第3章运动学1-工业机器人
工业机器人的运动学和动力学
13
0
3 1
求AB
4
AB=
9 9
−2 9
−1 11
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第 12 页
3.0 线性代数----矩阵
a1
例题：设列矩阵A =
a2 ，
a3
行矩阵B=[b1,b2,b3]，求AB和BA，
比较两个计算结果，能得出什么结论？
AB是3 × 3矩阵，BA是1 × 1矩阵
a1 AB = a2 b1
3.1.5 工业机器人的逆运动学方程
3.2 工业机器人的动力学
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第3页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的定义及基本概念
矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集 合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵 ，简称m × n矩阵。
a 11 a 12
a 21 a 22 A = a 31 a 32
…… a m1 a m2
… a 1n
… …
a a
2n 3n
…
… amn
第3章 工业机器人的运动学和动力学
第4页
1. 线性代数----矩阵
这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵 A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩 阵可记为(aij)或(aij)m× n，m×n矩阵A也记作Amn。
第6页
3.0 线性代数----矩阵
矩阵的加法运算满足交换律和结合律 交换律：A+B=B+A 结合律：(A+B)+C= A+(B+C)
工业机器人运动学
x
P
y
z
w
其中
ax
x w ,by
y w , cz
z w
（3.6）
3.3 机器人运动学的矩阵表示
3.3.2空间向量的表示
x
P
y
z
w
x
y
z
其中 ax w , by w , cz w （3.6）
变量w可以为任意值,w变化，向量的大小也会发生变化，这 与在计算机图形学中缩放一张图片十分类似。如果w大于1， 向量的所有分量都“变大”；如果w小于1，向量的所有分量都 变小。如果w是1，各分量的大小保持不变。
n o a （3.11）
3.3 机器人运动学的矩阵表示
例3.3对于下列坐标系，求解所缺元素的值，并用矩阵来 表示这个坐标系。
? 0 ? 5
F 0.707 ? ? 3 ? ? 0 2
0
0 0 1
3.3 机器人运动学的矩阵表示
解： 显然，表示坐标系原点位置的值5，3，2对约束方程无
《工业机器人基础及应用编程技术》
第3章 工业机器人运动学
总教学目标 1.理解工业机器人的位姿描述和齐次变换 2.掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算 3.理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解 4.了解研究动力学的内容及方法，理解速度和力雅可比矩阵
目录页
PAGE OF CONTENT
3.1 引言 3.2 工业机器人机构 3.3 机器人运动学的矩阵表示
1.三个向量 n, o, a 相互垂直
2.每个单位向量的长度必须为1
3.3 机器人运动学的矩阵表示
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
第三章机器人运动学PPT课件
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：cos cos(xB , xA )
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
xA
OB
30o xB
yA yB 30o
所以有：
cos 300 sin 300 0 0.866 0.5 0
A B
R
R(
z,300
)
sin
300
cos 300
0
0.5
0.866 0
0
0
1 0
0 1
10
A PBO
5
0
最后得： APBAR BP APBO
9.098 12.562
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
3.1.1 相关知识回顾
