代数基本定理的几种证明
线性代数基本定理
线性代数基本定理线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、矩阵和线性方程组等概念和性质。
线性代数基本定理是线性代数中的核心定理，它揭示了矩阵的奇异值分解（SVD）和特征值分解（EVD）的重要性质。
本文将介绍线性代数基本定理及其应用。
一、奇异值分解奇异值分解是矩阵分析中最基本的分解之一，它将任意矩阵分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T。
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
线性代数基本定理指出，对于任意的矩阵A，它的奇异值分解一定存在，并且是唯一的。
这意味着任何矩阵都可以通过奇异值分解进行表示，奇异值的大小和特征决定了矩阵的性质和重要特征。
奇异值分解在数据降维、图像处理、推荐系统等领域具有广泛的应用。
通过保留矩阵的主要奇异值，可以将高维数据映射到低维空间，从而减少数据的维度和冗余信息，提高计算效率和数据处理速度。
二、特征值分解特征值分解是线性代数中另一个重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积：A=QΛQ^(-1)。
其中，Q是正交矩阵，Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为特征值。
线性代数基本定理指出，对于任意的方阵A，它的特征值分解一定存在，并且是唯一的。
特征值分解可以帮助我们理解线性变换对向量空间的作用，特征值和特征向量决定了矩阵变换的主要性质。
特征值分解在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
通过求解特征值和特征向量，可以得到矩阵的主要特征和重要特性，如稳定性、动力学行为等。
特征值分解还可以用于对称矩阵的对角化和正定矩阵的判定。
三、线性代数基本定理的应用1. 数据降维奇异值分解可以将高维数据映射到低维空间，从而实现数据降维。
通过保留最重要的奇异值和对应的奇异向量，可以大大减少数据的维度，并且保留数据的主要分布和性质。
数据降维在机器学习、数据挖掘等领域具有重要意义，可以提高算法的效率和准确性。
2. 图像压缩奇异值分解可以对图像进行压缩和恢复。
代数学基本定理的系统证明与推广应用
其中函数 当 →∞时，一致趋于零。又因为 1 =2 。
所以|
|
(| |= →∞)。 故lim 1 [ 1
max|
│ │=
+
|| 1 |=2 max| │ │= ]=
|→0 （2）
并且| 0 | =max| | 记 = 0+ ，选取 0足够小使当 0
（*） 0，0 2 时,有
0<记
点。所以原方程在复平面上有且只有 个根。
三、代数学基本定理的推广与应用
（一）代数学基本定理的推广
定义 1：设 0, 1,… 是复数域上的 +1个 阶矩阵，称
=
+ 1 1+…+ 1 1+ 0
为复数域上的一个 次 阶矩阵多项式，如果 阶矩阵 0
满足 =0（该 0 表示 阶零矩阵），则称 0 是方程的 的
常系数齐线性方程的求解、特征值、微分方程的稳定性等方面的基础应用。
关键词：代数学基本定理；证明；应用
中图分类号：O15
文献标识码：A
文章编号：1009-0118（2010）-05-0140-04
一、预备知识
存在正数 ,当| | 时，有| |> 由引理 1 的结论知， =
（一）代数学基本定理
+…+ 1 1+ 0 0 在| |< 内至少有一个零点。
特征值与特征向量在线性代数中具有举足轻重的地位，
相当于一个线性变换 = 得到特征方程| | =0 用如
由特征值求出特征向量在把线性变换矩阵 A 化为最简形式。 上的方法求出该矩阵 特征值 ，由特征值确定微分方程的
所有特征向量加上零向量形成特征子空间 0. N 个特征向量 奇点类型以及它的稳定性，从而可以清楚绘画出微分方程零
代数基本定理
n(n−1) 2
=
2n−1q(2kq − 1)
=
zk−1q′ ,
其中
q′
=
q(2kq − 1)
为奇数。
在环 P [x] 中组成用这些元素 βij 为根且只用它们做根的多项式 g(x)：
∏ g(x) = (x − βij).
