人教B版高中数学必修四《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》练习题
高中人版B版数学必修四练习：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦课后篇巩固探究 一、A 组 基础巩固1.sin 10°cos 35°-sin 260°sin 145°的值是( ) A.√22 B.-√22C.sin 25°D.-sin 25°2.已知sin α=-35,α∈(π,3π2),则sin (α+π4)的值为( ) A .3√210 B .7√210 C .-√210D .-7√210α∈(π,3π),sin α=-3,∴cos α=-4, sin (α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4 =-35×√22+(-45)×√22=-7√210.3.在△ABC 中,A=15°,则√3sin A-cos(B+C )的值为( ) A .√32B .√22C .√2D .2=√3sin A+cos A=2sin(A+30°)=2sin45°=√2.4.在△ABC 中,2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形2cos B sin A=sin C ,∴2cos B sin A=sin(A+B ).∴2cos B sin A=sin A cos B+cos A sin B. ∴sin A cos B-cos A sin B=0,∴sin(A-B )=0. ∵A ,B 是△ABC 的内角,∴A=B. ∴△ABC 是等腰三角形.5.已知α∈(π,3π2),sin α=-14,β∈(3π2,2π),cos β=45,则α+β为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(√2,√2),a ·b =85,则cos (x -π4)= .7.已知sin α=12,sin β=13,则sin(α+β)sin(α-β)= .8.导学号73764075已知cos (π4-α)=35,sin (3π4+β)=513,其中π4<α<3π4,0<β<π4,求sin(α+β)的值.α+β+π2=3π4+β-(π4-α),所以sin(α+β)=-cos [π2+(α+β)] =-cos [(3π4+β)-(π4-α)] =-cos (3π4+β)cos (π4-α)-sin (3π4+β)sin (π4-α). 又因为π4<α<3π4,0<β<π4, 所以-π2<π4-α<0,3π4<3π4+β<π. 所以sin (π4-α)=-45,cos (3π4+β)=-1213.所以sin(α+β)=-(-1213)×35−513×(-45)=5665. 9.已知M (1+cos 2x ,1),N (1,√3sin 2x+a ),若f (x )=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点). (1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,π2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值.f (x )=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+cos2x+√3sin2x+a , ∴f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1. (2)f (x )=cos2x+√3sin2x+a+1 =2sin (2x +π6)+a+1,∵x ∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴当2x+π6=π2时,即x=π6时,f (x )取得最大值为3+a ,∴3+a=4,∴a=1.二、B 组 能力提升1.已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,则lo g √5(tanαtanβ)2等于( )A.2B.3C.4D.62.sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°的值等于( ) A.2+√3 B.2+√32 C.2-√3D.2-√32=sin (15°-8°)+cos15°sin8°cos (15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=sin15°cos15°=√6-√246+24=2-√3.3.已知f (x )=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在[0,π]上是减函数,则θ的一个值是( ) A .π4B .πC .43πD .54π(x )=√2sin (3x +θ-π4),∵f (x )是奇函数,∴f (0)=√2sin (θ-π4)=0,∴θ=k π+π4,k ∈Z . ∵f (x )在[0,π6]上是减函数,∴k 为奇数. 当k=1时,θ=5π.4.在△ABC 中,已知sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B ≥1,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形D .等腰非直角三角形sin(A-B )cos B+cos(A-B )sin B=sin(A-B+B )=sin A ≥1,且0≤sin A ≤1,∴sin A=1,即A=π2,∴△ABC 是直角三角形.5.函数y=sin x+cos x+2(x ∈[0,π2])的最小值是( ) A .2-√2 B .2+√2 C .3D .1sin x+cos x+2=√2sin (x +π4)+2.∵x ∈[0,π2],∴x+π4∈[π4,34π], ∴y min =√2×√22+2=3.6.已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α),若AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,则sin (α+π4)= .AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3,sin α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-3),∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=cos 2α-3cos α+sin 2α-3sin α=1-3√2sin (α+π4)=-1.∴sin (α+π4)=√23.7.已知sin α+cos α=√62,α∈(0,π4),则sin (α-5π4)= .(α-5π4)=sin αcos 5π4-cos αsin 5π4=√22cos α-√22sin α=√22(cos α-sin α).∵α∈(0,π4),∴cos α>sin α, ∴(sin α+cos α)2=32,(sin α-cos α)2=12,∴cos α-sin α=√22. ∴sin (α-5π)=√2×√2=1.8.已知f (x )=sin 2x+√3cos 2x-1,x ∈[0,π2]. (1)求f (x )的最大值;(2)求f (x )在定义域上的单调递增区间.f (x )=2sin (2x +π3)-1.∵0≤x ≤π2,∴π3≤2x+π3≤4π3. ∴f (x )max =1.(2)由π3≤2x+π3≤π2,得0≤x ≤π12.∴f (x )在定义域上的单调递增区间为[0,π12].9.已知函数f (x )=A sin(x+φ)(A>0,0<φ<π,x ∈R )的最大值是1,其图象经过点M (π3,12).(1)求f (x )的解析式;(2)已知α,β∈(0,π2),且f (α)=35,f (β)=1213,求f (α-β)的值.因为函数f (x )的最大值为1,所以A=1.因为f (x )的图象经过点M (π3,12), 所以sin (π3+φ)=12.因为0<φ<π,所以π3<π3+φ<4π3. 所以π3+φ=5π6.所以φ=π2. 所以f (x )=sin (x +π2)=cos x. (2)因为f (α)=cos α=35,f (β)=cos β=1213, 且α,β∈(0,π2),所以sin α=45,sin β=513.所以f (α-β)=cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β =35×1213+45×513=5665. 10.导学号73764076已知函数f (x )=sin (2x +π6)+sin (2x -π6)+cos 2x+a (a ∈R ,a 为常数).(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间; (2)当x ∈[0,π]时,f (x )的最小值为-2,求a 的值.∵f (x )=2sin2x cos π+cos2x+a=√3sin2x+cos2x+a=2sin (2x +π6)+a ,∴f (x )的最小正周期T=2π2=π. 当2k π-π2≤2x+π6≤2k π+π2,k ∈Z ,即k π-π≤x ≤k π+π(k ∈Z )时,函数f (x )单调递增, 故所求区间为[kπ-π3,kπ+π6](k ∈Z ). (2)当x ∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6], ∴x=π2时,f (x )取得最小值. ∴2sin (2×π2+π6)+a=-2, ∴a=-1.。
高中数学必修四课时作业5：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.已知一元二次方程0332=--x x 的两个根为βαtan ,tan ，求)(cos 3)cos()sin(3)(sin 22βαβαβαβα+-++-+的值__________．2.已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin (α＋π4)cos (2α＋4π)的值． 3.求值：(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°；(2)tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)． 4.函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1 5.若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A.103 B.53 C.23D ．－2 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值 7．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°8.已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( ) A ．－2425 B ．－1225 C ．－45 D.24259．对任意向量a 、b ，在下式中：①a ＋b ＝b ＋a ；②(a ＋b )＋c ＝b ＋(a ＋c )；③|a ＋b |＝|a |＋|b |；④|a ＋b |≤|a |＋|b |，恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知π<θ<32π，则12＋1212＋12cos θ＝________．参考[答案]：1.【[答案]】-32.【[答案]】∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213. ∴sin (α＋π4)cos (2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. 3.【[答案]】(1)原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°sin 70°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°sin 70°＝ 3.[来源:Z,xx,] (2)原式＝tan [(π6－θ)＋(π6＋θ)][1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)]＋3tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝ 3. 4.【[答案]】B5.【[答案]】A6.【[答案]】解：(1)由B ＝C ,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a ＝13. (2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2 A －1＝－79. 故sin 2A ＝2sin A cos A ＝429. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 7.【[答案]】D8.【[答案]】A9.【[答案]】C10.【[答案]】sin θ4。
高中数学必修4单元配套练习试题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及参考答案解析
