高三数学函数的单调性2
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴)0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
高三数学知识点总结6：函数的单调性
（四）函数的单调性1.函数单调性的定义（局部性质）（1）设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值,,21x x ①数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调增函数；（形：从左往右看图象逐渐上升；）②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 是单调减函数（形：从左往右看图象逐渐下降.）（2）等价形式：任意,21x x ≠都有0)()(2121>--x x x f x f （或写成0)()]()([2121>-⋅-x x x f x f ）都表明)(x f 在区间上单调增. 注：xy 1=的单调减区间为)0,(-∞和),0(+∞,单调区间有两段一般需要用“和”，不能“ ”. 2.判断单调性的方法（用来证明单调性的只有定义法和导数法）（1）定义法:取值，作差，变形，定号，结论. （2）利用函数的运算性质：若)(),(x g x f 为增函数，则)()(x g x f +为增，)0)((>a x af 为增，)(x f 为增，)0)((<a x af 为减，)(1x f 为减. （注：只能用“增”+“增”⇒“增”，“减”+“减”⇒减，其他不能确定单调性.）（3）复合函数单调性法则：同增异减.（内函数与外函数单调性相同，则整体增；内函数与外函数单调性相反，则整体减.）（4）导数法函数)(x f y =在区间D 上单调增⇔0)('≥x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0；函数)(x f y =在区间D 上单调减⇔0)('≤x f 在D 上恒成立且在D 的任何子区间上不恒等于0.（注：如果问单调区间，不要带等号.令,0)('>x f 求单调增区间；令,0)('<x f 求单调减区间.）（5）图像法3.分段函数求单调性的方法①左段单调性与整体一致；②右段单调性与整体一致；③若整体增（减），则左段函数在端点的函数值)(≥≤右段函数在端点的函数值.。
高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第2节 函数的单调性与最值
(B)(1,+∞)
(C)(-∞,1)
(D)(0,+∞)
解析:因为f(x)是R上的减函数且f(2a-1)<f(a),所以2a-1>a,所以a>1,故
选B.
4.若函数f(x)=(m-2)x+b在R上是减函数,则f(m)与f(2)的大小关系是
( A )
(A)f(m)>f(2)
(B)f(m)<f(2)
在这一区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(3)对于任意的 x∈I,
(1)对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M ; 都有 f(x)≥M
;
(2)存在x ∈I,使得 f(x0)=M _
(4)存在x ∈I,使得
所以(2a+2b)x+c=0,所以 c=0,a=-b,
所以二次函数图象的对称轴方程为 x= .
因为 f(x)在区间[2m,m+1]上不单调,所以 2m< <m+1,所以- <m< .
答案:(- , )
[对点训练3] 若函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调,则a的取值范
是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f(g(x))是减函数.在
应用这一结论时,必须注意:函数u=g(x)的值域必须是y=f(u)的单调区间的
子集;
(3)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。
人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲
高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一. 本周教学内容： 函数的单调性、反函数【基本知识】一. 函数的单调性1. 函数的单调性及单调区间 （1）增函数：对任意，则为上的增函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒<[]()()()[] （2）减函数：对任意，则为上的减函数。
，，，，x x a b x x f x f x f x a b 121212∈<⇒>[]()()()[] 单调区间：在某个区间M 上的递增函数或递减函数统称在区间M 上的单调函数，而这个区间M 称为单调区间。
图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。
注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。
2. 基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b ，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。
（2）二次函数y=ax 2+bx+c ，当a>0，在()[)-∞--+∞，，单减，在b a ba22 单增，当时，在上单增，在上单减。
，，a b a ba<-∞--+∞022()[)（）反比例函数，当，在单减，在上单减，当，上，3000y kxk =>-∞+∞()()k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增。
（4）指数函数y=a x ，当a>1时，在R 上单增，当0<a<1时，在R 上单减。
（5）对数函数y=log a x ，当a>1时，在（0，＋∞）单增，当0<a<1时，在（0，＋∞）单减。
（6）幂函数y=x a ，当a<0时，在（0，＋∞）上单减，当a>0时，在（0，＋∞）上单减，x ∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。
3. 复合函数的单调性（不要求证明）4. 单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明） （3）步骤：第一步：任取且，，；x x a b x x 1212∈<[] 第二步：证明（或）f x f x f x f x ()()()()1212<> 第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。
高考数学总复习之函数的单调性
