18版高中数学第二章函数2.2.1函数概念学业分层测评北师大版必修1170718175

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18版高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法学业分层测评新人教B版必修1

函数的表示方法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0)【解析】由题意x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100∴y ＝50x (x >0)．【答案】 C2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C3．已知f (x )＝2x ＋3，g (x )＝4x －5，则使得f (h (x ))＝g (x )成立的h (x )＝( ) A ．2x ＋3 B ．2x －11 C ．2x －4D ．4x －5【解析】由f (x )＝2x ＋3，得f (h (x ))＝2h (x )＋3，则f (h (x ))＝g (x )可化为2h (x )＋3＝4x －5，解得h (x )＝2x －4，故选C. 【答案】 C4．已知f (x )是一次函数，且f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3【解析】 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，可得f (x －1)＝k (x －1)＋b＝kx －k ＋b ，∵f (x －1)＝3x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，－k ＋b ＝－5，解之得k ＝3且b ＝－2.因此，f (x )的解析式为f (x )＝3x －2，故选B. 【答案】 B 5．函数y ＝－1x ＋1的大致图象是( )【解析】函数y ＝－1x ＋1的图象是由函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位得到，而函数y ＝－1x的图象在第二、第四象限且是单调下降的两支图象，考查所给的四个图象只有B符合，选B.【答案】 B 二、填空题 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 x ，fx ＋x，则f (3)＝________.【解析】 ∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 【答案】 27．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．【解析】设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x(m ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x.由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x.【答案】 F (x )＝3x ＋5x8．若g (x ＋1)＝2x －2，g (x )＝4，则x 的值为________．【解析】令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴g (t )＝2(t －1)－2＝2t －4， ∴g (x )＝2x －4， ∴2x －4＝4，∴x ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x )．【解】 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2，(x ≥1)．10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1, (1)求f (x )的表达式； (2)求f (2)的值．【解】 (1)由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， ∴ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)得，f (2)＝12×2＋12×2＝1＋22.[能力提升]1．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x(x ≠0)B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)【解析】法一：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．法二：令t ＝x －1x(t ≠0)，则t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2，∴x 2＋1x2＝t 2＋2，∴f (t )＝t 2＋2(t ≠0)，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．【答案】 B2．已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －ax D ．y ＝b －cc －ax 【解析】根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx . 【答案】 B3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.【解析】当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.【答案】－344.如图215，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图215【解析】当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.。

北师版数学必修1：学业分层测评第2章 §1 §2 2.1 函数概念

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．0个或多个【解析】∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x＝2的交点仅有1个．【答案】 B2. 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()【解析】A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.【答案】 B3. 下列函数完全相同的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 【解析】选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同．【答案】 B4. 函数f (x )＝x ＋1|x |－x的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[－1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[－1,0) 【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧x ＋1≥0，|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－1,0)．【答案】 D5. 函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1] 【解析】由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．【答案】 B二、填空题6. 已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________．【解析】由题意m <2m ＋1，解得m >－1.【答案】 (－1，＋∞)7. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.【解析】【答案】 {2,3,4,5}8. 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B。

2018版高中数学第二章函数 2.2.1 一次函数的性质与图象学业分层测评新人教B版必修1

一次函数的性质与图象(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数y ＝ax 2＋x b －1＋2表示一次函数，则a ，b 的值分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1B.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2D.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2【解析】若函数为一次函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b －1＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.b ＝2.【答案】 C2．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( )A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20)【解析】 ∵每小时的排水量为3 m 3，t 小时后的排水量为3t m 3，故水池中剩余水量Q ＝60－3t ，且0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.【答案】 B3．两条直线y 1＝ax ＋b 与y 2＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )【解析】对于A ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a >0，y 1和y 2中的a 、b 符号分别相同，故正确；对于B ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a >0，故不正确；对于C ，y 1中a >0，b <0，y 2中b <0，a <0，故不正确；对于D ，y 1中a >0，b >0，y 2中b <0，a <0，故不正确．【答案】 A4．过点A (－1,2)作直线l ，使它在x 轴，y 轴上的截距相等，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条【解析】当直线在两个坐标轴上的截距都为0时，点A 与坐标原点的连线符合题意，当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，只有当直线斜率为－1时符合，这样的直线只有一条，因此共2条．【答案】 B5．已知一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不经过第三象限，化简a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9的结果是( )A ．2a －5B ．5－2aC ．1D ．5【解析】 ∵一次函数y ＝(a －2)x ＋1的图象不过第三象限，∴a －2<0，∴a <2. ∴a 2－4a ＋4＋a 2－6a ＋9＝|a －2|＋|a －3| ＝(2－a )＋(3－a ) ＝5－2a . 故选B. 【答案】 B 二、填空题6．一次函数f (x )＝(1－m )x ＋2m ＋3在[－2,2]上总取正值，则m 的取值范围是________.【导学号：97512020】【解析】对于一次函数不论是增函数还是减函数，要使函数值在[－2,2]上总取正值，只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f即⎩⎪⎨⎪⎧2m －2＋2m ＋3>0，2－2m ＋2m ＋3>0.解之，得m >－14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 7．已知函数y ＝x ＋m 的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m ＝________. 【解析】函数与两坐标轴的交点为(0，m )，(－m,0)，则S △＝12m 2＝25，∴m ＝±5 2. 【答案】 ±5 28．已知关于x 的一次函数y ＝(m －1)x －2m ＋3，则当m ∈________时，函数的图象不经过第二象限．【解析】函数的图象不过第二象限，如图．所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，－2m ＋3≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥32，故m ≥32.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 三、解答题9．某航空公司规定乘客所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图222所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量．图222【解】设题图中的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，其中y ≥0. 由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧630＝40k ＋b ，930＝50k ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝－570.∴函数解析式为y ＝30x －570. 令y ＝0，得30x －570＝0，解得x ＝19. ∴乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg. 10．已知函数y ＝(2m －1)x ＋2－3m ，m 为何值时： (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数；(3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.【导学号：97512021】【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≠0，2－3m ＝0；得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠12，m ＝23.即m ＝23；(2)当2m －1≠0时，函数为一次函数，所以m ≠12；(3)由题意知函数为减函数，即2m －1<0，所以m <12；(4)直线y ＝x ＋1与x 轴的交点为(－1,0)，将点的坐标(－1,0)代入函数表达式，得－2m ＋1＋2－3m ＝0，所以m ＝35.[能力提升]1．已知kb <0，且不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，则函数y ＝kx ＋b 的图象大致是( )A B C D【解析】由kb <0，得k 与b 异号，由不等式kx ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－bk ，知k >0，所以b <0，因此选B.【答案】 B2．如图223所示，在平面直角坐标系xOy 中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6,4)．若直线l 经过点(1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是( )【导学号：60210048】图223A ．y ＝x ＋1B ．y ＝13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝x －1【解析】设D (1,0)，∵直线l 经过点D (1,0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分， ∴OD ＝BE ＝1，∵顶点B 的坐标为(6,4)， ∴E (5,4)，设直线l 的函数解析式是y ＝kx ＋b ， ∵直线过D (1,0)，E (5,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，5k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.∴直线l 的解析式为y ＝x －1.故选D. 【答案】 D3．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73，∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73.【答案】 f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋734．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f (x )的解析式，并求f (x )的最小值．【解】在同一坐标系中作出函数y ＝x －3，y ＝－x －4，y ＝－2的图象，如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，即A (－2，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，即B (1，－2)．根据图象，可得函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4，x <－2，－2，－2≤x ≤1，x －3，x >1.由上述过程及图象可知，当－2≤x ≤1时，f (x )均取到最小值－2.。

