高考数学模拟试卷(四)
2023届山东省高考模拟练习(四)数学试题
2023届山东省高考模拟练习（四）数学试题一、单项选择题：本题共8个小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}24=<A x x 集合{}2320B x x x =-+< 则A B =( ) A.∅B.{}12x x <<C.{}24<x xD.{}14x x <<2.若复数z 满足i (23)72i z ⋅-=+ 则复数z 的虚部为( ) A.52B.72-C.52i D.7i 2-3.已知向量()2,9m =-a ()1,1=-b 则“3m =-”是“//a b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如图 用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统 当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次是12、23、23已知在系统正常工作的前提下 求只有K 和1A 正常工作的概率是( )A.49B.34C.14 D.195.已知数列{}n a 为等差数列 首项10a > 若100410051a a <- 则使得0n S >的n 的最大值为( ) A.2007B.2008C.2009D.20106.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A > 0ω> π||2ϕ<)的部分图象如图所示 π()6f -=( )A.12-B.1-C.12D.37.若正实数x y 满足1x y += 且不等式241312m m x y +<++有解 则实数m 的取值范围是( ). A.3m <-或32m > B.32m <-或3m > C.332m -<<D.332m -<<8.记{},max ,,p p q p q q q p≥⎧=⎨>⎩ 设函数()221max e 1,2x f x x mx -⎧⎫=--+-⎨⎬⎩⎭ 若函数()f x 恰有三个零点 则实数m 的取值范围的是( ) A.(2,2-B.(9,22,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.99,2,44⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.((),22,-∞-+∞二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分。
成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷(4)
成都石室中学2024届高考数学试题模拟卷（4）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，a R ∈，532ai i a i +=-+，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．若1n x ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84 C ．57 D ．563．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)4．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（ ）A ．BC ．6D ．5．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．tan570°=（ ）A B ．C D 7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A ．75B ．65C ．55D ．458．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图（例如：2017年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）A ．2019年该工厂的棉签产量最少B ．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C ．三年累计下来产量最多的是口罩D ．口罩的产量逐年增加11．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．42πD ．3π12．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (4)
全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A={x∈N|x+1>0},B={x|x2+2x-3≤0},则A∩B=A.{0,1}B.(0,1]C.(-1,1]D.[-1,1]2．设i为虚数单位,则复数z=1+2ii的虚部为A.-2B.-iC.iD.-13．已知a>1,则“log a x<log a y”是“x2<xy”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知|a|=1,|b|=√2,且a⊥(a-b),则向量a与向量b的夹角为A.π6B.π4C.π3D.2π35．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=−x f′(x)的图象可能是A. B. C. D.6．如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字.则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为A.13B.56C.16D.237．已知直线a⊥平面α,则“直线b∥平面α”是“b⊥a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为A.-√33B.2-√3C.-2-√3D.√39．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线C 2:x 2b 2−y 2a 2-2b 2=1,F 1,F 2分别为C 2的左、右焦点,P为C 1和C 2的交点,若三角形PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标为2,C 1和C 2的离心率之积为32,则该内切圆的半径为A.4√2-2√6B.4√2-2√3C.4√3-2√6D.4√6-2√311．已知函数f (x )= A sin(x +π3)+b (A >0)的最大值、最小值分别为3和-1,关于函数f (x )有如下四个结论:①A =2,b =1;②函数f (x )的图象C 关于直线x =-5π6对称;③函数f (x )的图象C 关于点(2π3,0)对称;④函数f (x )在区间(π6,5π6)内是减函数.其中,正确结论的个数是A.1B.2C.3D.412．如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E,F,且EF=12,则下列结论中错误的是___.A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=sin(x +π2)在点P (π2,f (π2))处的切线方程为 .14．已知在等比数列{a n }中,a n >0且a 3+a 4=a 1+a 2+3,记数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 6-S 4的最小值为 .15．某统计调查组从A ,B 两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A 市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B 市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x -y = .16．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线与x 轴的交点为Q ,双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP ,O 为坐标原点.若△PQF 为直角三角形,则该双曲线的离心率等于 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,sin 2A +sin 2B =4sin A sin B cosC.(1)求角C 的最大值;(2)若b =2,B =π3,求△ABC 的面积.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为BC 的中点,AB =AC ,BC 1⊥B 1D.求证:(1)A 1C ∥平面ADB 1; (2)平面A 1BC 1⊥平面ADB 1.19．(本题12分)某车床生产某种零件的不合格率为p (0<p <1),要求这部车床生产的一组5个零件中,有2个或2个以上不合格品的概率不大于0.05.为了了解该车床每天生产零件的利润,现统计了该车床100天生产的零件组数(1组5个零件),得到的条形统计图如下.现以记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率. (1)设平均每天可以生产n 个零件,求n 的值; (2)求p 的最大值p 0;(3)设每个零件的不合格率是p 0,生产1个零件的成本是20元,每个合格零件的出厂价为120元,不合格的零件不得出厂,不计其他成本.假设每天该机床生产的零件数为n ,X 表示这部车床每天生产零件的利润,求X 的数学期望E (X ). (参考数据:0.924×1.32的取值为0.95)20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(-1,32),且它的右焦点为F (1,0).直线l :y =kx +1与椭圆C 有两个不同的交点A ,B. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M 在y 轴上(M 不在l 上),且满足S1S 2=|AM||BM|,其中S 1,S 2分别为△OAM ,△OBM 的面积,求点M 的坐标.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -12ax 2+b (a >0),函数f (x )的图象在x =0处的切线方程为y =x +1.(1)当a =1时,求函数f (x )在[0,2]上的最小值与最大值; (2)若函数f (x )有两个零点,求a 的值.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷(四)高三数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷（四）高三数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<答案：A根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 解：∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 点评：本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-答案：B根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 解：z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y ，则z x yi =+，z x yi =-，∵12z zz +=+，1x =+，解得221y x =+. 故选：B. 点评：本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 3．“2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 解：∵当函数()()2231af x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，解得2b =或12-， ∴“2b =”是“函数()()2231af x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.故选：A. 点评：本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.4．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1 B ．7C ．1D ．1或7答案：C根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 解：由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 105AB AC BAC AB AC⋅∠===. ∴解得1λ=. 故选：C. 点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.5．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有下述四个结论： （1）焦距长约为300公里； （2）长轴长约为3988公里； （3）两焦点坐标约为()150,0±； （4）离心率约为75994． 其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B根据椭圆形轨道，设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，先求得月球的半径r ，再根据近月点与月球表面距离为100公里，有100a c r -=+，远月点与月球表面距离为400公里，有400a c r +=+，然后两式联立求解. 解：设该椭圆长轴长为a ，半焦距为c ，依题意可得月球半径约为1347617382⨯=， 所以1001738183840017382138a c a c -=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1988150a c =⎧⎨=⎩所以离心率150751988994c e a ===，可知结论（1）（4）正确，（2）错误； 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以（3）错误． 故选：B 点评：本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题. 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1a =，6A π=，且321c b -=，则cos C （）A ．12-B ．3C ．12D 6 答案：A根据1a =，321c b -=，由正弦定理边化为角得到3sin 2sin sin C B A -=，由A B C π++=，得到()3sin 2sin sin C A C A -+=，再根据6A π=求解.解：由321c b -=，得32c b a -=，即3sin 2sin sin C B A -=， 所以()3sin 2sin sin C A C A -+=， 而6A π=，所以3sin 2sin sin 66C C ππ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即3113sin 2sin cos 222C C C ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1cos 2C =-． 故选：A 点评：本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．函数()2cos2cos221xxf x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．答案：C根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 解：∵()2cos221cos2cos22121x x x x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数，∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 点评：本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.8．设x ，y 满足约束条件2010x y x y x m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值大于17，则实数m 的取值范围为（） A ．()4,+∞ B ．13,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()6,+∞D ．()5,+∞答案：D先作出不等式组表示的平面区域，然后平移直线l ：20x y +=，当直线l 在y 轴上的截距最大时，z 取得最大值求解. 解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，作出直线l ：20x y +=，并平移，当直线l 经过点(),2m m +时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 因为2z x y =+的最大值大于17， 所以2217m m ++>，解得5m >． 故选：D 点评：本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的方法的能力，属于基础题. 9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成．而这七块板可拼成许多图形，人物、动物、建筑物等，在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧图谱》．若用七巧板（图1为正方形），拼成一只雄鸡（图2），在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡头或鸡尾（阴影部分）的概率为A ．112B ．18C ．14D ．316答案：D这是一个几何概型模型，设包含7块板的正方形边长为4，求得正方形的面积，即为雄鸡的面积，然后求得雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和，代入公式求解. 解：设包含7块板的正方形边长为4，正方形的面积为4416⨯=， 则雄鸡鸡头（标号3或5）和鸡尾（标号6）的面积之和为1212132⨯⨯+⨯=， 在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡几头或鸡尾（阴影部分）的概率为316p． 故选：D 点评：本题主要考查几何概型的概率，还考查了阅读抽象应用的能力，属于基础题.10．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 答案：C设AE BF a ==，13B EBF EBFV S B B '-'=⨯⨯，利用基本不等式，确定点E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解.