i<j
g(x) 的系数为 βij 的初级对称多项式，由（1）式知，它们是 α1, α2, ..., αn 的实系数对称多项式。 由对称多项式基本定理，多项式 g(x) 的系数是所给 f (x) 的系数的多项式（f (x) 系数为实数），故仍
2) 假设小于等于 k-1 时，命题成立。 设 P 为实数域上多项式 f (x) 的分裂域，且设 α1, α2, ..., αn 为域 P 中 f (x) 的根。选取 ∀c ∈ R, 且取 出域 P 中形如下列的元素：
βij = αiαj + c(αi + αj), i < j
(1)
元素
βij
的个数为
θ∈[0,2π]
在 Ω 内为常数。即 |f (z)| 在 Ω 内无局部最大模，除非 f (z) 恒为常数。
Theorem 3.2. （代数基本定理）n 为正整数，P (z) = zn + an−1zn−1 + ... + a1z + a0, 其中 ai ∈ C, i = 0, 1, ..., n − 1. 则 P (z) 至少有一个根。
+
ζ) |
≤
|1
+
C eiθ ζ l |
+
D|ζ |l+1
=
|1
−
C λl |
+
高斯代数基本定理
高斯代数基本定理高斯代数基本定理（Gauss's Fundamental Theorem of Algebra）是现代代数学中的一个重要定理，它揭示了复数域上代数方程的根的存在性。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1799年首次提出，并在1828年发表。
在代数学中，一个代数方程是形如f(x) = 0的方程，其中f(x)是一个多项式函数，而x是未知数。
高斯代数基本定理指出，对于任何次数大于等于1的复系数多项式方程，总存在至少一个复数根。
具体来说，高斯代数基本定理可以表述为：任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程f(x) = 0，在复数域上总有解。
换句话说，复数域上的代数方程总能够被复数根解决。
为了更好地理解高斯代数基本定理，我们可以通过一个简单的例子来说明。
考虑方程x^2 + 1 = 0，其中x是未知数。
根据高斯代数基本定理，我们知道这个方程在复数域上必定有解。
实际上，这个方程的解是x = ±i，其中i是虚数单位。
高斯代数基本定理的证明并不简单，它需要使用复数域的性质和代数学的基本概念。
高斯通过将复数域扩展为复平面，并利用复数的极坐标形式来证明了这个定理。
他的证明是基于代数学中的重要定理之一，即代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra），它指出任何一个次数大于等于1的复系数多项式方程在复数域上至少有一个复数根。
高斯代数基本定理的重要性不仅在于它解决了复数域上的代数方程，还在于它为代数学的发展奠定了基础。
通过这个定理，我们能够更深入地研究多项式方程的性质和解的特征。
它在代数学、数论、几何学等领域都有广泛的应用。
除了在理论研究中的应用，高斯代数基本定理还在实际问题中发挥着重要作用。
例如，在工程和科学领域中，我们经常需要解决各种复杂的方程和模型。
高斯代数基本定理提供了一种有效的方法来确定方程的解的存在性，并为我们提供了解决问题的思路和方法。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
(1)
(2) A+AB=A
(3)
(4)
1．代入定理：在含有变量A的等式中，将A用一个逻辑表达式代替，等式仍然成立。
2．对偶定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换（所有的“+”运算符都换成“·”，“·”换成“+”，0换成1，1换成0）且保持原来的运算优先顺序，那么就得到一定对偶式 。如果两个逻辑表达式相等，那么它们各自的对偶式也就必然相等。例：
若A·(B+C)=A·B+A·C
则A+BC=(A+B)(A+C
求对偶式时，要保证优先次序不变，否则就会出错。如A+AB=A，求对偶式时如不加括号，得到AA+B=A，从而得到错误的结论：A+B=A
3.反演定理：将某逻辑表达式Y中的与和或对换，0和1对换，原变量和反变量对换，这样得到的表达式就是 。
注意：对偶规则和反演规则的区别：对偶规则不需要将逻辑变量取反，而反演规则重要将逻辑变量取反。
逻辑代数中的基本公式、常用公式与基本定理
基本公式
常用公式
基本定理
（1）基本运算
A·0=0
A·1=A A·A=A
A+0=A A+A=A
A+1=1
（2）交换律
A·B=B·A
A+B=B+A
（3）结合律
A(B·C)=(A·B)·C
A+(B+C)=(A+B)+C
（4）分配律
A·(B+C)=A·B+A·C
(A+B)·(A+C)+A+BC
狄摩根定律在我们日常生活中也有应用，如以下两句话的含意一致的：
逻辑代数的基本定理和规则
2、基本公式的证明 (真值表证明法)
例 证明 A A B＝A B
列出等式、右边的函数值的真值表
AB A
00 1 01 1 10 0 11 0