18版高中数学第二章函数章末分层突破学案北师大版必修1

第二章函数[自我校对]①对应关系②函数的值域③解析法④简单的幂函数⑤单调性的定义⑥函数的奇偶性⑦奇偶性的判定方法1.方数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，求函数f [φ(x )]的定义域，可解不等式a ≤φ(x )≤b 求得；如果已知函数f [φ(x )]的定义域，可通过求函数φ(x )的值域，求得函数f (x )的定义域．(1)若函数y ＝3x －7ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为________．【精彩点拨】 (1)对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，分a ＝0，a ≠0两种情况，a ≠0时，Δ<0即可；(2)由0≤12x －1≤1解出x 的范围即为所求．【规范解答】 (1)依题意，x ∈R ，解析式有意义，即对任意x ∈R ，都有ax 2＋4ax ＋3≠0成立，故方程ax 2＋4ax ＋3＝0无实根．①当a ＝0时，3≠0满足要求；②当a ≠0时，则有Δ＝16a 2－12a ＜0，即0＜a ＜34时满足要求．综上可知a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.(2)由题意知，0≤12x －1≤1，解得2≤x ≤4.因此，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为[2,4]．【答案】 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 (2)[2,4][再练一题]1．已知函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，求f (1－3x )的定义域.【导学号：04100036】【解】 ∵f (2x －1)的定义域为[0,1)，∴0≤x ＜1， ∴－1≤2x －1＜1， ∴f (x )的定义域为[－1,1)，即－1≤1－3x ＜1,0＜x ≤23.故函数f (1－3x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23.(1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最值等方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法．(2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常能使求解的问题避免复杂的讨论．已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．【精彩点拨】 (1)利用奇函数定义和f (2)＝53，求a ，b 的值；(2)根据单调性的定义证明．【规范解答】 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b，∴－3x ＋b ＝－3x －b ，因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2x 2＋23x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，f (x )在(－∞，－1]上为增加的．证明：设x 1＜x 2≤－1，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2， ∵x 1＜x 2≤－1， ∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1>0，因此，(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2<0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－1]上为增加的．[再练一题]2．设f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f (－2)＝0，若f (m －1)<0，求m 的取值范围．【解】 ∵f (x )是R 上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的， ∵f (－2)＝f (2)＝0，由f (m －1)<0， ∴|m －1|>2，∴m －1<－2或m －1>2， ∴m <－1或m >3.函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．对于函数f (x )＝x 2－2|x |. (1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性； (2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．【精彩点拨】 (1)按照奇、偶函数的定义对f (x )的奇偶性作出判断；(2)利用f (x )的对称性画出f (x )的图像，根据图像写出f (x )的单调区间和最小值．【规范解答】 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |.则f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝x －2－x ，x 2＋2x ＝x ＋2－x ＜画出图像如图所示．根据图像知，函数f (x )的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．[再练一题]3．对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________．【解析】如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图像观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋x ，－x ＋＜x，32x ＋12＜x ，x 2－4x ＋x ＞f (x )的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2.【答案】 2从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【精彩点拨】分抛物线的对称轴x ＝1在区间[t ，t ＋1]的左侧、内部和右侧三种情况讨论．【规范解答】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t ＞1时，函数图像如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[再练一题]4．已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上的最大值为1，求实数a 的值．【解】当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0. f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a2a. (1)令f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1，解得a ＝－103，此时x 0＝－2320∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，因为a ＜0，f (x 0)最大，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝1不合适． (2)令f (2)＝1，解得a ＝34，此时x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2.因为a ＞0，x 0＝－13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2，且距右端点2较远，所以f (2)最大，合适．(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)，验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适．综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22).1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x【解析】当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.【答案】 D2. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x ＜0，log a x ＋＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a <1.又由f (x )在R 上单调递减，则 ⎩⎪⎨⎪⎧02＋a －＋3a ≥f ＝1，3－4a2≥0⇒13≤a ≤34. 如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a >2，即a >23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x <0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x <0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.【答案】 C3. (2016·山东高考) 已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4. (2016·北京高考) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．【解析】由当x ≤a 时，f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.如图是函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 在没有限制条件时的图象． ①若a ＝0，则f (x )max ＝f (－1)＝2. ②当a ≥－1时，f (x )有最大值；当a <－1时，y ＝－2x 在x >a 时无最大值，且－2a >(x 3－3x )max ，所以a <－1.【答案】 (1)2 (2)a <－15．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.【解析】函数的周期是2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，根据题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.【答案】 16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.【解析】若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．【答案】27. (2015·山东高考) 已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.【答案】－32。

2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1资料

2018高中数学学业分层测评18北师大版2-1学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C ．2 2D ．2 3【解析】双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |a 2＋b 2＝2，所以a 2＝b 2，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A2．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3【解析】设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.【答案】 D3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1【解析】由双曲线的性质利用排除法求解．由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.【答案】 C4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2【解析】分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小．由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ，所以当a ＞b 时，m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞ba.又b ＋m a ＋m ＞0，ba＞0，所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以1＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，m a －ba a ＋m＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.【答案】 D5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C.3＋12D ．5＋12【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·b a＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e2－e －1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．【答案】 D 二、填空题6．过双曲线x 24－y 23＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.【答案】 87．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．【解析】根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 【答案】58．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.【导学号：32550089】【解析】由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝66.【答案】66三、解答题9．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．【解】 (1)由16x 2－9y 2＝144得x 29－y 216＝1，所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，所以焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .(2)由双曲线的定义可知||PF 1|－|PF 2||＝6，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝|PF 1|－|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F 1PF 2＝90°.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．【解】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1→·MF 2→＝0.法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )， MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.[能力提升]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点为F 1，F 2，且C 上的点P 满足PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|＝3，|PF 2→|＝4，则双曲线C 的离心率为( )A.102B ． 5 C.52D ．5【解析】由双曲线的定义可得2a ＝||PF 2→|－|PF 1→||＝1，所以a ＝12；因为PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以(2c )2＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝25，解得c ＝52.所以此双曲线的离心率为e＝c a＝5.故D 正确．【答案】 D2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1【解析】利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解．由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝b a×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，y 2b 2－x 2a2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．【解析】由已知得e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝a 2＋b 2b ，则e 1＋e 2＝a 2＋b 2a ＋a 2＋b 2b＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝2 2.【答案】 2 24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4105，3105在双曲线的右支上，且|PF 1|＝3|PF 2|，PF 1→·PF 2→＝0，求双曲线的标准方程．【解】 ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a . 又PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －4105，－3105，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －4105，－3105， ∵PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41052－c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝0， ∴c 2＝10.又|PF 2|＝a ，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －41052＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31052＝a 2.∴a 2＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝6.故所求双曲线的标准方程为x 24－y 26＝1.。