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式姓名:___________班级:______________________1.下列式子恒成立的是( )A.sin(α+β)＝sin α+sin βB.cos(α−β)＝cos αcos β+sin αsin βC.sin(α−β)＝cos αcos β−sin αsin βD.cos(α+β)＝cos αsin β−sin αcos β11︒tan 19︒+tan 11︒∙tan 19︒的值是( )3C.0D.13.ππcos sin sin sin63αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝( )A.12B.12-4.计算1+tan151tan15︒-︒的值为( )D.25.已知角αβ，均为锐角,且cosα＝35,tan(α−β)＝−13,tanβ＝( ) A.13B.913C.139D.36.设α为锐角,若π3cos()65α+=,则πsin()12α-=( )A.10B.10-C.45D.45-7.若()()11sin,sin23αβαβ+=-=,则tantanαβ为( )A.5B.−1C.6D.168.若πtan3tan7α=,则πsin()75πcos()14αα-=-( )1C.31D.419.设θ为第二象限角,若π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin θcos θ＝______ . 10.计算:sin 47sin 17cos 30cos 17︒-︒︒︒＝_______.αβ45αβ453π2π2αβ<+<ππ2αβ<-<12.已知552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角. 求:(1))sin(βα-的值;(2))2tan(βα+的值.13.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α、β它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点.已知A 、B 的横坐标分别为10 求:(1) tan(α＋β)的值;(2) 2αβ+的值.14.(1)已知2tan()5αβ+=,π1tan()44β-=,求cos sin cos sin αααα+-的值;(2)已知,αβ均为锐角,且cos()αβ+=sin()10αβ-=,求2β.参考答案1.B【解析】根据两角和与差的正弦公式、余弦公式可得cos(α−β)＝cos αcos β+ sin αsin β,故选B.考点:两角和与差的余弦,两角和与差的正弦. 2.D【解析】因为tan 30︒＝tan(11︒+19︒)＝tan11tan191tan11tan19︒+︒-︒︒(tan 11︒+tan 19°)＝1−tan 11°tan 19°. 原式＝11︒+tan 19︒)+tan 11︒∙tan 19︒ ＝1−tan 11°•tan 19°+tan 11°•tan 19°＝1,故选D.考点:两角和与差的正切. 3.A【解析】ππcos sin sin sin 63αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππcos sin sin cos 632αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππsin cos cos sin 66αααα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1sin sin 662αα⎡⎤⎛⎫=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故选A. 考点:两角和与差的正弦. 4.B 【解析】1+tan151tan15︒-︒＝tan45+tan151tan45tan15︒︒-︒︒＝tan(45°+15°)故选B.考点:两角和与差的正切. 5.D【解析】∵角α,β均为锐角,且cos α＝35,∴sin α＝45, tan α＝43,又tan(α−β)＝tan tan 1+tan tan αβαβ-＝4tan 341+tan 3ββ-＝−13, ∴tan β＝3,故选D. 考点:两角和与差的正切. 6.A【解析】因为α为锐角,所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,因为π3cos()65α+=,所以π4sin()65α+=,故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ43cos sin 6425510α⎛⎫⎫+=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.考点:同角三角函数基本关系式,两角和的正弦公式. 7.A【解析】由()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=两式联立可得:51tan sin cos ,cos sin ,51212tan ααβαββ==∴=.故选A.考点:两角和与差的正弦公式. 8.B【解析】πππππsin()sin cos cos sin sin cos cos sin777775ππππcos()cos sin 14727αααααααα---==⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππππsin cos cos sin tan tan 2tan17777=ππππ2sin cos cos sin tan tan 4tan7777αααααα--===++,故选B. 考点:正、余弦差角公式.9.5-【解析】∵θ为第二象限角,π1tan 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞0,∴π3θ+为第三象限角, 由πsin 13π2cos 3θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,sin π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,cos π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜0,22ππsin cos 133θθ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-, 则sin θθ＝2sin π3θ⎛⎫+⎪⎝⎭＝5-. 考点:两角和与差的正弦,两角和与差的正切. 10.12【解析】sin 47sin 17cos 30sin 3017sin 17cos 30cos 17cos 17︒-︒︒︒+︒-︒︒=︒︒（）＝sin 30cos 17cos 30sin 17sin 17cos 30sin 30cos 17cos 17cos 17︒︒+︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝sin 30°＝12. 考点:两角和的正弦. 11.0【解析】cos(α+β)＝45, cos(α−β)＝−45,3π2π2αβ<+<,ππ2αβ<-<, ∴sin (α+β)＝−35,sin(α−β)＝35,∴sin 2β＝sin[α+β−(α−β)]＝sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)∙sin(α−β)＝3()5-×4()5-−45×35＝0.考点:两角和与差的正弦.4138- 【解析】(1)∵552cos ,53cos ==βα,且βα,为锐角,∴55sin ,54sin ==βα, ∴55555355254sin cos cos sin )sin(=⨯-⨯=-=-βαβαβα. (2)由(1)可得41tan ,tan 32αβ==, ∴41tan tan 1132tan()411tan tan 2132αβαβαβ+++===--⨯,∴[]411tan tan()4132tan(2)tan ()4111tan tan()38132ααβαβααβααβ++++=++===--+-⨯. 考点:两角和与差的正弦、正切. 13.(1)－3 (2)3π4【解析】(1)由已知条件及三角函数的定义可知cos α＝10,cos β＝5. 因为α为锐角,故sin α＞0,从而sin α10=,同理可得sin β因此tan α＝7,tan β＝12.所以tan(α＋β)＝17 t an tan 211tan tan 172αβαβ++=--⨯＝－3. (2) tan(2αβ+)＝tan[(α＋β)＋β]＝()1321132-+--⨯＝－1. 又0＜α＜π2,0＜β＜π2,故0＜2αβ+＜3π2.从而由tan(2αβ+)＝－1,得2αβ+＝3π4.考点:两角和的正切.14.(1)322(2)π4【解析】(1)πtan tanππcos sin 4tan[()()]tan()π44cos sin 1tan tan 4ααααββαααα+++--=+==--, 21πtan()tan()π3544tan[()()]π214221tan()tan()1454αββαββαββ-+--+--===++-+⨯. 所以cos sin 3.cos sin 22αααα+=- (2)∵,αβ均为锐角,∴0παβ<+<,ππ22αβ-<-<,∴sin()αβ+=,cos()αβ-==∴cos 2cos[()()]βαβαβ=+--== ∵β为锐角,∴02πβ<<,∴π24β=. 考点:两角和与差的正弦、余弦和正切.。
数学人教b版高一必修4：3.1.2、3两角和与差的正弦两角和与差的正切作业含解析
双基达标(限时20分钟)1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝()．A．sin(2α＋β) B．sin βC．cos(2α＋β) D．cos β解析原式＝cos[](α＋β)－α＝cos β，故选D.答案 D2．计算sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是()．A.32 B.12C．－32D．－12解析原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12，故选B.答案 B3．若α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)的值为()．A.12B．1C.32D．2解析(1－tan α)(1－tan β)＝1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)①∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan 34π(1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，∴①式＝2，故选D.答案 D4．已知tan α＝2，tan β＝3，α、β均为锐角，则α＋β的值是________．解析因为tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1，又α、β是锐角，0<α＋β<π，所以由tan(α＋β)＝－1得α＋β＝3 4π.答案3π45．如果cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值是________．解析 由cos θ＝－1213，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π知sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θcos π4－sin θsin π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－713＝－7226.答案 －72266．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β， 并用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值． 解 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β， ∴等式成立．于是，sin 220°＋sin 80°·sin 40° ＝sin 220°＋sin(60°＋20°)sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220° ＝sin 260°＝34.综合提高 (限时25分钟)7．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝ ( )．A ．0B ．0或2425 C.2425D ．0或－2425解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.故选C. 答案 C8．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为 ( )．A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 由sin A sin B <cos A cos B ⇒cos A cos B －sin A sin B >0⇒cos(A ＋B )>0⇒cos C <0⇒C 是钝角，故选D.答案 D9．计算：sin 75°·sin 15°＝________. 解析 sin 75°sin 15°＝cos 15°cos 75° ＝cos(45°－30°)·cos(45°＋30°)＝(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)(cos 45°cos 30°－ sin 45°sin 30°)＝(cos 45°cos 30°)2－(sin 45°sin 30°)2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22×322－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×122＝14.答案 1410．已知在锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，则tan Atan B ＝________. 解析 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇔tan Atan B ＝2.答案 211.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α、β为锐角，∴sin α＝ 1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.由此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.12．(创新拓展)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(1)若sin x ＝45，求函数f (x )的值； (2)求函数f (x )的值域． 解 (1)∵sin x ＝45，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，∴cos x ＝－35，f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －2cos x ＝3sin x －cos x ＝453＋35.(2)f (x )＝3sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x－π6≤5π6，12≤sin⎝⎛⎭⎪⎫x－π6≤1，∴函数f(x)的值域为[1,2]．。
