高二下学期期末复习数学自测练习题4
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)
2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 (IV)本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）1．若集合{}{}084|,51|<+-=<-=x x B x x A ，则=B A （ ） A ．{}6|<x x B ．{}2|>x x C ．{}62|<<x x D ． ∅ 2．函数)4(log 3-=x y 的定义域为 （ ）A ．RB ．),4()4,(+∞-∞C ．)4,(-∞D ． ),4(+∞3．某电视台在娱乐频道节目播放中，每小时播放广告20分钟，那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为 （ ）A ．12 B ．13 C ．14D ．164．在等比数列{}n a 中，*0()n a n N >∈且,16,464==a a 则数列{}n a 的公比q 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知3(,sin ),2a α=1(cos ,)3b α=且//,a b 则锐角α的大小为 （ ） A ．4πB ．3πC ．6πD ．125π6．按照程序框图(如右图)执行， 第3个输出的数是( ).A ．3B ．4C ．5D ．67．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图 是一个圆，那么这个几何体的体积为 （ ） A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．已知函数b x x x f +-=2)(2在区间)4,2(内有唯一零点，则b 的取值范围是（ ） A ． R B ．)0,(-∞ C ．),8(+∞- D ．)0,8(-9.若实数,x y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3 10.已知长方体的相邻三个侧面面积分别为6,3,2,则它的体积是( )A ．5B ．6 C.5 D ．611．三个数21log ,)21(,33321===c b a 的大小顺序为 （ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<12．设函数x x f 6sin )(π=，则)2009()3()2()1(f f f f ++++ 的值等于( )A ．21B ．23C ．231+ D ．32+二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知函数1322(),log (21)2x xe xf x x -⎧<=⎨-≥⎩则=))2((f f ．14．在⊿ABC 中，已知====c C b a 则,3,4,3π．15. 已知5sin =5α则44sin cos αα-的值是 . 16．某厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件，则样本容量n ＝ ． 三、解答题：(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高中高二数学下学期期末复习试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q=．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2=．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为．6．已知则满足的x值为．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．2014-2015学年某某省某某市东海县石榴高中高二（下）期末数学复习试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．已知集合P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过理解集合的表示法化简集合P和集合Q，两集合的交集是集合P和Q中的共同的数．解答：解：∵P={﹣4，﹣2，0，2，4}，Q={x|﹣1＜x＜3}，∴P∩Q={0，2}故答案为：{0，2}点评：本题考查集合的表示法、集合交集的求法．2．若复数z1=3+4i，z2=1+2i（i是虚数单位），则z1﹣z2= 2+2i ．考点：复数代数形式的加减运算．专题：计算题．分析：根据复数减法的运算法则，当且仅当实部与虚部分别相减可求．解答：解：Z1﹣Z2=（3+4i）﹣（1+2i）=2+2i故答案为：2+2i点评：本题主要考查了复数减法的基本运算，运算法则：当且仅当实部与虚部分别相减，属于基础试题．3．命题：∀x∈R，sinx＜2的否定是“∃x∈R，sinx≥2”．考点：命题的否定．分析：根据命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题，其否定为特称命题，即“∃x∈R，sinx≥2”．从而得到本题答案．解答：解：∵命题“∀x∈R，sinx＜2”是全称命题．∴命题的否定是存在x值，使sinx＜2不成立，即“∃x∈R，sinx≥2”．故答案为：“∃x∈R，sinx≥2”．点评：本题给出全称命题，求该命题的否定形式．着重考查了含有量词的命题的否定、全称命题和特称命题等知识点，属于基础题．4．复数z=（1+3i）i（i是虚数单位），则z的实部是﹣3 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，化简=（1+3i）i，依据使不得定义求得z的实部．解答：解：复数z=（1+3i）i=﹣3+i，故实部为﹣3，故答案为﹣3．点评：本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，以及复数为实数的条件．5．已知函数y=f（x），x∈[0，2π]的导函数y=f′（x）的图象，如图所示，则y=f（x）的单调增区间为[0，π]．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：数形结合．分析：根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减；从图中找到f′（x）≥0的区间即可．解答：解：据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减由图得到x∈[0，π]时，f′（x）≥0故y=f （x）的单调增区间为[0，π]故答案为[0，π]点评：本题考查函数的单调性与导函数符号的关系：f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减6．已知则满足的x值为 3 ．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．分析：分x≤1和x＞1两段讨论，x≤1时，得，x＞1时，得，分别求解．解答：解：x≤1时，f（x）=，x=2，不合题意，舍去；x＞1时，，=3综上所示，x=3故答案为：3点评：本题考查分段函数求值问题，属基本题．7．函数在[2，4]上是增函数的充要条件是m的取值X围为．考点：利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求导函数，要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，故可建立不等式，解之即可求得m的取值X围．解答：解：求导函数要使函数在[2，4]上是增函数，则﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，构建函数g（x）=﹣x2+mx+2，因为函数图象恒过点（0，2），所以﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立，只需m根据函数的单调递增，解得，即所求m的X围为故答案为：点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，将问题转化为﹣x2+mx+2≥0在[2，4]上恒成立．8．已知函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值X 围是﹣1≤a＜7 ．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，进而验证a=﹣1与a=7时是否符合题意，即可求答案．解答：解：由题意，f′（x）=3x2+4x﹣a，当f′（﹣1）f′（1）＜0时，函数f（x）=x3+2x2﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，解得﹣1＜a＜7，当a=﹣1时，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣，当a=7时，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上无实根，则a的取值X围是﹣1≤a＜7，故答案为﹣1≤a＜7．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，则a+b的最小值为8 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为35，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．解答：解：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是（0，0），（0，1），（，0），（2，3），由图易得目标函数在（2，3）取最大值35，即35=2ab+3∴ab=16，∴a+b≥2 =8，在a=b=8时是等号成立，∴a+b的最小值为8．故答案为：8点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．10．曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为e2．考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：先利用复合函数求导法则求已知函数的导函数，再利用导数的几何意义求切线斜率，进而利用直线的点斜式写出切线方程，最后求直线与坐标轴的交点，计算直角三角形的面积即可解答：解：y′=，y′|x=4=e2∴曲线在点（4，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4）即y=e2x﹣e2令x=0，得y=﹣e2，令y=0，得x=2∴此切线与坐标轴所围三角形的面积为×2×e2=e2故答案为e2点评：本题主要考查了导数的几何意义，求曲线在某点出的切线方程的方法，利用导数求切线方程是解决本题的关键11．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．12．已知实数a，b，c满足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，则b的取值X围是[1，5]．考点：函数最值的应用．专题：计算题；综合题．分析：根据a+b+c=9，ab+bc+ca=24，得到a+c=9﹣b，并代入ab+bc+ca=24，得到ac=24﹣（a+c）b，然后利用基本不等式ac，即可求得b的取值X围．解答：解：∵a+b+c=9，∴a+c=9﹣b，∵ab+ac+bc=（a+c）b+ac=24，得ac=24﹣（a+c）b；又∵ac，∴24﹣（a+c）b，即24﹣（9﹣b）b，整理得b2﹣6b+5≤0，∴1≤b≤5；故答案为[1，5]．点评：此题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意基本不等式成立的条件为一正、二定、三等，以及消元思想的应用，属中档题．13．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．解答：解：令h（x）=f（x）g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x），因此函数h（x）在R上是奇函数．①∵当x＜0时，h′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，∴h（x）在x＜0时单调递增，故函数h（x）在R上单调递增．∵h（﹣3）=f（﹣3）g（﹣3）=0，∴h（x）=f（x）g（x）＜0=h（﹣3），∴x＜﹣3．②当x＞0时，函数h（x）在R上是奇函数，可知：h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h （3）=﹣h（﹣3）=0，∴h（x）＜0，的解集为（0，3）．∴不等式f（x）g（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故答案为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．点评：恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．14．观察下面的数阵，第20行第20个数是381 ．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25…考点：归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，由此可求出第20行第20个数．解答：解：观察这个数列知，第n行的最后一个数是n2，第19行的最后一个数是192=361，∴第20行第20个数是361+20=381．故答案为：381．点评：本题给出三角形数阵，求第20行第20个数，着重考查了递归数列和归纳推理等知识点，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分0分）15.给定两个命题：p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根，如果p和q中至少有一个为真命题，某某数a的取值X围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题p为真时，实数a的取值X围，根据二次函数有实根的充要条件，我们可以求出命题q为真时，实数a的取值X围，则命题p，q中一个为真，分类讨论后，即可得到实数a的取值X围．解答：解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔△=1﹣4a≥0⇔a≤；p和q中至少有一个为真命题如果p真q假，则有0≤a＜4，且a＞，∴＜a＜4；如果p假q真，则有a＜0，或a≥4，且a≤∴a＜0；如果p真q真，则有0≤a＜4，且a≤，∴0≤a≤；所以实数a的取值X围为（﹣∞，4）点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题的真假，函数恒成立问题，其中判断出命题p与命题q为真时，实数a的取值X围，是解答本题的关键．16.已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．解答：解：∴z1=2﹣i设z2=a+2i（a∈R）∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i∵z1•z2是实数∴4﹣a=0解得a=4所以z2=4+2i点评：本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．17.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a，b，c的值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）观察图象满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值，求出x0的值；（2）根据图象可得f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，建立三个方程，联立方程组求解即可．解答：解：（Ⅰ）由图象可知，在（﹣∝，1）上f'（x）＞0，在（1，2）上f'（x）＜0．在（2，+∝）上f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∝，1），（2，+∝）上递增，在（1，2）上递减．因此f（x）在x=1处取得极大值，所以x0=1．（Ⅱ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由f'（1）=0，f'（2）=0，f（1）=5，得解得a=2，b=﹣9，c=12．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及观察图形的能力，属于基础题．18.因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为y=a•f（x），其中f（x）=．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．（Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过a=4可知y=，分别令每段对应函数值大于等于4，计算即得结论；（Ⅱ）通过化简、利用基本不等式可知y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=（14﹣x）+﹣a﹣4≥﹣a﹣4，再令﹣a﹣4≥4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴y=，当0≤x≤4时，由﹣4≥4，解得x≥0，∴此时0≤x≤4；当4＜x≤10时，由20﹣2x≥4，解得x≤8，∴此时4＜x≤8；综上所述，0≤x≤8，即若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天；（Ⅱ）当6≤x≤10时，y=2•（5﹣x）+a[﹣1]=10﹣x+﹣a=（14﹣x）+﹣a﹣4，∵14﹣x∈[4，8]，而1≤a≤4，∴∈[4，8]，∴y=（14﹣x）+﹣a﹣4≥2﹣a﹣4=﹣a﹣4，当且仅当14﹣x=即x=14﹣4时，y有最小值为﹣a﹣4，令﹣a﹣4≥4，解得24﹣16≤a≤4，∴a的最小值为24﹣16≈1.6．点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19.试比较n n+1与（n+1）n（n∈N*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出n n+1与（n+1）n（n∈N*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．解答：解：当n=1时，n n+1=1，（n+1）n=2，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=2时，n n+1=8，（n+1）n=9，此时，n n+1＜（n+1）n，当n=3时，n n+1=81，（n+1）n=64，此时，n n+1＞（n+1）n，当n=4时，n n+1=1024，（n+1）n=625，此时，n n+1＞（n+1）n，根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．证明：①当n=3时，n n+1=34=81＞（n+1）n=43=64即n n+1＞（n+1）n成立．②假设当n=k时，k k+1＞（k+1）k成立，即：＞1则当n=k+1时，=（k+1）（）k+1＞（k+1）（）k+1=＞1即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，∴当n≥3时，n n+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．点评：本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．20.对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，某某数a的X围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：证明题；综合题；压轴题．分析：（1）构造函数，通过研究h（x）的导数得出其单调性，从而得出其在区间[[1，e]上的值域，可以证出f（x）能被g（x）替代；（2）构造函数k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得在区间上函数k（x）为减函数，在区间（1，m）上为增函数，因此函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）大于1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）根据题意得出不等式，去掉绝对值，再根据x﹣lnx的正负转化为或，通过讨论右边函数的最值，得出实数a的X围解答：解：（1）∵，令，∵，∴h（x）在[1，e]上单调增，∴．∴|f（x）﹣g（x）|≤1，即在区间[[1，e]]上f（x）能被g（x）替代．（2）记k（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，可得当时，k′（x）＜0，在区间上函数k（x）为减函数，当1＜x＜m时，k′（x）＞0，在区间（1，m）上函数k（x）为增函数∴函数k（x）在区间的最小值为k（1）=1，最大值是k（m）＞1，所以不满足对于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，故f（x）在上不能被g（x）替代；（3）∵f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，即|f（x）﹣g（x）|≤1对于x∈[1，e]恒成立．∴．，由（2）知，当x∈[1，e]时，x﹣lnx＞0恒成立，∴有，令，∵=，由（1）的结果可知，∴F'（x）恒大于零，∴．②，令，∵=，∵，∴G'（x）恒大于零，∴，即实数a的X围为点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论解决了不等式恒成立的问题，属于难题．。
2024辽宁省高二下学期期末考试数学试题及答案
2023-2024学年度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题高二数学（中档）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ＜2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A ⋂B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1}C ．{x |﹣3≤x ≤2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．数列{a n }中，“a n 2＝a n ﹣1•a n +1（n ≥2）”是“数列{a n }为等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（ ） A ．72B ．144C ．288D ．1564. 已知指数曲线e bx y a =进行适当变换后得到的方程为1u x =−，则二次函数2y x bx a =++的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞B. 3,10+∞C. 1,2+∞D. (1,)+∞5. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()211323nnn n n n S a S S ++−=+⋅，则2023S =（ ）A202331−B. 2023312C.2023312+ D. 2022312+6．已知，则必有（ ）A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c 且a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞b 且a ＞c7. 已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X ，则下列选项中正确的是（ ）A. (21)160E X +=B. 303070100(30)C (0.8)(0.2)P X == .C. (21)32D X +=D. 存在50k ≠，使得()(100)P Xk P X k ===−成立8. 已知函数()(e 1)m f x x =−的图象恒在()e ln x g x x m =−−的图象的下方，则实数m 的取值范围是（ ） A (,1)−∞B. (,e 1)−∞−C. (0,1)D. (0,e 1)−二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若a b c d >>,，则a c b d +>+B. 若a b c d >>,，则ac bc >C. 若a b >，则22ac bc >D. 若0,0a b c <<>，则c ca b> 10. 下列命题正确的有（ ）A. 若等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则3S ，6S ，9S 成等差数列B. 若{}n a 为等比数列，且27366a a a a +=，则123881a a a a = C. 若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知210a =，且140S >，150S <，则n S 的最大值是7SD. 若(1)(41)nn b n =−−，则数列{}n b 的前2024项和为4048 11. 对于函数2()ln xf x x=，下列说法正确的是（ ） A. ()f x 在(1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减 B. 若方程(||)2f x m =有4个不等的实根，则e m > C. 当1201x x <<<时，1221ln ln x x x x <D. 设2()2g x x a =+，若对1x ∀∈R ，2(1,)x ∃∈+∞，使得()()122g x f x =成立，则e a ≥三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．13. 已知正实数x ，y 满足1x y +=，则63x y xy ++的最小值为______．.14. 设函数21()11f x x x =+−+，则使得()212log 2log 1f x f x >−− 成立的实数x 的取值范围是________.15. 