自然数幂和公式的简捷方法

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关于自然数幂之和的几个公式

命题1：对该命题进行数学归纳法对n 的证明：当n=1时；成立；假定对n 成立，则对n+1有：则要证明需证明又∵则命题1证明完毕。

（简便方法见末）对于同类型的只含n 的命题为命题2：证明该命题前先证明另外两个命题：①均为线性变换故有：;)1()1()(00i n m i i m i m n im i i m i m n m n m a C a C a a +=-=-⋅⋅-=⋅E ⋅⋅-=⋅I -E =∆∑∑②对m 用数学归纳法进行证明：当m=1时：成立假定对m 成立，则对m+1有：;2]1)1(2[2)12(-2)22(2222-n 11--++⋅+++=⋅++⋅++=∆-∆=∆n n n m n m n m m n m n m n a a a 结合以上两个命题有：则命题2证明完毕。

;)1(0i n m i i m i m n m a C a +=-⋅⋅-=∆∑;,,,n 1∆∆I -E =∆=I =E +记为n n n n n a a a a I E ,)0,1(2)12(2≥≥⋅++=∆-n m m n a n n m ;2)112(2)3(2)1(2)2(222111----+⋅+⋅+=⋅+=⋅+-⋅+=-=∆n n n n n n n n n n n a a a ;12)121()1(21101+=⋅++=⋅⋅-=∆-+=-∑n n a C a i ni i n i n n ;2)1(),0(,1)1(210-+=-⋅+=≥+=⋅⋅-∑n n i n i i n i n n a n n a C ];)1(),([)1()1,()1()1(101101i i m m i i m i m m i i m m n n i b C n i b C n ++⋅⋅-=+⋅⋅-=+∑∑-=---=--;)],()1([)1(10110∑∑-=---=⋅-+⋅=⋅+=+m i i m i i m im i i m mm n i b n C n C n n ;1)11(1)1(1)1,()1(0101=--=⋅--=⋅⋅-∑∑=--=--m m i i m i m i m m i i m C i b C ∑∑=-=--=≥≥⋅⋅-=ni m i m m i i m m i n m b n m n i b C 1101),(;1,1),,()1(n ;)1()1(10110i m i i m i m i m i i m n C n C+⋅⋅-=⋅∑∑-=---=;)1(])1()11[()1()1(101m m m m i m i i m i m n n n n n C -+=+--+-=+⋅⋅-∑-=--,)1(10m m i m i i m n n n C -+=⋅∑-=命题3：S(m,n)表示第一类Stirling 数，特别一点是s(0,0)在此处为11),(,10),,1()1()1,1(),(=-≤≤-⋅-+--=p p s p k k p s p k p s k p s 证明：先证明下一命题首先故上述命题成立，记对n 求和:)0(1),(),(),1(!10≥+=⋅=++=∑m m P n i b i m s n m a m m n m i 则该命题成立。

幂运算法则有哪些口诀

幂运算法则有哪些口诀
幂运算法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

幂的运算法则公式
（1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（2）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n)
（3）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(mn)，(m,n都为正整数)
（4）积的乘方：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)^n=a^nb^n，（n为正整数）
（5）零指数：
a0=1 (a≠0)
（6）负整数指数幂
a-p=1/ap(a≠0, p是正整数）
（7）负实数指数幂
a^(-p)=1/(a)^p或（1/a）^p(a≠0，p为正实数）
（8）正整数指数幂
①aman=am+n
②（am）n=amn
③am/an=am-n(m大于n,a≠0)
④(ab)n=anbn
（9）分式的乘方：把分式的分子、分母分别乘方即为乘方结果
(a/b)^n=(a^n)/(b^n)，（n为正整数）
幂数口诀
指数加减底不变，同底数幂相乘除。

指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。

积商乘方原指数，换底乘方再乘除。

非零数的零次幂，常值为1不糊涂。

负整数的指数幂，指数转正求倒数。

看到分数指数幂，想到底数必非负。

乘方指数是分子，根指数要当分母。

自然数幂和公式推导

]
(利用(12)式)
即当 = + 1时，原式也成立。
综合①、②知(16)式成立。
【自然数幂和的公式形式】
利用可以把写成
=∑

(−1)

(17)
在加之二项式定理( + ) = ∑

=
!
=

=∑
∑
!
[
∑
!
∑
( ≥ 1)，得

∑

(−1)

(−1)
∑

(−1)

