分数布朗运动环境下一类新型期权定价的鞅分析

合集下载

在分数Brown运动环境下具有红利支付期权定价的鞅分析

收稿日期：０９— ５—１２００５基金项目：国家自然科学基金（０７０６１７１４）
境欧式未定权益定价。同年，周孝华通过分析布朗运
动与分数布朗运动的仿真过程，出了分形布朗运提
动的概念，并利用它推导出不付红利股票价格所遵
ＳＨＯＥＣＬＳＭ建立了看涨期权定价公式，所有投资把人引向一个以无风险利率作为投资回报率的风险中
性世界中．由于这个著名的公式以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献，９７年ＳＨＯＥ１９ＣＬＳ
产价格服从标准布朗运动下进行讨论，由于分数布
朗运动具有自相似性和长期依赖性，与人们对金融市场直观感觉一致，即未来某时刻股票的价格不仅
与现在价格有关，与过去相当一段时间的价格有还
现代金融学的里程碑 ¨ ．１７年ＢＡＫＦ和９３ＬＣ
Ｐｉｉｇ０ｔｎｏｖｄｎ — ａｉｇＳｏｋｉｒｃｉｎｌｏｉｎｒｎｆＯｐｉｎＤｉｉｅｄｐｙｎｔｃａＦａｔａｃｏｎｏＢｒｗｎａ
ＭｏｉｎＥｎｉｎｔｖｒｍｅｔｂｏｏｎｙＭａｒｎａｅＡｎｙｉｔｇｌａｌｓｓｉ
在分数Ｂｏｎ运动环境下具有红利支付期ｒｗ权定价的鞅分析
于艳娜，孔繁亮

分数Brown运动下的一种具有幂型交换期权的定价模型

ＳＥＰ１Ｔ‘ ０一））Ｉ ∞ ｍＪ￣ｘ｛—）＋【盯ＴＥ１ｌｏ（ — ｝（ｌ
ＳＥＰ（一）＋Ｊ一）ｌｊ）［ｘ｛￣１ＴｏｃｒＴＮ
＝）ｅｐ（）２（ ∈（＝ｘ｛３２ｔｔ１ＢＰ）一
ｄ１Ｉ），ｄ＋＇ｔＢ（Ｘ（＝ｘ（）ｔｏＸ，ｄＨ１ｊ（ｔ（））其中，ｘ，为ｘｔ（ｔ）（的时变均值，Ｘ，为ｘ（的时变方差。）【ｔ）０引理［１：几何分数Ｂｏｎ运动）８１（１１９ｒｗ考虑随机微分方程ｄｔＩｆ，Ｘ（＝Ｘｔ）ｘ）
科技信息
高校理科研究
分数Ｂｏｒｗｎ运动下晌一种具青幂型交换期权昀定价檩型
石河子大学师范学院数学系赵建国
［摘要］本文在完全市场环境下，通过构造适当的等价拟鞅测度，究了当瞬时无风险利率、研风险资产的瞬时波动率为常数的情形下，具有幂型支付交换期权的定价问题，而，从得到了在分数Ｂｏｎ运动驱动下，ｒｗ具有幂型支付的欧式交换期权的定价公式。［关键词］等价拟鞅测度交换期权
（）１
Ｍｒａｄ给出了在扩散模型中的交换期权的闭式解。ａｒｂ・ｇＪ钱晓松、小义等分别通过求解相应的微分方程得到了跳一扩姚散模型中交换期权的定价公式。毕学慧１邓英东１４］、５１等用保险精算定价方法对交换期权进行过定价研究。在上述模型中，标的资产的价格过部是基于标准的Ｂｏｎ运动的。但是，ｒｗ标的资产的价格波动通常具有自相似性、长期相依性等分形特征，这导致标准的Ｂｏｎ动与市场存在一ｒ运ｗ定的差距，不是刻画标的资产价格过程的理想工具。大家知道，数分Ｂｏｎ运动具有自相似性、ｒｗ长期相依性等特征，它能很好地刻画标的资产的价格波动规律，这使得它成为研究标的资产价格过程的一个更为合适的工具。因此，用分数Ｂｏｎ运动代替标准Ｂｏｎ运动将使模型更加ｒｗｒｗ贴近实际市场 ’ 从而具有更好的适应性。何传江等人在分数Ｂｏｎ运动ｒｗ下，用保险精算定价方法对交换期权进行了定价研究。本文将在分数Ｂｏｎ运动模型下，ｒｗ对一种特殊的幂型交换期权进行定价研究。

混合双分数布朗运动下欧式期权的定价

混合双分数布朗运动下欧式期权的定价徐峰【摘要】提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产的价格，进行欧式期权定价的研究。

假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，运用对冲原理建立混合双分数布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的偏微分方程，并采用边界条件和变量代换的方法得到该偏微分方程的解，即欧式期权的定价公式，其结果可看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广。

