四维几何基础知识(二)
点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示，为建筑增添了新的可能性。
四维空间几何学的崛起为建筑提供了一种新的视角，并展示出独特的可能性。
四维空间几何学的理念基于点，在这种空间中，点可以通过三个方向（长、宽和高）的基本元素来反映出建筑物的错综复杂的结构和外观。
首先，点可以用来展示建筑物内外部空间的管理。
管理空间可以进一步产生复杂的结构，并在点之间进行互动，从而将管理空间中的形式、性质及其功能有机地结合在一起。
其次，点可以用来表示建筑物的传输函数。
在传输函数中，可以用点来表示外部传播耦合的数量和形式。
空间几何学同样可以用来表示内部传播耦合的数量及形式。
此外，点也可以用来表示阴影和光线的分布与变化，以及建筑物屋面表面的形状与结构。
点在高级建筑设计中，可以灵活地组织平面元素，赋予建筑物动态的量感。
同时，设计者可以利用多种点定义和几何变换，让建筑更具表现力，增添艺术气息。
总的来说，点在空间几何学中的运用，大大拓展了建筑的可能性与灵活性，为建筑提供了丰富的表达形式，使建筑物赋予了强烈的三维效果与想象力。
只有细心的运用，才能真正发挥出点的潜在能力，从而促进建筑发展，满足信息时代个性化需求。
初识四维空间
旋转中的超立方 体在三维的投影
• 我们可以看成两个 正方体相互叠加， 但是每个顶点又是 和相对应的顶点相 连的。
方法一：展开
• 正方体的展开图：
超立方体展开图
共有261种展开方式
方法二： 球极投影
假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进 的。然后在球的最高点放置一个投影点，在 最低点放置一个平面，让光源向平面发光， 这样就可以在平面上看到除最高点之外球面 上所有点的投影了。
正方体球极投影：让多面体膨 胀，使其顶点和棱处于同一球 面，然后用球极投影将它投影 到平面上
样的
超立方体在四维空间里 球极投影，投影在三维 空间的透视图。
超立方体旋转时 三维的投影
有兴趣的同学可以去看视频《数 学漫步-维度》。
谢谢大家！
小鹿和小兔的故事
四维空间
• 一、四维时空（闵可夫斯基时空） 指爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中 提及的四维时空，就是三维时空加时间。
• 二、四维空间（欧几里得四维空间） 指一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性” 的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方 向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维 几何物体的空间。
四维空间
类比下…
画出任意两点，然后连线，我们 可以得到一条直线 画出两两不共线的三个点，然后 连线，我们可以得到一个三角形 画出两两不共线的四个点，然后 连线，我们就得到立体的三棱锥
如果我们画出五个两两不共线的点，是不是就 可以画出最简单的四维图形？
这不就是四棱锥吗？
最简单的四维图形— 单纯形，又称五胞体。
附录 二、 闵可夫斯基四维空间(“世界”)
附录二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）
［补充第１７节］
如果我们引用虚量１．ｃｔ．代替ｔ作为时间变量，我们就能够更加简单地表述洛伦兹变换的特性。
据此，如果我们引入：对带撇号的坐标系Ｋ’也采取同样的方式，那么为洛伦兹变换公式所恒等地满足的必要条件可以表示为：
亦即通过上述“坐标”的选用，（１１ａ）就变换为这个方程。
我们从（１２）看到，虚值时间坐标ｘ４与空间坐标ｘ１，ｘ２，ｘ３，是以完全相同的方式进入这个变换条件中的。
正是由于这个事实，所以按照相对论来说，“时间”ｘ４应与空间坐标ｘ１，ｘ２，ｘ３，以同等形式进入自然定律中去。
用“坐标”ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４描述的四给连续区，闵可夫斯基称之为“世界”，他并且把代表某一事件的点称作“世界点”。
这样，三维空间中发生的“事件”按照物理学的说法就成为四维“世界”
的一个“存在”。
这个四维“世界”与（欧几里得）解析几何学的三维“空间”很近似。
如果我们在这个“空间”引入一个具有同一原点的新的笛卡儿坐标系（ｘ’１，ｘ’２，ｘ’３）那么ｘ’１，ｘ’２，ｘ’３就是ｘ１，ｘ２，ｘ３的线性齐次函数，并且恒等地满足方程：这个议程与（１２）完全类似。
我们可以在形式上把闵可夫斯基“世界”看作（具有虚恰时间坐标的）四维欧几里得空间；洛伦兹变换相当于坐标系在四维“世界”中的“转动”。
四维几何基础知识(一)
导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者正文四维几何基础知识(201802第一次更新)第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始,我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语.首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴,两两垂直,其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间,简称”底空间”.以W轴作为第四维的方向,代表第四维的空间, 坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后,未画出部分为轴的负方向.本系列文章中设定的”底空间”指代平直的参照立体空间O-XYZ. 请大家注意,这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体, 其概念与正方体中的底面,正方形中的底边为类似.在本系列文章中,我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中,方形体通常有三个参数:长,宽,高,分别用字母a,b,h,表示.在四维几何中增加一个新的概念:”四维高”,用”叠”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加,形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂,在这里我们简单的理解成”正方夬的长,宽,高,叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍几类简单的四维夬.