥平面EFM ，则EM F ∠是二面角的平面角，通过解Rt FEM ∆可得所求二面角的正切值． 试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点， 为中点∴在中，//，且平面，平面 ∴（2）证明：面面 ，平面面 又为正方形，且平面平面，∴，又是等腰直角三角形， 又，且、面面 又面，面面（3）解：设的中点为，连结，，则， 由（2）知面面 ， 是二面角的平面角P ABCD -ABCD a PAD ⊥ABCD PA PD AD ==E F PC BD EF PAD PAB ⊥PDC B PD C --B PD C --ABCD AC BD F = F AC E PC CPA ∆EF PA PA ⊆PAD EF ⊄PAD PAD EF 平面// PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD = ABCD ∴CD AD ⊥CD ⊂ABCD CD ⊥PAD CD PA ⊥2PA PD AD ==∴PAD ∆∴PA PD ⊥CD PD D = CD PD ⊆ABCD ∴PA ⊥PDC PA ⊆PAB ∴PAB ⊥PDC PD M EM MF EM PD ⊥EF ⊥PDC ∴EF PD ⊥∴PD ⊥EFM ∴PD MF ⊥∴EMF ∠B PD C --B在中，【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的求解．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ，拱圈内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示．（1）建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m 2.45≈）【答案】（1）400；（2）0.9．【解析】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，确定,,A B D 三点的坐标，根据CD CB =，求解圆心坐标，从而得到圆的方程；（2）代入4x =，可得7.6y ≈米，可判断桥拱宽为8m 的地方距离正常水位时水面的宽度，通过比较可判断船是否通过．试题分析：（1）解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A ，B ，D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C （0，b ）．因为|CD|=|CB|，所以8b -12b =-．所以圆拱所在圆的方程为： 2222(12)(812)20x y ++=+==400（2）当x=4时，求得y ≈7．6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7．60m ，距涨水后的水面约5．6m ，因为船高6．5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6．5-5．6=0．9（m ）以上，船才能顺利通过桥洞．【考点】圆的方程及其应用．22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= ．Rt FEM ∆124EF PA a ==1122EM CD a ==4tan 12a EF EMF EM a ∠===（1）证明：1AB AC ⊥； （2）若2AB CB ==，1AC =111ABC A B C -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）由题目给出的边的关系，可取AB 的中点O ，连接1,OC OA ，通过证明AB ⊥平面1OAC ，即可证明1AB AC ⊥；（2）在三角形1OAC 中，由勾股定理得到1OA OC ⊥，再根据1OA AB ⊥，得到1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求解体积．试题解析：（1）取AB 的中点O ，连接OC 、1OA 、1A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥，由于AB=AA 1，∠BA A 1=600，故,AA B ∆为等边三角形，所以OA 1⊥AB ．因为OC ⋂OA 1=O ，所以AB ⊥平面OA 1C ．又A 1C ⊆平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．（2）由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形， 12AA B 都是边长为的等边三角形，所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB ===+⊥⊥ 又=A C ，故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC 的体积【考点】直线与平面垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质和几何体的体积的计算，属于中档试题，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解答此类问题的关键是把线线垂直的证明转化为线与面垂直，利用线面垂直的性质证明1AB AC ⊥；第2问中，利用线面垂直，确定几何体的高是解答三棱锥的体积的是求解几何体体积的一个难点．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=．（1）求过点(4,6)的圆1C 的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）512520x y -+=或4x =；（2）1(4,6)P 或2362(,)55P ． 【解析】试题分析：（1）设出切线方程()64y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求解k 的值，从而确定切线的方程；（2）设出直线1l 的方程，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，确定,a b 的值，从而得到点的坐标．试题解析：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为()64y k x -=-，则圆心1C 到切线的距离4d ==，解得512k =所以切线的方程为：512520x y -+=;若切线的斜率不存在，则切线方程为4x =，符合题意．综上所述，过P 点的圆1C 的切线方程为512520x y -+=或4x =．（2）设点(,)P a b 满足条件， 不妨设直线1l 的方程为：()(0)y b k x a k -=-≠，即0(0)kx y b ak k -+-=≠，则直线2l 的方程为：1()y b x a k-=--，即0x k y b k a +--=．因为圆1C 的半径是圆2C 的半径的2倍，及直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离是圆2C 的圆心到直线2l 的距离的2倍，2=整理得 214(28)ak b a b k -=-+-从而214(28)ak b a b k -=-+-或214(28)b ak a b k -=-+-，即(28)214a b k a b -+=+-或(28)214a b k a b +-=-++，因为k 的取值有无穷多个，所以2802140a b a b -+=⎧⎨+-=⎩或2802140a b a b +-=⎧⎨-++=⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩或36525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，这样点P 只可能是点1(4,6)P 或点2362(,)55P ． 经检验点1P 和点2P 满足题目条件．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式和方程问题的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用，属于难度较大的试题，并着重考查了转化的思想方法和计算能力．本题的解答中设出直线1l 的方程，根据垂直关系，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，是解答一个难点，平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用．。

精品：【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)

精品：【全国百强校】福建省福建师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题(解析版)

第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且(0)0.1P X ≤=，则(12)P X ≤≤=（ ） （A ）0.1 （B ）0.4 （C ）0.6 （D ）0.9 【答案】B 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴曲线关于1x =对称，∴(2)(0)0.1P X P X >=≤=，故选：B ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． （2）直线12+=x y 的参数方程可以是（ ）（A ）2221x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数） （B ）⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） （C ）⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） （D ）sin 2sin 1x t θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）【答案】C考点：直线的参数方程．（3）在4次的独立重复试验中，事件A 在一次试验中发生的概率为13，则事件A 恰有1次发生的概率是（ ） （A ）881 （B ）1681 （C ）3281 （D ）8165 【答案】C【解析】试题分析：独立重复试验的性质可知，事件A 恰有1次发生的概率是31412323381C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 考点：独立重复试验.（4）学校要选派4名爱好摄影的同学中的3名参加校外摄影小组的3期培训（每期只派1名），由于时间上的冲突，甲、乙两位同学都不能参加第1期培训，则不同的选派方式有（ ） （A ）6种（B ）8种（C ）10种（D ）12种 【答案】D 【解析】考点：排列、组合及简单计数问题．（5）从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 表示“第1次取到的是奇数”， 事件B 表示“第2次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ） （A ）15 （B ）310 （C ）25 （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：由题意，2211353531035P AB C C P A C C ====（），（），∴()()332|1105P AB PB A P A ===（），故选D ． 考点：条件概率与独立事件．（6）()12(,6)nx n N n +∈≥的展开式中5x 和6x 的系数相等，则=n （ ） （A ）7 （B ）8 （C ）9 （D ）10 【答案】B 【解析】试题分析：二项式展开式的通项为12r r r r n T C x +=∴展开式中5x 和6x 的系数分别是556622n n C C ，∴556622n n C C =，解得8n =.故选B ．考点：二项式定理.（73x 项的系数为（ ） （A ）5 （B ）7 （C ）8 （D ）10 【答案】A 【解析】 试题分析：∵()5540132355552111 11(C x x x x x x x C C C -+=-⋅+⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝+⎝⋅⎭+⋅⎭45x C +⋅55)C +，故 展开式中含3x 项的系数为12555C C -=+． 考点：二项式定理的应用．（8）2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）（A ）[]1,2 （B ）(][),12,-∞+∞ （C ）(][),14,-∞-+∞ （D ）(][),25,-∞+∞ 【答案】C 【解析】考点：一元二次不等式的应用．（9）将5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的概率为（ ） （A ）50243 （B ）5081 （C ）6081 （D ）8081【答案】B 【解析】试题分析：先将5个人分成三组,()3,1,1或()1,2,2,分组方法有22314255252C C C C +=中,再将三组全排列有336A =种,故总的方法数有256150⋅=种.又将5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，共有53243=种，所以满足题意的概率为15050=24381.考点：1.1排列组合；2.古典概型.【方法点晴】平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以nn A 其中n 为均分的组数,这是为了避免重复计数.非平均分组问题无分配对象，只要按比例分完，再用乘法计数原理来计算.非平均分组有分配对象，要把组数当作元素个数再做排列. 分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列.（10）若多项式11210110121011(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++++，则10a 的值为（ ） （A ）11- （B ）10- （C ）10 （D ）11 【答案】A考点：二项式定理.