%Assuming that the underlying asset is driven by the mixed bi-fractional Brownian motion,this paper proposes a partial differential equation formulation for valuing European option by hedge principle. Moreover, using the boundary condition and the method of variable substitution,we obtain the solution to this partial differential equation-the pricing formula for European option.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】混合双分数布朗运动;欧式期权;定价;长记忆性【作者】徐峰【作者单位】苏州市职业大学商学院，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.6传统的期权定价都是在假设标的资产服从几何布朗运动的基础上进行研究的，然而近年来大量的实证研究表明，金融资产的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，而且其价格之间也并非是随机游走的，存在着长记忆性和自相似性等分形特征，这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.分数布朗运动[1]已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法.但是，文献[2]指出分数布朗运动不是半鞅，许多研究者用不同的方法给出了分数布朗运动的离散逼近，并指出直接将分数布朗运动应用于金融环境将会产生套利机会[3-4]，这使得分数布朗运动似乎不适合用于刻画金融资产价格变化的行为模式.从而，部分学者开始研究修正的分数布朗运动，如混合分数布朗运动、双分数布朗运动等[5-6]，由于双分数布朗运动不仅具有自相似性和长记忆性的特征，而且在一定的限制条件下是半鞅，因此可以应用于期权定价领域.本文提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产(如股票)的价格，进行欧式期权定价的研究.本文的结果可作为混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.1.1 混合双分数布朗运动的定义与性质定义1 如果满足均值为0，协方差为则中心高斯过程称为混合双分数布朗运动，其中，σ，ε为两个常数，过程是双分数布朗运动，{Bt}t≥0是标准布朗运动，与独立，当K=1时，混合双分数布朗运动就退化成混合分数布朗运动；当时，混合双分数布朗运动就退化成双分数布朗运动.由定义易知，混合双分数布朗运动具有以下性质.性质1是HK-自相似的，即对任意α＞0，过程具有相同的分布；性质2 当具有长记忆性；性质3 当不是半鞅.这些性质的证明可见参考文献[6].1.2 模型假设对金融市场做如下假设：市场无摩擦，即交易费用为零，无税收，不存在无风险套利机会；没有对交易头寸方向的限制，允许买空卖空证券；无风险利率r为常数；标的资产(如股票)的价格变化过程St服从过程式中：μ表示标的资产的收益率.在以下研究中假设根据文献[7]易得到下面的引理.引理1 随机微分方程(1)的解为定理1 设Ct=C(t，St)是欧式看涨期权在t时刻的价格，股票价格满足方程(1)，则Ct满足偏微分方程证明构建一个买入一份期权C和卖空Δ份股票S的资产组合Π，即Π=C-ΔS，则选取适当的Δ使得资产组合Π在(t，t+dt)上是无风险的，即dΠ=rΠdt.令，则有即有定理2 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看涨期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.证明由定理1得Ct满足偏微分方程(3)，且边界条件为C(T，S)=(S-K)+.令S=ex，C=V(t，x)，则易得将上式代入式(3)，则有同时边界条件变为令则有将上式代入式(4)，则有式中边界条件为根据热传导方程经典解理论[8]，式(5)有唯一强解将边界条件代入可得11对式(6)做逆变换易得定理2成立.推论1 当K=1时，可得到混合分数布朗运动驱动下的欧式看涨期权在t时刻的价格为其中注1 该结论与文献[9](当n=1时)中得出的结果一致.注2 当ε=0时，推论1的结果即为双分数布朗运动环境下欧式期权的定价公式，与文献[10]的结果一致.采用类似的方法同样可以推导出欧式看跌期权的定价公式，不加证明地给出下面的定理.定理3 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看跌期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.本文假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，利用偏微分方程的方法探讨了欧式期权的定价问题.采用混合双分数布朗运动刻画金融资产的价格变化过程在一定程度上比传统模型有所改进，可以看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.另外，混合双分数布朗运动也可以应用于探讨奇异期权(如重置期权、障碍期权等)的定价问题.【相关文献】[1] MANDELBROT B，VAN N J W. Fractional Brownian motion，fractional noises and application[J]. SIAM Review，1968，10：422-437.[2] LIN S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion[J]. Stochastics and Stochastics Reports，1995，55(1/2)：122-140.[3] BENDER C，ELLIOTT R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market[J]. Mathematics of Operations Research，2004，29(4)：935-945.[4] BJǒ R K T，HULT H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model[J]. Finance and Stochastics，2005，9(2)：197-209.[5] LEI P，NUALART D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications[J]. Statistics and Probability Letters，2009，79(5)：619-624.[6] RUSSO F，TUDOR C. On the bifractional Brownian motion[J]. Stochastic Processes and their applications，2006，116(5)：830-856.[7] ALOS E，MAZET O，NUALART D. Stochastic calculus with respect to Gaussian processes[J]. Annals of Probability，2001，29(2)：766-801.[8] 邵宇，刁羽. 微观金融学及其数学基础[M].北京：清华大学出版社，2008：663-674.[9] 徐峰，郑石秋. 混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型[J]. 经济数学，2010，27(2)：8-12.[10] 赵巍. 分形市场视角下的期权定价模型及其套期保值策略研究[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2013，36(11)：1388-1392.。

分数几何布朗运动环境下幂型支付期权的保险精算定价

常数的条件下，用保险精算思想，过公平保 ห้องสมุดไป่ตู้ 原理推导出欧式看涨期权和幂型支付的欧式看利通
涨期权的定价公式，公式是ＢａｋＳｈｌｓ公式的推广。同时利用保险精算定价方法也容易推出该ｌｃ — ｃｏｅ无风险利率、的资产期望收益率和波动率为时间相依函数条件下的期权定价公式。标
展，定价模型是建立在有效市场假说之上的，假定资产价格服从几何Ｂｏｎ运动。近年来大量的研究该并ｒｗ表明，产收益率的分布并不是正态分布的，有 “ 峰厚尾 ” 特征，资产价格变化也不是随机游走，资具尖的且而是呈现不同程度的长期相关性和自相似性的分形分布特征。１９９４年Ｐｔｒ提出用分数布朗运动来刻画资产ｅｅ价格的变化，资产价格服从几何分数布朗运动则其收益率服从分形分布。Ｎｃｌ若ｅｕａ研究了分数布朗运动环境下的期权定价。Ｊｍｄｅ和Ｌｓ用几何分数布朗运动刻画资产价格的长记忆特性，对欧式期权定价进ａｅｏ并
关键词：分数几何布朗运动；型期权；险精算定价幂保

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型

分数布朗运动环境中交换期权的定价模型
布朗运动环境下交换期权定价模型：
一、简介
1、什么是布朗运动：布朗运动是一种在投资市场上具有概率性的运动环境，它可以解释货币市场上证券价格的变化。

2、什么是交换期权：交换期权是指受益人同另一个相关实体签订的期权合约，可以为受益人带来期限内受益权。

二、布朗运动模型
1、正态模型：主要用来描述证券价格的波动情况，如：投资组合的收益，货币市场的利率变化，外汇市场的汇率波动等，都属于正态模型。

2、风险平价法：采取的投资策略定价的主要方法之一，它的核心内容是针对该投资策略，将其成交均价和所有期权进行比较，从而最大化获取投资收益。

三、交换期权定价模型
1、模型表示：交换期权定价模型可以表示为C(t, x)，其中t为时间，x为期次，C 为此期权的定价。

2、期权价值：交换期权定价模型的期权价值由以下因素决定：a)时间价值：当期权到期时，受益人实际获得的利益；b)红利价值：持有期权的受益人所能获得的额外收益；c)可能性价值：持有期权的受益人可能得到的利益总和。

3、期权价格：交换期权定价模型更多地关注受益人在期权持有期间能够得到的收益，在决定期权价格时，还要考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格。

四、结论
交换期权在布朗运动环境下的定价模型，通过时间价值、红利价值和可能性价值来描述期权价值，并考虑期权费用及其相关风险成本，以求得最理想的期权价格，为投资者在布朗运动环境下获取最大收益提供了一种参考模型。

混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究

混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究摘要:欧式期权定价一直是金融工程领域的重要研究方向之一。