一>五体夬正式名称为”五胞体”,是四面体的类比.如何得到一个五体夬,有很多种方法,本例用的是”中心牵引法”,为了解释这个方法,我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很”歪”,比三维坐标中的正三角形还要”歪”,我们要在二维平面中表现四维图形,只能将图形尽量压缩.把正三角形的中心点连接三个顶点,得到三条线段,这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点,向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升(图二)..条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.(图四)将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的(√10)/4后,得到一个正五体夬.(图五)这个图是五个正四面体围合成一个五体夬,但这样挤在一起是很难看清楚的,可以把它”炸开”看看.(图六)这五个体全是正四面体,只是看上去有一些变形.蓝色的”底体”在O-XYZ立体空间中,如果把这个空间看成我们生活的宇宙空间,另四个带绿棱的正四面体就在我们”摸不着”的四维空间中.二>正方夬有了以上的经验,介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制,整体向第四维轴,即W轴正方向牵引,距离为一个棱长.(图八)把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来,形成了六个正方体,这八个体围合成一个正方夬.(图九)“炸开”看看.(图十)(图十)中的八个正方体,黑色的是底体(在xyz轴的体空间中),和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上,正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间,并且各有一个面,与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中,六个面所形成的路径.三>圆夬我们先看看四维坐标中的球体,它看上去是个扁的,(图十一),这是因为坐标的关系,它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个”球壳”,从大到小,一层层的套在一起,组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心,连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引,在此过程中,球壳从大至小,逐层剥落.注意, 剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系,而且这些球壳的面积有一定量的拉伸(图十二).当牵引的距离达到球的半径R时,所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳”,就是原来的中心点,现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上,按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬.用同样的方法,向W轴负方向牵引,得到另半个圆夬.(图十三)这个圆夬,看上去还是一个圆球,其实,不论圆周,圆面,圆球,还是圆夬,它们都是圆的,画在纸上不会是其它形状,我们只能将它想象成无数个球体叠加,球半径由底空间的最大圆球开始,向W轴方向以cos值减小.(图十四)四>参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形,下面是它们相关的一些参数.正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1: 侧体高(√6)/3 叠(四维高)(√10)/4 内切圆夬半径(√10)/20 外接圆夬半径(√10)/5夬积J=(1/4)*d*V=(√5)/96其中d为叠(四维高),V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1: 内切圆夬半径1/2 外接圆夬半径为 1夬积 1对角体:1*1*(√2) 对角面:1*(√3) 对角线 2圆夬设半径为r.表体积2(π∧2)(r∧3) 夬积 1/2(π∧2)(r∧4)夬积公式夬积有两种计算方法J=d*V ; J=S1*S2 具体用哪个公式,以所知道的条件来决定.五>例题例一:已知一等腰五体夬,它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2,求此五体夬的夬积.(图十五)答: 设底体的中心点为P, 底体的一个顶点为O,在三维坐标中,我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为(√2)/12, 计算得到OP的长度为(√6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d是经过外接圆夬夬心的,所以圆夬心C在叠d 上,CO为圆夬半径,CP⊥OP,可求得CP=(√58)/4 ,所以此等腰五体夬的夬积:J=(1/4)d*V=(1/4) *(2+(√58)/4)*(√2)/12=(√2)/24+(√29)/96例二: 用牵引法的原理,验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3)πR ∧3,在牵引的过程中,球半径逐渐变小,球半径r与牵引距离H的关系是:r∧2+H∧2=R∧2,其中R是最大球的半径,也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来,就能得到半个圆夬的夬积,下面是积分公式:再将J1*2=(1/2)(π∧2)(R∧4),得到圆夬的夬积公式.。
四维空间图解
一颗蓝色的星球,表面附著著一群用两条腿走路并且会说话的动物,她们管自己叫作人。
她们对於这个世界早已习以为常,安然无事地吃喝拉撒,日复一日,年复一年,为了生活而生活著。
夜深人静,万籁俱寂。
蓝色星球东半球亚洲一发展中国家的南方临海某市的一间单身宿舍里,一个被定义为打工仔的人,抓住了几只不幸的低等动物——蚂蚁,在昏暗的灯光下,把它们放到一张白纸上,任其爬行。
三维世界的人居高临下地瞧著二维世界的动物(把蚂蚁假定为二维生物),人陷入了沉思……蚂蚁在平展的白纸上木然地爬行著,在它们的视野中,世界如此宽阔平坦,一望无边。