18版高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法学业分层测评北师大版必修1170718174

2.2.2 函数的表示法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 已知函数f (x )的图像如图225所示，则此函数的定义域、值域分别是( )A ．(－3,3)，(－2,2)B ．[－3,3]，[－2,2]C ．[－2,2]，[－3,3] 图225D ．(－2,2)，(－3,3)【解析】由图可知自变量－3≤x ≤3，函数值－2≤y ≤2. 故定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．【答案】 B2. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，f [f x ＋x ＜，则f (5)的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意易知，f (5)＝f [f (11)]＝f (8)＝f [f (14)]＝f (11)＝8.故选A. 【答案】 A3. 函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )【解析】 y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，如图：【答案】 C4. 设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7【解析】由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 【答案】 D5. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【解析】由题意知4<A ，故c4＝30，∴c ＝60.又60A＝15，∴A ＝16.故选D.【答案】 D 二、填空题6. 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为【解析】由数表可知g (1)＝3，故f [g (1)]＝f (3)＝1. 当g [f (x )]＝2时，f (x )＝2，此时x ＝1. 【答案】 1 17. 已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________．【解析】 ∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，即32a －72＝4，∴a ＝5. 【答案】 58. 已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．【导学号：04100020】【解析】由题意设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x(x ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧13k 1＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝5，故F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．【答案】 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)三、解答题9. 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，的图像并写出函数的值域．【解】作出函数f (x )的图像如图所示：由图像可知值域为[－1，＋∞)．10. 已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．【解】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式性质知上式中对应项系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.[能力提升]1. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x >0，π，x ＝0，π2＋1，x <0，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．πD ．0【解析】 f (－1)＝π2＋1，f (π2＋1)＝0，f (0)＝π，故f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π. 【答案】 C2. 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f x －，x ≥2，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1. 【答案】 A3. 某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是________．【解析】当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >100.【答案】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤100，10＋0.4x ，x >1004. 如图226，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x .试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式．图226【解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝2＋(x －2)·2＝2x －2； (3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7)时，y ＝－12(x －7)2＋10.所以，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2， x ，2]，2x －2， x，5]，－12x －2＋10，x ，。

【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修一《函数》单元目标检测题及答案

2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修一第二章函数单元检测参考完成时间：120分钟实际完成时间：______分钟总分：150分得分：______一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝13x x --的定义域为( )． A ．[1,3)∪(3，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1，＋∞)2．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( )．A ．(1,3)B ．(1,1)C ．(3,1)D ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知f (x )＝1131x x x x +≤⎧⎨-+>⎩，，，，则52f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为( )．A ．－0.5B ．4.5C ．－1.5D ．1.54．函数y ＝x |x |的图像大致是( )．5．函数f (x )＝211x x +-，x ∈[2,4]的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．66．幂函数f(x)过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则f(x)的单调递减区间是( )．A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)，(0，＋∞)7．定义在R上的偶函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数，将f(x)的图像沿x轴向右平移2个单位，得到函数g(x)的图像，则g(x)在下列区间上一定是减函数的是( )．A．[3,4] B．[1,2]C．[2,3] D．[－1,0]8．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．R B．[1，＋∞)C．(－∞，1] D．[2，＋∞)9．f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(3)＞f(1)，则下列各式一定成立的是( )．A．f(0)＜f(6) B．f(3)＞f(2)C．f(－1)＜f(3) D．f(2)＞f(0)10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．函数f(x)在R上为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝+1x，则它的解析式为f(x)＝________.12．二次函数y ＝x 2－ax －1在区间[0,3]上有最小值－2，则实数a 的值为________．13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．14．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (3x －4)的解集为________．15．函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则(2)(4)(6)(2014)(1)(3)(5)(2013)f f f f f f f f ++++的值是________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x |x －2|.(1)求作函数y ＝f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知f (x )＝14，求x 的值． 17．(本小题满分12分)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求f (0)的值；(2)求此函数在R 上的解析式；(3)若对任意t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (k －2t 2)＜0恒成立，求实数k 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x x+，且f (1)＝2. (1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)探求f(x)在区间(0，＋∞)的单调性．20．(本小题满分13分)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数．(1)证明函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数；(2)若f(a－1)＞f(1)，试求实数a的取值范围．21．(本小题满分14分)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆汽车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车辆会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大参考答案1．A 点拨：要使函数f(x)＝13xx--有意义，需满足1030,xx-≥⎧⎨-≠⎩，，∴x≥1，且x≠3.2．B 点拨：∵23,21,x yx y+=⎧⎨-=⎩∴1,1.xy=⎧⎨=⎩3．D 点拨：∵5>1 2，∴5513222 f⎛⎫=-+=⎪⎝⎭.∵112≤，∴1131222f⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即513222f f f⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.4．C 点拨：y＝x|x|为奇函数，排除A，B，又y＝x|x|＝22,0,,0,x xx x⎧≥⎨-<⎩排除D，选C.5．A 点拨：213()211xf xx x+==+--在区间[2,4]上是减少的，故f(x)min＝f(4)＝3.6．D 点拨：设幂函数f(x)＝xα，则f(2)＝12，即2α＝12，∴α＝－1，故f(x)＝x－1＝1 x .∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．7．A 点拨：偶函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f(x)向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．8．C 点拨：函数f(x)＝x2－2ax的图像开口向上，对称轴为直线x＝a.若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则a≤1.9．C 点拨：∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．由f (3)＞f (1)可知，f (3)＞f (－1)．10．C 点拨：由甲、乙两图可以看出，1个进水口1小时的进水量为1,1个出水口1小时的出水量为2.在丙图中，0点到3点的蓄水量为6，应只打开2个进水口；3点到4点的蓄水量减少了1，应打开一个进水口和一个出水口；4点到6点的蓄水量不变，可能不进水不出水，也可能同时打开2个进水口和1个出水口．综上可知，正确的论断只有①.11．1,0,0,0,1,0x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---<⎩ 点拨：∵奇函数f (x )的定义域为R ，∴f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝+1x -.又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝+1x -，f (x )＝1x ---.∴f (x )＝1,0,0,0,1,0x x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪---<⎩.12．2 点拨：22124a a y x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.∵x ∈[0,3]，∴当0≤2a≤3，即0≤a ≤6时，y min ＝2a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝214a --＝－2，解得a ＝2. 当2a＜0，即a ＜0时，y min ＝f (0)＝－1不合题意；当2a＞3，即a ＞6时，y min ＝f (3)＝8－3a ＝－2， ∴103a =(舍去)．故a ＝2.13．y ＝x 2＋4x ＋2 点拨：y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2＝x 2＋4x ＋2.14．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 点拨：由034>034,x x x x >⎧⎪-⎨⎪>-⎩，，得43＜x ＜2. 15．2 014 点拨：∵函数f (x )对任意正整数a ，b 都满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )， ∴令a ＝n ，b ＝1(n ∈N ＋)，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即(1)(1)()f n f f n +=．由n 的任意性得 (2)(4)(6)(1)(3)(5)f f f f f f ===… (2014)(1)(2013)f f f ==．故(2)(4)(6)(2014)(1)(3)(5)(2013)f f f f f f f f ++++ ＝()()()()1 0071111(1)f f f f f +++⋯+个相加＝1 007f (1)＝1 007×2＝2 014.16．解：(1)f (x )＝222222,x x x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩，，，，即f (x )＝22(1)12(1)12x x x x ⎧--≥⎪⎨--+<⎪⎩，，，. 作出函数y ＝f (x )的图像(图中实线部分)．(2)函数f (x )的单调区间有(－∞，1]，[1,2]，[2，＋∞)，其中，在区间(－∞，1]，[2，＋∞)上是增加的，在区间[1,2]上是减少的．(3)当x≥2时，f(x)＝x2－2x.若f(x)＝14，则x2－2x＝14，即4x2－8x－1＝0，解得252x+=或252x-=(舍去)；当x＜2时，f(x)＝－x2＋2x.若f(x)＝14，则－x2＋2x＝14，即4x2－8x＋1＝0，解得232x+=或232x-=.综上可知，当f(x)＝14时，x∈252323,,222⎧⎫++-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭.17．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c.从而，f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b，又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴22,aa b=⎧⎨+=⎩⇒1,1.ab=⎧⎨=-⎩又f(0)＝c＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由(1)及f(x)＞2x＋m⇒m＜x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，则当x∈[－1,1]时，g(x)＝x2－3x＋1为减函数，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，从而要使不等式m＜x2－3x＋1恒成立，则m＜－1.18．解：(1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.(2)设x＜0，则－x＞0，则f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝－f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，∴f(x)＝222,0,2,0. x x xx x x⎧+≥⎨-+<⎩(3)∵f(x)＝x2＋2x在(0，＋∞)上为增函数，且f(0)＝0，f(x)为R上的奇函数，∴f (x )在R 上为增函数，∴原不等式可变形为t 2－2t ＜2t 2－k ，对任意t ∈R 恒成立，∴k ＜(t 2－2t )min ＝－1.19．解：(1)∵f (x )＝a x x+，且f (1)＝2，∴1＋a ＝2，即a ＝1. (2)由(1)可知，f (x )＝1x x +. ∵函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，f (－x )＝11()x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪-⎝⎭＝－f (x )． ∴函数f (x )是奇函数．(3)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＝121211x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1212121212121()(1)()x x x x x x x x x x x x --⋅--⋅=. 当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2＜1，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )在(0,1)上是减少的．当x 2＞x 1≥1时，x 1x 2＞1，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增加的．20．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则0＞－x 1＞－x 2，∵f (x )在(－∞，0]上为减函数，∴f (－x 1)＜f (－x 2)．∵f (x )为偶函数，∴f (x 1)＜f (x 2)．∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数．(2)当a －1＞0，即a ＞1时，∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴若f (a －1)＞f (1)，则a －1＞1，∴a ＞2；当a－1＜0，即a＜1时，∵f(x)为R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，∴若f(a －1)＞f(1)，即f(a－1)＞f(－1)，则a－1＜－1，∴a＜0.综上所述，a的取值范围是{a|a＞2，或a＜0}．21．解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，∵3 600－3 000＝600(元),100－60050＝88(辆)，∴此时能租出88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x(3 000≤x＜5 000)元时，租赁公司的月收益为y元，则y＝30003000300010015010050505050x x xx---⎛⎫⎛⎫----⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2150x-＋162x－21 000＝150-(x－4 050)2＋307 050，∴x＝4 050元时，函数有最大值307 050元．∴当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元．。

