第五章自测题

高等数学(1)标准化作业题参考答案—自测题五
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第五章
1．求 lim 解： lim
自测题
1 ( n + 2n + " + n 2 ) （本题 6 分） 2 n →∞ n
1 n →∞ n2
1
(
n + 2n +
1
1⎛ 1 2 + n 2 = lim ⎜ + + ⎜ n →∞ n⎝ n n
)
+
n⎞ 1 n i lim = ∑ ⎟ n →∞ n⎟ n i =1 n ⎠
=
其中 ξ ∈ [ a, x ] ⊂ [ a, b ] , η ∈ ( a, ξ ) ⊂ ( a, b ) ，由条件可知结论成立． 10．求 ∫ 0 解： ∫ 0
1
1
dx （本题 6 分） e +1
x
x x x 1 dx 1 e +1− e 1 1 e dx d d = x = x − = 1− ⎡ ln(ex + 1) ⎤ = 1 − ln(1 + e) + ln 2 ． ∫ ∫ ∫ x x ⎣ ⎦ 0 0 0 x 0 e +1 e +1 e +1
1 x 1 x 1
x
= 1 − cos1 +
1 2 1 1 2 1 x − = x + − cos1 ． 2 2 2 2
0 ≤ x ≤1 ⎧ 1 − cos x , ⎪ . ∴ F ( x) = ⎨1 + x 2 − cos1, 1 < x ≤ 2 ⎪ ⎩ 2
4．设 y = y ( x ) 由 ∫ 0 e dt + ∫ 0
∴ 原积分发散.
100
1 x f (t )dt ， ∫ a x−a
1 ⎡ x ( x − a) f ( x) − ∫ a f (t )dt ⎤ 2 ⎣ ⎦ ( x − a) 1 x −ξ ⋅ ( x − a ) f ( x) − ( x − a ) f (ξ ) ] = f ′(η ) . 2 [ ( x − a) x−a
12．设 f ( x ) 在 [0, l ] 上连续，证明 F ( x) = ∫ 0 tf (t )dt 在 ( −l , l ) 上是偶函数． （本题 5 分）
2
x
2
证明： ∵ F ( x) = ∫ 0 tf (t )dt ，∴ F (− x) = ∫ 0 tf (t 2 )dt
2
x
−x
t =− u
x →0
∫ 0 tf (t )dt
x
3
x
= lim
x →0
f ( x) 1 xf ( x) = lim = f ′(0) ． 2 x→0 3x 3x 3
6．求 ∫ 0
2
x2 4 − x2
dx ． （本题 6 分） x2 4 − x2 4 − x2 − 4 4 − x2 dx 4 − x2
解： x = 2 是瑕点， ∫ 0
y t2 x2
sin t dy dt = 0 确定，求 ． （本题 6 分） dx t
y2
解：在方程两边同时对 x 求导得： e y′ +
sin x 2 x
2
2 x = 0 ，即 e y y ′ + 2 sin x 2 = 0 ，
2
所以
dy 2sin x 2 =− ． dx ey
2
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2
dx = − ∫ 0
2
2
dx = − ∫ 0 4 − x 2 dx + 4∫ 0
2
2
2 ⎡ x 4 − x2 x⎤ ⎡ x⎤ = ⎢− − 2 arcsin ⎥ + ⎢ 4 arcsin ⎥ = π ． 2 2⎥ 2⎦ 0 ⎢ ⎣ ⎦0 ⎣
7．求 ∫ 0
1
ln(1 + x) dx ． （本题 6 分） (2 − x) 2
1 x+ 1 11．求 ∫ (1 − 2 )e x dx （本题 6 分） x
3 1 3
1 1 1 3+ 3+ 1 ⎞ x+ 1 1 ⎞ ⎡ x+ 1 ⎤ 3 x+ ⎛ ⎛ 解： ∫ ⎜ 1 − 2 ⎟ e x dx = ∫ 1 e x d ⎜ x + ⎟ = ⎢e x ⎥ = e 3 − e 3 = 0 ． 3 x⎠ ⎣ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎦1 3 1 3 3 3
0
a
∫ −a f ( x)dx = ∫ a f (−t )d(−t ) = ∫ 0 f (−t )dt = ∫ 0 f (− x)dx ，结论得证.