A· B A+AB A+B
0 0+0=0 0 1 0+1=1 1 0 1+0=1 1 0 1+0=1 1
例：试化简下列逻辑函数L=(A + B)(A + B)
解：按照反演规则，得
L (A B) (C D) 1 ( A B)(C D)
3. 对偶规则：
对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+） 换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就 是L的对偶式，记作 。 L
例: 逻辑函数 L (A B)(A C)的对偶式为
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
1、基本公式 0、1律：A + 0 = A A + 1 = 1 A ·1 = A A ·0 = 0 互补律：A + A = 1 A ·A = 0 交换律：A + B = B + A A ·B = B ·A 结合律：A + B + C = (A + B) + C A ·B ·C = (A ·B) ·C 分配律：A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
2.1 逻辑代数的基本定理和规则
逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不 可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则， 用于对表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分 析和设计。 逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字 电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表 示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 和“0”表示。
探索代数的推理和证明认识代数推理和证明的方法
探索代数的推理和证明认识代数推理和证明的方法代数是数学中的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系和运算规律。
代数推理和证明是代数学习的核心内容之一，它旨在通过逻辑推理和数学证明的方式，揭示代数概念和定理的本质。
本文将探索代数的推理和证明，介绍代数推理和证明的方法。
一、代数推理的基本规律代数推理是通过已知条件和推理规则，根据逻辑关系从已知事实中得出结论的思维过程。
在代数推理中，我们常用到的基本规律有以下几种：1.等式关系的传递性和对称性：如果a=b，b=c，则可以得出a=c；如果a=b，则可以得出b=a。
2.等式关系的加法性和乘法性：如果a=b，c=d，则可以得出a+c=b+d；如果a=b，c=d，则可以得出a×c=b×d。
3.等式的替换原则：在等式两边同时增加（减少）相同的数或者同时乘以（除以）相同的非零数，等式依然成立。
4.对等式两边同时进行相同操作的交换律和结合律。
二、代数证明的基本方法代数证明是通过严密的逻辑推理和运算，以严密的数学语言描述问题和解决问题的过程。
在代数证明中，我们常用到的基本方法有以下几种：1.直接证明法：通过逻辑推理和数学运算，直接从已知条件推导出所要证明的结论。
2.间接证明法：通过反证法或者归谬法来证明所要证明的结论。
3.数学归纳法：对于一些具有规律性的问题，可以通过数学归纳法来证明结论的正确性。
这种方法一般适用于证明某个结论对于所有自然数或者整数成立。
4.反证法：假设所要证明的结论不成立，通过逻辑推理得出假设的条件与已知条件矛盾，从而推断出所要证明的结论成立。
三、代数推理和证明的实践代数推理和证明的方法离不开实践。
通过大量的习题练习和数学问题解答，我们可以不断熟悉和掌握代数推理和证明的方法。
在实践中，我们需要注意以下几点：1.理解问题：对于所给问题，首先要深入理解问题的背景和要求，明确所要证明的结论。
2.查找已知条件：在开始推理和证明之前，要将已知条件清晰地列举出来，并对其进行分析和归纳。
代数基本定理
代数基本定理
在代数发展史上的很长一段时期内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法（包括求根公式）.此后，数学家们转向求解一元五次及五次以上的方程。
他们想弄清楚以下问题：一般的一元多项式方程有没有根？如果有根，根的个数是多少？是否存在求根公式？
我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数。
事实上，数学中有如下定理：代数基本定理，任何一元n(n∈N）复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用。
代数基本定理的证明方法有很多种，但每种证法都涉及高等数学知识，此处不作介绍.有兴趣的同学可以查阅相关资料.