18版高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像学业分层测评北师大版必修1170718172

2.4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________．【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】－28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2. 已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ，由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？【解】由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，即4－2 3－k 3＝269，解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。

2018版高中数学第二章函数2.2.1函数概念学业分层测评北师大版必修1

2017-2018学年高中数学必修一北师大版练习：第2章 2-1函数概念含解析精品

第二章 §2 2.1A 级基础巩固1．已知区间[－a,2a ＋1)，则实数a 的取值范围是导学号 00814222( C ) A ．R B ．[－13，＋∞)C ．(－13，＋∞)D ．(－∞，－13)[解析] 结合区间的定义可知－a <2a ＋1， ∴a >－13.2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为导学号 00814223( D ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1,2)∪(2，＋∞) [解析] 使函数f (x )＝x －1x －2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.∴函数的定义域为{x |x ≥1且x ≠2}．3．函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是导学号 00814224( C )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)[解析] ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，∴值域为(0,1]，故选C ．4．下列各组函数中，表示同一函数的是导学号 00814225( D ) A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )2[解析] 只有D 是相等的函数，A 与B 中定义域不同，C 是对应法则不同． 5．函数f (x )的定义域是[0,3]，则f (2x －1)的定义域是导学号 00814226( A )A ．[12，2]B ．[0,3]C ．[－1,5]D ．(12，2)[解析] 由f (x )定义域为[0,3]知， 0≤2x －1≤3，即12≤x ≤2.6．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝_10__.导学号 00814227 [解析] 本题考查了由函数值求自变量的值．由f (a )＝3得a －1＝3两边平方得a ＝10.7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数有_④__(只填序号).导学号 00814228 ①y ＝2x ＋1(x >0) ②y ＝x 2 ③y ＝1x 2－1④y ＝2x (x >0)[解析] ∵x >0，y ＝2x ＋1>1，故①不正确； ∵y ＝x 2≥0，∴②不正确；由y ＝1x 2－1得x 2＝1y ＋1≥0.∴y >0或y ≤－1， ∴③不正确； ∵x >0，y ＝2x >0，∴④正确．8．已知函数f (x )＝11＋x .导学号 00814229(1)求f (2)与f (12)，f (3)与f (13)．(2)由 (1)中求出的结果，你能发现f (x )与f (1x )有什么关系？并证明你的发现．(3)求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (12)＋f (13)＋…＋f (12 015)．[解析] (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13，f (12)＝11＋12＝23，f (3)＝11＋3＝14，f (13)＝11＋13＝34.(2)由(1)中求的结果可发现f (x )＋f (1x )＝1，证明如下：f (x )＋f (1x )＝11＋x ＋11＋1x ＝11＋x ＋x1＋x ＝1＋x 1＋x＝1.(3)f (1)＝11＋1＝12，由(2)知，f (2)＋f (12)＝1，f (3)＋f (13)＝1，…，f (2 015)＋f (12 015)＝1，∴原式＝12＋1＋1＋…＋1]＝12＋2 014＝4 0292.9．求下列函数的值域：导学号 00814230 (1)y ＝2x －1x ＋1(1≤x ≤2)．(2)y ＝x －2x ＋3.(3)y ＝x 2－4x ＋6(0≤x <5)．[解析] (1)∵y ＝2－3x ＋1，又1≤x ≤2，∴2≤x ＋1≤3， ∴1≤3x ＋1≤32，∴12≤y ≤1.故所求的值域为[12，1]． (2)∵y ＝x －2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(3)作函数y ＝(x －2)2＋2(0≤x <5)的图像如图所示，由图可知2≤y <11. ∴函数的值域为[2,11)．B 级素养提升1．函数y ＝11＋1x的定义域是导学号 00814231( C )A ．{x |x >0}B ．{x |x >0或x ≤－1}C ．{x |x >0或x <－1}D ．{x |0<x <1}[解析] ∵11＋1x ≥0⇔1＋1x >0⇔x ＋1x >0⇔x >0或x <－1.2．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是导学号 00814232( A )A ．1B ．0C ．－1D ．2[解析] f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1.3．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈A 的值域为{－1,1,3}，则定义域A 为_{1,2,3}__.导学号 00814233[解析] 值域为{－1,1,3}，即令f (x )分别等于－1,1,3求出对应的x ，则由x 组成的集合即为定义域{1,2,3}．4．函数y ＝－x 2＋x ＋2的定义域为_[－1,2]__，值域为 ⎣⎡⎦⎤0，32 .导学号 00814234 [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0得－1≤x ≤2，又设t ＝－x 2＋x ＋2的对称轴为x ＝12，顶点的纵坐标为4ac －b 24a ＝4×(－1)×2－1－4＝94，∴0≤t ≤94，∴y ∈⎣⎡⎦⎤0，32. 5．已知函数f (x )＝x ＋4x ＋2.导学号 00814235 (1)求f (x )的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值．[解析] (1)要使f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0x ＋2≠0，即x ≥－4且x ≠－2，∴f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)． (2)∵f (x )＝x ＋4x ＋2， ∴f (－3)＝－3＋4－3＋2＝－1，f (23)＝23＋423＋2＝428.6．已知函数f (x )＝x 2＋x －1，求导学号 00814236 (1)f (2)； (2)f (1x＋1)；(3)若f (x )＝5，求x 的值． [解析] (1)f (2)＝4＋2－1＝5.(2)f (1x ＋1)＝(1x ＋1)2＋(1x ＋1)－1＝1x 2＋3x ＋1.(3)f (x )＝5，即x 2＋x －1＝5. 由x 2＋x －6＝0得x ＝2或x ＝－3.。

高中数学第二章函数学业质量标准检测北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

第二章函数学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x 的定义域为导学号 00814494( A )A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)[解析] 要使x ＋1有意义，须满足x ＋1≥0，即x ≥－1；要使12－x有意义，须满足2－x ≠0，即x ≠2，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝导学号 00814495( D )A ．2B ．1C ．0D ．－2[解析]∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－(1＋11)＝－2.3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是导学号 00814496( B )[解析] 选项B 中，当x 取某一个值时，y 可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．4．二次函数y ＝－2(x ＋1)2＋8的最值情况是导学号 00814497( C ) A ．最小值是8，无最大值 B ．最大值是－2，无最小值C ．最大值是8，无最小值D ．最小值是－2，无最大值[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x ＝－1时，函数有最大值8，无最小值． 5．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 作用下的像是导学号 00814498( A )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2.于是y ＝x －2，因此5在f 下的像是5－2＝3.6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，f x ＋2，x <0，那么f (－3)的值为导学号 00814499( B ) A ．－2 B ．2 C ．0D ．1[解析] 依题意有f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1＋1＝2，即f (－3)＝2.7．(2017·全国卷Ⅰ理，2)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值X 围是导学号 00814500( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3][解析]∵f (x )为R 上的奇函数，f (1)＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3，故选D ．8．定义在R 上的偶函数f (x )在区间[－2，－1]上是增函数，将f (x )的图像沿x 轴向右平移2个单位，得到函数g (x )的图像，则g (x )在下列区间上一定是减函数的是导学号 00814501( A )A ．