艾萨克·牛顿，英国著名物理学家、数学家，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()()1n n n n x x f x f x +′−=，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数2()(0)f x ax bx c a ++>有两个零点1和3，数列{}n x 为牛顿数列，设3ln 1n n n x a x −=−，已知12a =，3n x >，则{}n a 的通项公式n a =______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 从①12|log (1)2A x x=+≥−;②11|282xA x =≤<;③31|21x A x x −=≤ + 三个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.已知集合_____，集合{}2|2,R B x m x m m =<<∈.（1）当1m =−时，求A B ∪；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16. 已知数列{}n a 是正项等比数列，且12a =，23231a a a a −=⋅，若数列{}n b 满足234b =，11n n nb b a +=+. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）已知111n n n n c b b a ++=⋅⋅，记12n n S c c c =+++ .若228n n tS n−≥恒成立，求实数t 的取值范围.17. 区教育局准备组织一次安全知识竞赛．某校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，记A ＝“性别为男”，B ＝“得分超过85分”，且()2|5P A B =，()5|8P B A =，()34P B =．（1）完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？性别了解安全知识的程度合计得分不超过85分人数得分超过85的人数男 女 合计（2）学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加区级别的竞赛，已知男生获奖的概率为34，女生获奖的概率为23，记该校获奖的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．下表是2χ独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α 0.1 0.050010.005 0.001a x2.7063.841 6.635 7.879 10.82818. 已知函数()ln 1x f x ax+=. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()()2112e e x xx x =（e 是自然对数的底数），且1>0x ，20x >，12x x ≠，证明：22122x x +>19. 已知函数()()()e ln 2R xf x a x a =−+∈，（1）若1a =−，求()f x 的图象在0x =处的切线方程；（2）若()0f x >对任意的()2,x ∈−+∞恒成立，求整数a 的最小值；的.（3）求证23341eln2ln ln ln23e1nnn+++++<−，Nn∗∈2023-2024学年度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题高二数学（中档）一、单选题： 二、多项选择题：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2513．)2 14．2n四、解答题：15．（1）{}23A B x x =|−<≤ （2）1,22−16．（1）212n n a −=，()1214n n b =− （2）24,5∞+17．（1）68X Y =−，()130256P X <= （2）分布列略，()10E X = 18.(1)当a<0时，函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减. (2)证明略 19．（1）31ln 22y x =−−− （2）1 （3）证明略题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DB BCCDB A题号 9 10 11 答案ADBCDBD。
期末模拟试卷(四)2020-2021学年高二下学期数学(理)(人教A版)(含解析)
人教A 版数学（理）高二下册期末模拟试卷（四）一、单选题1．命题“0x ∀>，sin 21x x x <-”的否定是（ ） A ．0x ∀>，sin 21x x x ≥- B ．0x ∃>，sin 21x x x ≥- C ．0x ∀≤，sin 21x x x <- D ．0x ∃≤，sin 21x x x ≥-2．已知zi +1=2i ，则|z |=（ ） A ．3B ．5C ．1D ．23．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形A ．3025B ．2025C ．1225D ．25254．为了了解某高中生对电视台某节目的态度，在某中学随机调查了110名同学，得到如下列联表： 男 女 总计 喜欢40 20 60不喜欢 20 30 50 总计60 50 110由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()22110403020207.860506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.()2P K k ≥ 0.050.01 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别无关”C ．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”D ．有99%的把握认为“喜欢该节目与性别无关” 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111152S S S =-，则611a a =（ ）A ．65B ．56 C ．1110D ．10116．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．07．在体育合格考中有甲、乙两科目，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人甲科目成绩一样，乙科目成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．杭师大附中天文台是学校图书馆处的标志性建筑．小金同学为了测量天文台CD 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高AB 为()1553m -，在它们之间的地面上的点M （B 、M 、D 三点共线）处测得楼顶A 、天文台顶C 的仰角分别是15︒和60︒，在阳台A 处测得天文台顶C 的仰角为30，假设AB CD ，和点M 在同一平面内，则小金可测得学校天文台CD 的高度为（ ）A ．20mB ．203mC ．30mD ．303m9．曲线3y ax x =-+在点()1,0P 处的切线方程是（ ） A ．220x y -+=B ．220x y ++=C ．220x y --=D ．220x y +-=10．据史料记载，早在元朝至正十一年(公元1351年)安庆就建有谯楼，后在朱元璋与陈友谅两军交战时被毁；明朝洪武元年重建，并将其作为知府衙署的望楼；乾隆年间，安徽布政使司由江宁移至安庆，谯楼又进行大规模修葺扩建，此后一直作为司署之所．保存下来的双檐楼阁谯楼，是清同治六年(公元1867年)由安徽布政使吴坤修牵头修建的．目前的谯楼是2006年安庆一中百年校庆时，由学校牵头，校友及教职工出资重新修整的，是安徽省文物保护单位.国庆期间，谯楼上到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ）A ．1191077 B ．160359C ．9581077 D ．289359 11．如图，在三棱锥P ABC -中，已知122PA PB AC ===，2AB BC ==，平面PAB ⊥平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（ ）A ．66B 5C ．33D 612．已知F 是椭圆2212y x +=的下焦点，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．12,22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝⎦D ．22⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．()62x -的展开式中所有的二项式系数之和为_________ .14．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin cos 0c A a C +=，则C =______.15．若不等式210x mx +-<对于任意[,1]x m m ∈+都成立，则实数m 的取值范围是__________. 16．已知函数()()2lg1sin 2f x x x x x =-+-++，若()220x f ax e -+<在()0,x ∈+∞上恒成立，则正实数a 的取值范围为________．三、解答题17．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)： （ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a a =，11n n a bS +=-，a ，b ∈R ．（1）若{}n a 为等比数列，求a ，b 满足的条件； （2）若2a b ==，设32log n n b a =，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132nT ≤<． 19．如图甲是由正方形ABCD ，等边ABE △和等边BCF △组成的一个平面图形，其中6AB =，将其沿,,AB BC AC 折起得三棱锥P ABC -，如图乙．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）过棱AC 作平面ACM 交棱PB 于点M ，且三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1∶2，求平面AMC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0)F ，直线l ：1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ FP ⊥，PQ l ⊥．（1）求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）直线4x my =+与曲线C 交于A ，B 两点，OA OB ⋅是否为定值，若是求出该定值，若不是说明21．已知函数2()x f x xe ax =-. （1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）1a =时，证明：当[]0,1x ∈时，21()x x x f x e x e+≥--. 22．已知曲线C 的参数方程为2224484t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数).（1）求曲线C 的普通方程；（2）过点()0,1P 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|P A |•|PB |的取值范围. 23．已知函数()|2|||f x x x a =---.（1）当1a =时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可求解. 【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，sin 21x x x <-”的否定是：0x ∃>，sin 21x x x ≥-， 故选：B. 2．B 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数模的公式计算可得； 【详解】解：因为12zi i +=，所以()212122i ii z i i i-+-+===+所以z ==故选：B 3．A 【分析】本题可借助组合数以及分步乘法计数原理得出结果. 【详解】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为221111C C 3025⋅=， 故选：A. 4．C 【分析】根据求出的数据，结合临界值表判断即可 【详解】 解：因为()22110403020207.8 6.63560506050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“喜欢该节目与性别有关”，或有99%的把握认为“喜欢该节目与性别有关”， 故选：C 5．A 【分析】由已知等式可得1152S S =，由等差数列性质知631110a a =，利用通项公式可求得6130d a =-，代入所求式子可得结果. 【详解】由111152S S S =-得：1152S S =，631110a a ∴=， 设等差数列{}n a 公差为d ，则()6611103a a d =-，解得：6130d a =-， 11666615566a a d a a a ∴=+=-=，661166556a a a a ∴==.故选：A. 6．B 【分析】先作出表示的可行域，由线性规划的几何意义，结合图像可得答案. 【详解】如图先作出不等式组2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示可行域.将2z x y =+化为2y x z =-+则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.如图，当直线2y x z =-+过点()0,2B 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最大， 则此时z 的值最大,故z 的最大值为0222⨯+= 故选：B7．B 【分析】由题意可知，最多有三个同学，验证是否成立，即可得出结论. 【详解】因为没有任意两个科目成绩一样，又因为成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种， 所以最多有三个同学.若有三个同学，则三个人可以为:A 优秀、不合格，:B 合格、合格，:C 不合格、优秀. 故选：B. 8．C 【分析】利用正弦定理可得sin sin AM CAM CM ACM⋅∠=∠，结合已知条件有sin 12ABAM π=、sin3CD CM π=⋅，即可求CD 的高度.【详解】由题意，4CAM π∠=，712AMC π∠=，即6ACM π∠=， ∴△CAM 中，sin sin AM CMACM CAM =∠∠，则sin sin AM CAM CM ACM⋅∠=∠，而sin 12ABAM π=，∵在△CDM中，5(3sin 4sin303sin sin 612CD CM ππππ⋅=⋅==⋅米.故选：C 9．D 【分析】求出函数的导函数，进一步求出()1f '，则切线斜率可求，由点斜式写出切线方程. 【详解】因为点()1,0P 在曲线3y ax x =-+上，解得1a =，2()31f x x '=-+， 所以2(1)3112f '=-⨯+=-，所以，曲线3y ax x =-+在点()1,0P 处的切线方程为02(1)y x -=--. 即220x y +-=. 故选：D 10．C 【分析】至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的对立事件是两个都是一大二小的灯球，故先计算对立事件的概率再求问题概率即可． 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=．故选：C 11．A 【分析】取AB 的中点为D ，连接PD ，证明PD ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【详解】取AB 的中点为D ，连接PD 因为PA PB =，所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB 所以PD ⊥平面ABC 因为122PA PB AC ===2AB BC == 所以AB BC ⊥如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,0,1,1,2,0,0B A P C 所以()()0,2,0,2,1,1AB PC =-=-- 所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为2626AB PC AB PC⋅==⋅⋅故选：A 12．A 【分析】由椭圆的方程可得下焦点F 的坐标，设直线AB 的方程，联立直线与椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，代入三角形的面积公式，换元，由函数的单调性可得面积的取值范围. 【详解】解：由椭圆的方程可得22a =，21b =， 所以2221c a b =-=，所以下焦点()0,1F-，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：()222210k x kx +--=， 可得：12222kx x k +=+，12212x x k-=+， 所以12111||222AOBS OF x x =⋅-===△∣，设211t k =+≥，则12AOB S ==△因为1t ≥，所以1y t t=+单调递增， 所以12t t+≥，所以1122AOB S ≤=△， 故选：A. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 13．64 【分析】利用二项展开式()()na b n N *+∈的二项式系数和为2n可得结果.【详解】由题意可知，()62x -的展开式中所有的二项式系数之和为6264=. 故答案为：64. 14．34π 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得． 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0C A A C +=．(0,),(0,)A C ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0C C +=，即tan 1=-C ，3.4C π∴=故答案为：34π． 15．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由判别式2m 40∆=+>，求得210x mx +-<的解集，由题知，[,1]x m m ∈+是不等式解集的一个子集，列出满足的条件，解不等式组即可求得参数取值范围. 【详解】对于方程210x mx +-=，2m 40∆=+>，其两个根为x =，则210x mx +-<x <<由题知，[,1]x m m ∈+是不等式解集的一个子集，则3321mmm m <>-⇔>+>+，解得(2m ∈-故答案为：(2- 【点睛】关键点点睛：将问题转化为不等式解集的一个子集，从而求解.最后解不等式组时，需对参数m 分类讨论，通过平方解得. 16．(]0,2 【分析】利用导数分析可知函数()f x 为R 上的增函数，由()220x f ax e -+<可知220x e ax -->对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()22xg x e ax =--，其中()0,x ∈+∞，对正实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在()0,∞+上的单调性，验证()()0g x g >是否对任意的()0,x ∈+∞恒成立，综合可得出正实数a 的取值范围. 【详解】()))lgsin 2sin 2lgsin 2x f x x x x x x x x=-++=++=++，则()1cos 22cos 0f x x x ⎛⎫'=+++=+>⎪⎭，所以，函数()f x 在R 上为增函数，且()00f =， 由()220x f ax e -+<可得220x ax e -+<，即220x e ax -->对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()22x g x e ax =--，其中()0,x ∈+∞，且()00g =，()2xg x e a '=-.因为0a >，令()20xg x e a '=-=，可得ln2a x =. ①若ln02a≤，即当02a <≤时，()0g x '>对任意的()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，合乎题意； ②若ln02a >，即当2a >时，当0ln 2a x <<时，()0g x '<；当ln 2ax >时，()0g x '>.所以，()()minln 002a g x g g ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，不合乎题意.综上所述，正实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 17．（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值i a ，由6110()i ii v a f ==∑即可求平均车速.（2）由题设易知(70.5,210.25)vN ，（i ）(85)()P v P v μσ≥=≥+，结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii ）由（i ）知车速低于85千米/时的概率，则(10,0.84135),X B 利用二项分布的期望公式即可求期望. 【详解】 （1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时.∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时. （2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)vN ，则70.5,14.5μσ==，（i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.18．（1）1a =-且1b ≠-；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据,n n a S 的关系及所给递推关系可得()11n n a b a +=+，根据等比数列求解即可； （2）根据裂项相消法求和即可. 【详解】（1）2n ≥时，11n n a bS +=-，11n n a bS -=-， 两式相减：()11n n a b a +=+， ∴()211a b a =+， ∵211a ba =-， ∴1a =-且1b ≠-．（2）由（1）13(2)n n a a n +=≥，122,3a a ==， 所以12,13,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，2123n n a -= 21n b n =-，()()111111111212122121221nnn k k T k k k k n ==⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭∑∑，{}n T 是递增数列，113n T T ≥=∴11132n T T =≤<．19．（1）证明见解析；（2）15． 【分析】（1）由题意，先证明PO AC ⊥，PO OB ⊥，从而可证明PO ⊥平面ABC ，进而可证平面PAC ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系O xyz -，求出所需点的坐标、向量坐标，进而求出平面PBC 的法向量n 、平面AMC 的法向量m ，最后根据二面角余弦值为cos cos ,m n θ=<>即可求解. 【详解】解：（1）证明：如图，取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ． ∵PA PC =，∴PO AC ⊥， ∵6PA PC ==，90APC ∠=︒， ∴1322PO AC ==，同理32BO =，又6PB =， ∴222PO OB PB +=， ∴PO OB ⊥， ∵ACOB O =，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC ；（2）如图建立空间直角坐标系O xyz -，则()32,0,0A ，()32,0,0C -，()0,32,0B ，(0,0,32P ，∴()32,32,0CB =，(32,0,32CP =， ∵三棱锥P ACM -和B ACM -的体积比为1∶2， ∴:1:2PM BM =，∴()0,2,22M ， ∴()32,2,22AM =-，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则3232032320x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得()1,1,1n =--， 同理，求得平面AMC 的法向量为()0,2,1m =-，所以所求二面角余弦值为15cos cos ,15m n m n m nθ⋅=<>==． 20．（1）24y x =()0x >；（2）定值0． 【分析】(1)利用给定条件探求出QP QF =，再根据定义确定曲线C 的形状即可作答；(2)联立直线4x my =+与曲线C 的方程组，消元，借助韦达定理求出OA OB ⋅即可作答. 【详解】（1）R 是线段PF 与y 轴的交点，直线l 和y 轴平行，则R 是线段PF 的中点，如图：又RQ FP ⊥，于是QR 是线段PF 的中垂线，即得QP QF =，而PQ l ⊥，动点Q 到点F 的距离等于到直线l 的距离，动点Q 的轨迹是开口向右的抛物线，F 是焦点，l 是准线，依题意动点Q 不能与O 重合，故动点Q 的轨迹C 的方程24y x =()0x >； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，10y ≠，20y ≠，由244x my y x=+⎧⎨=⎩得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-， 则有22212121212(16)(16)04416y y OA OB x x y y y y -⋅=+=⋅+=+-=，所以OA OB ⋅为定值0．21．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由函数零点的定义，得到0x =是函数()f x 的一个零点，将问题转化为xe a x =有几个根，构造函数()(0)xe g x x x=≠，利用导数研究其性质，作出其图象，由y a =与()y g x =的交点个数即可得到函数()f x 的零点个数； （2）构造函数21()()xxx F x f x x e e +=+-+，转化为证明证明()(1)(1)0x x F x x e x e -=-++≥对[0,1]x ∈恒成立，利用导数研究()F x 的最小值，即可证明. 