本文探讨了在混合分数布朗运动假设下，对欧式期权进行模糊定价的方法和应用。

通过引入模糊随机变量的概念，将模糊集理论与分数布朗运动融合，建立了混合分数布朗运动下的欧式期权模糊定价模型。

通过数值实例分析，验证了该模型在欧式期权定价中的有效性和可行性。

1. 引言欧式期权是金融市场中的一种重要金融工具，在证券投资和风险管理中具有广泛的应用。

期权定价理论是金融工程研究的核心问题之一，传统的期权定价模型主要假设资产价格服从几何布朗运动，即假设价格演化满足随机游走的过程。

然而，这一假设存在许多问题，例如不能很好地描述价格波动的厚尾特征，忽视了极端事件的发生概率等。

为了解决这些问题，学者们提出了许多新型的资产价格模型，其中混合分数布朗运动模型是一种重要的创新。

混合分数布朗运动模型旨在克服几何布朗运动模型的局限性，它将长记忆过程和短记忆过程结合在一起，并通过参数调节分数布朗运动模型的漂移和扩散项，使得模型能更好地描述价格序列的波动特征。

在此基础上，本文引入模糊随机变量的概念，结合模糊集理论和混合分数布朗运动模型，研究了在这一框架下的欧式期权定价方法。

具体而言，我们将欧式期权的净现值视为模糊随机变量，并对其进行模糊建模和模糊推理，得到模糊随机变量的分布特征。

然后，通过求解对应的微分方程，得到了欧式期权的模糊随机变量的期望和变异数，从而完成了欧式期权的模糊定价。

2. 混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价模型2.1 混合分数布朗运动模型混合分数布朗运动模型是一种能够较好地描述资产价格波动的模型。

它可以同时考虑长记忆过程和短记忆过程对价格序列的影响，并通过参数调节模型的漂移和扩散项来适应市场的实际情况。

具体而言，混合分数布朗运动模型可以表示为以下形式的随机微分方程：dX(t) = μ(t)dt + σ(t)dW^H(t)其中，X(t)是资产价格的对数收益率，μ(t)是随时间变化的漂移项，σ(t)是随时间变化的扩散项，W^H(t)是分数布朗运动。

基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告

基于分数布朗运动环境下期权定价的若干问题研究的开题报告一、研究背景和意义现代金融理论中，期权定价理论一直是研究的重点之一。

期权定价问题主要是考虑买方和卖方在未来的时间内对资产价格波动的不同看法，而推导期权价格的表达式。

现有的期权定价理论包括布莱克-斯科尔斯模型、扩散模型、跳跃扩散模型等，这些模型多数都是基于几何布朗运动环境下建立的，然而实际情况中，市场上的资产价格往往呈现非对称布朗运动。

因此，基于分数布朗运动的期权定价问题研究，在现代金融学理论研究上有着重要的理论和实际意义。

分数布朗运动近年来成为了重要的可用于描绘非对称布朗运动的数学模型，其研究不仅对于理论研究有很大的推动作用，也对实际金融市场的投资决策具有重要的指导意义。

二、研究内容和方法本文将探讨基于分数布朗运动环境下期权定价的几个方向，主要包括以下几个方面：1. 基于分数布朗运动的期权定价模型构建：分数布朗运动是分数阶微分方程组成的随机过程，其特点是具有长记忆性、非马尔可夫性等特征，因此需要建立新的数学模型进行期权定价。

2. 基于分数布朗运动的期权定价理论研究：基于构建的模型，进一步进行期权定价理论的研究，探讨不同模型下的期权价格变化规律。

3. 基于分数布朗运动的期权定价的数值解算方法：由于分数布朗运动的难以解析性质，需要研究出适用于此类问题的解析和数值解法，保证研究过程的可计算性。

4. 基于分数布朗运动的期权定价及其应用的实证研究：通过实证研究来验证理论模型的有效性、适用性，并进一步探讨此类模型在金融市场中的应用价值。

在方法方面，主要采用随机控制方法、最优投资决策和偏微分方程等数学和统计学方法，以及计算机模拟和实证分析等方法。

三、研究预期成果和创新点本文的预期成果和创新点主要有以下几个方面：1. 建立基于分数布朗运动的期权定价模型，以期开发一种更为适用于现实市场的期权定价方法。

2. 探讨基于分数布朗运动的期权定价理论，丰富和完善期权定价理论体系。

混合分数布朗运动环境下一类变形后幂期权定价的鞅分析

１分数布朗运动与混合分数布朗运动
定义１设｛ｘ（ｆ），ｔ ∈ ）为随机过程，如果对任意 ∈ （ｆ＿１，２，…，），ｘ（ｔ３，Ｘ（ｔ２），…，ｘ（）的联合分布为，ｌ维正态分布，则称｛ｘ（ｆ），ｔ ∈ 丁）为正态过程，也称Ｇｕａｓｓ过程．定义２口若连续Ｇｕａｓｓ过程｛（ｆ），ｔ０）满足
７月
Ｊｕ１．２０１３
文章编号：１００７ — ９８３１（２０１３）０４ — ０００６ — ０３
混合分数Байду номын сангаас朗运动环境下一类变形后幂期权定价的鞅分析
包树新，展丙军，贾连广，金天坤
（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆１６３７１２）
ｏｐｉｔｏｎｓ，ｍａｄｅｉｔｍｏｒｅｏｐｅｒａｔｉｏｎａ１．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉｎａｍｏｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒｏｐｔｉｏｎ；ｅｕｉｑｖａｌｅｎｔｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅｓ
Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｏｎｐｒｉｃｅｏｆａｅｘｏｔｉｃｐｏｗｅｒｏｐｔｉｏｎｉｎ
ｍｉｘｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ

随机过程的鞅与鞅收敛定理

随机过程的鞅与鞅收敛定理在概率论与数理统计中，鞅（Martingale）是一类非常重要的随机过程。

它具有很多优秀的性质和应用，并且相关的鞅收敛定理也是概率论研究的热点之一。

一、鞅的定义和性质鞅是一种随机过程，具有无偏性和零相对增殖的特点。

对于一个随机过程X(t)，如果满足以下条件，即可称为鞅：1. 期望有限：E[|X(t)|] < ∞，对于所有的t；2. 可测性：对于任意的s < t，X(t)是关于{X(s), X(s+1), … , X(t-1)}可测的；3. 无偏性：对于任意的s < t，E[X(t) | X(s), X(s+1), … , X(s-1)] =X(s)；4. 零相对增殖：对于任意的s < t，E[X(t) - X(s) | X(s), X(s+1), … ,X(s-1)] = 0。

鞅的定义保证了它在每个时刻的期望都是已知的，且在未来的增量不可被预测。

鞅是许多重要的随机过程的核心组成部分，如布朗运动、泊松过程等。

二、鞅的应用鞅在概率论和数理统计中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 金融市场：鞅在金融领域中有着重要的应用，特别是在期权定价、投资组合管理、风险评估等方面。