设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFaa V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=，352AF =，2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos 9322222A F EF A E A FE A F EF +-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯， ∴4A FE π'∠=．方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3,3,32A F ⎛⎫'=--⎪⎝⎭，()3,3,0AC =-， 所以9922cos ,92322A F AC A F AC A F AC +'⋅'==='⋅⨯，所以异面直线A F '与AC 所成的角为4π． 故选：C 点评：本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.11．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④答案：B 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证. 解： ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即=1a =，①正确； ∴()sin 2sin 3π⎛⎫==- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈， 当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误．故选：B 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.12．如图，在ABC 中，AB 4=，点E 为AB 的中点，点D 为线段AB 垂直平分线上的一点，且4DE =，固定边AB ，在平面ABD 内移动顶点C ，使得ABC 的内切圆始终与AB 切于线段BE 的中点，且C 、D 在直线AB 的同侧，在移动过程中，当CA CD +取得最小值时，ABC 的面积为（）A ．12524-B ．6512-C ．12518-D ．658-答案：A以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，利用圆的切线长定理，得到C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线在第一象限部分，然后利用直线段最短，得到点C 的位置，再求三角形的面积. 解： 如图，以AB 所在直线为x 轴，ED 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0A -，()2,0B ，()0,4D ，设ABC 的内切圆分别切BC 、AC 、AB 于F ，G ，H 点，∵3124CA CB AG BF AH HB -=-=-=-=<，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的第一象限部分，且1a =，2c =，2223b c a =-=，∴C 的轨迹方程为()220,03y x x y ->>．∵2CA CB -=，∴2CA CB =+，∴2CA CD CB CD +=++， 则当点C 为线段BD 与双曲线在第一象限的交点时，CA CD +最小， 如图所示：线段BD 的方程为()4202y x x =-≤≤，将其代入22330x y --=，得216190x x -+=，解得835x =+835x =-，∴426512y x =-=， ∴()835,6512C -． ∴ABC 的面积为()146512125242⨯⨯=． 故选：A 点评：本题主要考查双曲线的定义，圆的切线长定理以及三角形的面积，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题13．若函数()()()()()2log 2242x x f x f x x ⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则()()5f f -=__________． 答案：1利用分段函数，先求()5f -，再求()()5f f -的值.解： ∵()()()5130f f f -=-==，∴()()()()5041ff f f -===．故答案为：1 点评：本题主要考查分段函数求函数值问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．若()()613x a x -+的展开式中3x 的系数为45-，则实数a =__________． 答案：13利用通项公式得到()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()23236633x C x a C x ⋅-⋅，再根据系数为45-，建立方程求解.解：因为()()613x a x -+的展开式中含3x 的项为：()()()232336633135540x C x a C x a x ⋅-⋅=-，∴13554045a -=-，解得13a =． 故答案为：13点评：本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 15．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.答案：323π 根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，即可求得其外接球的体积. 解：由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233V R ππ==. 故答案为：323π. 点评：本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.16．若函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围为__________． 答案：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭由函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点，则()ln 40f x x ax '=-=有两个不同的根，转化为方程ln 4x a x =有两个不同解，即函数()g x ln 4xx=的图象与直线y a =有两个公共点求解.解：由()ln 40f x x ax '=-=，得ln 4xa x=， 记()ln 4x g x x =，则()21ln 4xg x x-'=， 当()0,x e ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减． 又∵()14g e e=，当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →． 因为函数()2ln 2f x x x ax x =--有两个不同的极值点， 所以方程ln 4xa x=有两个不同的解， 即函数()g x 的图象与直线y a =有两个公共点， 故实数a 的取值范围为10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：10,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭点评：本题主要考查导数与函数的极值点以及导数与函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 答案：（1）见解析；（2）23π（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 解：（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--，()1,1,1FB =-，()0,1,1FE =-.设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =，则11111111100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩，令11x =，()1,0,1n =，由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==，∴1cos<,222n m n m n m⋅>===⨯⋅，由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为23π. 点评：本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.18．在等差数列{}n a 中，12a =，35730a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记23n n a an b =+，当*n N ∈时，1n n b b λ+>，求实数λ的取值范围．答案：（1）2n a n =（2）实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（1）根据12a =，35730a a a ++=，利用“1,a d ”法求解.（2）由（1）得到2349n naa n n nb =+=+，将()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，转化为5419nλ<⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立求解. 解：（1）在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，∴510a =，所以{}n a 的公差51251a a d -==-， ∴()112n a a n d n =+-=． （2）∵2349n naa n n nb =+=+，∴()114949n n n n λ+++>+对*n N ∀∈恒成立，即4499595444949419n n n n n n n n λ⨯+⨯⨯<=+=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭对*n N ∀∈恒成立， 又∵55974441341199n+≥+=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴9713λ<，即实数λ的取值范围是97,13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．点评：本题主要考查等差数列的基本运算以及有关数列的不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的任意一点M 到直线1y =-的距离比M 点到点()02F ，的距离小1.（1）求动点M 的轨迹1C 的方程；（2）若点P 是圆()()222221C x y -++=：上一动点，过点P 作曲线1C 的两条切线，切点分别为A B 、，求直线AB 斜率的取值范围.答案：（1）28x y =；（2）13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）设(),M x y ，根据题意可得点M 的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动点M 的轨迹1C 的方程；（2）设出切线PA PB 、的斜率分别为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，点()P m n ,，则可得过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立抛物线方程并化简，由相切时0∆=可得两条切线斜率关系12,k k +12k k ；由抛物线方程求得导函数，并由导数的几何意义并代入抛物线方程表示出12,y y ，可求得4AB mk =，结合点()P m n ,满足()()22221x y -++=的方程可得m 的取值范围，即可求得AB k 的范围.解：（1）设点(),M x y ，∵点M 到直线1y =-的距离等于1y +， ∴11y +=，化简得28x y =，∴动点M 的轨迹1C 的方程为28x y =.（2）由题意可知，PA PB 、的斜率都存在，分别设为12k k ，，切点()12,A x x ，()22,B x y ，设点()P m n ,，过点P 的拋物线的切线方程为()y k x m n =-+，联立()28y k x m n x y⎧=-+⎨=⎩，化简可得28880x kx km n -+-=，∴26432320k km n ∆=-+=，即220k km n -+=， ∴122m k k +=，122n k k =. 由28x y =，求得导函数4xy '=， ∴114x k =，2211128x y k ==，2222228x y k ==，∴222121212121224424ABy y k k k k m k x x k k --+====--， 因为点()P m n ,满足()()22221x y -++=， 由圆的性质可得13m ≤≤，∴13444AB m k ≤=≤，即直线AB 斜率的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点评：本题考查了动点轨迹方程的求法，直线与抛物线相切的性质及应用，导函数的几何意义及应用，点和圆位置关系求参数的取值范围，属于中档题.20．某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） 答案：（1）0.4；（2）1127；（3）应选择方案()a ，理由见解析 （1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案()a 的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案()a 的概率；（3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件，分别表示出方案()a 的日工资和方案()b 的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择. 解：（1）设事件A 为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为0.2,0.15,0.05，∵020*******++=．．．．， ∴()P A 估计为0.4.（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a ”， 设事件i C ，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有()01234ii =，，，，人选择方案()a ”， 则()()()41310144212163211111333818127P B P C P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案()a 的概率为1127. （3）设骑手每日完成外卖业务量为X 件， 方案()a 的日工资()11002,*Y X X N =+∈，方案()b 的日工资()215054*15055454*X X N Y X X X N ≤∈⎧=⎨+->∈⎩，，，，，所以随机变量1Y 的分布列为()1160005180005200022200324002260015280005224E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．；同理，随机变量2Y 的分布列为()21500318003230022800153300052035E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．.∵()()21EY E Y >，∴建议骑手应选择方案()a . 点评：本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.21．已知函数()()ln 1f x m x x =+-，()sin g x mx x =-.（1）若函数()f x 在()0+∞，上单调递减，且函数()g x 在02，上单调递增，求实数m 的值；（2）求证：()()21111sin11sin 1sin 1sin 12231e n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭（*n N ∈，且2n ≥）.答案：（1）1；（2）见解析（1）分别求得()f x 与()g x 的导函数，由导函数与单调性关系即可求得m 的值； （2）由（1）可知当0x >时，()ln1x x +<，当02x π<<时，sin x x <，因而()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，，，构造()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由对数运算及不等式放缩可证明()()1111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 2212231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+=-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，从而不等式可证明. 解：（1）∵函数()f x 在()0+∞，上单调递减， ∴()101mf x x'=-≤+，即1m x ≤+在()0+∞，上恒成立， ∴1m ，又∵函数()g x 在02，上单调递增，∴()cos 0g x m x '=-≥，即cos m x ≥在02，上恒成立，m 1≥，∴综上可知，1m =.（2）证明：由（1）知，当1m =时，函数()()ln 1f x x x =+-在()0+∞，上为减函数，()sin g x x x =-在02，上为增函数，而()()00,00f g ==，∴当0x >时，()ln 1x x +<，当02x π<<时，sin x x <. ∴()()*111sin1sinsin sin 0,213,221n N n n n⋯>∈≥⨯⨯-⨯，，，， ∴()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 12231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()111ln 1sin1ln 1+sin ln 1+sin ln 1sin 12231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()111sin1sinsin sin 12231n n <+++⋯+⨯⨯-⨯()11111111111122312231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++⋯+=+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n=-< 即()()111ln 1sin11+sin 1+sin 1sin 212231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()()()2*1111sin11+sin 1+sin 1sin ,212231e n N n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯+<∈≥⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯-⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭，. 