（11）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（ ）（A ）12 （B ）28 （C ）54 （D ）63 【答案】D 【解析】试题分析：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a b c 、、，支线a b ，中至少有一个电阻断路情况都有2213-=种；支线c 中至少有一个电阻断路的情况有3218-=种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有33763⨯⨯=种情况. 考点：分布计算原理.【思路点睛】每个电阻都有断路与通路两种情况，图中从上到下有3条支线，分别记为a 、b 、c ，支线a 、b 中，至少有一个电阻断路的情况有3种，c 中至少有一个电阻断路的情况有23-1=7种，再根据分步计数原理求得结果． （12）若2015220150122015(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈,则12201522015a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）（A ）4030- （B ）2015- （C ）2015 （D ）4030 【答案】A 【解析】考点：导数的应用.【思路点睛】本体主要考查利用导数以及赋值法解决二项式问题，本题在解答过程中要注意，切不可用二项式定理的公式解决；首先注意到要求的结果，根据12201522015a a a ++⋅⋅⋅+，对2015220150122015(12)()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈两边求导数，即可得到要求的形式，然后再利用赋值法即可求出结果.第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分.（13）已知随机变量ξ的分布列如右表，且23ηξ=+， 则E η的值为 .【答案】215【解析】试题分析：由表格得到7131215155E ξ=⨯+⨯=，32123232355E E E ηξξ=+=+=⨯+=（）． 考点：离散型随机变量的期望与方差．（14）设nx⎛⎝的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为 .【答案】15 【解析】试题分析：由二项式系数的性质，可得264n=，解可得，6n =； 6x⎛- ⎝的展开式为为()()6121666(1rr r rr r rr T C x C x -+--=⋅⋅=-⋅⋅，令1602r r --=，可得4r =，则展开式中常数项为15． 考点：二项式定理.（15）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的方程为50x y +-=．已知点M 为曲线1C 上任意一点，则点M 到直线l 的距离的最大值是 .【答案】【解析】考点：参数方程.【思路点睛】由点到直线的距离公式可得，点M 到直线l4tan 3ϕ=，再根据三角函数的性质，即可求出结果. （16）已知11k k n n kC nC --=（1k n ≤≤，且*,k n N ∈），通过变式可以得到：1111k kn n C C k n--=；若将1n +赋给n ，又可得到11(1)k k n n kC n C -+=+；由已知也可得到：12110112211111111222222(12)3n n n n n n n n n n n n n C C nC nC nC nC nC n n ---------+⋅++⋅=+⋅+⋅++⋅=+=⋅ .请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：0122311111111()()()3233313nn n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯++⨯=+ .【答案】114[()1]13n n +-+【解析】考点：1、二项式定理；2、合情与演绎推理．【知识点睛】归纳推理和类比推理是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论是正确的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据:（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程ˆybx a =+； （Ⅱ）据此估计广告费支出为10万元时，所得的销售额.（参考数据：521145ii x==∑52113500ii y==∑511380i ii x y==∑，参考公式：回归直线方程x b a y ^^^+=，其中∑∑==-⋅-=ni ini ii xn xy x n yx b 1221^）【答案】（I ）ˆ 6.517.5y x =+；（II ）82.5.【解析】试题分析：（I ）根据公式求回归方程，要求出b a ,的值，代入公式即可；（II ）令10=x 代入回归直线方程即可求得销售额的值.（Ⅱ） 根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，6.51017.5=82.5y =⨯+ (万元)即这种产品的销售收入大约为82. 5万元. ..............................12分 考点：回归直线方程. （18）（本小题满分12分）近年空气质量逐步恶化，出现雾霾天气的现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病. 为了解某市心肺疾病是否与性别有关，某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到如下的列联表.已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为5（Ⅰ）请将列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．3位进行胃病检查，求至少有1位患有胃病的概率.【答案】（Ⅰ）列联表见解析；；（Ⅱ）有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关；；（Ⅲ）分布列见解析，0.9E x =.【解析】试题解析：解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为53，可得患心肺疾病的为30人，故可得,列联表补充如下. ..............................4分（Ⅱ）因为2K 的观测值()2250201551025252530203K ⨯-⨯==⨯⨯⨯≈8.333，.....................7分 又 P （27.879k ≥）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．...............................9分 （Ⅲ）从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行胃病检查，至少有1位患有胃病的概率37310717112424C P C =-=-=..............................12分 考点：独立性检验的应用． （19）（本小题满分10分） 已知()221f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()6f x <的解集；（Ⅱ）设,,m n p 为正实数，且(2)m n p f ++=，求证：3mn np pm ++≤． 【答案】（Ⅰ）(13)x ∈-，；（Ⅱ）证明详见解析． 【解析】试题解析：（Ⅰ）不等式2216x x -++<等价于不等式组1336x x <-⎧⎨-+<⎩或1256x x -≤≤⎧⎨-+<⎩，或2336x x >⎧⎨-<⎩， 解不等式组，得x ∈∅或12x -<≤或23x <<，..............................6分 所以不等式2216x x -++<的解集为(1,3)x ∈-． （Ⅱ）证明：∵3m n p ++=，∴2222()2229m n p m n p mn np mp ++=+++++=，..............................7分 ∵,,m n p 为正实数，∴由均值不等式，得222m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 222n p np +≥（当且仅当n p =时取等号）， 222p m pm +≥（当且仅当p m =时取等号）， ∴222m n p mn np pm ++≥++（当且仅当m n p ==时取等号），∴2222()2229333m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=≥++，∴3mn np pm ++≤（当且仅当m n p ==时取等号）．..............................10分考点：绝对值不等式的解法、均值不等式．（20）(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,求直线l 的倾斜角α的值．【答案】（Ⅰ）()2224x y -+=；（Ⅱ）4πα=或34πα=. 【解析】试题解析：解：（Ⅰ）由4cos ρθ=，得22(2)4x y -+=. ..............................3分 （Ⅱ）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )4t t αα-+=， 化简得22cos 30t t α--=...............................5分设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，.............................6分∴12||||AB t t =-===，..............................8分∴24cos 2α=，cos α=，4πα=或34π..............................10分 考点：考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数的几何意义.【方法点睛】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配2cos sin ρρθρθ，，，再利用互化公式转化．常见互化公式有()222cos sin tan 0y x y x y x xρρθρθθ=+===≠，，，等． 2．参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘除，方程两边同时平方等．3．若直线与曲线相交于()()1122A x y B x y ，，，，直线的斜率为k ，联立直线与曲线的方程，消去y ，再利用韦达定理将12x x +及12x x ⋅中即可达到目的，此思路体现了“设而不求”的思想．（21）(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）310；（Ⅱ）350 【解析】试题解析：解: （Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==..............................3分 （Ⅱ）X 的可能取值为200,300,400..............................4分22251(200)10A P X A === 31123232353(300)10A C C A P X A +===2133234523(400)5C C A P X A ⨯=== （或3(400)1(200)(300)5P X P X P X ==-=-==） 故X 的分布列为..............................10分13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=..............................12分 考点：1.古典概型概率；2.分布列和数学期望.【方法点睛】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.（22）（本小题满分14分）为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件做为样本，测量其直径后，整理得到下表：经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）；①()0.6826P X μσμσ-<≤+≥； ②()220.9544P X μσμσ-<≤+≥；③()330.9974P X μσμσ-<≤+≥．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁．试判断设备M 的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品.（ⅰ）从设备M 的生产流水线．．．．．上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； （ⅱ）从样本．．中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ． 【答案】（I ）丙；（II ）（ⅰ）0.12；（ⅱ）0.12．【解析】试题解析：解：（Ⅰ）()()62.867.20.80.6826P X P X μσμσ-<≤+=<≤=≥，...........1分 ()()2260.669.40.940.9544P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<，...........2分()()3358.471.60.980.9974P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<，...........3分因为设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；...........4分（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06．...........5分（ⅰ）由题意可知()2,0.06Y B ，...........7分于是()20.060.12E Y =⨯=；...........8分（ⅱ）由题意可知Z 的分布列为...........11分故()2112946946222100100100301225C C C C E Z C C C =⨯+⨯+⨯=．...........12分 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．。