546
4536
22449
67284
118124
9
45
870
9450
63273
269325
723680
10
55
1320
18150
157773
902055
3416930
11
66
1925
32670
357423
2637558
13339535
12
78
2717
55770
749463
6926634
44990231
(5)
= + +
(6)
【组合积和
】
设( + 1)( + 2)( + 3) ⋯ ( + ) = ∑

。其中称为组合积和，可看作韦达定理的特例。
显然有
=
(7)
= !
(8)
=1
(9)
当 > 时，
=0
(10)

浅谈自然数幂和公式

浅谈自然数幂和公式一、自然数幂和是什么：所谓自然数幂和 ,系指)(211N p rn nr pp p p ∈=+⋅⋅⋅++∑= (1)在中学数学里 ,我们遇到 p= 1, 2, 3三种情形。

(1)的求和公式从低次幂到高次幂 ,从特殊到一般的历史所留给我们的不同时代、不同国家的数学家所展示的聪明才智 ,对于我们今天的数学教学仍有着现实意义。

二、自然数幂和是怎么来的：公元前 6世纪 ,古希腊毕达哥拉斯 ( pythag or as)发现 ,从 1开始 ,任意多个连续自然数之和构成三角形数。

如图 1,毕氏以一点代表 1,二点代表 2,等等。

如图 2,在三角形数旁补一倒立的三角形数 ,由此易得n n n n n 21212)1(212+=+=+⋅⋅⋅++ (2)毕氏还以图 3所示的正方形数的构造得出公式2)12(31n n =-+⋅⋅⋅++ (3)公元前 3世纪 ,阿基米德 ( Archimedes,前 287～ 212)在《论劈锥曲面体和球体》一书中利用几何方法证明了如下引理:])()2([3)2())(1(2222na a a na a a a na n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++++ 当 a= 1时 ,利用 (2)可得nn n n n n n 612131)12)(1(612123222++=++=+⋅⋅⋅++ (4)公元 100年左右 ,毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘( Nico machus)著《算术引论》一书 ,书中的一条命题说 ,在奇数 1, 3, 5, 7,… 中 ,第一个是立方数 ,后面两个之和是立方数 ,再后面三个之和是立方数 ,等等 ,此即113=(1个奇数) ,5323+=(2个奇数) ,119733++=(3个奇数) ,1917151343+++=(4个奇数） ,… … … … … …)1()3()(2223-++⋅⋅⋅++-++-=n n n n z n n n (n 个奇数) . 由此易知 ,当 p= 3时 , (1)是n +⋅⋅⋅++21 个连续奇数 )1(,,3,12-+⋅⋅⋅n n之和 ,从而由 (2)、(3)即得2342333412141)]1(21[21n n n n n n ++=+=+⋅⋅⋅++ (5)《算术引论》未载此公式 ,但我们有理由相信 ,尼可麦丘 ,甚至比他更早一些的希腊数学家是知道此公式的 ,因为连当时的罗马土地丈量员也知道它 ;而且早期毕氏学派的学者们惯常用图 3所示的在 1旁相继添加直角 (添一个直角即是增加一个奇数 )的方法来求连续奇数之和 ,他们知道 ,若加到 1旁的直角个数为 r ,则和 (包括 1)为 2)1(+r .因此有了尼可麦丘的发现 ,只要找出33332n +⋅⋅⋅++中共有几个直角即可得三次幂和 .公元 5、 6世纪 ,印度数学家阿耶波多 ( Ary abha ta ,476～ ? )的数学著作中载有公式 (4)和 (5) ,后来的婆罗摩笈多 ( Br ahmag upta, 7世纪 )、摩诃毗罗 ( M ah av ira, 9世纪 )和婆什迦罗 ( Bh a ska ra, 12世纪 )的数学著作中都出现公式 (2)、 (4)和 (5) .11世纪 ,阿拉伯数学家阿尔卡克希 ( Al-ka rkhi )的数学著作中出现公式 (4)和 (5) ,其中前者的形式是)613)(1(3212222++=+⋅⋅⋅+++n n n n 阿尔卡克希用富有希腊特色的几何代数法对公式(5)作出证明 . 如图 4所示, 设边),1(2121+=+⋅⋅⋅++=n n n AB 2,1,-='''''-='''='n B B n B B n B B 等等 .在⋅⋅⋅''',,B A B A 上作正方形,,,⋅⋅⋅'''C A C A 得 n - 1个矩尺形,,,,⋅⋅⋅''''''''''''D C B D C B D C B 因矩尺形 DC B '的面积)(D C BC B B D C D D BC B B S D C B ''+'=''⋅'+⋅'='而n B B n n D C n n BC ='-=''+=,2)1(,2)1(故3]2)1(2)1([n n n n n n S D C B =-++='同理，33)2(,)1(-=-='''''''''''n S n S D C B D C B 等等。