【详解】（1）解：由题意，令()0f x =，即20x xe ax -=，解得0x =或0x e ax -=， 由此可知0x =是函数()f x 的一个零点，当0x ≠时，由0xe ax -=可得xe a x=，令()(0)x e g x x x =≠，则2(1)()x e x g x x '-=， 当1x >时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当0x <或01x <<时，()0g x '<，则()g x 单调递减，又当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()g x 的最小值为()1g e =， 当0x →或x →+∞时，()g x →+∞，故()g x e ≥，作出()g x 的图象如图所示，则直线y a =与()g x 图象的交点情况如下： 当0a e ≤<时，有0个交点； 当a e =或0a <时，有1个交点； 当a e >时，有2个交点.综上所述，当0a e ≤<时，函数()f x 有1个零点； 当a e =或0a <时，函数()f x 有2个零点； 当a e >时，函数()f x 有3个零点；（2）证明：当1a =时，令21()()(1)(1)xx x x x F x f x x e x e x e e-+=+-+=-++， 即需证明()(1)(1)0x x F x x e x e -=-++≥对[]0,1x ∈恒成立，因为()()0x xF x x e e-'=-≥对[]0,1x ∈恒成立， 所以()F x 在[]0,1上单调递增，所以当[]0,1x ∈时，()()min (0)0F x F x F ≥==， 即证明()0F x ≥对[]0,1x ∈恒成立， 所以当[]0,1x ∈时，21()x xx f x e x e +≥--. 【点睛】方法点睛：解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法(直接解方程得到函数的零点)；（2）图象法(直接画出函数的图象分析得解)；（3）方程+图象法(令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解).要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（1）2214y x +=(1)x ≠；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）消去参数即可获得曲线的普通方程，注意挖去不满足题意的点；（2）根据直线的参数方程中t 的几何意义表示|P A |•|PB |，最后根据三角函数的最值进行解题即可.【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为2224484t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ， 可得2214y x +=(1)x ≠. （2）直线cos :1sin x t l y t αα=⎧⎨=+⎩()α为倾斜角 代入曲线C 得：()2213cos 2sin 30t t αα++⋅-=⋅.设两根为1t ，2t ， 122313cos PA PB t t α⋅==+ 故3,34PA PB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线的参数方程中t 的几何意义，属于中档题目，在处理过程中主要把握参数t 的正负取值，与线段长之间的对应关系，是解题的关键. 23．（1）空集；（2）[1,3].【分析】（1）根据零点分段法即可解出；（2）根据绝对值三角不等式求出函数()f x 的最大值为|2|a -，再解不等式|2|1a -≤即可求出．【详解】（1）1a =时，()|2||1|f x x x =---当2x ≥时，()|2||1|1f x x x =---=-当12x ≤≤时，()|2||1|21323f x x x x x x =---=--+=-≥，无解 当1x ≤时，()|2||1|1f x x x =---=不等式()3f x ≥的解集是空集；（2）若()1f x ≤，()|2||||(2)()||2|f x x x a x x a a =---≤---=- 所以max ()|2|f x a =-，即有|2|112113a a a -≤⇔-≤-≤⇔≤≤ a 的取值范围是[1,3].。
高二数学第二学期期末复习试卷4-普通用卷
高二数学第二学期期末复习试卷4一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A＝{－1}，B＝{x|x2＋mx－3＝1}，若A⊆A，则m＝（）A. 3B. 2C. −AD. −A2.已知A是虚数单位，A=A(A−A)A+A−A A的共轭复数为A，则A⋅A=（）A. 5B. 3C. √AD. 13.已知函数A(A)={A A−A,A>−AA(A+A),A⩽−A，则A(−A)=（）、A. −A AB. −A AC. 1D. 74.下列命题中正确的是（）A. 命题“∀A∈A,A A>A”的否定是“∃A A∈A,A A A≤A”；B. 命题“若AA A<AA A，则A<A”的逆命题是真命题；C. l为直线，A、A为两个不同的平面，若A⊥A，A⊥A，则A//A；D. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“A∧A”为真命题；5.若集合A={x|3-2x＜1}，B={x|4x-3x2≥0}，则A∩B=（）A. (1,2]B. (1,43] C. [0,1) D. (1,+∞)6.曲线y=e x+2x在点（0，1）处的切线方程为（）A. y=x+1B. y=x−1C. y=3x+1D. y=−x+17.观察下列各式：若a1+b1=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a7+b7=（）-A. 18B. 29C. 47D. 158.如图是一个算法流程图，若输入n的值是8，输出S的值是50，则a的取值范围是（）A. 11≤a<12B. 11<a≤12C. 12≤a<13D. 12<a≤139.函数f(x)=ex−e−xx2的图象大致为（）A. B.C. D.10.设函数f(x)=ln|x|−1x2+1，则不等式f（x）＞f（2x－1）的解集为( ).A. (13,1) B. (13,12)⋃(12,1) C. (0,12) D. (−∞,1)11.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且满足f(x)+xf′(x)>0,(f′(x)是f(x)的导函数)，则不等式(x−1)f(x2−1)<f(x+1)的解集为():A. (−1,2)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (−∞,2)12.下列几种推理过程是演绎推理的是（）A.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇B.B. 金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电C.C. 由圆的性质推测球的性质D.D. 两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A=∠B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知命题p：x2-（2a+4）x+a2+4a＜0，命题q：（x-2）（x-3）＜0，若￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围为______ ．14.已知函数f（x）=x2+bx为定义在区间[-2a，3a-1]上的偶函数，则a+b= ______ ．15.{16.函数y=x3-ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a=______．17.已知函数f(x)=x2+ln x−ax在(0,1)上是增函数,则a的取值范围是_____．三、解答题（本大题共6小题18.已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}19.（1）求A∩B，（∁R B）∪A；20.（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值的集合．21.22.23.24.25.26.27.28.已知命题p：x2-2x-8≤0，q：-3≤x≤7，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．29.30.31.32.33.34.35.36.已知函数f(x)=2lnx−2ax+a(a∈R)37.(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；38.(2)讨论f(x)的单调性．39.40.41.42.43.、44. 已知函数f （x ）=2ax -b x +4ln x 在x =1与x =13处都取得极值． 45. （1）求a 、b 的值；46. （2）若对x ∈[1e ，e ]时，f （x ）≥c 恒成立，求实数c 的取值范围． 47. 48. 49. 50. 51. 52.'》选做题53. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12ty =√32t（其中t 为参数，m 为常数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点．54. （1）若|AB|=√152，求实数m 的值；55. （2）若m =1，点P 坐标为（1，0），求1|PA|+1|PB|的值． 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62.63.已知f（x）=|x+a|（a∈R）．64.（1）若f（x）≥|2x-1|的解集为[0，2]，求a的值；65.（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x-a|≥3a-2恒成立，求实数a的取值范围．66.67.68.69.70.71.-答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是集合的有关知识，属于基础题. 【解答】解:，，x=-1是方程x2＋mx－3＝1的其中一个解，，，故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查共轭复数，以及复数的计算.【解答】解：根据题意得，=1-2i，所以，所以，故选A.3.【答案】C【解析】【分析】直接利用分段函数，求解函数值即可.【解答】解：∵函数，∴故答案为C.4.【答案】A【解析】《【分析】本题考查四种命题、全称命题及特称命题的真假判断，要弄清条件和结论再解决问题. 【解答】解：对于A，全称命题的否定是将任意改成存在，将结论否定，故命题“”的否定是“”，A正确；对于B，命题“若，则”的逆命题是若，则，显然当m2=0时不成立，故我j假命题，B错误；对于C，当时，也满足l⊥α，α⊥β，故C错误；对于D，当命题“”为真命题时，p,q都是真命题时才为真，故D错误.故选A,5.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|3-2x＜1}={x|x＞1}，B={x|4x-3x 2≥0}={x|0}，∴A∩B={x|1＜x}=（1，]．故选：B．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程. 【解答】解：由于y=e x+2x，可得y=e x+2，令x=0，可得y=3，∴曲线y=e x+2x在点（0，1）处的切线方程为y-1=3x，即y=3x+1.故选C.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查归纳推理的思想方法，注意观察所给等式的左右两边的特点，这是解题的关键．根据给出的几个等式，不难发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，再写出两个等式即得．【解析】解：由于a1+b1=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，通过观察发现，从第三个式子起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a6+b6=7+11=18，a7+b7=11+18=29，故选：B．8.【答案】D【解析】：【分析】依次运行循环体，验证不满足循环条件时退出，即可求a的范围.【解答】解：依次运行流程图，结果如下：n=8，S=0满足判断框内的条件n＜a，S=8，n=9，满足判断框内的条件n＜a，S=17，n=10，满足判断框内的条件n＜a，S=27，n=11，满足判断框内的条件n＜a，S=38，n=12，满足判断框内的条件n＜a，S=50，n=13，此时，不满足判断框内的条件n＜a，退出循环，所以a的取值范围是12＜a≤13．故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查由函数解析式判断函数图像，属于中档题.解题关键在于利用函数性质排除不正确选项.【解答】解：函数，f(-x)=-f(x)，所以函数图像关于原点对称，排除A；x>0时，,即f(x)>0,∴排除D，,故,∴排除C，故选B.10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查解b不等式，由f（x）＞f（2x－1），可得f（|x|）＞f（|2x－1|），当x﹥0时，时利用导数证得函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，不等式等价于，即可.【解答】解：函数的定义域为,定义域关于原点对称，因为，所以函数是偶函数，由f（x）＞f（2x－1），可得f（|x|）＞f（|2x－1|），当x﹥0时，，则，所以函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，所以不等式等价于，解得且，所以不等式f（x）＞f（2x－1）的解集为.故选B.11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可．?【解答】解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+x•f'（x），∵f（x）+x•f'（x）＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）为增函数，则不等式（x-1）f（x2-1）＜f（x+1）等价为（x-1）（x+1）f（x2-1）＜（x+1）f（x+1），即（x2-1）f（x2-1）＜（x+1）f（x+1），即g（x2-1）＜g（x+1），∵g（x）在（0，+∞）为增函数，即1＜x＜2，故不等式的解集为（1，2），故选B．12.【答案】D【解析】【分析】推理分为合情推理（特殊→特殊或特殊→一般）与演绎推理（一般→特殊），合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．本题考查演绎推理，掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键，属基础题．【解答】解：∵A，B中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；C中，由圆的性质推测球的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；D为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理．故选D．13.【答案】[-1，2]【解析】;解：由x 2-（2a+4）x+a2+4a＜0，解得：a＜x＜a+4，故p：a＜x＜a+4；由（x-2）（x-3）＜0，解得：2＜x＜3，故q：2＜x＜3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则，解得：-1≤a≤2，故答案为：[-1，2]．分别求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14.【答案】1【解析】解：由偶函数的定义域关于原点对称可知，-2a+3a-1=0∴a=1，函数的定义域为[-2，2]∵f（x）=x2-2ax+1在[-2，2]上是偶函数∴对称轴x=-=0⇒b=0∴a+b=1故答案为：1由偶函数的定义域关于原点对称可求a，然后利用偶函数的性质可知对称轴x=0可求b本题主要考查了奇、偶函数的定义的满足的条件，二次函数的单调性的简单应用，属于基础试题15.【答案】-4【解析】解：函数的导数f′（x）=3x2-2ax+b，∵函数y=x3-ax2+bx+a2在x=1处有极值10，∴，消去b得a2+a-12=0，得a=3或a=-4，即或，当a=3，b=3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，此时函数f（x）为增函数，不存在极值，不满足条件．即a=-4成立．故答案为：-4求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系建立方程进行求解即可，注意要进行检验．本题主要考查函数导数的应用，结合函数极值和导数之间的关系建立方程求出a的值是解决本题的关键．注意要进行检验．16.【答案】(−∞,2√2]【解析】【分析】本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性. 在上恒成立，利用分离变量法求解.【解答】解:，因为是上的增函数，故在上恒成立，即在上恒成立，故在上恒成立，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，故答案为.17.【答案】解：（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，又∵B={x|2＜x＜9}，∴∁R B={x|x≤2或x≥9}，∴（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）∵C⊆B，如图，应有{a≥2a+1≤9解得2≤a≤8，故实数a的取值的集合为[2，8]．【解析】（1）显然A∩B={x|3≤x＜6}，再求∁R B={x|x≤2或x≥9}，从而求（∁R B）∪A={x|x≤2或3≤x＜6或x≥9}；（2）C⊆B，作数轴辅助，应有，从而解得．本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18.【答案】解：由x2-2x-8≤0，得-2≤x≤4，∴p：x2-2x-8≤0⇔p：-2≤x≤4；q：-3≤x≤7，由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p真q假或p假q真．若p真q假，则x∈∅；若p假q真，则-3≤x＜-2或4＜x≤7．综上，实数x的取值范围是-3≤x＜-2或4＜x≤7．【解析】求解一元二次不等式化简p，由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p真q假或p假q真，然后分类利用交、并、补集的混合运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查交、并、补集的混合运算，是基础题．19.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=2ln x-4x+2，∴f′(x)=2x −4，∴fˈ（1）=-2，f（1）=-2，∴曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为：2x+y=0；（2）∵f′(x)=2x−2a=−2ax+2x(x>0)，若a≤0，fˈ（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈(0,1a)时，fˈ（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈(1a,+∞)时，fˈ（x）＜0，f（x）单调递减．【解析】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性以及导数的应用，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（1）代入a的值，求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．20.【答案】解：（1）f′(x)=2a+bx2+4xf(x)=2ax−bx+4lnx，在x=1与x=13处都取得极值，f′(1)=0,f′(13)=0，∴{2a+b+4=02a+9b+12=0，解得：a=-32，b=-1；经检验符合题意；（2）由（1）可知，，f′(x)=−3−1x2+4x=−(3x−1)(x−1)x2，由f'（x）＞0，得f（x）的单调增区间为[13，1]，由f'（x）＜0，得f（x）的单调减区间为(0,13]和[1,+∞)，∴x=1是f（x）的极大值点当x∈[1e ,e]时，f(1e)=e-3e-4，f（e）=-3e+1e+4，而f(1e )-f（e）=4e-8-4e＞0，所以f(1e)＞f（e），即f（x）在x∈[1e ,e]上的最小值为1e+4-3e，要使对x∈[1e,e]时，f（x）≥c恒成立，故c≤f(x)min=1e+4−3e．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出c的范围即可．21.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ，转化为普通方程可得x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1．把{x=m−12ty=√32t代入x2+（y-1）2=1，并整理可得t2−(m+√3)t+m2=0①，由条件可得△=(m+√3)2−4m2＞0，解之得−√33＜m＜√3．设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=m+√3，t1t2=m2≥0，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2，=√(m+√3)2−4m2=√152，解之得m=√32或√36；（2）当m=1时，①式变为：t2−(1+√3)t+1=0，所以：t1+t2=1+√3，t1t2=1，由点P的坐标为（1，0）可得1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1t2|=|t1+t2||t1t2|=1+√3．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.【答案】解：（1）不等式f （x ）≥|2x -1|，即|x +a |≥|2x -1|，两边平方整理得3x 2-（2a +4）x +1-a 2≤0，由题意知0和2是方程3x 2-（2a +4）x +1-a 2=0的两个实数根， 即{0+2=2a+430×2=1−a 23，解得a =1； （2）因为f （x ）+|x -a |=|x +a |+|x -a |≥|（x +a ）-（x -a ）|=2|a |， 所以要使不等式f （x ）+|x -a |≥3a -2恒成立，只需2|a |≥3a -2， 当a ≥0时，2a ≥3a -2，解得a ≤2，即0≤a ≤2； 当a ＜0时，-2a ≥3a -2，解得a ≤25，即a ＜0； 综上所述，a 的取值范围是（-∞，2]． 【解析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值； （2）利用绝对值不等式求出f （x ）+|x-a|的最小值，把不等式f （x ）+|x-a|≥3a -2化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是：- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案：D2. 已知等差数列的前5项和为25，则第10项是：- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案：B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$，则下列选项中$g(x)$的性质正确的是：- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案：A4. 若$a$，$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根，则下列选项正确的是：- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案：C5. 已知复数$z=3+4i$，则$|z|$的值是：- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）的图像开口向上且顶点在y轴上，则满足的条件是______。
答案：$a > 0$，$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1 = 2$，$a_3 = 8$，则公比$q$是______。
答案：23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案：$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A$的行列式值是______。
答案：-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上，则直线的斜率是______。