2015年福建中考数学真题卷含答案解析

2015年福建中考数学真题卷含答案解析

2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(共10小题,每题3分,满分30分;每小题只有一个正确选项)1.a的相反数是( )A.|a|B.1C.-aD.√aa2.下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( )的解集在数轴上表示正确的是( )3.不等式组{x≥-1,x<24.计算3.8×107-3.7×107,结果用科学记数法表示为( )A.0.1×107B.0.1×106C.1×107D.1×1065.下列选项中,显示部分在总体中所占百分比的统计图是( )A.扇形图B.条形图C.折线图D.直方图6.计算a·a-1的结果为( )A.-1B.0C.1D.-a7.如图,在3×3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则原点是( )A.A点B.B点C.C点D.D点8.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为( )A.80°B.90°C.100°D.105°9.若一组数据1,2,3,4,x的平均数与中位数相同,则实数x的值不可能是( )A.0B.2.5C.3D.510.已知一个函数图象经过(1,-4),(2,-2)两点,在自变量x的某个取值范围内,都有函数值y 随x的增大而减小,则符合上述条件的函数可能是( )A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数第Ⅱ卷(非选择题,共120分)二、填空题(共6小题,每题4分,满分24分)11.分解因式a2-9的结果是.12.计算(x-1)(x+2)的结果是.13.一个反比例函数图象过点A(-2,-3),则这个反比例函数的解析式是.14.一组数据:2015,2015,2015,2015,2015,2015的方差是.15.一个工件,外部是圆柱体,内部凹槽是正方体,如图所示.其中,正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上,若圆柱底面周长为2πcm,则正方体的体积为cm3.16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=√2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连结BM,则BM的长是.三、解答题(共10小题,满分96分)17.(7分)计算:(-1)2015+sin30°+(2-√3)(2+√3).18.(7分)化简:(a+b)2a 2+b 2-2aba 2+b 2.19.(8分)如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.20.(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,求m 的值.21.(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛,其中每支篮球队10人,每支排球队12人,每名运动员只能参加一项比赛,篮球、排球队各有多少支参赛?22.(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该试验,发现摸到绿球的频率稳定于0.25,则n的值是;(3)在一个摸球游戏中,所有可能出现的结果如下:根据树状图呈现的结果,求两次摸出的球颜色不同的概率..半径为2的☉C,分别交AC,BC于点D,E, 23.(10分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=√5,tan B=12得到DE⏜.(1)求证:AB为☉C的切线;(2)求图中阴影部分的面积.24.(12分)定义:长宽比为√n∶1(n为正整数)的矩形称为√n矩形.下面,我们通过折叠的方式折出一个√2矩形,如图①所示.操作1:将正方形ABCD沿过点B的直线折叠,使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处,折痕为BH.操作2:将AD沿过点G的直线折叠,使点A,点D分别落在边AB,CD上,折痕为EF.则四边形BCEF为√2矩形.图①证明:设正方形ABCD的边长为1,则BD=√12+12=√2.由折叠性质可知BG=BC=1,∠AFE=∠BFE=90°,则四边形BCEF为矩形,∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴BGBD =BFAB,即√2=BF1.∴BF=12.∴BC∶BF=1∶1√2=√2∶1.∴四边形BCEF为√2矩形.阅读以上内容,回答下列问题:(1)在图①中,所有与CH相等的线段是,tan∠HBC的值是;(2)已知四边形BCEF为√2矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN,如图②,求证:四边形BCMN 是√3矩形;(3)将图②中的√3矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“√n矩形”,则n的值是.图②25.(13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.26.(13分)如图,抛物线y=x2-4x与x轴交于O,A两点,P为抛物线上一点,过点P的直线y=x+m 与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是,直线PQ与x轴所夹锐角的度数是;S△PAQ,求m的值;(2)若两个三角形面积满足S△POQ=13(3)当点P在x轴下方的抛物线上时,过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D,求:①PD+DQ 的最大值;②PD·DQ的最大值.备用图答案全解全析：一、选择题1.C只有符号不同的两个数叫做互为相反数,所以a的相反数是-a,故选C.2.B根据内错角相等,两直线平行,可知B选项正确,故选B.3.A不等式组的解集为-1≤x<2,故选A.4.D 3.8×107-3.7×107=0.1×107=1×106,故选D. 5.A 扇形图可以反映部分在总体中所占的百分比,故选A. 6.C a ·a -1=a 1-1=a 0=1,故选C.7.B 以点B 为坐标原点,网格线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系,则点A,C 关于坐标轴对称,故选B.8.B 在以C 为圆心的圆中,AB 是直径,M 为圆周上一点,所以∠AMB=90°,故选B. 9.C 当x ≤2时,中位数是2,此时1+2+3+4+x5=2,解得x=0,符合题意;当2<x<3时,中位数是x,此时1+2+3+4+x5=x,解得x=2.5,符合题意;当x ≥3时,中位数是3,此时1+2+3+4+x5=3,解得x=5,符合题意.故符合题意的x 的值为0,2.5,5,不可能是3,故选C. 评析 本题重点考查平均数和中位数的概念,属于中等难度题.10.D 易知经过点(1,-4),(2,-2)的直线不经过原点,所以所求函数不是正比例函数,A 不符合;若为一次函数或反比例函数,则在自变量x 的某个取值范围内,函数值y 随x 的增大而增大,所以B 、C 不符合题意;只有D 正确,故选D.二、填空题11.答案 (a+3)(a-3) 解析 a 2-9=a 2-32=(a+3)(a-3).12.答案 x 2+x-2解析 (x-1)(x+2)=x 2+2x-x-2=x 2+x-2.13.答案 y=6x解析 设这个反比例函数的解析式为y=kx (k ≠0),代入点A 的坐标,得k=6,故这个反比例函数的解析式为y=6x . 14.答案 0解析 该组数据的平均数为2 015,方差s 2=16×[6×(2 015-2 015)2]=0.15.答案 2√2解析 由题意可知圆柱底面的直径为2 cm,则圆柱底面内接正方形的对角线长为2 cm,边长为√2 cm,故正方体的体积是2√2 cm 3.16.答案 √3+1解析 如图,连结AM,易知△AMC 是等边三角形,所以CM=AM,易证△BMC ≌△BMA,所以∠CBM=∠ABM=45°,∠CMB=∠AMB=30°,所以∠CDM=∠CDB=90°.在Rt △CDB 中,CD=CB ·sin 45°=1,所以BD=CD=1.在Rt △CDM 中,DM=CM ·sin 60°=√3,所以BM=BD+DM=√3+1.评析 解决本题的关键是证出BM ⊥AC,再利用含有特殊角的直角三角形分别求得BD 、DM 的长,从而求出BM,综合性较强,属于难题.三、解答题17.解析 原式=-1+12+(4-3)=12. 18.解析 原式=(a+b)2-2ab a 2+b 2=a 2+b 2+2ab -2ab a 2+b 2=a 2+b 2a 2+b 2=1.19.证明 ∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC 和△ABD 中,{∠1=∠2,AB =AB,∠ABC =∠ABD.∴△ABC ≌△ABD(ASA). ∴AC=AD.20.解析 ∵关于x 的方程x 2+(2m-1)x+4=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2m -1)2-4×1×4=0. ∴2m -1=±4. ∴m=52或m=-32.21.解析 解法一:设有x 支篮球队和y 支排球队参赛, 依题意得{x +y =48,10x +12y =520.解得{x =28,y =20.答:篮球、排球队各有28支与20支.解法二:设有x 支篮球队,则排球队有(48-x)支, 依题意得10x+12(48-x)=520. 解得x=28. 48-x=48-28=20.答:篮球、排球队各有28支与20支. 22.解析 (1)相同. (2)2.(3)由树状图可知:共有12种结果,且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同(记为事件A)的结果共有10种,∴P(A)=1012=56. 23.解析 (1)过点C 作CF ⊥AB 于点F, 在Rt △ABC 中,tan B=AC BC =12, ∴BC=2AC=2√5.∴AB=√AC 2+BC 2=√(√5)2+(2√5)2=5. ∴CF=AC ·BC AB=√5×2√55=2. ∴AB 为☉C 的切线.(2)S 阴影=S △ABC -S 扇形CDE =12AC ·BC-nπr 2360 =12×√5×2√5-90π×22360=5-π. 24.解析 (1)GH,DG;√2-1.(2)证明:∵BF=√22,BC=1,∴BE=√BF 2+BC 2=√62.由折叠性质可知BP=BC=1,∠FNM=∠BNM=90°,则四边形BCMN 为矩形,∴∠BNM=∠F. ∴MN ∥EF.∴BP BE =BN BF ,即BP ·BF=BE ·BN. ∴√62BN=√22.∴BN=√3. ∴BC∶BN=1∶√3=√3∶1. ∴四边形BCMN 是√3矩形.(3)6.25.解析图① (1)证明:∵DM ∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)证明:∵D,E 分别为AB,BC 的中点,∴DE ∥AC.图② ∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.∴△DEG ∽△ECF.(3)解法一:如图③所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,图③ ∴△BDG ∽△BED.∴BD BE =BG BD ,即BD 2=BE ·BG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH ∽△ECF.∴EH EF =EF EC ,即EF 2=EH ·EC. ∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如图④,在DG 上取一点N,使DN=FH.图④ ∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE ∥AC,DM ∥EF,∴四边形DEFM 是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN ≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如图⑤,取AC 中点P,连结PD,PE,PH,则PE ∥AB.图⑤∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH ∥DG.∵D,P 分别为AB,AC 的中点,∴DP ∥GH,DP=12BC=BE.∴四边形DGHP 是平行四边形.∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如图⑥,作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P,连结PE,PH.图⑥ 则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE ∥AB.∵DE ∥AC,∴四边形ADEP 是平行四边形.∴DE=AP=12AC.∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG ≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.解法五:如图⑦,取AC 中点P,连结PE,PH,则PE ∥AB.图⑦∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP ∽△CFH.∴CE CF =CP CH .∴△CEF ∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E 分别是AB,BC 的中点,∴DE=12AC=PC.∴△DEG ≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.26.解析 (1)x=2;45°.(2)设直线PQ 交x 轴于点B,分别过点O,A 作PQ 的垂线,垂足分别是E,F.显然当点B 在OA 的延长线上时,S △POQ =13S △PAQ 不成立.①当点B 落在线段OA 上时,如图1,图1S △POQ S △PAQ =OE AF =13. 由△OBE ∽△ABF 得OB AB =OE AF =13. ∴AB=3OB.∴OB=1OA.由y=x 2-4x 得点A(4,0), ∴OB=1.∴B(1,0).∴1+m=0.∴m=-1.②当点B 落在AO 的延长线上时,同理可得OB=12OA=2.图2∴B(-2,0).∴-2+m=0.∴m=2.综上所述,当m=-1或2时,S△POQ=1S△PAQ.3(3)①解法一:过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H,如图3,可得△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°,∴AD⊥PH.∴DQ=DH.∴PD+DQ=PH.过点P作PM⊥直线CH于点M,则△PMH是等腰直角三角形.∴PH=√2PM.∴当PM最大时,PH最大.当点P在抛物线顶点处时,PM取最大值,此时PM=6.∴PH的最大值为6√2,即PD+DQ的最大值为6√2.图3解法二:如图4,过点P作PE⊥x轴,交AC于点E,作PF⊥CQ于点F,图4 则△PDE,△CDQ,△PFQ 是等腰直角三角形.设点P(x,x 2-4x),则E(x,-x+4),F(2,x 2-4x). ∴PE=-x 2+3x+4,FQ=PF=|2-x|.∴点Q(2,x 2-5x+2).∴CQ=-x 2+5x.∴PD+DQ=√22(PE+CQ) =√22(-2x 2+8x+4) =-√2(x-2)2+6√2(0<x<4).∴当x=2时,PD+DQ 的最大值为6√2.②由①可知:PD+DQ ≤6√2.设PD=a,则DQ ≤6√2-a.∴PD ·DQ ≤a(6√2-a)=-a 2+6√2a=-(a-3√2)2+18.∵当点P 在抛物线的顶点时,a=3√2,∴PD ·DQ ≤18.∴PD ·DQ 的最大值为18.附加说明:(对a 的取值范围的说明)设P 点坐标为(n,n 2-4n),延长PM 交AC 于N. PD=a=√22PN=√22[4-n-(n 2-4n)] =-√2(n 2-3n-4)=-√2(n -3)2+25√2. ∵-√22<0,0<n<4,∴当n=32时,有最大值,为258√2.∴0<a ≤258√2. 评析 在第(2)问中,因为△PQA 和△PQO 共用底边PQ,可以作高,把面积的比转换为高的比,再利用相似三角形求得OA 和OB 的关系,构造方程,求出m 的值;第(3)问构造等腰直角三角形是解题的突破口,综合性较强,属于难题.。