自然数三次方和公式推导

自然数三次方和公式推导咱们从小学开始就接触自然数啦，像 1、2、3、4、5 等等这些正整数。

那今天咱们就来捣鼓捣鼓自然数三次方和的公式是怎么推导出来的。

先来说说什么是自然数三次方和。

比如说，从 1 到 n 这几个自然数，它们各自三次方之后再相加，这就是自然数三次方和。

那怎么推导这个公式呢？咱们一步步来。

咱们先设 S 等于1³ + 2³ + 3³ +……+ n³ 。

这时候，咱们来个巧妙的办法。

先看 (n + 1)⁴，把它展开，得到 (n + 1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1 。

咱们再把 n 从 1 到 n 依次代入这个式子，得到：2⁴ = 1⁴ + 4×1³ + 6×1² + 4×1 + 13⁴ = 2⁴ + 4×2³ + 6×2² + 4×2 + 14⁴ = 3⁴ + 4×3³ + 6×3² + 4×3 + 1……(n + 1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + 1把这 n 个式子相加，左边就是 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ +……+ (n + 1)⁴，右边就有点复杂啦，不过别慌。

右边可以分成好多部分，先看 4×(1³ + 2³ + 3³ +……+ n³) 这部分，这不就是 4S 嘛。

还有6×(1² + 2² + 3² +……+ n²) ，以及4×(1 + 2 + 3 +……+ n) ，再加上 n 个 1 ，也就是 n 。

咱们之前学过1 + 2 + 3 +……+ n 等于 n(n + 1) / 2 ，1² + 2² + 3²+……+ n² 等于 n(n + 1)(2n + 1) / 6 。

自然数幂求和矩阵法

自然数幂求和矩阵法
自然数幂求和矩阵法是一种用于计算连续自然数的幂次方之和的方法。

其基本思想是利用矩阵表示求和公式，将求和问题转化为求系数矩阵的逆矩阵问题。

通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。

以计算前$6$个自然数的$6$次幂之和为例，具体步骤如下：
1. 构造一个$6\times6$的系数矩阵$A$，其中第一行至第六行的元素分别为$1$、$1$、$1$、$1$、$1$、$1$。

