安徽大学数学期末试卷汇编计算机学院2010—2011年离散数学(上)B卷和参考答案及评分标准

安徽大学20 10 — 20 11 学年第 1 学期
《离散数学(上)》考试试卷(B 卷)
(时间120分钟)
院/系 专业 姓名 学号
一、单选题(每小题2分,共20分)
1. 设:P 天下雨,:Q 小王乘汽车上班,则命题“仅当天下雨,小王才乘汽车上班”可符号化为( )
A.P Q →；
B.Q P →；
C.P Q ∧；
D.P Q ∨。

2. 设个体域为{,}D a b =,(,)(,)0F a a F a b ==,(,)(,)1F b a F b b ==,则下列公式为真的是( )
A. (,)x yF x y ∃∀；
B. (,)x yF x y ∀∃；
C.(,)x yF x y ∀∀；
D.(,)x yF x y ∃∃¬。

3. 设B 是不含变元x 的公式,谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )
A.(∃x)A(x)→B
B.(∀x)A(x)→B
C.A(x)→B
D.(∀x)A(x)→(∀x)B 4. 对任意集合C B A ,,,下列各式中一定成立的是( )
A.)()()(C A B A C B A ⋃⊕⋃=⊕⋃；
B. )()()(C A B A C B A ⋃⋂⊕=⋂⊕；
C. )()()(C A B A C B A ⋃⊗⋃=⊗⋃；
D. )()(C B A C B A ⨯⨯=⨯⨯。

5. 设A={a,b,c},A 上二元关系R={〈a,a 〉,〈b,b 〉,〈a,c 〉},则关系R 的对称闭包S(R)是( )
A.R ∪I A
B.R
C.R ∪{〈c,a 〉}
D.R ∩I A
6. 设X={a,b,c},I x
是X 上恒等关系,要使I x ∪{〈a,b 〉,〈b,c 〉,〈c,a 〉,〈b,a 〉}∪R 为X 上的
等价关系,R 应取( )
A. ｛〈c,a 〉,〈a,c 〉｝
B.{〈c,b 〉,〈b,a 〉}
C. {〈c,a 〉,〈b,a 〉}
D.{〈a,c 〉,〈c,b 〉} 7. 下列式子正确的是( )
A. ∅∈∅
B.∅⊆∅
C.{∅}⊆∅
D.{∅}∈∅
8. 以下命题公式中,为永假式的是( )
A.p →(p ∨q ∨r)
B.(p →┐p)→┐p
C.┐(q →q)∧p
D.┐(q ∨┐p)→(p ∧┐p) 9. 设1
π和2π是非空集合A 的划分,则下列集合一定是A 的划分的是( )
A.1
2ππ B.12ππ C.12ππ- D.1211()ππππ-
10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合,则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是( )
A.R
B.N
N C.()N ρ D.n
N (n N ∈)
二、判断题(每小题2分,共10分。

对的打√,错的打×)
1. ( )联结词集合},{⌝↔为全功能的。

2. ( )((⌝P ∨Q)∧(Q →R))→(P →R)为重言式。

3. ( )R 是A 上的二元关系,R 是自反的,当且仅当r(R)=R 。

4. ( )集合A 上的等价关系确定了A 的一个划分。

5. ( )R 是集合A 上的关系,R 有传递性的充要条件是RoR ⊆R 。

三、填空题(每小空2分,共20分)
1. 设)(x E ：x 是偶数,)(x P ：x 是质数,()I x ：x 是整数,)(x N ：x 是负数,则在全总个体域下 “有某个质数其平方是偶数”符号化为： ； “对任何两个整数x 和y ,y x -或x y -是非负的”符号化 。

2. 命题{{a}} ⊆ {{a},3,4,1} 的真值 = __ __ 。

3. 公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →∃∨→∀的自由变元是 , 约束变元
是 。

4. n 个命题变元的真值有＿＿ ＿种不同的组合；n 个命题变元可构造＿ ＿＿个不同的
主析取范式。

5. 集合{1,2,3,4}A =上有＿＿ ＿个不同的二元关系,＿＿ ＿个不同的等价关系。

6. 集合A 上的关系{1,2,2,1,2,3}<><><>的传递闭包为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