由代数基本定理可以得到：任何一元n(n∈N*)次复系数多项式f(x)在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积。
进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.尽管一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）,但是一元五次及五次以上的方程不存在一般的求根公式.。
代数的基本定理
代数的基本定理代数的基本定理，也叫做代数基本定理、代数基本定理定理，是代数学中的一个基本定理，它阐述了一个多项式方程的根与系数之间的关系。
这个定理对于代数学的发展有着深远的影响，并且在数学的其他领域中也有广泛的应用。
代数的基本定理可以被描述为：任何一个次数大于等于1的一元多项式方程，都有至少一个复数根。
换句话说，对于一个n次多项式方程，总是可以找到n个复数根，其中可能存在重根。
为了更好地理解代数的基本定理，我们需要首先了解一些基本概念。
一个多项式是指由一个或多个变量和常数构成的代数表达式，变量通常用字母表示，并且在多项式中可以进行加、减、乘、指数运算等。
一个多项式方程就是将一个多项式置于等号左边，并且等号右边为0，形成的方程。
例如，x^2 - 2x + 1 = 0就是一个二次多项式方程，其中x是未知数。
代数的基本定理的重要性在于它揭示了多项式方程的根与系数之间的关系。
这个定理告诉我们，无论多项式的次数有多高，我们总是可以找到至少一个复数根。
这意味着，通过求解多项式方程，我们可以得到方程的根，并进一步了解方程在数轴上的根的分布，帮助我们解决实际问题。
代数的基本定理最早由法国数学家第谷·笛卡尔于1637年提出，并在后来由欧拉、拉格朗日等数学家进行了深入研究。
现代的代数学发展也依赖于这个基本定理，它被广泛运用于代数几何、数值分析、微分方程、傅里叶分析等领域。
在代数几何中，代数的基本定理可以帮助我们确定方程的解的个数和位置，从而描绘出曲线、曲面等几何图形。
在数值分析中，代数的基本定理被应用于多项式插值，即利用已知的点来逼近未知函数。
在微分方程的求解中，代数的基本定理也被用来确定线性微分方程的解的个数和特性。
在傅里叶分析中，代数的基本定理可以帮助我们将函数表示为无穷级数。
通过代数的基本定理，我们可以将多项式方程与代数学的其他领域相联系，实现数学的统一。
这一定理的证明是比较困难和复杂的，涉及到复分析的方法和工具。
求多项式零点的代数法
求多项式零点的代数法多项式的零点是指能够使多项式方程等于零的解。
解多项式的零点对于数学和工程等领域都有重要的应用。
在本文中，我们将介绍几种求解多项式零点的代数方法，并分析它们的优缺点。
一、代数基本定理首先，我们要了解代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）。
该定理指出，任何一个次数大于0的复系数多项式至少有一个复数零点。
也就是说，一个n次多项式可以分解为n个一次因式，其根就是多项式的零点。
通过代数基本定理，我们可以得出一个多项式的所有零点。
具体方法如下：1. 将多项式表示为标准形式：P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... +a_nx^n2. 假设多项式的根为x = c，将其代入多项式中求解。
3. 若多项式等于零，则x = c为一个零点。
4. 重复步骤2和步骤3，逐个解出多项式的所有零点。
这种方法的优点是能够求解多项式的所有零点。
然而，代数基本定理并没有给出求解多项式根的具体方法，因此我们需要使用其他的代数方法。
二、二分法二分法是一种有效的求解多项式零点的数值方法。
其基本思想是通过计算多项式在区间两端点的函数值的符号来确定零点的大致位置，然后在区间内部进行二分搜索。
具体步骤如下：1. 选择一个初始区间[a, b]，确保多项式在该区间两端点的函数值异号。
2. 将区间中点c作为新的零点候选，计算多项式在c处的函数值。
3. 若函数值接近于零或达到设定的精度条件，则c为一个零点。
4. 根据函数值的符号确定下一个区间，若函数值在[a, c]上异号，则新区间为[a, c]，否则新区间为[c, b]。
5. 重复步骤2至步骤4，直到找到满足精度条件的零点。
二分法的优点是简单易懂，且收敛速度较快。
然而，它的缺点是对于多重根、多项式有奇点或存在复数根的情况，可能无法求解出所有零点。
三、牛顿法牛顿法是一种求解多项式零点的迭代方法，它利用多项式曲线的切线来逼近零点的位置。
代数基本定理
代数基本定理
代数基本定理﹝Fundamental Theorem of Algebra﹞是指：对于复数域，每个次数不少于1的复系数多项式在复数域中至少有一根。
由此推出，一个n次复系数多项式在复数域内有且只有n个根，重根按重数计算。
这个定理的最原始思想是印度数学家婆什迦罗﹝1114-1185？﹞在1150年提出的。