高二数学下学期第四次质量检测期末考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY 吴起高级二零二零—二零二壹高二数学下学期第四次质量检测〔期末考试〕试题理〔含解析〕第I 卷〔选择题一共60分〕一、单项选择题〔此题一共60分，每一小题5分，每个小题只有一个正确选项〕 1.设集合{}2|20A x xx =--≤，{}3|log 1B x x =≤，那么A B =〔〕A.[]1,2- B.(]0,1C.(]0,2D.[]1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A 、B ，然后结合集合交集的运算求A B 即可.【详解】解：解不等式220x x --≤，得12x -≤≤，即[]1,2A =-，解不等式3log 1x ≤，得03x <≤，即(]0,3B =，那么A B =(]0,2，应选：C.【点睛】此题考察了二次不等式及对数不等式的解法，重点考察了集合交集的运算，属根底题. 2.假设a 为实数，且()()12ai a i +-=，那么(a =)A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【详解】解：∵a 为实数，且〔1+ai 〕〔a ﹣i 〕＝2a +〔a 2﹣1〕i ＝2， ∴2a ＝2且a 2﹣1=0，解得a ＝1． 应选C ．【点睛】此题考察了复数代数形式的乘除运算，是根底题．3.平面α，β，直线l 满足l α⊂，那么“//l β〞是“//αβ〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用定义法直接判断即可. 【详解】假设l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，假设lα⊂，//αβ，那么l 与β无公一共点，根据线面平行的定义，知//l β.所以“//l β〞是“//αβ〞的必要不充分条件. 应选：B.【点睛】此题考察充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法. 4.[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤〞的否认为〔〕 A.[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>B.[]1,3x ∀∉-，2320x x -+> C.[]1,3x ∀∈-，2320x x -+>D.[]01,3x ∃∉-，200320x x -+>【解析】 【分析】 【详解】[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤〞的否认为“[]01,3x ∃∈-，20320x x -+>〞． 应选A ． 【点睛】5.假设532m mA A =，那么m 的值是() A.5 B.3 C.6 D.7【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，由532m m A A =，结合排列数公式可得m 〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2×m〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕，化简解可得答案． 【详解】根据题意，假设532m m A A =，那么有m 〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2×m〔m ﹣1〕〔m ﹣2〕， 即〔m ﹣3〕〔m ﹣4〕=2， 解可得：m=5 故答案为A【点睛】(1)此题主要考察排列数的计算，意在考察学生对该知识的掌握程度和分析推理才能.(2)排列数公式：mnA =(1)(1)n n n m --+=()n n m -！！(n ，m ∈·N ，且m n ≤)．(1)(2)321!n n A n n n n =--⋅⋅⋅⋅⋅=(叫做n 的阶乘).6.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法一共有〔〕 A.36种 B.24种C.18种D.12种【答案】B 【解析】根据题意，甲、乙看做一个元素安排中间位置，一共有1222C A 4=种排法，其余3人排其它3个位置，一共有33A 6=种排法，利用乘法原理，可得不同的排法有4624⨯=种． 应选B ．点睛：此题考察的是排列组合问题.〔1〕解排列组合问题要遵循两个原那么：①按元素(或者位置)的性质进展分类；②按事情发生的过程进展分步．详细地说，解排列组合问题常以元素(或者位置)为主体，即先满足特殊元素(或者位置)，再考虑其他元素(或者位置)．〔2〕不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③局部均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．7.=⎰〔〕A.πB.2πC.0D.4π 【答案】D 【解析】 【分析】定积分⎰的几何意义是圆221x y +=的14个圆的面积，计算可得结果.【详解】定积分0⎰的几何意义是圆221x y +=的14个圆的面积,∴101144=⨯=⎰ππ，应选D. 【点睛】此题考察定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属根底题8.以下求导数运算正确的有()A.()sin 'cos x x =-B.211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ C.31log '3ln x xD.()1ln 'x x=【答案】D 【解析】 【分析】分别计算各选项的导数，判断即可.【详解】因为()sin 'cos x x =，故A 错误；因为211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故B 错误；因为31log 'ln 3x x ，故C 错误；D 正确. 应选：D.【点睛】此题考察根本初等函数的计算，需要熟记公式.9.函数()f x 在0x x =处的导数为()f x '，那么()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-=∆等于〔〕A.()0mf x 'B.()0mf x '-C.()01f x m'-D.()01f x m' 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求出．【详解】()()()()()0000000limlim x m x f x m x f x f x m x f x m mf x x m x∆→-∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆应选：B ．【点睛】此题主要考察导数的定义的应用，属于根底题．10.p ：函数22y x x =-的单调递增区间是[1,)+∞q ：函数1y x x=-的单调递增区间是[1,)+∞，那么〔〕 A.p q ∧p q ∨C.p ⌝q ⌝【答案】D 【解析】 【分析】p 为真，利用增+q【详解】p ：函数22y x x =-的对称轴为1x =，且开口向上，所以在[1,)+∞p 为真；q ：函数1y x x =-的定义域为{|0}x x ≠，且y x =和1y x=-为增函数，所以函数1y x x =-的增区间为(,0)-∞和(0,)+∞q 所以q ⌝ 应选D. 【点睛】.11.甲乙丙三位老师分别在、、的三所里教授语文、数学、英语，： ①甲不在工作，乙不在工作； ②在工作的老师不教英语学科； ③在工作的老师教语文学科；④乙不教数学学科.可以判断乙工作的地方和教的学科分别是〔〕 A.，语文 B.，英语C.，数学D.，数学【答案】B 【解析】【分析】根据条件，进展合情推理，即可容易判断和选择.【详解】在工作的老师不教英语学科，故工作的老师教语文或者数学； 又在工作的老师教语文学科，故工作的老师教数学.综上，在的老师教数学，在工作的老师教语文，在工作的老师教英语； 又乙不教数学学科，故乙在或者工作；又甲不在工作，乙不在工作，故乙在工作，甲在工作，丙在工作. 综上所述：乙在教英语. 应选：B .【点睛】此题考察合情推理，注意认真审题即可，属简单题. 12.假设()fx lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公一共切线，那么a =〔〕A.1B.2C.3D.3或者1-【答案】D 【解析】 【分析】 先根据和曲线()ln f x x =相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数()ln f x x =处的切点设为〔x,y 〕,根据导数的几何意义得到111k x x==⇒=，故切点为〔1，0〕，可求出切线方程为y=x-1,直线和()2g x x ax =+也相切，故21x ax x +=-,化简得到()2110xa x +-+=,只需要满足()21401 3.a a ∆=--=⇒=-或故答案为D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，那么说明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，那么P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.第II 卷〔非选择题一共90分)二、填空题〔此题一共20分，每一小题5分〕 13.2,10x R x ax ∃∈-+<a 的取值范围是_______【答案】[]22-,【解析】 所以240a =-≤，解得22a -≤≤.答案为：[]2,2-.14.假设(12)nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和为32，那么该二项展开式的中间项为________． 【答案】3160x - 【解析】 【分析】先由奇数项的二项式系数之和为32确定n 值，从而根据二项展开式通项公式求出第4项即可. 【详解】解：(12)nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和为1232n -=，解得6n =，那么二项展开式一共7项，第4项为中间项，即()334636021x T C x =--=，故答案为:3160x -.【点睛】此题考察了二项式定理.此题的关键是结合条件求出n .求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可根据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15.()2231x dx m -=⎰，那么()211mx x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是________.【答案】20- 【解析】 【分析】计算定积分得出m 的值，再利用二项式定理求出21mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 和4x 的系数，得出答案.【详解】()()223200316m x dx x x =-=-=⎰，∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为62361661rrrr r rT C xC xx，令363r -=得3r=，∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的系数为3620C =，令364r得103r =， ∴621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含4x 项， ()211mx x x ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为12020.故答案：20-.【点睛】此题考察的是定积分和二项式定理的运用，此题中根据定积分求出m 的值是关键，此题应注意展开式中含有4x 的式子有两种情况，属于简单题. 16.①假设复数z 满足1R z∈，那么z R ∈； ②假设复数z 满足2z ∈R ，那么z R ∈； ③假设复数12,z z 满足12z z R ∈，那么12z z =；④假设复数z R ∈，那么z R ∈． ________________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】由复数的运算法那么，逐项判断即可.【详解】①设(),z a bi a b R =+∈，所以()()2211a bi a bi z a bi a bi a bi a b --===++-+，假设1R z∈，那么0b =，所以z a R =∈，所以①正确；②设(),za bi ab R =+∈，那么()2222z a b abi =-+，假设2z R ∈，那么0ab =，所以0a =或者0b =，因此(),z a bi a b R =+∈不一定为实数，所以②错误；③设()12,,,z a bi z c di a b c d R ，=+=+∈，那么()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，假设12z z R ∈，那么0ad bc +=；又2z c di =-，假设12z z =，那么a c =且b d =-，所以由0ad bc +=不一定能推出a c =且b d =-，因此③错误； ④设(),za bi ab R =+∈，那么z a bi =-，假设z R ∈，那么0b =，因此z R ∈，所以④正确.故答案为①④【点睛】此题主要考察复数的运算以及复数的概念，熟记概念和运算法那么即可，属于常考题型. 三、解答题(此题一共70分，17-21每一小题12分，22题10分) 17.集合(){}2|log 33A x x =+≤，{}|213B x m x m =-<≤+.〔1〕假设3m =，那么A B ；〔2〕假设A B B =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕{}|36x x -<≤；〔2〕[][)1,24,-+∞【解析】 【分析】〔1〕将3m =代入可得集合B ，解对数不等式可得集合A ，由并集运算即可得解. 〔2〕由A B B =可知B 为A 的子集，即B A ⊆；当B =∅符合题意，当B 不为空集时，由不等式关系即可求得m 的取值范围. 【详解】〔1〕假设3m =，那么{}|56B x x =<≤，依题意(){}(){}222|log 33|log 3log 8A x x x x =+≤=+≤{}|35x x =-<≤，故{}|36A B x x =-<≤；〔2〕因为A B B =，故B A ⊆；假设213m m -≥+，即4m ≥时，B =∅，符合题意；假设213m m -<+，即4m <时，21335m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤；综上所述，实数m 的取值范围为[][)1,24,-+∞.【点睛】此题考察了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于根底题.18.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. 〔I 〕求张同学至少取到1道乙类题的概率；〔II 〕所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否互相HY.用X 表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.【答案】〔I 〕56〔II 〕见解析【解析】 【分析】〔I〕从10道试题中取出3个的所有可能结果数有310C，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解〔II〕先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值【详解】解：()I设事件A=“张同学至少取到1道乙类题〞那么A=张同学至少取到的全为甲类题P∴〔A〕363105 1()16CP AC=-=-=()II X的所有可能取值为0，1，2，3 X的分布列为【点睛】此题主要考察了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考察了运用概率知识解决实际问题的才能．19.如下列图的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面1AEC F所截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE====〔1〕求BF的长；〔2〕求点C到平面1AEC F的间隔.【答案】〔1〕〔2〕11【解析】【分析】以D 为坐标原点，分别以DA DC DF 、、为x y z 、、轴，建立空间直角坐标系O xyz ， 〔1〕由1AEC F 为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得BF 的长度；〔2〕运用向量坐标运算计算点到平面的间隔．【详解】(1)建立如下列图的空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C 1(0，4，3)．设F(0，0，z)．∵AEC 1F 为平行四边形，∴由AEC 1F 为平行四边形，∴由=得，(-2，0，z)=(-2，0，2)，∴z=2．∴F(0，0，2)．∴=(-2，-4，2，于是||=2，即BF 的长为2；(2)设为平面AEC 1F 的法向量，显然不垂直于平面ADF ，故可设=(x ，y ，1)．⇒，即，∴又=(0，0，3)，设与的夹角为a ，那么cosα==，∴C 到平面AEC 1F 的间隔为d=||cosα=3×=．【点睛】本小题主要考察空间中的线面关系、点到面的间隔等根本知识，同时考察空间想象才能和推理、运算才能．20.某高校一共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间是的情况，采用分层抽样的方法，搜集300位学生每周平均体育运动时间是的样本数据(单位：小时)． 〔1〕应搜集多少位女生的样本数据？〔2〕根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间是的频率分布直方图〔如下列图〕，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间是超过4小时的概率；〔3〕在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间是超过4小时，请完成每周平均体育运动时间是与性别列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞．附：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++【答案】〔1〕90；〔2〕；〔3〕能在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞． 【解析】 【分析】〔1〕由分层抽样性质，得到45003009015000⨯=；〔2〕由频率分布直方图得()120.10.0250.75-+=；〔3〕利用2×2列联表求2K . 【详解】〔1〕由45003009015000⨯=，所以应搜集90位女生的样本数据；〔2〕由频率发布直方图得()120.10.0250.75-+=，该校学生每周平均体育运动时间是超过4小时的概率为；〔3〕由〔2〕知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间是超过4小时，75人平均体育运动时间是不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间是与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间是与性别列联表结合列联表可算得()22300456030165 4.762 3.8417522521090K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间是与性别有关〞． 【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心〞，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 21.函数()()32f x ax x a R =+∈在43x =-处获得极值． ()1确定a 的值；()2假设()()x g x f x e =，讨论()g x 的单调性．【答案】〔1〕1.2a = 〔2〕()gx 在(),4-∞-和()1,0-内为减函数，在()4,1--和()0,+∞内为增函数．【解析】 〔1〕对()f x 求导得()232f x ax x '=+，因为()f x 在43x =-处获得极值，所以403f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'， 即1641683209333a a ⎛⎫⨯+⨯-=-= ⎪⎝⎭，解得12a =； 〔2〕由〔1〕得，()3212x gx x x e ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 故()232323115222222x x x g x x x e x x e x x x e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'()()1142x x x x e =++， 令()0g x '=，解得0,1x x ==-或者4x =-，当4x <-时，()0g x '<，故()g x 为减函数，当41x -<<-时，()0g x '>，故()g x 为增函数， 当10x -<<时，()0g x '<，故()g x 为减函数，当0x>时，()0g x '>，故()g x 为增函数，综上所知：(),4-∞-和()1,0-是函数()g x 单调减区间，()4,1--和()0,+∞是函数()g x 的单调增区间.22.曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :{sin x C y θθ==，〔α为参数〕，经过伸缩变换3{2x xy y='='后得到曲线2C ．〔1〕求曲线2C 的参数方程；〔2〕假设点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的间隔的最小值．【答案】〔1〕3cos {2sin x y θθ==〔θ为参数〕；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕1cos :{sin x C y θθ==变换为2cos 3:{sin 2x C y θθ''==，即3cos {2sin x y θθ==〔θ为参数〕；〔2〕曲线C 化为直角坐标方程：2100y x +-=，利用点到直线的间隔公式，有3cos 4sin 1055d θθ+-==.试题解析：〔1〕将曲线〔α为参数〕，化为221x y +=，由伸缩变换3{2x x y y ='='化为13{12x x y y ='='， 代入圆的方程211132x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，得到()()222:194x y C +'='， 可得参数方程为3cos {2sin x y αα==；〔2〕曲线C 的极坐标方程2sin cos 10ρθρθ+=，化为直角坐标方程：2100y x +-=，点M 到C 的间隔()5sin 103cos 4sin 105555d θϕθθ--+-==≥= 点M 到C 的间隔的最小值为5考点：坐标系与参数方程．。
{高中试卷}高二数学下册期末考试卷4[仅供参考]
![{高中试卷}高二数学下册期末考试卷4[仅供参考]](https://img.taocdn.com/s3/m/d1fca756ec3a87c24128c4c0.png)
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高二数学下册期末考试卷高二理科数学试题考试时间：120分钟分数：150分一、选择题：（每小题5分，共12小题60分）1、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边，（A ，B 可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A ．24种 B ．60种 C ．90种 D ．120种2、设一随机试验的结果只有A 和A ，()P A p =，令随机变量10A X A =⎧⎨⎩，出现，，不出现，，则X 的方差为（） Ａ．pＢ．2(1)p p -Ｃ．(1)p p --Ｄ．(1)p p -3、若随机变量~(0.6)X B n ，，且3EX =，则(1)P X =的值是（ ）Ａ．420.4⨯ Ｂ．520.4⨯ Ｃ．430.4⨯ Ｄ．430.6⨯4、在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关 指数2R 如下， 其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数2R 为0．98B ．模型2的相关指数2R 为0．80C ．模型3的相关指数2R 为0．50D ．模型4的相关指数2R 为0．255、若随机变量2~(210)X N ，，若X 落在区间()k -，∞和()k +，∞内的概率是相等的，则k 等于（ ）A ．2B ．10C ．可以是任意实数6、732x⎛⎝的展开式中常数项是（ ）Ａ．14Ｂ．14-Ｃ．42D ．42-7、已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（ ）。
A.1=ρ B.θρcos = C.θρcos 1-= D.θρcos 1= 8、若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 9、若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，则761a a a +++的值为（ ）Ａ．1Ｂ．129Ｃ．128Ｄ．12710、设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）Ａ．46801010100C C C ·B ．64801010100C C C ·Ｃ．46802010100C C C ·Ｄ．64802010100C C C ·11、若346n n A C =，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．912、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24Ｄ．0.285 二、填空题：（每小题5分，共4小题20分） 13、由0,1,3,5,7,9这六个数字组成______个没有重复数字的六位奇数. 14、在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r =，4r T =.15、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____（结果用分数表示）．16、直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
2020-2021人教版高二下学期数学期末检测试卷附答案解析[最新]
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一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（ ）
A．（﹣∞，2）B．（0，1）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）
2．在复平面内，复数g（x）满足 ，则z的共轭复数对应的点位于（ ）
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为6℃，预测该店当日的营业额
（参考公式： = = ， = ﹣ ）．
20．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4； 白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 （假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
A．375B．﹣375C．15D．﹣15
8．若函数h（x）=2x﹣ + 在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2]
9．设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（ ）
A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
2023-2024学年度下学期高二数学期末模拟卷(选择性必修第二、三册)(新题型)(原卷+解析卷)