四、计算题(每小题10分,共30分)
1. 求P Q P →↔的主析取范式和主合取范式。

2. 设R 是集合{1,2,3,4,5}A =上的关系
{(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R =
(1)画出R 的关系图; (2)证明R 是等价关系； (3)写出R 的所有等价类。

3. 设,A R <>为偏序集,其中}20,,6,4,2{ =A ,R 是A 上整除关系。

(1) 画出,A R <>的哈斯图； (2) 求A 的极大元和极小元；
(3) 令}12,8,6{=B ,求B 的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界和下确界。

五、证明题(每小题10分,共20分)
1. 设R 为实数集合,N 为自然数集合,证明：||||R N R -=。

2. 用推理规则证明：{ P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S 。

安徽大学20 10 —20 11 学年第 1 学期
《离散数学(上)》考试试题(B 卷)参考答案及评分标准
一、单选题(每小题2分,共20分)
1.B ；
2.A ；
3.A ；
4.C ；
5.C ；
6.D ；
7.B ；
8.C ；
9.D ；10.D 。

二、判断题(每小题1分,共10分。

对的打√,错的打×)
1.×；
2.√；
3.√；
4.√；
5.√。

三、填空题(每小空2分,共20分)
1. 2(()())x P x E x ∃∧,(()()()())x y I x I y N x y N y x ∀∀∧→⌝-∨⌝-；
2. T 或真或1；
3. y,x ； x,z ；
4.2n ；22n ；
5.16
2或65536；15； 6.{1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,2,3}<><><><><><>。

四、计算题(每小题10分,共30分)
1. (())(())P Q P P Q P P P Q →↔⇔⌝∨→∧→⌝∨
(())(())P Q P P P Q ⇔⌝⌝∨∨∧⌝∨⌝∨
(())()P Q P P Q ⇔∧⌝∨∧⌝∨
4分
()P P Q ⇔∧⌝∨()()P P P Q ⇔∧⌝∨∧()P Q ⇔∧(3)⇔∑(主析取范式) 8分
(0,1,2)⇔∏()()()P Q P Q P Q ⇔∨∧∨⌝∧⌝∨(主合取范式) 10分
2. {(1,1),(1,3),(2,2),(2,5),(3,1),(3,3),(4,4),(5,2),(5,5)}R =.
(1) R 的关系图
4分
(2) 因为 R 满足自反、对称和传递性,所以R 是等价关系； 3分 (3) 等价类：{1, 3}, {2, 5}, {4}。

3分
3. (1) ,A R <>的哈斯图为
4分
(2) A 的极大元为：12,14,16,18,20,极小元为2； 2分 (3) B 的极大元为：8,12,极小元为6,8；B 的最大元和最小元都不存在； 2分
B 的上界不存在,下界为2；B 的上确界不存在,下确界为2。

2分
五、证明题(每小题10分,共20分)
1. 设:f R N R -→,()f x x =,则f 是从R N -到N 的单射函数,所以||||R N R -≤。

3分
构造从R 到R N -的函数:g R R N →-如下：
2()21x
x I g x x x N x x -∈⎧⎪
=--∈⎨⎪⎩
其它 7分
其中I -为负整数集合,则g 是从N 到R N -的单射函数(双射函数),所以||||R R N ≤-。

综合以上,||||R N R -=。

10分
2. 证:
(1) P ∨Q P (2) R →(⌝P ∧⌝Q) P (3) ⌝R ∨⌝ (P ∨Q) T(2) (4) (P ∨Q)→⌝R T(3) 1分 (5) ⌝R T(1)(4) 2分 (6) P →R P (7) ⌝R →⌝P T (6) 1分 (8) ⌝P T(5)(7) 2分 (9) Q T(1)(8) 2分 (10) Q →S P (11) S T(9)(10) 2分 所以 { P ∨Q, P →R, Q →S, R →(⌝P ∧⌝Q)}蕴涵S .。