世界只有前后左右,没有上下的概念。
这就是一个纯粹的二维世界。
这些可怜的生命,由於它们生理结构的局限,永远地被宿命在一个只有XY轴而没有Z轴的平面世界里。
在这个荒凉的平面世界里,时时刻刻发生著出人意料的事情。
人注视著蚂蚁的每一个行为,正如上帝注视著人的世界。
人准备与蚂蚁开个玩笑,然而这对於蚂蚁来说却就是天灾。
人拿起一块小石头,正对著一只正在爬行的年轻蚂蚁的头顶,然后轻轻松手。
在蚂蚁的世界里,灾难发生了。
一个不明物体不知从何而来,结束了年轻蚂蚁短暂的一生。
同伴相继赶来,围观这庞大的不明物体,它们无法用现有的理论去解释这桩离奇的事件,因为事发之时,年轻蚂蚁的前后左右均未发现可疑危险,在如此安全的环境下竟然突然出现一个形状怪异的物体,简直不可思议。
(当然它们就是瞧不见石头的厚度的,只能瞧见石头与它们的平面世界接触到的一个封闭平面区域)对於这个莫名其妙的灾难,蚂蚁们只能求助於它们想像中的宗教与神灵,进而得出了结论:这就是上苍的旨意,年轻的同伴命中注定今日死去,“阎王让您三更死,哪个敢留到五更”,苦命的孩子啊！人自信地注视著这一切,仿佛有一种莫名的成就感。
生活在三维世界就是多麼的优越,前后左右上下,四面八方,可以尽收眼底,比起悲哀的蚂蚁,人类就是何等安全。
然而设身处地思考了蚂蚁世界的处境后,人把自己与蚂蚁做了一个对比,把时空由二维推广到三维,结果令人沮丧,原先的优越感与成就感刹那间一扫而空。
四维
首先，这是三个长方体，这是三个十分普通的长方体：（图一）（图二）（图三）接下来，我用一种奇妙的方法将他们拼起来：（图四）这是一个很奇妙的，在三维世界中不存在的图形，将它进行拓展，延伸，得到以下图形：（图五）图中的每一个蓝点都引出四条线，通过简单地几何推理即可证明这四条线两两垂直，互不重合。
二维坐标系的基本性质为：两条直线两两垂直，互不重合。
三维坐标系的基本性质为：三条直线两两垂直，互不重合。
故n维坐标系的基本性质为：n条直线两两垂直，互不重合。
∴这四条直线构成四维坐标系，我们可以这个图形存在于四维宙间（新定义量）中。
接下来我们可以通过一、二、三维图形的基本性质找到某些规律，进而证明它是四维图形。
这是二、三维图形的得到过程：（图六）两条直线交于一点（图七）两个平面交于一线则n维图形的得到过程为：n维图形由两个（n-1）维图形交于一个（n-2）维图形得到的（点可以看做0维）。
在图五中取出一部分：（图八）两个三维图形交于一个平面∴这是一个四维图形。
接下来，我们可以画出一、二、三维图形的基本图形：（图九）有两个端点，由两个0维的点构成，每个点引出一条线（图十）有三个端点，由三个一维的线构成，每个点引出两条线（图十一）有四个端点，由四个二维的面构成，每个点引出三条线则有（n+1）个端点，由（n+1）个（n-1）维图形构成，每个点引出n条线的图形为最基本的n维图形。
下面，我们可以由图五演变为由三棱锥构成的图形：该图形有五个端点，由五个三维的体构成，每个点引出四条线，所以该图形为最基本的四维图形。
证明过程到此可以告一段落，由上面的推理过程及我们学习数学的经验可得如下几条定理（如果在将来得到证实，就是维度公理）：1、在数学中，对于维度的研究不存在物理中“时间”这一维，且不会影响任意一个物理定论。
2、对于一个n维图形，必有m（m∈{m|m ≤n}）维图形存在于n维图形中。
3、n维图形由两个（n-1）维图形交于一个（n-2）维图形得到的。
四维几何基础知识（二）
四维几何基础知识（二）导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第二章位置关系一>低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交点.2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a平行于直线b.…………………其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.二>平行三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.1>在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)2>在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)3>在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.三>相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交1>直线与立体相交,有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A 作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)2>平面与立体相交于一条直线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a 的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD 平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)答:1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.四>与圆夬的位置关系1>相切这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).2>相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)3>外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.4>内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。
从一到无穷大中对四维空间的见解
从一到无穷大中对四维空间的见解四维空间在数学和物理学领域中一直是一个令人着迷的概念。
它超越了我们日常生活中所经验到的三维空间，引入了时间这一第四维，为我们打开了通向无限可能性的大门。
在本文中，我将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨从一到无穷大中对四维空间的见解，以便读者能更深入地理解这一概念。
1. 什么是四维空间？在我们开始讨论四维空间之前，我们先来了解一下什么是四维空间。
在几何学中，我们习惯将空间分为三维空间，即长、宽和高。
但当我们引入时间这一第四维时，我们就得到了四维空间。
