几类不同增长的函数模型教学设计范文整理

几类不同增长的函数模型教学设计

教学设计

2.1 几类不同增长的函数模型

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．

三维目标

．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题．

．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模

型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．

课时安排

课时

教学过程

第1课时

林大华

导入新

思路1．

一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？

解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g

＝10n，f≈105，g＝2.

也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．

思路2．

请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新

新知探究

提出问题

如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．

正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．

某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．

分别用表格、图象表示上述函数．

指出它们属于哪种函数模型．

讨论它们的单调性．

比较它们的增长差异．

另外还有哪种函数模型与对数函数相关．

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

总价等于单价与数量的积．

面积等于边长的平方．

由特殊到一般，先求出经过1年、2年…

列表画出函数图象．

引导学生回忆学过的函数模型．

结合函数表格与图象讨论它们的单调性．

让学生自己比较并体会．

其他与对数函数有关的函数模型．

讨论结果：y＝x.

y＝x2.

y＝x.

如下表

x123456

y＝x123456

y＝x2149162536

y＝x1.051.101.161.221.281.34

它们的图象分别为图1，图2，图3.

图1图2图3

它们分别属于：y＝x＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ax＋b．从表格和图象得出它们都为增函数．

在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．

另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．

应用示例

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

元；10以后每天比前一天多回报元，10天回报方案二：

方案三：天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？

活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40进行描述；方案二可以用函数y＝10x进行描述；方案三

可以用函数y＝0.4×2x－1进行描述．三个模型中，个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.

x/天方案一方案二方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元

0100.4

00XX0.80.4

0030101.60.8

40040103.21.6

40050106.43.2

400601012.86.4

400701025.612.8

400801051.225.6

4009010102.451.2

040010010204.8102.4

…………………

040030010214748364.8107374182.4

再作出三个函数的图象．

图4

由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9

天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．

下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11 天