黑龙江省牡丹江一中2018-2019届高三10月月考数学(理)试题(含答案)
牡丹江市2018届高三数学10月月考试题理
学必求其心得，业必贵于专精黑龙江省牡丹江市2018届高三数学10月月考试题 理一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中只有一个正确选项） 1。
已知复数1i z i-=，其中为虚数单位，则z =（ ）A. 2 B 。
C 。
22 D 。
2 2。
已知集合{}{}210,,230,A x x x R B x x x x Z =-≥∈=--≤∈，则A B ⋂=( ）A. ()1,3B.[]1,3C.{}1,2,3 D 。
{}13.在等比数列{}na 中，151,4a a =-=-，则3a =( )[]A 。
2± B.2± C.2D 。
2-4。
执行下图的程序框图，如果输入的4,6a b ==，那么输出的n =（ )A 。
3 B.4 C 。
5 D.6 5。
已知某个几何体的三视图如下图(正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位:cm ），可得这个几何体的体积是( )3cmA. 8π+ B 。
283π+C 。
12π+ D.2123π+6.下列四个命题：（1)存在与两条异面直线都平行的平面；(2）过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行；(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；(4）过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是（ ）A.1 B 。
2 C.3 D 。
4学必求其心得，业必贵于专精（第4题） 7.已知数列{}na 为等差数列,若11101a a <-，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0nS >的最大值n 为( ）A.11 B 。
19 C.20 D 。
21 8.已知圆O 是A B C ∆外接圆，其半径为1，且侧视图主视图俯视图23（第5题）1 22,1A B A C A O A B +==，则C A C B =（ ）A 。
B. 3 C 。
3D 。
239.数列{}n a 中对任意*,m n N ∈，恒有m n m n a a a +=+,若118a =，则7a 等于（ ）A. 12B. 14C 。
2019届高三10月月考数学(理)试卷(含答案)
2019届高三上学期十月知识总结一一理科数学、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1 •复数z 满足Z 1 -i = 1 i ，则复数z 在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B•第二象限 C •第三象限 D •第四象限X —122. 已知集合 A = {x | 0}, B ={ x | y = lg( -x4x 5)}，则 A 「(C R B)=()x +2A. (-2,—1]B • [-2,一1]C • (-1,1]D • [-1,1]3. 给出下列四个命题： ① 若A^B ，贝U A 或B ；② -[2 * ,都有 x 2 2x ；12 2③ "a”是函数“ y =cos 2ax -sin 2ax 的最小正周期为 二”的充要条件;2④ “ x^ R, x 02 2 3x )” 的否定是“ R, x 2 2 乞 3x ”；其中真命题的个数是(立，则f (2018)的值为(A. 1A. 1A. 14.已知函数f(x)是定义在 B. 2 C. 3R 上的偶函数，且f (0) = -1，且对任意D .二-f (2-x)成5.如果实数 x - y 1 — 0,x, y,满足条件2x ，y 「2_0,，贝V z =1 x 十0,2x 3y的最大值为(6.在平行四边形A.ABCDKAD=1,. BAD =60 ,E为CD的中点•若AC BE = 1，则AB的长为(D. 22 2 27.已知数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且S n ^2a n ，则使不等式a • a ? V a . :: 86成立的n 的最大值为（）9.若将函数f （x ） =sin （2x •「）「、3cos （2x •「）（0”「r ）的图象向左平移 1个单位长度，平移4后的图象关于点（一,0）对称，则函数g （x ） =cos （x •：:）在［ / ］上的最小值2 2 6、• 3C2cosB 」3sinB =2，则a c 的取值范围是（）H n =2n 1，记数列｛a n -20｝的前n 项和为&，则&最小值为（12.对于函数f x 和g x ,设二三：x f x = 0』，—：xg x =0』，若存在:J ,使得8.两个正实数 x, y 满足A.(-1,4)B.1 4 一 y 21，且不等式x m —3m 有解，则实数m 的取值范围是（x y 4（一①-1） （4, ：：） C.(_4,1) D. (_：：,0) (3,：：)1 A.210.在锐角 ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若凹bA. 3,2'B. C.一2汁3D.11.对于数列{a n },定义H n=a1+2a2川2 an为的{a n }“优值”，现已知某数列的“优值”A. —70C . -64D . -68则称f X 与g x 互为“零点相邻函数” •若函数f x 二 e x4 x - 2 与g x 二 x 2 _ ax _ a 3 互为“零点相邻函数”,则实数a 的取值范围是（ A. 2,41 B.汀7C.D.2,3】 二.填空题（本大题共4小题，每题5分.共20 分）13•已知数列Q =1,a n=a n,+3n (n^2,,则数列牯」的通项公式a n= .?■=•T B■“Y R. =•«14. 已知向量|a—b|=|b|, |a—2b冃b|，则向量a，b的夹角为 _____________________________15. 已知关于x的不等式2x -1 mx2 -1 ,若对于xd, •::不等式恒成立，则实数m的取值范围是In x 1 16•已知函数f x是可导函数，其导函数为 f x，且满足xf (x) • f (x)，且f (e)=-x e，则不等式f (x +1) - f (e +1) AX—e的解集为 ___________________三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c, C=60； . 2^ . 3b.(1)求角代B的大小；(2)若D为边AC上一点，且a = 4 , BCD的面积为.3，求BD的长.18. (本小题满分12分)已知数列｛a n｝是公差为正数的等差数列，a2和a5是方程x2-12x • 27 = 0的两个实数根，数列｛bJ满足j 1 b n二na n1 -(n-1)a n(1) 求｛a n｝和｛b n｝的通项公式；(2)设T n为数列｛b n｝的前n项和，求T n.2 1 19.(本小题满分12 分)已知向量m = (.3cosx,1) ,n = (si nx,cos x-1)，函数f(x)=m・ n -(1)若x 0, , f x 3，求cos2x 的值；IL 4 3(2)在ABC中，角A,B,C对边分别是a, b,c，且满足2bcosA乞2c-■■一3a，当B取最大值时,-3 a 亠ca=1“ABC面积为，求的值.sin A +sin C420.(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列｛耳｝的前四项和S4 =14,且a,,a3,a7成等比.(1)求数列｛耳｝的通项公式;1(2)设T n为数列｛ -------- ｝的前n项和，若’T n _ a n勺对一切n三a n a n ■+N*恒成立，求实数■的最大值.2x —121.(本小题满分12分)已知fx二ax-l nx .x(1)若函数f x在x=2处取得极值，求a的值，并求此时曲线程；(2)讨论f x的单调性•y = f x在1, f 1处的切线方22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xln x, g(x) =£ ax2-bx , (1)当a 0，且a为常数时，若函数h(x^x lg(x) 1对任意的成立，试用a表示出b的取值范围；(2)当 a 时，若f(x V)_2 g(x)对x € [0 ,+s)恒成立，其中a,b・R\ x2 _ 4,总有. 0X1 —X2求a的最小值.理科数学月考题答案1~5 AAAAB 6~10 BBBDB 11~12BD3n+ -713. a n 2兀14.614. m _015. -1,e17. (1 ) 18. (1 )A = 75 , B = 45 (2) BD - 13a n =2n -1,6 二4n-1 3nJ⑵ T n = 5 4n-5 2n.319.(1)6(2) 220.(1)O n =n 1(2)' max = 1611 21. a 二y = x —一2222.(1)由题意，得1 3h(x)二xg(x) x 二㊁ax2-bx x在x・[4,；)上单调递增二h'(x)二ax2-2bx 1 _0 在x [4,：：)上恒成立22b乞童-=ax -在x・[4,；)上恒成立x x构造函数F(x) =ax 1 (a 0), x (0,：：)x2 .贝V F '(x)二a -吉二ax2Tx x••• F(x)在(0, a)上单调递减，在(a,；)上单调递增a a(i) 当4，即0 ::：a ：：：去时，F(x)在[4,―彳)上单调递减，在(一乩，；)上单调递增a 16 a a•〔F(x) Lin =F(严)=2 a• 2b岂I.F(x) m in，从而 (」：，• a](ii) 当—-4，即a 一±时，F(x)在(4 ,+s )上单调递增a 162b <F (4) =4a 1，从而b (_：：,2a Q] 8 分4 8综上，当0 :：:a ::: 16 时，b (_：：, a] , a 时，b (_：：, 2a ；]；(2)当b=-|a时，构造函数G(x) =f (x 1) —3g(x) =(x 1)ln(x 1)—*ax2—ax, x [0,：：)由题意，有G(x)乞0对x・[0, •：:)恒成立T G '(x) =ln(x 1) 1 _ax -a, x 二[0,：：)(i) 当a ^0 时，G'(x)=ln(x 1) 1 —a(x 1) 0••• G(x)在[0,;)上单调递增••• G(x) G(0) =0在(0,；)上成立，与题意矛盾.(ii) 当a 0 时，令(x) =G '(x), x [0,二)则：'(x) 斗-a，由于斗(0,1)x +1 x +1①当a _1时，'(X)二丄—a：：：0 , (x)在X [0,二)上单调递减x +1•(X)乞(0) =1 —a 乞0，即G'(x)E0在X [0,：：)上成立• G(x)在x三[0,亠)上单调递减• G(x)乞G(0)=0在[0,；)上成立，符合题意7伙一(1一1)]②当0 ：：a ：：1 时，：'(x)a a,x：=[0,；)x +1 x +1•- (x)在x [0, 1 -1)上单调递增，在x ({ -1,=)上单调递减T (0) =1 -a 0•- (x) 0在x [0, 1 -1)成立，即G '(x) 0 在x [0, 1 -1)成立a a• G(x)在x [0,丄一1)上单调递增a• G(x) G(0) =0在x (0,丄-1)上成立，与题意矛盾a综上，a的最小值为1。
2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)10月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1. 设集合A ＝{x|ylog 2(x −1)}，B ={y|y =√2−x}，则A ∩B ＝（ ） A.(0, 2] B.(1, 2) C.(1, +∞) D.(1, 2] 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】运用对数函数的定义域和含根号函数的值域，化简集合A ，B ，再由交集的定义，即可得到所求集合． 【解答】集合A ＝{x|ylog 2(x −1)}＝{x|x −1>0}＝{x|x >1}， B ={y|y =√2−x}={y|y ≥0}，则A ∩B ＝{x|x >1}∩{y|y ≥0}＝(1, +∞)∩[0, +∞)＝(1, +∞)，2. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(1, 3)，则向量2a →−b →与a →的夹角为（ ）A.45∘B.105∘C.40∘D.35∘【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据向量的坐标运算和向量的夹角公式计算即可． 【解答】向量a →=(2, 1)，b →=(1, 3)，∴ 2a →−b →=(3, −1)，∴ (2a →−b →)⋅a →=6−1＝5，|a →|=√5，|2a →−b →|=√10， 设量2a →−b →与a →的夹角为θ，∴ cosθ=(2a →−b →)⋅a→|2a →−b →|⋅|a →|=√10×√5=√22， ∵ 0∘≤θ≤180∘， ∴ θ＝45∘，3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6+a 7，则S 9的值是（ ） A.27 B.36 C.45 D.54 【答案】 D【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列的性质结合已知求得a 5＝6，然后直接代入项数为奇数的等差数列前n 项和公式得答案． 【解答】在等差数列{a n }中， ∵ 2a 6＝a 5+a 7，又由已知2a 6＝6+a 7，得a 5＝6， ∴ S 9＝9a 5＝54．4. a →=(2, 1)，b →=(3, 4)，则向量a →在向量b →方向上的投影为（ ） A.2√5 B.√5 C.2 D.10【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由向量a →在向量b →方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量a →在向量b →方向上的投影为a →⋅b →|b →|，将a →=(2, 1)，b →=(3, 4)代入即可得到答案．【解答】∵ a →=(2, 1)，b →=(3, 4)， ∴ 向量a →在向量b →方向上的投影为：a →⋅cosθ=a →⋅b →|b →|=√32+42=25.已知函数f(x)={(3−a)x −3,x ≤7a x−6,x >7，若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N )，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A.[94, 3) B.(94, 3)C.(2, 3)D.(1, 3)【答案】C【考点】已知函数的单调性求参数问题 数列的函数特性 【解析】根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得{3−a >0a >1(3−a)×7−3<a 8−6；解可得答案．【解答】解：根据题意，a n =f(n)={(3−a)n −3,n ≤7a n−6,n >7；要使数列{a n }是递增数列，必有{3−a >0a >1(3−a)×7−3<a 8−6；解可得，2<a <3； 故选C ．6. 已知f(x)＝sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2，f(x)是奇函数，直线y =√2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ） A.f(x)在(π8,3π8)上单调递减B.f(x)在(0,π4)上单调递减 C.f(x)在(0,π4)上单调递增 D.f(x)在(π8,3π8)上单调递增【答案】 A【考点】正弦函数的单调性 【解析】利用辅助角公式进行化简，结合函数是奇函数以及条件求出ω 和φ的值，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【解答】∵ f(x)＝sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)=√2sin(ωx +φ+π4)， ∵ f(x)是奇函数，|φ|<π2， ∴ φ+π4=0，得φ=−π4， 则f(x)=√2sinωx ，由√2sinωx =√2得sinωx ＝1，∵ 直线y =√2与函数f(x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2， ∴ T =π2，0即2πω=π2，得ω＝4， 即f(x)=√2sin4x ，由2kπ−π2≤4x ≤2kπ+π2，k ∈Z 得12kπ−π8≤x ≤12kπ+π8，当k ＝0时，函数的 递增区间为[−π8, π8]，k＝1时，递增区间为[3π8, 5π8]由2kπ+π2≤4x≤2kπ+3π2，k∈Z得12kπ+π8≤x≤12kπ+3π8，当k＝0时，函数的递减区间为[π8, 3π8]，当k＝1时，函数的递减区间为[5π8, 7π8]，7. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，且3a12，a34，a2成等差数列，则a20+a19a18+a17=()A.9B.6C.3D.1【答案】A【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．【解答】设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，由题意可得2×a34=3a12+a2，即q2−2q−3＝0，解得q＝−1（舍去），或q＝3，∴a20+a19a18+a17=(a18+a17)q2a18+a17=q2＝9．8. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC＝4csinA，已知△ABC 的面积S=12bcsinA＝10，b＝4，则a的值为（）A.233B.253C.263D.283【答案】B【考点】正弦定理【解析】由易知结合正弦定理及同角平方关系可求cosC，然后结合三角形的面积公式可求csinA，代入即可求解．【解答】∵3acosC＝4csinA，∴3sinAcosC＝4sinCsinA，∵sinA≠0，∴3cosC＝4sinC，∴cosC=45，∵S=12bcsinA＝10，∴csinA＝5，∵3acosC＝4csinA＝20，∴ a =203×45=253．9. 