这个概念源自爱因斯坦的相对论理论，它描绘了时空如何被引力所扭曲，从而产生了引力波等现象。
2. 对四维空间的直观理解对于我们这些生活在三维世界的人来说，很难直观地理解四维空间。
但我们可以借助一些类比来帮助我们理解。
我们可以想象一个二维的世界，它只有长度和宽度，而没有高度。
现在，我们引入第三维，即垂直于二维世界的方向，我们就得到了三维空间。
同样的，引入第四维，即时间，我们就得到了四维空间。
这种类比虽然并不能完全还原四维空间的复杂性，但可以帮助我们建立一定的直观认识。
3. 四维空间对我们的影响四维空间的概念不仅仅存在于数学和物理学中，它也深刻地影响着我们的生活。
在艺术和文学作品中，我们常常可以看到对四维空间的想象和表现。
对四维空间的探索也推动了科学技术的发展，比如在相对论、量子力学等领域的研究中，四维空间始终扮演着重要的角色。
4. 我对四维空间的个人观点对于我个人来说，四维空间是一个充满了未知和想象的领域。
它超越了我们日常生活中的经验，挑战着我们的想象力和理解力。
正是由于这种挑战，我对四维空间充满了好奇和兴趣。
我相信随着人类对这一领域的不断探索，我们将会揭开更多关于宇宙和时空的神秘面纱。
总结回顾通过本文的探讨，我们对从一到无穷大中对四维空间的见解有了更深入的理解。
我们从四维空间的定义开始，探讨了对其直观理解和对我们生活的影响，最后共享了个人观点。
从一到无穷大中对四维空间的见解
从一到无穷大中对四维空间的见解在我们日常生活中，我们习惯于用三维空间来描述物体的位置和运动。
然而，当我们探讨更加广阔和深远的世界时，四维空间的概念就显得非常重要了。
从一到无穷大中，对四维空间的见解可以帮助我们更深入地理解宇宙、时间、思维等方面的奥秘。
在本文中，我们将一步步深入探讨四维空间的概念，以及它对我们的生活和思维方式的影响。
1. 了解四维空间在我们开始探讨四维空间之前，首先让我们来了解一下什么是四维空间。
一维空间是指只有长度的空间，二维空间是指长度和宽度的空间，而三维空间是指长度、宽度和高度的空间。
那么，四维空间则是指长度、宽度、高度和时间的空间。
这意味着四维空间不仅包括了空间的三个维度，还包括了时间这一维度。
四维空间是我们所处的整个宇宙的描述方式，它不仅包括了空间的位置和运动，还包括了时间的流逝和变化。
2. 四维空间与宇宙的关系在对四维空间的见解中，我们不得不提到宇宙这一概念。
宇宙是由时间和空间组成的，而四维空间则是描述宇宙的最合适的方式之一。
通过四维空间，我们可以更加深入地探讨宇宙的起源、演化和未来发展。
我们可以想象宇宙中的一切都是在四维空间中发生的，从宇宙大爆炸到恒星的诞生、星系的形成，都可以通过四维空间来理解和描述。
3. 四维空间与思维方式的影响四维空间的概念并不仅限于物理世界，它还对我们的思维方式产生了深远的影响。
在日常生活中，我们习惯于用三维空间来描述物体的位置和运动，而在学习和理解四维空间的概念之后，我们会发现我们的思维方式也变得更加开阔和灵活了。
我们可以更加深入地思考时间和空间的关系，观察事物的变化和演变，甚至尝试预测未来的发展趋势。
通过对四维空间的见解，我们可以拓宽我们的思维边界，更加灵活地应对各种复杂的问题和挑战。
4. 个人观点和理解对我来说，四维空间的概念是一种非常激动人心的思想。
它不仅帮助我们更深入地理解宇宙、时间和空间的关系，还可以拓宽我们的思维方式，使我们变得更加开放和灵活。
四维空间的法向量-概述说明以及解释
四维空间的法向量-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述四维空间是一种数学概念，它拥有四个坐标轴来描述物体的位置和方向。
与我们熟悉的三维空间相比，四维空间在理论上更加复杂，但却有着许多有趣的性质和应用。
在四维空间中，我们可以使用一个四元组(x, y, z, w)来表示一个点的位置。
其中的前三个坐标(x, y, z)与三维空间类似，而第四个坐标w则代表了第四个维度的值。
通过引入第四个维度，我们可以更加全面地描述物体的性质和运动。
在四维空间中，我们也可以定义向量。
与三维空间类似，向量在四维空间中仍然具有方向和大小。
然而，由于多了一个维度，四维空间中的向量需要用四个分量(x, y, z, w)来表示。
这些分量可以分别表示向量在各个维度上的投影。
在研究四维空间中的法向量时，我们需要考虑法向量在所有四个维度上的投影。
与三维空间中的法向量类似，四维空间中的法向量垂直于给定曲面或物体，并指向曲面或物体的外部。
通过计算法向量，我们可以获得曲面或物体在四维空间中的几何性质和特征。
四维空间的法向量在许多领域中都有着广泛的应用。
在物理学中，法向量可以用于描述电磁场或引力场的特性，从而帮助解释和预测相关现象。
在计算机图形学中，法向量可以用于光照和渲染算法，以增强图像的真实感和细节。
在机器学习和数据分析领域，法向量可以用于聚类和分类算法，用于发现数据集中的模式和结构。
总而言之，四维空间的法向量是一个重要且有趣的数学概念。
通过研究和理解法向量在四维空间中的性质和应用，我们可以更深入地认识这个复杂而神奇的世界。
在接下来的文章中，我们将探索四维空间的法向量的更多细节和应用。
文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
1. 引言：1.1 概述：介绍四维空间的概念和基本特征。
解释四维空间相对于三维空间的扩展，以及其在现实世界中的应用。
1.2 文章结构：本部分（即文章结构部分）详细介绍了全文的整体构架，包括正文的各个要点和结论的总结。
儿童四维空间讲解
儿童四维空间讲解
四维空间指的是四维时空，它由三维空间和一维时间构成。
在日常生活中，我们只能体验到三维空间和一维时间的存在，但是科学家们发现，当我们考虑物体的运动和速度时，四维时空的概念就变得不可或缺了。
儿童在学习四维空间时，需要先理解三维空间的概念。
我们所处的空间是三维的，即有宽度、长度和高度三个方向。
可以通过对物体的位置进行描述来确定物体在三维空间中的位置，例如在一个房间中，可以描述一件家具在哪个角落，或者它与其他物体的距离有多远。
在理解三维空间的基础上，我们可以引入时间这一维度。
时间可以用来描述事物的变化和运动。
例如，我们可以用时间来描述一只小鸟在空中飞行的变化，以及它从某个位置飞向另一个位置的运动。
当我们将时间这个维度与三维空间结合起来，就得到了四维时空。
在四维时空中，我们可以描述物体在三维空间中的位置以及它随着时间的推移而发生的变化。
例如，在描述一个人从某个位置走到另一个位置时，不仅需要知道他在三维空间中的位置，还需要知道他走的速度和走了多长时间。
儿童学习四维空间时，可以通过一些生动形象的比喻来加深理解。
例如，可以将四维时空比喻成一张电影胶片，三维空间则是电影中的场景，时间则是电影的时间轴。