2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（23-24高二下·湖北·期中）已知()()033lim 2x f x f x x ∆→+∆−−∆=∆，则()3f ′=（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．42．（23-24高二下·广东佛山·月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2410268a a a ++=，则9S =（ ） A ．272B ．270C ．157D ．1533．（23-24高二下·重庆·月考）若随机变量()290,X N σ 且()700.12P X ≤=，则()90110P X ≤≤=（ ）A ．0.12B ．0.24C ．0.28D ．0.384．（23-24高二下·江苏苏州·月考）已知115(),(),()528P A P B A P B A ===，则()P B =（ ） A ．25B ．16C ．15D ．385．（23-24高二下·江西·月考）已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i=⋅⋅⋅组成的一个样本，变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为 y bxa =+ ，并计算出变量x ，y 之间的相关系数为0.96−，1018i i x ==−∑，10115ii y==−∑，则经验回归直线经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第一、三、四象限6．（22-23高二下·河南洛阳·月考）根据分类变量X 与Y 的抽样数据，计算得到² 3.452χ=依据0.1α=的独立性检验（0.1 2.706x =）则下面说法正确的是（ ） A ．变量X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 B ．变量X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不低于0.1 C ．变量X 与Y 独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 D ．变量X 与Y 独立，该推断犯错误的概率不低于0.17．（23-24高二下·广东佛山·月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ） A ．13B ．12C ．2140 D ．788．（22-23高二下·山西太原·月考）设随机变量(10,,1000)∼X H M （2992≤≤M 且∗∈N M ），(2;10,,1000)H M 最大时，()E X =（ ）A ．1.98B ．1.99C ．2.00D ．2.01二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·河南·月考）已知0,0,0a b c >>>，且,,a b c 成等差数列，随机变量X 的分布列为 X 12 3Pa b c下列选项正确的是（ ） A ．14b = B ．23a c +=C ．()4833E X << D ．()D X 的最大值为2310．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知()()()*23nf x x n =−∈N 展开式的二项式系数和为512，()()()()201211...1nn f x a a x a x a x =+−+−++−，下列选项正确的是（ ） A ．12...1n a a a +++=B ．12323...18n a a a na ++++=C ．2144a =D ．901...3n a a a +++=11．（23-24高二下·河南·月考）已知函数()f x 与其导函数()f x ′的定义域均为R ，且()f x x −与()12f x ′−均为偶函数，则（ ） A ．()1f x +为偶函数 B ．()()10f x x x−≠为奇函数C ．()()22f x f x ++′=′D ．()00f ′=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）()62121x x x +−的展开式中的常数项为 .（请用数字作答）13．（23-24高二下·广西河池·月考）曲线211()e 12x f x x x =+−+在0x =处的切线的倾斜角为α，则cos 2=α .14．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N 件产品中有M 件不合格品，在产品中随机抽n 件做检查，发现k 件不合格品的概率为()C C ,1C k n kM N Mn NP X k k t t s −−===+ ,，,，其中s 是M 与n 中的较小者，t 在n 不大于合格品数（即n N M ≤−）时取0，否则t 取n 与合格品数之差，即().t n N M =−− 根据以上定义及分布列性质，请计算当16,8N M ==时， 04132231408888888888C C C C C C C C C C ++++= ；若2,N n M n ==，请计算011223211C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n −−−+++++=.（两空均用组合数表示）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*51,22n n S S n n n =−∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .16．（15分）（23-24高二下·四川遂宁·期中）已知函数2()e x f x x =． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对[]1,2x ∀∈−，()0f x m −>恒成立，求实数m 的取值范围.17．（15分）（23-24高二下·贵州贵阳·月考）中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.18．（17分）（23-24高二下·江西景德镇·期中）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x （单位；千辆）与年使用人次y （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x 与年使用人次y 的散点图如图所示．x 1 2 3 4 5 6 7y 5 16 28 38 64 108 196 拟用模型① 28.3248.28yx −或模型② 10c dx y +=对两个变量的关系进行拟合，令lg t y =，可得711455i y==∑，7111.06i i t ==∑，721140ii x ==∑，712613i i i x y ==∑，7151.04i i i x t ==∑，变量y 与t 的标准差分别为62.23y s =，0.494t s =．（1）根据所给的统计量，求模型② 中y 关于x 的回归方程；（结果保留小数点后两位）（2）计算并比较两种模型的相关系数r （结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可靠；（3）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结果保留整数）附，样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的线性回归方程 ˆy a bx =+ 最小二乘估计公式为1221ni ii nii x y nx yb xnx==−=−∑∑ ，ay bx =− ，相关系数r =参考数据： 2.5410347≈．19．（17分）（23-24高二下·浙江舟山·月考）已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n = *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”； （3）证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”.2023-2024学年高二数学下学期期末模拟卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（23-24高二下·湖北·期中）已知()()033lim 2x f x f x x ∆→+∆−−∆=∆，则()3f ′=（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】()()()Δ03Δ3Δ3lim 12Δx f x f x f x→+−−′==，故选：B ．2．（23-24高二下·广东佛山·月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2410268a a a ++=，则9S =（ ） A ．272 B ．270C ．157D ．153【答案】D【解析】因为4210645222468a a a a a a ++=+==，所以517a =，故()1995991532a a S a +===．故选：D 3．（23-24高二下·重庆·月考）若随机变量()290,X N σ 且()700.12P X ≤=，则()90110P X ≤≤=（ ） A ．0.12 B ．0.24 C ．0.28 D ．0.38【答案】D【解析】因为随机变量()290,X N σ ，则根据正态分布曲线的对称性，可得12(70)120.12(90110)0.3822P X P X −≤−×≤≤===.故选：D. 4．（23-24高二下·江苏苏州·月考）已知115(),(),()528P A P B A P B A ===，则()P B =（ ） A ．25B ．16C ．15D ．38【答案】A 【解析】 1()5P A =，1(|)2P B A =， ()()()111|5210P AB P A P B A ∴==×=，()()415P A P A =−= ，()5|8P B A =，()()()451|582P AB P A P B A ∴==×=， ()()112P A B P AB ∴=−= ，又()()()()P A B P A P B P AB =+− ，()()()()111221055P B P A B P A P AB ∴=−+=+−= ．故选：A ． 5．（23-24高二下·江西·月考）已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i=⋅⋅⋅组成的一个样本，变量x ，y 具有线性相关关系，其经验回归方程为 y bxa =+ ，并计算出变量x ，y 之间的相关系数为0.96−，1018i i x ==−∑，10115ii y==−∑，则经验回归直线经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、二、四象限D ．第一、三、四象限【答案】B【解析】由相关系数为0.96−，知x ，y 负相关，所以ˆ0.b<又1018i i x ==−∑，10115i i y ==−∑， 即点()0.8, 1.5−−在经验回归直线上，且在第三象限， 所以经验回归直线经过第二、三、四象限.故选：B.6．（22-23高二下·河南洛阳·月考）根据分类变量X 与Y 的抽样数据，计算得到² 3.452χ=依据0.1α=的独立性检验（0.1 2.706x =）则下面说法正确的是（ ） A ．变量X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 B ．变量X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不低于0.1 C ．变量X 与Y 独立，该推断犯错误的概率不超过0.1 D ．变量X 与Y 独立，该推断犯错误的概率不低于0.1 【答案】A【解析】由独立性检验的具体检验规则及20.13.452 2.706x χ=>=，得变量X 与Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.1．故选：A7．（23-24高二下·广东佛山·月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ） A ．13B ．12C ．2140 D ．78【答案】C【解析】5个项目分配到4个城市，按照要求，必定会有两个项目分配到1个城市，所以所有的分配方案有：2454C A 240⋅=种. 又因为丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目，所以：（1）若丁城市竞得2个项目，则有2333C A 18⋅=种；（2）若丁城市竞得1个项目，则有123343C C A 108⋅⋅=种. 所以丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为： 181082124040P+==．故选：C 8．（22-23高二下·山西太原·月考）设随机变量(10,,1000)∼X H M （2992≤≤M 且∗∈N M ），(2;10,,1000)H M 最大时，()E X =（ ）A ．1.98B ．1.99C ．2.00D ．2.01【答案】C【解析】随机变量(10,,1000)∼X H M ，则()()281000101000C C 2;10,,10002C M MH M P X −===， 因(2;10,,1000)H M 最大，则有(2;10,,1000)(2;10,1,1000)(2;10,,1000)(2;10,1,1000)H M H M H M H M ≥+ ≥−，即2828100019991010100010002828100011001101010001000C C C C C C C C C C C C M M M MM M M M −+−−−− ≥ ≥，(1)(1000)!(1)(999)!28!(992)!28!(991)!(1)(1000)!(1)(2)(1001)!28!(992)!28!(993)!M M M M M M M M M M M M M M M M −−+− ⋅≥⋅ −− −−−−− ⋅≥⋅ −− ， 整理得(1)(1000)(1)(992)(993)(2)(1001)M M M M M M M M −−≥+− −≥−−，解得199.2200.2M ≤≤，而∗∈N M ，则200M =，所以1010200() 2.0010001000M E X ×===.故选：C二、选择题：本题共36分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高二下·河南·月考）已知0,0,0a b c >>>，且,,a b c 成等差数列，随机变量X 的分布列为 X 12 3Pa b c下列选项正确的是（ ） A ．14b = B ．23a c +=C ．()4833E X << D ．()D X 的最大值为23【答案】BCD【解析】对于AB ，由21a c b a b c += ++= ，得1323b a c = +=，A 错误，B 正确；对于C ，由2,0,03a c a c +=>>，得203c <<，则448()232(,)333E X a b c c =++=+∈，C 正确；对于D ，2224144()[1(2)][2(2)][3(2)]3333D X a c c c c =−++−++−+22221125()(2)(2)(2)33333c c c c c =−++−+−22821244()3933c c c =−++=−−+， 当13c =时，()D X 取得最大值，且最大值为23，D 正确.故选：BCD10．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）已知()()()*23nf x x n =−∈N 展开式的二项式系数和为512，()()()()201211...1nn f x a a x a x a x =+−+−++−，下列选项正确的是（ ） A ．12...1n a a a +++=B ．12323...18n a a a na ++++=C ．2144a =D ．901...3n a a a +++=【答案】BD【解析】由已知有012C C ...C 512n nn n n +++，故9n =，()()923f x x =−.所以()()()()92901292311...1x a a x a x a x −=+−+−++−.对于A ，取1x =得01a −=，取2x =得0191...a a a =+++， 所以()129...112a a a +++=−−=，A 错误；对于B ，对()()()()92901292311...1x a a x a x a x −=+−+−++−求导得()()()()828123918232131...91x a a x a x a x −=+−+−++−， 取2x =得12391823...9a a a =+++，B 正确；对于C ，在()()()()92901292311...1x a a x a x a x −=+−+−++−中用1x +替换x ， 得()929012921...x a a x a x a x −=++++.所以()()99C 210,1,...,9k kk k a k −=⋅⋅−=，特别地对2k =有()922229C 21144a −=⋅⋅−=−，C 错误；对于D ，由()()99C 210,1, (9)kk k a k −=⋅⋅−=有0190129......a a a a a a a +++=−+−++. 在()()()()92901292311...1x a a x a x a x −=+−+−++−中取0x =得901293...a a a a −=−+−−，所以()990190129......33a a a a a a a +++=−+−++=−−=，D 正确.故选：BD. 11．（23-24高二下·河南·月考）已知函数()f x 与其导函数()f x ′的定义域均为R ，且()f x x −与()12f x ′−均为偶函数，则（ ） A ．()1f x +为偶函数 B ．()()10f x x x−≠为奇函数C ．()()22f x f x ++′=′D ．()00f ′=【答案】BC【解析】对于选项A ，因为()12f x ′−为偶函数，所以()()1212f x f x +=−′′，即()()11f x f x +=′−′，所以()f x ′关于1x =对称， 若()1f x +为偶函数，则()()11f x f x −+=+，所以()()11f x f x −′′−+=+， 所以()f x ′关于点()1,0对称，这与()f x ′关于1x =对称矛盾，所以A 错误；对于选项B ，因为()f x x −为偶函数，所以()()f x f x x x −=−+， 所以当0x ≠时，()()11f x f x xx −−=−− −，即()1f x x −为奇函数，所以B 正确；对于选项C ，因为()f x x −为偶函数，即()()()f x x f x x −−−=−， 所以()()11f x f x −′′−+=−，所以()()2f x f x ′−+=′， 由()()11f x f x +=′−′，得()()2f x f x +=′−′， 所以()()22f x f x ++′=′，故选项C 正确；对于选项D ，由()()2f x f x ′−+=′，得()()002f f ′′+=，所以()01f ′=，故D 错误.故选：BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）()62121x x x+−的展开式中的常数项为 .（请用数字作答）【答案】10【解析】61x x −展开式的通项()()()6162166C 1C 0,1,2,3,4,5,6kk k kk k k T x x x k −−−+ =−=−⋅=，为了得到常数项，与22x 相乘的项为622k −=−，即4k =， 与1相乘的项为620k −=，即3k =， 因此常数项为()()43436621C 11C 2152010 ×−+×−=×−=. 13．（23-24高二下·广西河池·月考）曲线211()e 12x f x x x =+−+在0x =处的切线的倾斜角为α，则cos 2=α .【答案】35/0.6【解析】对函数()f x 求导，得到2211()2e (1)2x f x x ′=−−+，所以()f x 在在0x =处的切线斜率为1(0)2′=f ，所以1tan =2α.又因为[0,π)α∈，所以sin α 所以23cos212sin 5αα=−=. 14．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·期中）产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N 件产品中有M 件不合格品，在产品中随机抽n 件做检查，发现k 件不合格品的概率为()C C ,1C k n kM N MnNP X k k t t s −−===+ ,，,，其中s 是M 与n 中的较小者，t 在n 不大于合格品数（即n N M ≤−）时取0，否则t 取n 与合格品数之差，即().t n N M =−− 根据以上定义及分布列性质，请计算当16,8N M ==时， 04132231408888888888C C C C C C C C C C ++++= ；若2,N n M n ==，请计算011223211C C C C C C C C C C n n n nn n n n n n n n n n −−−+++++=.（两空均用组合数表示） 【答案】 416C 12C n n −(或12C n n +)【解析】当16,8,4N M n ===时，()488416C C ,0,1,2,3,4C k kP X k k −===, 因为01322310888888444488884161616144616C C C C C C C C C C 1C C C C C ++++=， 所以0413*******888888888816C C C C C C C C C C C ++++=. 当2,N n M n ==时， 因为01122321101111122222C C C C C C C C C C 1C C C C C n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n −−−−−−−−−−+++++= , 所以011223211012C C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−+++++= ,所以011223211C C C C C C C C C C n n n nn n n n n n n n n n −−−+++++01122321101122C C C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−−+=+++++== .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*51,22n n S S n n n =−∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）5n 3n a =−，*n ∈N ；（2）104nn +【解析】（1）*n ∈N ，有25122n S n n =−，∴当2n ≥时，有()2151(1)122n S n n −=−−−， 两式相减得()2215151(1)1532222n n n a S S n n n n n −==−−−−−= −−， 当1n =时，由25122n S n n =−，得12a =， 检验：当1n =时也满足5n 3na =−， 所以*53n a n n =−∈N（2）由（1）知，()()111111535255352n n n b a a n n n n +===− −+−+，所以12n nT b b b =+++ 111111111527571255352n n=−+−++− −+()1115252252104n nn n n =−==+++ ， 所以104n nT n =+.16．（15分）（23-24高二下·四川遂宁·期中）已知函数2()e x f x x =． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若对[]1,2x ∀∈−，()0f x m −>恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）(,0)−∞ 【解析】（1）因2()2e e (2)e x x x f x x x x x ′=++，由()0f x ′>可解得，<2x −或0x >；由()0f x ′<可解得，20x −<<. 故函数()f x 的单调递增区间为：(,2)−∞−和(0,)+∞； 函数()f x 的单调递减区间为：(2,0)−.（2）因()0f x m −>等价于()m f x <，依题意，要求函数()f x 在区间[]1,2−上的最小值.由（1）知，函数()f x 在区间(1,0)−上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，故当0x =时，函数()min (0)0f x f ==，故得0m <. 即实数m 的取值范围为(,0)−∞.17．（15分）（23-24高二下·贵州贵阳·月考）中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）200人；（2）分布列见解析，0.6 【解析】（1）因为随机变量ξ近似服从正态分布()277,N σ，且()77800.3P ξ≤≤=， 所以()(80)0.577800.2P P ξξ>−≤≤，所以10000.2200×=， 所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.（2）由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且()3,0.2X B ，所以随机变量X 的分布列为()33C 0.20.8,0,1,2,3kk k P X k k −==×=， 所以随机变量X 的分布列为：X0 1 2 3P0.512 0.384 0.096 0.008所以随机变量X 的均值为()30.20.6E X =×=.18．（17分）（23-24高二下·江西景德镇·期中）近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单车的A 县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x （单位；千辆）与年使用人次y （单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x 与年使用人次y 的散点图如图所示．x 1 2 3 4 5 6 7y 5 16 28 38 64 108 196 拟用模型① 28.3248.28yx −或模型② 10c dx y +=对两个变量的关系进行拟合，令lg t y =，可得711455i y==∑，7111.06i i t ==∑，721140ii x ==∑，712613i i i x y ==∑，7151.04i i i x t ==∑，变量y 与t 的标准差分别为62.23y s =，0.494t s =．（1）根据所给的统计量，求模型② 中y 关于x 的回归方程；（结果保留小数点后两位）（2）计算并比较两种模型的相关系数r （结果保留小数点后三位），求哪种模型预测值精度更高、更可靠；（3）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，利用（2）中更可靠的模型，预测几年后开始实现盈利．