点评：本题考查了导数与函数单调性关系，放缩法在证明不等式中的应用，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a -+=，曲线C 的参数方程为22cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线6πθ=与l 的交点为M ，与曲线C 的交点为A ，B ，且4OA OB OM +=，求实数a 的值．答案：（1）l ：cos sin 0a ρθρθ-+=，C ：24cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）12a =- （1）先消去参数得到C 的普通方程，然后利用cos x ρθ=，sin y ρθ=分别代入，得到直线和曲线C 的极坐标方程.（2）在极坐标系中，设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，然后利用韦达定理求解.解：（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程0x y a -+=中，得到直线l 的极坐标方程为cos sin 0a ρθρθ-+=；曲线C 的普通方程为()()22224x y -+-=，即224440x y x y +--+=， 所以曲线C 的极坐标方程为24cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，可设1π,6M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π,6A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π,6B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将π6θ=代入24cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得()2240ρρ-+=，∴232ρρ+=，∵4OA OB OM +=，∴1ρ=即1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将1π,26M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入cos sin 0a ρθρθ-+=，得()111sin cos 222a ρθθ=-=⨯=-． 点评：本题主要考查参数方程，普通法方程极坐标方程间的转化以及直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．已知不等式112x x ++-≤的解集为{}x a x b ≤≤．（1）求实数a 、b 的值；（2）设0m >，0n >，且满足122a b m n-=，求证：1212m n ++-≥． 答案：（1）1a =-，1b =（2）见解析（1）利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.（2）由（1）得到1122m n+=，利用三角不等式转化为1212m n m n ++-≥+，再利用基本不等式求解.解：（1）原不等式等价于①122x x <-⎧⎨-≤⎩，∴x ∈∅； ②1122x -≤≤⎧⎨≤⎩，∴11x -≤≤； ③122x x >⎧⎨≤⎩，∴x ∈∅． 所以原不等式的解集为{}11x x -≤≤，∴1a =-，1b =．（2）∵122a b m n -=，∴1122m n+=， ∴()()1211212m n m n m n ++-≥++-=+()111122222222n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22n m m n =，即1m =，12n =时取等号， ∴1212m n ++-≥．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法以及三角不等式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2023年四川省成都市青羊区石室中学高考数学模拟试卷(文科)(四)+答案解析(附后)
2023年四川省成都市青羊区石室中学高考数学模拟试卷（文科）（四）1. 已知全集，，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足：，则( )A. B. C. 5 D.3. 睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”.某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有( )A. 高三年级学生平均学习时间最长B. 中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准C. 大多数年龄段学生平均睡眠时间少于学习时间D. 与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠4. 已知为等差数列的前n项和，，，则( )A. 5B. 0C.D.5. 不等式的解集为( )A. B.C. D.6. 函数且与函数在同一坐标系中的图像可能是( )A. B.C. D.7. 已知双曲线的离心率为，则b的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知函数的部分图象如图所示，则点的坐标为( )A. B. C. D.9. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为( )A. B. C. D.10. 如图，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A、B的任一点，现有下列命题：①；②平面PAC；③；④其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 四棱锥中，底面OABC是正方形，，是棱OP 上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则a的值是( )A. B. C. D. 612.设，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.13. 设向量，，，则______.14. 如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则的面积大于的概率为______ .15. 已知点在不等式组表示的平面区域D上运动，若区域D表示一个三角形，则a的取值范围是______；若，则的最小值是______.16. 已知抛物线C：的焦点是F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过A，B两点作直线：的垂线，垂足分别为E，若，则直线l的斜率______ .17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知点D在边AC上，证明：；若，且，求的面积．18. 2022年国际篮联女篮世界杯在澳大利亚悉尼落下帷幕，中国女篮团结一心、顽强拼搏获得亚军.这届世界杯，中国女篮为国人留下了许多精彩瞬间和美好回忆，尤其是半决赛绝杀东道主澳大利亚堪称经典一幕.为了了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下列联表男女合计喜爱3040不喜爱40合计100将列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关？在不喜爱篮球运动的观众中，按性别分别用分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目，求这2人至少有一位男性的概率.附：，其中19. 如图，在梯形ABCD中，，，，平面ABCD，平面求证：；，，求点F到平面CDE的距离．20. 已知椭圆：，A，B分别为的右顶点、下顶点.求以原点O为圆心，且与直线AB相切的圆的方程；过A，B作直线AB的垂线，分别交椭圆于点D，C，若，求的值；设，，直线，过点B的两条相互垂直的直线，直线与圆O：交于P，Q两点，直线与椭圆交于另一点R，求面积的最大值.21. 已知，且，函数求证：；若恒成立，求实数a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；设射线：和射线分别与曲线C交于A，B 两点，求面积的最大值．23. 关于x的不等式的解集为求m的值；若，且，，，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，，，所以，故选：根据集合运算求解即可．本题主要考查了集合交集及补集运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数模公式，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A 选项错误；根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确；学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比睡眠时间长于学习时间的占比，C选项错误；从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D 选项错误．故选：根据图象提供数据对选项进行分析，从而确定正确答案．本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设的公差为d，是等差数列，则，，，又，所以，从而，，故选：由等差数列性质得，从而求得，再得后可得公差d，然后求出，，再由等差数列的前n项和公式、等差数列的性质求得结论．本题主要考查等差数列的前n项和公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为故选：把不等式化为，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：过原点，排除AC；当时，单调递减，开口向下，排除故选：过原点，排除AC；当时，开口向下，排除D，得到答案．本题考二次函数的的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．【解答】解：双曲线的离心率为，可得，解得，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查由的部分图象确定其解析式，解决的关键是根据图象提供的信息确定，，考查学生读图的能力与解决问题的能力，属于中档题．由可求T，由可求得，由最高点或最低点的坐标代入函数表达式中可求得，从而可求得点的坐标．【解答】解：设其周期为T，由图象可知，，，，，函数的表达式为又的图象经过，而函数的四分之一周期为，当时取得最大值；，又，，解得，点的坐标为故选9.【答案】C【解析】解：设此数列的公比为q，则，解得：故选：利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：因AB为圆O的直径，C为圆上异于A、B的任一点，则，又平面ABC，有为锐角，平面ABC，于是得，又，PA，平面PAC，从而得平面PAC，平面PAC，有，①②④正确；假定，又，，必有平面PBC，与为锐角矛盾，③不正确，所以真命题的个数是故选：根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理判断作答．本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：若不成立，如上图，当O，D重合时，此时Q的轨迹为平面ABCD内的一段弧，且以O为圆心，故球心在过O且垂直于平面ABCD的直线l上．如下图，当D在OP上变化时，对于确定的D，当E变化时，Q的轨迹为一段弧，球心在过D且垂直于D、弧所在的平面的直线上，该直线与直线l的交点即为球心．因为不成立，故球心会随着D的变化而变化，这样与Q的轨迹是球面的一部分矛盾．故，而，OA，平面OABC，，故底面OABC，是OP上的动点，底面OABC，可得，又Q为DE的中点，，即Q的轨迹是以O为球心，以为半径的球面，其表面积为，得故选：由题意结合选项可特殊化处理，即取OP与底面垂直，求得Q的轨迹，结合球的表面积求解．本题考查轨迹方程，考查球的表面积的应用，运用特殊化思想求解是关键，是基础题．12.【答案】C【解析】解：，，，，，故选：通过比较三个数与0、1的大小关系即可得到答案．本题考查了不等关系与不等式，考查了基本初等函数的单调性，是基础题．13.【答案】【解析】解：向量，，，可得，所以，，，则，故答案为：利用向量的数量积求解m，然后求解向量的模即可．本题考查向量的数量积的求法，向量的模的求法，是基础题．14.【答案】【解析】解：如图，因为正方形ABCD的边长为2，当的面积等于时，设点E到AB的距离为h，由，解得，此时点E到CD的距离为，所以当点E到AB的距离大于时，的面积大于，易得点E在长、宽分别为2，的矩形MNCD内，由几何概型的公式可得，的面积大于的概率为故答案为：当的面积等于时，得点E到AB的距离为，即点E到CD的距离为，即的面积大于时点E在长、宽分别为2，的矩形MNCD内．结合几何概型的计算公式即可求解．本题主要考查几何概型的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由不等式组表示的平面区域D表示一个三角形，画出图形，如图所示：由，解得，若区域D表示一个三角形，则实数a的取值范围是；当时，设，目标函数过点B时，z取值最小值为故答案为：；由不等式组表示的平面区域D是一个三角形，画出图形结合图形知a的取值范围是什么；当时，，找出最优解，求出目标函数的最小值．本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了简单的线性规划应用问题，是中档题．16.【答案】【解析】解：设直线l的方程为：，，，因为，所以过A作垂直x轴，垂足为，作垂直x轴，垂足为，则∽，得出，即得，因为A在抛物线设，所以，则故填：由题意可得直线AB斜率存在，设直线AB的方程，由得A，B的横坐标的关系，再由相似三角形的A，B的横坐标的关系解出坐标，进而求出直线斜率本题主要考查了直线与抛物线相交问题，三角形的相似解交点坐标进而求斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：证明：当时，点D在A处，不满足题意，所以，因为，所以，则，则，即，整理可得：；因为，且，化简可得，又，即，所以，整理可得：，令，则，即，解得或或舍去，由可得，而，所以，则，所以三角形ABC的面积为【解析】先得出，然后根据条件得到，然后根据正弦定理以及余弦定理化简整理即可证明；由的值以及余弦定理化简得出，再由可得，整理可得：，令，然后求出t的值，结合三角形的性质求出a的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．本题考查了正余弦定理的应用以及解三角形问题，涉及到解方程以及求解三角形面积问题，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意进行数据分析，得到列联表如下：男女合计喜爱301040不喜爱204060合计5050100计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜爱篮球运动与性别有关；不喜爱篮球运动的观众中，有男观众20人，女观众40人，按照分层抽样的方式抽取6人，有男观众2人，记为a、b，女观众4人，记为1、2、3、4，从6人中抽取2人，有：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，共15个，记“所抽2人至少有一位男性”为事件A，包含：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，共9个．所以【解析】根据题意进行数据分析，完善列联表，套公式求出，对照参数下结论；利用古典概型的概率公式求解．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．19.【答案】解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以因为，，所以，则有，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，则有A，C，F，E四点共面．又，所以平面ACFE，因为平面ACFE，所以解：由可知，平面CDF，则点A到平面CDF的距离为在中，，在中，，设点F到平面CDE的距离为d，由可知，，平面CDF，平面CDF，所以平面CDF，所以，由，得，所以，即点F到平面CDE的距离为【解析】证明，推出平面ACFE，得到设点F到平面CDE的距离为d，利用通过，求出点F到平面CDE 的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，等体积法的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：由题意，可得，，可得直线，即，设该圆的半径为r，则圆心到直线的距离为，即，所以所求圆的方程为由题意，可得直线AD的方程为，联立方程组，解得，同理可得直线BC的方程为，与椭圆联立，可解得，因为，可得，即，整理得，即，所以解：由，，可得椭圆的方程为，且，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆相切于点B，不合题意；当直线的斜率为0时，此时可得；当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，则点O到直线的距离为，根据圆的弦长公式，可得，因为，所以直线的方程为，由，解得，即，可得，所以，令，则，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，又由，所以面积的最大值为【解析】根据题意求得直线AB的方程，利用圆与直线AB相切求出圆的半径，即可求解；求出AD和BC的方程，分别与椭圆方程联立求出D和C的横坐标，根据，转化为，即可求解；求得椭圆的方程，分别求得当直线的斜率不存在或0时，的面积，当直线的斜率存在且不为0时，设其直线的方程为，利用圆的弦长公式和点到直线的距离公式，求得面积的表达式，结合基本不等式，即可求解．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：证明：恒成立，令，则恒成立，故在上单调递增，又，故恒成立，即；即①，显然时上式成立，当时，①式可化为，，令，，，再令，，结合可知，故在上单调递减，而，故在时恒成立，故时，，时，，故是的极大值，也是最大值，故时原式成立，即a的范围是【解析】构造函数，，证明其最小值大于零即可；结合x的范围，分离参数a，然后研究不等式右边的函数，利用导数求出最大值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，从而解决不等式恒成立的问题，属于较难的题目．22.【答案】解：易知曲线C的普通方程：，因为，，所以曲线C的极坐标方程为：，即；由题意及知，，，因为，则，所以当，即时，的面积最大，最大值是【解析】先把参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程；求出，，利用三角形面积公式和三角函数的性质求出结果．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．23.【答案】解：若，原不等式的解集为；若，原不等式的解集为；，由，得，即，解得；证明：设，，，，，，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，【解析】第m分类求解原不等式，再结合不等式的解集为，可得关于m 的方程组，求解的答案案；设，，，可得，，，且，再由基本不等式与不等式的性质证得结论．本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明，考查化归与转化思想，考查基本不等式的应用，是中档题．。