一个物体在四维时空中的运动就好比电影中的主角在场景中移动的过程。
在日常生活中，四维时空的存在并不直观，但是对物理学、数学等学科的研究有着重要的意义。
因此，让儿童了解四维时空的概念，可以帮助他们更好地理解和学习这些学科，并激发他们对科学的兴趣和热爱。
四维空间梯度计算_概述及解释说明
四维空间梯度计算概述及解释说明1. 引言1.1 概述四维空间梯度计算作为一种新颖的数学工具，在各个学科领域逐渐展现出了其重要性和广泛的应用前景。
随着社会和科技的不断发展，我们正面临着日益复杂的问题和挑战，而传统的三维梯度计算方法已经无法完全满足我们对于多维数据分析与处理的需求。
因此，深入研究四维空间梯度计算是引人关注并值得探索的课题。
1.2 文章结构本文将从概述四维空间梯度计算的基本概念开始，介绍四维空间的定义与特点以及梯度的定义与作用。
随后，我们将详细讨论四维空间梯度计算方法与技巧，包括基础概念解释与理论支持、常用算法介绍以及实际案例分析与应用场景说明。
接下来，我们将进行相关实验研究，并对实验设计、数据采集方法、数据处理过程以及结果展示进行说明。
最后，本文将总结已取得的研究成果并提出未来研究方向建议。
1.3 目的本文的目的在于全面概述和解释四维空间梯度计算的重要性、基本概念、方法与技巧，并通过实验研究来验证其有效性和可行性。
通过深入研究，我们希望能够为学术界和工业界提供有关四维空间梯度计算的参考，推动该领域的进一步发展，并探索其在现实世界中的广泛应用。
同时，我们也希望能够引起更多人对于四维空间梯度计算领域的兴趣，促进学术研究与实际应用之间的深度融合。
2. 四维空间梯度计算的基本概念：2.1 四维空间的定义与特点：四维空间是一种具有四个独立坐标轴的数学模型，用于描述物体或事件在时间和三维空间中的位置和变化。
与我们熟知的三维空间不同，四维空间包含了时间这一额外维度，因此可以更准确地描述物体在时间上的演化过程。
在四维空间中，一个点可以由四个坐标值(x, y, z, t)来表示。
其中，前三个坐标(x, y, z)对应了物体在三维空间中的位置，而第四个坐标t则表示了该物体所处的时间点。
2.2 梯度的定义与作用：梯度是一个向量，在物理学和数学中常被用来表示函数变化率最大方向和变化速率。
对于多元函数而言，在某一点上计算梯度可以得到一个向量，该向量指示了函数在该点上变化最快且方向为正增长最快的方向。
什么是四维空间？四维物体有何奇特之处？
什么是四维空间？四维物体有何奇特之处？“四维空间”这个经常出现在科幻题材的⼩说中的概念，到底是什么样的呢？这⾥请注意空间⼆字，因为不少⼈会将四维空间与四维时空混为⼀谈。
在对宇宙进⾏描述时，我们经常会提到四维时空这个概念，然⽽不少朋友对四维时空产⽣了误解，将其与四维空间等同到了⼀起。
下⾯我们就先来简单的介绍⼀下四维时空与四维空间的关系四维时空与四维空间的关系。
空间⼀般认为是三维的，时间作为单独的⼀维存所谓时空，指的是时间与空间的集合，⽽空间⼀般认为是三维的，时间作为单独的⼀维存在，⼆者组合成了四维时空。
实际上这个四维时空，是相对论中常⽤的概念，是当年爱因斯坦在，⼆者组合成了四维时空将的⽼师闵可夫斯基在狭义相对论问世后对其进⾏了数学优化后才有的概念，闵可夫斯基本⼈将四维时空称之为世界。
四维时空称之为世界那么四维空间⼜是什么呢？如果你将上段内容看明⽩了，那么四维空间其实也就懂了，⽆⾮就空间的维度变为了四个，⽽时间这⼀维并没有考虑进去（否则就叫五维时空）。
是空间的维度变为了四个说到这，⼀个很⾃然的疑问就来了，四维空间到底是什么模样，⾥⾯的物体⼜是以何种⽅式存在的呢？虽然嘴上说着容易，虽然我们作为三维空间⾥的⽣物，⾃认为对三维空间已经⼗分了解，似乎只是⽐三维空间多⼀维的四维空间理应很好想象出来，但实际上我们对四维空间的模样都⽆法清晰的认知，有⼈不相信四维空间有这么难想，那就看看下⾯的例⼦吧先从⼆维和三维空间的⾓度来讲解⼆维平⾯平⾯的场景，如下图所⽰：我们假设⼀个三维球体穿越三维球体穿越⼆维上图左侧是⼆维空间中出现的画⾯，右侧是三维空间出现的画⾯，这两种情况都很好理解。
现在我们再过渡到三维和四维空间当中超球体（实际上更⼴泛的来讲，四⾸先对于四维空间中的球体四维空间中的球体，我们有个专⽤的称呼，叫做：超球体超球体穿过某个三维空间区域会怎么样呢？维空间中的任意物体形状都被称为超体），那么当超球体穿过某个三维空间如下图：由于我们画不出超球体的真实⾯⽬，因此只能⽤上图右侧的镂空球体来表⽰，⽽这个镂空球体穿过的正是三维空间，那么对于这个超球体在三维空间中体现出来的样⼦到底如何呢？按照之超球体在三维空间中是以⼀个不断变化前在球体在⼆维和三维空间中的变化，我们可以推测超球体在三维空间中是以⼀个不断变化体积的球体形式出现的，就如上图左侧所⽰⼀般。
四维几何基础知识
四维几何基础知识概述几何学是一门研究空间和形状的学科。
在传统的三维几何学中，我们研究的是三维空间中的物体。
然而，在某些应用领域，比如相对论和指纹识别等，我们需要更高维度上的几何概念和工具。
本文将介绍四维几何的基本概念和一些常见的应用。
什么是四维空间？在数学中，我们可以通过引入额外的维度来扩展我们对空间的认识。
在三维空间中，我们用三个坐标轴（x，y，z）来描述位置。
类似地，在四维空间中，我们需要四个坐标轴（x，y，z，w）来描述位置。
这就是四维空间的基本概念。
在四维空间中，物体可以在更多的方向上移动和变形。
这给了我们在建模和分析问题时更多的自由度。
例如，我们可以在四维空间中描述更复杂的形状和运动。
四维几何中的对象在四维几何中，我们可以研究各种不同类型的对象。
以下是一些常见的对象：点：一个点在四维空间中由四个坐标值（x，y，z，w）表示。
它表示了四维空间中的一个位置。
线：一条线可以由两个点在四维空间中的连线表示。
类似于三维空间中的情况，我们可以计算四维空间中的线的长度和方向。
平面：一个平面由三个点或者一个点和一条线确定。
我们可以使用法向量来描述一个平面在四维空间中的位置和方向。
体：一个体可以由四个点或者更多的点确定。
我们可以计算四维空间中体的体积、表面积和其他几何特征。
四维空间中的运算在四维几何中，我们可以进行各种运算来研究对象之间的关系。
以下是一些常见的运算：平移：平移表示在空间中沿着一个向量移动一个对象。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行平移运算。
旋转：旋转是围绕一个轴将一个对象转动一定角度。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行旋转运算。
缩放：缩放是将一个对象的大小按比例变化。
在四维空间中，我们可以根据四个坐标值进行缩放运算。
四维空间中的应用四维几何在许多领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：相对论：相对论是研究时间和空间之间关系的物理学理论。