[3,4]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[－1,0][解析] 偶函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，则在[1,2]上为减函数，f (x )向右平移2个单位后在[3,4]上是减函数．9．(2017·某某某某月考)定义在[1＋a,2]上的偶函数f (x )＝ax 2＋bx －2在区间[1,2]上是导学号 00814502( B )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数[解析]∵函数f (x )是偶函数，∴b ＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a ＝－2，∴a ＝－3. 又二次函数f (x )＝－3x 2－2的图像开口向下，对称轴为y 轴，则在区间[1,2]上是减函数．10．若函数y ＝kx ＋5kx 2＋4kx ＋3的定义域为R ，则实数k 的取值X 围为导学号 00814503( D )A ．(0，34)B ．(34，＋∞)C ．(－∞，0)D ．[0，34)[解析]∵函数的定义域为R ，∴kx 2＋4kx ＋3恒不为零，则k ＝0时，成立；k ≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k <34.11．函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过点(－1,0)，则a b ＋c＋b a ＋c－c a ＋b的值是导学号 00814504( A )A ．－1B ．1C ．12D ．－12[解析]∵函数y ＝ax 2－bx ＋c (a ≠0)的图像过(－1,0)点，则有a ＋b ＋c ＝0，即a ＋b ＝－c ，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b .∴ab ＋c ＋ba ＋c －ca ＋b＝－1.12．(2016·全国卷Ⅱ文，12)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝导学号 00814600( B )A ．0B ．mC ．2mD ．4m[解析] 因为y ＝f (x )，y ＝|x 2－2x －3|都关于x ＝1对称，所以它们交点也关于x ＝1对称，当m 为偶数时，其和为2×m 2＝m ，当m 为奇数时，其和为2×m －12＋1＝m ，因此选B ．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．将二次函数y ＝x 2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是_y ＝x 2＋4x ＋2__.导学号 00814505[解析]y ＝(x ＋2)2＋1－3＝(x ＋2)2－2 ＝x 2＋4x ＋2.14．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝_0__.导学号 00814506 [解析] 本题考查偶函数的定义等基础知识． ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即x 2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|x －a |＝|x ＋a |，平方，整理得：ax ＝0，要使x ∈R 时恒成立，则a ＝0.15．已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)<f (2)，则实数m 的取值X 围是_(－1,1)__.导学号 00814507[解析] 因为f (x )＝x 2－|x |＝|x |2－|x |＝(|x |－12)2－14，所以f (x )为偶函数，且在区间(12，＋∞)上为增函数．又f (－m 2－1)＝f (m 2＋1)<f (2)，所以m 2＋1<2.所以m 2<1，即－1<m <1.16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y ＝2x 2＋1，x ∈{－2}；②y ＝2x 2＋1，x ∈{2}；③y ＝2x 2＋1，x ∈{－2,2}．那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有_3__个.导学号 00814508[解析] 根据定义，满足函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2}；y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{－2，0，2}共3个．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，2x ，x ≥2.导学号 00814509(1)求f {f [f (3)]}的值； (2)求f (a )＝3，求a 的值； (3)画出函数的图像．[解析] (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 又 3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6. 又6≥2，∴f {f [f (3)]}＝f (6)＝2×6＝12.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2.若f (a )＝3，则a ＋2＝3， ∴a ＝1(舍去)．当－1<a <2时，f (a )＝a 2.若f (a )＝3，则a 2＝3， ∴a ＝3，或a ＝－3(舍去)．当a ≥2时，f (a )＝2a .若f (a )＝3，则2a ＝3， ∴a ＝32(舍去)．综上可知，a ＝ 3.(3)函数f (x )的图像如图所示，18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－3,3].导学号 00814510 (1)当a ＝－5时，求f (x )的最大值和最小值；(2)某某数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－3,3]上是单调函数． [解析] (1)当a ＝－5时，f (x )＝x 2＋10x ＋2＝(x ＋5)2－23，x ∈[－3,3]，又因为二次函数开口向上，且对称轴为x ＝－5，所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－19，当x ＝3时，f (x )max ＝41.(2)函数f (x )＝(x －a )2＋2－a 2的图像的对称轴为x ＝a ，因为f (x )在[－3,3]上是单调函数，所以a ≤－3或a ≥3.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).导学号 00814511(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增加的；(2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．[解析] (1)设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2. 则f (x 1)－f (x 2)＝(1a －1x 1)－(1a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0. ∴x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增加的． (2)∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又∵f (x )在[12，2]上是增加的，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 12＝12，f 2＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －2＝121a －12＝2.∴a ＝25.20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：导学号 00814512(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域． [解析] 由{x |－2<x <2，x ∈Z }＝{－1,0,1}． (1)由－2m 2－m ＋3>0，∴2m 2＋m －3<0，∴－32<m <1，∴m ＝－1或0.由(2)知f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2为偶函数，舍去．当m ＝0时，f (x )＝x 3为奇函数． ∴f (x )＝x 3.当x ∈[0,3]时，f (x )在[0,3]上为增函数， ∴f (x )的值域为[0,27]．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3).导学号 00814513 (1)证明：f (x )是偶函数；(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (3)求函数的值域．[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2，x ≥0，x ＋12－2，x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数．(3)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2. 当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2. 故函数f (x )的值域为[－2,2]．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R .导学号 00814514 (1)判断函数f (x )的单调性，并证明你的结论；(2)若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，试比较f (a )＋f (b )与0的大小． [解析] (1)函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋x 31)－(x 2＋x 32)＝(x 1－x 2)＋(x 31－x 32)＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22＋1)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1]．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1＋12x 2)2＋34x 22＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝x ＋x 3，x ∈R 是增函数． (2)由a ＋b >0，得a >－b ，由(1)知f (a )>f (－b )，因为f (x )的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝(－x )＋(－x )3＝－x －x 3＝－(x ＋x 3)＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．于是有f (－b )＝－f (b )，所以f (a )>－f (b )，从而f (a )＋f (b )>0.。

