高中数学苏教版选修2-2教学案：第1章 1.4 导数在实际生活中的应用

_1.4
导数在实际生活中的应用
[对应学生用书P22]
[例1] 用长为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[思路点拨] 不妨设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－
3x )m ⎝
⎛⎭⎫0<x <3
2.建立长方体的体积函数模型，再求最值． [精解详析] 设长方体的宽为x m ， 则长为2x m ，
高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m ⎝⎛⎭⎫0<x <3
2. 故长方体的体积为
V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m 3⎝⎛⎭⎫0<x <3
2. 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．
令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)，或x ＝1，因此x ＝1. 当0<x <1时，V ′(x )>0；
当1<x <3
2时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最
大值．
从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3. [一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．
1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.
解析：设该漏斗的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝1
3
πx (202－x 2)
＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝1
3
π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－203
3(舍去)．
当0<x <203
3时，V ′>0；
当
203
3
<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝203
3时，V 取得最大值．
答案：
203
3
2．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解：设容器的高为x cm ，容积为V (x ) cm 3，则 V (x )＝x (90－2x )(48－2x ) ＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)． 故V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320 ＝12(x －10)(x －36)．
令V ′(x )＝0，得x ＝10，或x ＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，即V (x )为增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，即V (x )为减函数．
因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．
因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.
[例2] 于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔
墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)
(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [思路点拨]
分析题意
→
写出函数关系式
→写出定义域→
对函数关系式求导
→讨论单调性
→求最值
[精解详析] (1)污水处理池长为x m ，则宽为200
x m.
据题意⎩⎪⎨⎪
⎧
0<x ≤16，0<200x ≤16，
解得25
2
≤x ≤16，
y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋2·200x ×400＋400
x ×248＋16 000 ＝800x ＋
259 200x
＋16 000⎝⎛⎭⎫252≤x ≤16， (2)由(1)知y ′＝800－259 200x 2＝0，
解得x ＝18，
当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵25
2
≤x ≤16，
∴当x ＝16时，y min ＝45 000.
∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时， 总造价y 最低为45 000元．
[一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．
(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或
侧面等．
3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料． 解析：设水箱底面边长为x 分米，则高为256x 2分米，用料总面积S ＝x 2＋4·256
x 2·x ＝x 2＋
256×4
x ，
S ′＝2x －256×4
x 2
，令S ′＝0得x ＝8，
当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， 所以当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4分米． 答案：4
4．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．
(1)试写出y 关于x 的函数关系式；
(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m
x －1.
所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m
x ＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，
f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 3
2－512)．
令f ′(x )＝0，得x 3
2
＝512，所以x ＝64.
当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．
此时n ＝m x －1＝640
64－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y 最小．
[例3] P (元/吨)之间的关系式为P ＝24 200－1
5x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂
每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)
[思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解．
[精解详析] 每月生产x 吨时的利润为 f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－1
5x 2x －(50 000＋200x ) ＝－1
5x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．
由f ′(x )＝－3
5x 2＋24 000＝0，
解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．
因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且0＜x ＜200时，f ′(x )＞0；x ＞200时，f ′(x )＜0；故x ＝200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－1
5×2003＋24 000×200
－50 000＝3 150 000(元)．
所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．
[一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
解析：利润为S (x )＝(x －30)(200－x ) ＝－x 2＋230x －6 000(30≤x ≤200)，
S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115， 当30≤x <115时，S ′(x )>0；。