四维几何基础知识(二)

导读

本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:

第一章名词术语和简单的夬

第二章位置关系

第三章投影

第四章面轴

第五章曲体

这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.

在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.

感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.

作者

四维几何基础知识(201802第一次更新)

第二章位置关系

一>低维理论的升级

下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.

1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交

点.

2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.

3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.

4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平

行于立体C.

5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a

平行于直线b.

…………………

其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.

二>平行

三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.

1>

在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.

设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.

在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.

在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)

2>

在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.

设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.

在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三

交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.

在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.

在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)

3>

在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.

设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.

在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.

三>相交

本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交

1>

直线与立体相交,有且只有一个交点.

在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.

特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.

在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)

2>

平面与立体相交于一条直线.

在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.

当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.

在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)

3>

立体与立体相交于一个平面.

在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.

当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.

例一:求正五体夬表体之间的夹角.

答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.

不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)

例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)

证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)

同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.

在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.

将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证