由于相对论需要考虑时间的第四个维度，四维几何在相对论中有重要的应用。
什么是第四空间四维空间具体维数介绍（2）
什么是第四空间四维空间具体维数介绍(2)可以推断出：1. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，确定另一个高一维的空间。
例如：两个点(我们将它们看作两个零维空间)确定一条直线(一维空间)。
属于同一个点(规定的条件)的两条直线(两个一维空间)也属于同一个平面(二维空间)。
2. 具有相同维数的两个空间，在某些条件下，也可以确定一个低一维的空间。
例如：两个平面(两个二维空间)确定一条属于它们的直线(一维空间)。
属于同一平面(限定的条件)的两条直线(两个一维空间)确定一个点(零维空间)。
3. 结论2没有包括这一事实，即两个平面可以确定一个高一维的空间。
它只假定它们确定一条直线，这是比平面低一维的空间。
这就留下了一个把我们的思想引申到高维空间的缺口。
这个缺口的消除可在推论1.3“属于同一个点的两条直线也属于同一个平面”中，用几何元素直线、平面和三维空间依次的代替几何元素点、直线和平面来达到。
下面的推论是替换的结果。
属于同一条直线的两个平面也属于同一个三维空间。
有了这个新的推论，我们就把与其他几何元素直接对应的几何元素——三维空间也包括了。
下一步是把对偶原理应用于这一推理，并从这些新引申的推论中得到一些固有的结论。
在对偶原理将通过几何元素——平面和空间的位置交换而被应用。
这时我们得到下述推论：属于同一条直线的两个三维空间也属于同一个平面。
1.5从推论1.5我们可以得到下述公设：属于一个平面的两个共存的三维空间确定这一个平面。
1.6在上述1.5和1.6的基础上，可以提出下面的看法：1.四维空间的几何条件是很明显的，因为维数相同的两个已知空间，只能共存于比它们高一维的空间里。
例如：两条不同的共存直线(一维)位于一个平面内(二维);两个不同的共存平面(二维)(沿一直线共存)位于一个三维空间里;两个不同的共存三维空间(沿一个平面共存)位于一个四维空间里。
2. 在几何上被看作是不属于同一直线而相交于一点的两个平面，属于不同的各别的三维空间。
四维数据的图形表示(最新)
┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊数学与应用数学本科生毕业论文四维数据的图形表示指导老师：侯为根学生姓名：吴正山所在学院：数理学院专业名称：数学与应用数学班级：数092班学号： 099084130日期： 2013年6月┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工业大学毕业设计(论文)任务书课题名称四维数据的图形表示学院数理学院专业班级数学与应用数学系092班姓名吴正山学号099084130毕业设计(论文)的主要内容及要求：（1）掌握四维散乱数据的概念，即什么是四维散乱数据。
（2）了解四维散乱数据在各方面的应用背景。
（3）查阅资料怎样给出散乱数据求出等值点，并且知道多种插值方法，学会编程实现等值面。
（4）通过比较这些插值方法，了解这些插值方法的优点并发现每种方法的不足，最后改进使自己的方法得以优化，获取更好的效果。
（5）最后得出研究结论，并且对该论文加以深化，进行引申，了解实际应用的方法与实现。
（6）整理相关资料，完成毕业论文的写作。
（7）对论文进行全面修改、完善，准备论文答辩。
指导教师签字：┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊即可。
关键词：四维数据；等值点；等值面；Kriging插值；Shepherd插值；Multi-Quadric 插值┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊find the equivalent point of the scattered data.If the equivalent point are quite sparse,we must deal with Encryption processing for them.Otherwise, then though the Kriging interpolation，Shepherd interpolation and Multi-Quadric and some other ways to achieve the fitting of isosurface, the key of Kriging interpolation is to choose the suitable Variogram model, such as Spherical, exponential, Gaussian model. In the end, though judging the superiority of all the methods to find out the best solving model, the effect is best especially for the intensive scattered data.For the case of giving random scattered data in advance,we should be take preprocessing and adapt the above methods.Keywords: Four-dimensional data;equivalent points; isosurface; Kriging interpolation; Shepherd interpolation┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊装┊┊┊┊┊订┊┊┊┊┊线┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊目录摘要........................................................................................................................................................... Abstract (i)目录 (ii)1 绪论 02 六面体网格划分 (2)2.1 “四维数据的图形表示”内涵 (2)2.2 “六面体网格划分”的原理及意义 (2)2.2.1 MC算法的思想及引出 (2)2.3“六面体网格划分”的方法 (2)2.3.1 构造四维散乱数据 (2)2.4 对于任意给定散乱数据情况的“六面体网格划分”方法 (2)2.4.1 “六面体网格划分”之后的节点预处理 (3)3 搜索和遍历算法 (4)4 散乱等值点的获取 (5)4.1等值点的判定 (5)4.2 等值点的求解 (5)5 空间散乱数据的曲面拟合的模型、方法和实现 (7)5.1Kringing方法的背景(全体方法） (7)5.1.1.Kringing方法的理论基础 (7)5.1.2.