如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =4,AD =BC =√5，E 是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP →⋅BP →的最小值是（ ）A.1B.0C.−45D.−95【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】计算cosB ，设BP ＝x ，把EP →=EC →+CP →代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值． 【解答】由等腰梯形的知识可知cosB =√55，设BP ＝x ，则CP =√5−x ，∴ EP →⋅BP →=(EC →+CP →)⋅BP →=EC →⋅BP →+CP →⋅BP →=1⋅x ⋅(−√55)+(√5−x)⋅x ⋅(−1)＝x 2−6√55x ， ∵ 0≤x ≤√5，∴ 当x =3√55时，EP →⋅BP →取得最小值−95．10. 若函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足f(x)+2g(x)=e x ，则（ ）A.f(−2)<f(−3)<g(−1)B.g(−1)<f(−3)<f(−2)C.f(−2)<g(−1)<f(−3)D.g(−1)<f(−2)<f(−3) 【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数， 且满足f(x)+2g(x)=e x ，可得f(x)−2g(x)=e −x ，解得f(x)=12(e x +e −x ),g(x)=14(e x −e −x )， 可得g(−1)=14(1e −e)<0，f(−2)=12(e −2+e 2)>0,f(−3)=12(e −3+e 3)>0，f(−2)−f(−3)=12(e −1)(e −3−e 2)<0，所以g(−1)<f(−2)<f(−3)， 故选D ．11. 已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →=xAB →+yAC →，则xy 的取值范围是（ ） A.[19, 49] B.[19, 14]C.[29, 12]D.[29, 14]【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 平面向量的基本定理及其意义 【解析】利用已知条件推出x +y =1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【解答】解：D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP →=xAB →+yAC →， 可得x +y =1，x ，y ∈[13, 23]， 则xy ≤(x+y 2)2=14，当且仅当x =y =12时取等号， 并且xy =x(1−x)=x −x 2，函数的开口向下，对称轴为：x =12，当x =13或x =23时，取最小值， xy 的最小值为：29． 则xy 的取值范围是：[29, 14]． 故选D ．12. 已知函数f(x)2sin (ωx +π4)(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ） A.[19π,27π) B.[9π,13π) C.[17π4,25π4) D.[4π,6π)【答案】 C【考点】正弦函数的图象【解析】本题考查正弦函数的图象与性质．【解答】解：因为函数f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，从左到右，取第1个最高点时满足ωx+π4=π2，取第2个最高点时满足ωx+π4=2π+π2，取第3个最高点时满足ωx+π4=4π+π2，所以4π+π2≤ω×1+π4<6π+π2⇒17π4≤ω<25π4，所以ω的取值范围为[17π4,25π4)．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）不等式13x+2>23的解集为________|−23<________<−16}【答案】{x,x【考点】其他不等式的解法【解析】由题意把分式不等式转化为一元二次不等式(6x+1)⋅3(3x+2)<0，由此求得它的解集．【解答】不等式13x+2>23，即6x+13(3x+2)<0，即(6x+1)⋅3(3x+2)<0，求得−23<x<−16，已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q=12，记b n＝a1⋅a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为________【答案】11【考点】等比数列的通项公式【解析】结合等比数列的通项公式可求a n，然后可判断a11>1，a12<1，进而可求．【解答】∵a1＝2037，公比q=12，∴a n＝2037×(12)n−1，∵a11>1，a12<1∵b n＝a1⋅a2……a n，则当n＝11时b n达到最大值．在等差数列{a n}中，a1＝−2014，其前n项和为S n，若S20122012−S1010=2002，则S2016的值等于________【答案】2016【考点】等差数列的性质【解析】结合等差数列的性质及求和公式代入可先求出公差d，再代入求和公式即可求解．【解答】等差数列{a n}中，a1＝−2014，s n=na1+12n(n−1)d，∵S20122012−S1010=2002，∴12×2011d−12×9d=2002，∴d＝2，则S2016＝2016×(−2014)+12×2016×2015×2，＝2016．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝________．【答案】8【考点】解三角形【解析】设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，运用三角形的面积公式和余弦定理，结合基本不等式和三角函数的性质可得所求值．【解答】设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，由S=12am，S=12bn，S=12ct，可得S3=18abcmnt，则mnt=8abc =8bc又S=12bcsinA＝1，可得bc=2sinA，则mnt＝4sinA，cosA =b 2+c 2−a 22bc≥2bc−12bc=1−12bc ，当且仅当b ＝c 上式取得等号， 可得2bc ≤11−cosA ， 则4sinA ≤11−cosA ， 可得1−cosA sinA =2sin 2A 22sin A2cos A 2=tan A 2≤14， 可得sinA =2tanA 21+tan 2A2≤2×141+116=817．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA =817．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m →=(√22, −√22)，n →=(sinx, cosx)，x ∈(0, π2)．(1)若m →⊥n →，求tanx 的值；(2)若m →与n →的夹角为π3，求x 的值． 【答案】解：(1)若m →⊥n →，则m →⋅n →=(√22, −√22)⋅(sinx, cosx)=√22sinx −√22cosx =0，即√22sinx =√22cosxsinx =cosx ，即tanx =1；(2)∵ |m →|=√(√22)2+(−√22)2=√12+12=1，|n →|=√sin 2x +cos 2x =1， m →⋅n →=(√22, −√22)⋅(sinx, cosx) =√22sinx −√22cosx ， ∴ 若m →与n →的夹角为π3， 则m →⋅n →=|m →|⋅|n →|cos π3=12， 即√22sinx −√22cosx =12，则sin(x −π4)=12， ∵ x ∈(0, π2)．∴ x −π4∈(−π4, π4)． 则x −π4=π6, 即x =π4+π6=5π12．【考点】向量模长的计算数量积判断两个平面向量的垂直关系 数量积表示两个向量的夹角 数量积的坐标表达式同角三角函数间的基本关系 【解析】（1）若m →⊥n →，则m →⋅n →=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值； （2）若m →与n →的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值． 【解答】解：(1)若m →⊥n →，则m →⋅n →=(√22, −√22)⋅(sinx, cosx)=√22sinx −√22cosx =0，即√22sinx =√22cosxsinx =cosx ，即tanx =1；(2)∵ |m →|=√(√22)2+(−√22)2=√12+12=1，|n →|=√sin 2x +cos 2x =1， m →⋅n →=(√22, −√22)⋅(sinx, cosx) =√22sinx −√22cosx ， ∴ 若m →与n →的夹角为π3， 则m →⋅n →=|m →|⋅|n →|cos π3=12， 即√22sinx −√22cosx =12， 则sin(x −π4)=12， ∵ x ∈(0, π2)． ∴ x −π4∈(−π4, π4)． 则x −π4=π6, 即x =π4+π6=5π12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ⋅S n−1=0(n ≥2)，a 1=12． (1)求证：{1S n}是等差数列；(2)求a n 的表达式． 【答案】(1)证明：∵ −a n =2S n S n−1，∴ −S n +S n−1=2S n S n−1(n ≥2)，S n ≠0(n =1, 2, 3)． ∴ 1S n−1Sn−1=2．又1S 1=1a 1=2，∴ {1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列；(2)解：由(1)，1S n=2+(n −1)⋅2=2n ，∴ S n =12n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n −12(n−1)=−12n(n−1)， 当n =1时，S 1=a 1=12．∴ a n ={12(n =1),−12n(n−1)(n ≥2).【考点】 数列递推式 等差关系的确定 【解析】（1）本题关键是将a n =S n −S n−1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n ，利用S n 求a n ，必须分类讨论a n ={a 1n =1S n −S n−1n ≥2，求解可得．【解答】(1)证明：∵ −a n =2S n S n−1，∴ −S n +S n−1=2S n S n−1(n ≥2)，S n ≠0(n =1, 2, 3)． ∴ 1S n−1Sn−1=2．又1S 1=1a 1=2，∴ {1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列；(2)解：由(1)，1S n=2+(n −1)⋅2=2n ，∴ S n =12n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n −12(n−1)=−12n(n−1)， 当n =1时，S 1=a 1=12．∴ a n ={12(n =1),−12n(n−1)(n ≥2).在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足c−a c−b=sinC+sinB sinA．（1）求角B 的大小；（2）求√3cos 2C2−sin A2cos A2的取值范围．【答案】∵ 由正弦定理得，a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ， ∴c−ac−b=sinC+sinB sinA，可得：c−a c−b =c+b a，可得：c 2−b 2＝ac −a 2，整理得：c 2+a 2−b 2＝ac ，∴ 由余弦定理可得：cosB =c 2+a 2−b 22ac=ac 2ac=12，∴ 由0<B <π，可得B =π3． √3cos 2C 2−sin A 2cos A 2=√32(cosC +1)−12sinA =√32cosC −12sin(2π3−C)+√32 =√34cosC −14sinC +√32=12cos(C +π6)+√32， ∵ π6<C +π6<5π6，∴ −√32<cos(C +π6)<√32，∴ √34<√3cos 2C 2−sin A 2cos A 2<3√34．【考点】 正弦定理 【解析】（1）由已知及正弦定理可得：c 2+a 2−b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB ，结合范围0<B <π，即可求B 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可得√3cos 2C2−sin A2cos A2=12cos(C +π6)+√32，结合范围π6<C +π6<5π6，利用余弦函数的性质可求其范围．【解答】∵ 由正弦定理得，a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ， ∴c−a c−b=sinC+sinB sinA，可得：c−a c−b =c+b a，可得：c 2−b 2＝ac −a 2，整理得：c 2+a 2−b 2＝ac ，∴ 由余弦定理可得：cosB =c 2+a 2−b 22ac=ac 2ac =12，∴ 由0<B <π，可得B =π3． √3cos 2C 2−sin A 2cos A 2=√32(cosC +1)−12sinA =√32cosC −12sin(2π3−C)+√32 =√34cosC −14sinC +√32=12cos(C +π6)+√32， ∵ π6<C +π6<5π6，∴ −√32<cos(C +π6)<√32，∴ √34<√3cos 2C 2−sin A 2cos A2<3√34．（I ）已知a +b +c ＝1，证明(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥163；(Ⅱ)若对任总实数x ，不等式|x −a|+|2x −1|≥2恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）证明：由柯西不等式可得(1+1+1)[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]≥(a +1+b +1+c +1)2，∵ a +b +c ＝1，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥163；（2）①当a =12时，不等式即|x −12|≥23，显然不能任意实数x 均成立．②当a >12时，|2x −1|+|x −a|={3x −a −1,x ≥ax +a −1,12<x <a −3x +a +1,x ≤12，此时，根据函数y ＝|2x −1|+|x −a|的单调性可得y 的最小值为−3×12+a +1． ∵ 不等式|2x −1|+|x −a|≥2对任意实数x 均成立， ∴ −3×12+a +1≥2，解得 a ≥52．③当a <12时，|2x −1|+|x −a|={3x −a −1,x ≥12−x −a +1,a <x <12−3x +a +1,x ≤a，此时，根据函数y ＝|2x −1|+|x −a|的单调性可得y 的最小值为−12−a +1． ∵ 不等式|2x −1|+|x −a|≥2对任意实数x 均成立， ∴ −12−a +1≥2，解得 a ≤−32．综上可得，实数a 的取值范围是(−∞, −32]∪[52, +∞)． 【考点】绝对值三角不等式 不等式的证明 【解析】（I ）利用柯西不等式，即可证明；(Ⅱ)分：①a =12、②a >12、③a <12三种情况，分别化简不等式，根据函数y ＝|2x −1|+|x −a|的最小值大于或等于2，求得a 的范围． 【解答】（I ）证明：由柯西不等式可得(1+1+1)[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]≥(a +1+b +1+c +1)2，∵ a +b +c ＝1，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥163；（2）①当a =12时，不等式即|x −12|≥23，显然不能任意实数x 均成立．②当a >12时，|2x −1|+|x −a|={3x −a −1,x ≥ax +a −1,12<x <a −3x +a +1,x ≤12 ，此时，根据函数y ＝|2x −1|+|x −a|的单调性可得y 的最小值为−3×12+a +1． ∵ 不等式|2x −1|+|x −a|≥2对任意实数x 均成立， ∴ −3×12+a +1≥2，解得 a ≥52．③当a <12时，|2x −1|+|x −a|={3x −a −1,x ≥12−x −a +1,a <x <12−3x +a +1,x ≤a，此时，根据函数y ＝|2x −1|+|x −a|的单调性可得y 的最小值为−12−a +1． ∵ 不等式|2x −1|+|x −a|≥2对任意实数x 均成立， ∴ −12−a +1≥2，解得 a ≤−32．综上可得，实数a 的取值范围是(−∞, −32]∪[52, +∞)．已知曲线C:{x =8k 1+k 2y =2(1−k 2)1+k （k 为参数）和直线l:{x =2+tcosθy =1+tsinθ（t 为参数）．（1）将曲线C 的方程化为普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且P(2, 1)为弦AB 的中点，求弦AB 所在的直线方程． 【答案】 由y =2(1−k 2)1+k 2，得y 2=−1+21+k 2，即y 2+1=21+k 2，又x =8k1+k 2，两式相除得k =x2y+4，代入x =8k1+k 2，得8×x 2y+41+(x2y+4)2=x ，整理得x 216+y 24=1，即为C 的普通方程．将{x =2+tcosθy =1+tsinθ 代入x 216+y 24=1， 整理得(4sin 2θ+cos 2θ)t 2+(4cosθ+8sinθ)t −8＝0． 由P 为AB 的中点，则4cosθ+8sinθ4sin 2θ+cso 2θ=0．∴ cosθ+2sinθ＝0，即tanθ=−12，故l AB :y −1=−12(x −2)，即y =−12x +2， 所以所求的直线方程为x +2y −4＝0． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】 （1）由y =2(1−k 2)1+k 2，得y 2=−1+21+k 2，即y 2+1=21+k 2，又x =8k1+k 2，两式相除得k =x2y+4，代入x =8k 1+k 2整理得C 的普通方程．（2）将{x =2+tcosθy =1+tsinθ 代入x 216+y 24=1，整理得(4sin 2θ+cos 2θ)t 2+(4cosθ+8sinθ)t −8＝0．由P 为AB 的中点，可得4cosθ+8sinθ4sin 2θ+cso 2θ=0．化简可得直线AB 的斜率，即可得出AB 直线方程．【解答】 由y =2(1−k 2)1+k 2，得y 2=−1+21+k 2，即y 2+1=21+k 2，又x =8k1+k 2，两式相除得k =x2y+4，代入x =8k1+k 2，得8×x 2y+41+(x2y+4)2=x ，整理得x 216+y 24=1，即为C 的普通方程．将{x =2+tcosθy =1+tsinθ 代入x 216+y 24=1， 整理得(4sin 2θ+cos 2θ)t 2+(4cosθ+8sinθ)t −8＝0． 由P 为AB 的中点，则4cosθ+8sinθ4sin 2θ+cso 2θ=0．∴ cosθ+2sinθ＝0，即tanθ=−12，故l AB :y −1=−12(x −2)，即y =−12x +2， 所以所求的直线方程为x +2y −4＝0．已知函数f(x)=a−sinx x，0<x <π．(Ⅰ)若x ＝x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)，求实数a 及f(x 0)的取值范围； (Ⅱ)当a ＝π，0<m <π时，证明：f(x)+mlnx >0． 【答案】（1）由函数f(x)=a−sinx x，0<x <π，得f ′(x)=−xcosx−a+sinxx 2，∵ 当x ＝x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)， ∴ f ′(x 0)＝0，∴ a ＝sinx 0−x 0cosx 0， ∴ f(x 0)=−x 0cosx 0x 0=−cosx 0，∵ 0<x <π，∴ cosx 0∈(−1, 1)， ∴ f(x 0)∈(−1, 1)，即f(x 0)的取值范围为：(−1, 1)． （2）挡a =π时，f(x)=π−sinx x(0<x <π)，要证f(x)+mlnx =π−sinx x+mlnx >0成立，即证mlnx >sinx −π成立，令g(x)＝mlnx ，ℎ(x)＝sinx −π，则g ′(x)＝m(lnx +1)，ℎ(x)＝sinx −π∈(−π, 1−π]， 令g ′(x)＝0，则x =1e ，∴ 当0<x <1e 时，g ′(x)<0，此时g(x)递减； 当1e <x <π时，g ′(x)>0，此时g(x)递增， ∴ g(x)min ＝g(1e )=−me ， 显然∀m ∈(0, π)，−m e >1−π，∴ 0<m <π，g(x)>ℎ(x)， 即0<m <π时，f(x)+mlnx >0 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)根据x ＝x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)，可得f ′(x 0)＝0，解方程得a ＝sinx 0−x 0cosx 0，将a 代入f(x)进一步求出f(x 0)的范围；(Ⅱ)证明f(x)+mlnx >0成立，即证明mlnx >sinx −π成立，构造函数g(x)＝mlnx ，ℎ(x)＝sinx −π，根据g(x)和ℎ(x)的图象和最值可证该不等式成立． 【解答】（1）由函数f(x)=a−sinx x ，0<x <π，得f ′(x)=−xcosx−a+sinxx 2，∵ 当x ＝x 0时，f(x)取得极小值f(x 0)， ∴ f ′(x 0)＝0，∴ a ＝sinx 0−x 0cosx 0，∴ f(x 0)=−x 0cosx 0x 0=−cosx 0，∵ 0<x <π，∴ cosx 0∈(−1, 1)， ∴ f(x 0)∈(−1, 1)，即f(x 0)的取值范围为：(−1, 1)． （2）挡a =π时，f(x)=π−sinx x(0<x <π)，要证f(x)+mlnx =π−sinx x+mlnx >0成立，即证mlnx >sinx −π成立，令g(x)＝mlnx ，ℎ(x)＝sinx −π，则g ′(x)＝m(lnx +1)，ℎ(x)＝sinx −π∈(−π, 1−π]， 令g ′(x)＝0，则x =1e ，∴ 当0<x <1e 时，g ′(x)<0，此时g(x)递减； 当1e <x <π时，g ′(x)>0，此时g(x)递增， ∴ g(x)min ＝g(1e )=−me ， 显然∀m ∈(0, π)，−m e >1−π， ∴ 0<m <π，g(x)>ℎ(x)， 即0<m <π时，f(x)+mlnx >0。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学10月月考试题理
牡一中2016级高三学年10月月考数学理科试题一、选择题（本大题共有个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四选项中只有一12560项是符合题目要求的。
）1．已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U ={}2,3,5,6A ={}1,3,4,6,7B =等于 ( )B C A U ⋂A B C D{}2,5{}3,6{}2,5,6{}2,3,5,6,82.（ ） 的虚部为则复数设复数Z i ii z ,211++-=A.0 B. C.1 D. i 23. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ． x e x y +=x x y 1+=x x y 212+=D ．21x y +=4.命题“”的否定0232,2≥++∈∀x x R x A. B.0232,0200<++∈∃x x R x 0232,0200≤++∈∃x x R x C. D.0232,2<++∈∀x x R x 0232,2≤++∈∀x x R x 5.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数的图像（ ） x y 2sin =（A ）向左平移个长度单位 （B ）向右平移个长度单位 3π3π（C ）向左平移个长度单位 （D ）向右平移个长度单位 6π6π7. 满足条件的三角形的个数是（ ）︒===45,23,4A b a A ．1个 B.2个 C.无数个 D.不存在8. 若是第四象限角，，则（ ） α5tan 312πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C. D. 15135±513513-9. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦10. 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 ( ) A. q=r<p B. q=r>p C .p=r<q D. p=r>q11.关于函数与函数下列说法正确的是（ ） )42sin()(π+=x x f ),432cos()(π-=x x g A.函数和的图象有一个交点在轴上)(x f )(x g y B.函数和的图象在区间内有3个交点)(x f )(x g ),0(πC.函数和的图象关于直线对称)(x f )(x g 2π=x D.函数和的图象关于原点对称)(x f )(x g )0,0(12.已知，若对任意的，存在，使()()m x g x x f x-⎪⎭⎫ ⎝⎛==21,2[]3,11-∈x []2,02∈x ，则实数 的取值范围是( )()()21x g x f ≥m A ． B ． C ． D ．41≥m 1≥m 0≥m 2≥m二、填空题（本大题共有个小题，每小题分，共分） 452013. 值为dx x )cos (22-⎰-ππ14.已知 ，考察下列式子：；；0(1,2,,)i a i n >= 111()1i a a ⋅≥121211()()(4ii a a a a ++≥. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式123123111()()(9iii a a a a a a ++++≥12,,,n a a a 为 .15. 中，，则 . ABC ∆53cos ,1010sin ==B A cos C =16．函数若对()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,2cos 21,12x x x x x f π()()()())0(,22>≥+-+-++a a x f x f a x f x f 任意的实数都成立，则实数的最小值为x a 三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 67017.（12分）在中，两个实根，ABC ∆60,,,A B C b c=> 是20x m -+=方程ABC ∆ （1）求的值 ;（2）求的三边. m ABC ∆18.（12分） 已知，求：(1) 的值。
【数学】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考数学(理)试题含解析
2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考数学（理）一、选择题：共12题1. 已知复数,其中为虚数单位,则A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以.选D.2. 已知集合,则A. B. C. D.【答案】C.....................所以.选C.3. 在等比数列中,,则A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比数列的性质可得,因为,所以选D.4. 执行下图的程序框图,如果输入的,那么输出的A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序, 可得,执行循环体,,不满足条件,执行循环体,, 不满足条件,执行循环体,, 不满足条件,执行循环体,,不满足条件,退出循环, 输出的值为,故选B.考点：1、程序框图；2、循环结构.5. 已知某个几何体的三视图如下图(正视图中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:,可得这个几何体的体积是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是:上面是一个底面半径为1、高为2的圆柱的一半,下面是一个棱长为2的正方体,所以该几何体的体积为.选A.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．6. 下列四个命题:(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是A. B. C. D.【答案】C【解析】(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.7. 已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以一正一负,又因为其前项和有最大值,所以,则数列的前10项均为正数,从第11项开始都是是负数,所以又因为,所以,即,所以使得的最大值为19.选B.点睛：求等差数列前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(3)通项公式法：求使a n≥0(a n≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{a n}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．8. 已知圆是外接圆,其半径为1,且,则A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,所以点O是BC的中点,即BC是圆O的直径,又因为,圆的半径为1,所以,且AC=,则.选B.9. 数列中,对任意,恒有,若,则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以,.选D.10. 已知圆的半径为为该圆的两条切线,为两切点,那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：如图所示：设，则所以当且仅当时取“=”，故最小值为考点：向量的数量积的应用视频11. 已知数列,则一定是A. 奇数B. 偶数C. 小数D. 无理数【答案】A【解析】因为,所以,则数列从第3项开始,每一项均为其前两项的和,因为前两项均为1,是奇数,所以从第三项开始,第3n项均为偶数,第3n+1项均为奇数,第3n+2项均为奇数,所以一定是奇数.点睛：由前几项归纳数列通项或变化规律的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.12. 已知函数,,设,且函数的零点均在区间内,则的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】,可得时,;当时,,当时,,当时,,综上可知在R上是增函数,又因为=,所以函数只有一个零点,且在内;同理可得在R上是减函数,由于,所以只有一个零点,且在(1,2)内,所以函数在区间或内有零点,由于的零点在区间内,所以的最小值为.选C.点睛：已知函数零点求参数的范围的常用方法，(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：共4题13. 下图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型,数字1出现在第1行;数字2、3出现在第2行;数字6、5、4(从左至右)出现在第3行;数字7、8、9、10出在第4行;依次类推.若表示第行第列(从左至右)的对应的数,例如则_______.【答案】【解析】由数阵可知,偶数行的数是从左到右是从小到大,奇数行的数是从左到右是从大到小,每行的数成等差数列,由题意可知,表示第19行第5个数,前19行共有个数,所以.14. 已知,点在内,设,,则_______.【答案】【解析】因为,所以,又因为点在内,,则点在的角平分线上,因为,所以|,即|.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．15. 有根水泥电线杆,要运往远的地方开始安装,在处放一根,以后每隔放一根,一辆汽车每次只能运根,如果用一辆汽车完成这项任务,那么这辆汽车的行程是_______.【答案】【解析】由题意可知,该汽车要运送10次,设每次的行程为数列,是等差数列,则第一次行程是,公差d=,所以该汽车的行程是(m).16. 下列命题中(1)在等差数列中,是的充要条件;(2)已知等比数列为递增数列,且公比为,若,则当且仅当;(3)若数列为递增数列,则的取值范围是;(4)已知数列满足,则数列的通项公式为(5)对任意的恒成立.其中正确命题是_________(只需写出序号).【答案】(2)【解析】(1)当m=n=s=t=1时,必要性不成立,故(1)错误;(2)在等比数列为递增数列时,,则当且仅当,故(2)正确;(3) 数列为递增数列,由二次函数的性质可知,,则,故(3)错误;(4)令n=1,则,当n>1时,,两式相减可得,则,又不满足该式,故数列的通项公式不是,因此(4)错误;(5)当n=1时,不等式可化为,不成立,故(5)错误.因此正确命题是(2).点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.三、解答题：共7题17. 等差数列的前项和为,已知为与的等比中项,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】（1）或;（2）或.【解析】试题分析：（1）先根据条件列关于首项与公差的方程组，解得或,再代入通项公式得数列的通项公式;（2）因为,所以根据裂项相消法得数列的前项和试题解析：(1设等差数列的公差为d,由为与的等比中项,可得,即;又,求解可得或,所以或;(2由(1)可知,当时,,则;当时,,则,所以或.18. 已知函数.(1)若方程在上有解,求的取值范围;(2)在中,分别是所对的边,当(1)中的取最大值且时,求的最小值.【答案】（1）;（2）1【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质确定函数值域，即得的取值范围;（2）先根据条件解出角A，再根据余弦定理以及基本不等式求的最小值.试题解析：(1===,因为,所以,则,因为方程在上有解,所以,则,故的取值范围是;(2)由(1)可得取最大值3,,则,则,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=(b+c)2-3bc,当时有最小值1.19. 我校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间,在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习,同时由班主任老师值班,家长轮流值班.一个月后进行了第一次月考,高一数学教研组通过系统抽样抽取了名学生,并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数,其中部分统计数据如下:(1)请画出这次调查得到的列联表;并判定能否在犯错误概率不超过的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效?(2)从这组学生摸底考试中数学优良成绩中和第一次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取个成绩,再从这个成绩中随机抽取个,求这个成绩来自同一次考试的概率.下面是临界值表供参考:(参考公式:,其中【答案】（1）能（2）.【解析】试题分析：（1）根据总数确定各区间人数，代入卡方公式得，再与参考数据比较判断可靠率（2）先按照分层抽样确定各层次抽取人数，再利用组合数确定事件总数以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率试题解析：(1列联表随机变量的观测值,因此能在犯错误概率不超过的前提下,认为周六到校自习对提高学生成绩有效;(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取个;从第一次月考数学非优良成绩中抽取个,设从这5个成绩成绩来自同一次考试的事件为,则因此,这2个成绩来自同一次考试的概率是.20. 