2015-2016学年福建省福建师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2015-2016学年福建省福建师范大学附属中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.角α的终边过点(4,3),(0)P k k k -<，则cos α的值是( ) A ．35B ．45C ．35-D ．－45【答案】B 【解析】 试题分析：()()()0553422<-==+-=k k k k k r ，而5454cos =--==k k r x α，故选B. 考点：三角函数的定义2.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( ) A ．23-B ．23C ．21-D ．21【答案】D 【解析】试题分析：原式等于()2130sin 1020sin 10sin 20cos 10cos 20sin 0000000==+=+，故选D. 考点：两角和与差的三角函数3.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =( )A ． 1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】C考点：向量数量积4.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y=sin （2x+2π） B ．y=cos （2x+2π） C ．y=sin2x+cos2x D ．y=sinx+cosx【答案】B考点：三角函数的性质5.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， =x+y，且=3，则( )A ．x=，y=B ．x=，y=C ．x=，y=D ．x=，y=【答案】D 【解析】试题分析：()OP OA OB OP PA BP -=-⇔=33,整理为OP OB OA OP 34+=⇔+=所以43=x ，41=y ，故选D. 考点：平面向量基本定理6.若3cos()45πα-=，则sin 2α=( ) A ．725 B ．725- C ．15- D ．15【答案】B 【解析】 试题分析：()53sin cos 224cos =+=⎪⎭⎫⎝⎛-αααπ，两边平方后得:()2518sin cos 2=+αα25182sin 1=+⇔α,解得2572sin -=α，故选B. 考点：三角函数恒等变形7.将函数y=2sin (2x+6π)的图像向右平移4π个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y=2sin(2x+4π) B ．y=2sin(2x+3π) C ．y=2sin(2x –4π) D ．y=2sin(2x –3π)【答案】D考点：三角函数的变换【易错点睛】本题考查了三角函数的变换，属于基础题型，在三角函数的变换中，容易出错在两个地方，举例，①函数x y 2sin =向左平移6π个单位得到哪个函数，很多同学会写成⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y ，谨记“左+右－”指的是x ，所以应是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 62sin ππx x y ，②⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，很多同学会写成⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12sin 6221sinππx x y ，谨记，横坐标伸长或缩短到原来的ω1倍，仅仅是x 前面的系数变了，与ϕ无关，所以应是⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y . 8.函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A考点：()ϕω+=x A y sin 的图像 9.()()01tan181tan 27++的值是( )A B ．1．2 D ．()002tan18tan 27+ 【答案】C 【解析】试题分析：根据公式()127tan 18tan 127tan 18tan 2718tan 000000=-+=+，所以000027tan 18tan 127tan 18tan -=+，原式等于227tan 18tan 27tan 18tan 10000=+++，故选C.考点：两角和的正切函数10.在ABC ∆+ABC ∆一定是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 【答案】C 【解析】-+BC BA BC BABC BA BC BA⋅-+=⋅++222222,化简为0=⋅BC BA ,即BC BA ⊥,角B 为直角，所以是直角三角形，故选C. 考点：向量数量积11.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( ) A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A考点：三角函数的图像和性质【方法点睛】本题考查了()ϕω+=x A y sin ⎪⎭⎫⎝⎛<>>200πϕω，，A 的性质，本题考查了两个问题，一是如何求函数解析式，二是如何判断三角函数的性质，A 是振幅，一般根据函数的最值求解，ωπ2=T ,ω一般根据周期求解，ϕ一般根据“五点法”求解，而象本题给出三角函数后，如何判断所给区间是否具有单调性，首先由x 的区间，代入求ϕω+=x u 的区间，然后判断ϕω+=x u 是否落在u y sin =的单调区间内.12.定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[-3，-2]上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则( )A ．()()sin sin f f αβ>B ．()()sin cos f f αβ<C ．()()sin cos f f αβ>D ．()()cos cos f f αβ< 【答案】C考点：函数的性质【思路点睛】本题考查了函数性质与解三角形的综合考察，属于中档题型，本题的难点是如何转化锐角三角形这个条件，即若是锐角三角形，需满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+<<<<22020πβαπβπα，这样βπα->2，这样根据函数的单调性，两边取三角函数，ββπαcos 2sin sin =⎪⎭⎫⎝⎛->，或是⎪⎭⎫⎝⎛-<βπα2cos cos βsin =，这个难点克服后，就容易想到根据函数的性质，转化为求函数()x f 在区间()1,0的单调性.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分28分，将答案填在答题纸上） 13.设向量a =(x ，x+1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x= . 【答案】23- 【解析】试题分析：根据两向量垂直，可得()0211=⨯++⨯x x ，解得32-=x ，故填：32-. 考点：向量数量积14.已知向量()()(),12,4,5,,10OA k OB OC k ===-，且,,A B C 三点共线，则k = .【答案】23-考点：向量共线的充要条件 15.已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=， 则sin β的值为 . 【答案】6365【解析】试题分析：0-<<-αβπ，又因为()0135cos >=-αβ，所以02<-<-αβπ，()1312sin -=-αβ，因为43tan -=α，所以53sin =α，54cos -=α，而()[]()()6563131********sin cos cos sin sin sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯=-+-=-+=αβααβααβαβ，故填：6563. 考点：三角函数恒等变形16.函数()sin(2)sin()()66f x x x x ππ=++-∈R 的值域为 .【答案】928⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 试题分析：设t x =-6π，那么()8941sin 2sin sin 21sin 2cos sin 22sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t t t t t t f π，因为[]1,1sin -∈t ，所以当41sin =t 时，函数取得最大值89，当1sin -=t 时，函数取得最小值-2，所以函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2，故填：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-89,2. 考点：三角函数的性质17.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为 .【答案】81考点：向量数量积18.已知函数5()),6f x x π=+方程()f x m =在区间[0,]2π上有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围是 .【答案】(【解析】试题分析：如图，画出函数uy sin3=的图像，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=611,65652πππxu，此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,3xf，当2π=x时，23-=y根据图像可得若有两个不同的实根，那么⎥⎦⎤⎝⎛-∈23,3m，故填：⎥⎦⎤⎝⎛23-3-，.考点：三角函数图像的应用【方法点睛】本题考查了三角函数图像的应用，属于基础题型，以复合函数的观点解决函数零点问题，首先设π652+=xu，并且求出u的取值范围，然后画出函数uy sin3=的图像，这问题转化为my=与三角函数图像交点的问题，通过图像很容易求出没有交点，一个交点，以及两个交点的m的取值范围问题，切记，最好不要画⎪⎭⎫⎝⎛+=π652sin3xy的图像，因为画这个图像对很多同学来说比较浪费时间得不偿失，一定画换元后的图像.19.已知函数ππ()sin()(0),24f x x+x，ωϕωϕ=>≤=-为()f x的零点，π4x=为()y f x=图像的对称轴，且()f x在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 .【答案】9考点：三角函数的性质【思路点睛】本题考查了三角函数的性质，属于中档题型，本题的难点是如何将这两个条件结合在一起，ω是与周期有关的量，对称轴与零点间的距离也与周期有关，这样根据图像得到244--4kT T +=⎪⎭⎫⎝⎛ππ,即ωππ24124122⋅+=+=k T k ，第二个条件⎪⎭⎫⎝⎛36518ππ，是单调区间的子集，所以其长度小于等于半个周期，这样就得到了ω的一个范围与形式，最后求最大值，只能通过从最大的逐个代起，找到ω的最大值. 三、解答题 （本大题共5小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 20.（本题满分12分）已知||=2，||=3，（2﹣3）•（2+）=3． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求|+|；（3）求在+方向上的投影．【答案】（1）127-；（2）6；（3）126.∴cos ＜•＞===﹣；（2）|+|===；（3）在+方向上的投影为===．考点：向量数量积【方法点睛】本题考查了向量数量积，属于基础题型，所涉及的公式包括（1）θcos b a b a=⋅，（2）ba b a⋅=θcos ，（3）22a a =，以及()2ba b a +=+，（4）0=⋅⇔⊥b a b a ，（5）投影公式：向量a在b 方向上的投影为θcos a 或是bb a ⋅，对于这类型的向量问题，要谨记公式，并且熟练运用公式避免计算错误.21.（本题满分16分） （1）已知，求的值．(2) 已知3177cos(),,45124x x πππ+=<<求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．【答案】（1）41；（2）7528.∴．原式==，由以上知cosx﹣sinx≠0，考点：三角函数的恒等变形求值22.（本题满分为10分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【答案】∠MCN 是定值，且∠MCN=4π． 【解析】试题分析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，若MCN ∠为定值，那么βα+为定值，即()βα+tan 为定值，根据所设条件，得到()βα+tan ()xyy x y x -++-=2，因为AMN ∆的周长等于222=+++y x y x ，将此式进行化简为()y x y x +-=+222，两边平方得到()22-+=y x xy ，代入正切公式得到定值.试题解析：设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x ，AN=y ，则BM=1﹣x ，DN=1﹣y ，在△CBM 中，tan α=1﹣x ，在△CDN 中，tan β=1﹣y ，所以：tan （α+β）=()()()xyy x y x y x y x -++-=----+-=-+211111tan tan 1tan tan βαβα，（5分） △AMN 的周长为2千米，所以222=+++y x y x ，化简得()22-+=y x xy ，代入（*）式，可得tan （α+β）=()()()[]()()1222222=+-+-=-+-++-=-++-y x y x y x y x y x xy y x y x ， 由于α+β(0,)2π∈，所以α+β=4π，所以∠MCN 是定值，且∠MCN=4π．﹣﹣﹣（10分）考点：三角函数的实际应用 23.（本题满分为12分）已知函数f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3（ω＞0）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的单调增区间； （2）将函数f （x ）的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g （x ）的图象，若y=g（x ）在[0，b]（b ＞0）上至少含有10个零点，求b 的最小值．【答案】（1）Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ；（2）1259π.试题解析：（1）由题意得f （x ）=2sin ωxcos ωx+23sin 2ωx ﹣3=sin2ωx ﹣3cos2ωx=2sin （2ωx ﹣3π），由最小正周期为π，得ω=1，所以()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f ， 由Z k k x k ∈+≤-≤-,223222πππππ，整理得k k x k ,12512ππππ+≤≤-Z ∈，[KS5UKS5U] 所以函数f （x ）的单调增区间是Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ．【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括ααα2sin 21cos sin =，22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=，降幂后采用辅助角公式化简，()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中ab=ϕtan ，这样函数就可以化简为()ϕω+=x A y sin .24.（本题满分为12分）已知函数x c x b a x f sin cos )(++=的图像经过点)1,0(A 及)1,2(πB(1)已知)2,0(π∈x 时，2|)(|≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)当a 取上述范围内的最大整数．．．．值时，若有实数φ,,n m ，使得1)()(=-+φx nf x mf 对于 R x ∈恒成立，求φ,,n m 的值.【答案】（1）[]234,2-+；（2）161=m ，161=n ，Z k k ∈+=,2ππφ. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件可得a c b -==1，将函数转化为()()a x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4sin 12π，根据条件可得⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πx 的范围，最终讨论a -1的取值范围后，得到函数的值域，根据条件()2≤x f 得到a 的取值范围；（2）由（1）的结论可得8=a ，代入()()1=-+ϕx nf x mf ，要使上式对R x ∈∀恒成立，则需满足()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0sin 0cos 18φφn n m n m ，得到参数的取值范围.试题解析：由12,1)0(=⎪⎭⎫⎝⎛=πf f ，可得，1,1=+=+c a b a ， 所以a c b -==1，所以()()a x a a x x a x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++-=4sin 12)cos )(sin 1(π，（1）设t x =⎪⎭⎫⎝⎛+4sin π，()a t a y +-=12， 因为⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+πππ43,44x ，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,22t ，(2)可得8=a ，则()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 278πx x f 由()()1=-+φx nf x mf ，可得()14sin 274sin 278=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+φππx x m n m ，令X x =+4π得，考点：1.三角函数的性质；2.恒成立问题.。

福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试卷 Word版含答案

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福建师大附中20-2016学年第学期模块考试卷 高数学必修本试卷共页．满分150分考试时间120分钟．注意事项：试卷分第卷和第卷两部分，第卷共分 一、选择题：本大题小题每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．已知，，下列结论成立的是 A．，则 B．，，则 C．，则 D．，则（，） 2．在△ABC中，分别为角A、B、C的对边，，∠A=30°，则∠B等于 A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 设为等差数列的前项和，，则的A．B．C．D．，不等式恒成立，则实数取值范围 A．B．C．D．的前n项和为，若，则 A．B．C．D． 6．在平面直角坐标系中,若点在直线的左上方区域且包括边界,则的取值范围是 A． B．C．D．已知等差数列的前项和且，则下列结论错误的是 A．均为的最大值 B．C． D． 在ABC中，，则△ABC的形状是 A．B．C．D．的是 A． B． C． D．且 10．如下表定义函数 1 2 3 4 5 5 4 3 1 2 对于数列，，则的值是 A．5 B．．满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数=A．B. C. D. 2或1 12．设M是内一点，且定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是 A．8 B．C．D．第卷共分 二、填空题：本大题小题，每小题分，共分，把答案填在答卷13．若集合，，则 . 14．若数列前项和则= . 15．在高为米的气球上测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角 分别是，则塔高为 米． 16．设是集合｛｝中所有的数从小到大排列成的数列， 即，，，，，，将数列中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：10 12 28 30 36 …=（用形式表示）三、解答题：本大题题，分本小题满分1分） ABC中，内角所对的边分别为. （Ⅰ）若成等差数列，证明； （Ⅱ）若成等比数列，且求的值．（本小题满分1分） 等差数列中,求的通项公式设本小题满分1分）两种蔬菜，蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元．根据需要蔬菜至少要买6公斤，蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元．如果这两种蔬菜加工后全部卖出，两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？ 20．(本小题满分分ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍。

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

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福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明：福建师大附中2015-2016学年高（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．.专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A．135°，1B．45°，?1C．45°，1D．135°，?1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．.专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为?1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=?1，∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．?3C．1或?3D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax?y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a?3）x+ay?a=0的斜率为a，即=a，解得 a=?3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0，两直线重合，当a=?3时，已知直线l1：?3x+y?3=0与直线l2：?3x?y=1，两直线平行，则实数a的值为?3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l ⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A．2B．3C．D．5考点：基本不等式．.专题：计算题．分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2==，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．.专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，?1）为圆（x?1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x?y?3=0B．2x+y?3=0C．x+y?1=0D．2x?y?5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．56πC．14πD．16π考点：球的体积和表面积．.专题：计算题．分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009?宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y?2）2=1B．（x?2）2+（y+2）2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1D．（x?2）2+（y?2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．.专题：计算题．分析：求出圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标，关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标（?1，1），关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为（2，?2）所求的圆C2的方程为：（x?2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．.专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF ∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．.专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A?BEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。