高中数学第二章函数 2.2.1 函数概念学案北师大版必修1(2021年最新整理)

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2．1 函数概念1．通过实例,了解生活中的变量关系．(易混点）2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．[基础·初探]教材整理 1 生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是( )A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪,标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B,D中两种关系不是确定的关系,不符合函数的定义，C中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】C教材整理 2 函数的概念阅读教材P26~P27“值域是{s｜s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x）与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f:A→B,或y＝f(x)，x∈A。

2018版高中数学第二章函数 2.1 函数概念学案北师大版必修1

2．1 函数概念学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素(重点)；2.能正确使用区间表示数集(重点)；3.会求一些简单函数的定义域、函数值(重、难点)．预习教材P26－27完成下列问题：知识点一函数的概念(1)函数的定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A．(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)，x∈A，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫作函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．显然，值域是集合B的子集．【预习评价】1．下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )A．x＝y2＋1 B．y＝2x2＋1C．x－2y＝6 D．x＝y解析一个x对应的y值不唯一，故A不能表示函数．答案 A2．函数符号y＝f(x)表示( )A．y等于f与x的乘积B．f(x)一定是一个式子C．y是x的函数D．对于不同的x，y也不同解析y＝f(x)表示的是y是x的函数，故选C．答案 C知识点二函数的三要素函数的三要素：定义域，对应关系，值域．(1)定义域定义域是自变量x的取值集合．有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合．(2)对应关系对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应．(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数y＝f(x)，x∈A，f(x)与f(a)意义相同．( )(2)在函数的定义中，集合B就是函数的值域．( )提示(1)f(x)为变数，f(a)表示函数f(x)当x＝a时的函数值，是一个常数．(2)不一定．例如，A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，f：x→y＝x，则f：A→B是从集合A到集合B的一个函数，但函数值域{1,2,3}是B的子集．答案(1)×(2)×知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．【预习评价】函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t相等吗？提示相等，这两个函数定义域相同，都是实数集R，而且这两个函数的对应关系也相同，因此这两个函数相等．函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示．知识点四区间概念区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：1．对于区间[a ，b ]而言，区间端点a ，b 应满足什么关系？提示若a ，b 为区间的左右端点，则a <b ．2．区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？提示不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3．“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示 “∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．题型一函数的概念及求值问题【例1】 (1)下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝x3；②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ：x 2＋y 2＝25； ④A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝x 2；⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝R ，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0． A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤(2)已知函数f (x )＝1x 2＋2，g (x )＝2x ＋1． ①求f (1)，g (1)的值；②求f (g (2))的值；③求f (a －1)，g (a ＋1)的值．(1)解析 ①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有数与它对应，所以不能确定y 是x 的函数．②在对应关系f 下，A 中的数在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．③在对应关系f 下，A 中的数(除去5与－5外)在B 中有两个数与之对应，所以不能确定y 是x 的函数．⑤A 不是数集，所以不能确定y 是x 的函数；④⑥显然满足函数的特征，y 是x 的函数．故应选D ．答案 D(2)解 ①f (1)＝112＋2＝13，g (1)＝2×1＋1＝3；②由g (2)＝2×2＋1＝5，所以f (g (2))＝f (5)＝152＋2＝127．③f (a －1)＝1a －2＋2＝1a 2－2a ＋3，g (a ＋1)＝2×(a ＋1)＋1＝2a ＋3．规律方法 1.判断某一对应关系是否为函数的步骤 (1)A ，B 为非空数集；(2)A 中任一元素在B 中有元素与之对应； (3)B 中与A 中元素对应的元素唯一． 2．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值； (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则．注意用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．【训练1】 (1)如图，可表示函数y ＝f (x )的图像的只能是( )(2)给定的下列四个式子中，能确定y 是x 的函数的是( )①x 2－y 2＝1；②|x －1|＋y 2－1＝0；③x －1－y －1＝1；④y ＝x －2＋1－x ． A ．① B ．② C ．③D ．④解析 (1)根据函数的定义，对于定义域内的任意的一个自变量x ，有唯一的函数值与之对应，故任作一条垂直于x 轴的直线，与函数的图像最多有一个交点．(2)①由x 2－y 2＝1得y ＝±x 2－1，不满足函数的定义，所以①不是函数．②由|x －1|＋y 2－1＝0得x －1＝0，y 2－1＝0，所以x ＝1，y ＝±1，所以②不是函数．③由x －1－y －1＝1得y ＝(x －1－1)2＋1，满足函数的定义，所以③是函数．④要使函数y ＝x －2＋1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ≤1，此时不等式组无解，所以④不是函数．答案 (1)D (2)C题型二判断是否为同一函数【例2】判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0；(2)f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x x ＋；(3)f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1； (4)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．解 (1)f (x )的定义域中不含有元素0，而g (x )的定义域为R ，定义域不相同，所以二者不是同一函数．(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以二者不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此二者不是同一函数．规律方法判断两函数相等的方法及注意点(1)方法：判断两函数是否相等时，要遵循定义域优先的原则，即要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．(2)两个注意点①函数的表示：与变量用什么字母表示无关； ②解析式的化简：在化简解析式时，必须是等价变形．【训练2】下列给出的各组函数f (x )与g (x )中，是同一个关于x 的函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2x－1B ．f (x )＝3x ＋2，g (x )＝3x －2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 6 D ．f (x )＝1与g (x )＝xx解析 A 项中函数的定义域不同，B 项的解析式不同，即对应关系不同，D 项的定义域不同，x ＝0时g (x )没有意义，只有C 项符合条件．答案 C【例3】求函数f (x )＝x ＋11－1－x的定义域．解要使此函数有意义，则⎩⎨⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1，即x ≤1且x ≠0，所以函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．【迁移1】 (变换条件)将本例中的函数改为f (x )＝x ＋1－1－x，则定义域如何？解要使此函数有意义，则⎩⎨⎧1－1－x ≠0，1－x ≥0，x ＋1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ≤1，x ≠－1，即x ≤1且x ≠0且x ≠－1，所以函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠0且x ≠－1}．【迁移2】 (变换条件)将本例中的函数改为函数f (x )＝ax ＋1(a ∈R )，求f (x )的定义域．解要使函数有意义，必须有ax ＋1≥0，即ax ≥－1，当a >0时，由ax ≥－1得x ≥－1a；当a ＝0时，由ax ≥－1得0≥－1，此时，x 取任意实数都成立；当a <0时，由ax ≥－1得x ≤－1a．所以函数的定义域为：当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－1a ；当a ＝0时，{x |x ∈R }；当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－1a ．