新人教版数学必修4练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究基础巩固1.已知a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则a ·b =( )A.12B.1C.2D.2sin 40°·b =2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.2.若sin (π6-α)=cos (π6+α),则tan α=( ) A.-1B.0C.12D.1由已知得12cos α-√32sin α=√32cos α-12sin α,因此1-√32sin α=√3-12cos α,于是tan α=-1.3.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( ) A.16B.2213C.322D.1318α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)=25+141-25×14=1318.4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-√3cos(θ+15°)的值等于 ( )A.±1B.1C.-1D.0=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-√3cos [(θ+45°)-30°]=√32sin(θ+45°)+12cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-√3[√32cos (θ+45°)+12sin (θ+45°)] =√32sin(θ+45°)+32cos(θ+45°)-32cos(θ+45°)-√32sin(θ+45°)=0.5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2D.2α+β=π2tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin (π2-β).又α∈(0,π2),β∈(0,π2), 故α-β=π2-β,即2α-β=π2.6.化简:sin (α-150°)+cos (α-120°)cosα=.=sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-√32sinα-12cosα-12cosα+√32sinαcosα=-1.17.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1. 因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.8.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .tan α=2,得sin α=2cos α.又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π2),∴cos α=√55,sin α=2√55.∴cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.9.tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°的值是 .tan 60°=√3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,∴tan 23°+tan 37°=√3−√3tan 23°tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°=√3.√3 10.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α); (3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-√32.(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24° =cos(21°+24°)=cos 45°=√22.11.已知cos α=-√55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55,tan α=2,又tan β=13,于是tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-131+2×13=1.又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此α-β=5π4.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55.由tan β=13,0<β<π2, 得sin β=√10,cos β=√10. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =(-2√55)×√10−(-√55)×(√10)=-√22. 又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.能力提升1.已知α∈(-π2,3π2),tan (α-π4)=-3,则sin α=( )A.√55B.-√55C.2√55D.±√55α=tan [(α-π4)+π4]=tan (α-π4)+tan π41-tan (α-π4)tan π4=-12,因为α∈(π2,3π2), 所以α∈(π2,π),故sin α=√5=√55.2.设α,β都为锐角,且cos α=√55,sin(α+β)=35,则sin β等于( )A.2√525B.11√525C.√55D.-√55或11√525α为锐角,cos α=√55,∴sin α=2√55.∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π. ∵sin(α+β)=35,∴cos(α+β)=±45.当cos(α+β)=-45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55+45×2√55=11√525;当cos(α+β)=45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55−45×2√55=-√55,与已知β为锐角矛盾.∴sin β=11√525.3.若将函数f (x )=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是 ( )A.π8 B.π4C.3π8D.3π4f (x )=sin 2x+cos 2x=√2sin (2x +π4),将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=√2sin [2(x -φ)+π4]=√2sin (2x -2φ+π4)的图象,要使图象关于y 轴对称,则π4-2φ=π2+k π,解得φ=-π8−kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.4.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.5.已知△ABC 中,√3tan A tan B-tan A-tan B=√3,则C 的大小为 .,tanA+tanB1-tanAtanB =-√3,即tan(A+B )=-√3,又0<A+B<π,所以A+B=2π3,故C=π-A-B=π3.6.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tan (π4-α),因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2, 又y=tan x 在(-π2,π2)上是单调函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1. 7.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=25√5.(1)求cos(α-β)的值;(2)若-π2<β<0<α<π2,且sin β=-513,求sin α的值.∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴|a |=|b |=1,∴|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a -b |=25√5, ∴|a -b |2=2-2cos(α-β)=45, ∴cos(α-β)=35.(2)∵-π2<β<0<α<π2,∴0<α-β<π,由cos(α-β)=35可得sin(α-β)=45,由sin β=-513,可得cos β=1213,∴sin α=sin [(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =45×1213+35×(-513)=3365. 8.已知函数f (x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b (a>0)有最大值1和最小值-4,求a ,b 的值.(x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b=12(cos 2x-sin 2x )-2a sin x+b=12(1-2sin 2x )-2a sin x+b=-(sinx+a )2+12+a 2+b.当a ≥1时,f (x )的最小值等于f (π2),最大值等于f (-π2),依题意得{-2a +b -12=-4,2a +b -12=1,解得a=54,b=-1.当0<a<1时,依题意可得{-2a +b -12=-4,12+a 2+b =1, 解得a=√5-1(舍去)或a=-√5-1(舍去). 综上可得a=54,b=-1.。
人教B版高中数学必修四《3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式》练习题
第三章三角恒等变形第2课3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一.知识与技能目标（1）能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
（2）能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
二.课内检测)(37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒ (A)23- (B)21- (C)21 (D)23 )( 75tan 75tan 1 22的值为、︒︒- (A)32 (B)332 ()32 -C (D)332- )(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x = (A)10π (B)6π (C)5π (D)4π .________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、 ._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、6、（选作）()()._________sin sin cos cos =+++ββαββα答案：1、21-2、C3、A4、10362+-5、16、αcos 三.课外作业1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．（）2.若均为锐角，βα,21sin sin -=-βα且，21cos cos =-βα， .)tan(=-βα则__________3、函数⋅=x y 2cosπ)1(2cos -x π的最小正周期是_________.4、α为第二象限角，,53sin =α为第一象限角，β135cos =β ）的值。