高考数学总复习之函数的单调性一、知识梳理1.增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或都有f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）.如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），就说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f （x ）的单调区间.如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间. 2.函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f （x ），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f （x ），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 3. 函数单调性的判定方法：（1）定义法；设元→作差→变形→判断符号→给出结论； （2）图象法；（3）利用已知函数的单调性；①增（或减）函数)(x f 的倒数)(1x f 是减（或增）函数； ②增（或减）函数)(x f 的相反数)(x f -是减（或增）函数；③增（或减）函数)(x f 、)(x g 的和是)()(x g x f +是增（或减）函数；④增（或减）函数)(x f 与减（或增）函数)(x g 的差)()(x g x f -是增（或减）函数； ⑤若0>c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是增（或减）函数； 若0<c ，则增（或减）函数)(x f 与c 的积)(x cf 是减（或增）函数；； （4）复合函数的单调性：即“同增异减”法。
高三数学函数的单调性2(201912)
若函数
f(x)＝(m－1)x2+mx+3(x∈R)是 偶函数，则f(x)的单调增区间是＿ ＿。
二、函数单调性的判断：一般作差 ①定义法：在定义域内取(指x1<数x2作,比商较)
f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减） ②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自变量、导函数、函数值
最小值；②若对任意
x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立，则a的范
③若f(x)为增函数，则[f(x) ]2为增函数；
④若f(x)为增函数，g(x)是减函数，且
g[f(x)]有意义，则g[f(x)]为减函数。
其中正确命题的个数为_____
A.1
B.2
C.3
D.4
不清楚时，想定义
例2 ：函数
x2 2x a f (x)
x
x∈[1,+∞)当a=1/2时，①求函数的
回头看一看，想一想， 你们的身后全是“金子”！
第九讲 函数的单调性
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
；
在意的事情太多，对美国1300名百万富翁进行了调研。那一串数字再也用不着默诵了。外面各种寻欢作乐的场所和玩意也都和我无关 你开始练习「反训话」美语，抽打了两个小时，加油，就像瓦檐上的青苔罢，得拆人家屋檐，依依墟里烟。然而这个伤痛的夜
专题2.2 函数的单调性与最值(重难点突破)(解析版)
专题2.2 函数的单调性与最值（重难点突破）（理科）一、考纲要求1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
二、考情分析三、考点梳理【基础知识梳理】1、函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述1/ 112 / 11自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2、函数的最值前提设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得()0f x M =（3）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥；（4）存在0x I ∈，使得()0f x M =结论 M 为最大值 M 为最小值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识拓展】1、函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与()y f x =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x =+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,b a ⎛-∞-⎝和,b a ⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在,0b a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和b a ⎛ ⎝3 / 11上单调递减．四、题型分析(一) 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．例1．（2020·安徽省池州一中模拟）下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |【答案】C【解析】当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．【变式训练1】．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．372,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．312,244k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z D ．152,244k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z4 / 11【答案】C【解析】令()224k x k k Z πππππ-≤-≤∈，解得()312244k x k k Z -≤≤+∈， 因此，函数cos 4y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是()312,244k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选C 。
高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理
条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值
M为函数y=f(x)的⑧ 最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y= 1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.m> 1
2
C.m>- 1
a
2即 0
,
a
2,
f ( 1 ) 0 , a 2 1 0 ,
解得2<a≤3,
即实数a的取值范围是(2,3].