2024年河北高考数学模拟试卷及答案
2024年河北高考数学模拟试卷及答案（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知抛物线C ：212y x = ，则C 的准线方程为 A ． 18x =B ．1-8x =C ．18y =D ．1-8y = 2．已知复数121z i=+ ，复数22z i =，则21z z -=A ．1BC ．．10 3．已知命题:(0,)ln xp x e x ∀∈+∞>，，则 A ．p 是假命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，B ．p 是假命题， :(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，C ．p 是真命题，:(-)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，0，D ．p 是真命题，:(0+)ln xp x e x ⌝∃∈∞≤，，4．已知圆台1O O 上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则该圆台的侧面积为 A ．8πB ．16πC ．26πD ．32π5．下列不等式成立的是A.66log 0.5log 0.7>B. 0.50.60.6log 0.5>C.65log 0.6log 0.5>D. 0.60.50.60.6>6.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：由上表制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为11ˆˆˆy b x a =+，其相关系数为1r ；经过残差分析，点（167，90）对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l 的方程为22ˆˆˆy b x a =+，相关系数为2r .则下列选项正确的是 A ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <>< B ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r <<> C ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r ><> D ．121212ˆˆˆˆ,,b b a a r r >>< 7．函数()y f x =的导数()y f x '=仍是x 的函数，通常把导函数()y f x '=的导数叫做函数的二阶导数，记作()y f x ''=，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，函数()y f x =的n 阶导数记为()n y fx =（），例如xy e =的n 阶导数()()n xx ee =．若()cos 2xf x xe x =+，则()500f =（）A ．49492+B ．49C ．50D ．50502-8．已知函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如下，12y =与其交于A ，B 两点. 若3AB π=，则ω=A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023届高考理科数学模拟试卷四(含参考答案)
俯视图侧视图正视图2023届高考理科数学模拟试卷四(含参考答案)一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．设全集U = R ，A =10xx ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，则U C A =（ ） A .｛x | x ≥0｝ B.｛x | x > 0｝ C. 10x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ D.1x x ⎧⎨⎩≥0⎭⎬⎫2．"1''=a 是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D.（3，4） 4．按向量)2,6(π=a 平移函数()2sin()3f x x π=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则 A. ()2cos 2g x x =-+ B. ()2cos 2g x x =-- C. ()2sin 2g x x =-+ D. ()2sin 2g x x =--5．已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,则y x z 42+=的最大值为 ( )A. 24B. 20C. 16D. 126．.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为A.B. C.2 D. 67．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）（第15小题）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是A ．①②③B ．①② C.②③ D.①③ 8.定义在(－∞,＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)=－f(x), 且f(x)在[－1,0]上是增函数, 下面五个关于f(x)的命题中: ① f(x)是周期函数 ② f(x) 的图象关于x=1对称 ③ f(x)在[0,1]上是增函数, ④f(x)在[1,2]上为减函数 ⑤ f(2)=f(0) 正确命题的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，其中9-12题必做,在13,14,15题中选做两题,多选以前两题计分,把答案写在答题卷上）． 9.已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t =10．sin168sin 72sin102sin198︒︒︒︒+= ． 11.函数2234log ()y x x =--的单调增区间是______________;12.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数()[]f x x x =-， 那么下列命题中正确的序号是 ．（1）函数()f x 的定义域为R ，值域为[]1,0； （2）方程()12f x =，有无数解； （3）函数()f x 是周期函数； （4）函数()f x 是增函数. 13、极坐标方程sin 2cos ρθθ=+所表示的曲线的直角坐标方程是 . 14、已知c b a ,,都是正数，且,12=++c b a 则cb a 111++15．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）已知02cos 22sin =-xx ， （Ⅰ）求x tan 的值；（Ⅱ）求xx xsin )4cos(22cos ⋅+π的值．17．（本题满分12分）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上()()2ln 11xf x x =++-（Ⅰ）求函数()f x 的解析式;并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明) （Ⅱ）解不等式()()22110f x f x ++-≥.18．（本题满分14分）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y （米）随着时间(024,)t t ≤≤单位小时而周期性变化，每天各时刻t 的浪高数据的平均值如下表：（Ⅰ）试画出散点图；（Ⅱ）观察散点图，从,sin(),cos()y ax b y A t b y A t ωϕωϕ=+=++=+中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）如果确定在白天7时~19时当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间。
高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第三部分 刷模拟 高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题
2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。
2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(四)数学试卷及答案
2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i+B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．3B ．3C ．22D ．26．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．2167．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π128．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A ．3B ．12C D ．49．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．411．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．b<c<a第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=2023年高考数学全真模拟卷四（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知复数z 满足2i 3i 0z z --+=，则z 的共轭复数z =（）A ．1i +B ．1i-C ．1i5+D ．1i5-【答案】B【分析】由复数的除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念可得z .【详解】由2i 3i 0z z --+=，得3i 12i z -=-(3i)(12i)(12i)(12i)-+=-+55i 1i 5+==+，所以1i z =-.故选：B2．设集合(){},A x y y x ==，(){}3,B x y y x ==，则A B ⋂的元素个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】联立3,y x y x ==求出交点坐标，从而得到答案.【详解】联立3y x y x=⎧⎨=⎩，即3x x =，解得：0x =或1±，即()()(){}0,0,1,1,1,1A B =-- ，故A B ⋂的元素个数为3.故选：C3．设命题p ：若,x y R ∈，则“0x y >>”是“22x y >”的必要不充分条件；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃≤，21x ≤”，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．p q∨D ．()p q ∧⌝【答案】B【分析】先判断命题p 和命题q 的真假，再根据复合命题真假的判定方法，即可得出结果.【详解】根据不等式的性质，若0x y >>，则22x y >；反之，若22x y >，则220x y ->，即()()0x y x y +->，因为,x y 正负不确定，所以不能推出0x y >>，因此“0x y >>”是“22x y >”的充分不必要条件，即命题p 为假命题；所以p ⌝为真命题；命题q ：“0x ∀>，21x >”的否定是“0x ∃>，21x ≤”，故命题q 为假命题；q ⌝为真命题；所以p q ∧为假，p q ∨为假，()p q ∧⌝为假，()()p q ⌝∧⌝为真.即ACD 错，B 正确.故选：B.4．已知()f x 是偶函数，在(－∞，0)上满足()0xf x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．()34()()5f f f <<--B ．()()()435f f f <->-C ．()()()534f f f -<-<D ．()()()453f f f <-<-【答案】A【分析】由题干条件得到(),0x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(),0∞-上单调递减，结合()f x 为偶函数，得到()f x 在()0,∞+上单调递增，从而判断出大小关系.【详解】(),0x ∈-∞时，()0xf x '>即()0f x '<，∴()f x 在(),0∞-上单调递减，又()f x 为偶函数，∴()f x 在()0,∞+上单调递增．∴()()()345f f f <<，∴()()()345f f f -<<-.故选：A ．5．在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1AC 的中点，12AB AA ==，且AD =面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．23B C D 【答案】C【分析】将异面直线AE 与BC 所成角转化为EAD ∠或其补角，再通过边的计算得到4EAD π∠=，即可求解.【详解】连接1,,DE AC A D ，由BC AD ∥可得EAD ∠或其补角即为异面直线AE 与BC 所成角，又1A A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，则1A A AC ⊥，则111222AE A C ==⨯，同理可得1A D DC ⊥，1122DE AC ==，则222AE DE AD +=，4EAD π∠=，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为cos4π=故选：C.6．美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A ．96B ．120C ．180D ．216【答案】D【解析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由()24541216C A -=故选：D.7．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，则ϕ的最小值为（）A ．π12B ．π4C ．3π4D ．11π12【答案】C【分析】利用三角函数图象平移规律得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和ϕ的范围可得答案.【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后，得到函数[]sin 2()y x ϕ=+的图象，由所得图象经过点π,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()sin π21ϕ+=，则ππ22π2k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ4k ϕ=-+，k ∈Z ，又0ϕ>，所以ϕ的最小值为3π4．故选：C ．8．在区间[]22-,上随机取一个数k ，使直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（）A B C ．6D 【答案】C【分析】求出直线与圆相交时k 的取值范围，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】因为圆221x y +=的圆心为()0,0，半径1r =，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交，所以圆心到直线()2y k x =+的距离1d =，解得33k -<<，所以，直线()2y k x =+与圆221x y +=相交的概率为346P ==，故选：C ．9．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度MN .在过N 点的水平面上确定两观测点,A B ，在A 处测得M 的仰角为30°，N 在A 的北偏东60°方向上，B 在A 的正东方向30米处，在B 处测得N 在北偏西60°方向上，则MN =（）A ．10米B ．12米C ．16米D ．18米【答案】A【分析】由已知分析数据，在NAB △中，由正弦定理可求得NA ，在直角MNA △中，可求得MN .【详解】由已知得，30MAN ∠=︒，30NAB NBA ∠=∠=︒，30AB =米在NAB △中，由正弦定理可得30sin120sin 30NA=︒︒，求得NA =米在直角MNA △中，tan 3010M NA N ⋅︒==米故选：A 10．已知函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意求导后结合已知极值，得出27b c =-⎧⎨=-⎩，即可根据导数得出其单调性，再结合特值得出其零点个数.【详解】由题意得()232f x x bx c ¢=++，因为函数()()3220f x x bx cx b b =+++<在=1x -处有极值，且极值为8，则()2118f b c b -=-+-+=，()1320f b c '-=-+=，解得27b c =-⎧⎨=-⎩(经检验适合题意)，或33b c =⎧⎨=⎩（经检验不合题意舍去）故()32274f x x x x =--+，()()()2347137f x x x x x '=--=+-，当(),1x ∈-∞-或7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，即函数()f x 单调递增，当71,3x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，即函数()f x 单调递减，又因为()30f -<，()10f ->，()10f <，()40f >，则()f x 有3个零点，故选：C.11．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆.若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于23-，则椭圆的离心率为（）A ．13B C D 【答案】B【分析】法一，用判别式等于零求两条切线得斜率，因为它们相乘等于23-，可得2223b a =，所以椭圆的离心率为e 3=；法二，用极点极线得方法得到两条切线得斜率，再根据条件即得.