求βα-2tan(.5（选作）,1312)2cos(,54)2sin(-=-=-βαβα已知为第二象限角，且2βα- 为第三象限角，βα-22tan βα+求的值。
3.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 练习-人教版高中数学必修四
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、两角差的余弦公式：cos(α－β)＝类型一、给角求值问题[典例] (1)cos 50°cos 20°＋sin 50°sin 20°的值为( )A.12B.13C.32D.33(2)cos(－15°)的值为( ) A.2－64 B.6－24 C.6＋24 D ．－6＋24 (3)化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[活学活用]计算下列各式的值：(1)cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°；(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)．类型二、给值求值问题[典例] (1)若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角， sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝－255，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值． (2)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，则β＝________. 二、两角和与差的正弦、余弦公式1．两角和的余弦公式cos(α＋β)＝ ，简记为C (α＋β)，其中α，β都是任意角．2．两角和与差的正弦公式(1)两角和的正弦：sin(α＋β)＝ ，简记为S (α＋β)，其中α，β都是任意角．(2)两角差的正弦： sin(α－β)＝ ，简记为S (α－β)，其中α，β都是任意角． 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)cos 75°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.类型二、给值求值问题[典例] (1)已知sin α＝35，cos β＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三、给值求角问题[典例] 已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值．[活学活用]已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．三、两角和与差的正切公式 tan(α＋β)＝ ；tan(α-β)＝ 类型一、给角求值问题[典例] 求值：(1)tan75°；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°； (3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.类型二、给值求值问题[典例] 已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan (α－β)＝12，求tan β及tan (2α－β)．[活学活用]1．已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，2，sin α＝35，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－72．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan (α－β)＝2，则tan (β－2α)＝________. 类型三、给值求角问题[典例] 已知tan α＝2，tan β＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan (α－β)；(2)求α＋β的值．。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知tanα、tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则角α+β的大小为．A.π6B.−2π3C.π6或−5π6D.−π3或2π32．已知sin2α=35(π2<2α<π)，tan(α−β)=12，则tan(α+β)等于 A.−2B.−1C. −211D. 2113．若tan α=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于 A.−3B. −13C.3D. 134．tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º的值是____________．5．在△ABC 中，若tanA: tanB: tanC=1:2:3，则A=_______________.6．已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α，β∈(0，π)，求2α−β的值．7．(2013·广东培正中学检测)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,求tanαtanβ的值.8．已知α,β均为锐角，且tanβ=cosα−sinαcosα+sinα，求tan(α+β)的值. 能力提升1．已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=34，则tanαtanβ= .2．已知tanα，tanβ是方程6x2−5x+1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan(α+β)及α+β的值．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【基础过关】 1．B【解析】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用. 由题意，知tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4>0，∴tanα<0，tanβ<0． 又∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，∴−π2<α<0，−π2<β<0，−π<α+β<0．又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3，∴α+β=−2π3．选B. 2．A 【解析】33sin 22,tan 2,524πααπα⎛⎫=<<∴=- ⎪⎝⎭()tan 2tan ()ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()tan()tan 3,1tan()tan 4αβαβαβαβ++-==--+-又()1tan ,tan() 2.2αβαβ-=∴+=-故选A. 3．D 4．√3【解析】tan60º=(tan20º+tan40º)/(1-tan20ºtan40º)= √3,则tan20º+tan40º=√3−√3tan20ºtan40º， 所以tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º=√3 5．π4【解析】本题考查和角公式，诱导公式.令tanA=x (x ≠0),可得tanB=2x ，tanC=3x ；所以−tanA =tan (B +C )=tanB+tanC 1−tanBtanC ，带入可得−x =2x+3x 1−2x×3x ，解得x =1；所以tanA =1，即A =π4.6．解：∵tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan 2(α−β)=43．又∵2α−β=2(α−β)+β，且tanβ=−17， ∴tan(2α−β)=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=1，∵α，β∈(0，π)且tanβ=−17<0，tanα=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13∈(0，1)，∴0<α<π4，π2<β<π，∴0<2α<π2，−π<−β<−π2，∴−π<2α−β<0．而在(−π，0)内使正切值为1的角只有一个，即−3π4，∴2α−β=−3π4．【解析】本题主要考查了两角和公式的正切函数．解题的关键是通过α和β的范围确定2α−β的值。
高中数学人教B版必修4作业：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析
一、选择题1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝()A.12B．－12C.32D．－32【解析】sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－3 2.【答案】D2.sin(α＋30°)－sin(α－30°)cos α的值为()A．1 B．2 C．3 D．4【解析】原式＝sin αcos 30°＋cos αsin 30°－sin αcos 30°＋cos αsin 30°cos α＝2cos αsin 30°cos α＝2sin 30°＝1.【答案】A3．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin(β＋π3)＝()A．1 B．2C.22＋36 D.22－36【解析】∵π4＜β＜π2，∴cos β＝1－sin2β＝1－(223)2＝13，∴sin(β＋π3)＝12sin β＋32cos β＝12×223＋32×13＝22＋36.【答案】C4．cos(π6－α)sin α＋cos(π3＋α)cos α＝()A．－12 B.12C.32D．－32【解析】由于cos(π3＋α)＝sin(π6－α)，所以原式＝sin(π6－α)cos α＋cos(π6－α)sin α＝sin(π6－α＋α)＝sinπ6＝12.【答案】B5．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是() A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解析】在△ABC中，C＝π－(A＋B)，∴2cos B sin A＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B.∴－sin A cos B＋cos A sin B＝0.即sin(B－A)＝0.∴A＝B.【答案】C二、填空题6．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.【解析】由8sin α＋5cos β＝6，两边平方，得64sin2α＋80sin αcos β＋25cos2β＝36.①由8cos α＋5sin β＝10，两边平方，得64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100.②①＋②，得64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136.∴sin(α＋β)＝47 80.【答案】47 807．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于________．【解析】 由条件知cos α＝255，cos(α－β)＝31010(因为－π2＜α－β＜0)，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22，又β为锐角，所以β＝π4.【答案】 π48．求值：sin 10°－3cos 10°cos 40°＝________. 【解析】 sin 10°－3cos 10°cos 40°＝2(12sin 10°－32cos 10°)cos 40°＝2sin (10°－60°)cos 40°＝－2sin 50°cos 40°＝－2. 【答案】 －2三、解答题 9．设α∈(π2，π)，β∈(3π2，2π)，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，cos α＝－12，∴sin α＝32，∵β∈(3π2，2π)，sin β＝－32，∴cos β＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋(－12)×(－32)＝32.10．已知：π6＜α＜π2，且cos(α－π6)＝1517，求cos α，sin α的值． 【解】 因为π6＜α＜π2，所以0＜α－π6＜π3.因为cos(α－π6)＝1517，所以sin(α－π6)＝1－cos2(α－π6)＝817.所以sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cosπ6＋cos(α－π6)sinπ6＝83＋1534，cos α＝cos[(α－π6)＋π6]＝cos(α－π6)cosπ6－sin(α－π6)sinπ6＝153－834.11．求证：sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【证明】∵左边＝sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝右边．∴原等式得证.。
数学人教b版必修4作业：3.1.2 两角和与差的正弦 含解析
＝
＝
＝ ＝ ＝右边．
∴原等式得证.