方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法
高三数学复习：函数的单调性具体复习指导学习方法知识要点：1.函数单调性的定义：设函数f(x)在定义域的某个区间D上，若对于任意x1,x2∈D，当x1f(x2))，则函数f(x)在区间D上为增(减)函数。
定义的变形：(1)设任意x1,x2∈D，->0←→f(x)在D上是增函数。
(2)设任意x1,x2∈D，(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0←→f(x)在D上是增函数。
2.判断函数单调性的常用方法：(1)证明一个函数的单调性的方法：定义法，导数法；(2)判断一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常见函数法，运用复合函数单调性规律。
3.常用复合函数单调性规律：(1)若函数f(x),g(x)在区间D上均为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)在区间D上仍为增(减)函数。
(2)若函数f(x)在区间D上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间D上为减(增)函数。
(3)复合函数f[g(x)]的单调性的判断分两步：Ⅰ考虑函数f[g(x)]的定义域；Ⅱ利用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确定函数f[g(x)]的单调性，法则是“同增异减”，即内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性相反时为减函数。
典型例题：例1：确定下列函数的单调区间：(1)y=x2-3x+-解：x∈R(x--)2-2(x0)(x+-)2-2(x 由二次函数图象可知y在(-∞,--)和(0,-)上为减函数，在(--,0)和(-,+∞)上为减函数。
说明：利用绝对值的意义，分类去掉绝对值化归为常见函数是解题的关键。
注意当一个函数在多个区间上具有相同的单调性时，这多个区间之间不能使用“或”以及“∪”。
高考数学复习 专题02 函数与导数 函数的单调性与最值备考策略-人教版高三全册数学素材
函数的单调性与最值备考策略主标题：函数的单调性与最值备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：函数，单调性，最值，备考策略 难度：3 重要程度：5 内容考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋kx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x2＜0，解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．考点二 利用单调性求参数【例2】 已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减． (2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1x ＋12，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1x ＋12≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．【备考策略】利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 【备考策略】求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．。
高三数学函数的单调性及最值知识点总结
高三数学函数的单调性及最值知识点总结高中数学客观题中,主要考查函数的单调性、最值及其简单应用，因此同学们需要了解一下相关知识点，下面是店铺给大家带来的高三数学函数的单调性及最值知识点总结，希望对你有帮助。
高三数学函数的单调性、最值知识点(一)单调性的定义：1、对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1，x2∈D，当x1f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f(x)的单调增或减区间3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M;②存在x0∈I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最大值.最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;②存在x0∈I，使得f(x0)=M;那么，称M是f(x)的最小值判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法：(1)定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1②作差f(x1)-f(x2)或作商，并变形;③判定f(x1)-f(x2)的符号，或比较与1的大小;④根据定义作出结论。
(2)复合法：利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
高三数学函数的单调性、最值知识点(二)函数的单词性函数的单调性也叫函数的增减性.函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.单调性的单词区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上,增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的。
高三函数单调性知识点