其中最著名的例子就是黑-斯科尔斯模型，该模型中的股价就可以看作是一个连续时间的鞅。

2. 数理统计：鞅是统计推断和假设检验的基础之一，它在最大似然估计、贝叶斯估计等方法中发挥着重要的作用。

鞅收敛定理也为统计学家提供了一种判断估计量的一致性的方法。

3. 随机优化：鞅是随机优化中的一个重要工具，可以用来描述随机系统的动态变化过程，并为优化问题的求解提供有效的方法。

例如，在随机最优控制中，鞅可以用来建立随机系统的动态规划方程。

三、鞅收敛定理鞅收敛定理是鞅理论中的重要结果，它研究了鞅序列的收敛性质。

其中最经典的是鞅收敛定理的两种形式：鞅收敛定理一和鞅收敛定理二。

1. 鞅收敛定理一：如果{X_n, n ≥ 1}是对于某个概率空间（Ω, F, P）中的鞅序列，并且满足以下条件：(a) X_n以概率1收敛于一个随机变量X：P(lim n→∞ [X_n = X]) = 1；(b) 存在一个函数g(·)使得E[|X_n - X|] ≤ g(n)，对于所有的n；(c) 存在一个随机变量Y，使得E[|Y|] < ∞，并且E[|X_n - X|] ≤E[|Y|]，对于所有的n；那么，X_n以期望收敛于X，即lim n→∞ [E(X_n)]=E(X)。

分数布朗运动环境中应用鞅方法定价欧式期权

权支付函数为幂型的欧式期权的定价，到在分数布朗运动环境下，得具有不同借贷利率的幂型欧式看跌期权的定价公式．丰富了已有期权定价结果，使期权定价公式更贴近于实际．
关键词：价鞅度；数布朗运动；等分幂型欧式期权中图分类号：８０９Ｆ３．文献标识码：Ａ文章编号：６２— ９６２１）４— ４３— ３１７０４（００００３０
第２卷第４６期
２１年８月００
哈尔滨商业大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｒｉｉｅｓｙｏｏｏｒａｂｎＵｎｖｒｉｆＣｍｍｅｃＮｔｒｌｃｎｅｄｔｎｏＨａｔｒｅ（ａｕａｉｃｓＥｉｏ）Ｓｅｉ
ｔｆｐｉｎｅｐｒｔｎｉｄｒｅａｏｕｃｉｎｆｒｔｅｐｗｅｆＥｒｐａｐｉｎｐｉｉｇｉｏｔｘｉｉｓｅｉｄｐｙｆｆｎｔｏｈｏｒｏｕｏｅｎｏｔｒｎｍｅｏｏａｏｖｏｏｃ
ｍｏｅ，ｈｉａｅｂａｎｈｗｅａｏｆｒｐａｔｏｔｏｒｃｎｏｍｕａｗｉｈｄｆｅ — ｄｌｔｓｐｐｒｏｔｉｓｔｅｐｏｒｐｙｆｓＥｕｏｅｎｐｕｐｉｎｐｉｉｇｆｒｌｔｉｆｒｅｔＢｏｒｗ—ｅｄｉｇｒｔｎｔｅｅｖｒｎｅｔｏｒｃｉｎａｏｉｎｍｏｉｎＩｅｉｃｈｘｓ— ｎｒｏｌｎｎａｅｉｈｎｉｏｍｎｆｆａｔｏｌＢｒｗｎａｔｏ．ｔｎｒｈｔｅｅｉｔｉｇｏｔｏｒｃｎｅｕｔ，ｗｈｉｈｍａｐｉｎｐｉｉｇｆｒｕａｍｕｈｃｏｅｏｔｅｆｃ．ｎｐｉｎｐｉｇｒｓｌｓｉｃｋｅｏｔｒｃｎｏｍｌｃｌｓｒｔｈａｔｏＫｅｏｄｓ：ｑｖｌｎａｔｇｌａｕｒｓｆａｔｏｌＢｒｗｎａｏｉｎ；ｐｗｅａｏｆｙｗｒｅｕｉａｅｔｍｒｉａｅｍｅｓｅ；ｒｃｉｎａｏｉｎｍｔｏｎｏｒｐｙｆＥｕ・ｓ

一类欧式期权定价问题

一类欧式期权定价问题作者：荆卉婷来源：《市场周刊》2016年第06期摘要：赋权分数布朗运动因具备长程相依性、重对数率等精美性质，可用于资本市场。

文章主要考虑由赋权分数布朗运动驱动的金融市场，从其相关性质出发，定义了新型的欧式期权定价公式并绘制出一些仿真结果。

关键词：赋权分数布朗运动；欧式期权中图分类号：F830.91 文献标识码：A 文章编号：1008-4428（2016）06-79 -02一、前言具有长程相依性的自相似随机过程广泛应用于包括金融、电信学、流体力学等许多领域。

分数布朗运动（fractional Brownian motion）是使用最广泛的一种，也是自相似高斯过程中唯一一个具有平稳增量的随机过程。

近年来，分数布朗运动以其简单的结构、精美的性质以及广泛的应用引起了许多学者的兴趣，随着研究的不断深入，已经获得了很多有意义的结果但是与分数布朗运动的广泛研究相比较，其它类型的自相似高斯过程的研究却非常少！这主要是由于其他类型自相似高斯过程并没有平稳增量，且相依结构更为复杂。

此后，很多学者开始了诸如次分数布朗运动，双分数布朗运动等自相似高斯过程的研究，然而对于赋权分数布朗运动的研究还非常少，结构也更加复杂，这也是我们开展赋权分数布朗运动研究的原因之一。

另一方面，赋权分数布朗运动涵盖分数布朗运动、双分数布朗运动等许多具有长程相依性的自相似高斯过程，所以我们认为这类研究对于金融市场的定价问题具有应用意义。

本文主要研究赋权分数布朗运动在金融市场中的一个应用，给出了由赋权分数布朗运动版本的欧式期权定价公式，并绘出了当长程相依性指数及波动率取不同值时，欧式期权的价格随时间变化的图像。

二、欧式期权定价公式及相关证明由于金融系统的复杂性，投资者往往不是在得到金融信息时立刻做出决定，而是等信息达到一定的量的时候再做出决定。

这种行为往往导致长程相依性，赋权分数布朗运动能够成为解释这种现象的有用工具。

在我们的模型中，假设股票价格V服从下面的随机过程：其中Bta，b为赋权分数布朗运动且积分类型为离散型。

分数布朗运动在期权定价中的应用研究

分数布朗运动在期权定价中的应用研究分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）因其在自回归和非平稳时间序列建模中的广泛应用而日益受到关注。

随着金融市场的日益复杂和风险的不断增加，分数布朗运动在金融领域中的应用也愈发重要。

在期权定价中，分数布朗运动的使用可以帮助金融从业者更准确地评估期权价值，降低风险。

本文将对分数布朗运动在期权定价中的应用进行研究探讨，主要从以下几个方面进行分析：一、分数布朗运动简介分数布朗运动是一种非平稳的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。