【答案】A
3．已知 ＜β＜ ，sinβ＝ ，则sin(β＋ )＝()
A．1B．2
C. D.
【解析】∵ ＜β＜ ，∴cosβ＝ ＝ ＝ ，
∴sin(β＋ )＝ sinβ＋ cosβ＝ × ＋ × ＝ .
【答案】C
4．cos( －α)sinα＋cos( ＋α)cosα＝()
A．－ B.
C. D．－
【解析】由于cos( ＋α)＝sin( －α)，
得64sin2α＋80sinαcosβ＋25cos2β＝36.①
由8cosα＋5sinβ＝10，两边平方，
得64cos2α＋80 cosαsinβ＋25sin2β＝100.②
①＋②，得64＋25＋80(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝136.
∴sin(α＋β)＝ .
【答案】
7．已知sinα＝ ，sin(α－β)＝－ ，α，β均为锐角，则β等于________．
9．设α∈( ，π)，β∈( ，2π)，若cosα＝－ ，sinβ＝－ ，求sin(α＋β)的值．
【解】∵α∈( ，π)，cosα＝－ ，∴sinα＝ ，
∵β∈( ，in(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
＝ × ＋(－ )×(－ )＝ .
10．已知： ＜α＜ ，且cos(α－ )＝ ，求cosα，sinα的值．
【解析】由条件知cosα＝ ，cos(α－β)＝ (因为－ ＜α－β＜0)，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝ × － ×(－ )＝ ，又β为锐角，所以β＝ .
【答案】
8．求值： ＝________.
高中数学必修四课时作业14：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、选择题1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简[答案] D[解析] sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则sin α等于( ) A.210B.7210 C ．－210或7210 D ．－7210 [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[答案] B[解析] 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得3π4<α＋π4<5π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35＋45＝7210，故选B. 3．(2017·江西上饶高一期末考试)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α等于( )A.3365B.5665 C ．－3365 D ．－5665[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[答案] A[解析] ∵⎩⎨⎧ 0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45.∵－π2<β<0，sin β＝－513，∴cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.4．在△ABC 中，若A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用[答案] A[解析] sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255.5．(2017·杭州高一检测)已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12的值为() A.3＋226 B.3－226C.1＋266D.1－266[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[答案] A[解析] 因为sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)．所以1＋2sin αcos α＝29，2sin αcos α＝－79， 所以sin α>0，cos α<0，由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169. 可得sin α－cos α＝43. 解得sin α＝4＋26，cos α＝2－46. 因为cos π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝cos π3cos π4＋sin π3sin π4＝2＋64， sin π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24， 则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin αcos π12＋cos αsin π12＝4＋26×6＋24＋2－46×6－24＝22＋36. 6．(2017·安徽马鞍山模考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用[答案] B[解析] 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin x cos π4＋cos x sin π4－sin x cos π4＋cos x sin π4＝2cos x ，所以函数f (x )的最小正周期为2π1＝2π. 又f (－x )＝2cos(－x )＝2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．7．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， ∴cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435， ∴32cos α＋32sin α＝435，即12cos α＋32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45.∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 二、填空题8．(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 ．[考点] 利用简单的三角恒等变换化简求值[题点] 利用辅助角公式化简求值[答案] 5[解析] f (x )＝2cos x ＋sin x＝5⎝⎛⎭⎫255cos x ＋55sin x ， 设sin α＝255，cos α＝55， 则f (x )＝5sin(x ＋α)，∴函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5.9．sin 15°＋sin 75°的值是 ．[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[答案] 62[解析] sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 10.sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°＝ . [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式化简[解析] 原式＝sin (45°－18°)＋cos 45°sin 18°cos (45°－18°)－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝tan 45°＝1.11．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝ . [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值[答案] －1[解析] 因为sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－33， 所以cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1. 三、解答题12．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 利用两角和与差的正弦公式求值解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 13．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 求：(1)sin(2α－β)的值；(2)β的值．[考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用解 (1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 又sin(α－β)＝1010>0，所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010， sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β) ＝255×31010＋55×1010＝7210. (2)sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝255×31010－55×1010＝22. 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.四、探究与拓展14．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝ . [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用 [答案] π3[解析] 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝3314， ∴sin(α－β)＝3314. ∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝1－27196 ＝1314. 又由cos α＝17，得sin α＝437. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3. 15．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. [考点] 两角和与差的正弦公式[题点] 两角和与差的正弦公式的综合应用解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3 ＝A sin 3π4＝22A ＝322，可得A ＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝3， 即3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3， 故sin θ＝33. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝63， 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.。
3.1.2两角和与差的正弦同步练习(人教B版必修4)
3.1.2 两角和与差的正弦 同步练习1．若M ＝cos17°sin13°＋sin17°cos13°，则M 的值为( ) A.12 B.22 C.32D. 以上都不对 解析：选A.原式＝sin(13°＋17°)＝sin30°＝12.2．sin65°cos35°－cos65°sin35°等于( ) A.12 B.32C ．－32D ．－12解析：选A.原式＝sin(65°－35°)＝sin30°＝12.3．若M ＝sin12°cos57°－cos12°sin57°，N ＝cos10°cos55°＋sin10°sin55°，则以下判断正确的是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＋N ＝0D ．MN ＝12解析：选C.M ＝sin(12°－57°)＝sin(－45°)＝－sin45°＝－22，N ＝cos(10°－55°)＝cos(－45°)＝cos45°＝22，∴M ＋N ＝0.4．化简：sin(α＋β)＋sin(α－β)＋2sin αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－β＝________. 解析：原式＝2sin αcos β－2sin αcos β＝0. 答案：0一、选择题 1．计算sin43°·cos13°－cos43°·sin13°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32解析：选A.原式＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2．(2011年金华高一检测)已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →·BC →＝－1，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.13B.23C.33D.23解析：选B.AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α ＝1－3(sin α＋cos α)＝－1， ∴3(sin α＋cos α)＝2，∴32sin(α＋π4)＝2，∴sin(α＋π4)＝23.3．在△ABC 中，若sin A cos B ＝1－cos A sin B ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 解析：选B.∵sin A cos B ＝1－cos A sin B ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1， 即sin(A ＋B )＝1.∵A ，B 为三角形的内角， ∴A ＋B ＝90°， ∴∠C ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B.55C ．－255 D.255解析：选D.∵cos B ＝1010∴sin B ＝31010，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22×1010＋22×31010＝255. 5．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．