专题7 随机变量的分布列、期望、方差-2018年浙江高考数学分析及相似模拟题训练Word版含解析

专题七 随机变量的分布列、期望、方差
【母题原题1】【2018浙江，7】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是
则当p 在（0，1）内增大时，
A. D （ξ）减小
B. D （ξ）增大
C. D （ξ）先减小后增大
D. D （ξ）先增大后减小 【答案】D
【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
详解：
，
，
，∴
先增后减,因此选D.
点睛：
【母题原题2】【2017浙江，8】已知随机变量i
ξ满足P （i
ξ=1）=p i ，P （i
ξ=0）=1—p i ，i=1，2.若0<p 1<p 2<12
，
则
A. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξ
B. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ
C. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξ
D. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ 【答案】A
【解析】∵()()1122,E p E p ξξ==，∴()()12E E ξξ<，
∵()()()()1112221,1D p p D p p ξξ=-=-，∴()()()()12121210D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几
何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．
【命题意图】1.分布列的概念及其性质；2.考查期望、方差的关系及其计算公式；3.考查运算求解能力、分析与解决问题的能力.
【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.
【答题模板】
求离散型随机变量均值、方差的步骤：
(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由公式求出()E X 、方差． 【方法总结】
1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2. 六条性质
(1) ()E C C = (C 为常数)
(2) ()()E aX b aE X b +=+ (,a b 为常数) (3) ()()()1212E X X E X E X +=+
(4)如果12,X X 相互独立，则()()()1212E X X E X E X ⋅=⋅ (5) ()(
)()()2
2
D X
E X
E X =-
(6) ()()2
D aX b a D X +=
3. 均值与方差性质的应用若X 是随机变量，则()f X η=一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应
用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．
相似模拟题训练
1．【2018 ξ 的分布列如下：
1
当 a 增大时，（ ）
A. E (ξ)增大， D (ξ)增大
B. E (ξ)减小， D (ξ)增大
C. E (ξ)增大， D (ξ)减小
D. E (ξ)减小， D (ξ)减小 【答案】A
32．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量()1,2i ξ=的分布列如表所示：
若1212
023
p p <<
<<，则（ ） A. ()()()()1212,E E D D ξξξξ<< B. ()()()()1212,E E D D ξξξξ
C. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>>
D. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> 【答案】D
【解析】分析：根据定义用i p 表示出()i E ξ， ()i D ξ，根据函数单调性得出结论． 详解：由题意得()24
233
i i i i E p p p ξ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ∵1212
023
p p <<
<< ∴()()12E E ξξ> ∵()()()()2221201233i i i i i i D E p E p E ξξξξ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=
-+-+-- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭
∴()222
214122183333339i i i i i i i i D p p p p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+-+-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
设()2
1839f x x x =--
+，则()f x 在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减. ∵1212023
p p <<
<< ∴()()12D D ξξ> 故选D.
3．【2018年4
）
D. 【答案】A
.
本题选择A 选项.
（ ）
B.
D.
【答案】B
增大时，
B.
5．【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量ξ满足()1
03
P ξ==
， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==
-，若2
03
x <<，则（ ） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小 【答案】C
【解析】∵ 随机变量ξ满足()103P ξ==
， ()1P x ξ==， ()2
23
P x ξ==-
∴()124
0123
33
E x x x ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=-
⎪⎝⎭
∴
2
21811139612x x x ⎛
⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭
∵203
x <<
∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 故选C
6．【2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试】随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 【答案】C
7．【2017届浙江省杭州市4月二模】已知随机变量ξ的概率分布列为：
则E ξ=__________， D ξ=__________. 【答案】 1
1
2
【解析】1110121424E ξ=⨯
+⨯+⨯= ， ()()()222
11110111214242
E ξ=-⨯+-⨯+-⨯= .
8．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知两个离散型随机变量的分布列如下：
．
【答案】
.
9．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量
，则．
【答案】
故答案为：0
点睛：本题主要考查分布列的性质
散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.
10．【2018届浙江省绍兴市3
的数学期望．
【答案】
故填（12 11．【浙江省台州市2018届高三上期末】已知随机变量X的分布列为:
则m=___________，()
D X=__________.
【答案】1
6
5
9
【解析】由题意，111
1,
236
m m
++=∴=，
1115
123
2363
EX
∴=⨯+⨯+⨯=，()
D X=
222
1515155
1232333639
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为（1）16，（2）59.
12．【2017届浙江省台州市4
【答案】。