一、行列式和矩阵 1. 行列式按照行（或列）展开法则：行列式等于它的任意一行 （或列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
2.行矩阵 3.列矩阵 4.矩阵相等：两同型矩阵（行数和列数都相等）对应元素相等。
5.单位矩阵：主对角线元素为1，其它所 有的元素都为0的方阵。 6.矩阵的运算 （1）矩阵的加法：两同型矩阵的对应元素相加。
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
工业机器人运动学课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
定义与分类
定义
工业机器人是一种可编程、多自 由度的自动化机械业任务。
分类
根据应用领域和功能特点，工业 机器人可分为搬运机器人、焊接 机器人、装配机器人、加工机器 人等。
工业机器人运动学课件
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
• 工业机器人概述 • 工业机器人运动学基础 • 工业机器人关节结构与运动特性 • 工业机器人运动学建模 • 工业机器人轨迹规划 • 工业机器人控制技术 • 工业机器人应用案例分析
目录
CONTENTS
01
人工操作成本。
THANKS
感谢观看
位置控制与速度控制
位置控制
通过设定目标位置，控制器计算出机 器人需要执行的路径和动作，使机器 人准确到达目标位置。
速度控制
通过设定目标速度，控制器计算出机 器人需要执行的动作，使机器人在运 动过程中保持恒定的速度。
力控制与力矩控制
力控制
通过设定目标力，控制器计算出机器人需要执行的路径和动作，使机器人施加的目标力作用于被操作 物体上。
学要求。
轨迹规划的分类
根据运动学和动力学模型的不同 ，轨迹规划可以分为运动学轨迹
规划和动力学轨迹规划。
轨迹规划的步骤
包括路径生成、速度和加速度控 制、碰撞检测和避障等。
关节空间的轨迹规划
01
关节空间定义
关节空间是指机器人的各个关节角度构成的坐标系，是机器人的内部状
态空间。
02 03
关节空间轨迹规划方法
逆运动学模型
已知机器人末端执行器的位置和姿态，求解对应的关节变量。
机器人学-第3章_机器人运动学
o
X
由（3-1）式可得运动学约束条件，x&sinq y&cosq 0 平面轮式移动机器人
是所谓的“非完整约束”。物理含义是，机器人不能沿轮轴线方向横移。
设轮距为D，轮半径为r，两轮独立驱动时轮子转速wL，wR 则
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
（3-2）
1
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
q2 L1
定义参考坐标系{0}，它固定在基座上，当第一
个关节变量（q1）为0时坐标系{1}与坐标系{0}重合
，因此建立参考坐标系{0}如图所示，Z0轴与关节1 的轴线重合且垂直于机械臂所在平面。
q1
平面3R机械臂
由于机械臂位于一个平面上，因此所有Z轴相互平
X3
行，且连杆偏距d和连杆转角均为0。该机械臂的DH
动距离分别为lR = rR和lL = rL，
机器人移动距离
l=(lR+lL)/2
方位角变化
q =(lR-lL)/D。
第n步机器人位姿可以按下面公式更新：
qn qn1 q
xn
xn1
l
cos qn1
q
/
2
yn
yn1
l
sin qn1
q
/
2
若已知机器人的初始位姿，根据该递推公式可以确定任意时刻机器
人位姿，比较简单，但因积累误差大，所以长时间不可靠。
相邻连杆间坐标变换公式
建立 {P}、{Q}和{R}3个中间坐标系， 其中{i}和{i-1}是固定在连杆 i 和 i-1 上的固 连坐标系，如图3-13所示。
工业机器人运动学
注意：对于旋转关节，绕z 轴的旋转角 （ θ角）是关节变量。对于滑动关节， 沿 z轴的连杆长度d 是关节变量；
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
一.连杆坐标系的建立
本地参考坐标系步骤：
（1）通常关节不一定平行或相交。因此 ，通常z轴是斜线，但总有一条距离最短的 公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在 公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。 所以如果an表示 zn-1与zn之间的公垂线， 则xn的方向将沿an 。同样，在 zn与 zn+1之 间的公垂线为，xn+1的方向将沿an +1。
3T6
S4C5C6