ab ＜1D ．ab ＞2解析：选B.a ＝2sin(α＋π4)，b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4. f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎝⎛⎭⎫0，π4上是增函数． 又0＜α＜β＜π4，∴f (α)＜f (β)，即a ＜b .6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 解析：选C.∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B ) ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )．又A ＋B ＝π－C ，∴整理得sin(C ＋π6)＝12，∵0＜C ＜π，∴π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.二、填空题7．函数f (x )＝3sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x 的最大值是________． 解析：f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴f (x )的最大值为2.答案：28．sin(x ＋60°)＋2sin(x －60°)－3cos(120°－x )＝________. 解析：原式＝sin x cos60°＋cos x sin60°＋2sin x cos60°－2cos x sin60°－3(cos120°cos x ＋sin120°sin x )＝32sin x －32cos x ＋32cos x －32sin x ＝0. 答案：0 9.cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝________. 解析：cos10°tan20°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2. 答案：2 三、解答题10．已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，求sin(α＋β)的值．解：∵π4＜α＜34π，π2＜π4＋α＜π，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝45. ∵0＜β＜π4，34π＜34π＋β＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫34π＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫34π＋β ＝－⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫34π＋β＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β ＝－⎣⎡⎦⎤45×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝6365. 11．设A ，B 为锐角三角形ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A,2sin A )，b ＝(3cos B,3sin B )，若a ，b 的夹角为60°，求A －B 的值．解：∵|a |＝2，|b |＝3， a ·b ＝2cos A ·3cos B ＋2sin A ·3sin B ＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )＝6cos(A －B ) 而a 与b 的夹角为60°，则cos60°＝12＝a ·b|a |·|b |＝6cos (A －B )2×3＝cos(A －B )即cos(A －B )＝12.又∵0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，∴－π2＜A －B ＜π2，∴A －B ＝±π3.12．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(1＋sin2x,1)，x ∈R ，且y ＝f (x )的图象经过点(π4，2)．(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )的最小值及此时x 值的集合． 解：(1)f (x )＝a·b ＝m (1＋sin2x )＋cos2x由于f (x )图象经过点(π4，2)．∴f (π4)＝2，即m (1＋sin π2)＋cos π2＝2，∴m ＝1.(2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4)．故当sin(2x ＋π4)＝－1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝1－ 2.相应的2x ＋π4＝32π＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝k π＋58π，k ∈Z ，∴使函数f (x )取得最小值的x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }．高考*试+题≌库。
人教B版高中数学必修四高一同步训练：3.1.2两角和与差的正弦.docx
3.1.2 两角和与差的正弦一、基础过关1． sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2． 若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725B.35C.725D.153． 已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 4． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 35． 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6． 化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 7． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______．8． 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β.二、能力提升9． 在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B.3365C ．－6365D.636510．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．三、探究与拓展13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6．cos α 7.137 8.π4 9.B 10.3 11.－5665 12.－336513．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
高中数学必修四课时作业2：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础达标1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32 [答案] B[解析] 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－12.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425 [答案] C[解析] ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425.3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 [答案] D[解析] cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋3 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2.5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0. 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的结果是________．[答案] cos α[解析] 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．求下列各式的值．(1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15°； (2)cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°；解 (1)cos 105°cos 15°－sin 75°sin 15° ＝cos(90°＋15°)cos15°－sin(90°－15°)sin 15° ＝－sin 15°cos 15°－cos 15°sin 15° ＝－(sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°) ＝－sin(15°＋15°) ＝－sin 30°＝－12. (2)∵sin 15°＝sin(45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24， cos 15°＝6＋24，∴cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝2262＝33. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365 [答案] B[解析] 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213.∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365. 9.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.[答案] 2－3[解析] 原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin (45°－30°)cos (45°－30°)＝2－ 3.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． [答案] 137[解析]⎩⎪⎨⎪⎧sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137.11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角． (1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋53×154＝－2＋5312.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－53×154 ＝－2－5312＝－2＋5312.(2)当α为第二象限角且β为第三象限角时， ∵sin α＝23，cos β＝－14，∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝53－212 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212， sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
高中数学必修四课时作业3：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
必修四第3章 三角恒等变形3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式基础达标1.3－sin 70°2－cos 210°＝( )A.12B.22 C ．2 D.322.已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin (θ－5π) sin (32π－θ)的值是( ) A.229 B ．－229 C ．－19 D.193 .已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则cos α＋sin α等于() A ．－72 B.72 C.12 D ．－124.设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( )A ．sin (α＋β)>sin α＋sin βB ．cos (α＋β)>cos αcos βC ．sin (α＋β)>sin (α－β)D ．cos (α＋β)>cos (α－β)5．已知cos (α-π6)+sin α=4√35,则sin (α+7π6)的值是( ) (A)-2√35 (B)2√35 (C)-45 (D)456.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α、β∈(0,π2),则cos(α-β)的值等于( D ) (A)-12 (B)12 (C)-13 (D)23277．已知向量a =(sin (α+π6),1),b =(4,4cos α-√3),若a ⊥b ,则sin (α+4π3)等于() (A)-√34 (B)-14 (C)√34 (D)148．在△ABC 中,C=120°,tan A+tan B=23√3,则tan Atan B 的值为( )(A)14 (B)13 (C)12 (D)539.如下 图所示,点B 在以P A 为直径的圆周上,点C 在线段AB 上,已知P A =5,PB =3,PC =15√27,设∠APB=α,∠APC=β,α、β均为锐角,则角β的值为 .10.已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是-13,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是45,则cos α= .参考[答案]：1.【[答案]】C2.【[答案]】B3.【[答案]】D4.【[答案]】C5.【[答案]】C6.【[答案]】D7.【[答案]】B8.【[答案]】B9.【[答案]】π410.【[答案]】3+8√215。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 试题 (新人教必修4).
