第四讲 全等三角形及判定(SSS、SAS)

A
D
B
E
C
3、如图△ ABD ≌ △CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，
则BC=
，CD=
A
。
D
B
C
如图,已知△ AOC ≌ △BOD，求证：AC∥BD
三角形全等的判定（SSS)
3.在△ABC 与△A'B'C'中,若AB=A'B',
BC=B'C',AC=A`C`,∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C',那 么△ABC 与△A'B'C'全等吗? 具备三条边对应相等,三个角对应相等的两个三角形全等 A A'
(1)一个条件
一边 一角 一边一角 两角 两边
(2)两个条件
三角
(3)三个条件 三边 两边一角 两角一边
先任意画出一个△ABC，再画一个△ A`B`C`，使 A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA，把画好的△ A`B`C` 剪下，放到出的△ABC上，它们全等吗？ 画法： 画一个△ A`B`C`，使A`B`= AB ,B`C` =BC,C` A`= CA １．画线段B`C` =BC; ２．分别以B`，C`为圆心，以线段AB ，AC为半径画弧， 两弧交于点 A`; ３．连接线段 A`B`= A`C`．
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等；
1、观察上图中的全等三角形应表示为： △ ABC ≌ △ DEF 。 2、根椐全等三角形的定义我们知道了对应边、对应角的关系？请
完成下面填空：
∵ △ ABC ≌ △ DEF（已知） ∴AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ∠A
＝ ∠D，∠B
＝ DF ＝ ∠E，∠C ＝∠F。
B
C
B'
C'
思考:
要使两个三角形全等,是否一定要六个条件呢?
自学指导
1.只给一个条件（一组对应边或一组对应角）画出的三角形一定全 等吗？ 2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的 三角形一定全等吗？
3.如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
C
D
BLeabharlann EF已知AC=FE，BC=DE，点A，B，D，F在一条直线上， AD=FB,证明△ABC ≌△ FDE，
A
证明:∵AD=FB, ∴ AD-BD=FB-BD， 即AB=FD. 在 △ ABC和△ FDE中， AC=FE,
C
B
D
AB=FD,
BC=DE, ∴ △ ABC≌ △ FDE (SSS).
想一想：这个结果反映了什么规律？
三边分别相等的两个三角形全等 （ 可以简写为“边边边”或“SSS”）。
用数学语言表述：
在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF
B
A
D
C
CA=FD ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
E
F
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角 形全等。
例1. 如下图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是 连接A 与BC中点D的支架。求证：△ ABD≌ △ ACD 证明: ∵D是BC中点， ∴BD=CD.
在△ABD和△ ACD中,
AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴ △ABD ≌△ ACD（SSS）．
例2.已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条
直线上，AD=FB,证明△ABC ≌△ FDE 证明:∵AD=FB, A ∴ AD＋DB=FB＋DB ， 即AB= FD. 在 △ ABC和△ FDE中， AC=FE, AB=FD, BC=DE, ∴ △ ABC≌ △ FDE (SSS).
探究二
如图: 己知AD∥BC, AF=CE, AD=BC,E、Ｆ都在直线ＡＣ 上。求证ＤＥ∥ＢＦ。 A E F B C D
评学
如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA， 你能判断BC=AD吗？说明理由。
C
D
A
B
2.已知如图，AB=AC,D,E分别为AB，AC的中点，BE, CD交于O.
求证: （1）∠B=∠C （2）连接AO,则AO是∠BAC平分线
第四讲 全等三角形和全等三角形的判定1
同一张底片洗出的照片是 能够完全重合的
能够完全重合的两个图形叫做全等形 形状、大小相同
像这样能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
平移、翻折、旋转
形状、大小都不变
A
D
CE △ABC全等于△DEF可表示为： B △ABC≌△DEF 重合的顶点叫对应顶点；
练习：如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE， AC＝DF，BE＝CF。试说明∠A＝∠D的理由。
小结：要说明两个角相等，可以利用它们所在的两个三 角形全等的性质来说明。 A D ∵BE＝CF（已知） 解： ∴ BE+EC=CF+EC 即 BC＝EF 在△ABC和△DEF中 AB＝DE
练习
1、如图： △ABC≌△DCB
其中的对应边： 与 。 对应角： 与 ；
与 与
； ；
与 与
； 。
A
D
B
C
1、能够 的两个图形叫做全等图形。两个 三角形重合时，互相 的顶点叫做对应顶点。 记两个全等三角形时，通常把表示 顶点的字 母写在 的位置上。
2、如图△ABC≌ △ADE若∠D= ∠B， ∠C= ∠AED，则∠DAE= ； ∠DAB= 。
F
重合的边叫对应边；
重合的角叫对应角； 注意：表示时必须把对应顶点的字母写在对应的位置上。
A 1、若△AOC≌△BOD，对应边是 ，对应角是 ； O C A 2、若△ABD≌△ACD，对应边是 ，对应角是 ； B
D
B
D A ；
C
3、若△ABC≌△CDA,对应边是
，对应角是
B
D
C
A
D
B
CE
F
• 找全等三角形 ,关键是找对应边与对应角 ,其途径有哪些 ?方法 是什么?
BC＝EF AC＝BF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A＝∠D(全等三角形对应角相等） B E C F
如图,点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF。求 证：AC//DF。
A D
B
E
C
F
探索两边夹角----边角边SAS 已知△ABC，画一个△A′B′C′使AB =A′B′,AC=A′C ′, ∠A =∠A′。 画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截取A ′C ′=AC; E 3. 连接B ′C′. C ′ C A B A ′
A
E
B
D
C
如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE, 其它的对应边有 ：_____________ 对应角有：_____________
1、如图，△ABD≌△ACE，若∠B＝25°，BD＝6㎝， AD＝4㎝，你能得出△ACE中哪些角的大小，哪些边的 长度吗？为什么 ？
2、已知△ABC≌△DEF，A与D、B与E分别是对应顶点， ∠ A＝52°，∠B＝67°，BC ＝15㎝。则∠F＝________ ， EF＝______㎝。
′
B′
D
结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等。(可以简写成“边角边”或“SAS”) 在△ABC与△DEF中 AC=DF ∠C=∠F BC=EF ∴△ABC≌△DEF（SAS） B
C F E A D
探究一
已知:如图OA=OD,OB=OC.求证：AB=DC
E
F
1.如图，AB=AD,CB=CD,∆ABC与∆ADC全等吗？为什么？
A
C B D
2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE.求证：∆ACD≌∆CBE
A
C
D
B
E
证明三角形全等的步骤：
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； (2)证明三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件用大括号括起来 ③写出全等结论
A
D E
O
B C
小结：三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）