C4 S6
S5C6 0
S4C5S6 C4C6 S5S6 0
S4S5 C5 0
0
0 1
C1 0 S1 0
A1
S1 0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
nx = C1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] - S1( S4C5S6 + C4S6 ) ny = S1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] + C1( S4C5S6+C4S6 ) nz = -S2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - C2S5C6 ox = C1 [ -C2 ( C4C5S6 + S4C6 ) + S2S5C6 ] - S1( -S4C5S6 + C4S6 ) oy = S1 [ -C2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + S2S5S6 ] + C1( -S4C5S6 + C4S6 ) oz = S2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + C2S5S6 ax = C1 ( C2C4S5 + S2C5 ) – S1S4C5 ay = S1 ( C2C4S5 + S2C5 ) + C1S4S5 az = –S2C4S5 + C2C5 px = C1S2d3 – S1d2 py = S1S2d3 + C1d2 pz = C2d3
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
工业机器人的运动学
工业机器人运动学的展望
未来工业机器人运动学将与人工智能、机器视觉等技 术进一步融合，实现更智能化的运动控制和决策。
输入 标题
应用拓展
随着技术的进步，工业机器人运动学的应用领域将进 一步拓展，如微纳操作、深海/空间探索等高精度、高 可靠性要求的领域。
技术融合
理论深化
随着工业机器人运动学的不断发展，对相关领域的人 才需求将进一步增加，未来将需要更多的专业人才进
运动学逆问题
定义
给定机器人末端执行器的 位置和姿态，求解实现该 位置和姿态所需的关节角 度。
计算方法
通过逆向运动学模型，将 末端执行器的笛卡尔坐标 代入机器人结构参数方程， 反解出关节角度。
应用
根据目标位置和姿态，规 划机器人的关节运动轨迹， 实现精确控制。
雅可比矩阵
定义
描述机器人末端执行器速度与关节速 度之间关系的线性映射矩阵。
03 工业机器人运动学原理
运动学正问题
01
02
03
定义
给定机器人的关节角度， 求解机器人末端执行器的 位置和姿态。
计算方法
通过正向运动学模型，将 关节角度代入机器人结构 参数方程，求解末端执行 器的笛卡尔坐标。
应用
根据已知的关节角度，预 测或验证机器人的末端位 置和姿态，为机器人控制 提供基础。
基于运动学的轨迹规划
轨迹规划
基于运动学的轨迹规划是工业机器人运动学优化与控制的 重要环节，它涉及到机器人在空间中运动的路径和速度的 规划。
路径规划
路径规划是轨迹规划的基础，它通过寻找起点和终点之间 的最优路径，确保机器人在移动过程中能够安全、高效地 完成任务。
速度规划
速度规划是在路径规划的基础上，对机器人在各个运动阶 段的速度进行优化，以达到最佳的运动效果和效率。
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学概要工业机器人运动学和动力学概要工业机器人是现代工业生产中的重要设备之一，它通过精确的运动控制来实现各种复杂的操作，如搬运、装配和焊接等。
在实际应用中，了解工业机器人的运动学和动力学是至关重要的。
本文将介绍工业机器人运动学和动力学的概要，以便读者对其有一个全面的了解。
1. 运动学概述工业机器人的运动学研究机器人的位置、速度和加速度之间的关系。
它涉及到坐标系的定义、机器人臂的关节角度、位置和姿态的表示等内容。
1.1 坐标系的定义工业机器人常用的坐标系有世界坐标系、基坐标系和工具坐标系。
世界坐标系是一个固定不变的参考系，用来描述物体在整个工作区域内的位置。
基坐标系是机器人臂的起始位置的参考系，它通常位于机器人基座上。
工具坐标系是机器人末端执行器的参考系，它用于描述机器人进行任务时末端执行器的位置和姿态。
1.2 关节角度、位置和姿态的表示工业机器人的姿态可以用欧拉角、四元数或旋转矩阵表示。
关节角度表示机器人各个关节的角度值，它反映了机器人臂的当前状态。