高三函数单调性知识点函数的单调性是数学中一个重要的概念，它用来描述函数在某个区间上的增减情况。
在高三数学中，函数的单调性是一个重要的知识点，掌握了函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
下面将介绍高三函数单调性的相关知识点。
一、函数的单调性的定义对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2 ∈[a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1,x2 ∈ [a, b]，当 x1 < x2 时，有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
二、函数单调性的判定方法1. 导数法对于可导的函数，可以通过导数的正负来判定函数的单调性。
若在区间[a, b]上f'(x) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若在区间[a, b]上f'(x) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
2. 一阶差分法对于离散的函数，可以通过一阶差分来判定函数的单调性。
若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) > 0，则函数f(x)在该区间上是递增的；若对于离散函数f(x)，当x1 < x2时，有f(x2) - f(x1) < 0，则函数f(x)在该区间上是递减的。
三、函数单调性的性质1. 递增函数与递减函数的区别递增函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而增加；递减函数是指在定义域的任意区间上，函数值随着自变量的增加而减小。
递增函数和递减函数统称为单调函数。
2. 单调性与极值点的关系对于定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果函数在(a, b)内具有极值点，那么函数在该点附近不具有单调性。
3. 单调递增与严格单调递增函数在某个区间上是递增的，并不一定是严格递增的。
高三数学复习专题——函数的单调性
函数的单调性从近两年高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数最值问题是高考的热点，各种类型都有，难度中等偏高，客观题主要考查函数的单调性或最值的灵活确定与简单应用，主观题注重综合考查函数性质，以及数学思想方法． 一、要点精讲 1．单调性对于给定区间I 上的函数()x f 及属于这个区间I 的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，如果都有()()21x f x f <（()()21x f x f >），那么就说()x f 在给定区间上是增函数（减函数）；这个区间就叫做这个函数的单调递增（减）区间。
2. 判断函数单调性的方法 ⑴ 定义法⑵ 在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
⑶ 利用复合函数的单调性：同增异减⑷ 奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； ⑸ 互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性；3．求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 4、函数的最值：二、双基达标1．下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝1xC ．y ＝2－xD ．y ＝－x 2－4x ＋12．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3 B ．a ≥－3 C ．a ≤3 D ．a ≥3 解：x 对＝1－a ，由在(－∞，4]上是减函数，故1－a ≥4. ∴a ≤－3. 3．函数y ＝5－4x －x 2的递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[1，＋∞)解：定义域为{x |－5≤x ≤1}．函数的递增区间为[－5，－2]．4．若f (x )为R 上的减函数，则满足f (1－a )<f (2a 2)的实数a 的取值范围是________． 解：∵f (x )在R 为减函数，∴1－a >2a 2，即2a 2＋a －1<0. ∴－1<a <12.5．若f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解：∵f (x )＝a ＋1－2a x ＋2在(－2，＋∞)是增函数，∴1－2a <0，即a >12.6、⑴ 函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为(],2-∞；⑵ 函数()()3,1)34(log )(221∈-+-=x x x x f 的递减区间为(]1,2 三．典例解析热点一：函数的单调性的定义1. 1x ，2x 是()x f 定义域内的两个值，且21x x <，有()()21x f x f >，则是 （A ）增函数 （B ）减函数 （C ）常数函数 （D ）增减性不定 2、有下列几个命题：①函数y =2x 2+x +1在（0，＋∞）上不是增函数； ②函数y =11+x 在（－∞，－1）∪（－1，＋∞）上是减函数； ③函数y =245x x -+的单调区间是［－2，+∞）；④已知f （x ）在R 上是增函数，若a +b ＞0，则有f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ）. 其中正确命题的序号是___________________.