已知点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径交于点,当点在圆上运动时,(1)求点的轨迹的方程;(2)过作直线与曲线相交于两点,为坐标原点,求面积的最大值.【答案】（1）;（2）当且仅当时,有最大值.【解析】试题分析：（1）根据垂直平分线性质得，从而可得,再根据椭圆定义确定轨迹及其方程（2）先设直线点斜式方程，与椭圆联立方程组结合韦达定理可得，再根据的面积公式可得关于k的分式函数，最后利用基本不等式求最值试题解析：(1)由已知线段的垂直平分线与半径交于点,所以,而,所以,因此点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,所以所以的轨迹的方程是;(2)设直线的方程是将直线的方程代入曲线的方程可得,显然,且,,=====,而,因此当且仅当时,有最大值.21. 已知函数且在处的切线与直线垂直.(1)求实数值;(2)若不等式对任意的实数及恒成立,求实数的取值范围;(3)设,且数列的前项和为,求证:.【答案】（1）;（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，根据题意可得，解得;（2）先求最值，再根据不等式恒成立转化为,,最后分别按二次不等式和绝对值不等式求实数的取值范围;（3）由(2)可得当时,，从而,再利用裂项相消法得⋯=，即得结论试题解析：(1,x>0,因为,且在处的切线与直线垂直,所以,则;(2)由(1)可知所以,易知当时,,所以在,因此当时,.由不等式对任意的实数及恒成立可得,,即对任意的实数恒成立,所以解得;且=,即,即或,综上可得的取值范围是;(3)由(2)可知在定义域上单调递增,所以当时,,即.而,又,故,所以=⋯=而,所以.点睛：不等式有解问题与不等式的恒成立问题此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔22. 在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的参数方程为,曲线的极坐标方程为.(1)若的参数方程中的时,得到点,求的极坐标和曲线的直角坐标方程;(2)已知点,若与曲线交于两点,求.【答案】（1）（2）;【解析】试题分析：（1）将代入即得点直角坐标，再化为极坐标，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数几何意义求.试题解析：(1)当时,点M的直角坐标为(0,2),所以点的极坐标是;由可得所以曲线的直角坐标方程是:;(2将代入可得,设方程的两根分别为,则,则=,,所以;点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.23. 已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若,且,求证:,并求时的值.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）解不等式，可根据零点分段法求解，分三个区间去绝对值解不等式；（Ⅱ）根据含绝对值三角不等式可知，再根据，转化基本不等式求最值，最后得到等号成立的条件，求得的值.试题解析：解：（Ⅰ）当时，不等式化为，即或或，解得或或，∴不等式的解集为；（Ⅱ）当且仅当，即时“”成立，又∵，解得，．。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学近年届高三数学10月月考试题理(2021年整理)
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牡一中2016级高三学年10月月考数学理科试题一、选择题(本大题共有12个小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合B C A U ⋂等于 （ )A {}2,5B {}3,6C {}2,5,6D {}2,3,5,6,8 2.的虚部为则复数设复数Z i ii z ,211++-=（ ） A.0 B 。
i C.1 D.23。
下列函数中,既不是奇函数，也不是偶函数的是（ )A ．x e x y +=B ．x x y 1+=C ．x x y 212+= D ．21x y += 4。
命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定 A.0232,0200<++∈∃x x R x B 。
0232,0200≤++∈∃x x R xC 。
0232,2<++∈∀x x R x D. 0232,2≤++∈∀x x R x5.在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是( ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 6.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数x y 2sin =的图像（ ) （A ）向左平移3π个长度单位 (B)向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位 （D ）向右平移6π个长度单位 7. 满足条件︒===45,23,4A b a 的三角形的个数是（ ）A ．1个 B.2个 C 。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学10月月考试题文
F E P CBA黑龙江省牡丹江市第一高级中学2019届高三数学10月月考试题 文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合}032|{2<--∈=x x N x A 的真子集的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.62、已知i i z -=2，则复数z 在复平面对应点的坐标是（ ）A. )2,1(--B. )2,1(-C. )2,1(-D. )2,1(3、已知b a , 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，则下列结论正确的个数是（ ）A.若βαβα//,//,//b a ，则b a //B.若,,,//βα⊂⊂b a b a ，则βα//C.若直线a 与b 是异面直线，且,,βα⊂⊂b a ，则βα//D.若直线a 与b 是异面直线，αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα//4、在数列{}n a 中，11=a ，()nn n n a a a 111-+=--()*,2N n n ∈≥，则53a a 的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D. 385、已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为 PA 和BC 的中点．则直线EF 与直线PC 所成的角为（ ）A.6π B. 4π C. 3π D. 2π6、已知数列}{n a 满足)(log log 1*133N n a a n n ∈=++，且9642=++a a a ， 则=++)(log 97531a a a （ ）A.51 B. 51- C. 5 D. -5 7、已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a ，是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. )1,0(B. )31,0( C. )1,71[ D. )31,71[8、在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，,3,23,322sin ,===∠⊥AD AB BAC AC AD 则=CD ( )A. 23B. 33C. 26D. 36 9、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．8＋ 2C ．21D ．1810、若函数)0()6cos()(>+=ωπωx x f 在],0[π上的值域为]23,1[-，则ω的取值范围是（ ）A. ]35,23[B. ]23,65[C. ]35,65[D. ),65[+∞11、已知定义在R 上的函数)(x f 满足0)1()(=++x f x f ，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，则（ ）A. )1(cos )1(sin f f >B. )32(cos )32(sin ππf f < C. )6(cos)6(sinππf f < D. )2(cos )2(sin f f >12、设函数2ax y =与函数|1ln |axx y +=的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ） A. ),33(e e B. )33,0()0,33(e e ⋃- C. )33,0(e D. }33{)1,1(e e⋃二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、tan20tan40tan40︒︒︒︒++=14、已知9)2()32(,1||,2|=+⋅-==a ，则在+方向上的投影为15、已知:,)1(2,]21,41[:2q x m x x p +<∈∀函数124)(1-++=+m x f x x 存在零点，若p且q 为真命题，则实数m 的取值范围是 16、已知数列}{n a 满足)(2,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，若))(11()2(*1N n a n b nn ∈+⋅-=+λ， ,1λ-=b 且数列}{n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围是三、解答题： 17、在中，分别是角的对边，其外接圆半径为1，．（1）求角的大小； （2）求周长的取值范围．18、 如图，在直三棱柱中， ，，，分别是，的中点.求证：（1）平面；（2）.19、设为数列的前项和，已知，，．（Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）设，求数列的前项和．20、设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形. （1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q 、R 两点时，2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.21、已知函数x x x f ln )(=， （1）求函数)(x f 的极值点；（2）设函数)1()()(--=x a x f x g ，其中R a ∈，求函数)(x g 在区间[]e ,1上的最小值。
2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2，4}，则∁A B＝（）A．{2，4}B．{0，1，3，5}C．{1，3，5，6}D．{x∈N*|x≤6} 2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．1763．（5分）下列函数中，值域是（0，+∞）的是（）A．y＝B．y＝C．y＝（）1﹣x D．y＝4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4B．C．D．5．（5分）设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l7．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）＝（）A．3B．1C．﹣1D．﹣38．（5分）过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15＝0相切，则k的取值范围是（）A．k＜﹣3或k＞2B．k＜﹣3或2＜k＜C．k＞2或﹣＜k＜﹣3D．﹣＜k＜﹣3或2＜k＜9．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），下面关于f（x）的判定：其中正确命题的个数为（）①f（4）＝0；②f（x）是以4为周期的函数；③f（x）的图象关于x＝1对称；④f（x）的图象关于x＝2对称．A．1B．2C．3D．410．（5分）设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[2，10]D．[3，11] 11．（5分）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）＝a x•g（x）（a＞0，且a≠1），，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．912．（5分）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）（其中k为正整数，a∈R，a≠0），则f（x）的零点个数为（）A．2k﹣2B．2k C．2k﹣1D．与a有关二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设复数z满足iz＝1+2i，则复数z的共轭复数为．14．（5分）在△ABC中，已知AB＝4，AC＝2，∠A＝60°，D为AB的中点，则向量在方向上的投影为．15．（5分）已知不等式（x+y）（）≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．16．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，且|F1F2|＝4，P是它们的一个公共点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率．若满足+＝4，则△PF1F2面积的取值范围是．三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（3n﹣1），（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n18．（12分）已知函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最值；（2）已知cos（β﹣α）＝，cos（β+α）＝﹣，（0＜α＜β≤），求证：[f（β）]2﹣2＝0．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，D为A1B1的中点．（1）证明：A1C∥平面BC1D；（2）若A1A＝A1C，点A1在平面ABC的射影在AC上，且BC与平面BC1D所成角的正弦值为，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知椭圆C过点P（2，），两个焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）求以点M（2，1）为中点的弦AB所在的直线方程，并求此时△OAB的面积．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|P A|•|PB|＝|AB|2，求a的值．2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．【解答】解：∵集合A＝{x∈N*|x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，4}，∴∁A B＝{1，3，5，6}．故选：C．2．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，∴a1+a11＝a4+a8＝16，∴S11＝＝88，故选：B．3．【解答】解：A.5﹣x＞0；∴5﹣x+1＞1；∴；∴该函数的值域是（0，1），∴该选项错误；B.；∴；∴该函数的值域为[0，+∞），∴该选项错误；C.；∴该函数的值域为（0，+∞），∴该选项正确；D.；∴该函数的值域为[0，+∞）．故选：C．4．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选：D．5．【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a＝1，b＝﹣2，不是必要条件，故选：A．6．【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．7．【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝20+2×0+b＝0，解得b＝﹣1，所以当x≥0时，f（x）＝2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（21+2×1﹣1）＝﹣3，故选：D．8．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+k）2+（y+1）2＝16﹣k2，所以16﹣k2＞0，解得：﹣＜k＜，又点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得：k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是（﹣，﹣3）∪（2，）．故选：D．9．【解答】解：f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+2）＝f（﹣x），即有f（x）的图象关于直线x＝1对称；由f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）为4为周期的函数，又f（0）＝0，可得f（4）＝f（0）＝0，则①②③正确；④错误．故选：C．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（0，4），B（3，0）＝＝1+2×，设k＝，则k＝的几何意义为平面区域内的点到定点D（﹣1，﹣1）的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则BD的斜率k＝1，AD的斜率为k＝，即1≤k≤5，则2≤2k≤10，3≤1+2k≤11，即的取值范围是[3，11]，故选：D．11．