2015福州一类校自主招生试卷-数学

2015福州一类校自主招生试卷-数学

福州市区一类校自主招生考试模拟试题（数学）命题：福州中考吧答疑解惑监督委员会 审核：福州中考吧高管部 校对：福州中考吧吧务组福州中考吧提示：如果能够全部解决这些题目！你的自主招生是没有问题的！加油！（注意排版后使用）一、综合题与双曲线相交于点A 、B ，且抛物线.过点B 用直线BC ∥x 轴，4倍，记抛物线顶点为E. D 的坐标；若不存在，2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.3、如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．4、已知二次函数（）的图象经过点，，，直线（）与轴交于点．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由．5、已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．7、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？8、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当α=90°时，BP／BQ的值是．（2）①如图2,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时,求BP／BQ的值;②如图3,当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．（3）在四边形OABC旋转过程中,当时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；基不存在，请说明理由．9、已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为）10、如图(1)，在直角梯形OABC中，BC∥OA，∠OCB＝90°，OA＝6，AB＝5，cos∠OAB＝．(1)写出顶点A、B、C的坐标；(2)如图(2)，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M，N．设PM＝x，四边形OMPN的面积为y．①求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②是否存在一点P，使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．11、已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为R.（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：OE²OP＝R2.（提示：作直径FQ交⊙O于Q，并连结DQ）（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由. Array二、计算题（每空？分，共？分）12、汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？13、已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学(实验班)试卷(带解析)

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绝密★启用前【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：149分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2、记，，，，则四个数的大小关 系是（ ）A ．B ．C ．D ．3、在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续天每天新增感染人数不超过人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤4、函数落在区间的所有零点之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可以是（ ）A ．B ．C ．D ．或6、已知函数（其中,）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位7、已知地铁每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即上车的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8、已知与之间的一组数据：0 1 2 3 3 5.5 7 已求得关于与的线性回归方程为，则的值为（ ）A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.59、执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为（）ArrayA．7 B．15 C．31 D．6310、在四个函数，，,中，以为周期，在上单调递增的偶函数是（）A． B． C． D．11、与最接近的数是（）A． B． C． D．12、已知，则的值是（）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、函数()的值域为 .14、已知函数（）是区间上的增函数，则的取值范围是 .15、《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=．弧田，由圆弧和其所对弦所围成．公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长等于米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．16、函数的定义域为 .17、已知角的终边上一点的坐标为,则角的最小正值为 .18、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，已知所取的2瓶全在保质期内的概率为，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 .三、解答题（题型注释）19、已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的对称轴及单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.20、甲、乙两人约定在中午时到下午时之间到某站乘公共汽车, 又知这段时间内有班公共汽车.设到站时间分别为，，，.如果他们约定：见车就乘；最多等一辆.试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的，且每人在中午点到点的任意时刻到达车站是等可能的.21、如图，半径为的水轮绕着圆心逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动圈，水轮圆心距离水面，如果当水轮上点从离开水面的时刻（）开始计算时间．（1）试建立适当的平面直角坐标系，求点距离水面的高度（）与时间（）满足的函数关系；22、某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为）作为样本（样本容量为）进行统计，按照 [50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分； （3）在选取的样本中，从竞赛成绩在分以上（含分）的学生中随机抽取名学生，求所抽取的名 学生中至少有一人得分在内的概率．23、已知，为第二象限角．（1）求的值；（2）求的值．参考答案1、D2、C3、D4、C5、C6、D7、A8、D9、B10、D11、B12、A13、14、15、16、17、18、19、(1)；(2)增区间为，减区间为；(3).20、.21、(1)；(2).22、(1)，；(2)；(3).23、(1)；(2).【解析】1、试题分析：因,故,所以由题设可得恒成立,即恒成立,注意到,所以可得,即,所以应选D.考点：正弦函数图象和性质的综合运用.【易错点晴】本题以两个含参数的函数的解析式为背景,考查的是等式成立的前提下参数的取值范围的探求问题.解答时充分借助题设中的条件,先求函数的值域为,再求函数中的值域为然后借助建立了不等式,再运用分离参数的方法建立不等式组,借助求出的取值范围.整个解答过程充满了化归转化的思想和数形结合的数学思想.2、试题分析：因,故由对数函数的单调性可知,而.故应选C.考点：对数函数、三角函数的性质及运用.3、试题分析：依据题设中提供的信息可以推算平均数步大于,极差不大于,众数等于.应选D.考点：平均数方差标准差等概念及运用.4、试题分析：因既是函数的对称中心也是函数的对称中图象有四个交点(横坐标依次为),其横坐标关于对称,即,,即,则所有的横坐标之和为.故应选C.考点：函数的图象和性质及运用.【易错点晴】函数的图象是函数的定义域和值域在平面直角坐标系中具体体现,是数形结合的平台和桥梁.本题考查的是函数图象在确定函数的图象交点中运用问题.解答时充分利用题设中所提供的有效信息进行分析和判断,其目的是检测运用所学知识分析问题和解决问题的能力及运用数形结合的思想解答问题思维意识.解答本题的关键是能认识到两个函数都中心对称图形而且具有相同的对称中心,进而运用对称性求出了所有交点的横坐标之和.5、试题分析：由图象像可知,解之得.应选C.考点：三角函数的图象和性质.6、试题分析：由题设,则,将代入可得,所以,则,而,所以应选D.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助对称轴之间的距离为确定,再借助对称中心是建立方程求出来.最后求出,再化为,由于将即,要想得到,只要将函数的图象向左平移个单位即可.考点：三角函数的图象和性质及运用.7、试题分析：由题意,故由几何概型的计算公式可得概率.应选A.考点：几何概型的计算公式及运用.8、试题分析：因,故将其代入,可得.应选D.考点：线性回归方程及运用.9、试题分析：因由算法流程图可以看出当输出当时,算法程序中,故.应选B.考点：算法流程图的识读和理解.10、试题分析：因,都不是周期函数,是周期为的函数,故都不能选,而函数是周期为的偶函数,所以应选D.考点：函数的基本性质及综合运用.11、试题分析：因,故应选B. 考点：诱导公式及运用.12、试题分析：由已知可得,故.应选A.考点：同角三角函数的关系及运用.13、试题分析：由函数可得,即,令,则,所以,解之得.故其值域为.应填.考点：正弦函数的性质及三角变换的有关知识的综合运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件借助辅助角的引入将其转化为,然后在借助三角函数中余弦函数的值域为建立不等式,通过解不等式求出函数的值域为.体现数学中的转化与化归的数学思想和方法,整个解答过程充满了化归与转化的数学思想的交替使用.14、试题分析：由题设因且,则,结合正弦函数的图象可知或,解之得或.故应填.考点：正弦函数的图象和性质及运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数中正弦函数的图象和性质等有关知识及综合运用.本题是一道与单调性有关的逆向型的问题,具有一定的难度.解答时先依据题设条件求出,然后再借助函数在区间上单调递增这一条件,建立不等式求解.这里务必要借助正弦函数的图象,分类建立不等式组和辅,通过解这两个不等式组求出了参数的取值范围是.15、试题分析：由题设可知扇形半径,故扇形的面积为;弧田的面积为.由于圆心到弦的距离为,因此矢长也为,则由弧田经验公式可得.所以,故应填.考点：弧长及扇形面积的计算公式及运用．16、试题分析：由题设可得,即,解之得知点.故应填.考点：三角函数的图象和性质及运用．17、试题分析：由正切函数的定义,又由题设可知点在第四象限,所以.故应填.考点：三角函数的定义及运用．18、试题分析：由对立事件的概率公式可得.故应填.考点：对立事件的概率公式与古典概型的计算公式及的运用．19、试题分析：(1)借助题设条件待定求解；(2)借助题设条件运用正弦函数的图象求解；(3)依据题设条件将不等式中的参数分离出来求解.试题解析：（1）， (1)又为奇函数，且，则，…………………3分故；……………………4分（2）对称轴：，………………………6分增区间为，减区间为；……………………8分（3）由于，故………………………10分恒成立，整理可得，…………………12分由，得：，故，即取值范围是. ………………………14分考点：正弦函数的图象和性质及图象的变换等有关知识的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助题设条件求出函数解析表达式中的参数,这是解答本题的关键和突破口,只有求出参数的值,才能再去解决题设中提供的其它几个问题.求解时先利用两个对称轴之间的距离是,确定函数的最小正周期,进而求出;再运用题设条件可得,由是奇函数,并借助奇函数的定义可得,即,所以求得.20、试题分析：借助题设条件运用古典概型和几何概型的计算公式分别求解.试题解析：设分别表示甲、乙两人在分钟内到达车站的时刻，则样本空间………………………2分记事件表示“见车就乘，两人同乘一辆车”，则：，；…………………7分记事件表示“最多等一辆，且两人同乘一辆车”，则：………………………12分考点：古典概型和几何概型的计算公式等有关知识的综合运用．21、试题分析：(1)借助题设条件运用三角函数的定义求解；(2)借助题设条件运用实际意义建立方程求解.试题解析：（1）建立如图所示的直角坐标系.由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系水轮每分钟旋转4圈，. . 水轮半径为4 m，.………………4分.当时，... …………………6分（2）由于最高点距离水面的距离为6，... .. (10)分考点：三角函数的图象和性质在实际问题中的综合运用．22、试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用频率分布直方图中提供的数据信息求解；(3)运用列举法和古典概型计算公式求解.试题解析：（1）由题意可知，样本容量n==50，……………………2分，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；……………………4分（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得， (6)分=（55×0.016+65×0.030+75×0.040+85×0.010+95×0.004]×10=70.6， (8)分（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．……………………10分其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率. ……………………12分考点：频率分布直方图、频率与频数的关系及古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题以学校中的数学竞赛的数学成绩的抽样统计的频率分布直方图为背景,设置了三个较为平常的数学问题.解答时一定要充分利用题设中提供的频率分布直方图所提供的数据信息,结合题设条件进行求解.第一问中求的是频率分布直方图中的未知数的值,运用该频率分布直方图时一定要注意该图的纵坐标是频率与组距的比值,这一点解题很容易被忽视.第二问中求的是中位数和平均数,求解时先依据中位数这个概念建立了方程求解,再运用平均数公式进行求解；第三问是运用简单枚举法一一列举出基本事件的所有可能和符合条件的事件的可能,最后运用古典概型的计算公式求出其概率的值.这是一道非常平常的考查基础知识和基本方法的基础题.23、试题分析：(1)借助题设条件运用诱导公式求解；(2)借助题设条件运用同角三角函数的关系求解.试题解析：由，为第二象限角，解得……………………2分（1）原式=，故原式==…………………7分（2）原式=……………………12分考点：同角三角函数的关系和诱导公式．。