规律方法 (1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：①负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；②分式中分母不能为0；③零次幂的底数不为0；④如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；⑤如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．(3)含有参数的函数，其自变量取值范围的确定随参数取值的变化而变化，要依据参数的所有可能情况分类研究确定．题型四求函数值例4 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值．解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13．又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6．(2)∵g (3)＝32＋2＝11，∴f (g (3))＝f (11)＝11＋11＝112．规律方法求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f (g (3))型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (3))与g (g (3))的区别．【训练3】已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2． (1)求f (2)；(2)求f (f (1))．解 (1)∵f (x )＝x ＋1x ＋2，∴f (2)＝2＋12＋2＝34． (2)f (1)＝1＋11＋2＝23，f (f (1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58．课堂达标1．已知f (x )＝x 2＋1，则f (f (－1))＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 f (－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝22＋1＝5．答案 D2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析选项A ，B 及D 中对应关系都不同，故都不是相等函数．答案 C3．下列四个图像中，不是函数图像的是()解析由函数的概念可知，在定义域内任意一个x 都有唯一一个y 值与之对应，所以A ，C ，D 是函数图像．答案 B4．函数y ＝x 的定义域为________．解析由y ＝x ，故x ≥0，所以定义域为{x |x ≥0}．答案 [0，＋∞)5．若f (x )＝1－x 1＋x (x ≠－1)，求f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))．解 f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－－a1＋1－a＝a2－a，因为f (2)＝1－21＋2＝－13，所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1＋131－13＝2．课堂小结1．对函数相等的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系．函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同．如y ＝x 与y ＝3x 的定义域和值域都是R ，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数．2．区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合．如{x |a <x ≤b }＝(a ，b ]，{x |x ≤b }＝(－∞，b ]是数集描述法的变式．。

2018版高中数学第二章函数 2.1.3 函数的单调性学业分层测评新人教B版必修1

函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列结论中，正确的是( )A ．函数y ＝kx (k 为常数，且k <0)在R 上是增函数B ．函数y ＝x 2在R 上是增函数C ．函数y ＝1x在定义域内是减函数D ．y ＝1x在(－∞，0)上是减函数【解析】当k <0时，y ＝kx 在R 上是减函数；y ＝x 2在R 上不单调；函数y ＝1x只可以说在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但不可以说在定义域内为减函数，只有D 正确．【答案】 D2．对于函数y ＝f (x )在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )A ．一定是增函数B ．一定是减函数C ．可能是常数函数D ．单调性不能确定【解析】由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．【答案】 D3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增 D ．先增后减【解析】y ＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≥－2，－x －2， x <－2.作出y ＝|x ＋2|的图象，易知在[－3，－2)上为减函数，在[－2,0]上为增函数．【答案】 C4．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )＞f (8(x －2))的解集是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫2，167【解析】由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －>0，xx －⇒2＜x ＜167，选D. 【答案】 D5．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的范围是( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)＞25【解析】由y ＝f (x )的对称轴是x ＝m 8，可知f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫m8，＋∞上递增，由题设只需m8≤－2，即m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.应选A.【答案】 A 二、填空题6．函数f (x )＝2x 2－3|x |的单调递减区间是________．【解析】函数f (x )＝2x 2－3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x x ，2x 2＋3x x，图象如图所示，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，347．函数y ＝1－3mx在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 ∵函数y ＝1－3m x 在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m ＜0，解得m ＞13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞8．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________.【解析】由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.【答案】－1≤x <12三、解答题 9．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．【证明】设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 1－x 2x 1＋x 2＋>0，即y 1－y 2>0，y 1>y 2，∴y ＝x x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ，－3x ＋3，x ，－x 2＋6x －5，x(1)画出这个函数的图象； (2)求函数的单调区间．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3，－3≤x ，－3x ＋3，x ，－x 2＋6x －5，x ，作出其图象如下：(2)由f (x )的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3)．[能力提升]1．下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数【解析】 ∵若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )的增减性不确定．例如：f (x )＝x ＋2为R 上的增函数，当g (x )＝－12x 时，则f (x )＋g (x )＝x2＋2为增函数；当g (x )＝－3x ，则f (x )＋g (x )＝－2x ＋2在R 上为减函数．∴不能确定f (x )＋g (x )的单调性．【答案】 C2．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0，则f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数【解析】 ∵(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－fx 2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－fx 2即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明f (x )在(a ，b )上为减函数．【答案】 B3．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．【导学号：60210042】【解析】 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，－x ＋3a ，x <1是R 上的单调函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1＋3a ≥a ，解得a ≥12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 4．设函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意的实数x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )f (y )．(1)求f (0)的值；(2)证明：f (x )在R 上是减函数．【解】 (1)∵x ，y ∈R ，f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x ＜0时，f (x )＞1，令x ＝－1，y ＝0，则f (－1)＝f (－1)f (0)． ∵f (－1)＞1，∴f (0)＝1. (2)证明：若x ＞0，－x ＜0， ∴f (x －x )＝f (0)＝f (x )f (－x )， ∴f (x )＝1f－x∈(0,1)，故x ∈R ，f (x )＞0，任取x 1＜x 2，f (x 2)＝f (x 1＋x 2－x 1)＝f (x 1)f (x 2－x 1)， ∵x 2－x 1＞0，∴0＜f (x 2－x 1)＜1，∴f (x 2)＜f (x 1)．故f (x )在R 上是减函数.。