与标准布朗运动不同的是，分数布朗运动的Hurst指数（Hurst exponent）不等于0.5，而是一个介于0和1之间的分数。

Hurst指数的值越大，即越接近1，分数布朗运动的长期相关性就越强。

在金融领域，分数布朗运动经常被用来建模资产价格，它可以捕捉市场中的长期依赖性和自相似性。

二、期权定价的基本原理期权定价是金融工具中的一种核心领域，它主要用来计算期权的合理价格。

期权定价的基本原理是基于期权的内在价值和时间价值。

内在价值是指期权当前的实际价值，即如果现在就行权，期权所能够给持有人带来的收益。

时间价值是指期权所含有的未来时间的价值，包括行权前能够在市场上实现的收益、市场风险以及其他因素。

三、分数布朗运动在期权定价中的应用1.基于分数布朗运动的期权定价模型分数布朗运动适用于各种金融产品的定价和风险度量。

基于分数布朗运动的期权定价模型是一种基于复合泊松过程和Hurst指数的模型，可以通过计算分数布朗运动的变差（variance）来获取期权价格。

分数布朗运动可以更好地描述市场中自相关性和自相似性的现象，从而更好地展现出实际市场的特征。

利用分数布朗运动进行期权定价可以更准确地预测期权价格，从而为金融从业者提供更准确的风险度量方式。

2.基于分数布朗运动的期权风险度量期权风险度量是评价期权风险的一种方法。

分数布朗运动模型可以提供更有效的风险度量方法，因为它可以更好地描述长期相关性和自相似性。

分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换

1 1 < H < 1 时, 分数布朗运动具有长程关联性 . 本文仅考虑 < H < 1 情形 . 2 2 (R ) , F , P ) 中的分数布朗运动, 其中, 8 = ∶S ′ (R ) 为 R 上的速设 B H ( t) 为概率空间 (S ′ 减函数 Schw a rz 空间 S (R ) 的对偶空间.
S ( t) = s ( 0) exp rT -
Ρ2 2H t + Ρ B H ( t) 2
( 2. 4)

© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
I S (T ) Ε K
( 3. 1)
© 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

20 期
肖艳清, 等: 分数布朗运动环境下的期权定价与测度变换
我们可以通过选取不同于m的资产作为计价单位也能得到类似的等价鞅测度的方法对期权定价具体来说为一个无红利支付的资产价格过程则也可以用s使得在此测度下市场中的任何财富的价格过程相对利用这种思想研究了跳扩散模型并得到了随机利率的期权定价公式以及资产交换期权定价公式
第 38 卷第 20 期 2008 年 10 月 M A TH EM A T
定义 2. 1. 2 [ 5 ] 假设 G =
∑ ∫g
n= 0 R
n
∞
n
( s) dB H n ( s) ∈ .
∞
3
,.
3
为赋予归纳拓扑的随机分布空

分数布朗运动环境下的期权定价的开题报告

分数布朗运动环境下的期权定价的开题报告题目：分数布朗运动环境下的期权定价研究背景和意义：在金融市场中，期权作为一种常见的金融衍生品，其定价问题一直是金融领域研究的重点。

传统期权定价模型假设市场价格符合布朗运动过程，但实际市场中，由于市场中存在不确定性和复杂性，布朗运动模型对市场的描述力存在局限性。

因此，近年来，一些学者将分数布朗运动模型引入期权定价中，分数布朗运动是一种能够描述涨跌波动具有非局部和非马尔可夫性的数值模型，其研究对于提高期权定价的精度和解释市场现象具有重要意义。

同时，对于建立更为适用的金融衍生品市场风险管理方法，也有重要意义。

研究内容：本文旨在使用分数布朗运动的方法，对期权进行定价，研究分数布朗运动在期权定价中的应用。

具体内容包括：1.分数布朗运动的基础理论介绍，包括分数阶微积分、分数布朗运动的定义和性质等。

2.分数布朗运动在期权定价中的应用研究，包括将分数布朗运动应用到期权定价中的方法和步骤，以及对比传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法的优缺点。

3.使用实际市场数据，以某种特定的期权为例，对传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法进行对比研究。

根据研究结论，评估分数布朗运动模型在期权定价中的适用性和优劣。

研究方法：本文采用定量分析的研究方法，主要利用数学模型和数据分析工具对分数布朗运动模型的应用进行研究，进而探究在期权定价中的应用价值。

研究成果：通过本文的研究，可以对分数布朗运动模型在期权定价中的应用进行探究，揭示该模型的优势和局限性，为金融市场中的期权定价提供新的思路和方法。

同时，本文的研究结果还可以为金融机构的风险管理提供参考，对市场风险的有效监测和控制具有重要意义。

基于分数及混合次分数布朗运动的期权定价若干问题

THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
基于分数及混合次分数布朗运动的期权定价若干问题
汇报人： 2023-12-02
目录
• 引言 • 分数布朗运动及其性质 • 混合次分数布朗运动及其性质 • 基于分数布朗运动的期权定价模型 • 基于混合次分数布朗运动的期权定价模型 • 期权定价模型的数值分析与应用 • 结论与展望
01 引言
研究背景与意义
混合次分数布朗运动能够更好地刻画金融市场的波动性和长期依赖性，从而为金融衍生品定价和风险管理提供更准确的模型。
04 基于分数布朗运动的期权定价模型
期权定价模型的基本框架
01
02
03
无套利原则
期权定价模型应当符合无套利原则，即不能通过买卖期权或其他金融工具获取无风险利润。
风险中性概率
在期权定价模型中，通常会构建一个风险中性概率，以消除实际概率对期权价格的影响。
基于分数布朗运动的亚式期权定价模型
亚式期权
亚式期权是一种行权价格在到期日之前确定的期权。
平均价格
亚式期权的价格通常由期权到期日之前的平均价格决定。
定价公式
基于分数布朗运动的亚式期权定价模型通常由 Asian option formula 给出。
05 基于混合次分数布朗运动的期权定价模型
基于混合次分数布朗运动的欧式期权定价模型
模型建立
在混合次分数布朗运动下，建立亚式期权定价模型，考虑了期权价格的平均和波动情况。
模型求解
利用随机分析和数值计算方法，对模型进行求解，得到亚式期权价格的计算公式。
模型应用
将模型应用于实际市场，对亚式期权进行定价，并与实际市场价格进行比较，评估模型的准确性和有效性。