（结果保留整数）附，样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅的线性回归方程 ˆya bx =+ 最小二乘估计公式为1221ni ii nii x y nx yb xnx==−=−∑∑ ，ay bx =−，相关系数r =参考数据： 2.5410347≈．【答案】（1）0.620.2410x y +=；（2）0.910；0.972；模型②预测值精度更高、更可靠；（3）6年. 【解析】（1）据题意可知10lg c dx y y t c dx +=⇔==+， 12747x ++⋅⋅⋅+=，11.061.587t=， 251.0474 1.58 6.80.241407428d−××===−×， 1.5840.240.62c =−×=， 故：模型②中y 关于x 的回归方程为0.620.240.620.2410x tx y +=+⇔=； （2）因为r =x y s b b s =⋅且2x s =， 所以模型①的相关系数1256.6428.320.91062.2362.23r =×=≈ ， 模型②的相关系数220.480.240.9720.4940.494r =×=≈， 因此12r r <，模型②预测值精度更高、更可靠； （3）设预计n 年后开始盈利，将8x =代入0.620.2410x y +=中，得2.54ˆ10347y ==， n 年后的利润为()10.210002008000277600160000W n y n =−×⋅−×=−， 要使0W >，只需 5.76>n ，且N n +∈故：预测6年后开始实现盈利.19．（17分）（23-24高二下·浙江舟山·月考）已知集合A 中含有三个元素,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数，那么称集合A 具有性质P .已知集合{}1,2,3,,2n S n = *(N ,4)n n ∈≥，对于集合n S 的非空子集B ，若n S 中存在三个互不相同的元素,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于B ，则称集合B 是集合n S 的“期待子集”.（1）试判断集合{}1,2,3,5,7,9A =是否具有性质P ，并说明理由；（2）若集合{}3,4,B a =具有性质P ，证明：集合B 是集合4S 的“期待子集”； （3）证明：集合M 具有性质P 的充要条件是集合M 是集合n S 的“期待子集”. 【答案】（1）不具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）集合{}1,2,3,5,7,9A =不具有性质P ，理由如下：（i ）从集合A 中任取三个元素,,x y z 均为奇数时，x y z ++为奇数，不满足条件③ （ii ）从集合A 中任取三个元素,,x y z 有一个为2，另外两个为奇数时， 不妨设2y =，x z <，则有2z x −≥，即z x y −≥，不满足条件②， 综上所述，可得集合{}1,2,3,5,7,9A =不具有性质P . （2）证明：由34a ++是偶数，得实数a 是奇数，当34a <<时，由34a +>，得13a <<，即2a =，不合题意， 当34a <<时，由34a +>，得47a <<，即5a =，或6a =（舍），因为34512++=是偶数，所以集合{3,4,5}B =， 令3,4,5a b b c c a +=+=+=，解得2,1,3a b c ===，显然{}4,,1,2,3,4,5,6,7,8a b c S ∈=， 所以集合B 是集合4S 的“期待子集”得证. （3）证明：先证充分性：当集合M 是集合n S 的“期待子集”时，存在三个互不相同的,,a b c ，使得,,+++a b b c c a 均属于M ，不妨设a b c <<，令x a b =+，y a c =+，z b c =+，则x y z <<，即满足条件①， 因为()()()20x y z a b a c b c a +−=+++−+=>，所以x y z +>，即满足条件②， 因为2()x y z a b c ++=++，所以x y z ++为偶数，即满足条件③， 所以当集合M 是集合n S 的“期待子集”时，集合M 具有性质P . 再证必要性：当集合M 具有性质P ，则存在,,x y z ，同时满足①x y z <<；②x y z +>；③x y z ++为偶数， 令2x y zaz ++−，2x y zb y ++−，2x y zc x ++−，则由条件①得a b c <<， 由条件②得022x y z x y zaz +++−−=>，由条件③得,,a b c 均为整数， 因为()0222z z y yx y z z x y z c z x z y +−−+++−−=+−=>=−>， 所以0a b c z <<<<，且,,a b c 均为整数，所以,,n a b c S ∈， 因为,,a b x a c y b c z +=+=+=， 所以,,+++a b b c c a 均属于M ，所以当集合M 具有性质P 时，集合M 是集合n S 的“期待子集”.综上所述，集合M 是集合n S 的“期待子集”的充要条件是集合M 具有性质P .。
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷4
〖人教版〗高二数学下册期末复习试卷高二第二学期期末质量检查第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜．．．．．寻任务的小孩．．．．．．须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．．．．．．．．．．．。
则不同的搜寻方案有（ ） A ．40种 B ．70种 C ．80种 D ．100种2.使得()*1N n x x x n∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的展开式中含有常数项的最小的n 是（ ） A.4 B.5 C.6 D.73.如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E(X)=（ ）A.125126B. 56C. 125168D. 574.设随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为（ ）A.73B.35C.53 D ．755.已知11mni i=-+，其中,m n R ∈，i 为虚数单位，则m ni +=（ ） A. 2i - B.12i + C. 2i + D.12i - 6.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p7.在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若=， =，=，则下列向量中与相等的向量是（ ） A ．B ．C ．D ．8.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()()21ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 9.曲线xe y =：在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C 直线l ，y 轴围成的图形面积为（ ） A ．312e -B ．12e +C ．2e D ．12e -10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A,B两点，记直线AC,BC 的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为A ．2B ．3C 12.+D . 211.已知函数()()e ,0,42,0.xax x f x a x a x ⎧+⎪=⎨-+>⎪⎩若对于任意两个不等实数12,x x ，都有()()12121f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.[)0,4B.[)1,3C.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．110 B ．220C ．330 D ．440第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.如图，在直角坐标系xOy 中，将直线2xy =与直线1x =及x 轴所围成的图形（阴影部分）绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积211300πππd 21212x V x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰圆锥．据此类比：将曲线3y x =（ ）0x 与直线8y =及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V =．14.计算12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅+，可以采用以下方法：构造等式： 0122n nn n n n C C x C x C x +++⋅⋅⋅+()1nx =+，两边对x 求导，得()112321231n n n n n n n C C x C x nC x n x --+++⋅⋅⋅+=+，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -+++⋅⋅⋅+=⋅．类比上述计算方法， 计算12223223nn n n n C C C n C +++⋅⋅⋅+=_________. 15.对于函数f （x ）给出定义：设f ′（x ）是函数y=f （x ）的导数，f ″（x ）是函数f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）=0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y=f （x ）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=．16.如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，已知AB=2，•=﹣3，设AD=a ，BC=b ，CD=c ，yxOy=x2x=1则的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（70分）17.（12分）已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|y=}．（Ⅰ）若A∪B=R，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．18.（12分）,两种车型的出租情况，他随机抽取为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上A B了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：Ａ型车出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数 5 10 30 35 15 3 2出租天数 1 2 3 4 5 6 7车辆数14 20 20 16 15 10 5（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．19.（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．20.（12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，3312P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝，，4312P ⎛⎫⎪ ⎪⎝，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 21.（12分） 已知函数．（Ⅰ）若p=2，求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数f （x ）在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点x 0，使得f （x 0）＞g （x 0）成立，求实数p的取值范围．22.（10分）选修4-4极坐标与参数方程 已知直线l ：（其中t 为参数，α为倾斜角）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）求C 的直角坐标方程，并求C 的焦点F 的直角坐标； （2）已知点P （1，0），若直线l 与C 相交于A ，B 两点，且=2，求△FAB 的面积 答题卷 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2021年高二下学期期末复习(4)数学(理)试题含答案
2021年高二下学期期末复习（4）数学（理）试题含答案刘希团 xx年6月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.1．若将一颗质地均匀的骰子（一种六个面分别注有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是；3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是；4.从1,3,5,7,9中任取 3 个数字,从2,4,6,8中任取2个,一共可以组成(用数字作答)多少个没有重复的五位数字。
5.在中，则外接圆的半径，运用类比方法，三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为则其外接球的半径为= ；6．已知复数满足则复数对应点的轨迹是；7.平面内一条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，1个交点；3条相交直线最多把平面分成7部分，3个交点；试猜想：n条相交直线最多把平面分成______________部分，____________个交点．8．在平面直角坐标系xOy 中，若D 表示横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 表示到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 内随机地投一点，则落在E中的概率 ．9. 分别是曲线和上的动点，则的最小值为 ．10．已知直线 与抛物线交于A 、B 两点，则线段AB 的长是 ．11．将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 ．12．已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为 ．13．已知整数数对如下排列： )1,4(),2,3(),3,2(),4,1(),1,3(),2,2(),3,1(),1,2(),2,1(),1,1(，按此规律，则第个数对为__________ ．14．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则实数a 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）(1)在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．(2)设a ，b ，c 为正实数，求证：．16. （本题满分14分）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：（1）n ；（2）展开式中的所有的有理项。
高二下学期期末数学复习卷(含参考答案)
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参考答案
1-5 11 DCCAB 1560 12 1 或 -3 6-10 13 CDBCA π ，-
14
264， 1 或 3
15
-31 ， -243
16 1－
0,
1 4
17 1－ 1－ 4a ， 2
1 18 (1)0<a< 时，单调递增区间为 4 1＋
(0 ，
1 － 4a 1 ＋ 1－ 4a ，＋∞ ) ，单调递减区间为 )， ( 2 2
1 18
2
B ．
1 378
C．
1 432
D．
5． “ａ =1” 是“ 函数
为奇函数 ” 的
（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
6．二项式 ( 3 x
D．既不充分也不必要条件
2 x ) 的展开式中，常数项为第
B． 6 C． 7
15
项。
（
D． 8
）
A． 5
7．边长为 4 的正三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上， （ ） C．
3．若﹣ 1＜ sin α +cos α ＜ 0，则 A． sin α ＜ 0 B． cos α ＜ 0 C． tan α ＜ 0 D． cos2 α ＜0
4．从单词“ education ”中选取 5 个不同的字母排成一排，则含“
at ” （ “ at ”相连且顺序不变）的概率为
（
A．
）
1 756
(
1 － 4a 1 )； a≥ 时，单调递增区间为 2 4
(0 ，＋∞ )
(2)0<a ≤ 1 19
解： （Ⅰ）函数 f （ x） =2sin x+cos（ 2x﹣
高二数学第二学期期末测试题(4—5)
高二数学第二学期期末测试题（选修4—5）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若a b >，则下列不等式正确的是A ．22a b >B ．a b >C ．a b ->-D ．22a b >2.设0x >，函数3()f x x x=+取最小值时x 的值为 A．C．．13.用反证法证明“如果a b >>A ．a b ≤B ．a b < C≤<4.已知如图所示的直线方程为2y x =+，则用不等式表示图中阴影部分所示的平面区域（包含边界）为A ．20x y -+>B ．20x y -+≥C ．20x y -+<D ．20x y -+≤5.已知集合{24}A x x =<<，{1}B x x =>，则A B =A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(3,4)6.下列不等式正确的是A ．12x x +≥ B．2x x +≥ C4≥ D ．212x x +≥- 7.不等式316x x ++-≤的解集为A ．(,4]-∞- B ．[2,)+∞ C ．[4,2]- D ．(,4][2,)-∞-+∞ 8.若x ，y 均为正数，且28x y +=，则xy 的最大值为A ．2B ．4C ．8D ．169.若0x >，0y <，则下列不等式正确的是A ．x y x y +>-B ．x y x y ->+C ．x y x y +<-D ．x y x y -<-10.已知0a b >>，利用求商比较法可得a b a b 与2()a b ab +的大小关系是 A ．2()a b a b a b ab +> B ．2()a b a b a b ab +< C ．2()a b a b a b ab +≥ D ．2()a b a b a b ab +≤11.已知函数()11f x x x =-++，若()f x a ≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(2,)+∞D ．(,2)-∞12.已知实数a ，b ，c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的最大值为A ．1B ．1-C ．12-D ．14- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0a >，0b >，且2ab =，则a b +的最小值为 .14.若14x <<，25y <<，则x y的取值范围为 . 15.若a ，(1,)b ∈+∞，则1ab +与a b +的大小关系为 .16.如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()1f x x ≥+的解集是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）解下列不等式： （Ⅰ）211x -< （Ⅱ）622x x +--≥18.（本小题满分12分）已知()f x x a =-，若()f x b ≤的解集为{15}x x -≤≤.求（Ⅰ）实数a ，b 的值； （Ⅱ）函数2()2b f x ax x=+（0x >）的最小值. 19.（本小题满分12分） 已知函数51()22f x x x =-+-，x R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）解不等式()4f x x ≤+.20.（本小题满分12分）设x ，y 均为正数.（Ⅰ）若2x y +=，证明：112x y+≥； （Ⅱ）若2x y +≥，试用反证法证明：12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 21.（本小题满分12分）（Ⅰ）设0a >，0b >，且10a b +=8≤；（Ⅱ）设n N *∈(1)(2n n n n +++>. 22.（本小题满分12分）为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层；每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：厘米）满足关系：40()35C x x =+（010x ≤≤）.设()f x 为隔热层建造费与20年的能源消耗费用之和.（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求出最小值.。
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案(四)(理科)
2020年高二数学下学期期末模拟试卷及答案（四）（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数=（）A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i2．已知回归方程为：=3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A．增加2个单位B．减少2个单位C．增加3个单位D．减少3个单位3．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二场有4本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法．A．120 B．16 C．12 D．604．随机变量X～B（n，），E（X）=3，则n=（）A．8 B．12 C．16 D．205．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品6．下列说法正确的是（）A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．归纳推理得到的结论一定是正确的D．合情推理得到的结论不一定正确7．下列命题中正确的为（）A．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强B．线性相关系数r越小，两个变量的线性相关性越弱C．残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好D．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好8．下列求导运算正确的是（）A．（3x）′=x•3x﹣1B．（2e x）′=2e x（其中e为自然对数的底数）C．（x2）′=2xD．（）′=9．一个盒子里有7只好晶体管，3只坏晶体管，从盒子里先取一个晶体管，然后不放回的再从盒子里取出一个晶体管，若已知第1只是好的，则第2只是坏的概率为（）A． B．C． D．10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（）A．B．1 C．﹣1 D．﹣11．若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则++…+的值为（）A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣212．定义在R上的函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x∈R都有f′（x）＞3，则不等式f（x）＞3x﹣1的解集为（）A．（1，2）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（0≤X≤1）=0.35，则P（X＞2）=．14．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观察数据（x i，y i）（i=1，2，…8），其回归直线方程是：=2x+a，且x1+x2+x3+…+x8=8，y1+y2+y3+…+y8=16，则实数a的值是．15．若（x2）n的展开式中二项式系数之和为64，则n等于．16．对正整数m的3次幂有如下分解方式：13=1 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19根据上述分解规律，则103的分解中最大的数是．三、解答题（共5小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知A （1，2），B（a，1），C（2，3），D（﹣1，b）（a，b∈R）是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为z1，z2．（Ⅰ）若z1+z2=1+i，求z1，z2（Ⅱ）若|z1+z2|=2，z1﹣z2为实数，求a，b的值．18．某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢打篮球不喜欢打篮球合计男生 5女生10合计已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？附：K2=p（K2≥k0）0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001k02.70 63.8415.0246.6357.87910.82819．已知数列{a n}的首项a1=2，a n+1=2a n﹣1（n∈N*）（Ⅰ）写出数列{a n}的前5项，并归纳猜想{a n}的通项公式；（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．20．已知某产品出厂前需要依次通过三道严格的审核程序，三道审核程序通过的概率依次为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，该产品只有三道程序都通过才能出厂销售（Ⅰ）求审核过程中只通过两道程序的概率；（Ⅱ）现有3件该产品进入审核，记这3件产品可以出厂销售的件数为X，求X的分布列及数学期望．21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2ax，若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．选修4-4坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），若P是圆C 与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l（Ⅰ）求直线l的极坐标方程（Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．选修4-5不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[，1]，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分。