从实验变差函数中找出理论变异函数及其参数 (9)5.1.3.Kringing方法]5[ (10)5.2 Shepard方法(局部方法)]2[ (11)5.3 Multi-Quadric插值方法(属于径向基函数)]8,7,6[ (12)5.4参数双三次样条曲面 (12)5.4.1曲面模型 (12)5.4.2曲面造型的要求 (13)5.4.3曲面造型方法及显示 (13)5.4.4双三次样条曲线函数 (13)5.4.5参数双三次样条曲面]9[ (14)6 四维散乱数据图形表示的算例 (18)7 方法的比较与评价 (23)8 引申 (25)结论 (33)致谢 (36)附件............................................................................................................................ 错误!未定义书签。
四维时空间隔的几何诠释
四维时空间隔的几何诠释肖军 （）在相对论中，定义四维标量222222s x y z c t =++- （1）为两事件间隔，并由此推断出空间和时间是密不可分的‘时—空’统一体。
对于这一推断正确是否暂不评论，我们先来讨论（1）式是如何导出的。
从图1易看出，若在0T =时刻，静止于三维直角坐标系S 原点(0,0,0)O 处的光源开始辐射球面波∑，相对于(,,)P x y z 点观测者而言，在T t =时刻，波前∑的波振面方程是同（1）式四维时空间隔的形式完全一致。
据此（1）式应理解为是静止光源辐射电磁波的波振面方程，s 是T t =时刻P 点到波振面的切线长度，20s >情形是波前在T t =时刻还尚未到达P 点；20s =情形是波前在T t =时刻恰好到达P 点，此时的波振面方程为222220x y z c t ++-= （2）波振面上任意一点的坐标是可以用四维坐标(),r ct r或(),,,x y z ct 来描述，并可以在三维直角坐标系中把这一点表示出来，见图2所示。
四维坐标点在三维坐标中实际上就是一个具有长度为ct 的矢量。
如果球面波不是静止于(0,0,0,0)O 点的光源辐射，而是在0T =时刻以速度ur图 1 四维时空间隔的几何关系图2 四维坐标点的几何描述运动的光源在通过(0,0,0,0)O 点瞬间辐射的球面波，在 T t '=时刻，这个球面波上的任意点(,,,)P x y z t '''''则一定满足波振面方程222220x y z c t ''''++-= （3）须要指出，上面带撇坐标仅表明是运动光源辐射球面波的方程，不能认为它是相对于动系的坐标，这里没有动系，只有一个静系和光源相对这个静系静止和运动两种情形。
由麦克斯韦电磁理论知道，满足（2）式的电磁波波函数是()()12k r ft k r ft ϕϕϕ=⋅-+⋅+r r r r（4）其中，0k kk =r r ；0k r是波矢方向上的单位矢量；/k c f =；c 是静止光源辐射的球面波其波前沿0k ±r方向相对静系的传播速度。
卢四维立体几何
卢四维立体几何卢四维（1783年-1857年）是一位德国数学家，他的主要贡献在于创立了四维几何学。
在卢四维之前，人们只研究三维几何，即在三维空间中的几何性质和定理。
卢四维通过引入第四个维度，即时间维度，开创了一种新的几何学分支，即四维几何学。
在四维几何学中，所研究的对象是四维空间中的几何性质和定理。
四维空间是指一个具有四个坐标轴的空间，每个坐标轴对应一个维度。
这四个维度分别是：x、y、z和t，其中t是时间维度。
与三维几何类似，四维几何也考虑点、线、面和体等基本图形，以及它们之间的关系、性质和定理。
卢四维的四维几何学理论为全新的数学学科，并具有广泛的应用。
在物理学中，四维几何学广泛应用于描述时空的几何结构和物体的运动。
爱因斯坦的相对论理论就是建立在四维几何学的基础之上。
相对论理论描述了时空的弯曲和物体的相对运动，而这些现象可以用四维几何学来解释和计算。
除了物理学外，四维几何学在其他学科中也有着重要的应用。
在计算机图形学中，四维几何学可以用于描述和计算三维物体的运动和变形。
在经济学和金融学中，四维几何学可以用于研究和分析多维数据的相关性和趋势。
在生物学和医学中，四维几何学可以用于建立和分析多维生物数据的模型和关系。
虽然四维几何学是一门相对较新的学科，但它在数学领域中有着重要的地位。
它不仅为研究者们提供了一种全新的理论和思维方式，而且对于解决许多实际问题也有着深远的影响。
通过引入第四个维度，四维几何学提供了一个更加丰富和全面的视角来研究和理解空间和时间的关系。
在四维几何学的发展过程中，还涌现出许多重要的理论和结果。
其中最著名的是卢四维的四元数理论。
四元数是一种具有四个分量的数学对象，它包含一个实部和三个虚部，可以表示为a+bi+cj+dk，其中a、b、c和d是实数，而i、j和k是三个相互垂直的虚数单位。
通过四元数理论，卢四维建立了一个新的几何学体系，可以用来描述四维空间中的几何性质和定理。
在四维空间中，点和线的定义与三维几何是类似的。
四维的球体是什么样的
四维的球体是什么样的
圆变成球，球变成超球体呗^_^。
是的，超球体，当您不知道该命名新物体时，那您就找⼀个近似的物体，给它加“超”这类前缀就⾏了。
⽐如，假设存在⼆维的智能⽣物，它们也可以把我们的球，称为“超圆”，如果它们有圆这样的概念。
当然，在数学中其实有个更统⼀的名称，N维球体（N-sphere）,⽤来命名从零维到⽆穷维度的球体。
题主看来想表达的正是N-sphere，只不过表达得不严谨，因为可以将空间封闭的⼏何形状有⽆穷多种呢。
四维的球体的三维投影，还真有个名字，叫glome，我也不知道该怎么翻译它。
N-sphere（N维球体）
在⼀维时，是个点
在⼆维时，是个圆
在三维时，是个球
在四维时，是个超球体，它的三维投影被称为glome。
⼈类⽆法直观想象四维空间中的⼏何体，但我们可以将四维⼏何体，投影到三维空间中来。
其投影规律和三维投影到⼆维其实⼀致，当然需要做⽴体化的处理。
N维空间，在数学上并不神秘，真正让⼈头痛的是，我们⽆法直观的想象它，如此⽽已。
不妨来看⼀些知名的四维⼏何体的三维投影吧。
四维⼏何体的投影。
1. 四维球的投影，glome。
数学家们甚⾄给出了四维球的超体积计算公式为：
四维的超⽴⽅体的三维投影，看起来⽐较简单，就是两个⽴⽅体的嵌套。
四维超⽴⽅体的⼆维投影。
喜欢就点赞关注呗^_^。
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导读
本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:
第一章名词术语和简单的夬
第二章位置关系
第三章投影
第四章面轴
第五章曲体
这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.
在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.
感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.
作者
四维几何基础知识(201802第一次更新)
第二章位置关系
一>低维理论的升级
下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.
1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交
点.
2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.
3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.
4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平
行于立体C.
5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a
平行于直线b.
…………………
其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.
二>平行
三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.
1>
在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)
2>
在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.
在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三
交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)
3>
在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.
在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.
三>相交
本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交
1>
直线与立体相交,有且只有一个交点.
在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.
特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.
在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)
2>
平面与立体相交于一条直线.
在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.
在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)
3>
立体与立体相交于一个平面.
在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.
例一:求正五体夬表体之间的夹角.
答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.
不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)
例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)
证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)
同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.
在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.
将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证
得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.
例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)
答:
1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以
DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.
2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为
FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).
3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠
GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.
四>与圆夬的位置关系
1>相切
这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)
连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).
2>相交
立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)
3>外接圆夬
外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)
长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.
4>内切圆夬
内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。