分数阶布朗运动在期权定价中的应用

分数阶布朗运动在期权定价中的应用摘要：标准布朗运动是一个平稳独立增量的随机过程。

基于这种简便性质，大量的文献利用标准布朗运动描述金融资产价格的动态过程。

各种的文献已经发现金融资产的动态过程不具有平稳独立的增量，而是展现出长期记忆性。

基于标准布朗运动对期权等衍生金融工具进行定价会产生显著的偏差。

分数阶布朗运动具有非独立的增量，即具有长期记忆性的分形特征。

利用分数阶布朗运动描述金融资产价格的动态过程，会更加符合真实市场状态，使得对期权等衍生金融工具进行定价有更高的精度。

因此，本文分析并总结了关于利用分数阶布朗运动进行期权定价的文献，为金融业界和金融监管机构提供决策依据。

关键词：分数阶布朗运动；期权定价；套利1.引言自Black 和 Scholes(1973)于1973年提出了期权定价的开创性工作，Black-Scholes (BS)模型，已有大量的研究集中于期权定价的研究，期权也在金融市场中被大量使用（例如，高管报酬期权、实物期权和可转换债券等）。

BS模型的假设之一是标的资产价格是由标准布朗运动描述的，即资产价格的动态过程为几何布朗运动。

而这一假设不符合真实市场的特征，市场中存在长期记忆性等分形特征。

分形模型可以更好地解释S&P500指数和外汇汇率的变动（Peters，1994），农业期货收益率也具有长期记忆性 (Corazza、Malliaris和Nardelli，1997)。