他提出了一元二次方程的求根公式，发现了负数作为方程根的可能性，并开始触及方程根的个数，即一元二次方程有两个根。
婆什迦罗把此想法称为《丽罗娃提》﹝Lilavati﹞，这个词原意是「美丽」，也是他女儿的名称。
1629年荷兰数学家吉拉尔在《代数新发现》中提出他的猜测，并断言n次多项式方程有n个根，但是没有给出证明。
1637年笛卡儿﹝1596-1650﹞在他的《几何学》的第三卷中提出：一个多少次的方程便有多少个根，包括他不承认的虚根与负根。
欧拉在1742年12月15日在给朋友的一封信中明确地提出：任意次数的实系数多项式都能够分解成一次和二次因式的乘积。
达朗贝尔、拉格朗日和欧拉都曾试过证明此定理，可惜证明并不完全。
高斯在1799年给出了第一个实质证明，但仍欠严格。
后来他又给出另外三个证明﹝1814-1815，1816，1848-1850﹞，而「代数基本定理」一名亦被认为是高斯提出的。
高斯研究代数基本定理的方法开创了探讨数学中存在性问题的新途径。
20世纪以前，代数学所研究的对象都是建立在实数域或复数域之上，因此代数基本定理在当时曾起到核心的作用。
代数基本定理的几种证明
代数基本定理的几种证明代数基本定理是说：任何一个非常数的单项式方程（或者说任何一个非常数的多项式方程）都有至少一个复数根。
下面我将给出几种代数基本定理的证明。
1.代入法证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。
我们可以将f(x)表示为多个一次项的乘积形式：f(x)=a_n(x-r_1)(x-r_2)…(x-r_n)其中a_n是多项式的首项系数，r_1，r_2，…，r_n是复数根。
现在我们考虑当x趋近于无穷大时，f(x)的变化情况。
由于f(x)是非常数的多项式方程，所以当x趋近无穷大时，f(x)也趋近于无穷大。
根据这一点，我们可以找到一个实数M，使得当，x，>M时，f(x)，>1现在我们来考虑f(x)在半径为R的圆盘区域内的情况，其中R足够大，使得，z，>R时，f(z)，>1、根据开球覆盖定理，我们可以在这个圆盘区域中选择有限个半径为1的开球，覆盖整个圆盘区域。
由于f(x)的复系数，所以对于每个开球中的根r_i，其共轭根也在开球中，并且开球中的根是有限个。
于是我们可以在这个圆盘区域中找到一个开球，使得其中的根全部在这个开球内。
我们定义了这样一个开球，那么其中的根都被包含在这个开球内。
那么这个开球的半径就是R的一个上界，但这是不可能的，因为我们假设了所有的复数根都在这个开球内。
所以假设不成立，这意味着任何一个非常数的多项式方程都至少有一个复数根。
2.复数代换证明：设f(x)是一个非常数的多项式方程。
我们假设f(x)不具有任何复数根，也就是不存在任何复数r，使得f(r)=0。
现在我们考虑f(x)的次数。
假设f(x)的次数为n，也就是说f(x)可以表示为：f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_n不等于0。
根据复数代换原理，我们可以将f(x)转化为一个次数为n的多项式方程g(z) = b_nz^n + b_{n-1}z^{n-1} + ... + b_1z + b_0，其中z是复数，b_i是复数系数。
最大模原理证明代数学基本定理
最大模原理证明代数学基本定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最大模原理是解析函数论中的一个重要定理，它直接证明了代数学基本定理。
代数学基本定理是复数论中的一个基本结果，它说的是每一个非常数的多项式都有至少一个根。
为了理解最大模原理对代数学基本定理的证明，首先我们需要了解一些基本的概念和定义。
对于复数域上的多项式P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0，其中a_n不等于零且n\geq1，我们称它的度为n，a_n为首项系数，a_0为常数项。
一个复数a称为多项式P(z)的根，如果P(a)=0。
代数学基本定理说的就是对于任意非常数的多项式P(z)，它至少有一个根。
接下来我们来阐述最大模原理的内容。
最大模原理：设D是一个有界开区域，f(z)是D上的解析函数且在\overline{D}上连续。
如果|f(z)|在D上取得了最大值M，那么f(z)是一个常数。
证明如下：假设|f(z)|在D上取得了最大值M，则存在z_0\in D使得|f(z_0)|=M。
我们可以根据f(z_0)在z_0处的泰勒展开得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n，其中c_n=\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}。
由于f(z)是一个解析函数，所以它在D上能够被泰勒展开。
由泰勒展开的收敛性，我们知道存在一个小圆盘B(z_0,r)，使得f(z)在B(z_0,r)上能够被泰勒展开并且收敛。