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 试题 （新人教必修4）.第1题． 已知15sin 17θ=，θ是第二象限角，求cos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值． 答案：153834-．第２题． 已知2sin 3α=-，3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，3cos 4β=，3,22βπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，求()cos βα-的值． 答案：273512-．第３题．化简sin119sin181sin91sin 29-等于（ ）Ａ．12 Ｂ．12-Ｃ．32Ｄ．32-答案：Ｂ 第４题． tan15cos15+等于（ ） Ａ．2Ｂ．23+Ｃ．4Ｄ．433答案：Ｃ第５题．化简21sin822cos8-++的结果是（ ） Ａ．2sin 4 Ｂ．2sin 44cos 4-Ｃ．2sin 4- Ｄ．4cos 42sin 4-答案：Ｄ第６题．化简22πsin cos 2sin 2242ααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果为（ ）Ａ．2sin α+ Ｂ．22α+ Ｃ．2Ｄ．π224α⎛⎫+ ⎪⎝⎭答案：Ｃ第7题．化简tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan10++···的值等于（ ） 320Ｂ．tan10 Ｃ．2 Ｄ．1答案：Ｄ第8题．设θ是三角形的最小内角，且2222cos sin cos sin 12222a a a θθθθ+--=+，则a 的取值范围是（ ） Ａ．3a <- Ｂ．3a -≤ Ｃ．1a <- Ｄ．1a -≤答案：Ｂ第9题．若a (tan 25tan353)=+，，b (1tan 25tan35)=，·，则ab =· ． 答案：3第10题．化简2cos 4cos 2cos 3x x x -= ．答案：2sin x -第11题． 1tan151tan165+=+ ．答案：3第12题．若A B ，是锐角三角形ABC 的内角，则tan tan A B 的值 1．（填“大于”、“小于”、“等于”）． 答案：大于第13题．若1sin cos 2αβ=，则cos sin αβ的取值范围是 ． 答案：1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，第14题．求证：2cos 1sin 24cot tan 22θθθθ=-．证明：原式左边2cos cottan22θθθ=-22cos cos cos cos sin122sin 2sin cos22θθθθθθθθ==-21sin 1cos sin cos 2cos 2θθθθθ==·1sin 24θ==右边，∴原式得证． 第15题．已知1tan 23α=，求tan α的值． 答案：310-±． 由1tan 23α=得22tan 11tan 3αα=-．这是一个关于tan α的方程，解此方程可求得tan α的值．体现方程思想的运用．第16题． 已知3cos 5α=，0α<<π，求cos 6απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 433+．第17题． 已知2sin 3α=，3cos 4β=-，,2αθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，3,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，求()cos αβ-的值． 3527-第18题．已知3πtan 2π42θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，求22cos sin 12π24θθθ+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：由22tan 3tan 21tan 4θθθ==-， 得1tan 3θ=或tan 3θ=-．ππ2θ<<，∴只有tan 3θ=-符合题意． 22cos sin 1cos sin 2πcos sin 24θθθθθθθ+-+∴=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭1tan 11tan 2θθ+==--．第19题．已知tan tan αβ，是一元二次方程22(42)230mx m x m +-+-=的两个不等实根，求函数2()53tan()4f m m m αβ=+++的值域． 解：由已知，有12tan tan m m αβ-+=，23tan tan 2m mαβ-=·， 24tan()3mαβ-∴+=． 又由0∆>，知10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞，2224()534(1)33mf m m m m -∴=++=++·． 当10(0)2m ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，，∞时()f m 在两个区间上都为单调递增， 故所求值域为134(4)4⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，∞．第20题．已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭π，cos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π，tan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭π的值．答案：解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得2234cos 1sin 155αα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，所以3sin 35tan 4cos 45ααα-===-．于是有sin sin cos cos sin 444ααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭πππ24232525⎛⎫=⨯-⨯- ⎪⎝⎭7210=； cos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πππ24232525⎛⎫=-- ⎪⎝⎭7210=； tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4ααααα--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+πππ 3147314--==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．第21题． 已知12sin 13θ=-，θ是第三象限角，求cos 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值． 答案：125326-．第22题．已知tan 3α=，求tan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值． 答案：2-．第23题．在ABC △中，4cos 5A =，tan 2B =，求()tan 22A B +的值． 答案：解法１：在ABC △中，由 4cos 5A =，0A <<π，得2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．所以，sin 353tan cos 544A A A ==⨯=， 22322tan 244tan 21tan 7314A A A ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又tan 2B =，所以 222tan 224tan 21tan 123B B B ⨯===---．于是 tan 2tan 2tan(22)1tan 2tan 2A BA B A B++=-244473244117173-==⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭．解法２：在ABC △中，由4cos 5A =，0A <<π，得2243sin 1cos 155A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．所以 sin 353tan cos 544A A A ==⨯=． 又tan 2B =，所以 tan tan tan()1tan tan A BA B A B ++=-3243124⨯=-⨯112=-．于是 ()tan(22)tan 2A B A B +=+⎡⎤⎣⎦ ()()2tan 1tan A B A B +=-+ 211221112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭44117=．第24题． 已知()()1cos cos sin sin 3αββαββ+++=，且3,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ，求cos 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭π的值．答案：87218-．由已知得1cos 3α=，于是有sin 3α=-sin 29α=-，7cos 29α=-．。
高中数学必修四课时作业18：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式学业水平达标练题组1 给角求值问题1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋642．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.223．tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________．题组2 给值(式)求角问题4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π45．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________．6．已知△ABC 中B ＝60°，且1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，若A >C ，求A 的值．题组3 条件求值问题 7．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.－7210 B.7210 C.－210 D.2108．已知α为钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12的值为( ) A ．22＋36 B ．22－36 C ．－22＋36 D ．－22＋369．若sin(θ＋24°)＝cos(24°－θ)，则tan(θ＋60°)＝________．10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tan α＋β2的值．能力提升综合练1．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝(4，4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3等于( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14 3.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值等于( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．－ 34.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R .设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．参考[答案]学业水平达标练题组1 给角求值问题1．【[答案]】D【[解析]】sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 2．【[答案]】A【[解析]】选A cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫17π4＋π4＝2sin 9π2＝ 2. 3．【[答案]】 3【[解析]】∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3.题组2 给值(式)求角问题4．【[答案]】C【[解析]】 因为α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，所以cos α＝－255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－255×(－31010)－55×1010＝22， 所以α＋β的值为7π4. 5．【[答案]】k π－π4，k ∈Z 【[解析]】(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z . 6．解：由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°，设A －C 2＝α，∵A >C ，则0°<α<120°， 故A ＝A ＋C 2＋A －C 2＝60°＋α， C ＝A ＋C 2－A －C 2＝60°－α， 故1cos A ＋1cos C ＝1cos （60°＋α）＋1cos （60°－α）＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α ＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34. 由题设有cos αcos 2α－34＝－2cos B ＝－22， 整理得：42cos 2α＋2cos α－32＝0.