因此，Cont (2001)总结到，各种金融市场和产品显示出与金融中通常使用的统计方法相抵触。

换言之, 现实中的资产价格能够更好地由分数布朗运动进行建模, 因为分数布朗运动具有分形特征和长期记忆性。

因此, 在标准布朗运动下的对期权进行定价可能会导致次优投资决策。

本文分析了在分数阶布朗运动各类期权的定价研究，为资产管理公司、投资者和金融监管机构提供技术支持。

本文后面的安排如下：第二部分简单描述了分数阶布朗运动的定义。

第三部分讨论了在分数阶布朗运动环境下，金融市场中是否存在套利机会。

分数布朗运动环境下上证50ETF期权定价的实证研究

分数布朗运动环境下上证50ETF期权定价的实证研究作者：程潘红来源：《经济数学》2019年第03期摘要合理的期权价格是期权交易的前提.基于上证50ETF期权的最新数据，运用经典的Black-Scholes定价模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和分数布朗运动定价模型对上证50ETF 期权价格进行实证研究.结果表明：分数布朗运动定价模型相比较经典的BlackScholes定价模型和蒙特卡洛方法在接近期权的实际成交价格时均方误差和均方比例误差更小，能够较为准确地、有效地模拟出上证50ETF期权的价格，从而对投资者的期权交易行为具有一定的指导作用，也为国内其他品种的期权定价研究提供参考.关键词金融工程;均方误差;均方比例误差;上证50ETF期权;分数布朗运动中图分类号 F830.9; O211.6 文献标识码 AAbstract Reasonable options price is the premise of options trading. This paper makes an empirical research of the SSE 50ETF option pricing by using the classic Black-Scholes pricing model， Monte Carlo simulation option pricing method and the fractional Brownian motion pricing model based on the latest data of the SSE 50ETF option price. The analysis results show that the fractional Brownian motion pricing model can more accurately and effectively simulate the SSE50ETF options price because of smaller mean square error and mean square proportional error. The research can provide guidance for investor s’ options trading behavior. In addition， it is helpful to study other varieties of domestic options.Key words Financial Engineering; Mean Square Error; Mean Square Proportional Error; SSE 50 ETF Options; Fractional Brownian Motion1 引言期权作为典型的金融衍生品（远期、期货、互换、期权）之一，具有悠久的发展历史.但现代意义上的期权是从1973年美国CBOE推出16只股票组成的股票期权开始[1].期权具备良好的价格发现、资产配置、风险度量与管理等功能.因此，各国为推进资本市场更加健康有序发展，不断的进行產品创新、制度创新与技术创新.中国金融期货交易所于2013年11月8日面向市场开展股指期权仿真交易，这是推出首个期权交易的关键一步.随后上海金融期货交易所、大连商品交易所、郑州商品交易所也陆续开展以期货为标的资产的期权仿真交易.上海证券交易所开展了股票期权的仿真交易，其中包括50ETF期权合约.该期权经过了一年的仿真交易，在众多仿真交易产品中脱颖而出.于2015年2月9日在上海证券交易所正式上线交易，这不仅宣告中国期权时代的到来，也表明我国典型金融衍生品已配备齐全.上证50ETF期权基于杠杆性、风险对冲及套利技术等特点受到投资者的青睐，在金融衍生品市场中拥有举足轻重的地位.如：在2015年6月29日央行降准降息的背景下，上证50ETF 期权并未出现大幅度反弹，交易依然活跃，流动性强，成交量与持仓量较前一个交易日均有所增加.但其标的资产上证50ETF，即上证50交易型开放式指数证券投资基金则约有0.97%的跌幅.期权作为市场上交易活跃的金融衍生品，是投资者进行套期保值、套利的有利保障，对完善资本市场体系具有重要作用.2 文献综述Black 和 Scholes （1973）[1]提出了著名的BS期权定价模型，该定价模型的诞生标志着现代期权理论的建立.纪琼（2015）[2]运用GARCH模型和BS模型对上证50ETF期权价格进行分析，得出GARCH模型对于小样本数据有着更好的拟合效果.乔克林和薛盼红（2016）[3]分别用经典BS模型和扩展BS模型（即标的资产支付离散红利）对上证50ETF期权进行定价实证研究，将模型结果与期权实际价格相比较，认为扩展BS定价模型更有效.方艳等（2017）[4]运用IGARCH、蒙特卡洛模拟、BSM模型对期权定价进行分析，发现IGARCH模型比GARCH模型能更好地拟合上证50ETF的波动率，BSM模型和蒙特卡罗模拟方法均可以较为有效地模拟出上证50ETF期权价格.以上学者研究期权定价均基于其标的资产的运动过程是由布朗运动驱动的假设背景.但在实际的金融市场中，标的资产价格运动过程具有长程相依性、自相似性以及“尖峰厚尾”现象.Elliott和Hoek （2003）[5]研究了赫斯特指数H在（1/2，1）情况下的分数布朗运动（fractional Brownian motion，简写为fBm）.Hu和Φksendal （2003）[6]通过Wick积分和分数白噪声进一步研究了分数布朗运动积分理论，并证明了It型分数BlackScholes市场无套利和完备性.Bender（2003）[7]将其推广到了任意赫斯特指数.Nualart （2006）[8]提出了分数BS模型，对经典BS模型做了改进.刘韶跃和杨向群（2002）[9]讨论了标的资产支付红利时分数布朗环境下欧式期权的定价公式及看涨看跌期权的平价关系.赵佃立（2007） [10]研究了分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价.李金秀（2014）[11]在假设无风险利率、标的资产红利均为时间的函数时，分析了分数布朗运动环境下欧式看跌期权的价格.李志广和康淑瑰（2016）[12]考虑了标的资产价格服从混合分数布朗运动，短期利率服从Vasicek 模型时，欧式期权价格满足的偏微分方程，并通过求解该方程得到期权的定价公式.刘文倩等（2018）[13]研究了混合分数布朗运动环境下的欧式障碍期权定价，得到了欧式障碍期权看涨看跌平价关系式，并根据敲入敲出障碍期权关系式推出障碍期权所有类型的定价公式.程志勇等（2018） [14] 考虑次分数布朗运动环境下支付连续红利时欧式期权的定价，并对定价模型中的参数进行估计，讨论了估计量的无偏性和强收敛性.由此，在分数布朗运动环境下对上证50ETF期权定价进行实证分析很有意义.运用分数布朗运动来刻画上证50ETF的运动过程，使用最新的上证50ETF期权高频数据，得到fBm环境下的期权价格.然后将3种定价模型得到的上证50ETF期权理论价格与实时市场价格进行比较，计算各自均方误差和均方比例误差，验证模型的有效性和稳健性.3 期权定价模型选择合适的定价模型对上证50ETF期权进行实证研究是目前学术界的一个重要研究方向.下面简要介绍三种常用的期权定价模型，即经典BS模型、蒙特卡洛模拟期权定价方法和fBm 模型.3.1 BlackScholes 定价模型经典BS模型[1]可通过风险中性定价方法或求解期权价格满足的偏微分方程来建立.经典BS定价模型的看涨和看跌期权的价格分别为从表6可以得到：当赫斯特指数H取值在0.51到0.53之间时，fBm定价比经典的BS模型、MC模拟期权定价更接近期权的实际成交价格.即fBm定价模型能够较好地模拟上证50ETF期权的价格，精确度较高，稳健性较好.给出了3种模型下上证50ETF看涨与看跌期权的理论价格与实际市场价格之间的比较图，如图1 和图2所示.3种模型模拟得到的上证50ETF看涨期权价格基本重合，但fBm模型下看跌期权的价格更为贴近实际市场价格.因此，fBm期权定价模型更为准确地、有效地模拟出期权的实际价格，这与运用MSE、MSPE评价标准得到的结论一致.5 结论将上证50ETF期权作为研究对象，运用分数布朗运动（fBm）刻画上证50ETF的运动过程，得到fBm定价模型，实证研究的结果表明相比较典型的BS定价模型、MC定价方法，fBm定价模型能够更有效地接近期权的实际价格.研究结论对合理预测上证50ETF期权有参考作用，可以为投资者提供参考.参考文献[1] BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities [J]. Jornal of Political Economy， 1973，81（3）：637-654.[2] 纪琼.上证50ETF期权的定价研究[J]. 经营管理者，2015，29（24）：23-24.[3] 乔克林，薛盼红.基于最新数据的上证50ETF期权定价实证研究[J].延安大学学报：自然科学版，2016，35（4）：27-31.[4] 方艳，张元玺，乔明哲.上证50ETF期权定价有效性的研究：基于BSM模型和蒙特卡罗模拟[J].运筹与管理，2017，26（8）：157-166.[5] ELLIOTT R J， HOEK J V D. A general fractional white noise theory and applications to finance [J]. Mathematical Finance， 2003，31（2）： 301-330.[6] HU Y Z， KSENDAL B. Fractional white noise calculus and applications to finance [J].Infinite Dimensional Analysis Quantum Probability and Related Topics，2003，6（1）： 1-32.[7] BENDER C. An It; formula for generalized functionals of a fractional Brownian motion with arbitrary Hurst parameter [J]. Stochastic Processes and their Applications， 2003，104（1）：81-106.[8] NUALART D. Fractional Brownian motion. In： The Malliavin Calculus and Related Topics.Probability and its Applications [M]. Berlin： Springer Berlin Heidelberg， 2006.[9] 刘韶跃，杨向群.分数布朗运动环境中标的资产由红利支付的欧式期权定价[J].经济数学，2002，19（4）：35-39.[10]赵佃立.分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价[J].经济数学，2007，24（1）：22-26.[11]李金秀.分数布朗运动下的看跌期权定价[J].齐齐哈尔大学学报，2014，30（3）：90-94.[12]李志广，康淑瑰.混合分数布朗运动环境下短期利率服从Vasicek模型的欧式期权定价[J].数学杂志，2016，36（3）：641-648.[13]刘文倩，韦才敏，卜祥智. 混合分数布朗运动环境下欧式障碍期权定價[J]. 经济数学，2018，35（4）：16 -20.[14]程志勇，郭精军，张亚芳.次分数布朗运动下支付红利的欧式期权定价[J].应用概率统计，2018，34（1）：37-48.[15]上证交易所股票期权投资者教育专区.期权计算器[EB/OL]. （2013-11-8） [ 2018-11-01].http：///col/option/calc/#menu-list.[16]叶芳琴，刘文倩，林先伟.次分数布朗运动下带红利的两值期权定价[J].汕头大学学报（自然科学版），2019，34（1）：13-18.[17]SUN L. Pricing currency options in the mixed fractional Brownian motion [J]. Physica A：Statistical Mechanics and its Applications，2013，392（16）：3441-3458.。

分数布郎运动环境中期权定价模型的研究的开题报告

分数布郎运动环境中期权定价模型的研究的开题报告一、研究背景和意义随着金融市场的日益发展以及金融产品的不断创新，期权作为一种金融衍生品，其在金融市场上的应用日益广泛。

传统的期权定价方法大多基于欧式期权的条件，但在现实市场应用中，美式期权更加常见，而且与其它金融产品的联动性也更加明显。

因此，对于美式期权定价的研究具有重要的理论和实践意义。

分数布朗运动（Fractional Brownian Motion，FBM）是一种能够模拟具有长期记忆性的随机过程的数学模型，相比于布朗运动模型，FBM模型更能反映现实市场上的价格漂移和波动性。

因此，将分数布朗运动模型应用于期权定价中，不仅能更为准确地反映价格波动性的特征，还能提高期权定价的精度。

二、研究目的本文旨在探究分数布朗运动环境下的美式期权定价模型，具体目标为：1. 构建分数布朗运动下的美式期权定价模型，分析其特点和优势；2. 基于该模型，建立相应的数学模型，探讨模型在不同市场条件下的适用性和精度；3. 通过实证分析，验证所提出的模型的可行性和有效性。

三、研究内容和方法1. 研究分数布朗运动的基本理论和性质，掌握其在金融市场中的应用；2. 系统回顾已有的美式期权定价模型的研究成果，对各种常用的美式期权定价方法进行介绍和比较分析；3. 基于分数布朗运动，构建美式期权定价模型，采用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）方法解析模型，并计算得到相应的定价公式；4. 利用数值方法，如蒙特卡罗方法和有限差分法，对所提出的模型进行求解和分析，验证所提出的模型在不同市场情况下的适用性和定价精度；5. 最后，通过实证分析，采用实际市场数据验证所提出的美式期权定价模型的有效性和优越性。