【解答】解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴，从而可得单调递增，从而可得a＞1，∵，∴a＝2．故＝2+22+…+2n＝．∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*．∴n＝6．故选：A．12．【解答】解：函数f（x）＝x cos x﹣sin x﹣sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）的零点的个数等于方程x cos x﹣sin x＝sin x，x∈（﹣kπ，0）∪（0，kπ）解的个数；设y1＝x cos x﹣sin x，y2＝sin x，∵y1′＝﹣x sin x，∴y1＝x cos x﹣sin x在…，（﹣5π，﹣4π），（﹣3π，﹣2π），（﹣π，0），（0，π），（2π，3π），（4π，5π），…上单调递减；在…，（﹣4π，﹣3π），（﹣2π，﹣π），（π，2π），（3π，4π），…上单调递增；如图中实线所示；y2′＝a，由y1＝x cos x﹣sin x的图象可得：a＞0时，y2＝sin x的图象，如图中虚线所示；则函数f（x）共有2k﹣1个零点；由函数图象的对称性可得，当a＜0时，函数f（x）零点个数仍为2k﹣1个．故选：C．二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．【解答】解：z＝＝2+＝2﹣i，故＝2+i，故答案为：2+i．14．【解答】解：由余弦定理可得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠A ＝16+4﹣2×4×2×＝12，所以BC＝2，所以AB2＝BC2+AC2，则∠ABC＝30°，则，的夹角为150°，则向量在方向上的投影为：＝||cos150°＝﹣，故答案为：﹣15．【解答】解：（x+y）（）＝1+a+，当且仅当时取最小值，∵（x+y）（）≥4对任意正实数x，y恒成立，∴，解不等式可得，a≥1，则正实数a的最小值1，故答案为：1．16．【解答】解：设∠F1PF2＝θ，设椭圆的短半轴长为b1，长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，虚半轴长为b2，由焦点三角形的面积公式可得，即，即，等式两边同时除以4可得，，即，在等式两边同时乘以可得＝，对比等式，可得，可得，易知为锐角，则，易知，0＜b2＜2，由焦点三角形的面积公式可得．故答案为：．三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝（3n﹣1）①，当n≥2时，S n﹣1＝（3n﹣1﹣1）②，①﹣②得：，整理得：，当n＝1时，a1＝S1＝1（符合上式），故：．（2）由于：，所以：数列b n＝（2n﹣1）a n＝（2n﹣1）•3n﹣1，所以：①，3②，①﹣②得：﹣2T n＝1•30+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n，解得：．18．【解答】（1）解：函数f（x）＝sin（x+）+cos（x﹣）＝sin x cos+cos x sin+cos x cos+sin x sin＝sin x﹣cos x﹣+sin x＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∴f（x）的最小正周期为2π，f（x）max＝2，f（x）min＝﹣2；（2）证明：cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα＝，cos（β+α）＝cosβcosα﹣sinβsinα＝﹣，两式相加，得cosβcosα＝0，又0＜α＜β≤，则cosα∈（0，1），cosβ＝0，β＝，f（β）＝2sin＝，∴[f（β）]2﹣2＝0．19．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结B1C交BC1于点E，连结DE．则E是B1C的中点，又D为A1B1，所以DE∥A1C1，且DE⊂面BC1D，A1C⊄BC1D，∴A1C∥平面BC1D；（Ⅱ）取AC的中点O，连结A1O，∵点A1在面ABC上的射影在AC上，且A1A＝A1C．∴A1O⊥面ABC，则可建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，设A1O＝a．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，则B（﹣2，，0），C（﹣1，0，0），C1（﹣2，0，a），D（﹣，，a），，．设为面BC1D的法向量，，取y＝﹣a，则，由BC与平面BC1D所成角的正弦值为，即|cos|＝||＝，可得a＝．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，由椭圆定义可得2a＝|PF1|+|PF2|＝＝，∴a＝4，，因此，椭圆C的方程为；（2）设点A（x1，x2）、B（x2，y2），由题意可得，所以，，将点A、B的坐标代入椭圆C的方程可得，上述两式相减得，所以，，即，即，则，所以，直线AB的斜率为﹣1，因此，直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并化简得3x2﹣12x+2＝0，由韦达定理可得x1+x2＝4，，由弦长公式可得＝，点O到直线AB的距离为，因此，△AOB的面积为．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R，∴f′（x）＝﹣ax+1＝（x ＞0），∴当a＝0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，由于x＞0，故﹣ax2＞0，于是﹣ax2+x+1＞0，∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f′（x）＞0得，0＜x＜，即f（x）在（0，）上单调递增；由f′（x）＜0得，x＞，即f（x）在（，+∞）上单调递减；∴函数f（x）在（0，+∞）∪（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减．（2）由（1）可知，当a＞0，x＝时函数取到极大值，此时∵x→0，f（x）＜0，x→+∞，f（x）＜0∴f（x）＝0有两个不等的根即有两个不等的根即有两个不等的根构造函数y＝lnx与，则两个图象有两个不同的交点∵y＝lnx过（1，0），的对称轴为直线，顶点坐标为∴，解得a＜2∴0＜a＜222．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝a cosθ（a＞0），转换为直角坐标方程为：y2＝ax，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），站换为直角坐标方程为：x﹣y﹣2＝0．（2）由于：直线l与曲线C相交于A，B两点．直线的方程转换为标准式为：（t为参数），代入y2＝ax，得到：，所以：，所以：，（t1和t2为A和B对应的参数）由于：|P A|•|PB|＝|AB|2，所以：，解得：a＝2．。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018-2019学年高一10月摸底考试数学试题
牡一中2018级高一学年上学期10月月考数 学 试 题一、选择题（每题5分，共60分）1、如果集合{}{}0,21>=≤<-=x x B x x A ，那么)(B A R ⋃等于（ ）A. {}20<<x xB. {}1->x x C. {}01=-≤x x x 或 D.{}1-≤x x2、已知全集={1,2,3,4,5}I ，集合={1,2,3}A ,且={2,3}A B ⋂，则满足条件的B 集合的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 83、下列函数在[)+∞,0上是增函数的有（ ）个 ①xy 1-= ②12+=x y ③542--=x x y ④3422-+-=x x y A.1 B.2 C.3 D.44、已知函数()1,0()3,0f x x f x x x ->⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()2f 的值为（ ）A. 0B.1C.2D.3 5、下列对应关系是集合A 到集合B 的函数的个数为（ ） ①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,； ②2:,,x y x f Z B Z A =→==； ③x y x f Z B Z A =→==:,,；④{}{}0:,0,11=→=<<-=y x f B x x A ； ⑤{}{}6,5,4,3,2,1==B A ，对应关系如图所示：6、若()(){}1,,0,10,1,-==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<->==x y y x B x x y y x A 则A B ⋂=( )A. ｛2，1｝B.｛（2，1）｝C.｛（2，1），（0，-1）｝D.｛x,y 2,1x y ==｝ 7、设R a ∈，则1>a 是11<a的 （ ） A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8、在同一直角坐标系内,函数aax y 1+=与2ax y =的图象只可能是下图的（ ） A BC D9、已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（ ） A. ()x x f +=11，()01≠-≠x x 且 B. ()x xx f +=1，()0≠x C. ()1+=x x x f ，()01≠-≠x x 且 D. ()1+=x xx f ，()1-≠x 10、函数]2,0(,122∈-+-=x x x y 的（ ）A.最小值为0，无最大值B.最大值为0，最小值为－1C.最大值为1，最小值为0D.最大值为0，无最小值11、设函数()x f 是定义在实数集R 上，满足：直线x=1是函数()x f 的对称轴，当1≥x 时，()x x f 2=，则下列结论正确的是（）A.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛21231f f fB.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛31221f f f C.()23121f f f <⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<21312f f f12、已知函数()()()⎩⎨⎧>+--≤+-=1,11,412x x a x x a x a x f ，为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,61 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,61 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,61 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,61 二、填空题（每题5分，共20分）13、已知()x x x f 2122-=+，则()2f = 。
黑龙江省牡丹江一中2019届高三上学期10月月考数学试卷(理科)Word版含解析
黑龙江省牡丹江一中2019届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x＜a}，B={x|x＜3}，则“a＜3”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（﹣）•（+）=（）A．﹣6 B．﹣2C．2 D．63．下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．4．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[2，+∞）C．[1，+∞）D．[0，+∞）6．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）7．在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点，若•=1，则AB的长为（）A．B．4 C．5 D．68．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，） C．（0，1）D．（﹣，0）10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．11．非零向量夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，] B．（0，] C．（1，2] D．[1，2]12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足+=（5，﹣10），﹣=（3，6），则，夹角的余弦值为．14．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为．15．在下列命题中：①函数f（x）=x+（x＞0）的最小值为2；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f（1）+f（4）+f（7）=0；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（d≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．16．定义在（﹣2，2）上的奇函数f（x）恰有3个零点，当x∈（0，2）时，f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）（a ＞0），则a的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．18．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．用反证法证明：若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．19．已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．20．已知函数f（x）=（ax﹣2）e x在x=1处取得极值．（1）求a的值；（2）求证：对任意x1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e．21．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．黑龙江省牡丹江一中2019届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x＜a}，B={x|x＜3}，则“a＜3”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合关系，结合充分条件和必要条件的进行判断即可．【解答】解：若A⊆B，则a≤3，则“a＜3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选：A2．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（﹣）•（+）=（）A．﹣6 B．﹣2C．2 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】正六边形的内角为120°，并且相对的边平行，再根据相等向量，从而得到=．【解答】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：===2+4﹣2+2=6．故选：D．3．下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质和定义进行判断即可．【解答】解：A．y=sinx是奇函数，在区间[﹣1，1]上单调递增，不满足条件．B．y=﹣|x+1|关于x=﹣1对称，关于原点不对称性，不是奇函数，不满足条件．C．由＞0得﹣2＜x＜2，则函数的定义域为（﹣2，2），∵=ln（2﹣x）﹣ln（x+2），∴函数在（﹣2，2）上为减函数，则f（﹣x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x）=﹣[ln（2﹣x）﹣ln（x+2）]，则函数f（x）为奇函数，则C满足条件．D．f（﹣x）=（2﹣x+2x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，不满足条件．故选：C4．若tanα=2tan，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可．【解答】解：tanα=2tan，则=============3．故答案为：3．5．已知表示的平面区域为D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[5，+∞）B．[2，+∞）C．[1，+∞）D．[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】设z=2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a为真命题，则等价为求z的最大值，由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（，），代入目标函数z=2x+y得z=2×+=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．则a≥5，故选：A．6．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（）A．g（x）=sin（2x﹣）B．g（x）=sin（2x+）C．g（x）=cos（2x+）D．g（x）=cos（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．【解答】解：代值计算可得f（）=sin=，由图象可得g（x）的图象经过点（，），代入验证可得选项A，g（）=sin≠，故错误；选项B，g（）=sin≠，故错误；选项D，g（）=cos=﹣cos=≠，故错误；选项C，g（）=cos=cos=，故正确．故选：C．7．