【详解】法一：设内椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，外椭圆为()222220x y m m a b+=>，切线AC 的方程为()1y k x ma =+，联立()1222222,,y k x ma b x a y a b ⎧=+⎨+=⎩消去y 可得：()2222322422211120b a k x ma k x m a k a b +++-=，因为直线AC 为椭圆的切线，所以()()26422224222111Δ440m a k b a k m a k a b =-+-=，化简可得：2212211b k a m =⋅-，设直线BD 的方程为：2y k x mb =+，同理可得()222221b k m a =-，因为两切线斜率之积等于23-，所以2223b a =，所以椭圆的离心率为e =故选：B.法二；设内层椭圆：22221x y a b +=，外层椭圆：22222x y m a b+=.设切点()111,P x y ，()222,P x y ，(),0A ma ，()0,B mb ，切线1l ：11221x x y ya b +=，切线2l ：22221x x y y a b+=，∴21121x b k a y =-⋅①，22222x b k a y =-⋅②，又∵11AP k k =，即211211x y b a y x ma-⋅=-，即222222111b x b m ax a y -+=，即22222222111b m ax a y b x a b =+=，∴1mx a =，同理22BP k k =，∴2my b =，∴21y b x a=，将1P ，2P 代入椭圆22221x y a b +=中得：221222y b x a =，经分析得：12y b x a =-，由①②可知22212122212x x b b k k a y y a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，∴2223b a =，∴2221e 13b a =-=，∴e 3=.故选：B.12．已知3e a -=，ln1.01b =，sin 0.02c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】D【分析】先利用不等式()sin 0x x x >>比较a ，c 的大小，再构造函数，利用函数的单调性比较b ，c 的大小，即可得到结果．【详解】如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则BC 的长度l θ=，sin BD θ=，则由图易得，l BC BD >>，即sin θθ>，所以3321110.02sin 0.02e 350e c a -==>>=>=.设()()sin 2ln 1f x x x =-+，0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()112cos 21011f x x x x '=->->++，所以()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()0.010f >，即sin 0.02ln1.01>，即b c <.综上，b<c<a .故选：D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若双曲线221x my +=的焦距等于虚轴长的3倍，则m 的值为______．【答案】8-【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到2211,a b m ==-，211c m=-，根据题意列出方程，求出m 的值.【详解】221x my +=化为标准方程：2211y x m-=-，则2211,a b m ==-，故211c m =-，则可得：=8m =-，故答案为：8-14．向量()2,1a =-r ，()2,3b =-r ，(),1c m =- ，c b ⊥r r，则a c -= ___．【答案】172【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数m 的值，再利用平面向量的坐标运算以及向量模的坐标运算可求得结果.【详解】由已知可得230c b m ⋅=--= ，解得32m =-，则3,12c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以，1,22a c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，因此，a c -== .15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知向量cos,12A B m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，且254m = ．若2c =，且ABC 是锐角三角形，则22a b +的取值范围为______．【答案】20,83⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简254m = 可得2π3A B +=，即π3C =，由正弦定理可得22168πsin 2336a b A ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再结合ABC 是锐角三角形，即可求出ππ62A <<，则可写出22a b +的取值范围.【详解】由题意得()221cos 5cos 11224A B A B m +++=+=+= ，所以()1cos 2A B +=-，因为0πA B <+<，所以2π3A B +=，所以()ππ3C A B =-+=，由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ===，所以a A ，2πsin 3b B A ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，则2222162sin sin 33a b A A π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1684cos 2cos 2333A A π⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1681cos 2cos 22332A A A ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭168πsin 2336A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π02A <<，π02B <<，又2π3B A =-，所以ππ62A <<，即ππ5π2666A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以20168πsin 283336A ⎛⎫<+-≤ ⎪⎝⎭，故222083a b <+≤．故答案为：20,83⎛⎤ ⎥⎝⎦.16．如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE V 沿DE 折起，构成四棱锥F BCDE -，若EF CD ⊥，则四棱锥F BCDE -外接球的表面积为__________．【答案】112π【分析】根据给定的几何体，确定四边形BCDE 外接圆圆心，进而求出外接球半径即可计算作答.【详解】取BC 中点G ，连接AG 交DE 于H ，连接,,,FH EG DG FG ，如图，因为ED 是边长为2的正ABC 平行于BC 的中位线，则,AG ED FH ED ⊥⊥，H 是AG 中点，,,AG FH H AG FH =⊂ 平面AFG ，则有ED ⊥平面AFG ，ED ⊂平面BCDE ，有平面AFG ⊥平面BCDE ，显然有112GE GD GC GB =====，则G 是四边形BCDE 外接圆圆心，在平面AFG 内过G 作直线l AG ⊥，因为平面AFG ⋂平面BCDE AG =，因此l ⊥平面BCDE ，则四棱锥F BCDE -的外接球球心O 在直线l 上，过F 作FQ AG ⊥于Q ，FQ ⊂平面AFG ，有FQ ⊥平面BCDE ，则有//OG FQ ，连接,FO BO ，四边形FOGQ 为直角梯形，因为//,EG CD FE CD ⊥，则有FE EG ⊥，FG =，在AFG 中，FH AH HG ==，则AFG 是直角三角形，90AFG ∠= ，而AG =则1AF =，于是得3AF FG FQ AG ⋅==，过O 作OP FQ ⊥于P ，有PQ OG =，2FG OP GQ AG ===OB OF R ==，Rt OBG △与Rt OFP 中，222222OB BG OG OF OP FP ⎧=+⎨=+⎩，即222214)3R OG R OG ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得44OG R ==，所以四棱锥F BCDE -外接球的表面积为21142S R ππ==.故答案为：112π三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分三、解答题17．2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y （单位：台）和销售价格x （单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：销售价格x 2428303236销售量y340330300270260(1)通过散点图发现销售量y 与销售价格x 之间有较好的线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+．(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】(1)7.5525ˆyx =-+(2)35百元【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程；（2）利用销售额的公式可得到()27.5359187.5zx =--+ ，利用二次函数的性质即可求解【详解】（1）2428303236305x ++++==，3403303002702603005y ++++==，6402302(30)6(40)7.536ˆ4436b-⨯-⨯+⨯-+⨯-==-+++，3007.530ˆ525a=+⨯=，∴y 关于x 的线性回归方程为7.5525ˆyx =-+（2）设销售额为 ()227.55257.5359187.5zx y x x x ==-+=--+ ，070x ≤≤，当35x =百元时，此时销售额到达最大，该值为max 9187.5z =百元18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且123n n n S S a +=++，11a =．(1)证明：数列{}3n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 3n n n b a a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明过程见详解，123n n a +=-(2)2239222n n T n n n+=⋅--【分析】（1）先利用n a 与n S 之间的关系化简已知等式，得到1n a +，n a 间的关系，从而可求得数列{}3n a +的首项和公比，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）先求得数列{}n b 的通项公式，再根据分组求和和错位相减即可求得n T ．【详解】（1）因为123n n n S S a +=++，所以123n n n S S a +-=+，得123n n a a +=+，即()1323n n a a ++=+，又11a =，所以数列{}3n a +是首项为4，公比为2的等比数列，所以113422n n n a -++=⋅=，得123n n a +=-．（2）由题意得()()()()()1111223log 21231231n n n n n b n n n ++++=-⋅=+⋅-=+-+，所以()()2316332232122n n n n T n +++=⨯+⨯+++⨯-．令()231223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，则()3422223212n n P n +=⨯+⨯+++⨯ ，两式相减，得()()()223412222212222212412221n n n n n n P n n n ++++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯=-⋅- ，故22n n P n +=⋅，所以2239222n n T n n n +=⋅--．19．如图，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，4AB =，AD =，MC ==45ADC ∠︒，点M 在底面ABCD 上的射影为CD 的中点O ，E 为线段AD 上的点(含端点)．(1)若E 为线段AD 的中点，证明：平面MOE ⊥平面MAD ；(2)若3AE DE =，求二面角D ME O --的余弦值．【答案】(1)证明见解析【分析】(1)在△ADO 中，利用勾股定理证明ED ⊥EO ，再结合ED ⊥MO 即可证明AD ⊥平面MOE ，从而可证明平面MOE ⊥平面MAD ；(2)连接OA ，证明DO OA ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解二面角的余弦值．【详解】（1）∵AD ⊂平面ABCD ，MO ⊥平面ABCD ，∴MO AD ⊥．∵O 为线段CD 的中点，E 为线段AD 的中点，∴2DO =，DE =∵=45ADC ∠︒，由余弦定理得22222222EO =+-⨯⨯，则222EO DE DO +=，则DE EO ⊥．∵MO EO O ⋂=，,MO EO ⊂平面MOE ，∴AD ⊥平面MOE ，又∵AD ⊂平面MAD ，∴平面MOE ⊥平面MAD ．（2）连接OA ，由(1)知当E 为线段AD的中点时，AE DE EO ===，则A 、O 、D 三点在以AD 为直径的圆上，故DO OA ⊥．故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又MC =2MO =，∴(0,0,0)O ，(2,0,0)D ，(0,2,0)A ，(0,0,2)M ．又3AE DE =，则13,,022E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴(0,0,2)OM = ，(2,0,2)DM =- ，(2,2,0)DA =-，13,,022OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设平面MAD 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111220220DM m x z DA m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，，解得1111x z x y =⎧⎨=⎩，，取11x =，则平面MAD 的一个法向量为(1,1,1)m =．设平面MEO 的法向量为()222,,x n y z = ，则2221302220OE n x y OM n z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，，解得22230x y z =-⎧⎨=⎩，，取23x =，则平面MEO 的一个法向量为(3,1,0)n =-．则30cos 15m n m n m n⋅⋅==⋅，则二面角D ME O --的余弦值为15．20．已知函数()2()4e 6x f x x x x =--+，()()ln 1g x x a x =-+，1a >-．(1)求()f x 的极值；(2)若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，求实数a 的取值范围．（3e 20.09≈）【答案】(1)极大值()2ln 28ln 28-+-，极小值为39e -(2)361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，再列出,(),()x f x f x '的变化关系表，根据表格和极值的概念可求出结果；（2）根据（1）求出()f x 在[]1,3上的最小值为3(3)9e f =-，则将若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，转化为3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，再构造函数3ln 9e ()x h x x-+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，转化为min 1()a h x +<，利用导数求出min ()h x 代入可得解【详解】（1）由()2()4e 6x f x x x x =--+，得()()()e 4e 263e 26x x xf x x x x x '=+--+=--+()()3e 2x x =--,令()0f x '=，得3x =或ln 2x =，,(),()x f x f x '的变化关系如下表：x (),ln 2-∞ln 2()ln 2,33()3,+∞()f x '＋0－＋()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当ln 2x =时，()f x 取得极大值，为(ln 2)f =()()2ln 2ln 24e ln 26ln 2--+()2ln 28ln 28=-+-，当3x =时，()f x 取得极小值，为()32(3)34e 318f =--+39e =-.（2）由（1）知，()f x 在[]1,3上单调递减，所以当[]1,3x ∈时，3min ()(3)9e f x f ==-，于是若存在[]11,3x ∈，对任意的232e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得不等式()()21g x f x >成立，则()()3ln 19e 1x a x a -+>->-在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即3ln 9e 1x a x-++<在23e ,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，令3ln 9e ()x h x x -+=，23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则min 1()a h x +<，()321ln 9e ()x x x h x x⋅--+'=3210e ln xx -+=，因为23e ,e x ⎡⎤∈⎣⎦，所以[]ln 2,3x ∈，33310e ln 12e ,13e x ⎡⎤-+∈--⎣⎦，因为3e 20.09≈，所以313e 1320.097.090-≈-=-<，所以()0h x '<，所以()h x 单调递减，故333min 33ln e e 96()(e )1e e h x h +-===-，于是3611e a +<-，得36e a <-，又1a >-，所以实数a 的取值范围是361,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l yx =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()0102020222y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224 y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y+∈，4,PAB S ⎡∈⎣△（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C 极坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 上的两个点且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】(1)2243sin 1ρθ=+(2)证明见解析【分析】（1）先消去参数ϕ化为直角坐标方程，再根据公式cos x ρθ=，sin y ρθ=化为极坐标方程即可得解；（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ，将,A B 的极坐标代入曲线C 的极坐标方程，根据极径的几何意义可求出结果.