师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案

师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案

福建省师大附中2015-2016学年高二上学期期末考试数学（理）第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线22y x =的准线方程为（ ） A ．12y =-B ．18y =- C ．12x =-D ．18x =- 2．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题为：“若x a =且x b =， 则2()0x a b x ab -++=”B ．命题“若1x =-，则2560x x --=”的逆命题是真命题C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k 的值为（ ） A ．4-B ．2-C ．2D ．44．如图，空间四边形OABC 中，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N为BC 中点，MN xOA yOB zOC =++，则,,x y z 的值分别是（ ）A ．211,,322- B ．121,,232-C ．111,,222-D ．221,,332-5．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么 直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．1010C ．52D ．536．0,0a c >>是方程22ax y c +=表示椭圆的（ ）α()11,2,2n =-β()22,4,n k =--//αβA ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=,则C 的离心率为 （ ）A ．36 B ．13 C ．12 D ．338．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆22182y x +=有共同焦点的双曲线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点P 是抛物线24x y =上的动点，点P 在其准线上的射影是点M ，点A 的坐标(4,2)， 则||||PA PM +的最小值是（ ） A ．B ．C ．3D ．210．过点(4,0)C 的直线与双曲线221412x y -=的右支交于A B ,两点，则直线AB 的斜率k 的 取值范围是（ ）A ．||3k >B ．||3k ≤C ．||1k ≥D ．||1k <11．若点O 和点(2,0)F -分别为双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP FP ⋅的取值范围为（ ）A ．7[,)4-+∞B ．7[,)4+∞ C ．[323,)-+∞ D ．[323,)++∞ 12．过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作倾斜角为60的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，且点A 在双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（ ）1222=-y x 14222=-y x 14222=-x y 12422=-y x 12422=-x yA ．13B ．5C ．213 D ．233第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．若向量(1)λ=，，1a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为33，则λ的值为 . 14．已知M 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，1260F MF ∠=，则 12F MF ∆ 的面积为 .15．如图，在二面角AB αβ--中，线段,AC BD αβ⊂⊂，AC AB ⊥，BD AB ⊥，4,2AC CD AB BD ====，则二面角AB αβ--的大小为 .16．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为 .三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知命题:p “方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”, 命题:q “方程22(2)1kx k y +-= 表示双曲线”.若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题，求实数k 的取值范围.18．（本小题满分10分）如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中,11AB AD AA ===,60BAD ∠=,01145BAA DAA ∠=∠=.（Ⅰ）求1BD ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面11ACC A .19．（本小题满分12分）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，．（Ⅰ）求证平面； （Ⅱ）求直线BE 与平面所成角的余弦值； （Ⅲ）求点B 到平面的距离．20．(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C 上的一点M 的横坐标为3，焦点为F ，且||4MF =.直线42:-=x y l 与抛物线C 交于,A B 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ，且直线1l 与抛物线C 相切于点P ，求直线1l 的方程及ABP ∆的面积.ABCD ⊥BCEF ABCD BCEF //BF CE BC CE ⊥4DC CE ==2BC BF ==：//AF CDE ADEADE21．(本小题满分12分)如图，四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是矩形，且22AD CD ==，12AA =，13A AD π∠=，若O 为AD 的中点，且1CD AO ⊥．（Ⅰ）求证：1AO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段BC 上是否存在一点P ，使得二面角1D A A P --的大小为3π？若存在，求出BP 的长；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）如图所示，点1(1,0)F -，2(1,0)F ，动点M 到点2F 的距离是22，线段1MF 的中垂线交2MF 于点P ．（Ⅰ）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（Ⅱ）设直线：与轨迹G 交于、两点，直线与的倾斜角分别为、，且，求证：直线经过定点，并求该定点的坐标．l y kx m =+M N 2F M 2F N αβαβπ+=l参考答案一、选择题：1-5 BDDAC 6-10 CDBAA 11-12 DC 二、填空题：13．5-或1 14．33 15. 3π16. ⎝⎛⎭⎫43，43，83 三、解答题：17．解:若p 成立，则910k k ->->，即15k << ……3分 若q 成立，则(2)0k k -<，即0k <或2k > ……6分若“p q ∨”是真命题, “q ⌝”是真命题∴p 真q 假 ……8分 ∴1502k k <<⎧⎨≤≤⎩∴12k <≤ ……………………10分18．解: （Ⅰ）111BD AD AB AD AA AB =-=+- ……………………2分 2211()BD AD AA AB =+-2221112()AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-+--2= ……………………4分所以12BD =……………………5分（Ⅱ）1111()022AA BD AA AD AB =-=-=，则1BD AA ⊥, ………8分 又ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……………………9分1,AA AC ⊂平面11ACC A ，且1AA AC A ⋂=……………………10分所以BD ⊥平面11ACC A19．解：（Ⅰ）（法一）取中点为，连接、，且，∴，则 且．四边形为矩形， 且，且，CE G DG FG //BF CG BF CG =四边形BFGC 为平行四边形//BC FG BC FG =ABCD //BC AD ∴BC AD =//FG AD ∴FG AD =，则． ……………………2分平面，平面， ……………………3分平面．法二四边形为直角梯形，四边形为矩形，，，又平面平面，且平面平面，平面．CE ……………………1分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：，，，，，，…………2分则，．)0,0,2(=n 为平面的一个法向量．…………3分又，∴AF CB ⊥ ……………………4分 ∵平面 ……………………5分平面．（Ⅱ）设平面的一个法向量为，，，则 ， 取，得．……………7分(2,4,0)BE =-，设直线BE 与平面所成角为，则111||410sin |cos ,|5||||252BE n BE n BE n θ⋅=<>===⨯．……………………8分 所以215cos 1sin 5θθ=-=∴四边形AFGD 为平行四边形//AF DG DG ⊂CDE AF ⊄CDE //AF ∴CDE BCEF ABCD ∴BC CE ⊥BC CD ⊥ABCD ⊥BCEF ABCDBCEF BC =DC ∴⊥BCEF DC ∴⊥C CB x CE y CD z (2,0,4)A (2,0,0)B (0,0,0)C (0,0,4)D (0,4,0)E (2,2,0)F (0,2,4)AF =-(2,0,0)CB =CDE 0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=AF ⊄CDE //AF ∴CDE ADE 1111(,,)n x y z =(2,0,0)AD =-(0,4,4)DE =-110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩11z =1(0,1,1)n =ADE θ所以BE 与平面所成角的余弦值为155……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一个法向量为(2,4,0)BE =-∴11||422||2BE n d n ⋅=== ……………………11分∴点B 到平面的距离为22 ……………………12分 20．解：（Ⅰ）依题意得342p+=，所以2p = 所以抛物线方程为x y C 4:2= ……………………3分（Ⅱ）联立方程2244y x y x=-⎧⎨=⎩，设),(),,(2211y x B y x A ，消去x 得2280y y --= 从而121228y y y y +=⎧⎨=--⎩有弦长公式得534)(411||21221=-+⋅+=y y y y AB ，……………………6分 设直线1l 的方程为2y x b =+，……………………7分 联立方程224y x b y x=+⎧⎨=⎩ 得2220y y b -+= ……………………8分由480b ∆=-=得12b =，所以直线1l 的方程为122y x =+ ……10分 直线1l 与l 的距离为1|4|952105+=……………………11分 所以19527352104ABP S ∆=⨯⨯=……………………12分 21.（Ⅰ）证明：∵13A AD π∠=，且12AA AD ==，∴1A AD ∆为等边三角形∵O 为AD 的中点 ∴1AO AD ⊥， ……………………2分 又1CD AO ⊥，且CDAD D =， ……………………3分ADE ADE 1(0,1,1)n =ADE∴1AO ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）解：过O 作//Ox AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -（如图） 则(0,1,0)A -，1(0,0,3)A ，……………………4分 设(1,,0)P m ([1,1])m ∈-，……………………5分 平面1A AP 的法向量为1(,,)n x y z =， ∵1(0,1,3)AA =，(1,1,0)AP m =+， 且11130(1)0n AA y z n AP x m y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 取1z =，得1(3(1),3,1)n m =+- ……………………7分 平面11A ADD 的一个法向量为2(1,0,0)n =……………………8分 由题意得12213(1)|cos ,|||23(1)311m n n m +<>==+++⨯，……………………9分解得13m =-或53m =-（舍去），……………………11分 ∴当BP 的长为32时，二面角1D A A P --的值为3π.……………………12分 22．（Ⅰ）连接1PF ，由2||22MF =，∴2||||22PM PF +=，又∵1||||PM PF =，∴1212||||22||2PF PF F F +=>=，……………………3分由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 的方程为2212x y +=．……………………5分 （Ⅱ）依题意，消去，得：……6分设、，则……7分 又，依题意得：，……9分 2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y 222(21)4220k x kmx m +++-=11(,)M x y 22(,)N x y 2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++221212,11F M F N kx m kx mk k x x ++==--220F M F N k k +=即：，化简得： ∴，整理得：……12分 ∴直线的方程为，因此直线经过定点，该定点坐标为．……………………………………14分1212011kx m kx mx x +++=--12122()()20kx x m k x x m +-+-=2222242()()202121m kmk m k m k k -+---=++2m k =-l (2)y k x =-l (2,0)。

2015年复附自招数学试卷(3.20)

2015年复附自招数学试卷(3.20)

冲刺17年自主招生之2015年复旦附中自招数学试卷（3.20）填空A1、若22x ab y a b ==+， ，则=______________2、12x x -=12x x 、的方差______________3、从1,4,7……295,298（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有__________个4、解方程：12x x +=-+ 5、2815231x x x x -+--=的解有_________个。

6、37531(12)8mx mxmx x m x -<-⎧⎨+-<-+⎩有正数解，求m 的取值范围__________7、2104y x x m =-+与x 轴两个交点在x 的正半轴，求m 的取值范围。

8、495235x y x z z +++==--时，求x y 的值9、矩形ABCD 中，3AB BC =，将矩形折叠，点B 落在边AD 上的点M 处，C 落在N 处，求EC FBAM-QQ33247855611、 扫雷游戏2、已知不等式：21y x px ≤-++求能使x y +最大值为2的负实数p 的取值范围。

3、如图所示，直线l 经过点P ，且垂直于AB ，当长方形AOBP 的周长为20时，请求出无论图形如何变化，l 始终经过的定点坐标___________。

4、在反比例函数ky x=上存在点C ，以点C 为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O 点距离为2，则k 的取值范围______________5、已知直线MA NB 、均与线段MN 为直径的半圆相切，直线AB 与半圆相切于点F ，P 在线段MN 上且PF MN ⊥，当直线AB 变化时，求+PA PBAB的最大值6、在1,2,3……,39,40数列中能找出__________对数字使它们的差的绝对值为质数。

1、已知在BAC ∠的内部存在一点M ，在不画出A 点的情况下过M 点作一条直线，使它经过A 点。

2、设12x x 、为220x px p --=的两根，p 为实数①求证：212230px x p ++≥ ②当1223x x p -≤-时，求p 的最大值3、实数12n a a a 、满足： ①12=0n a a a +++②121n a a a +++=求证：k 个数123k n =（，，，），1212k a a a +++≤4、锐角ABC ∆中，AD BE CF ，，分别为BC AC AB ，，边上的高，设BC a =，AC b =，AB c =，BD x =，EC y =，AF z =① 用a b c 、、表示x② 当a b c 、、满足什么关系时，有2()x y z a b c++=++B。

师大附中数学考试题及答案

师大附中数学考试题及答案

师大附中数学考试题及答案考试题目：一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. 1D. 72. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 如果一个三角形的两边长分别为3和4，且这两边之间的夹角为60度，求第三边的长度。