在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点，若•=1，则AB的长为（）A．B．4 C．5 D．6【考点】平面向量数量积的运算．【分析】•=•（+），而，利用向量数量积的运算法则及定义，得出关于||的方程，即得结果【解答】解：如图所示，由题意可得，•=•（+）=•+•=2﹣，=22﹣cos60°=1，||=6，即AB的长为6，故选：D．8．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案．【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）．所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞），故选D．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，） C．（0，1）D．（﹣，0）【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出【解答】解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．10．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g（x）的解析式，确定满足g（x）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），∵f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数f（x）的周期T=2×=π，即=π，则ω=2，即f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得g（x）=f（x﹣）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）．由2sin（2x﹣）≥1，x∈[0，π]，可得sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴当k=0时，解得：x∈[，]，∴事件“g（x）≥1”发生的概率为==．故选：B．11．非零向量夹角为60°，且|﹣|=1，则|+|的取值范围为（）A．（1，] B．（0，] C．（1，2] D．[1，2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对两边平方，便得，从而=，这样只要求的范围即可：根据便可得出，这样便可得出的范围，从而得出的取值范围．【解答】解：；∴，，夹角为60°；∴；∴； ；∴；∴；∴；∴的取值范围为． 故选A ．12．已知f （x ）=，g （x ）=（k ∈N *），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）=f （a ）=g （b ），则k 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】函数的值．【分析】根据题意转化为：＞，对于x ＞1恒成立，构造函数h （x ）=x •求导数判断，h ′（x ）=，且y=x ﹣2﹣lnx ，y ′=1﹣＞0在x ＞1成立，y=x ﹣2﹣lnx 在x ＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x 0∈（3，4）使得f （x ）≥f （x 0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f （x ）=，g （x ）=（k ∈N *），对任意的c ＞1，存在实数a ，b 满足0＜a ＜b ＜c ，使得f （c ）=f （a ）=g （b ），∴可得：＞，对于x ＞1恒成立．设h （x ）=x •，h ′（x ）=，且y=x ﹣2﹣lnx ，y ′=1﹣＞0在x ＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x 0∈（3，4）使得f （x ）≥f （x 0）＞3，∴k 的最大值为3．故选：B二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量，满足+=（5，﹣10），﹣=（3，6），则，夹角的余弦值为 ． 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】设出、的坐标，利用+与﹣列出方程，求出、的坐标，再求，夹角的余弦值．【解答】解：设=（x 1，y 1），=（x 2，y 2），∵+=（5，﹣10），﹣=（3，6），∴，且，解得x 1=4，x 2=1，y 1=﹣2，y 1=﹣8，∴=（4，﹣2），=（1，﹣8）；∴，夹角的余弦值为：cos ＜，＞===．故答案为：．14．将函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f （x ）在[0，]上的最小值为 ﹣ ． 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 φ 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f （x ）=sin （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin （2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=k π，即 φ=k π﹣，k ∈Z ，又|φ|＜，∴φ=﹣，f （x ）=sin （2x ﹣）．∵x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，故当2x ﹣=﹣时，f （x ）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．15．在下列命题中：①函数f （x ）=x+（x ＞0）的最小值为2；②已知定义在R 上周期为4的函数f （x ）满足f （2﹣x ）=f （2+x ），则f （x ）一定为偶函数；③定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）+f （4）+f （7）=0； ④已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （d ≠0），则a+b+c=0是f （x ）有极值的必要不充分条件；⑤已知函数f （x ）=x ﹣sinx ，若a+b ＞0，则f （a ）+f （b ）＞0．其中正确命题的序号为 ②③⑤ （写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由函数f （x ）=x+（x ＞0），知a ≤0时，在f （x ）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，可判断①；②，利用函数的对称性与周期性可得到f（﹣x）=f（x），从而可判断②；③，依题意可求得f（4）=0；f（7）=f（﹣1）=﹣f（1），从而可判断③；④，利用导数法及充分必要条件的概念可判断④；⑤，易求f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，进一步可知，f（x）为R上的为奇函数，从而可判断⑤．【解答】解：①，函数f（x）=x+（x＞0）中，当a≤0时，在f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，不存在最小值，故①错误；②，∵f（2﹣x）=f（2+x），∴f（4﹣x）=f（x），又f（x）为定义在R上周期为4的函数，∴f（x）=f（4﹣x）=f（﹣x），∴f（x）为偶函数，故②正确；③，∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，∴f（4）=f（0）=0；f（7）=f（8﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∴f（1）+f（4）+f（7）=f（1）+0﹣f（1）=0，故③正确；④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），要使y=f（x）有极值，则方程3ax2+2bx+c=0（a≠0）有两异根，∴△=4b2﹣12ac＞0，即b2﹣3ac＞0；当a+b+c=0（a≠0）时，b=﹣（a+c），b2﹣3ac=（a+c）2﹣3ac=a2+c2﹣ac=（a﹣）2+c2＞0，充分性成立，反之不然；∴a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件，故④错误；⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）=x﹣sinx为R上的增函数，又f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）=x﹣sinx为R上的奇函数；∴若a+b＞0，即a＞﹣b时，f（a）＞f（﹣b=﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0，故⑤正确．综上所述，正确的命题序号为：②③⑤．故答案为：②③⑤16．定义在（﹣2，2）上的奇函数f（x）恰有3个零点，当x∈（0，2）时，f（x）=xlnx﹣a（x﹣1）（a ＞0），则a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1} ．【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．【分析】由f（x）为定义在（﹣2，2）上的奇函数便得到f（0）=0，又f（1）=0，从而问题便转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点，可设h（x）=xlnx，g（x）=a（x﹣1），容易判断a=1时h（x）=xlnx与g（x）=x﹣1相切，满足题意．而a＞0，且a≠1时，可以得出g（x）=a（x﹣1）过点（2，2ln2）时，h （x）与g（x）有两个交点，而此时a=2ln2，从而得到要使得g（x）=a（x﹣1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则需满足a≥2ln2，这样即得出a的取值范围．【解答】解：f（x）为（﹣2，2）上的奇函数；∴f（0）=0，又f（1）=0；∴问题转化为f（x）在（0，2）上有且只有一个零点；设h（x）=xlnx，g（x）=a（x﹣1）；①a=1时，h′（x）=lnx+1，∴h′（1）=1；∴h（x）=xlnx在（1，0）处的切线方程为y=x﹣1，即g（x）与h（x）在（1，0）相切，满足g（x）和h （x）只有一个交点，如下图所示：②a＞0，a≠1时，h（x），g（x）都过点（1，0）；∴当g（x）=a（x﹣1）过点（2，2ln2）时与h（x）有两个交点；此时a=2ln2；∴要使g（x）=a（x﹣1）与h（x）=xlnx在（0，2）上只有一个交点，则a≥2ln2；综上所述，a的取值范围是{a|a≥2ln2，或a=1}．故答案为：{a|a≥2ln2，或a=1}．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．【考点】柯西不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）不等式f（x）≤3等价于m﹣3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]，建立方程组，即可求实数m的值；（2）由（1）得：a﹣2b+2c=2，再利用柯西不等式求得a2+b2+c2的最小值．【解答】解：（1）|x﹣m|≤3⇔﹣3≤x﹣m≤3⇔m﹣3≤x≤m+3，由题意得，解得m=2；（2）由（1）可得a﹣2b+2c=2，由柯西不等式可得（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+22]≥（a﹣2b+2c）2=4，∴a2+b2+c2≥当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为．18．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．用反证法证明：若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．【考点】反证法与放缩法．【分析】根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．【解答】证明：设a+b＜0，则a＜﹣b，b＜﹣a，∵f（x）是R上的增函数，∴f（a）＜f（﹣b），f（b）＜f（﹣a），∴f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b），这与题设f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾，∴若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），则a+b≥0．19．已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式，诱导公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数图象和性质求得其最小正周期T，及对称轴．（Ⅱ）利用三角形面积公式得到h和bc的关系式，进而利用余弦定理得到b和c的关系式，利用基本不等式的性质求得bc的最大值，进而求得h的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴T==π，令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．设BC边上的高为h，=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，则S△ABC∵cosA===，∴bc+9=b 2+c 2，∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b=c 时，等号成立．∴bc+9≥2bc ，bc ≤9，此时b=c ，∵A=，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=．∴h 的最大值为．20．已知函数f （x ）=（ax ﹣2）e x 在x=1处取得极值．（1）求a 的值；（2）求证：对任意x 1、x 2∈[0，2]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导数f ′（x ），由题意得f ′（1）=0，可得a 值，代入检验即可；（2）对任意x 1，x 2∈[0，2]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤e ，等价于|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f max （x ）﹣f min （x ）≤e ．问题转化为求函数f （x ）的最大值、最小值问题，用导数易求．【解答】解：（1）f ′（x ）=ae x +（ax ﹣2）e x =（ax+a ﹣2）e x ，由已知得f ′（1）=0，即（2a ﹣2）e=0，解得：a=1，验证知，当a=1时，在x=1处函数f （x ）=（x ﹣2）e x 取得极小值，所以a=1；（2）由（1）知f （x ）=（x ﹣2）e x ，f ′（x ）=e x +（x ﹣2）e x =（x ﹣1）e x ．令f ′（x ）=0得x=1，因为f （0）=﹣2，f （1）=﹣e ，f （2）=0，所以f max （x ）=0，f min （x ）=﹣e ，所以对任意x 1，x 2∈[0，2]，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤f max （x ）﹣f min （x ）=e ．21．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若=，且sin 2A （2﹣cosC ）=cos 2B+，求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC 面积的取值范围． 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB ，于是C=π﹣2A ，代入sin 2A （2﹣cosC ）=cos 2B+化简可求得A ；（2）利用正弦定理用B 表示出b ，c ，得到面积S 关于B 的函数，求出B 的范围，得出S 的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB ，∴A=B ．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．22．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅱ）问题转化为f（x）≥0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；min（Ⅲ）不等式两边取对数，得到ln（1+）﹣＞0，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∵x=1是函数f（x）的一个极值点，f′（1）=0即a=2；（Ⅱ）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）≥0，min当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）=f（0）=0成立，即0＜a≤1，min当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．min综上，a的取值范围为（0，1]．（Ⅲ）要证，只需证，两边取自然对数得，，⇔ln﹣＞0⇔ln（1+）﹣＞0，由（Ⅱ）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，又＞0，f（0）=0，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，成立．。
第一高级中学2019届高三10月月考数学(理)试题(附答案)