【详解】（1）由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩得2222cos sin 14x y ϕϕ+=+=，所以曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=．将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入到2214x y +=，得2222cos sin 14ρθρθ+=，得2243sin 1ρθ=+，所以曲线C 的极坐标方程为：2243sin 1ρθ=+.（2）由于OA OB ⊥，故可设()1,A ρθ，2π,2B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ρθ21243sin 1ρθ=+，2222443cos 1n π23si 1ρθθ⎛⎫+ ⎝=⎭=++⎪，所以2222121111||||OA OB ρρ+=+()()223sin 13cos 1544θθ+++==．即2211||||OA OB +为定值54.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2||3|f x x x =++．(1)求函数()y f x =的最小值M ；(2)若0,0a b >>且a b M +=【答案】(1)3M =;试卷第17页，共17页.【分析】（1）利用零点分段法将()f x 写出分段函数的形式，画出图象，由图象可以看出函数()f x 的最小值；（2）由（1）知3a b +=，23≥，的最小值.【详解】（1）由于()()()()33323330330x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪=++=--≤≤⎨⎪+>⎩，作出此函数图象如图所示:由图象可知函数()f x 的最小值为()03f =，即3M =．（2）由（1）知3a b +=，所以2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以149ab ≥，23≥，当且仅当32a b ==时等号成立，3+≥≥=,当且仅当32a b ==时等号成立．。
2022年高考数学(理)模拟卷四(全国卷)(原卷版+解析版)
备战2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）二轮拔高卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟。
）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ．{2，3}B ．C ．2D ．2，32．设1i z =-（i 为虚数单位），则2||z z +=（ ） A．BCD ．23．已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R 命题1:,1e xq x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨4．若实数x y ， 满足约束条件 42023x y x y y x +⎧⎪-⎨⎪-⎩，，， 则z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．72-C ．3-D ．32-5．若函数()f x 满足()()22f x f x -+=-，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有 （） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．为了得到sin(2)6y x π=-的图象，可以将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1112π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移3π个单位8．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm 的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（ ） A ．2120cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2165cm9．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（ ）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米10．若圆()()2221:10C x y r r -+=>上存在点P ，且点P 关于直线y x =的对称点Q 在圆()()222:131C x y -+-=上，则r 的取值范围是( )A．1⎤⎦ B．C．⎡-⎣D ．(]1,1-11．棱长为a 的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内 任意转动，则x 的最大值为（ ）A ．12aBCD12．若函数()22153,0,44153,0,44x x a a x f x a a x -⎧++<⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 在定义域上单调递减，则4a ≤-或1a ≥-C ．当1a ≥-时，若()()23f x f x ->+，则()()1,00,x ∈-⋃+∞D ．若函数()()12g x f x =+有2个零点，则532a -<<-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届山东省高考模拟练习(四)数学试题
2023届山东省高考模拟练习（四）数学试题一、单项选择题：本题共8个小题 每小题5分 共40分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{}2,1,0,1,2U =-- 集合()1lg 22A x y x x ⎧⎫=∈=-+⎨⎬+⎩⎭N 则U A =（ ）A ．{}2,1,2--B ．{}2,2-C ．∅D ．{}2,1,0,2--2．已知复数231i z =- 且2z a bz =+ 其中a b 为实数 则a b -=（ ）A ．12-B ．12 C ．32D ．2 3．已知向量a b 满足323a b a b ==-= 则a a b ⋅-=（ ）A ．8B ．9C ．14D ．234．“角谷猜想”首先流传于美国 不久便传到欧洲 后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲 因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数 如果是奇数就乘以3再加1 如果是偶数就除以2 这样经过若干次运算 最终回到1．对任意正整数0a ．记按照述规则实施第n 次运算的结果为()n a n ∈N 若51a = 且()1,2,3,4i a i =均不为1 则0a =（ ）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或325．已知函数()f x 的部分图象如图所示 则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()()cos π1f x x x =+B ．()()1cos πf x x x =-C ．()()1sin πf x x x =-D ．()3221f x x x x =-+-6．已知正四棱锥（底面为正方形 且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为2 其内切球O 的表面积为π3动点Q 在正方形ABCD 内运动 且满足OQ OP = 则动点Q 形成轨迹的周长为（ ） A ．2π11B ．3π11C ．4π11 D ．5π117．2022年7月24日14时22分 搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发射 令世界瞩目．为弘扬航天精神 M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛 竞赛分为初赛和复赛 初赛通过后进入复赛 复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加 学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品 参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A B C 三名学生报名参加了这次竞赛 已知A 通过初赛、复赛的概率分别为12 13；B 通过初赛、复赛的概率分别为23 12C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元 则X 的数学期望为（ ） A ．300元B ．10003元 C ．350元 D ．20003元 8．过椭圆C ：22143x y +=上的点()11,A x y ()22,B x y 分别作C 的切线 若两切线的交点恰好在直线l ：4x =上 则12y y ⋅的最小值为（ ）A ．32-B ．94-C ．－9D ．94二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．在新冠疫情防控常态化的背景下 为提高疫情防控意识 某学校举办了一次疫情防控知识竞赛（满分100分） 并规定成绩不低于90分为优秀．现该校从高一、高二两个年级分别随机抽取了10名参赛学生的成绩（单位：分） 如下表所示：参赛学生分数高一 7478 84 89 89 93 95 97 99 100 高二 7778 84 87 88 91 94 94 95 96 则下列说法正确的是（ ）A ．高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分B ．高二年级所抽取参赛学生成绩的众数为94分C ．两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同D ．两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同10．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为()4,0F 点A B 在C 上 且弦AB 的中点到直线2x =-的距离为5 则（ ） A ．16p = B ．线段AB 的长为定值 C ．A B 两点到C 的准线的距离之和为14 D ．AF BF ⋅的最大值为4911．如图 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中 底面ABCD 为菱形 且1DE A C ⊥ 垂足为E 则（ ）A ．1AA BD ⊥B ．1AA ∥平面BDEC ．平面BDE ⊥平面1A CDD ．BE ⊥平面1A CD12．已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数 函数()2g x +是定义在R 上的偶函数 且满足()()()21g x x f x =-- ()()3426g g =+= 则（ ） A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分．13．中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开期间 将含甲、乙在内的8名工作人员平均分配到A B 两个省代表厅从事服务工作 则甲、乙两人不分在同一省代表厅的概率为______．14．已知圆22x y a +=与圆22420x y x y b ++++=交于M N 两点 若55MN =则实数a b 的一对值可以为a =______ b =______．（写出满足条件的一组即可）15.已知函数ππ()2cos cos sin 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 若对任意的实数x 恒有()()12()f f x f αα≤≤ 则()12cos αα-=______________.16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为a 的正方形 且PA ⊥平面ABCDPA a = 点M 为线段PC 上的动点(不包含端点) 则当三棱锥M BCD -的外接球的表面积最小时 CM 的长为__________.四、解答题：本题共6小题 共70分。
江苏省淮阴中学2024年高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B2．设双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线213y x =+有且只有一个公共点，且椭圆22221x y a b +=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．22123x y -=D ．22132y x -=3．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题4．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变5．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定6．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-7．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．101020218．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．119．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．111．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1912．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市2023届高考模拟练习(四)数学试题
重重重2023重重重重重重重重重重重重重重数学测试卷共4页 满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1．设1i2i 1i z -=++ 则||z =A ．0B ．12 C ．1 D 22．已知全集为R 集合A ＝{x|x ≥0} B ＝{x|x2－6x ＋8≤0} 则A ∩(∁RB)＝( )A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4} 3．（2020·全国高三月考（文））已知向量()2,1m =-(),2n λ= 若()2m n m -⊥ 则λ=（ ）A ．94 B ．94-C ．7-D ．74．（2020·河南郑州市·高二期中（理））如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案 会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的 其中11223781OA A A A A A A ===⋯== 如果把图2中的直角三角形继续作下去 记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a 则此数列的通项公式为（ ）A ．n a n = *n N ∈ B ．1n a n =+*n N ∈C ．n a n = *n N ∈D ．2n a n = *n N ∈5．（2020·全国高三月考（理））已知正实数a b 满足1a b += 则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为（ ）A ．146+B ．25C ．24D ．1236．（2020·河南高二月考（理））在ABC 中 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 已知()2sin 232BA C +=.2a = 3c = 则sin 2A 的值为（ ） A ．27B ．33C ．43D ．321147．（2020·全国高三月考（理））已知a 、b 满足0a b e <<< 则ln +b a a a 与ln +a bb b 的大小关系为（ ）A ．ln ln +>+a b a b a b a b B ．ln ln +=+a b a ba b a b C ．ln ln +<+a b a b a b a b D ．不能确定8．（2020·小店区·山西大附中高二月考）在正方体1AC 中 E 是棱1CC 的中点 F 是侧面11BCC B 内的动点 且1A F与平面1D AE的垂线垂直 如图所示 下列说法不正确的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F与BE 是异面直线C ．1A F与1D E不可能平行 D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值多项选择题(本大题共4小题 每小题5分 共20分．全部选对的得5分 部分选对的得3分 有选错的得0分)9．（2020·重庆市万州第二高级中学高一期中）德国数学家狄里克雷()18051859-在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值 y 总有一个完全确定的值与之对应 那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵 只要有一个法则 使得取值范围内的每一个x 都有一个确定的y 和它对应就行了 不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数()D x 即：当自变量x 取有理数时 函数值为1 当自变量x 取无理数时 函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识 也使数学家们更加认可函数的对应说定义 下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ）A ．