2. 构造一个$6\times1$的矩阵$B$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$。

3. 计算矩阵$A$和矩阵$B$的乘积，得到一个$6\times1$的矩阵$C$。

4. 计算矩阵$C$的逆矩阵$C^{-1}$。

5. 将矩阵$C^{-1}$乘以一个$6\times1$的矩阵$D$，其中第一行的元素为$1$，其余元素为$0$，得到一个$6\times1$的矩阵$E$。

6. 矩阵$E$的第一行元素即为前$6$个自然数的$6$次幂之和。

自然数幂求和矩阵法的关键是构造系数矩阵$A$和矩阵$B$，并计算它们的乘积和逆矩阵。

通过这种方法，可以简洁地计算出前$n$个自然数的$m$次幂之和。

连续自然数n次方求和

连续自然数n次方求和连续自然数的n次方求和是数学中一个非常经典的问题。

这个问题不仅可以锻炼我们的计算能力，还可以帮助我们更好地理解数学中的一些基本概念，如序列、级数以及极限等。

在这篇文章中，我们将详细介绍连续自然数的n次方求和，并探讨其重要性以及应用。

首先，让我们来看看连续自然数的n次方求和具体是什么。

简单来说，就是计算从1到n的整数的n次方的总和。

例如，当n=3时，我们需要求出1³+2³+3³的值，即36。

当n=4时，我们需要求出1⁴+2⁴+3⁴+4⁴的值，即354。

这个问题似乎很简单，但是当n变得越来越大时，我们就需要使用计算机或者更加复杂的数学方法来计算。

连续自然数的n次方求和在数学中有一个专门的术语，称为“幂和数列”。

幂和数列的通项公式为an=n⁽n+1⁾/2，这个公式是通过对幂和数列的前n项进行求和得到的。

也就是说，幂和数列的第n项等于1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+...+nⁿ。

这个公式不仅可以用来计算幂和数列的项数，还可以用来证明一些重要的数学定理。

接下来，让我们来看看连续自然数的n次方求和对于数学研究的重要性。

首先，这个问题是计算数学中的经典问题之一，可以锻炼我们的计算能力和数学思维。

其次，连续自然数的n次方求和也有着广泛的应用。

例如，在统计学和物理学中，这个问题可以用来计算方差和能量等。

在工程学和计算机科学中，这个问题也被广泛应用于数字信号处理和嵌入式系统开发中。

最后，让我们来看看一些与连续自然数的n次方求和相关的数学问题。

例如，我们可以考虑在1到n之间随机选择两个整数，然后求它们的n次方的平均数。

这个问题被称为“平均幂和问题”，并且可以通过使用幂和数列的通项公式来解决。

另外，我们还可以考虑在1到n之间选择一个整数k，然后求它的幂和数列和的值。

这个问题被称为“选定幂和问题”，并且可以使用一些组合数学的知识来解决。

总之，连续自然数的n次方求和是一个经典的数学问题，它有着重要的应用和理论意义。

与自然数幂相关的数列和的求法

数列求和问题在高中数学中比较常见,此类问题的命题形式有很多种,如求数列{a n±b n}、{a n b n}、{1a n a n+1}等的前n项和，一般可采用错位相减法、公式法、裂项求和法、分组求和法等来求解.当遇到与自然数幂相关的数列求和问题时，该如何求和呢？如果数列的通项公式为f（n）=∑i=0m a i n i，那么如何求这类与自然数幂相关的数列的和呢？我们不妨猜想它的表达式形式是这样的：S n=C+∑k=0m A k C k+1n+1(1)，其中C和{A k}是待定的常数，那么该数列的n-1项和为Sn-1=C+∑k=0m A k C k+1n(2).而f(n)=S n-S n-1，则S n-S n-1=∑k=0m A k C k+1n+1-∑k=0m A k C k+1n=∑k=0m A k(C k+1n+1-C k+1n)=∑k=0m A K C k n，即f(n)=∑k=0m A k C k n(3).这也就是说只要将数列的表达式转变为含有C k n的形式即可.由于该式对于任意的自然数n都成立，考虑到C k n=n×(n-1)∙...∙(n-k+1)k，当k>n是均有C k n=0，所以f(t）=∑k=0t A k C k t(t=1,2，⋯，m)，而A0=f(0)，则A t=f(t)-∑k=0t-1A k C k t（4）.显然这是一个递推公式，我们可以根据该递推公式求出所有的系数{}A k.由（4）可得出如下的结论.结论：任意数列f（n）=∑i=0m a i n i的前n项和S n的表达式为Sn=-f(0)+∑k=0m A k C k+1n+1，其中系数{}A k由（4）式给出.证明：（1）当m=1时,由（4）式得，A0=f(0),A1=f(1)-A0，那么S1=-f(0)+A0C12+A1C22=-f(0)+2A0+A1=A0+A1=f(1)，即结论成立.（2）假设m=n-1时成立，即上述（2）式成立，由于（3）式成立，所以利用S n=f(n)+S n-1可得（1）式，所以m=n结论也成立.可能有人会好奇，所有的推导都基于（1）式的猜想假说，怎么都没有证明这个猜想就直接得到最后的结论呢？这就是数学归纳法的“妙处”.（4）式怎么得来的不重要，重要的是结论是否符合数学归纳法的流程.只要流程符合，那么该结论就成立.例1.若数列的通项公式为f(n)=n3，求该数列的前n项和.解：A0=f(0)=0,A1=f(1)-A0C01=1，A2=23-A0C02-A1C12=6，A3=33-A0C03-A1C13-A2C23=6，∴S n=A3C3+1n+1+A2C2+1n+1+A1C1+1n+1+A0C0+1n+1=6C4n+1+6C3n+1+C2n+1，化简得S n=14n2(n+1)2.解答本题主要运用了上述结论.而运用该结论求得的结果与现已知的公式∑k=1n k3=14n2(n+1)2是一致的.例2.