(2cos α－2)(22cos α＋3)＝0.∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0.∴cos α＝22.故α＝45°，A ＝60°＋45°＝105°. 题组3 条件求值问题7．【[答案]】A【[解析]】因为cos α＝－45，α是第三象限角， 所以sin α＝－35，由两角和的正弦公式可得 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝⎛⎭⎫－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 8．【[答案]】C【[解析]】∵α是钝角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－223， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12sin π3＝⎝⎛⎭⎫－223×12－13×32＝－22＋36. 9．【[答案]】－2－ 3【[解析]】由已知得：sin θcos 24°＋cos θsin 24°＝cos 24°cos θ＋sin θsin 24°⇒(sin θ－cos θ)(cos 24°－sin 24°)＝0⇒sin θ＝cos θ⇒tan θ＝1，∴tan(θ＋60°)＝1＋31－3＝－2－ 3. 10．解：由题意，得cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－513， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－43，tan ⎝⎛⎭⎫α2－β＝512， ∴tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2－tan ⎝⎛⎭⎫α2－β1＋tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－43－5121－43×512＝－6316. 能力提升综合练1．【[答案]】C【[解析]】∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－(B ＋C )．由已知可得sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0.∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π.∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．2．【[答案]】B【[解析]】a ·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14. sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14. 3. 【[答案]】D【[解析]】∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°， ∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－ 3.4. 【[答案]】33【[解析]】原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. 5. 【[答案]】π3∵0<β<α<π2，∴cos(α－β)＝1314. 又∵cos α＝17，∴sin α＝437， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin α·cos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，∴β＝π3. 6．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. ∴tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1， 又∵α，β为锐角，∴0<α＋2β <3π2， ∴α＋2β＝3π4. 7．解：∵f ⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＝－3017，∴2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4α＋4π3＋π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－3017， ∴sin α＝1517.又∵f ⎝⎛⎭⎫4β－2π3＝85，∴2cos ⎣⎡⎦⎤14⎝⎛⎭⎫4β－2π3＋π6＝2cos β＝85，∴cos β＝45.又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝817，sin β＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝817×45－1517×35＝－1385.。
第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案
2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)班级_______姓名________座号________一、填空题1． (1)tan75°－tan15°1＋tan75°·tan15°＝__________． (2)3－tan15°1＋3tan15°＝__________． (3)cos74°sin14°－sin74°cos14°＝__________．(4)sin34°sin26°－cos34°cos26°＝__________．(5)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝________解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°·tan15°＝tan45°＝1. (3)原式＝sin(14°－74°)＝－sin60°＝－32. (4)原式＝－cos(34°＋26°)＝－cos60°＝－12. (5)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28° ＝tan45°＝1，答案：(1)3 (2)1 (3)－32 (4)－12(5)1 2．根据辅助角公式化简下列各式：(1)315sin x ＋35cos x ＝__________．(2)32cos x －32sin x ＝__________． (3)3sin x 2＋cos x 2＝__________． (4)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )＝__________． 解析：(1)原式＝65(32sin x ＋12cos x ) ＝65sin(x ＋π6)． (2)原式＝3(32cos x －12sin x )＝3cos(x ＋π6)． (3)原式＝2(32sin x 2＋12cos x 2)＝2sin(x 2＋π6)．(4)原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22cos[π6－(π4－x )] ＝22cos(x －π12)． 答案：(1)65sin(x ＋π6) (2)3cos(x ＋π6) (3)2sin(x 2＋π6) (4)22cos(x －π12) 二、选择题3．cos （α－30°）－cos （α＋30°）sin α的值为( ) A ．1 B ．2C ．sin α D.3cos α解析：原式＝（cos αcos30°＋sin αsin30°）－（cos αcos30°－sin αsin30°）sin α＝sin αsin30°＋sin αsin30°sin α＝sin αsin α＝1. 答案：A4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2sin(x ＋π6)，当x ＝π3时[f (x )]max ＝2. 答案：B5．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：|MN |＝|sin a －cos a |＝2|sin(x －π4)| ≤2，|MN |的最大值为 2.答案：B6．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是( )A ．－235B.235 C ．－45 D.45解析：由题设得cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435，∴32cos α＋32sin α＝435.∴12cos α＋32sin α＝45， 于是sin(α＋π6)＝45. 而sin(α＋7π6)＝sin(α＋π6＋π) ＝－sin(α＋π6)＝－45.∴选C.答案：C7．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B.22C.12 D ．－12解析：由tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，∵A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：B8．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为() A.π3 B ．－2π3C.π3或－2π3 D ．－π3或2π3解析：由韦达定理得tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α<0，tan β<0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3 又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0，∴－π2<α<0，－π2<β<0， ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 答案：B9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12的值为( ) A.3＋226 B.3－226 C.1＋266D.1－266考点 两角和与差的正弦公式 题点 利用两角和与差的正弦公式求值答案 A10．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，则△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形考点 两角和与差的正弦公式题点 利用两角和与差的正弦公式求角答案 B解析 由sin C ＝2sin(B ＋C )cos B 得sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，所以sin A cos B －cos A sin B ＝0，所以sin(A －B )＝0，即A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为π，且f (x )的图象过点(π2，－1)． (1)求ω和φ的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f (π4－x )，求函数g (x )的单调递增区间． 解：(1)∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．由函数f (x )的图象过点(π2，－1)，有sin(π＋φ)＝－1. ∴sin φ＝1.∵0<φ<π.∴φ＝π2. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π2)＝cos2x . ∴g (x )＝f (x )＋f (π4－x )＝cos2x ＋cos[2(π4－x )] ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)． 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得 －3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )． 12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解析 (1)由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝210，cosβ＝255. 因为α为锐角，故sinα>0.从而sinα＝1－cos 2α＝7210. 同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tanβ＝12. 所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1. 又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2. 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.13．求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋t an3°)…(1＋tan45°)＝__________.解析：1＋tan45°＝2.又若α＋β＝45°，则1＝tan45°＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，即(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2.∴原式＝222(1＋tan45°)＝222×2＝223.答案：22314．已知8cos(2α＋β)＋5cos β＝0，求tan(α＋β)·tan α的值．解：∵2α＋β＝(α＋β)＋α，β＝(α＋β)－α，∴8cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]＝0即8cos(α＋β)cos α－8sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0 即13cos(α＋β)cos α＝3sin(α＋β)sin α∴tan(α＋β)·tan α＝133。