()0D π= B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．（2020·江苏海安市·高三期中）若2nx x ⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大 则n 的可能值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．1211．（2020·烟台市福山区教育局高三期中）已知函数()sin xf x x =(]0,x π∈ 则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤ 则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x'=+ 且()1g π=-()g x 在(]0,π上单调递减12．（2021·福建省福州第一中学高三期中）如图 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3 线段11B D 上有两个动点,E F 且1EF = 以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分． 13．二项式()nx x 2+的二项式系数之和为64 则展开式中的6x 的系数是 （填数字）14．己知βα，为锐角 211)tan(-=+βα 54cos =β 则=αsin 15．已知点P 是椭圆14:22=+y x C 上一点 椭圆C 在点P 处的切线l 与圆4:22=+y x O交于A B 两点 当三角形AOB 的面积取最大值时 切线l 的斜率等于 16．已知四边形ABCD 为平行四边形 4=AB 3=AD 3π=∠BAD 现将ABD ∆沿直线BD 翻折 得到三棱锥BCD A -' 若13='C A 则三棱锥BCD A -'的内切球与外接球表面积的比值为 .四、解答题：本题共6小题 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 中 内角,,A B C 的对边分别为a b c 2a b = 1cos 4C =. （1）求sin B ；（2）若ABC 的外接圆面积为8π5求ABC 面积.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ()11nn n a a n +=+-⋅ 25S =. （1）证明：{}2n a 是等差数列； （2）求100S .19. 为了保障学生们的合法权益 并保证高考的公平性 重庆市施行的新高考方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差 也在一定程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后 重庆市某中学收集了部分学生的高考成绩 其中地理成绩均在[]30,100（单位：分） 将收集到的地理成绩按[)[)[)[]30,40,40,50,,80,90,90,100⋅⋅⋅分组 得到频率分布直方图如下.（1）求a 并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20% 物理类考生占80% 历史类考生中选考地理的占90% 物理类考生中选考地理的占5% 历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8% 若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流 求选到历史类考生的概率（以样本中各区间的频率作为相应事件的概率）. 20. 如图 在三棱柱111ABCA B C 中 1BC CC = 1AC AB =.（1）证明：平面1ABC ⊥平面11BCC B ； （2）若2BC = 1AB B C = 160CBB ∠=︒ 求直线1BA 与平面111A B C 所成角的正弦值.21. 已知函数()1ln f x x x =--. （1）证明：()0f x ≥； （2）已知函数()21ln 2g x x x a =--与函数()y af x =图象恰有两个交点 求实数a 的取值范围.22. 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F 过点F 引圆M ：()()221114x y ++-=的一条切线切点为N192 FN .（1）求抛物线C的方程；（2）过圆M上一点A引抛物线C的两条切线切点分别为P Q是否存在点A使得APQ△的面积为332若存在求点A的个数；否则请说明理由.。
2021年浙江省高考数学模拟试卷(4)(2021.04)(解析版)
2021年浙江省高考数学模拟试卷（4）（4月份）一、单选题（共10小题）.1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{﹣2，﹣1，1}，则集合{x|x∈A且|x|∉B}＝（）A．{0，2，3}B．{0，3}C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，0，2，3}2．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．C．D．3．复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．l B．C．2D．44．在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是（）A．若S2019＞0，则a1+a3＜0B．若S2020＞0，则a2+a4＜0C．若S2019＞0，则a3+a5＞0D．若S2020＞0，则a4+a6＞06．三个函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，，在同一平面直角坐标系中部分图象如图所示，则（）A．a为f（x），b为g（x），c为h（x）B．a为h（x），b为f（x），c为g（x）C．a为g（x），b为f（x），c为h（x）D．a为h（x），b为g（x），c为f（x）7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体，由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如右图．已知球的半径与扣合成牟合方盖的圆柱的底面半径相同，且牟合方盖与对应球的体积之比为4：π．若牟合方盖的体积为16，则此牟合方盖正视图的面积为（）A．3B．3πC．12D．8．已知P（x，y）是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上任意一点，若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，则实数r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1≤r≤2C．r≥1D．r≥29．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，现将△ABD沿BD折至△A'BD，使得二面角A'﹣BD ﹣C为锐角，设直线A'D与直线CD所成角的大小为α，直线A'C与平面ABCD所成角的大小为β，二面角B﹣A'D﹣C的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞α＞βD．不能确定10．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x|+|x+1|，若|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|＞4对任意的实数x都成立，则正数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）二、单空题（本大题共7小题，共36分，单选题每题4分，多选题每题6分）11．已知f（x）＝，则f（1）＝；f[f（3）]＝．12．若点（x，y）满足约束条件，则所对应的平面区域的面积为；目标函数z＝2x﹣y取得最小值时的最优解为．13．某研究机构采用实时荧光RT﹣PCR检测2019新型冠状病毒（2019﹣nCOV）．现有一组病例样本检测中发现有n（n＞1）份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是，则n＝；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是．14．已知平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，则与的夹角为．15．在二项式的展开式中，各项系数和为．16．已知函数y＝x的定义域为R，函数y＝x1.4的定义域为R，函数y＝x1.41的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414的定义域为.……，可推测在的定义域为．17．已知椭圆右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P 与A的连线的斜率，中点为E，记OE的斜率为k OE，且满足k OE+4k1＝0．若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数．（1）若y＝f（ωx）的图象向左平移个单位所得函数是偶函数，若0＜ω＜12，求ω的值；（2）若，，求sin2α的值．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC＝PC＝1，，AB⊥平面PAC．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，求AB的值．20．如图为函数f（x）＝ax3﹣3x2﹣9x﹣3的图象．（1）求a；（2）求f（x）在区间[﹣2，t]的最大值．21．过x轴上一点M作一直线l1与抛物线y2＝2px（p＞0）相切于A点，过点M作斜率为的直线l2与此抛物线y2＝2px（p＞0）交于B、C两点．若点M的坐标为（﹣1，0）时，l1的斜率为1．（1）求p的值；（2）若△ABC的面积为时，求点M的坐标．22．已知数列{a n}，a1＝，lna n+1＝a n﹣1．（1）求证：a n＜a n+1＜1；（2）求证：a1•a2•a3•…•a2019＜．参考答案一、单选题（共10小题）.1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{﹣2，﹣1，1}，则集合{x|x∈A且|x|∉B}＝（）A．{0，2，3}B．{0，3}C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，0，2，3}【解答】【解析】可知|x|＝0或1或2或3，∴{x|x∈A且|x|∉B}＝{﹣2，0，2，3}．故选：D．2．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．C．D．解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程x±y＝0．故选：C．3．复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．l B．C．2D．4解：∵复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），∴﹣i2z＝﹣i（1+i），化为z＝1﹣i．∴|z|＝．故选：B．4．在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，“sin A＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sin A＞”，如A＝时，sin A＝sin＝sin＜sin＝，即sin A，即充分性不成立，∴可判断A＞是sin A＞的必要而不充分条件．故选：B．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是（）A．若S2019＞0，则a1+a3＜0B．若S2020＞0，则a2+a4＜0C．若S2019＞0，则a3+a5＞0D．若S2020＞0，则a4+a6＞0解：因为，∴a1＞0，∴，，∴A不正确，C正确；同理排除B、D．故选：C．6．三个函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，，在同一平面直角坐标系中部分图象如图所示，则（）A．a为f（x），b为g（x），c为h（x）B．a为h（x），b为f（x），c为g（x）C．a为g（x），b为f（x），c为h（x）D．a为h（x），b为g（x），c为f（x）解：3个函数，g（x），h（x）的最大值分别为，1，1，由于图象a的最大值最大，故a为f（x）；g（x），h（x）最小正周期分别为π，2π，图象b的最小正周期比c小，故b为g（x），c为h（x），故选：A．7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体，由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如右图．已知球的半径与扣合成牟合方盖的圆柱的底面半径相同，且牟合方盖与对应球的体积之比为4：π．若牟合方盖的体积为16，则此牟合方盖正视图的面积为（）A．3B．3πC．12D．解：由图可知，牟合方盖的正视图是圆柱的底面圆，因为，故，所以，所以S正视图＝3π．故选：B．8．已知P（x，y）是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上任意一点，若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，则实数r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1≤r≤2C．r≥1D．r≥2解：由题意可知此圆夹在两直线3x﹣4y＝0和3x﹣4y+16＝0之间时，|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，所以，∴0＜r≤1．故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，现将△ABD沿BD折至△A'BD，使得二面角A'﹣BD ﹣C为锐角，设直线A'D与直线CD所成角的大小为α，直线A'C与平面ABCD所成角的大小为β，二面角B﹣A'D﹣C的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞α＞βD．不能确定解：考虑利用极限位置的思想，若△ABD翻折至平面ABCD，此时0°＜α＜90°，β＝0°，γ＝180°，故γ＞α＞β．故选：C．10．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x|+|x+1|，若|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|＞4对任意的实数x都成立，则正数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）解：因为|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|≥max{|2f（x）﹣2|，|2f（x﹣a）﹣2|}，所以|2f（x）﹣2|＞4或|2f（x﹣a）﹣2|＞4，即f（x）＞3或f（x﹣a）＞3的解集为R，解f（x）＞3，得x＜﹣1或x＞1，所以当﹣1≤x≤1时，有f（x﹣a）＞3，解得x﹣a＜﹣1或x﹣a＞1，所以x＜a﹣1或x＞a+1，因为a＞0，所以a﹣1＞1，所以a＞2，所以a的取值范围为（2，+∞）．故选：C．二、单空题（本大题共7小题，共36分，单选题每题4分，多选题每题6分）11．已知f（x）＝，则f（1）＝；f[f（3）]＝．解：f（x）＝，所以，．故答案为：，．12．若点（x，y）满足约束条件，则所对应的平面区域的面积为4；目标函数z＝2x﹣y取得最小值时的最优解为（﹣2，0）．解：约束条件对应可行域为图中阴影部分，∴面积为，由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z经过点（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z＝2x﹣y有最小值，则最优解为（﹣2，0）．故答案为：4，（﹣2，0）．13．某研究机构采用实时荧光RT﹣PCR检测2019新型冠状病毒（2019﹣nCOV）．现有一组病例样本检测中发现有n（n＞1）份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是，则n＝2；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是．解：由题意，解得n＝2，设病例数为变量ξ，则分布列为ξ012P∴E（ξ）＝1，，．故答案为：2，．14．已知平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，则与的夹角为．解：根据题意，平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，两边平方得，变形可得：，则与的夹角为，故答案为：．15．在二项式的展开式中，各项系数和为1．解：在'中，令x＝1，得，∴各项系数和为1，故答案为：1．16．已知函数y＝x的定义域为R，函数y＝x1.4的定义域为R，函数y＝x1.41的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414的定义域为[0，+∞）.……，可推测在的定义域为[0，+∞）．解：因为函数y＝x1.4＝的定义域为R，函数y＝x1.41＝的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414＝的定义域为[0，+∞），……，函数y＝＝的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞），[0，+∞）．17．已知椭圆右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P 与A的连线的斜率，中点为E，记OE的斜率为k OE，且满足k OE+4k1＝0．若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是．解：设P（x1，y1），A（x2，y2），PA中点E（x0，y0），则有，，两式相减得，即，即，由A（2，0）为椭圆右顶点，所以a＝2，又，k OE+4k1＝0，得到k OE＝1，b＝1．设C（﹣m，0），D（0，﹣n），m＞0，n＞0，则由四边形ABCD的面积为2，又B为上顶点，有，即mn+m+2n＝2，由基本不等式得，解不等式得，所以三角形COD的面积，当且仅当m＝2n，即，时取等号．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数．（1）若y＝f（ωx）的图象向左平移个单位所得函数是偶函数，若0＜ω＜12，求ω的值；（2）若，，求sin2α的值．解：（1）∵，∴y＝f（ωx）的图象向左平移个单位可得的图象，由于所得函数是偶函数，∴，∴ω＝12k+2，k∈Z．又∵ω∈（0，12），∴ω＝2．（2）∵，即，∵，∴，∴，故sin2α＝sin[（2α+）﹣]＝sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin＝+×＝．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC＝PC＝1，，AB⊥平面PAC．