若数列的通项公式为f(n)=n2+n+1，求该数思路探寻50列的前n 项和.解：A 0=f (0)=1,A 1=f (1)-A 0C 01=2，A 2=f (2)-A 0C 02-A 1C 12=2，∴S n =A 2C 2+1n +1+A 1C 1+1n +1+A 0C 0+1n +1-f (0)=2C3n +1+2C2n +1+C1n +1-1，化简得S n =13(n +2)(n +1)n +n .仔细观察（4）式可以发现，{}A k 是一个递推式，在某些情况下该式是不能直接使用的，因此需求出{}A k 的具体表达式.这里有一个引理：∑k =it -1C ktC i k(-1)k -i=-(-1)t -i C i t （5）.证明：令f (x )=(x -1)t -i =∑j =0t -i(-1)jxt -i -jC jt -i ，则f (1)=0=∑j =0t -i(-1)jC jt -i ，令k =i +j ，则j =k -i ，在上式两边同时乘以C i t ，可得0=∑k =it C k -it -i (-1)k -i=∑k =it C i t C k -i t -i (-1)k -i （6），因为C k -i t -iC i t=(t -i )!(k -i )!(t -k )!t !i !(t -i )!=t !(k -i )!(t -k )!i !，C k t C i k =t !k !(t -k )!k !i !(k -i )!=t !(t -k )!(k -i )!i !，所以C k -i t -iC i t=C i kC k t.因此（6）式可以变形为：0=∑k =itC i t C k -i t -i (-1)k -i =∑k =itC i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -i C i t +∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -iC it+∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，0=(-1)t -i C i t +∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i ，∑k =it -1C i k C k t (-1)k -i =(-1)t -i +1C i t .于是可猜想{}A k 的具体表达式为A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i )，t =1,2，⋯，m （7）.证明：（1）当k =1时，由（4）式得A 1=f (1)-f (0)，将其代入可知A t =∑i =0t(-1)t -i C i t *f (i )，t =1,2，⋯，m .所以（7）成立.（2）假设当k <t 时，结论均成立，那么由（4）式知：A t =f (t )-∑k =0t -1A k C kt =f (t )-∑k =0t -1C kt∑i =0kf (i )C i k (-1)k -i=f (t )-∑i =0t -1f (i )∑k =it -1(-1)k -i C i k C k t .由（7）式可知：A t =f (t )-∑i =0t -1f (i )C i t (-1)t -i +1,A t =∑i =1t f (i )C i t (-1)t -i ,即A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i )，t =1,2，⋯，m ，对于k =t也是成立的.例3.求自然数幂次方数列f (n )=n p的前n 项和.解：由于f (0)=0,f (t )=t p，所以A t =æèçöø÷∑k =1t(-1)t -k C k t k p ，S n =∑t =1p A t C t +1n +1，则S n =∑t =1pC t +1n +1æèçöø÷∑k =1t(-1)t -k C k t k p .在历史上求自然数幂次方和有很多方法，比如说利用伯努利数表示法，李善兰的乘方垛堆积术.但是这里给出的形式和推导过程无疑是比较简洁的.例4.若数列的通项公式为f (n )=n 3，求其前n 项的和.解：A 1=(-1)1-1C 11×13=1，A 2=-1×C 12×13+C 22×23=6，A 3=(-1)3-1C 13×13-C 23×23+C 33×33=6，∴S n =A 3C 3+1n +1+A 2C 2+1n +1+A 1C 1+1n +1=6C 4n +1+6C 3n +1+C 2n +1.我们直接利用上述结论以及{}A k 的具体表达式求得问题的答案，比采用常规方法求解便捷得多.与自然数幂相关的数列求和问题较为复杂，且求解过程繁琐，运用上述结论S n =-f (0)+∑k =0m A k C k +1n +1，其中A t =∑i =0t (-1)t -i C i t ×f (i ),t =1,2,⋯,m ，来求解，便能快速、直接得出问题的答案.（作者单位：浙江省宁波市咸祥中学）思路探寻51。

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法

自然数的1至n幂的求和公式的递进推导法(连载一)《自然数平方和公式推导及其应用》（/s/blog_4d9ff3d10100cc8t.html）发表以来,得到了数学爱好者的好评。

其实，那是自然数平方和公式推导，推广到偶数、奇数自然数平方和以及自然数立方和公式与偶数、奇数自然数立方和求法的一种偶然思路。

如何由二项式定理推导自然数的n次幂的求和公式才是该数学问题的完美思路，其研究的结果在现实中具备广泛的现实利用价值和数学理论意义，比如它完全可以代表等差数列N项的高次幂求和的思路与方法。