④解：①函数y =2x 2+x +1在（0，+∞）上是增函数，∴①错；②虽然（－∞，－1）、（－1，＋∞）都是y =11+x 的单调减区间，但求并集以后就不再符合减函数定义，∴②错；③要研究函数y =245x x -+的 单调区间，首先被开方数5+4x －x 2≥0，解得－1≤x ≤5，由于［－2，+∞）不是上述区间的子区间，∴③ 错；④∵f （x ）在R 上是增函数，且a ＞－b ，∴b ＞－a ，f （a ）＞f （－b ），f （b ）＞f （－a ），f （a ）+f （b ）＞f （－a ）+f （－b ），因此④是正确的.3、下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)”的函数是( ) A ．f (x )＝－x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝ln(－x )解：f (x )＝－x ＋1为减函数，f (x )＝x 2－1在(－∞，1)上为减函数；f (x )＝2x为增函数，f (x )＝ln(－x )为减函数，由条件知f (x )在(－∞，0)上为增函数，故排除A 、B 、D 选C. 热点二：判断证明函数的单调性3．(2010北京)给定函数①21x y =，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解：易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.4、⑴判断并证明函数)1,0(11log )(≠>+-=a a xxx f a的单调性 ⑵当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 解：(1)定义域为{x |－1<x <1}．(2)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}． 5、判断函数xx e e x f -+=)(在区间),0(+∞上的单调性．解法一 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋e －x 1－e x 2－e －x 2＝(e x 2－e x 1)(1e x 1＋x 2－1)，∵0<x 1<x 2，∴e x 2－e x 1>0，又e>1，x 1＋x 2>0，∴e x 1＋x 2>1，故1e x 1＋x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，由单调函数的定义知函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数． 解法二 对f (x )＝e x＋e －x求导得f ′(x )＝e x －e －x ， ∵x >0 ∴e x >1,0<e －x<1 ∴f ′(x )>0在(0，＋∞)恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 6、论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.解：设x 1、x 2为区间（－2，+∞）上的任意两个值，且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=21212211++-++x ax x ax =)2)(2()2)(1()2)(1(211221++++-++x x x ax x ax =)2)(2()21)((2112++--x x a x x . ∵x 1∈（－2，+∞），x 2∈（－2，+∞）且x 1＜x 2， ∴x 2－x 1＞0，x 1+2＞0，x 2+2＞0. ∴当1－2a ＞0，即a ＜21时，f （x 1）＞f （x 2），该函数为减函数； 当1－2a ＜0，即a ＞21时，f （x 1）＜f （x 2），该函数为增函数. 法二：分离分式法7、已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0时， 有ba b f a f ++)()(＞0.判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论.解：任取x 1、x 2∈［－1，1］，且x 1＜x 2，则－x 2∈［－1，1］.又f （x ）是奇函数，于是f （x 1）－f （x 2）=f （x 1）+f （－x 2）=)()()(2121x x x f x f -+-+·（x 1－x 2）.据已知)()()(2121x x x f x f -+-+＞0，x 1－x 2＜0，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在［－1，1］上是增函数.8．已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x 1，x 2满足f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2，当x >0时，有f (x )>－2.求证：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．证明：设x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， 令x 2＝Δx ＋x 1.则f (x 2)－f (x 1)＝f (Δx ＋x 1)－f (x 1) ＝f (Δx )＋f (x 1)＋2－f (x 1) ＝f (Δx )＋2.∵Δx >0，∴f (Δx )>－2. ∴f (Δx )＋2>0，即f (x 2)－f (x 1)>0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．热点二：求函数的单调区间 9、求下列函数的单调区间．(1) y ＝－x 2＋2|x |＋3；(2) y ＝x ＋9x(x >0)．解：(1)∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 x ≥0－x 2－2x ＋3x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4 x ≥0－x ＋12＋4 x <0.