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，求AB的值．【解答】（1）证明：因为AB⊥平面PAC，AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，CD⊥PC，因为AC＝PC＝1，，所以PA2＝AC2+PC2，所以PC⊥AC，因为CD∩AC＝C，AC、CD⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD，又因为PC⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知CD、CA、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2t，t＞0,则各点坐标如下：D(t,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),＝(t,0,﹣1),＝(0,1,﹣1),＝(0,1,0),设平面PAD的法向量为＝(x,y,z),,令z＝t,＝(1,t,t),直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为＝＝，解之得t＝1,所以AB的值为2．20．如图为函数f（x）＝ax3﹣3x2﹣9x﹣3的图象．（1）求a；（2）求f（x）在区间[﹣2，t]的最大值．解：（1）f'（x）＝3ax2﹣6x﹣9，由图可知，f'（﹣1）＝0，∴3a+6﹣9＝0，解得a＝1；（2）结合图像f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增，若﹣2＜t＜﹣1，则f（x）在[﹣2，t]递增，f（x）的最大值是f（t）＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，﹣1≤t≤3时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，t]递减，故f（x）的最大值是f（﹣1）＝2，t＞3时，由f（x）＝2，解得：x＝﹣1或x＝5，（i）3＜t≤5时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，t]递减，f（t）≤f（5），故f（x）的最大值是f（﹣1）＝2，（ii）t＞5时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，t]递减，f（t）＞f（5），故f（x）的最大值是f（t）＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，综上：﹣2＜t＜﹣1或t＞5时，f（x）max＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，﹣1≤t≤5时，f（x）max＝2．21．过x轴上一点M作一直线l1与抛物线y2＝2px（p＞0）相切于A点，过点M作斜率为的直线l2与此抛物线y2＝2px（p＞0）交于B、C两点．若点M的坐标为（﹣1，0）时，l1的斜率为1．（1）求p的值；（2）若△ABC的面积为时，求点M的坐标．解：（1）．由题意，当直线l1方程为y＝x+1时，与抛物线y2＝2px相切，联立方程组，消去y，得x2+2（1﹣p）x+1＝0，令判别式△＝4（1﹣p）2﹣4＝0，又p＞0，解得p＝2．（2）．设M（m，0），直线l1方程为x＝ty+m，联立方程组，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，令△＝（4t）2+16m＝0，得m＝﹣t2，此时点A（t2，2t）．设B（x1，y1），C（x2，y2），直线l2方程为x＝﹣2y+m，联立方程组，消去x，得y2+8y﹣4m＝0，由韦达定理得y1+y2＝﹣8，y1⋅y2＝﹣4m，所以，点A（t2，2t）到直线l2的距离为，，解得，此时，m＝﹣3，故M（﹣3，0）．22．已知数列{a n}，a1＝，lna n+1＝a n﹣1．（1）求证：a n＜a n+1＜1；（2）求证：a1•a2•a3•…•a2019＜．【解答】证明：（1）①数学归纳法证a n＜1，（ⅰ），n＝1，成立；（ⅱ）假设n＝k时成立，则a k＜1，lna k+1＝a k﹣1＜0，∴a k+1＜1，综上，a n＜1．②证e x﹣1≥x，设f（x）＝e x﹣1﹣x，则f'（x）＝e x﹣1﹣1，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝e0﹣1＝0，∴e x﹣1≥x，当且仅当x＝1时取“＝”，∵a n＜1，∴，∵lna n+1＝a n﹣1，∴，综上①②可知a n＜a n+1＜1．证明：（2）．法一：用代替e x﹣1＞x中的x，得，即，∴，∴，令，则，令a n＝b n+1，由，得，，，∴，即，∴，∴，∴，∴，（n ≥2时），，∴，∴，当且仅当n＝1时取“＝”，∴．法二：数学归纳法证明，①n＝1时，满足，②假设n＝k时成立，即，则由lna n+1＝a n﹣1，得，要证，令，则要证，，构造，，，令h（x）＝e x（x﹣1）2﹣1，，则h'（x）＝e x（x﹣1）2+e x⋅2（x﹣1）＝e x（x2﹣1）＜0，∴f'（x）在上单调递减，∴f'（x）＞f'（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）＜f（0）＝0，即成立，即，∴，综上，当且仅当n＝1时取“＝”，∴．。
湖南省高考数学模拟试卷(四)文(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．20167．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2016年某某省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1] D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或 x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的X围，根据对数的运算性质得到b，c的X围，比较即可．【解答】解： ==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．2016【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得 x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为 x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意， =，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为 2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则= 9 ．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为 1 ．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值X围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的X围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合X围可求B，由sinB=cosA及A的X围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k （x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值X围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得： cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2023高考数学全真模拟卷(新高考专用)4
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x x =是1~20以内的所有素数}，{}8B x x =≤，则AB =（ ） A ．{}3,5,7B ．{}2,3,5,7C ．{}1,2,3,5,7D ．{}0,1,2,3,5,72．已知2i 2i z -=+，则z =（ ） A ．43i 55+ B ．43i 55 C ．34i 55+ D ．34i 55-3.(考点:函数的奇偶性与周期性,)已知奇函数f (x )满足f (x+2)=f (x ),且当x ∈(-1,1)时,f (x )=lg (21-x +a),则f (40412)=( ).A .0B . lg 3C .lg 5D .14.(考点:三角恒等变换,)已知tan α=2tan π7,则cos(α-5π14)sin(α+6π7)=( ).A .3B .1C .-1D .-3 5.(考点:等比数列,★★)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1=√2a n (n ∈N *),则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=( ).A .31B .63C .123D .10236.(考点:双曲线,★★)已知直线y=2b 与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线在第一象限交于点C ,双曲线的左、右焦点分别为F 1,F 2,若tan ∠CF 2F 1=√15,则双曲线的离心率为( ).A.1611 B .2 C.4 D.4或16117.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x 1,x 2,…,x 16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s=√116 i=116(x i -x −)2≈0.212,其中i=1,2,…,16,则 i=116x i 2=( ).(结果保留小数点后三位数字) A.1584.034B.1589.134C.1591.134D.1594.1348.(考点:函数图象的判断,★★★)函数f (x )=sinx+x cosx+|x |在[-π,π]上的大致图象为( ).二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有A 22B ．圆锥的表面积为22πC 2π的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24162π-10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式不一定．．．成立的是 A ．22ac bc >B ．b a a b <C ．()222log log ab b ->D ．1122a b < 11．设正实数x ，y 满足21x y +=，则A ．10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．xy 的最大值为14C ．22x y +的最小值为15D ．42x y +的最小值为412．设函数()πsin 5f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω），若()f x 在[]0,π有且仅有5个极值点，则 A ．()f x 在()0,π有且仅有3个极大值点B ．()f x 在()0,π有且仅有4个零点C ．ω的取值范围是4353,1010⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在π0,20⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届辽宁省阜蒙县育才高中高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．43．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．4．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭5．复数2(1)i i +的模为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．226．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A 213B ．413C ．77D ．477．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．已知点(m ,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =C ．12y x =±D ．2y x =±10．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．311．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i -C ．||5z =D ．13122z i i =++ 12．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．231,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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高考模拟试卷（四）
一、填空题
1. 已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝( ) A. B.
C.
D.
2. 复数
在复平面上对应的点位于第( )象限． A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
3.已知在等比数列中，，9，则 （ ）
A ．
B ．5
C ．
D ．3
4. 若对任意实数，不等式成立，则实 数的取值范围为( ) A. B.
C.
D.
5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80
B. 120
C. 160
D. 200
6. 已知公差不为的正项等差数列中，为其前项和，若，
，也成等差数列，，则等于( )
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100，则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200
D. 202
8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数，且的最小正周
期为3， 的取值范围为( ) A. B. C.
D.
{}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i
i
4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[]
1,1p ∈-()2
330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞()
(),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1(<f m m f 则,)2(=(),2-∞-()2,2-()2,+∞()2,-+∞
9. 抛物线在处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为( ) A.
B. C. 1
D. 2
10. 若将函数的图像向右平移
个单位长度后，得到一个奇函数的图象，则的最小值为( ) A.
B. 1
C.
D. 2
11.设非零向量a ，b ，c ，满足|a |=|b|=|c |，a+b=c ，
则a 与b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ．
12. 如图所示，F 1和F 2分别是双曲线的
两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线
左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13. 设函数，若，
0≤≤1，则的值为 .
14. 设为坐标原点，动点满足，则的最小值是 ．
15. 设的内角
所对的边长分别为，且
．则角的大小为 .
16. 已知是定义在R 上的函数，对任意都有，若
的图象关于直线对称，且，则 _________
2
y x =()1,1A y 13
12
)0)(4
sin(>+
=ωπ
ωx y 6
π
ω12
32
︒150︒120︒90︒60()00122
22>>=-b a b
y a x ，15-2
1
3+13+2
1
5+)0()(2
≠+=a c ax x f ⎰
=)()(010
x f dx x f 0x 0x O ON OM ),1,0(),2
1,1(==),(y x p 01,
OP OM ≤⋅≤01OP ON ≤⋅≤z y x =-ABC ∆,,A B C ,,a b c (23)cos 3cos b c A a C -=A ()x f R x ∈()()()224f x f x f +=+()1-=x f y 1=x ()21=f ()=2011f y
x
y=x 2
1 1
-1
O
三、解答题
17. 已知数列中，其前项和为，，. （Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和为
18．(本题满分14分)
如图，在直三棱柱—中，，点分别为，，的中点.（1）证明：//平面； （2）证明：平面平面.
19. 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树，沙柳等植物，某人一次种植了
株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差.
⑴求的值，并写出的分布列；
⑵若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的
概率.
{}n a n n S 11=a ()
*13
1
N n S a n n ∈=+{}n a 12-+=n a b n n {}n b n n T ABC 111C B A AC AB =O E D ,,1AA 11C A C B 1OE B B AA 11⊥DC B 1C C BB 11n P X
()3E X =6σ=,n p X 0.0130.037
频率/组距
757065605550
20．(本题满分16分)
已知圆O :交轴于A ，B 两点,曲线C 是以为长轴,
离心率为
的椭圆,其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q ．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆相切；
21. (本题满分16分)
已知
（Ⅰ）当时，求在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围.
2
2
2x y +=x AB 2
O ()R m x x m x x x f ∈++++=)2()1ln()1()(2
0=m 1
)
()(+=
x x f x g 0=x 0≥x 0)(≤x f m x
y O P
F Q
A B。