我们可以得到f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n在B(z_0,r)上成立。
结合以上两个不等式，我们得到了|f(z)|=M。
由于f(z)在D上连续，并且在z_0处取得了最大值M，所以根据最大模原理，f(z)必须是一个常数。
最大模原理证明了在有界开区域上的解析函数如果在区域内能取得一个最大值，那么它必须是一个常数。
通过这个原理，我们可以证明代数学基本定理。
逻辑代数的公式与基本定理
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
数字电子技术及应用
逻辑代数的公式与基本定理
逻辑代数又称布尔代数，是分析和设计逻辑 电路不可缺少的数学工具。
它的变量取值只能是1和0，而且这里的1和0 并不表示数值的大小，而是代表两种相反的逻 辑状态，如开关的闭合和断开，灯的亮和灭等。
逻辑代数中只有逻辑乘、逻辑加和逻辑非三 种基本运算。
1.1 基本公式和常用公式
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
代数中的著名定理
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代数中的著名数学定理：
阿蒂亚-辛格指代标定理 阿贝尔定理 安达尔定理 阿贝尔二项式定理 阿贝尔曲线定理 艾森斯坦定理 奥尔定理 阿基米德中点定理 波尔查诺-魏尔施特拉斯定理 巴拿赫-塔斯基悖论 伯特兰-切比雪夫定理 贝亚蒂定理 贝叶斯定理 博特周期性定理 闭图像定理 伯恩斯坦定理 不动点定理 布列安桑定理 布朗定理 贝祖定理 博苏克-乌拉姆定理 垂径定理 陈氏定理 采样定理 迪尼定理 等周定理 代数基本定理 多项式余数定理 大数定律 狄利克雷定理 棣美弗定理 棣美弗-拉普拉斯定理 笛卡儿定理 多项式定理
逻辑代数基本定理的证明
逻辑代数基本定理的证明α邹泽民(梧州师专 数学系,广西 贺州 542800)[摘 要] 本文分别给出逻辑函数基本定理的三种论证方法。
[关键词] n 元逻辑函数;范式定理;n 元“与-或”范式;n 元“或-与”范式;最小项由n 元逻辑函数F (A 1,A 2,…A n )的定义可知,每个逻辑变量A i (i =1,2,…n )及其逻辑函数的取值集合均为L ={0,1},于是显然有[引理] 对于n 元逻辑函数F (A 1,A 2,…A n ),则有F (A 1,A 2,…A n )=A 1F (1,A 2,A 3,…A n )+A ϖ1F (0,A 2,A 3,…A n )( )F 面给出n 元逻辑函数基本定理,并分别给出三种证明方法。
[基本定理] 全体n 元逻辑函数共有22n种不同形式。
一、数学归纳法证明下面对变元个数n 施行数学归纳证明:1.当n =1时,不难看出,由引理知,一元逻辑函数F (A )可表示为F (A )=A F (1)+A ϖF (0)因为逻辑函数的定义域和值域都是集合L ={0,1}。
因此,对于A =1,有F (1)=0或F (1)=1;对于A =0,有F (0)=0或F (0)=1,即一元逻辑函数F (A )存在有两种不同形式的函数值表示式F (1)、F (0),从而F (1),F (0)搭配有四种不同的取值组(情况),于是有F (1)F (0)A F (1)A ϖF (0)F (A )=A F (1)+A ϖF (0)0000F 1(A )=0010A ϖF 2(A )=A ϖ10A 0F 3(A )=A 11AAϖF 4(A )=A +A ϖ=1从而一元逻辑函数F (A )有且只有以下四种不同形式:F 1(A )=A ·A ϖ=0,F 2(A )=A ϖ,F 3(A )=A ,F 4(A )=A +A ϖ=1即一元逻辑函数F (A )共有221=22=4种不同形式。
摩根定律证明
摩根定律证明
摩根定律是布尔代数中的一个基本定理，它描述了与或非（或与非或异或）逻辑运算的对偶性。
摩根定律具有以下两条形式：
第一条摩根定律：$(A \lor B)' = A' \land B'$
这两条定律的证明可以通过真值表或代数推导来完成。
首先，我们来看第一条定律的证明。
假设有两个命题A和B，我们可以利用真值表的方式来证明 $(A \lor B)' = A'\land B'$。
其真值表如下所示：
| A | B | A or B | (A or B)' | A' | B' | A' and B' |
|---|---|-------|----------|----|----|-----------|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
$= A \land B$
摩根定律的重要性在于它将“或”运算和“与”运算转换为了一起使用的形式，从而帮助我们化简和简化逻辑表达式，降低逻辑电路的复杂度和成本。
代数基本定理的证明方法研究(论文)..