人教版2023-2024学年高二下学期数学期末期末质量检测试题(含答案)
人教版2023-2024学年高二下学期数学期末期末质量检测试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）(){}ln 1M x y x ==-12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭M N ⋂=A ．B ．C ．D ．∅()1,+∞()()1,22,⋃+∞R2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）{}n b n n S 32b =76b =9S =A ．B ．36C ．D ．1836-18-3．随机变量，且，则（ ）()~10,X B p ()2E X =()23D X -=A ．6.4B ．12.8C ．25.6D ．3.24．若函数在上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）()2ln 1f x x a x =-+()1 ,2A ．B ．C ．D ．[]0,2(),2-∞[)8,+∞(],2-∞5．《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同学选择的电影不相同的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．161213236．已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式()f x R ()21f =-x ∈R ()()0f x xf x '+<的解集是（ ）()()112x f x ++>-A ．B ．C ．D ．(),1-∞(),2-∞()1,+∞()2,+∞7．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32，则的展开式中的系数2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 为（ ）A ．B ．C ．10D ．2010-20-8．如图，一个椭圆形花坛分为A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域，现需要在该花坛中栽种多种A ．156B ．1449．已知函数是定义在()f x R ()()21f f x ->+13．在正项等比数列中，，是的两个根，则.{}n a 2a 10a 23610x x -+=2610111a a a ++=14．二项式，则该展开式中的常数项是 ，二项式系数最大项是第 项.1231()2x x -15．已知函数，则.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．函数.对于，都有，()()323,ln f x x x a g x x x =-+=[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >则实数的取值范围是.a 17．若对任意，函数满足，且当时，都有，,R m n ∈()f x ()()()f m f n f m n =+m n >()()f m f n <则函数的一个解析式是 ．()f x 18．已知函数是定义域为的奇函数，则 ，关于的不()2211x ax f x x x =++-()1,1-=a m 等式的解集为 ．()()210f m f m +->三、解答题19．已知．()5250125(34)1(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ (1)求的值；012345a a a a a a -+--+(2)求的值．2345a a a a +++20．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.{}n a n n S ()21n n S n a =+2132a a =(1)求的通项公式；{}n a (2)若,求数列的前项和.2nn n a b ={}n b n n T 21．已知函数．31()443f x x x =-+(1)求曲线的图象在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f (2)若方程有3个不同的根，求实数k 的取值范围．()f x k =22．已知曲线在点处的切线与直线垂直.()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=(1)求实数；a (2)求函数在上的最大值与最小值.()f x []1,2-23．已知函数.()32,f x x ax a =-+∈R(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；2x =-()f x a (2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．()f x 1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦a答案：1．C由不等式，可得，所以，10x ->1x >(){}{}()ln 111,M x y x x x ∞==-=>=+因为，所以，0x ≠122y x =+≠所以，12,0N y y x x ⎧⎫==+≠⎨⎬⎩⎭{}()()2,22,y y ∞∞=≠=-⋃+所以.M N ⋂=()()1,22,∞⋃+ 2．B 解：，()()19379993622b b b b S +⨯+⨯=== 3．A 由，()102E X p ==⇒0.2p =因为，所以，()~10,0.2X B ()()100.210.20.16D X =⨯⨯-=所以.()()2344 1.6 6.4D X D X -==⨯= 4．D 由已知，在区间上恒成立，()20a f x x x '=-≥()1,2即在区间上恒成立，即，，22a x≤()1,2()m n2i 2a x≤()1,2x ∈所以2a ≤ 5．D因为每个人选择方案有3种，可知2个人不同的选择方案有种；239=且三位同学选择的电影相同的选择方案有种；3所以三位同学选择的电影不相同的概率为.32193P =-= 6．A 设，则 ，()()g x xf x =()22(2)2g f ==-对任意，，恒成立，即在上单调递x ∈R ()()0f x xf x '+<()()()0g x f x xf x ''∴=+<()g x R减，由可得，，解得，即解集为.()()112x f x ++>-(1)g(2)g x +>12x ∴+<1x <(),1-∞ 7．D根据的展开式中，二项式系数的和为 ．2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭232,5nn =∴=而 的展开式中，通项公式为，522()()n x x x x -=-()5215C 2r r r r T x -+=⋅-⋅令，求得 ，可得展开式中的系数为，523-=r 1r =3x ()15C 210⋅-=- 8．A除B 区域外，其他区域的种法分三类：第一类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色，A 区域选红色，有种不同的C D E F 44A 种法;第二类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的3种，C D E F C ，F 同色或D ，E 同色，A 区域有2种选法，有种不同的种法;3314322C A C 第三类，、、、区域选红色以外的其余4种颜色中的2种，C D E F C ，F 同色且D ，E 同色，A 区域有3种选法，有种不同的种法．22423C A 综上可得，共有（种）不同的种法．433122443222A 2C A C 3C A 156++= 9．D 因为和在上均单调递增，2y x =21y x =-+[)0,∞+所以在上单调递增．()221f x x x =-+[)0,∞+因为是定义在上的偶函数，()f x R 所以可化为，()()21f f x ->+()()21f f x ->+所以，解得．21x ->+31x -<< 10．D二项式展开式的通项为，（其中且81ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()388821881C C rr r r r r r T ax a x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭08r ≤≤），N r ∈对于，有232y x x =++2y ¢=对于，有，故ln()y x =-1y x '=如上图，中，当()1y a x =+a 所以.][(,10,1a ∞⎤∈--⋃⎦由韦达定理得，21021012,3a a a a +==由于为正项数列，{}n a 故，621033a a a ==.261022106101111236313a a a a a a a a =+++=++=+故63+14．7552-二项式的通项公式为：，1231()2x x -4121212*********()()()(1)22r r r r rr r r x T C C x x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-⋅当时，即时，常数项为：，41203r -=9r =9129912155()(1)22C -⋅⋅-=-因为，所以二项式系数最大项是第项，12172+=7故；552-715．2因为，所以.410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭所以.112211122222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为.216．e 4a >+ 因为，，所以，()323f x x x a=-+[0,3]x ∈()()23632f x x x x x =='--所以时，，时，，02x <<()0f x '<23x <<()0f x '>即在上单调递减，在上单调递增，所以，()f x []0,2[]2,3()()min 24f x f a ==-因为，，所以，()ln g x x x =21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1ln g x x ='+所以时，，时，，211e e x <<()0g x '<1e e x <<()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增，又，，()g x 211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2212e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()e e g =所以，()max eg x =对于，都有，则，[]12210,3,,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x >()()min max f x g x >所以，即.4e a ->e 4a >+故e 4a >+17．（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由题意，可取，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数是减函数，满足时，都有，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭m n >()()f m f n <因为，()()()111222m n m nf m f n f m n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以函数满足题意.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.（答案不唯一）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭18． 110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭因为是奇函数，所以，()f x ()()22221111x ax x ax f x f x x x x x -=+=-=---+--+-则由的任意性可得，x 1a =所以，则．()22322111x x x f x x x x =+=+--()()()()()2242222226142311x x x x x f x x x---==--'因为，所以，则在上单调递减．()1,1x ∈-()230,0x f x -<'<()f x ()1,1-由，得，()()210f m f m +->()()()2112f m f m f m >--=-则，解得．1121m m -<<-<103m <<故；.110,3⎛⎫ ⎪⎝⎭19．(1)32-(2)1008（1），则，原式化为，1t x =+令3431x t +=+5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令501251(31)32t a a a a =-⇒-+=-+--=- （2）,5250125(31)t a a t a t a t +=++++ 令，,则001t a =⇒=14415C (3)115a t t t ==115a =又令501251(31)1024t a a a a =⇒+=++++= 234510241511008a a a a +++=--=20．(1)12n n a +=(2)13322n n n T ++=- （1）当时,,解出,又,则；1n =1121S a =+11a =2132a a =232a =当时,由两式相减得,两边同时除以2n ≥()()()1121,211,n n n n S n a S n a ++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩()1110n n n a na +--+=()1n n -即,即,1101(1)n n a a n n n n +-+=--11111(1)1n n a a nn n n n n +-=-=----2n ≥利用上述等式有,,13211111221122n n a a a a n n n n --+⋅⋅⋅+-=-+⋅⋅⋅+-----3n ≥因此,即,,21111n a a n n -=---12n n a +=3n ≥当时,,满足,因此；1,2n =11a =232a =12n n a +=12n n a +=（2）由（1）可知,,则,112n n n b ++=234123412222n n n T ++=+++⋅⋅⋅+两边同时乘以得,,123412123122222n n n n n T +++=++⋅⋅⋅++错位相减得,23122231212111111112222222222n n n n n n n T ++++++=++⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+-（1）函数，()e 1x f x ax =+-则，()e x f x a'=+因为曲线在点处的切线与直线垂直，()e 1x f x ax =+-()()1,1f ()1e 10x y --+=所以，()1e 1f '=-所以，e e 1a +=-解得；1a =-（2）由（1）可知，，，()e 1x f x x =--[]1,2x ∈-则，令得，，()e 1x f x '=-()0f x '=0x =当时，，即在上单调递减；()1,0x ∈-()0f x '<()f x ()1,0-当时，，即在上单调递增，()0,2x ∈()0f x ¢>()f x ()0,2所以当时，取得极小值，也是最小值，0x =()f x ()00f =又因为，，()11e f -=()212e 3e f =->所以函数在上的最大值为，()f x []1,2-2e 3-综上所述，函数在上的最大值为，最小值为．()f x []1,2-2e 3-023．(1)；的增区间是和，减区间是；12a =()f x (),2-∞-()2,+∞()2,2-(2)5539a <≤ （1），，得，()23f x x a ='-()2120f a ='--=12a =当时，，得或，12a =()23120f x x '=-=2x =-2x =的变化情况如下表所示，()(),,x f x f x 'x (),2∞--2-()2,2-2()2,∞+()f x +0-0+()f x '增区间极大值18减区间极小值14-增区间即.5539a <≤。
安徽省皖中名校联盟(合肥市第八中学等)2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题
安徽省皖中名校联盟（合肥市第八中学等）2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题一、单选题1．已知{}()43{lg 10}A xx B x x =-≤≤=->∣，∣，则A B ⋂=（ ） A ．{42}xx -≤<∣ B ．{}42xx -≤≤∣ C ．{23}x x <<∣ D ．{23}xx <≤∣ 2．已知双曲线2213x y C m m -=+：，则“3m =”是“双曲线C 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知随机变量2(,),(6,)X N Y B p μσ~~，且1(4),()()2P X E X E Y ≤==，则p =（ ）A ．13B ．23C ．14D ．124．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（ ） A ．18B ．24C ．36D ．425．从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则()51E ξ+=（ ） A ．2B ．1C ．3D ．46．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S n a +=-，则5a =（ ） A ．16B ．31C ．47D ．637．在直角坐标系xOy 中，已知点()()()102032F E M -，，，，，，动点P 满足线段PE 的中点在曲线222y x =+上，则PM PF +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()()202f x f x x f -=+=，，且()11y f x =+-为奇函数，则下列结论错误的是（ ）A ．()11f =B ．函数()y f x x =+为偶函数C ．()20242022f =-D ．()191150i f i ==-∑二、多选题9．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．若随机事件AB ，满足：()()|1P A B P A +=，则A B ，相互独立 B ．若相关系数r 的值越大，则两个变量的线性相关性越强C ．样本甲中有m 件样品，其方差为21s ，样本乙中有n 件样品，其方差为22s ，则由甲乙组成的总体样本的方差为2212m n s s m n m n⋅+⋅++ D ．对具有线性相关关系的变量x y ，，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4-10．投掷一枚质地均匀的骰子，规定抛出偶数点得2分，抛出奇数点得1分，记投掷若干次后，得n 分的概率为n P ，下列说法不正确的是（ ）A ．112P =B ．212P =C ．当3n ≥时，121122n n n P P P --=+ D ．当10n ≥时，112n n P P +=-11．已知()()()()1ln e 1x f x x x g x x =+=+，，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()()1ln f x x x =+，在()0,∞+上存在唯一极值点 B ．任意()0,x ∞∈+，有()()f x g x <恒成立C ．若对任意()0,x ∞∈+，不等式()()22e xg x ax a g ++≤恒成立，则实数a 的最大值为2D ．若()()()120f x g x t t ==>，，则()21ln 21t x x +的最大值为12e三、填空题12．在()()3121ax x --的展开式中，若各项系数和为0，则a =.13．在线性回归分析中，已知()()177ni i i x x y y =--=∑，118237ni i i y x y x ====∑,,，则n =.14．在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：，的左、右焦点分别为12F F M ，，是C 的右支上一点，直线l 与C 相切于点M .由点2F 出发的入射光线碰到点M 后反射光线为MQ ，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交x 轴于点N ，此时直线l 起到了反射镜的作用.若2234MF NF =，则C 的离心率为.四、解答题15．函数()2f x mx bx c =++，满足()()()102f x f x f -=-=-，．(1)若不等式()2f x x m ≥--对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)在（1）的条件下，求2361m m m +++的最小值．16．若等比数列{}n a 的首项11a =且满足()12233n n n a a a n --=-≥. (1)求{}n a 通项公式；(2)若公比小于1，求数列{}n na 的前n 项和n S .17．某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为92%：乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为97%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%. (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？(2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.18．为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程$ 4.89459.2y x =-，且销量y的方差为22565y s =，年份x 的方差为22x s =． (1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱； (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？0.63≈；参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$；相关系数()()niix x y y r --=∑0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；()()()()()22n ad bc K a b c d a cb d -=++++，其中n a bcd =+++．附表：19．已知函数()()2ln 1,0f x mx x m =-+<.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)()()sin g x x f x =--，若0x =是()g x 的极小值点，求m 的取值范围.。
2024年高二下学期期末数学试题与答案