A. 1B. 2C. 5D. 74. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求第10项的值。

A. 143B. 144C. 145D. 1465. 已知等差数列的第5项为15，第8项为27，求这个数列的公差。

A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（每题4分，共20分）6. 勾股定理公式为：__________。

7. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度为__________。

8. 如果一个数的平方根是2，那么这个数是__________。

9. 一个圆的周长为44π，那么这个圆的半径是__________。

10. 已知一个二次方程的两个根分别为2和-3，求这个二次方程的一般形式。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)，当x = 2。

12. 求解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0。

13. 证明：对于任意实数x，不等式x^2 + 4x + 4 ≥ 4恒成立。

四、解答题（每题15分，共30分）14. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数f'(x)，并求在x = 2处的切线斜率。

15. 一个直角三角形的斜边长为10，一个锐角为30度，求其余两个边的长度。

答案：一、选择题1. B2. B3. C4. B5. B二、填空题6. a^2 + b^2 = c^27. 58. 49. 1110. x^2 - x - 6 = 0三、计算题11. 原式化简后为3x - 1，当x = 2时，值为5。

福建师大附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(实验班)Word版含解析

福建师大附中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(实验班)Word版含解析

2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是（）A． B．C．D．2．命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤03．下列有关命题的说法正确的是（）A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的根的逆命题是真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A． B．C．D．5．三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．6．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=﹣2的距离为d，则|PQ|+d的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．39．与圆（x+1）2+y2=1和圆（x﹣5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）A．椭圆和双曲线 B．两条双曲线C．双曲线的两支 D．双曲线的一支10．直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A．x2=12y B．x2=8y C．x2=6y D．x2=4y11．已知椭圆和双曲线焦点F1，F2相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与椭圆的交于A，B两点，若△F1AB是以A为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）A．3﹣2B．5﹣3C．9﹣6D．6﹣4二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知命题：“存在x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是．14．与双曲线﹣y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是．15．如图，直角坐标系x′Oy所在的平面为β，直角坐标系xOy所在的平面为α，且二面角α﹣y轴﹣β的大小等于30°．已知β内的曲线C′的方程是3（x﹣2）2+4y2﹣36=0，则曲线C′在α内的射影在坐标系xOy下的曲线方程是．16．已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|•|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题P：方程+=1表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．18．如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）求该抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为（1，﹣1），求直线AB方程．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．20．直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，A1A=AB，E为BB1延长线上的一点，D1E⊥面D1AC．设AB=2．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D1的大小；（Ⅱ）在D1E上是否存在一点P，使A1P∥面EAC？若存在，求D1P：PE的值；不存在，说明理由．21．如图所示，点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是，线段MF1的中垂线交MF2于点P．（Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标．22．如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x 轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F．（Ⅰ）若△ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（Ⅱ）设S△ABO=S1，S△CFO=S2，其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是（）A． B．C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】直接利用向量数量积的几何意义，求出点P到平面的距离即可．【解答】解：设点P到平面的距离为d，∵P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，∴=，又d=，∴d=．点P到平面的距离是．故选：C．2．命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x0+1＜0或”的否定形式是：∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0．故选：D．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题为：“若x=a且x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的根的逆命题是真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】四种命题．【分析】一一判断即可得出结论．【解答】解：命题“若x≠a且x≠b，则x2﹣（a+b）x+ab≠0”的否命题是：若x=a或x=b，则x2﹣（a+b）x+ab=0，故A错误；x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的根的逆命题是：x2﹣5x﹣6=0的根是x=﹣1，是假命题，故B错误；命题“∃x∈R使x2+x+1＜0”是特称命题，其否定命题为：∀x∈R，使x2+x+1≥0，故C错误；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为命题“若sinx≠siny”，则“x≠y”，正确；故选：D．4．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）A． B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】===．【解答】解：===；又，，，∴．故选B．5．三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．【解答】解：===0﹣2×=﹣2故选A．6．如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B 与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角，∵∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴，，A1C1=1，∴cos=．∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值是．故选：D．7．已知抛物线y2=8x，点Q是圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x=﹣2的距离为d，则|PQ|+d的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0，以C（﹣1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，从而d+|PQ|的最小值为|FC|﹣r．【解答】解：如图所示，由题意知抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），连接PF，则d=|PF|．圆C的方程配方，得（x+1）2+（y﹣4）2=4，圆心为C（﹣1，4），半径r=2．d+|PQ|=|PF|+|PQ|，显然，|PF|+|PQ|≥|FQ|（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）．而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q，C三点共线时取得最小值，最小值为|CF|﹣r=﹣2=5﹣2=3．故选：C．8．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=（x﹣1）与C交于A，B（A在x轴上方）两点，若=m，则m的值为（）A．B．C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意画出图形，联立方程组求出A，B的坐标，进一步得到|AF|，|BF|的长度，结合=m把m转化为线段的长度比得答案．【解答】解：如图，联立，解得，∵A在x轴上方，∴，则|AF|=x A+1=4，|BF|=，由=m，得．故选：D．9．与圆（x+1）2+y2=1和圆（x﹣5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是（）A．椭圆和双曲线 B．两条双曲线C．双曲线的两支 D．双曲线的一支【考点】曲线与方程．【分析】由题意画出图形，利用圆心距与半径的关系结合双曲线的定义得答案．【解答】解：如图，设动圆M的半径为r，当动圆M与圆C1、C2均外切时，|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，∴|MC2|﹣|MC1|=2，这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支；当动圆M与圆C1、C2均内切时，|MC1|=r﹣1，|MC2|=r﹣3，∴|MC1|﹣|MC2|=2，这表明动点M到两定点C1，C2的距离之差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的右支；当动圆M与圆C1外切，与C2内切时，|MC1|=r+1，|MC2|=r﹣3，∴|M C1|﹣|M C2|=4，∴动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为4的双曲线右支；当动圆M与圆C1内切，与C2外切时，|MC1|=r﹣1，|MC2|=r+3，∴|M C2|﹣|M C1|=4，∴动点P的轨迹是以C1，C2为焦点，实轴长为4的双曲线左支．综上，与圆（x+1）2+y2=1和圆（x﹣5）2+y2=9都相切的圆的圆心轨迹是两条双曲线．故选：B．10．直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A．x2=12y B．x2=8y C．x2=6y D．x2=4y【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得到x1+x2=2，x1+x2+p=6，由此能求出此抛物线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，AB的中点到x轴的距离是1，∴x1+x2=2，∵线段AB的长是6，∴x1+x2+p=6，解得p=2，∴此抛物线方程是x2=4y．故选：D．11．已知椭圆和双曲线焦点F1，F2相同，且离心率互为倒数，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理便得到4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义即可得到m+n=2a1，m﹣n=2a1，从而可以求出m，n．再根据离心率互为倒数便可得到c2=a1a2，将m，n及c2都带入上式便可得出a1=3a2，从而有，这样便可求出椭圆的离心率．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c；由余弦定理得，（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn；设a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴；由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2；∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们代入前式得3a22﹣4c2+a12=0；∵离心率互为倒数；∴，∴c2=a1a2；∴（a2﹣a1）=0；根据题意，a2≠a1，∴a1=3a2；∴e1•e2=即3e12=1；∴e1=．故选：A．12．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与椭圆的交于A，B两点，若△F1AB是以A为顶点的等腰直角三角形，则e2=（）A．3﹣2B．5﹣3C．9﹣6D．6﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得e2=．【解答】解：解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，∴c2=（9﹣6）a2，则e2==9﹣6．故选：D．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知命题：“存在x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是[﹣8，+∞）．【考点】特称命题．【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：若存在x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，则等价为存在x∈[1，2]，使x2+2x≥﹣a，当存在x∈[1，2]时，设y=x2+2x=（x+1）2﹣1，则3≤y≤8，∴要使x2+2x≥﹣a，则8≥﹣a，即a≥﹣8，故答案为：[﹣8，+∞）14．与双曲线﹣y2=1有相同渐近线，且与椭圆=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求得已知椭圆的焦点，可得c=，即a2+b2=6，再求已知双曲线的渐近线方程，可得=，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由椭圆=1的焦点（0，±），可得c=，即a2+b2=6，又双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，可得=，解得a=，b=2，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．15．如图，直角坐标系x′Oy所在的平面为β，直角坐标系xOy所在的平面为α，且二面角α﹣y轴﹣β的大小等于30°．已知β内的曲线C′的方程是3（x﹣2）2+4y2﹣36=0，则曲线C′在α内的射影在坐标系xOy下的曲线方程是（x﹣3）2+y2=9．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．【解答】解：设3（x﹣2）2+4y2﹣36=0上的任意点为A（x，y），A在平面α上的射影是（x，y）∵直角坐标系x′Oy所在的平面为β，直角坐标系xOy所在的平面为α，且二面角α﹣y轴﹣β的大小等于30°．∴根据题意，得到x=x，y=y，∵3（x﹣2）2+4y2﹣36=0，∴3（x﹣2）2+4y2﹣36=0∴（x﹣3）2+y2=9故答案为：（x﹣3）2+y2=9．16．已知F1，F2是椭圆+=1（m＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF1|•|PF2|=2m，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，利用基本不等式的性质可得：|PF1|+|PF2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2m，∴2m=|PF1|+|PF2|≥=2，化为，又m＞2，解得．另一方面：设∠F1PF2=θ，由余弦定理可得： +﹣2|PF1||PF2|cosθ=（2c）2=16．++2|PF1||PF2|=4m2．相减可得：1+cosθ=．∵θ∈[0，π），∴0＜≤2．m≥2∴2≤m≤+．∴==∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题P：方程+=1表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【分析】由￢p是￢q的充分非必要条件可知q是p的充分条件，利用基本不等式即可求出．【解答】解：由命题P得（t+2）（t﹣10）＜0，即﹣2＜t＜10，即t∈（﹣2，10），由命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），即t∈（1﹣m，1+m）由题意及逆否命题的等价性可知q⇒p，即（1﹣m，1+m）⊂（﹣2，10），∴由1﹣m≥2，1+m≤10（不同时取等号）及m＞0得0＜m≤3，∴所求m的取值范围为（0，3]．18．如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）求该抛物线方程；（2）若AB的中点坐标为（1，﹣1），求直线AB方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意设出抛物线方程，代入P点坐标求p，则抛物线方程可求；（2）把A，B的坐标代入抛物线方程，作差后结合AB的中点坐标求出AB所在直线的斜率，由点斜式得AB所在直线方程．【解答】解：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵P（1，2）在抛物线上，∴22=2p，即p=2．∴抛物线方程为：y2=4x；（2）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，∴，．两式作差得：（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），．又AB的中点坐标为（1，﹣1），∴y1+y2=﹣2，则．∴直线AB方程为y+1=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣1=0．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（Ⅰ）证明：BC⊥AB1；（Ⅱ）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AA1=，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=，在直角三角形ABD中，tan∠ABD=，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC 的一个法向量，设直线C 1D 与平面ABC 所成角为α，则sin α=．20．直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD=60°，A 1A=AB ，E 为BB 1延长线上的一点，D 1E ⊥面D 1AC ．设AB=2． （Ⅰ）求二面角E ﹣AC ﹣D 1的大小；（Ⅱ）在D 1E 上是否存在一点P ，使A 1P ∥面EAC ？若存在，求D 1P ：PE 的值；不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设AC 与BD 交于O ，以O 为原点，OA ，OB ，为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E ﹣AC ﹣D 1的大小．（Ⅱ）设==λ（），得=（0，，），=（﹣，，），由此能求出存在点P 使A 1P ∥面EAC ，此时D 1P ：PE=2：3．【解答】解：（Ⅰ）设AC 与BD 交于O ，如图以O 为原点，OA ，OB ，为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A （，0，0），B （0，1，0），C （﹣，0，0），D （0，﹣1，0），D 1（0，﹣1，2），设E （0，1，2+h ），则=（0，2，h ），=（2，0，0），=（），∵D 1E ⊥平面D 1AC ，∴D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ，∴2﹣2h=0，∴h=1，即E（0，1，3），∴=（0，2，1），=（﹣，1，3），设平面EAC的法向量为=（x，y，z），则由，令z=﹣1，得=（0，3，﹣1），∵D1E⊥面D1AC，∴平面D1AC的法向量为=（0，2，1），∴cos＜＞===，∴二面角E﹣AC﹣D1的大小为45°．（Ⅱ）设==λ（），得==（0，，），∴=+=（﹣，﹣1，0）+（0，，）=（﹣，，），∵A1P∥面EAC，∴⊥，∴﹣=0，解得，∴存在点P使A1P∥面EAC，此时D1P：PE=2：3．21．如图所示，点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是，线段MF1的中垂线交MF2于点P．（Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与轨迹G交于M、N两点，直线F2M与F2N的倾斜角分别为α、β，且α+β=π，求证：直线l经过定点，并求该定点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）连接PF1，运用垂直平分线定理和椭圆的定义，可得P的轨迹为椭圆，方程为；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的方法，即可得到所求定点．【解答】解：（Ⅰ）连接PF1，由，∴，又∵|PM|=|PF1|，∴，由椭圆的定义可知2a=2，c=1，b=1．即有动点P的轨迹G的方程为；（Ⅱ）证明：依题意，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，又=，=依题意得， +=0，即+=0，化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，∴2k•+（m﹣k）（﹣）﹣2m=0，整理得，m=﹣2k，∴直线l的方程为y=k（x﹣2），因此直线l经过定点，该定点坐标为（2，0）．22．如图，已知F为抛物线y2=4x的焦点，点A，B，C在该抛物线上，其中A，C关于x 轴对称（A在第一象限），且直线BC经过点F．（Ⅰ）若△ABC的重心为G（），求直线AB的方程；（Ⅱ）设S△ABO=S1，S△CFO=S2，其中O为坐标原点，求S12+S22的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），运用三角形的重心坐标公式和抛物线方程，即可求得A，B的坐标，进而得到直线方程；（Ⅱ）通过直线BC，AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，可得恒过定点（﹣1，0），即有S△ABO=|OE|•|y2﹣y1|=|y2﹣y1|，S△CFO=|OF|•|y1|=|y1|，y1y2=4，再由基本不等式计算即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），则△ABC的重心坐标为G（，），由题意可得2x1+x2=，且y2=4，由y22=4x2，y12=4x1，可得x2=4，y2=4，和x1=，y1=1，直线AB的斜率k==，即有直线AB的方程为4x﹣5y+4=0；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），设直线BC：x=my+1，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，可得﹣y1y2=﹣4，即y1y2=4，再设直线AB：y=kx+n，代入抛物线方程，可得ky2﹣4y+4n=0，y1y2==4，即n=k，则有直线AB：y=k（x+1），即有直线AB恒过定点E（﹣1，0），则S△ABO=|OE|•|y2﹣y1|=|y2﹣y1|，S△CFO=|OF|•|y1|=|y1|，即有S12+S22=（y2﹣y1）2+y12==（2y12+﹣8）≥（2﹣8）=2﹣2．即有S12+S22的最小值为2﹣2，当且仅当y1=，y2=．2016年8月1日。