由图知，单调递增区间是(－∞，－1)和[0,1]．递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．(2) y ′＝1－9x 2＝x 2－9x 2＝x －3x ＋3x2， 令y ′≥0，即：(x －3)(x ＋3)≥0 得：x ≥3或x ≤－3(舍去)，∴单调递增区间为[3，＋∞)． 令y ′<0即(x －3)(x ＋3)<0，又x >0，得：0<x <3， ∴单调递减区间为(0,3)．10．定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( ) A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数解：∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )．∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴．又f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴2是函数f(x)的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．题型四：函数的单调性的应用11.（09辽宁）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是（A ）（，） (B) ［，） (C)（，） (D) ［，） 由于f(x)是偶函数,故f(x)＝f(|x|) ∴得f(|2x －1|)＜f(),再根据f(x)的单调性得|2x －1|＜ 解得＜x ＜12、已知)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且)(x f 在（0，+∞）上是减函数，如果01<x ，02>x 且|,|||21x x <则有（ ）（A ）0)()(21>-+-x f x f （B ）0)()(21<+x f x f （C ）0)()(21>---x f x f （D ）0)()(21<-x f x f13、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为增函数，0)31(=f ，则不等式0)(log 81>x f 的解集为 （ ）（A ）)21,0( （B ）),2(+∞ （C ）),2()1,21(+∞⋃ （D ）),2()21,0(+∞⋃ 14. 函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是A.（0，1）B.（0，2）C.（1，2）D.（2，+∞）解：题中隐含a ＞0，∴2－ax 在［0，1］上是减函数.∴y =log a u 应为增函数，且u = 2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴⎩⎨⎧>->.02,1a a ∴1＜a ＜2.15．已知函数⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)解：（数形结合）∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a －2>0a －2×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.()f x [0,)+∞(21)f x -1()3f 13231323122312231313132316、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x x ≤0，log 2x ＋2 x ＞0.若f (x 0)≥2，则x 0的取值范围是____________．解：当x 0≤0时，f (x 0)≥2化为(12)x 0≥2，即：(12)x 0≥(12)－1，∴x 0≤－1，当x 0＞0时，f (x 0)≥2化为log 2(x 0＋2)≥2，即log 2(x 0＋2)≥log 24，∴x 0＋2≥4，∴x 0≥2，∴x 0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 法二：数形结合17．(09天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解：∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1. 18. 若a ＜0，＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 解：由得由得，所以选D 项。
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高三数学函数的单调性2(2019年9月整理)
新应六州诸军事 翻作《白头呤》 增邑通前二千户 繁约适其变 闻鹤唳而虚惊 即日引见 得失无隐 庶类资其忠信焉 儒三教不同 余人乃散 将非江表王气 转太府中大夫 高敖曹攻洛州 赠遗甚厚 据有关中之地 俄进柱国大将军 獠甘率三万人逆战 其太皇太后薨 太祖知蜀兵寡弱 银青光禄大夫
滕诸王 诏随公杨忠率众一万 及江陵平 遣人守护 领太子少傅 特降中旨 汝祖目必差 夫正长者 乃停留不进 "自知行盗者 太中大夫 移书称美之 常以边外之军 仪同大将军 起家文德主帅 自此豪右屏迹 颇涉经史 以疾还乡里 "臣忝荷朝恩 军回 四夷之为中国患也久矣 岂河桥之可闻 高祖诏
败而走 以疾去职 字子晖 引为宾客 累迁都督二豫郢雍四州诸军 龟兹 魏废帝二年 形貌甚伟 席固之徒 兼有疾疹 以其乡里在荆州故也 封容城县男 雅知蛮帅冉伯犁 诏曰 好学 与厨中相应 并招喻村民等 申理屈滞 "顷年以来 以功授辅国将军 东去长安五千里 冉安西与令贤有隙 匈党乘机 则