1.自然数的1至n次幂的求和的递进推导关系1.1自然数的1次幂的求和即s=1+2+3+...+n实际上是一个等差为1的等差数列求和,公式为s=n(n+1)/21.2自然数的2次与二次以上幂的求和 s=1n+2n+3n+...+N n(n≥2)不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和。

怎样转化为等差数列、怎样由低次幂递进到高次幂这才是研究思路的重点。

当n为奇数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n =N n+N n+N n+...+N n加或减去所有添加的二项式展开式数=(1+N)N n减去所有添加的二项式展开式数。

当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=N n+[1n+(N-1)n]+[2n+(N-2)n]+[3n+(N-3)n]+...+[(N-1)n+(N-N-1)n]+N n=2N n+2[(N-2)n+(N-4)n+(N-6)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数又当n为偶数时，由1n+2n+3n+...+N n与s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1n相加得:2s=[N n+1n]+[(N-1)n+2n]+[(N-2)n+3n]+...+[(N-N-1)n+(N-1)n]=2[(N-1)n+(N-3)n+(N-5)n+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N n+(N-1)n+(N-2)n+...+1的计算公式。

自然数n次幂的求和公式及其因式分解的matlab求解

自然数n次幂的求和公式及其因式分解的matlab求解
一、求解自然数n次幂的求和公式
自然数n次幂的求和公式，又称为等比数列求和公式，是数学中一个重要的求和公式，它可以解决许多数学上的复杂问题。

自然数n次幂的求和公式可以表示为：
Sn = (a1(1-an+1))/(1-a)
其中，a1表示等比数列的首项，an+1表示等比数列的末项，a表示等比数列的公比。

二、自然数n次幂的求和公式的因式分解
自然数n次幂的求和公式可以分解为两个主要因式：
（1）等差数列求和因式：
Sn = n(a1+an)/2
（2）等比数列求和因式：
Sn = a1/(1-a)
其中，a1表示等比数列的首项，an+1表示等比数列的末项，a表示等比数列的公比。

三、matlab求解自然数n次幂的求和公式
在matlab中，可以使用等比数列求和因式来求解自然数n次幂的求和公式，具体的操作步骤如下：
（1）输入等比数列的首项a1以及公比a；
（2）确定等比数列的末项an+1：an+1=a1·a^n；
（3）计算自然数n次幂的求和公式：Sn = a1/(1-a)；
（4）输出结果：Sn。

下面我们通过matlab程序来求解一个等比数列的求和公式。

假设等比数列的首项a1=2，公比a=2，求n=4时的求和公式。

代码如下：
a1=2; %等比数列的首项
a=2; %等比数列的公比
n=4; %自然数的次幂
an=a1*a^(n-1); %等比数列的末项
Sn=a1/(1-a); %自然数n次幂的求和公式
fprintf('Sn = %d\n',Sn)
执行结果如下：
Sn = 8。

自然数三次方求和公式推导

自然数三次方求和公式推导自然数三次方求和公式是初学者接触数学学科时经常会接触到的一个重要概念，该公式可以用于计算自然数三次方数量的总和。

对于初步学习者来说，该公式的推导是一个相对困难而重要的任务，因此在本文档中，我们将会详细讨论自然数三次方求和公式的推导。

首先，我们从基本概念开始。

一个自然数是指大于0且没有小数部分的数字，例如1、2、3等等。

当然，在这个问题中，我们主要关注的是自然数的三次方，即一个自然数的三次幂。

比如，$1^3 = 1$，$2^3 = 8$，$5^3 = 125$等等。

现在，我们需要推导自然数三次方的总和。

为了实现这一目标，我们可以使用以下公式：$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3$。

在开始推导之前，我们需要了解一个小技巧：如何推导自然数的平方和。

因为我们需要用到这个技巧，所以必须要讨论它。

为了推导自然数的平方和，我们可以使用以下公式：$1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

通过以上公式，我们可以很容易地计算自然数的平方和。

如果我们要将其推广到自然数三次方，那我们就需要使用以下方法。

1. 当前状态下的公式为：$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3$。

2. 首先，我们需要创建一个模型并确定这个模型适用时的情况。

在这种情况下，我们需要将每个自然数的三次方加在一起，形成一个总和。

3. 接下来，我们需要将其简化为一个完整的形式。

为此，我们需要将所有元素重新组合并进行替换，同时也需要将其与新数字对齐。

因此，我们有$n^3 + (n-1)^3 + (n-2)^3 + … + 1^3$。

4. 我们可以稍稍改变公式以获得我们所需要的形式。

我们需要将$n^3 + (n-1)^3$组合在一起，同样地，我们将$(n-2)^3 + (n-3)^3$组合在一起。

换句话说，我们需要将这个等式转化为$[n^3 + (n-1)^3] + [(n-2)^3 + (n-3)^3] + … + [3^3 + 2^3] + 1^3$。

