数学分析试题(二年级第一学期)

数学分析试题（二年级第一学期）2
一 叙述题（每小题10分，共30分） 1． 叙述二重积分的概念。

2． 叙述Gauss 公式的内容。

3． 叙述Riemann 引理。

二 计算题（每小题10分，共50分）
1．求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。

2．求平面0=z ，圆柱面x y x 222=+，锥面22y x z +=所围成的曲顶柱体的体积。

3．计算三重积分
⎰⎰⎰++=V
dxdydz z y x I )(。

其中 10,10 ,10:≤≤≤≤≤≤z y x V 。

4． 利用含参变量积分的方法计算下列积分
dx e x ⎰
+∞
∞
--2。

5． 计算
⎰⎰
++M
dxdy z dzdx y dydz x ,333 其中M 为上半椭球面 ),0,,(0,122
2222>≥=++c b a z c
z b y a x 定向取上侧.
三 证明题（每小题10分，共20分）
1．若1≥n 及,0 ,0≥≥y x 证明不等式.22n
n n y x y x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+≥+
2．证明dx x
xy
⎰
∞
+0
sin 关于y 在)0( ] ,[+∞<<<b a b a 上一致收敛，但在) ,0(∞+上非一致收敛.
数学分析试题（二年级第一学期）答案2
一 叙述题（每小题10分，共30分）
1．设Ω为2
R 上的零边界区域，函数),(y x f z =在Ω上有界。

将Ω用曲线网分成n 个小区域
n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21（称为Ω的一个分划）
，记i σ∆为i ∆Ω的面积，并记所有的小区域i ∆Ω的最大直径为λ。

在每个i ∆Ω上任取一点),(i i ηξ，若λ趋于零时，和式 i n
i i
i
f I σ
ηξ∆=
∑=1
),(
的极限存在且与区域的分法和点),(i i ηξ的取法无关，则称)(x f 在Ω上可积，并称此极限为),(y x f 在有
界闭区域Ω上的二重积分，记为 i
n
i i
i
f d y x f I σηξσλ
∆==
∑⎰⎰=Ω
→1
),(lim ),(。

2．设Ω是3
R 中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q 和
),,(z y x R 在Ω上具有连续偏导数。

则成立等式
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∂Ω++=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，
这里Ω∂的定向为外侧。

3．设函数)(x ψ在],[b a 可积且绝对可积，则成立 ⎰=
+∞→b
a
p pxdx x sin )(lim
ψ0cos )(lim
=⎰+∞→b
a
p pxdx x ψ。

二 计算题（每小题10分，共50分）
1． 求球面50222=++z y x 与锥面222z y x =+所截出的曲线的点)5 ,4 ,3(处的切线与法平面方程。

解 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=。

它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：
,6=∂∂x F ,8=∂∂y F ,10=∂∂z F ,6=∂∂x G ,8=∂∂y G ,10-=∂∂z
G 和
160),(),(-=∂∂z y G F ， 120),(),(-=∂∂x z G F ，
0)
,()
,(=∂∂y x G F 。

所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：
5
12041603-=
-=--z y x ， 即
⎩
⎨
⎧==-+-.5,
0)4(4)3(3z y x 法平面方程为
0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即
034=-y x 。

2． 求平面0=z ，圆柱面x y x 22
2=+，锥面22y x z +=
所围成的曲顶柱体的体积。

解 其体积⎰⎰
+=
D
dxdy
y x V 22，其中
x y x D 2 :22≤+。

设ϕϕs i n ,c o
s r y r x ==。

2
2
,cos 2 :π
ϕπ
ϕ≤
≤-
≤r D 。

故
.9
32sin )sin 1(3
8 cos 3
8
22
2
2
2
3cos 20
222
2
2=-=
=
=
+=
⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
-
-
-π
ππ
π
ϕ
π
πϕϕϕ
ϕϕd d dr
r d dxdy y x V D
3． 解
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=++=++=++=++=++1010102
1
01
01
01
021
01
01
01
0.23)1(|]2)21[()21(|]2)[()()(dx x dx y y x dy y x dx dy z z y x dx dz z y x dy dx dxdydz z y x V
4． 解： 首先，令dx e I x ⎰
+∞
∞--=
2
，则dx e
I x ⎰+∞
-=0
2
2，在积分dx e x ⎰+∞
-0
2
中，再令ut x =，其中u 为任
意正数，即得. 20
2
22
dx e
u dx e
I t u x ⎰⎰
+∞
-+∞
-==再对上式两端乘以du e
u 2
-，然后对u 从0到∞+积分，
得
⎰⎰+∞
-+∞
-=0
2.42
22dt ue du e I t u u
注意到积分次序可换，即得
.12440
2
)1(0
22
2
2
22
π=+===⎰
⎰⎰⎰⎰∞
+∞+∞
++-+∞
-+∞
-t
dt
udu
e dt dt
ue du e I u t
t u u
由于,0>I 故.π=
I
5． 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为
.2
0,20,cos ,cos sin ,cos sin π
ϕπθϕθϕθϕ≤
≤≤≤===c z b y a x
易得
,cos sin )
,()
,(2θϕθϕbc z y =∂∂
,sin sin )
,()
,(2θϕθϕac x z =∂∂
,cos sin )
,()
,(2θϕθϕba y x =∂∂
因此
).(5
2
)cos sin sin sin cos sin (22234532
/0
20
453333c b a abc d ab c ac b bc a d dxdy z dzdx y dydz x M
++=++=++⎰
⎰⎰⎰πθϕϕθϕθϕϕππ
三 证明题（每小题10分，共20分）
1．证明 考虑函数2
n
n y x z +=在条件)0 ,0 ,0( ≥≥>=+y x a a y x 下的极值问题，设
).()(2
1),(a y x y x y x F n n
-+++=
λ 解方程组
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨
⎧=-+=∂∂=+=∂∂=+=∂∂--002
0211
a y x F y n y F x n x F n n λ
λλ
可得.2a y x ==从而.222n
n n n y x a y x ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+如果0==y x 时，则结论显然成立.
2．证明 首先证
dx x
xy
⎰
∞
+0
sin 在] ,[b a 上一致收敛. 由于 ], ,[ ,0 ,2
2)cos(1sin 0
b a y A a
y y Ay xydx A
∈≥≤≤-=
⎰
因而一致有界，而x /1是x 的单调减少函数且,01
lim =+∞→x
x 由于x /1与y 无关，因此这个极限关于y 是一致
的，于是由Dirichlet 判别法知dx x
xy
⎰
∞
+0
sin 在] ,[b a y ∈上一致收敛. 再证
dx x
xy
⎰
∞
+0
sin 在) ,0(∞+上非一致收敛. 对于正整数n ，取n y /1=，这时 .32
sin 32/sin sin 2/32/32/3π
π
π
π
π
π
π
π
=>
=
⎰⎰⎰n n
n n
n n
dx n x n dx x n x dx x
xy
只要取,32
0π
ε=
则对于任意,0A 总存在正整数n 满足,0A n >π 取n y /1=，这时成立 .32sin 02/3επ
π
π
=>⎰n n
dx x xy
由Chauchy 收敛原理知dx x
xy
⎰
∞
+0
sin 在) ,0(∞+上非一致收敛.。