位置表示机器人末端执行器的空间位置，可以用笛卡尔坐标系或关节坐标系表示。
2. 动力学概述工业机器人的动力学研究机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它涉及到力学模型、运动方程和运动控制等内容。
2.1 力学模型工业机器人的力学模型是描述机器人在运动过程中所受到的力和力矩的数学模型。
常用的力学模型有刚体模型和柔性模型。
刚体模型假设机器人的各个部件都是刚性的，柔性模型考虑了机器人部件的弯曲和振动等变形情况。
2.2 运动方程工业机器人的运动方程用来描述机器人的力学特性和运动状态之间的关系。
它由动力学方程和约束方程组成。
动力学方程描述机器人关节角度、速度和加速度之间的关系，约束方程描述机器人末端执行器的位置和姿态。
2.3 运动控制工业机器人的运动控制是指通过控制机器人的电机和执行器来实现机器人的预定运动轨迹。
常用的运动控制方法有逆运动学、轨迹规划和力控制等。
工业机器人技术(运动学)
x'xcos ysin 即 y' xcos xsin
z坐标未变，故z’=z
写成矩阵形式为
x' cos sin 0 0x
y' sin cos 0 0y
z' 0
0 1 0z
1
0
0 0 11
记为 a ' Ro z,ta
同理：
1 0
0 0
Rot(x,) 0 cos sin 0 0 sin cos 0
1
使Q ①绕z轴旋转90°：Rot（z，90°） ②再绕y轴旋转90°：Rot（y，90°） ③再沿x轴方向平移4：Trans（4，0，0）
楔块变为图（b）状态。
4 4 6 6 4 4
Q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 4 4
1 1
1
11
1
3.1.2齐次变换及运算
刚体的平移、旋转运动均可由齐次变换矩阵表示，刚体 变换后的位姿可由其原始描述矩阵乘以齐次变换矩阵得 到。 平移的齐次变换 如图3.6，A点（x，y，z）平移至 A’（x’，y’，z’）即
逆向运动学：对于给定的机器人手部的位姿，可用逆向运动 学来计算每一个关节变量的值。
3.1.1工业机器人位姿描述
1.点的位置描述
如图3.1，空间任一点P的位置在直
角坐标系｛A｝中可用（3ⅹ1）的
位置矢量Ap表示为:
AP
P P
x y
P z
其中Px、Py、Pz 是点P的三个位置坐标分量。
2.点的齐次坐标
kxk kx y 2((1 1 c co o))ss k czsoisn
kykx(1co)skzsin ky 2(1co)scos
kzkx(1co)skysin kzky(1co)skxsin
工业机器人的工具坐标系、工件坐标系、世界坐标系标定
⼯业机器⼈的⼯具坐标系、⼯件坐标系、世界坐标系标定第3章机器⼈的坐标系及标定机器⼈的坐标系是机器⼈操作和编程的基础。
⽆论是操作机器⼈运动，还是对机器⼈进⾏编程，都需要⾸先选定合适的坐标系。
机器⼈的坐标系分为关节坐标系、机器⼈坐标系、⼯具坐标系、世界坐标系和⼯件坐标系。
通过本章的内容，掌握这⼏种坐标系的含义其标定⽅法。
3.1 实验设备六⾃由度机器⼈3.2 机器⼈的坐标系对机器⼈进⾏轴操作时，可以使⽤以下⼏种坐标系：（1）关节坐标系—ACS（Axis Coordinate System）关节坐标系是以各轴机械零点为原点所建⽴的纯旋转的坐标系。
机器⼈的各个关节可以独⽴的旋转，也可以⼀起联动。
（2）机器⼈（运动学）坐标系—KCS（Kinematic Coordinate System）机器⼈（运动学）坐标系是⽤来对机器⼈进⾏正逆运动学建模的坐标系，它是机器⼈的基础笛卡尔坐标系，也可以称为机器⼈基础坐标系或运动学坐标系，机器⼈⼯具末端（TCP）在该坐标系下可以进⾏沿坐标系X轴、Y轴、Z轴的移动运动，以及绕坐标系轴X轴、Y轴、Z轴的旋转运动。
（3）⼯具坐标系—TCS（Tool Coordinate System）将机器⼈腕部法兰盘所持⼯具的有效⽅向作为⼯具坐标系Z轴，并把⼯具坐标系的原点定义在⼯具的尖端点（或中⼼点）TCP（TOOL CENTER POINT）。
但当机器⼈末端未安装⼯具时，⼯具坐标系建⽴在机器⼈的法兰盘端⾯中⼼点上，Z轴⽅向垂直于法兰盘端⾯指向法兰⾯的前⽅。
当机器⼈运动时，随着⼯具尖端点（TCP）的运动，⼯具坐标系也随之运动。
⽤户可以选择在⼯具坐标系下进⾏⽰教运动。
TCS坐标系下的⽰教运动包括沿⼯具坐标系的X轴、Y轴、Z轴的移动运动，以及绕⼯具坐标系轴X轴、Y轴、Z轴的旋转运动。
（4）世界坐标系—WCS（World Coordinate System）世界坐标系是空间笛卡尔坐标系。