(2) ∫
π 4 π − 4 π π cos 2 x ⎡ cos 2 x cos 2 (− x) ⎤ ⎡ e x cos 2 x cos 2 x ⎤ 4 4 x x d = + d = ∫ 0 ⎢1 + e− x ∫ 0 ⎢ 1 + ex + 1 + ex ⎥dx 1 + e− x 1 + ex ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1 1
2
1
1 1 2 ⎡1 2 ⎤ −x 2 2 解： ∫ 0 f ′( x) f ′′( x)dx = ∫ 0 f ′( x)df ′( x) = ⎢ f ′ ( x) ⎥ = ⎡ 4 x (e ) ⎤ = 2 ． ⎦0 e ⎣2 ⎦0 2 ⎣
16．求 ∫ −1
1
dx （本题 6 分） x( x + 2)
= ∫0
2 ⎡2 3 ⎤ xdx = ⎢ x 2 ⎥ = ． ⎣3 ⎦0 3
e e
2．求 ∫ 1 x ln xdx （本题 6 分）
1 1 1 1 ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ 1 e ln xdx 2 = ⎢ x 2 ln x ⎥ − ∫ 1 x 2 ⋅ dx = e2 + 2 − ⎢ x 2 ⎥ 解： ∫ x ln xdx = ∫ x 2 2 2e ⎣ 4 ⎦ 1 ⎣2 ⎦1 2 e
e 1 e e 1 e e
e
e
e
1 1 1 1 1 3 = e 2 + 2 − e 2 + 2 = e2 + 2 ． 2 2e 4 4e 4 4e
3．已知 f ( x) = ⎨
⎧sin x, 0 ≤ x ≤ 1 x ，求 F ( x) = ∫ 0 f (t )dt ． （本题 7 分） ⎩ x, 1 < x ≤ 2
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14．求 ∫ 0
1
xe x dx （本题 6 分） (1 + x) 2
解： ∫ 0
1
x x x xe x ex 1 ( x + 1)e − e 1 e 1 d d d x = x = x − ∫ 0 (1 + x)2 ∫ 0 1+ x ∫ 0 (1 + x) 2 dx (1 + x ) 2 1
1
解： ∫ 0
1
ln(1 + x) 1 1 1 1 1 ⎡ 1 ⎤ ln(1 + x) ⎥ − ∫ 0 dx = ∫ 0 ln(1 + x)d dx =⎢ ⋅ 2 (2 − x) 2− x ⎣2− x 2 − x 1+ x ⎦0
⎤ ⎥ 1 ⎥ = ln 2 ． 3 ⎥ ⎥0 ⎦
1
⎡ 1 3 ⎢1 x − 2 − 2 1 1 = ln 2 + ∫ dx = ln 2 + ⎢ ln 2 2 0 1⎞ ⎛3⎞ ⎛ ⎢3 x − 1 + 3 ⎜x − ⎟ −⎜ ⎟ ⎢ 2 2 ⎣ 2⎠ ⎝2⎠ ⎝
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⎧ ∫ x tf (t )dt ⎪ 0 2 , x ≠ 0 ，求 Φ ′(0) ． 5． f ( x ) 具有连续导数， f (0) = 0 ，Φ ( x ) = ⎨ （本题 7 分） x ⎪ 0, x=0 ⎩
解： Φ ′(0) = lim
x →0
Φ ( x) − Φ (0)
x
= lim
x x x
解：当 0 ≤ x ≤ 1 时， F ( x) = ∫ 0 f (t )dt = ∫ 0 sin tdt = [ − cos t ] 0 = 1 − cos x ，
⎡1 2 ⎤ 当 1 < x ≤ 2 时， F ( x) = ∫ 0 f (t )dt + ∫ 1 f (t )dt = ∫ 0 sin tdt + ∫ 0 tdt = [ − cos t ] 0 + ⎢ t ⎥ ⎣2 ⎦1
2 2 = ∫ 0 uf (u )du = ∫ 0 tf (t )dt = F ( x) ，
x
x
故 F ( x ) 是偶函数． 13．求 ∫ 12
4 1
arcsin x dx （本题 6 分） x(1 − x)
x = t ，则 x = sin t , dx = 2 sin t cos tdt ，则
解：令 arcsin
8．⑴ 证明 ∫ − a f ( x)dx = ∫ 0 [ f ( x) + f (− x)]dx
a a a
cos 2 x (2)求 ∫ dx ． （本题 8 分） 1 + e− x
π 4 π − 4
证明：⑴ ∫ − a f ( x)dx = ∫ − a f ( x)dx + ∫ 0 f ( x)dx ，第一个定积分中令 x = −t ，有
1
解： x = 0 为瑕点， ∫ −1
dx dx dx 0 1 = ∫ −1 + ∫0 x( x + 2) x( x + 2) x( x + 2)
0 1
1 0⎛1 1 ⎞ 1 1⎛ 1 1 ⎞ 1⎡ x ⎤ 1⎡ x ⎤ = ∫ −1 ⎜ − + ⎢ ln ⎟ dx + ∫ 0 ⎜ − ⎟ dx = ⎢ ln ⎥ 2 ⎝ x x+2⎠ 2 ⎝ x x+2⎠ 2 ⎣ x + 2 ⎦ −1 2 ⎣ x + 2 ⎥ ⎦0 = 1 x 1 1 x lim ln − ln 3 − lim+ ln =∞ − 2 x →0 x+2 2 2 x →0 x+2