新课程北师大版高中数学必修1第二章《函数》单元测试题[含解答]

高中数学必修1第二章《函数》单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．若()f x (3)f = （）A 、2B 、4 C、、10 2．对于函数()y f x =，以下说法正确的有（）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 3．下列各组函数是同一函数的是（）①()f x =()g x = ②()f x x =与()g x =③0()f x x =与1()g x x=； ④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--． A ．①② B 、①③ C 、③④ D 、②④4．二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，则当1x =时，y 的值为（） A 、7- B 、1 C 、17 D 、25 5．函数y =的值域为（）A 、[]0,2B 、[]0,4C 、(],4-∞D 、[)0,+∞ 6．下列四个图像中，是函数图像的是（）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4） 7．若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一；（2）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；（3）B 中的元素可以在A 中无原像；（4）像的集合就是集合B ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个xx（1）（2）（3）（4）8．)(x f 是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确．．．的是( ) A 、()()0f x f x -+= B 、()()2()f x f x f x --=- C 、()()0f x f x -≤ D 、()1()f x f x =-- 9．若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减少的，则实数a 的取值范围是（） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥510．设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x11．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等实数,a b 总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（）A 、函数()f x 是先增加后减少B 、函数()f x 是先减少后增加C 、()f x 在R 上是增函数D 、()f x 在R 上是减函数 12．下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

2017_2018版高中数学第二章函数章末温习课学案北师大版必修1

A. B．－ C. D．18
4．已知f(x)，g(x)别离是概念在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，那么f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
5．假设f(x)是偶函数，其概念域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，那么f(－ )与f(a2＋2a＋ )的大小关系是( )
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判定的性质为冲破口，而后依照解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．(1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特点，从其概念域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判定，多可利用函数图像上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方式要紧有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特点来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图像特点，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
反思与感悟 (1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法确实是依照函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其概念，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2 函数f(x)的概念域为D＝{x|x≠0}，且知足关于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
2．函数的单调性
函数的单调性是在概念域内讨论的，假设要证明f(x)在区间[a，b]上是增函数或减函数，必需证明对[a，b]上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)成立；假设要证明f(x)在区间[a，b]上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不知足概念即可．单调函数具有下面性质：设函数f(x)概念在区间I上，且x1，x2∈I，那么

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2.2.1 函数概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1. 已知函数y ＝f (x )的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f (x )的图像与直线x ＝2的交点个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．0个或多个
【解析】 ∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f (2)与2对应，即函数f (x )的图像与直线x ＝2的交点仅有1个．
【答案】 B
2. 设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则
f (x )的图像可以是( )
【解析】 A 项中函数定义域为[－2,0]，D 项中函数值域不是[0,2]，C 项中对任一x 都有两个y 与之对应，不是函数图像．故选B.
【答案】 B
3. 下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2
B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
x
D ．f (x )＝x 2－9
x －3
，g (x )＝x ＋3
【解析】选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同．
【答案】 B
4. 函数f (x )＝x ＋1
|x |－x
的定义域是( )
A ．(－∞，0)
B ．[－1，＋∞)
C ．(0，＋∞)
D ．[－1,0)
【解析】要使函数有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≥0，
|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－
1,0)．
【答案】 D
5. 函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0]
D ．(－∞，－1]
【解析】由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．【答案】 B 二、填空题
6. 已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________．【解析】由题意m <2m ＋1，解得m >－1. 【答案】 (－1，＋∞)
7. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.
【解析】【答案】 {2,3,4,5}
8. 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2
＋1}，则A ∩B ＝________.
【解析】由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2
＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．
【答案】 [1，＋∞) 三、解答题
9. 已知函数f (x )＝x 2
＋x －1.
(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
；
(2)若f (x )＝5，求x 的值．
【解】 (1)f (2)＝22
＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1
x
－1＝1＋x －x 2
x 2.
(2)∵f (x )＝x 2
＋x －1＝5， ∴x 2
＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. 10. 求下列函数的定义域． (1)f (x )＝
x
x 2
－x －2
；
(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4.
【解】 (1)要使函数有意义，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
x 2
－x －2≠0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥0，
x ≠－1，且x ≠2，所以x ≥0，
且x ≠2.
故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0，且x ≠2}．
(2)要使函数有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －1≥0，
1－2x ≥0，解得13≤x ≤1
2
.
故函数的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12.
[能力提升]
1. 若函数f (x )＝ax 2
－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1
D ．2
【解析】 f (－1)＝a －1，∴f (f (－1))＝a (a －1)2
－1＝－1，∴a (a －1)2
＝0，∵a >0，∴a ＝1.
【答案】 A
2. 下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )
A ．f (x )＝x 2－4
x －2
与g (x )＝x ＋2
B ．f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x x ＋1
C ．f (x )＝x 2
－2x －1与g (t )＝t 2
－2t －1 D ．f (x )＝1与g (x )＝x 0
(x ≠0)
【解析】 A 中f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．
B 中f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．
C 中尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为
同一函数．
D 中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数．【答案】 C
3. 已知g (x )＝2－3x ，f (g (x ))＝
3x x 2－1，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝________.
【解析】令g (x )＝2－3x ＝12，解得x ＝1
2，
故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×
121
4－1＝3
2－34＝－2.
【答案】－2
4. 如图221，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑
)
图221
(1)试将横断面中水的面积A (m 2
)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图像．
【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋ 2＋2h ]h 2
＝h 2＋2h (m 2
)．
(2)定义域为{h |0＜h ＜1.8}，值域由二次函数A ＝h 2
＋2h (0＜h ＜1.8)求得．
由函数A ＝h 2
＋2h ＝(h ＋1)2
－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0＜A ＜6.84.
故值域为{A |0＜A ＜6.84}．
(3)由于A ＝(h ＋1)2
－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2
＋2h 的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．。