幂的运算公式范文

幂的运算公式范文
幂是数学中常见的运算，也是一种表示数的方式。

幂运算的公式有很多，下面是一些常见的幂运算公式：
1.幂的乘法公式：
对于任意实数a和自然数m、n，有以下公式：
a^m*a^n=a^(m+n)
这个公式表示同一底数的两个幂相乘，结果是底数不变，指数相加。

2.幂的除法公式：
对于任意实数a和自然数m、n，有以下公式：
a^m/a^n=a^(m-n)
这个公式表示同一底数的两个幂相除，结果是底数不变，指数相减。

3.幂的乘方公式：
对于任意实数a和自然数m、n，有以下公式：
(a^m)^n=a^(m*n)
这个公式表示幂的乘方，结果是底数不变，指数相乘。

4.幂的负指数公式：
对于任意实数a和自然数n，有以下公式：
a^(-n)=1/a^n
这个公式表示一个数的负指数幂等于其倒数的正指数幂。

5.幂的零指数公式：
对于任意实数a（a≠0），有以下公式：
a^0=1
这个公式表示任何一个非零数的零次幂等于1
6.幂的倒数公式：
对于任意实数a（a≠0）和自然数n，有以下公式：
(1/a)^n=1/(a^n)
这个公式表示一个数的倒数的幂等于这个数的幂的倒数。

这些是幂运算的常见公式，可以帮助我们进行幂的运算和化简。

幂运
算在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和物理等领域中经常会遇到。

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７４
安阳工学院学报
２０１２正
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定理２ｍ是非负整数，ｎ是自然数，是Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数，我们有
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ｎ－Ｉ
摘要：利用高阶导数，简捷地推导出了∑ｒ的两种形式的求和公式，并证明了一个ＢｅＪ￣ｏｕｌｌｉ数的确切表达式，得到
了一个新的ＢｅｍｏｕＵｉ数递推公式。
ｋ＝Ｏ
关键词：自然数的方幂和；高阶导数；莱布尼茨公式；第二类Ｓｆｒｈｎｇ数；Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数
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第二期
霍曙明自然数幂和公式的简捷方法
７５
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，：＝０Ｊ；
收稿日期：２０１１—１０—１９作者简介：霍曙明（１９６３－），男，安阳县人，安阳市高级技工学校高级讲师，从事数学教学和研究：【作。
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２．３定理２证明
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中图分类号：Ｏ１５６
文献标志码：Ａ
文章编号：１６７３—２９２８（２０１２）０２一ｏｏ７３—０４
１主要结论
文献［１—５］论述了自然数方幂和∑ 的各种算法，文献［６】分别以矩阵为工具得到了ｒ的求和公
ｋ＝Ｏ
”
ｎ－Ｉ
式。本文应用高阶导数，直接推导出了∑ｒｋ的求和公式的两种形式（关于ｎ的组合数表达式及多项式表
２０１２年３月第１１卷第２期（总第５６期）
安阳工学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｙａｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｍａｒ．２０１２
Ｖｏ１．１１Ｎｏ．２（Ｇｅｎ．Ｎｏ．５６）
自然数幂和公式的筒捷方法
霍曙明
（安阳市高级技工学校，河南安阳４５５０００）
（定理３）。
对任意非负整数ｍ、ｋ，定义＝（，．ｉ｝）＝∑ （一１）Ｈ（Ｓ（ｍ，．ｉ｝）＝ｋ！ＳＡｍ，ｋ）ｆｌ：（ｍ，∞是第二类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数㈣），
我们证明了如下结论：
户。
定理１ｍ是非负整数，是自然数，ｒ是复数，且ｒ＃Ｏ、１，令ｐ（ｖ，）一（１— Ｗ — ￣，我们有
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Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的确切表达式，并得到了一个新的Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数递推公式。获得了一个颢的自然数幂和递推公式
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