代数学基本定理在代数学中占有十分重要的地位，而在整个数学界中也起着基础作用。
代数学基本定理有两种等价的陈述方式。
第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n- a n jz°J... a i z a0( n _ 1，a n = 0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式p(z) = a n z n - a nJ z nJ - ... - a1z - a0(n—J a n -0)在复数域内有n个根，重根按重数计算”。
尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。
数学家J.P赛尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Mil nor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是几何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。
在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。
代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗贝尔给出的，但其证明是不完整的。
紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。
严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗日的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。
而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。
十九世纪七十年代，数学家H.W.Kuhn18】对于该定理给出了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。
如果将复数域理解为复平面，将p(z)二a n Z n- a n^z nJ - ... - a1z - a0 ( n-1，a^= 0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基本定理。
这种证明方法比较简洁，方法也有多种。
近年来，诸多数学家又给出了其它的证明方法，例如2003年翁东东6】对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。
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代数基本定理的几种证明作者：李志国邵泽玲李志新
来源：《科技风》2020年第13期
摘;要：代数基本定理是数学中最重要最基本的定理之一，不仅仅在代数学中起着重要的基础作用，乃至整个数学研究都有着广泛的应用基础。
本文通过利用拓扑、不动点、代数等理论给出了代数学基本定理的五种不同的证明。
关键词：代数基本定理;不动点定理;同伦;分裂域
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。
最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。
据说，关于代数学基本定理的证明，现有200多种证法。
迄今为止，该定理尚无纯代数方法的证明。
大数学家J.P.塞尔曾经指出：代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家John Willard Milnor在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。
复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复杂。
大多数参考文献中都是利用维尔定理和儒歇定理等复变函数理论来证明代数基本定理。
本文从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。
1 代数学基本定理
任何一个n次多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复数域C中至少有一个根。
证法一：（代数拓扑方法）
视S2=C∪{SymboleB@
}，f（z）可以延拓为一个连续映射：
F：S2=C∪{SymboleB@
}→S2=C∪{SymboleB@
};
F（z）=f（z），z∈C;F（SymboleB@
）=SymboleB@。
由此可知，只要证明0∈ImF即可。
定义H：S2×I→S2如下：
H（z，t）=anzn+（1-t）（f（z）-anzn），z∈C，
SymboleB@
，z=SymboleB@。
令F1（z）=anzn，z∈C
SymboleB@
，z=SymboleB@
，则H（z，t）定义了一个F与F1之间的一个同伦。
而degF1=n，所以degF=n，故F必为满射，所以0∈ImF，证毕。
证法二：（代数拓扑方法）
用反证法。