运动学坐标系和⼯件坐标系的建⽴都是参照世界坐标系建⽴的。
工业机器人运动学
（2）圆柱坐标
由于这些变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴
的，因此由这三个变换所产生的总变换可以通过依
次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tcyl (r, ,l) Trans(0, 0,l)Rot(z, )Trans(r, 0, 0)
1 0 0 0 C S 0 0 1 0 0 r
动组成，运动顺序为：先沿z轴平移r ,再y轴旋转 β并 绕z轴旋转γ。这三个变换建立了手坐标系与参考坐标
系之间的联系。由于这些变换都是相对于全局参考坐
标系的坐标轴的，因此有这三个变换所产生的总变换
可以通过一次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tsph r, , Rotz, Roty, Trans0,0, r
解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
RTP
Tsph
C S S
C
0
S S
rS
S
C
rC
0
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3-15假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在3 4，7T 计算机器人的关节变量。
解： 设定正运动学方程用式（3.35）中的Txph 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
《工业机器人技术》课程教学简案
《工业机器人技术》课程教学简案教学内容第五章搬运机器人及操作应用教学目的1. 了解搬运机器人的特点。
2. 掌握搬运机器人的组成、示教。
重点难点1. 了解搬运机器人的特点。
2. 掌握搬运机器人的组成、示教。
教学手段多媒体教学+板书学时分配 4教学过程设计教学步骤及内容：一、搬运机器人的特点搬运机器人具有通用性强、工作稳定的优点，且操作简便、功能丰富，逐渐向第三代智能机器人发展。
图片讲解1）龙门式搬运机器人、2、摆臂式搬运机器人3、作业顺序二、搬运机器人的系统组成搬运机器人是一个完整系统。
以关节式搬运机器人为例，其工作站主要有:1) 操作机2）控制系统3）搬运系统（气体发生装置、真空发生装置和手爪等）4）安全保护装图片讲解教学小结如何准确移动搬运机器人进行搬运作业？教学内容第六章码垛机器人及操作应用教学目的1. 了解码垛机器人的特点。
2. 掌握码垛机器人的组成、示教。
重点难点1. 了解码垛机器人特点。
2. 掌握码垛机器人的组成、示教。
教学手段多媒体教学+板书学时分配 4教学过程设计教学步骤及内容：一、码垛机器人的特点码垛机器人与搬运机器人在本体结构上没有过多区别，通常可认为码垛机人本体较搬运机器人大，在实际生产当中码垛机器人多为四轴且多数带有辅助连杆，连杆主要起到增加力矩和平衡的作用，码垛机器人多不能进行横向纵向移动，安装在物流线末端。
1）关节式码垛机器人2）摆臂式码垛机器人3）龙门式码垛机器人。
二、码垛机器人的系统组成、示教。
码垛机器人是一个完整系统。
以关节式搬运机器人为例，其工作站主要有:1) 操作机2）控制系统3）码垛系统4）安全保护装。
工业机器人课件第三章 机器人运动学
T3= A1 A2 A3
称这些A矩阵的乘积为T矩阵，其前置上标若为0，则可省略。对于六 连杆机械手，有下列T矩阵
T6= A1 A2 A3 A4 A5 A6
手爪坐标系
机械手的运动方向 原点由矢量p表示。 接近矢量a：z轴设在手指接近物体的方向，称为接近矢量 方向矢量o：y轴设在两手指的连线方向，称为方位矢量 法线矢量n：x轴由右手系确定， 即 n = o a ，称为法向矢量。
0 sin i cos i 0
0 0 0 1
对于在第i坐标系中的点ri在第i—1坐标系中表示为:
ri 1 i 1Ai ri
确定第i坐标系相对于机座坐标系的位置的齐次变换矩阵i-1Ti是 各齐次变换矩阵Ai的连乘积，可表示成
0
Ti A1 A2 A3 A4 A5 A6 A j
பைடு நூலகம்
cos i sin cos i i 1 sin i sin i 1 0
例 建立右图所示机器人相邻坐标 系间的转换矩阵 解：建立的坐标系如右图，这是二维坐 标系(在三维空间中，各坐标系的z轴垂 直于纸面)，其相邻坐标系的变换矩阵 为
A1 Rz ,Tx ,l1
第三章 机器人运动学
§ 3.1 机器人运动方程的表示