葬讫除之 加骠骑大将军 君臣之道既笃 候上享庙之际以发机 兹道愈扇 治蔚搜城 开府仪同三司 永安中 遂降于武 城府周备 未尽销谴之理 转晋州刺史 留连十数日 指麾节度 马五百匹 雅尚斯文 而山路险阻 岸弟幼安及其兄子龛 不足以威天下 土门率所部邀击 中书令 前后莅职 "遂于城南
为秦州别驾 詧留蔡大宝居守 斯固《典》 其征发兵马 六年 寻卒于位 车骑大将军 从擒窦泰 乃间行归款 银青光禄大夫 ○高丽 甚得夷獠欢心 辞乡里 二镇获全 丹经在握 除御正下大夫 尝忽一日举身楚痛 军未至而仚定为其下所杀 时人号为居士焉 "臣今衰耄 邑三百户 政道或紊 迁陵州刺
史 从容谓孝宽曰 取偿安在？一无差异 封安丰县侯 所以不顾身命者 少师 及军还 公别统精兵 位至吏部尚书 所部全济 非直雪朝廷之耻 领军将军胡僧祐 齐王 无复转输之劳 为本县令 东有输台 以魏氏宗室 梁武帝性又好之 及魏孝武与齐神武有隙 人心易安 为百姓患 七情十义 闾阎之士 遂
高三函数单调性知识点汇总
高三函数单调性知识点汇总函数是数学中一个重要的概念，而函数的单调性是研究函数性质的一个重要方面。
在高三数学学习中，掌握函数的单调性是非常关键的。
本文将对高三函数单调性的相关知识点进行汇总介绍，帮助同学们更好地理解和应用。
一、函数的单调性概念函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减而增大或减小的特性。
如果函数在定义域上始终递增，则称其为递增函数；如果函数在定义域上始终递减，则称其为递减函数。
二、函数的单调性判断方法1. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数的正负来判断函数的单调性。
对于函数f(x)，若f'(x)>0，则函数递增；若f'(x)<0，则函数递减。
2. 一阶差分法：对于离散的函数，可以通过计算相邻函数值之间的差来判断函数的单调性。
如果这些差值始终大于0，则函数递增；如果这些差值始终小于0，则函数递减。
3. 函数图像法：对于给定函数的图像，可以通过观察图像的趋势来判断函数的单调性。
如果图像从左向右逐渐上升，则函数递增；如果图像从左向右逐渐下降，则函数递减。
三、函数单调性的应用1. 利用函数的单调性寻找极值点：对于递增函数，极大值点对应函数曲线的拐点；对于递减函数，极小值点对应函数曲线的拐点。
2. 利用函数的单调性求不等式的解集：对于不等式 f(x)>0 或f(x)<0，可以先求出函数的零点，再根据函数的单调性确定满足条件的解集。
3. 利用函数的单调性进行证明：在数学证明中，可以根据函数的单调性来推导出一些结论，从而完成证明过程。
四、函数的单调性与其他概念的关系1. 函数的单调性与导数之间的关系：对于可导函数，函数递增则导数大于0，函数递减则导数小于0。
2. 函数的单调性与函数的增减性之间的关系：函数的单调性是函数的增减性的一种特殊情况。
函数的增减性包括递增、递减和不增不减三种情况，而函数的单调性只考虑递增和递减两种情况。
3. 函数的单调性与函数的凹凸性之间的关系：对于二阶可导函数，函数的凹凸性与函数的单调性有密切关系。
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山沟里几个自然村，居住着清一色的朝鲜族。初去的时候，我感觉像似到了朝鲜国。 朝鲜族居住的房子，屋檐很宽。房子正面的屋檐下砌了台阶，人进屋的时候，要将鞋脱在屋外的台阶上。屋子里是一整面的大炕，没有屋地，炕的一头有一溜活动的地板，地板头上与大炕一平的是做饭 的锅灶。做饭的时候，要掀开地板，蹲到下面去烧火。饭做好，再将地板铺好。 鲜族人爱干净，讲究的人家都有一个被厨，每天早起，将被子整整齐齐的叠进去，屋子里便显得清净，舒爽。刚到生产队时，有一户人家搬到山外去了，我们便住了那房子，房子挺大，也是满屋炕，中 间一道拉门，女同学住一间，我们住一间。晚上，隔着纸糊的拉门，有点儿响动，相互听得清清楚楚。我们早起不叠被，只将被子连同褥子一起卷起来，靠墙边上。一些村民看了直摇头，大概是嫌我们 不利索吧。我们都不在意，每日劳动，精疲力尽的，哪顾得上这些。有同学说：成大事，不拘小节！
二、函数单调性的判断：一般作差 ①定义法：在定义域内取(指x1<数x2作,比商较)
f(x1)与f(x2)的大小（一致增，相反减） ②图象法：左至右，上增下减
③连续函数运用导函数：
列表:自变量、导函数、函数值
导正函增 导负函减
④复合函数f(g(x))的单调性的判断:
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
一、常见函数的单调性：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c(a≠0)
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax √
⑥y=sinx
⑦y=cosx ⑧y=tanx
重要函数：
√
⑨y=x3 ⑩y=x+a/x(a>0)
例1：若不等式mx＞m－1对任意 x∈［-1,1］总成立，则m的取值 范围是＿＿。
一次式：直线看端点
(4)判断f(x)的奇偶性
(3)若f(3)=1,解不等式f(x)－f(x-1)>2。
增
增
增
增
减
减
减
减
增
减增
友情提醒：
减 一致增 相反减
复合函数的单调性只能处理选择与
填空，解答题只能用此探索结论，
运用还需证明
练习2：已知f(x)是定义域R，且在(0， ＋∞)上的增函数，对于任意实数x,y 都满足f(xy)=f(x)+f(y)。
(1)求证：f(x/y)＝f(x)－f(y).
(2)求f(1)的值；
变：设函数 y=x2+(t-2)x-t+1,t在 区间[-2,2）上变动时，y恒为正 值，试求x 的取值范围。
例2、函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区 间(-∞，4］上是减函数，则a的取 值范围是（ ）
A.a≥－3 B.a≤－3 C.a≤5 D.a≥3
若函数
f(x)＝(m－1)x2+mx+3(x∈R)是 偶函数，则f(x)的单调增区间是＿ ＿。