设n次复系数多项式f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，an≠0在复平面上无根。
于是a0≠0，否则0是根。
不妨设an=1。
r>0，规定fr（z）：S1→S1为
fr（z）=f（rz）/‖f（rz）‖
则r，fr～f0。
而f0（z）=a0/‖a0‖，即f0是常值映射。
于是fr零伦但是不难证明当
r→+SymboleB@
时，fr（z）→zn。
从而当r充分大时fr～hn。
这里hn：S1→S1规定为hn=zn。
它不是零伦的，因为（hn）π不是平凡同态.导出矛盾。
证法三：（微分拓扑方法）
因为limz→SymboleB@
f（z）=SymboleB@
，所以存在R>0，使得|z|R|f（z）|>|f（0）|，记K={z∈C|z|SymbolcB@
R}，则函数|f（z）|在K上的最小值必定在K内部的某点c取得，这时必有f（c）=0。
否则，因为f将c点的一个开邻域U（不妨设UK）映成点f（c）的一个开邻域W，所以必有W 中的某点w=f（z）使得|f（z）|<|f（c）|，但这与|f（c）|的最小性矛盾（如下图所示）。
证法四：（不动点理论方法）
不失一般性，可设an=1，令z=reiθ（0SymbolcB@
θSymbolcB@
2π），且令R=2+|a0|+…+|an-1|，在复平面上定义函数：
g（z）=z-f（z）Rei（n-1θ）;|z|SymbolcB@
1，
z-f（z）Rz（n-1）|z|>1。
由g的形式，显然它是连续函数，考虑集合C={z||z|SymbolcB@
R}，它是平面上列紧的凸集。
现在证明集合C对于g是不变集合。
事实上，设
|z|SymbolcB@
1，则：
|g（z）|SymbolcB@
|z|+|f（z）|RSymbolcB@
1+（1+|a0|+…+|an-1|）RSymbolcB@
1+1=2SymbolcB@
R
设|z|1，则：
|g（z）|SymbolcB@
|Rzn-f（z）||Rzn-1|=|（R-1）zn-（an-1zn-1+…+a1z1+a0）||Rzn-1|
SymbolcB@
（R-1）zR+|a0|+…+|an-1|R
SymbolcB@
R-1+R-2RSymbolcB@
R
由集合C对于是g不变集合，由Brower定理gC：C→C有不动点，设为z0，即g（z0）=z0，故：
f（z0）=0。
证法五：（近世代数方法）
首先假设f（z）是实系数多项式，并设n=2lm，m为奇数。
（对l归纳证明）当l=0时，n 为奇数，显然f（z）有一个实根，当然也是一个复根。
假设l1，定理对l-1成立。
由分裂域存在定理，存在f（z）的分裂域Ef包含f（z）的所有根α1，α2，…，αn-1，αn，任取一實数r，并令βij=αiαj+r（αi+αj）（i<j，1SymbolcB@
i，jSymbolcB@
n），共有n（n-1）2=2l-1m个。
作多项式g（z）=Πni，j=1i
某对i，j，使得βij（1）=αiαj+r1（αi+αj）;βij（2）=αiαj+r2（αi+αj）都是复数，因此可得αiαj，αi+αj也都是复数，从而αi，αj也都是复数。
这就证明了实系数多项式f（z）至少有一个复根。
其次，如果f（z）不是实系数多项式，设f（z）=anzn+an-1zn-1+…+a1z1+a0，ai∈C，
an≠0，令f1（z）=a-nzn+a-n-1zn-1+…+a-1z1+a-0，则F（z）=f（z）f1（z）是实系数多项式，由第一步的结论可知α至少有一个复根α，即f（α）f1（α）=0;若f（α）≠0则f1（α）=0，从而f1（α）=f（α-）=0，所以α-是f（z）的一个复根。
综上所述，定理得证。
2 结语
代数基本定理保证了多项式方程的根的存在性，证明历史由来已久，前人已对代数基本定理的证明进行了深入研究，然而利用各方面的知识探讨该定理的证明仍是十分有意义的，本文
从拓扑学，不动点理论，代数理论等角度分别列举了五种不同的证明方法。
反映出现代数学的各个分支相互渗透，相互融合也提现了数学的统一观。
参考文献：
[1]段海豹.同调论，中科院讨论班讲义.2009.
[2]尤承业.基础拓扑学讲义[M].北京：北京大学出版社，2005.
[3]张筑生.微分拓扑新讲[M].北京：北京大学出版社，2002.
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[5]胡冠章.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，1999.
[6]刘红玉，霍东华.代数基本定理的几种证明[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2011（03）：1-2.
[7]孙艳红，高会双.代数基本定理的拓扑证明及推广[J].井冈山大学学报（自然科学版），2018，39（04）：17-20.
基金项目：河北工业大学教育教学改革研究项目（201903028）;河北省自然科学面上基金（A2019402043）
作者简介：李志国（1979-），男，汉族，河北磁县人，博士，讲师，拓扑学方向;李志新（1983-），男，汉族，河北邯郸人，博士，讲师，动力系统方向。
*通訊作者：邵泽玲（1977-），女，汉族，山东临沂人，博士，副教授，图论方向。