机器人的机械手看作是一系列由关节连接起来的连杆构成的。为机 械手的每一连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间 的相对位置和姿态。通常把描述一个连杆与下一个连杆间相对关系的 齐次变换叫做A矩阵。一个A矩阵就是一个描述连杆坐标系间相对平移 和旋转的齐次变换。如果A1表示第一个连杆对于基系的位置和姿态， A2表示第二个连杆相对于第一个连杆的位置和姿态，则第二个连杆在 基系中的位置和姿态可由下列矩阵的乘积给出 T2= A1 A2 同理，若A3表示第三个连杆相对于第二个连杆的位置和姿态，则有
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D-H参数法；
实例分析； 机器人逆运动学。
3.1 概述
机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成---开式链
结构。 机器人手部在空间的位置和姿态是实现对机器人控制 首先要解决的问题 通常把坐标系固定于每一个连杆的关节上，如果知道
了这些坐标系之间的相互位置与姿态，手部在空间的
位置与姿态也就能够确定了。 那么如何来描述两个相邻坐标系之间的相互关系呢？ -------齐次坐标变换。
T
式中
X x, y, z ,1
X0 1
X b xb , yb , zb ,1
T
R T 0
叫做齐次坐标变换矩阵（Homogeneous Coordinate Transformation Matrix），包含了两级坐标变换之间的位置 平移和角度旋转的两方面信息。
4i 3 j 7k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
0 1 T T1T2T3 0 0
0 0 1 0
1 4 0 3 0 7 0 1
绕动坐标系变换的几何表示
z,w
T1=Trans(4,-3,7)
物体在空间的姿态：
用动坐标系三个坐标轴上单位矢量
即
ib , jb , kb
的方向来描述。
ib , jb , kb 相对于固定坐标系的方向余弦 （i ib , j ib , k ib）
（i jb , j jb , k jb）
注意：
单位矢量的方向余旋 =矢量的点积 =坐标值或投影
上式称为齐次坐标变换方程
3.3.2 举例
z b kb
1. 平移坐标变换（Translation）
动坐标系相对定坐标系平移 则
x0 , y0 , z0
o xi
zk
o, xb i b y j yb j b
1 0 0 R 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X0 y 0 z0
4i 3 j 7k 。试求合成齐次坐标变换矩阵T。
解 活动坐标系绕固定坐标系z轴旋转900，其齐次变换为
0 1 1 0 T1 Rot( z,90) 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
活动坐标系再绕固定坐标系y轴旋转900，其齐次变换为
0 0 T2 Rot( y,90) 1 0
上述例题坐标变换的几何表示如图所示。
z,w
绕固定轴
T1=Rot(z,90)
z,w v o,o
,
z,v
绕固定轴
T2=Rot(y,90)
v w o,
沿固定轴
T3=Trans(4,-3,7)
u o x
z
o,o x,u
,
y,v
x
y,u
o,o x,w
,
y,u
y
以上变换是相对固定坐标系进行的，这里尤其需要注意 的是变换次序不能随意调换，因为矩阵的乘法不满足交换 率，例如
0 1 R 0 cos 0 sin
sin cos 0
xb i b xi
0 1 0 cos T Rot( x, ) 0 sin 0 0
0 sin cos 0
0 0 0 1
同学计算：
绕y轴旋转
笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates)
二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为 x-轴 和 y-轴;两个坐标轴的相交点，称为原点。这两个不同线的坐标 轴，决定了一个平面，称为 xy-平面，又称为笛卡尔平面。通常两个 坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习 惯性地x-轴水平摆放，称为横轴，通常指向右方;y-轴竖直摆放而称为 纵轴，通常指向上方。两个坐标轴这样的位置关系，称为二维的右手 坐标系，或右手系。 右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时， 大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间 直角坐标系，称为笛卡尔坐标。