四、预期结论和意义1. 基于分数布朗运动的美式期权定价模型能够更为准确地反映现实市场中的价格波动特征，提高期权定价的精度；2. 所提出的美式期权定价模型在不同市场条件下的适用性和精度均得到验证，具有一定的实用价值；3. 本文的研究结果能够为实践中的期权定价和风险控制提供理论支持和参考依据。

分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究

分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究摘要：分数布朗运动是一种非常重要的随机过程，在金融领域中有广泛应用。

本文通过分析分数布朗运动的特性，利用分数阶微积分理论构建了一种基于分数布朗运动的期权定价模型。

然后，通过数值方法对该模型进行了研究，并对期权价格与各影响因素之间的关系进行了分析。

研究结果表明，分数参数α的增大会使期权价格上升率加快，市场波动程度的增大会使期权价格下降率加快。

关键词：分数布朗运动、期权定价、分数阶微积分、数值方法、影响因素1. 引言分数布朗运动是一种能够更准确地反映金融市场波动特征的随机过程模型。

它通过引入分数阶微分算子，能够更准确地刻画金融资产的价格变化。

而传统的布朗运动模型在描述金融市场波动时存在着一定的局限性，因为它默认市场价格的变化是连续且标准正态分布的。

然而，真实的金融市场波动往往呈现出肥尾、长尾等非正态分布特征，这就需要引入更为灵活和准确的模型来进行定价。

2. 分数布朗运动的特性分数布朗运动是一种时间非齐次的随机过程，其漂移项和波动项都具有相关的分数阶微分特性。

它的性质与传统的布朗运动相似，但在更精细的尺度上有所不同。

分数布朗运动的波动项在各个时间尺度上表现出不同的长记忆特性，即过去的波动对未来的波动有持久影响。

这种长记忆现象在具有高度自相似性的金融市场中尤为显著。

3. 基于分数布朗运动的期权定价模型为了更准确地描述金融市场中的期权定价问题，本文基于分数布朗运动构建了一种新的期权定价模型。

模型中的分数布朗运动由分数阶随机微分方程表示，其中的马尔科夫性质和分数阶特性能够更好地刻画金融市场价格变动的特征。

模型的漂移项和波动项均与时间、空间的长记忆特征有关，充分考虑了分数布朗运动的非正态分布和波动特性。

4. 数值方法及定价算法为了求解基于分数布朗运动的期权定价模型，本文采用了数值方法，具体包括离散化方法和迭代求解方法。

首先，对模型中的分数阶微分方程进行离散化处理，然后利用迭代方法求解离散化后的方程。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

述股票价格运动。
即Ｘ（ｓ＋）一Ｘ（）是期望为０、方差为Ｃ２ｔ的正态分布，则称｛Ｘ（￡）， ≥０）是布朗运动，当ｃ一１时，称为标准布朗运动，记为Ｂ（￡）［。布朗运动具有马尔科夫性和鞅性。
ｉｎｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ
ＬＵＳｈｕ — ｑｉａｎｇ，ＢＡＯＳｈｕ — ｘｉｎ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＤａｑｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｑｉｎｇ１６３７１２，Ｃｈｉｎａ）
联合分布为ｎ维正态分布，则称｛Ｘ（），ｔ ∈Ｔ｝为
正态过程，也称Ｇｕａｓｓ过程＿９］。
０引
言
１几何分数布朗运动
定义ｌ若一个随机过程｛ｘ（￡）， ≥Ｏ），ｘ（）是独立增量过程而且关于ｔ是连续函数
ＶＳ，ｔ＞０，Ｘ（ｓ＋）一Ｘ（￡）～Ｎ（０，Ｃ￡），
Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式自提出后被广泛应用于金融理论的期权定价内容中，公式中假设股价的分布是对数正态分布。而近年来对股票市场的研究结果表明股票市场价格并不完全符合正态分布，而是呈现出“ 尖峰胖尾” 形态，股价波动不是随机游走的，而是存在着长期的自相关性特点，这与几何布朗运动有一定不同。而分数布朗运动恰好具备长时间自相关特征，它能更好地描
关键词：分数布朗运动；拟鞅；等价鞅测度；期权
中图分类号：Ｏ２１１．９ ‘ 文献标志鹤：Ａ文章编号：１００３ — ５０６０（２０１３｝０７ — ０８７５ — ０４
Ｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｏｆａｃｌａｓｓｏｆｅｘｏｔｉｃｏｐｔｉｏｎｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｃｌａｓｓｏｆｅｘｏｔｉｃｏｐｔｉｏｎｓｔｈａｔｕｎｄｅｒｌｙｉｎｇａｓｓｅｔｐｒｉｃｅｆｏｌｌｏｗｓｇｅｏｍｅｔｒｉｃｆｒａｃｔｉｏｎａｌ
第３６卷第７期２０１３年７月
合肥工业大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＥＦＥＩＵＮＩ６Ｎｏ．７
Ｊｕ１．２０１３
分数布朗运动环境下一类新型期权定价的鞅分析
ｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉｏｎａｌＢｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎ；ｑｕａｓｉｍａｒｔｉｎｇａｌｅ；ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｍａｒｔｉｎｇａｌｅｍｅａｓｕｒｅ；ｏｐｔｉｏｎ
定义２如果随机过程（Ｘ（￡），ｔ ∈Ｔ）对任意ｔ ∈Ｔ，＝＝＝１，２， …，，有Ｘ（ｔ１），Ｘ（２）， …，Ｘ（）的
文献［１ — ５］对这一内容作了深入研究，文献
［６ — ８］对其进行了具体建模。本文在以上文献的基础上，对幂型期权的高风险进行折中，并系统介
卢树强，包树新
（大庆师范学院数学科学学院，黑龙江大庆１６３７１２）
摘
要：文章对标的资产价格服从几何分数布朗运动的新型期权进行研究，系统论述分数布朗运动环境下期
权拟鞅定价理论，利用等价鞅测度理论，求出了新型期权的定价公式。
Ｂｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｍｏｄｅｌｉｓｓｔｕｄｉｅｄ，ｔｈｅｑｕａｓｉｍａｒｔｉｎｇａｌｅｐｒｉｃｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｔｈｅｏｐｔｉｏｎｓｉｎｔｈｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌ
Ｂｒｏｗｎｉａｎｍｏｔｉｏｎｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄｔｈｅｐｒｉｃｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｏｆｅｘｏｔｉｃｏｐｔｉｏｎｓａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