牡一中2016级高三学年10月月考数学理科试题一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合B C A U ⋂等于 ( )A {}2,5B {}3,6C {}2,5,6D {}2,3,5,6,8 2.的虚部为则复数设复数Z i iiz ,211++-=（ ） A.0 B.i C.1 D.2 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．x e x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4.命题“0232,2≥++∈∀x x R x ”的否定A.0232,0200<++∈∃x x R x B. 0232,0200≤++∈∃x x R x C. 0232,2<++∈∀x x R x D. 0232,2≤++∈∀x x R x5.在错误！未找到引用源。
中，若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 6.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数x y 2sin =的图像（ ）（A ）向左平移3π个长度单位 （B ）向右平移3π个长度单位 （C ）向左平移6π个长度单位 （D ）向右平移6π个长度单位7. 满足条件︒===45,23,4A b a 的三角形的个数是（ ）A ．1个 B.2个 C.无数个 D.不存在8. 若α是第四象限角，5t a n 312πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.15 B.135± C.513 D.513-9. 已知函数错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
为实数，若错误！未找到引用源。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题理(含解析)
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020届高三数学10月月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．544．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．105．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9 B．6 C．3 D．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC 上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于16．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A ＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．2019-2020学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．设集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，，则A∩B＝（）A．（0，2] B．（1，2）C．（1，+∞）D．（1，2]【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|x＞1}∩{y|y≥0}＝（1，+∞）∩[0，+∞）＝（1，+∞），故选：C．2．已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45°B．105°C．40°D．35°【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，设量2﹣与的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，故选：A．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6+a7，则S9的值是（）A．27 B．36 C．45 D．54【解答】解：在等差数列{a n}中，∵2a6＝a5+a7，又由已知2a6＝6+a7，得a5＝6，∴S9＝9a5＝54．故选：D．4．＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D．10【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ＝＝＝2故选：C．5．已知函数f（x）＝，若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N﹡），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，3）B．（，3）C．（2，3）D．（1，3）【解答】解：根据题意，a n＝f（n）＝；要使{a n}是递增数列，必有；解可得，2＜a＜3；故选：C．6．已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），ω＞0，，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（）A．f（x）在上单调递减B．f（x）在上单调递减C．f（x）在上单调递增D．f（x）在上单调递增【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），∵f（x）是奇函数，，∴φ+＝0，得φ＝﹣，则f（x）＝sinωx，由sinωx＝得sinωx＝1，∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，∴T＝，0即＝，得ω＝4，即f（x）＝sin4x，由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，故选：A．7．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则＝（）A．9 B．6 C．3 D．1【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得2×＝+a2，即q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝﹣1（舍去），或q＝3，∴＝＝q2＝9．故选：A．8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a cos C＝4c sin A，已知△ABC的面积S＝bc sin A＝10，b＝4，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a cos C＝4c sin A，∴3sin A cos C＝4sin C sin A，∵sin A≠0，∴3cos C＝4sin C，∴cos C＝，∵S＝bc sin A＝10，∴c sin A＝5，∵3a cos C＝4c sin A＝20，∴a＝＝．故选：B．9．如图，已知等腰梯形ABCD中，，E是DC的中点，P是线段BC 上的动点，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．【解答】解：由等腰梯形的知识可知cos B＝，设BP＝x，则CP＝﹣x，∴＝（）•＝＝1•x•（﹣）+（﹣x）•x•（﹣1）＝x2﹣x，∵0≤x≤，∴当x＝时，取得最小值﹣．故选：D．10．若函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜g（﹣1）B．g（﹣1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜g（﹣1）＜f（﹣3）D．g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【解答】解：函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足f（x）+2g（x）＝e x，可得f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，即有f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，解得f（x）＝（e x+e﹣x），g（x）＝（e x﹣e﹣x），可得g（﹣1）＝（﹣e）＜0，f（﹣2）＝（e﹣2+e2）＞0，f（﹣3）＝（e﹣3+e3）＞0，f（﹣2）﹣f（﹣3）＝（e﹣1）（e﹣3﹣e2）＜0，即有g（﹣1）＜f（﹣2）＜f（﹣3），故选：D．11．已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，可得x+y＝1，x，y∈[，]，则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：[，]．故选：D．12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，）D．[4π，6π）【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，]，图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，∴+，解得：．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．不等式＞的解集为{x|﹣＜x＜﹣}【解答】解：不等式＞，即＜0，即（6x+1）•3（3x+2）＜0，求得﹣＜x＜﹣，故答案为：{x|﹣＜x＜﹣}．14．已知等比数列{a n}的首项a1＝2037，公比q＝，记b n＝a1•a2……a n，则b n达到最大值时，n的值为11【解答】解：∵a1＝2037，公比q＝，∴a n＝2037×，∵a11＞1，a12＜1∵b n＝a1•a2……a n，则当n＝11时b n达到最大值．故答案为：11．15．在等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，其前n项和为S n，若﹣＝2002，则S2016的值等于2016【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝﹣2014，，∵﹣＝2002，∴＝2002，∴d＝2，则S2016＝2016×（﹣2014），＝2016．故答案为：201616．已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A ＝．【解答】解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且对应的高分别为m，n，t，△ABC的面积等于1，若BC＝1，即S＝1，a＝1，由S＝am，S＝bn，S＝ct，可得S3＝abcmnt，则mnt＝＝又S＝bc sin A＝1，可得bc＝，则mnt＝4sin A，cos A＝≥＝1﹣，当且仅当b＝c上式取得等号，可得2bc≤，则≤，可得＝＝tan≤，可得sin A＝≤＝．当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x＝0，即sin x＝cos xsin x＝cos x，即tan x＝1；（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x，∴若与的夹角为，则•＝||•||cos＝，即sin x﹣cos x＝，则sin（x﹣）＝，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣＝即x＝+＝．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1＝0（n≥2），a1＝．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．【解答】（1）证明：∵﹣a n＝2S n S n﹣1，∴﹣S n+S n﹣1＝2S n S n﹣1（n≥2），S n≠0（n＝1，2，3）．∴﹣＝2．又＝＝2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），＝2+（n﹣1）•2＝2n，∴S n＝．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝﹣〔或n≥2时，a n＝﹣2S n S n﹣1＝﹣〕；当n＝1时，S1＝a1＝．∴a n＝19．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．（1）求角B的大小；（2）求cos2﹣sin cos的取值范围．【解答】解：（1）∵由正弦定理得，a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴＝，可得：＝，可得：c2﹣b2＝ac﹣a2，整理得：c2+a2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝，∴由0＜B＜π，可得B＝．（2）cos2﹣sin cos＝（cos C+1）﹣sin A＝cos C﹣sin（﹣C）+＝cos C﹣sin C+＝cos（C+）+，∵＜C+＜，∴﹣＜cos（C+）＜，∴＜cos2﹣sin cos＜．20．（I）已知a+b+c＝1，证明（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）若对任总实数x，不等式|x﹣a|+|2x﹣1|≥2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（I）证明：由柯西不等式可得（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥；（Ⅱ）解：①当a＝时，不等式即|x﹣|≥，显然不能任意实数x均成立．②当a＞时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣3×+a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣3×+a+1≥2，解得a≥．③当a＜时，|2x﹣1|+|x﹣a|＝，此时，根据函数y＝|2x﹣1|+|x﹣a|的单调性可得y的最小值为﹣﹣a+1．∵不等式|2x﹣1|+|x﹣a|≥2对任意实数x均成立，∴﹣﹣a+1≥2，解得a≤﹣．综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知曲线C：（k为参数）和直线l：（t为参数）．（1）将曲线C的方程化为普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，且P（2，1）为弦AB的中点，求弦AB所在的直线方程．【解答】解：（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为C的普通方程．（2）将代入，整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0．由P为AB的中点，则．∴cosθ+2sinθ＝0，即，故，即，所以所求的直线方程为x+2y﹣4＝0．22．已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝，0＜x＜π，得f'（x）＝，∵当x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），∴f'（x0）＝0，∴a＝sin x0﹣x0cos x0，∴f（x0）＝，∵0＜x＜π，∴cos x0∈（﹣1，1），∴f（x0）∈（﹣1，1），即f（x0）的取值范围为：（﹣1，1）．（Ⅱ）挡a＝时，f（x）＝，要证f（x）+mlnx＝成立，即证mlnx＞sin x﹣π成立，令g（x）＝mlnx，h（x）＝sin x﹣π，则g'（x）＝m（lnx+1），h（x）＝sin x﹣π∈（﹣π，1﹣π]，令g'（x）＝0，则x＝，∴当0＜x＜时，g'（x）＜0，此时g（x）递减；当时，g'（x）＞0，此时g（x）递增，∴g（x）min＝g（）＝，显然∀m∈（0，π），＞1﹣π，∴0＜m＜π，g（x）＞h（x），即0＜m＜π时，f（x）+mlnx＞0。
牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ） A ．4立方丈B ．5立方丈C ．6立方丈D ．8立方丈2． 用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ）A ．π B ．2πC ．4πD ．π3． 已知向量(,1)a t =，(2,1)b t =+，若||||a b a b +=-，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．4． 已知a 为常数，则使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＞eD ．a ＜e5． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣86． 设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．7． 复数i i -+3)1(2的值是（ ）A ．i 4341+-B ．i 4341-C ．i 5351+-D ．i 5351-【命题意图】本题考查复数乘法与除法的运算法则，突出复数知识中的基本运算，属于容易题．8． 已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ）A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1 D ．存在x 0≤0，使2＜19． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．10．已知函数f （x ）=m （x ﹣）﹣2lnx （m ∈R ），g （x ）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，则实数m 的范围是（ ）A ．（﹣∞，]B ．（﹣∞，）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，0）11．直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ 12．由两个1，两个2，两个3组成的6位数的个数为（ ） A ．45B ．90C ．120D ．360二、填空题13．已知点M （x ，y ）满足，当a ＞0，b ＞0时，若ax+by 的最大值为12，则+的最小值是 ．14．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 15．△ABC 中，，BC=3，，则∠C=．16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．三、解答题17．若f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ，y ＞0，满足f （）=f （x ）﹣f （y ） （1）求f （1）的值，（2）若f （6）=1，解不等式f （x+3）﹣f （）＜2．18．（本小题满分12分）数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=，R=，试比较P ，Q ，R 的大小，并说明理由．20．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．（1）求直线AB的方程；（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．①证明：OM•ON为定值；②证明：A、Q、N三点共线．21．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．22．（本小题满分10分） 已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求的取值范围.23．（本小题满分13分）设1()1f x x=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．）牡丹江市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】 【解析】解析：选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋12×3×1×2＝5立方丈，故选B.2． 【答案】C【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为： cm ；已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，所以球的体积为： =4π故选：C ．3． 【答案】B【解析】由||||a b a b +=-知，a b ⊥，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=，解得1t =-，故选B. 4． 【答案】C【解析】解：由积分运算法则，得=lnx=lne ﹣ln1=1因此，不等式即即a ＞1，对应的集合是（1，+∞）将此范围与各个选项加以比较，只有C 项对应集合（e ，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a ＞e故选：C【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．5． 【答案】B【解析】解：∵f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2， ∴f （﹣2）﹣g （﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f （2）+g （2）=f （﹣2）﹣g （﹣2）=﹣16． 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．6． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及||2x ≤，得22x -≤≤，则{}|22A x x =-≤≤，所以{}1,2A B =，故选D.7． 【答案】C【解析】i i i i i i i i i i 53511062)3)(3()3(2323)1(2+-=+-=+-+=-=-+．8． 【答案】A【解析】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x≥1．故选：A9． 【答案】D【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132244428233V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 10．【答案】 B【解析】解：由题意，不等式f （x ）＜g （x ）在[1，e]上有解，∴mx ＜2lnx ，即＜在[1，e]上有解，令h （x ）=，则h ′（x ）=，∵1≤x ≤e ，∴h ′（x ）≥0，∴h （x ）max =h （e ）=，∴＜h （e ）=，∴m ＜．∴m 的取值范围是（﹣∞，）． 故选：B ．【点评】本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．11．【答案】D【解析】考点：球的表面积和体积．12．【答案】B【解析】解：问题等价于从6个位置中各选出2个位置填上相同的1，2，3，所以由分步计数原理有：C62C42C22=90个不同的六位数，故选：B．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是转化，属于中档题．二、填空题13．【答案】4．【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（3，4），显然直线z=ax+by过A（3，4）时z取到最大值12，此时：3a+4b=12，即+=1，∴+=（+）（+）=2++≥2+2=4，当且仅当3a=4b 时“=”成立， 故答案为：4．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是对“1”的灵活运用，是基础题．14．【答案】必要而不充分 【解析】试题分析：充分性不成立，如2y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3.集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．15．【答案】【解析】解：由，a=BC=3，c=，根据正弦定理=得：sinC==，又C 为三角形的内角，且c ＜a ， ∴0＜∠C ＜，则∠C=．故答案为：【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时注意判断C 的范围．16．【答案】49【解析】解：==7a 4 =49． 故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．三、解答题17．【答案】【解析】解：（1）在f（）=f （x ）﹣f （y ）中， 令x=y=1，则有f （1）=f （1）﹣f （1）， ∴f （1）=0；（2）∵f （6）=1，∴2=1+1=f （6）+f （6）， ∴不等式f （x+3）﹣f（）＜2等价为不等式f （x+3）﹣f（）＜f （6）+f （6）， ∴f （3x+9）﹣f （6）＜f （6）， 即f（）＜f （6），∵f （x ）是（0，+∞）上的增函数，∴，解得﹣3＜x ＜9，即不等式的解集为（﹣3，9）．18．【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++． 【解析】试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n n n n a a b n --==-≥，这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+211()a a a +-+求得．试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵1222n n b b ++=+，又121224b a a +=-+=，∴2312(21)(2222)22222221nn n n a n n n +-=++++-+=-+=--.∴224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．∴g （x ）=e x．，f （﹣x ）=ln （﹣x ），则函数的导数g ′（x ）=e x，f ′（x ）=，（x ＜0），设直线m 与g （x ）相切与点（x 1，），则切线斜率k 2==，则x 1=1，k 2=e ，设直线l 与f （x ）相切与点（x 2，ln （﹣x 2）），则切线斜率k 1==，则x 2=﹣e ，k 1=﹣，故k 2k 1=﹣×e=﹣1，则l ⊥m ． （Ⅱ）不妨设a ＞b ，∵P ﹣R=g （）﹣=﹣=﹣＜0，∴P ＜R ，∵P﹣Q=g（）﹣=﹣==，令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，故φ（x）＜φ（0）=0，取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，⇔==1﹣令t（x）=﹣1+，则t′（x）=﹣=≥0，则t（x）在（0，+∞）上单调递增，故t（x）＞t（0）=0，取x=a﹣b，则﹣1+＞0，∴R＞Q，综上，P＜Q＜R，【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．20．【答案】【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴，整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（2）证明：设P（x0，y0），则，①直线AP方程为：y+=（x+），联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，直线BP的方程为：y+1=，联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，∴OM•ON=|x M||x N|=2•||•||=||=||=||=．②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，∴x Q=，y Q=，∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，将k=代入，即证：x M•x N=，由①的证明过程可知：|x M |•|x N |=，而x M 与x N 同号，∴x M •x N =，即A 、Q 、N 三点共线．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（1）因为点P ，Q 关于直线y=x ﹣1对称，所以．解得．又n=e m ﹣1，所以x=1﹣e （y+1）﹣1，即y=ln （x ﹣1）．（2）ω（s ，t ）=|s ﹣e x ﹣1﹣1|+|t ﹣ln （t ﹣1）﹣1|=，令u （s ）=．则u （s ），v （t ）分别表示函数y=e x ﹣1，y=ln （t ﹣1）图象上点到直线x ﹣y ﹣1=0的距离．由（1）知，u min （s ）=v min （t ）．而f ′（x ）=e x ﹣1，令f ′（s ）=1得s=1，所以u min （s ）=．故．【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．22．【答案】（1）{|1x x ≤或8}x ≥；（2）[3,0]-. 【解析】试题解析：（1）当3a =-时，25,2()1,2325,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，当2x ≤时，由()3f x ≥得253x -+≥，解得1x ≤； 当23x <<时，()3f x ≥，无解；当3x ≥时，由()3f x ≥得253x -≥，解得8x ≥，∴()3f x ≥的解集为{|1x x ≤或8}x ≥.（2）()|4||4||2|||f x x x x x a ≤-⇔---≥+，当[1,2]x ∈时，|||4|422x a x x x +≤-=-+-=， ∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的的取值范围为[3,0]-. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题. 23．【答案】【解析】解：证明：2()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴21122211λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵12111111112122222222111111n n n n n n n n n na a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）11120a a λλ-≠-，120λλ≠，∴数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列． （4分）（Ⅱ）证明：设m =()f m m =．由112a =及111n na a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．①当1n =时，命题成立． （9分）②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）由①②知，对一切n N *∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.。
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B． , 2 1, 2 D． , 1 1,1 3,
9．在 ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC CD ，点 O 在线段 CD 上（点 O 与点 C , D 不 重合） ，若 AO x AB y AC ，则 x 的取值范围是 A． 0,1 B． 0,
）
D．既不充分也不必要条件
2．正六边形 ABCDEF 中， AB 2 ，则 BC BA AF BC （ A． 6 B． 2 3 C． 2 3 D． 6
Βιβλιοθήκη ）
3．下列函数中既是奇函数又在区间 1,1 上单调递减的是 A． y sin x B． y x 1 C． y ln
个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，若在区间 0, 上 6
的等 2
随机取一个数 x ，则事件“ g ( x ) 1 ”发生的概率为
1 2 D. 6 3 11. 非零向量 a, b 夹角为 60 ，且 a b 1 ，则 a b 的取值范围为
] 上的最小值为 2
) 的图象向左平移 个单位后的图形关于原点对称， 2 6
15. 在下列命题中,正确命题的序号为 ①函数 f ( x ) x
（写出所有正确命题的序号）.
a ( x 0) 的最小值为 2 a ； x
②已知定义在 R 上周期为 4 的函数 f ( x ) 满足 f (2 x ) f (2 x ) ，则 f ( x ) 一定为偶函数； ③定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数，则 f (1) f (4) f (7) 0 ④已知函数 f ( x) ax bx cx d (a 0) ，则 a b c 0 是 f ( x ) 有极值的必要不充分条件；
0 a b c ，使得 f ( c ) f ( a ) g (b ) ，则 k 的最大值为 (
A. 2 B. 3 C. 4
)
D.
5
二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 a, b 满足 a b (5, 10) ， a b (3, 6) ，则 a, b 夹角的余弦值为______ 14.将函数 f x sin(2 x )( 则函数 f x 在 [0,
值范围是（ A． 5, ） B． 2, C． 1, D． 0, ）
6.如图所示的是函数 f ( x ) sin 2 x 和函数 g ( x ) 的部分图象，则函数 g ( x ) 的解析式是（ A． g ( x ) sin(2 x
3
)
)
A. 6
B. 4
C. 5
D. 6
2 8.已知 R 上的可导函数 f x 的图象如图所示，则不等式 x 2 x 3 f x 0 的解集为（
）
A． , 2 1, C． , 1 1, 0 2,
B． g ( x ) sin(2 x
2 ) 3
C．
g ( x ) cos(2 x
5 ) 6
D．
g ( x ) cos(2 x
6
)
7.在平行四边形 ABCD 中， AD 2 ， BAD 60 ， E 为 CD 的中点．若 AD BE 1 ， 则 AB 的长为 (
a 的取值范围是
A. B. C. A. 1, 3
1 4
1 3
B.
2 3 3 , 3
C. 1,
4 3 3
D.
2 3 , 3 1 3
12. 已 知 函 数 f ( x )
k 1 ln x , g ( x ) ( k N *) ， 若 对 任 意 的 c 1 , 存 在 实 数 a , b 满 足 x 1 x
1 3
C． 1, 0
D． , 0
1 3
10. 已知函数 f ( x )
3 sin x cos x( 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为
差数列，把函数 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移
牡一中 2018 届高三学年 10 月份月考 数学学科理科试题
一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四选项中只有一项是符 合题目要求的。 ） 1.设集合 A x x a ， B x x 3 ，则“ a 3 ”是“ A B ”的（ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
2 x x2
D． y
1 x (2 2 x ) 2
3 cos 10 4．若 tan 2 tan ，则 （ 5 sin 5
A． 1 B． 2 C．3
）
D． 4
x y 1 0 5.已知 7 x y 7 0 表示的平面区域为 D ，若 x, y D ， 2 x y a 为真命题，则实数 a 的取 x 0, y 0
3 2
⑤已知函数 f ( x ) x sin x ，若 a b 0 ，则 f (a ) f (b) 0 .
16．定义在 2, 2 上的奇函数 f x 恰有 3 个零点，当 x 0， 2 时， f x x ln x a x 1a 0 , 则