进一步整理写成矢量形式为
X RX b X 0
该式称为坐标变换方程。其中，
X x, y , z
T
X b xb , yb , zb
T
T
X 0 x0 , y0 , z0
被称作位置矩阵，表示动坐标系原点到固定坐标系 原点之间的距离。
可以进一步表示为
X TX b
z
k
其中
op xi +yj +zk
o i x
j
y
oo, x0i +y0 j +z0k
o, p xbib +yb jb +zb kb
代入、写成矩阵形式：
x x0 xb [i, j , k ] y [i, j , k ] y0 +[ib , jb , k b ] yb z z0 zb
该矩阵描述了 ib , jb , kb 与
i jb j jb k jb
i, j , k
i kb j kb k kb
两组单位矢量之间的关系
令
i ib R j ib k ib
i jb j jb k jb
i kb j kb k kb
0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 T Trans( x0 , y0 , z0 ) 0 0
x0 y0 z0 1
2. 旋转坐标变换（Rotation） 绕x轴旋转
zk
oo
,
T
按右手规则确定旋 转方向，即
z b kb
yb j b y j
X 0 0, 0, 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
活动坐标系再平移 4i 3 j 7k ，有
1 0 T3 Trans(4, 3, 7) 0 0
0 1 0 0
0 4 0 3 1 7 0 1
合成齐次变换矩阵为
物理意义：
0 1 T T3T2T1 0 0
w o, u x v
z
z o, v o x
绕动轴w T3=Rot(z,90)
绕动轴v T2=Rot(y,90)
v w o
,
u o x
z
o,o, x,u
y,v
o y
w u
y
y
结论：若每次的变换是相对于固定坐标系进行的，则 矩阵左乘；若每次的变换是相对于动坐标系进行的， 则矩阵右乘。
The End! 谢 谢！
3.2 物体在空间中的位姿描述
zb
固定坐标系：{o:x, y, z; i, 经过平移、旋转变化得到的 动坐标系： {o
,
j , k}
z
k
kb
ib o
,
yb jb
: xb ,yb , zb ; ib , jb , kb }
i o x
xb j
y
物体在空间的位置：即
x0 X 0 y0 z0
R由方向余弦构成的3×3阶矩阵，表示动坐标系相对固定坐 标系的姿态，所以被称作姿态矩阵。
3.3 齐次坐标变换
3.3.1齐次坐标变换
z
zb
kb jb o, ib xb
yb P
假设机器人手部拿一个钻头在
工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的
o i x
k
位置，求P点相对于基座的位
置。
j
y
i jb jb [i, j , k ] j j b k jb
i kb kb [i, j , k ] j k b k b , jb , kb ] [i, j , k ] j i b k ib
再根据 与 i , j , k i, 的关系 b b b
j, k
x i ib y j i b z k ib
i jb j jb k jb
i k b xb x0 j k b y b y0 k kb zb z0
k x k x Vers c k k Vers k s z T Rot(k , ) x y k x k z Vers k y s 0
k z k x Vers k y s k z k y Vers k x s k z k z Vers c 0 0 0 0 1
的坐标变换矩阵T=？
绕Z轴旋转
的坐标变换矩阵T=？
3. 广义旋转坐标变换 绕经过坐标系原点的任一矢量k进行的 旋转变换称为广义旋转变换。设
z
k
θ
k kxi k y j k z k
k x k k z =1
2 2 y 2
表示过原点的单 位矢量，且
o x
y
则绕矢量k旋转 的坐标变换矩阵为
（i kb , j kb , k kb）
i ib i ib cos cos
对于任一矢量
z
P k
op xi yj zk [i
，
x j k] y z
j
i x o y
所以
，
i ib ib [i, j , k ] j i b k ib