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2015年福建师大附中自主招生数学试卷一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=的最大值是．2．（6分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积是．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0的所有实数根之和等于．4．（6分）一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是．5．（6分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是．6．（6分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1的值是．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q201510．（6分）已知方程组，则=．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标是．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B 在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．2015年福建师大附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-13题，每小题6分，共78分）1．（6分）函数y=的最大值是．【解答】解：∵y′=1﹣x（1﹣x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∴有最小值，∴y=的最大值是=．故答案为：．2．（6分）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积是7．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴AB=2CD=6，∵AB+AC+BC=14，∴AC+BC=8，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36，∴（AC+BC）2﹣2AC•BC=36，AC•BC=14，∴S=AC•BC=7．故答案为：7．3．（6分）方程x2+|x|﹣12=0的所有实数根之和等于0．【解答】解：当x≥0时，方程为x2+x﹣12=0，即（x﹣3）（x+4）=0，解得：x=3或x=﹣4（舍）；当x＜0时，方程为x2﹣x﹣12=0，即（x+3）（x﹣4）=0，解得：x=﹣3或x=4（舍），则方程x2+|x|﹣12=0的所有实数根之和等于为﹣3+3=0，故答案为：0．4．（6分）一直角三角形的两直角边之比为2：3，若斜边上的高分斜边为两线段，则较小的一段与较大的一段之比是4：9．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，CD⊥AB，∴AC2=AD×AB，BC2=BD×BA，∴==，又∵=，∴=，故答案为：4：9．5．（6分）已知⊙O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，则∠BAC的度数是15°或75°．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，根据垂径定理得AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE===，sin∠AOD==，根据特殊角的三角函数值可得∠AOE=60°，∠AOD=45°，∴∠BAO=45°，∠CAO=90°﹣60°=30°，∴∠BAC=45°+30°=75°，或∠BAC′=45°﹣30°=15°．故答案为：15°或75°．6．（6分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠BOD=20°，点P为直径AB上任意一点，则PC+PD的最小值是3．【解答】解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πr2，即r=．作点C关于AB的对称点C′，连接OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵∠AOC=80°，∴∠AOC=∠AOC′=80°，∴∠BOC′=100°，∵∠BOD=20°，∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．7．（6分）已知实数a满足|2014﹣a|+=a，那么a﹣20142+1的值是2016．【解答】解：∵|2014﹣a|+=a，∴a≥0，且a﹣2015≥0，解得：a≥2015，故|2014﹣a|+=a可化简为：a﹣2104+=a，整理得：=2014，故a﹣2015=20142，则a﹣20142+1=a﹣（a﹣2015）+1=2016．故答案为：2016．8．（6分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．【解答】解：设正方形的边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y﹣x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB====．9．（6分）已知两个反比例函数y=，y=，第一象限内的点P1、P2、P3、...、P2015在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别为x1、x2、x3、 (x2015)纵坐标分别是1、3、5、…，共2015个连续奇数，过P1、P2、P3、…、P2015分别作y轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q1（x'1，y'1）、Q2（x'2，y'2）、…、Q2015（x'2015，y'2015），则P2015Q2015的长度是．【解答】解：∵点P2015的纵坐标为2×2015﹣1=4029，点P2015的在反比例函数y=的图象上，∴点P2015的坐标为（，4029），∵P2015Q2015∥y轴，∴点Q2015的坐标为（，），∴P2015Q2015=4029﹣=．故答案为：．10．（6分）已知方程组，则=3．【解答】解：设a=，b=，则x+y=（x+1）+（y﹣2）+1=20，所以，（x+1）+（y﹣2）=19，即a2+b2=19，因此，方程组可化为，①平方得，a2+2ab+b2=25③，③﹣②得，2ab=6，解得ab=3，所以，=•=ab=3．故答案为：3．11．（6分）观察下列各式：=1﹣=1﹣（1﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；=1﹣=1﹣（﹣）；…计算：+++…+=2014．【解答】解：根据题意得原式=1﹣（1﹣）+1﹣（﹣）+1﹣（﹣）+…+1﹣（﹣）=1×2015﹣（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2015﹣=2014，故答案为：2014．12．（6分）已知抛物线y=+bx经过点A（4，0）．设点C（1，﹣4），欲在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标是（2，﹣8）．【解答】解：∵解：∵抛物线y=x2+bx经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣4），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣4），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′最大，设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=4x﹣16，当x=2时，y=﹣8，∴D点的坐标为（2，﹣8）．故答案为：（2，﹣8）．13．（6分）一列分数有规律地排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，…，则第200个分数是．【解答】解：∵1+2+3+4+5+…+19==190，200﹣190=10，∴第200个分数是第20组的第10个分数，分母是10，分子是11，为．故答案为：．二、解答题（第14题12分，第15题14分，第16题23分，第17题23分；共72分）14．（12分）若关于x的不等式组只有4个整数解，求a的取值范围．【解答】解：由①得：x＜21，由②得：x＞2﹣3a，∵不等式组只有4个整数解，∴不等式组的解集为：2﹣3a＜x＜21，即不等式组只有4个整数解为20、19、18、17，且满足16≤2﹣3a＜17，∴﹣5＜a≤﹣．15．（14分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程的解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．16．（23分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．（1）求证：RQ是⊙O的切线；（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；（3）求证：OB2=PB•PQ+OP2．【解答】（1）证明：连接OQ．∵OA⊥OB，∴∠2+∠B=90°，∵OB=OQ，∴∠B=∠4，∵RP=RQ，∴∠1=∠3=∠2，∴∠3+∠4=90°，∴OQ⊥RQ，∴RQ是⊙O的切线．（2）解：如图1中，①当点R与A重合时，易知∠B=45°．②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，∴∠R=30°，∵RQ=RP，∴∠RPQ=∠RQP=75°，∴∠OPB=75°，∴∠B=90°﹣∠OPB=15°，综上所述，15°≤∠B＜45°．（3）如图2中，延长AO交⊙于M．∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），∴（OB﹣OP）（OB+OP）=PB•PQ，∴OB2﹣OP2=PB•PQ．即OB2=PB•PQ+OP2．17．（23分）如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B 在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0o≤θ≤45o）．（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．【解答】解：（1）如图1中，由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S扇形OBB′+S△OCB′﹣S△OBC﹣S扇形OCC′=S扇形OBB′﹣S扇形OCC′=﹣=．（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，∵∠AOM=22.5°，∴∠EOM=∠EMO=22.5°，∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=x，∴x+x=1，∴x=﹣1，∴BM=AB﹣AM=1﹣（﹣1）=2﹣，同理可得BN=2﹣，∴MN=BM=2﹣2，设△BMN的内切圆的半径为r，则有（MN+BM+BN）•r=BM•BN，∴r===3﹣2．（3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，∴△OAE≌△OCN，∴OE=ON，∠AOE=∠CON，∵∠MON=45°，∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，∴△MOA≌△MON，∴EM=MN，∴△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，∴△BNM的周长为定值．。

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