2024年高二下学期期末数学试题一、单选题1.若全集U =R ，{}2A x x =<，{}e ,xB y y x ==∈R ，则下列关系正确的是（）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．U B A ⊆ðD ．U A B ⊆ð2.复数i z a b =+（,a b ∈R 且0a ≠），若()12i z +为纯虚数，则（）A ．2a b =-B ．2a b =C ．2a b=D ．2a b =-3.已知向量a ，b ，则“()()·0a b a b +-=”是“a b = 或a b =- ”的（）条件．A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x+B ．sin cos x xC ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-5.在()()()345111x x x +++++的展开式中，含2x 项的系数是（）A.16B.19C.21D.246.已知3cos tan sin 11ααα=+，则cos 2=α（）A ．78-B ．78C ．79D ．79-7.已知函数()2e e xxf x -=+，则下列说法正确的是（）A.()f x 为增函数B.()f x 有两个零点C.()f x 的最大值为2eD.()y f x =的图象关于1x =对称8.已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（）AB ．2C D二、多选题9.已知一组数据1,3,5,7,9，其中位数为a ，平均数为x ，极差为b ，方差为2s .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a '，平均数为x '，极差为b '，方差为2s '，则下列说法中正确的是（）A ．若删去3，则a a '<B ．若删去9，则x x <'C ．无论删去哪个数，均有b b ≥'D ．若x x '=，则22s s '<10.若函数()y f x =的图象上至少存在两个不同的点P ，Q ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线垂直，则称函数()y f x =为“垂切函数”．下列函数中为“垂切函数”的是（）A ．2y x =B ．e xy =C ．ln y x x=D ．sin y x=11.已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(),(0,)A a b ab a b ≠≠，定义：i()a bT a bα+=-对于函数()i()f x T x =，则（）A ．函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B ．函数()f x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．将()f x 图象向右平移π4个单位，所得函数为偶函数D ．方程()12f x =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无实数解三、填空题12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.13．把圆心角为120︒的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比_________14.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足()tan tan 2tan tan cos cos B CB C C B+=+，则A 的最大值是．四、解答题15.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,3B b ==(1)若,,a b c 成等差数列，求ABC 的面积；(2)若sin sin A C -=，求a .16.已知等比数列{}n a 的前n 项和13n nS λ⎛-⎫⎪⎝⎭=，其中λ为常数．(1)求λ的值；(2)设32log n n b a =-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．17.已知抛物线()2:20C y px p =>，过()4,0M 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 是坐标原点，0OA OB ⋅= ．(1)求抛物线C 的方程；(2)若F 点是抛物线C 的焦点，求AF BF +的最小值．18.已知一圆形纸片的圆心为O ，直径2AB =，圆周上有,C D 两点.如图：OC AB ⊥，π6AOD ∠=，点P 是 BD上的动点.沿AB 将纸片折为直二面角，并连接PO ，PD ，PC ，CD .(1)当//AB 平面PCD 时，求PD 的长；(2)若OP OD ⊥，求OP 与平面PCD 所成角的正弦值.19.已知函数()e ln x f x a x x =-．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；(2)当1ea ≥时，证明：()f x 为单调递增函数．2024年高二下学期期末数学试题答案1.D 【详解】全集U =R ，{}2A x x =<，则{}2U A x x =≥ð，{}{}e ,0xB y y x y y ==∈=>R ，所以U A B ⊆ð.2.A 【详解】()12i (12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=+-=++-，因为()12i z +为纯虚数，所以20,20a b a b +=-≠，所以2a b =-.故选：A.3.A【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b = ，若a b = 或a b =- ，可得a b = ，即()()0a b a b +⋅-= ，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-=，即a b = ，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：A.4.A 【详解】对A ，πsin cos 4x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，周期2πT =，故A 正确；对B ，1sin cos sin22x x x =，周期2ππ2T ==，故B 错误；对于选项C ，22sin cos 1x x +=，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，22sin cos cos2x x x -=-，周期2ππ2T ==，故D 错误，故选：A ．5.B【详解】因为()1nx +展开式的通项为()1C 0,N r rr n T x r n r +=≤≤∈，所以()()()345111x x x +++++的展开式中含2x 项为2222222345C C C 19x x x x ++=，所以展开式中含2x 项的系数是19.故选：B 6.B 【详解】因为sin 3cos cos sin 11αααα=+，所以24sin 11sin 30αα+-=，解得1sin 4α=或sin 3α=-（舍去），所以27cos212sin 8αα=-=．7.D 【详解】A ：2()e e x x f x -'=-，令()0f x '=，得1x =，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故A 错误；B ：由选项A 知，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且()12e 0f =>，所以函数()f x 在R 上没有零点，故B 错误；C ：由选项A 知，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以()()min 12e f x f ==，即函数()f x 的最小值为2e ，故C 错误；D ：2(2)e e ()x x f x f x --=+=，所以函数()f x 图象关于直线1x =对称，故D 正确.故选：D8.C 【详解】因为221:(2)4O x y -+=，222:(1)1O x y +-=，所以两圆方程相减可得2y x =，由题意知C 的一条渐近线为2y x =，即2b a =，双曲线C 的离心e c a =====9.ACD 【详解】A 选项，若去掉3，根据中位数的定义，575,62a a +'===，满足a a '<，A 选项正确；B选项，若删去9，根据平均数的定义，1357955x ++++==，135744x +++'==，x x >'，B 选项错误；C选项，根据极差的定义，若去掉的数是3,5,7中的一个，显然去掉前后极差都是918-=，满足b b '=，若去掉1，9368b b '=-=<=，若去掉9，7168b b '=-=<=，综上，b b ≥'，C 选项正确；D 选项，原数据平均数5x =，去掉一个数后平均数保持不变，即5x '=，则剩下的四个数之和为5420⨯=，显然去掉的数只能是5，由方差的定义，2222221(15)(35)(55)(75)(95)85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，222221(15)(35)(75)(95)104s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦'，满足22s s '<，D 选项正确.故选：ACD 10.ACD 【详解】2y x '=存在1x ,2x ,使1241x x =-成立,A 正确．e 0x y '=>不存在1x ,2x ,使12e 1x x +=-成立,B错误．ln 1y x ¢=+,存在11x =,22e x -=使得()()12ln 1ln 11x x ++=-成立,C 正确．cos y x '=存在10x =,2πx =，使12cos cos 1x x =-成立,D 正确,故选:ACD.11.ABD 【详解】根据题意，tan b x a =，则()π1tan tan 1tan π4tan π1tan 411tan tan 4b xa b x a f x x b a b x x a ++++⎛⎫=====+ ⎪--⎝⎭--，对于A ，由正切函数的性质得ππ42k x +=，Z k ∈，解得ππ42k x =-+，所以函数()f x 的对称中心为ππ,042k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈，易知A 正确；对于B ，ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ3π,424x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，由正切函数的性质可知()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，将()f x 的图象向右平移π4个单位可得tan y x =，为奇函数，故C 错误；对于D ，π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，ππ3π,444x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，令π4x α=+，由正切函数tan y α=的性质可知在ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，且1y ≥，在π,π2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且0y ≤，所以方程()π1tan 42f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无实数解，故D 正确．故选：ABD ．1295【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．827【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，根据题意以及弧长公式可知，223r l ππ=，解得3l r =，所以该圆锥的侧面积为213S rl r ππ==．如图所示，由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形PAB 的外接圆半径，设圆锥的外接球的半径为R ，因为OP =，所以()222Rr R -+=，解得8R =，因此，该圆锥的外接球的表面积为2228148r S R ππ==．故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为12827S S =．故选：C ．14.π3【详解】因为tan tan 2(tan tan )cos cos B C B C C B +=+，所以()2sin cos sin cos sin sin cos cos cos cos cos cos B C C B B CC B C B B C ++=，所以sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos B C AC B C B B C+=，所以sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得：2b c a +=．由余弦定理得：222+c cos 2b a A bc-=，又由2b c a +=得：2b c a +=，所以222222223131+()(+)2+124242cos 22222b c b c b c bc bc bcb c aA bcbc bc bc +--⋅--===≥=，（当且仅当b c =，即△ABC 为正三角形时，取“=”），因为0πA <<，所以A 的最大值为π3．故答案为：π315.(1)【详解】（1）因为,,a b c 成等差数列，所以2a c b +=，又b =所以a c +=①，在ABC 中，由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，又π3B =，所以22212()3a c ac a c ac =+-=+-②，由①②得12ac =，所以ABC的面积11sin 1222S ac B ==⨯=（2）因为sin 12b A C b =-=，所以1sin sin 2A C -=，又因为πA B C ++=且π3B =，所以2π3C A =-，所以2π1sin sin 32A A ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以11sin cos sin 222A A A --=，所以11sin cos 222A A -=，所以π1sin 32A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为0πA <<，所以ππ2π333A -<-<，所以ππ36A -=，所以π2A =，所以4sin b a B ==.16.(1)1λ=(2)2312log 213nn T n n n ⎛⎫=+--⋅+ ⎪⎝⎭【详解】（1）13n n S λ⎝=⎛-⎫ ⎪⎭ ，∴当1n =时，1113a S λ==-；当2n ≥时，1113n n S λ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11112333n nn n n n a S S --⎛⎫⎛⎫∴=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．数列{}n a 是等比数列，23n n a ∴=对1n =也成立，2133λ∴=-，即1λ=．（2）由（1）知：23n n a =，33322log 2log 2log 223n n n b a n ∴=-=-=-+，∴令3222log 23n n n n c a b n =+=+-，()12311122122log 2333n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++++⨯+++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()3111331222log 21213nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=⨯+⨯-⋅-2312log 213n n n n ⎛⎫=+--⋅+ ⎪⎝⎭．2312log 213nn T n n n ⎛⎫∴=+--⋅+ ⎪⎝⎭17.(1)24y x =(2)10【详解】（1）由题意知，直线AB 的斜率不为零，设直线AB 的方程为4x my =+，联立抛物线()2:20C y px p =>的方程得：2280y pmy p --=，224320p m p =+>△恒成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以122y y pm +=，128y y p ⋅=-．又()()12121212440OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++=，即()()2121214160m y y m y y ++++=，所以1680-=p ，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由（1）知：24160y my --=，124y y m +=，1216y y ⋅=-，所以()()()()12121155AF BF x x my my +=+++=+++()2121041010m y y m =++=+≥，当且仅当0m =时取等号，所以AF BF +的最小值为10．(2)3.【详解】（1） //AB 平面PCD ，AB ⊂平面POD ，平面PCD 平面POD PD =，则有//AB PD .所以π6PDO AOD ∠∠==，又1OD OP ==，则π2cos 2cos 6PD OD PDO =∠==.（2）方法一：因为平面AOC ⊥平面DOP ，平面AOC I 平面DOP AB =，OC ⊂平面AOC ，OC AB ⊥，所以OC ⊥平面DOP .又OD ，OP ⊂平面DOP ，则OC OD ⊥，OC OP ⊥，又OP OD ⊥，由1OC OP OD ===，可得CD CP PD ==设O 到平面PCD 的距离为d ，因为O PCD C OPD V V --=，所以PCD OPD S d S CO ⨯=⨯ ，所以1111122d =⨯⨯⨯，所以d =OP 与平面PCD 所成的角为θ，则3sin 1d OP θ==故OP 与平面PCD所成角的正弦值为3.方法二： OP OD ⊥，π6AOD ∠=，π3POB ∴∠=.如图，过点O 作平面ABC 的垂线OG ，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OG 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)C，10,,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,22P ⎛ ⎝⎭.∴11,,22PC ⎛=-- ⎝⎭，11,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.易知(1,0,0)OC = 是平面POD的一个法向量，设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102102x y x z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令=2y -，得2x =+，4z =+，则(22,4n =+-+，设OP 与平面PCD 所成角的为θ，则sin cos ,OP n θ=〈〉=故OP 与平面PCD 所成角的正弦值19.(1)(e 1)1y x =-+(2)证明见解析【详解】（1）由题可得：()e (1ln )x f x a x '=-+．当1a =时，(1)e f =，(1)e 1f '=-．故曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为(e 1)1y x =-+．（2）(方法一)()f x 定义域为(0,)+∞，当1ea ≥时，1()e (1ln )x f x x -'≥-+．设1()e (1ln )x g x x -=-+，则11()ex g x x-'=-在(0,)+∞单调递增．当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增．所以()(1)0g x g ≥=，从而()0f x '≥．当且仅当1ea =且1x =时，()0f x '=．于是当1e a ≥时，()f x 为单调递增函数，得证.(方法二)()f x 定义域为(0,)+∞，1ln ()e e x x x f x a +⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．设1ln ()exxg x a +=-，则()f x 为单调递增函数等价于()0g x ≥且没有连续的x 值使()0g x =．1ln 1()e xx x g x -+'=，设1()ln 1h x x x=-+，则()h x 在(0,)+∞单调递增．当(0,1)x ∈时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=，当且仅当1x =时，()0g x =．于是当1ea ≥时，()f x 为单调递增函数，得证.。
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合计
男生
２０
５
２５
女生
１０
１５
２５
合计
３０
２０
５０
错误！未找到引用源。 则根据表中的数据,计算随机变量
的值，并参考有关公式，你认为性别与
是否喜爱打篮球之间有关系的把握有（ ）
A．0
B． 95％
C .99％
D．100%
6.曲线 y = x 在点 (0,0) 处的切线方程为（
）
x +1
A． y = −x
3/6
已 函 18. 知 数 f (x) = ln x
求 极 ； （1）若 F (x) = f (x) + a (a ∈ R) ， F (x) 的 值 x
讨论 上 ； （2） F (x) 在 (0, e2 ] 的单调性
上恒 立 求满足此条件 实 取 范 （3）若G(x) = 2 f (x) − k < 0 在 (0,+∞) 成 ，
5 位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班 3 位同学恰好被排在一起（指演讲序号
相连），而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为（ ）
A． 1 10
B． 1 20
C． 1 40
D． 1 120
9.正三棱柱 ABC − A1B1C1 的棱长都为 2， E, F, G 为 AB, AA1, A1C1 的中点，则 B1F 与面 GEF
以 （
1 2
,
1 2
,0
），且
PA
=
(1,0,−1)
，
EG
=
1 2
,0,−
1 2
，所
uuur uuur PA = 2EG,即PA / /EG ．
因此 ． 而 EG ⊂ 平面 EDB，且 PA ⊄ 平面 EDB， PA//平面 EDB
证明；依 （2）
uuur
题意得 B（1,1，0）， PB = (1,1, −1) ．
因 以 为 PF = k PB ，所 (x, y, z −1) = k(1,1 −1) = (k, k,−k )，则 x = k, y = k, z = 1 − k
因 以 为 PB • DF = 0 ，所 (1,1,−1)• (k, k,1 − k ) = k + k −1 + k = 3k −1 = 0 ．
的 数 k 的 值 围.
x
4/6
答案
； ； DCBCC CBBAC 11. 0.128 12. [3,+∞ ) ∪ {1} 13. 当 m + n = 20 时，有 m + n ≤ 2 10 ；
14. 0
该容器底 矩 短边 另 边 15. 解：设
面 形的 长为 x m，则 一 长为 (x + 0.5) m，
成角的正弦值是（ ）
3
5
33
36
A．
B．
C．
D．
日、照、市 错误！未找到引用源。 5
10.将“
6
10
”填入如图所示的
10
小方格内，每格内只填入一个汉
字，且任意两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（
错误！未找到引用 A.288
B.144
C.576
源。 C1
） D.96
G
A1
B1
F
C
A
E
B
11.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连．续．正确回答出两个问题，
+ 1.6
=
0
，得
x1
=1，
x2
=
−4 15
（
）， 为，V ′(x) 在 (0 1.6) 内只有
极 ， 时 函 递增； ， 时 函 递 一个 值点，且 x ∈(01) ，V ′(x) > 0 ， 数V (x)
x ∈ (11.6) ，V ′(x) < 0 ， 数V (x)
减； 以 当 时 函 所 ， x = 1 ， 数V (x) 有最大值V (1) = 1× (1+ 0.5) × (3.2 − 2 ×1) = 1.8m3 ，
__________．
uuur uuur uuur uuur
已 S △ 外 S x y z 14. 知 是 ABC 所在平面 一点，D 是 C 的中点，若 BD ＝ x AB + y AC + z AS ，则 ＋ ＋
＝
．
总 15.用 长 14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多
又 故 以 uuur DE
=
0，1 + 1 − 1 = 0 ．所 22
PB ⊥ DE ．
由已 以 知 PB ⊥ EF，且EF I DE = E ，所 PB ⊥ 平面EFD ．
已 ，由 可 故 - - （3） 解： 知 PB ⊥ EF （2） 知 PB ⊥ DF ， ∠EFD 是二面角 C PB D 的平面角． 坐标 ， ， 设点 F 的 为（ x y z ），则 PF = (x, y, z −1)，
锥 底 侧 ⊥底 17.如图在四棱 P—ABCD 中 面 ABCD 是正方形， 棱 PD 面 ABCD，PD=DC，点 E 是 作 ⊥ 交 PC 的中点， EF PB PB 于点 F． 求证 ∥ ； 求证 ⊥ ； 求 （1） ：PA 平面 EDB （2） ：PB 平面 EFD （3） 二面角 C−PB−D 的大小．
此容器的高为 y = 14.8 − x − (x + 0.5) = 3.2 − 2x ， 4
此容器 容 于是，
的 积为：V (x) = x(x + 0.5)(3.2 − 2x) = −2x3 + 2.2x2 + 1.6x ，其中 0 < x < 1.6 ，
舍去 因 ， 即V
′( x)
=
−6x2
+
4.4x
B． y = 1 x 2
C． y = x
D． y = 2x
7.曲线 y = 2 与直线 y = x − 1 及 x = 4 所围成的封闭图形的面积为（ ） x
1/6
A. 2 − ln 2
B. 4 − 2 ln 2
C. 8 − 2 ln 2
D. 2 ln 2
8.某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛，其中一班有 3 位，二班有 2 位，其它班有
布 随机变量 X 的分 列为：
120 30
X
0
1
2
3
4
5
P
11
3
1
1
0
1
30
8
6
12
120
建立空 坐标 坐标原 17. 解：如图
间直角 系，点 D 为
点，设 DC=1
证明 交 依 （1） ：连结 AC，AC BD 于点 G，连结 EG． 题意得 A（1,0，0），P（0,0，1），
5/6
因 底 以 此 心 故 坐标 E（ 0, 1 , 1 ）． 为 面 ABCD 是正方形，所 点 G 是 正方形的中 ， 点 G 的 为 22
2 3
=
1 6
=
1
，
FE FD
6• 6 63
12 3
以 - - 所 ∠EFD = 60° ，即二面角 C PB D 的大小为 60° ．
6/6
； ； ； 且： P(X
= 5) =
1 A55
=1 120
P( X
= 4)
=
0 A55
=0
P( X
=
3)
=
C52 ×1 A55
=
1 12
； ； P(X
=
2)
=
C53 × 2 A55
=
20 120
=
1 6
P( X
= 1)
=
C
1 5
×
9
A55
=
45 120
=
3 8
以所 ：
。 P( X = 0) = 1 − [P( X = 1) + P( X = 2) + P( X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)] = 44 = 11
多少时容器 容 ？ 求 容 0.5m，那么高是
的 积最大 并 出它的最大 积．
2/6
编 五 座编 五 座 16. 号为1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 位学生随意入 号为1， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 个 位，每位 坐 座 。 座 编 学生 一个 位 设与 位 号相同的学生人数是 X . Ⅰ 试求 座 编 ； ( ) 恰 好有 3 个学生与 位 号相同的概率 P(X = 3) Ⅱ 求 布 ( ) 随机变量 X . 的分 列
的取值范围是________ ____
已 和验证 等 13. 知经过计算
有 下 列 正 确 的 不 式 ： 3 + 17 < 2 10 ， 7.5 + 12.5 < 2 10 ，
以上 等 律 请 实 ， 立 条件 等 8 + 2 + 12 − 2 < 2 10 ，根据 不 式的规 ， 写出对正 数 m n 成 的 不 式
果 互独立 该 就 等 即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ，且每个问题的回答结
相
，则 选手恰好回答了 4 个问题 晋级下一轮的概率 于
.
函 义域 区 函 实 12.若 数 f (x) = x2 − 8ln x 在其定 内的一个子 间 (k −1, k +1) 内是单调 数，则 数 k
当 时 体容器 容 容 即 高为 1.2m ，长方
的 积最大，最大 积为1.8m3 ．